Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X este funcția F(x), care exprimă pentru fiecare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea, x mai mic
Exemplul 2.5. Având în vedere o serie de distribuție a unei variabile aleatoare
Găsiți și descrieți grafic funcția sa de distribuție. Soluţie. Conform definiţiei
F(jc) = 0 la X X
F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 la 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 la X > 5.
Deci (vezi Fig. 2.1):
Proprietățile funcției de distribuție:
1. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este o funcție nenegativă între zero și unu: 
2. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este o funcție nedescrescătoare pe întreaga axă numerică, adică. la X 2 >x
3. La minus infinit, funcția de distribuție este egală cu zero, la plus infinit este egală cu unu, i.e.
4. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare Xîn interval egal cu integrala definita de la densitatea sa de probabilitate variind de la A inainte de b(vezi fig. 2.2), i.e.
Orez. 2.2
3. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue (vezi Fig. 2.3) poate fi exprimată prin densitatea de probabilitate după formula:
F(x)= Jp(*)*. (2,10)
4. Integrala improprie în limite infinite a densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este egală cu unitatea:
Proprietăți geometrice / și 4 densitățile de probabilitate înseamnă că graficul său este curba de distributie - nu se află sub axa x, și aria totală a figurii, mărginite de curba de distribuție și de axa x, egal cu unu.
Pentru o variabilă aleatoare continuă X valorea estimata M(X) si varianta D(X) sunt determinate de formulele:
(dacă integrala este absolut convergentă); sau 
(dacă integralele de mai sus converg).
Alături de caracteristicile numerice menționate mai sus, conceptul de cuantile și puncte procentuale este folosit pentru a descrie o variabilă aleatorie.
Nivelul cuantile q(sau q-quantila) este o astfel de valoarex qvariabilă aleatorie, la care funcţia sa de distribuţie ia valoarea, egal cu q, adică
- 100Punctul q%-ou este cuantila X~ q.
- ? Exemplul 2.8.
Pe baza datelor din Exemplul 2.6, găsiți cuantila xqj și punctul variabil aleator de 30%. X.
Soluţie. Prin definiție (2.16) F(xo t3)= 0.3, adică.
~Y~ = 0.3, de unde provine cuantila? x 0 3 = 0,6. 30% punct variabil aleatoriu X, sau cuantila X)_o,z = xoj„se găsește în mod similar din ecuația ^ = 0,7. unde *,= 1,4. ?
Printre caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii se numără iniţială v* și central R* momente de ordinul k, determinat pentru variabile aleatoare discrete și continue prin formulele:
Capitolul 6. Variabile aleatoare continue.
§ 1. Funcţia de densitate şi distribuţie a unei variabile aleatoare continue.
Setul de valori ale unei variabile aleatoare continue este de nenumărat și reprezintă de obicei un interval finit sau infinit.
Valoare aleatoare x(w), definit în spațiul de probabilitate (W, S, P), se numește continuu(absolut continuă) W, dacă există o funcție nenegativă astfel încât pentru orice x funcția de distribuție Fx(x) poate fi reprezentată ca integrală
Funcția se numește funcție densitățile distribuției probabilităților.
Definiția implică proprietățile funcției de densitate de distribuție:
1..gif" width="97" height="51">
3. În punctele de continuitate, densitatea de distribuție este egală cu derivata funcției de distribuție: .
4. Densitatea distribuției determină legea distribuției unei variabile aleatoare, deoarece determină probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în intervalul:
5. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia o anumită valoare este zero: . Prin urmare, sunt valabile următoarele egalități:
Se numește graficul funcției de densitate de distribuție curba de distributie, iar aria delimitată de curba de distribuție și de axa x este egală cu unitatea. Apoi, geometric, valoarea funcției de distribuție Fx(x) în punctul x0 este aria mărginită de curba de distribuție și de axa x și situată la stânga punctului x0.
Sarcina 1. Funcția de densitate a unei variabile aleatoare continue are forma:
Determinați constanta C, construiți funcția de distribuție Fx(x) și calculați probabilitatea.
Soluţie. Constanta C se găsește din condiția Avem:
de unde C=3/8.
Pentru a construi funcția de distribuție Fx(x), rețineți că intervalul împarte intervalul de valori ale argumentului x (axa numerică) în trei părți: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">
întrucât densitatea x pe semiaxă este zero. În al doilea caz
În sfârșit, în ultimul caz, când x>2,
Deoarece densitatea dispare pe semiaxă. Deci, se obține funcția de distribuție
Probabilitate Să calculăm folosind formula. Prin urmare,
§ 2. Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare continue
Valorea estimata pentru variabile aleatoare distribuite continuu este determinată de formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,
dacă integrala din dreapta converge absolut.
Dispersia x poate fi calculat folosind formula 
, și de asemenea, ca și în cazul discret, după formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
Toate proprietățile așteptării și dispersiei matematice prezentate în Capitolul 5 pentru variabile aleatoare discrete sunt valabile și pentru variabile aleatoare continue.
Problema 2. Pentru variabila aleatoare x din problema 1, calculați așteptarea și varianța matematică .
Soluţie.
Si asta inseamnă
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
Graficul densității distributie uniforma vezi fig. .
Fig.6.2. Funcția de distribuție și densitatea distribuției. lege uniformă
Funcția de distribuție Fx(x) a unei variabile aleatoare distribuite uniform este egală cu
Fx(x)= 
Așteptări și variații; .
Distribuție exponențială (exponențială). O variabilă aleatoare continuă x care ia valori nenegative are o distribuție exponențială cu parametrul l>0 dacă distribuția densității de probabilitate a variabilei aleatoare este egală cu
рx(x)= 
Orez. 6.3. Funcția de distribuție și densitatea de distribuție a legii exponențiale.
Funcția de distribuție a distribuției exponențiale are forma
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> iar dacă densitatea sa de distribuţie este egală cu
.
Indică setul tuturor variabilelor aleatoare distribuite peste legea normală cu parametri parametri si .
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite normal este egală cu
.
Orez. 6.4. Funcția de distribuție și densitatea normală de distribuție
Parametrii distribuției normale sunt așteptările matematice https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
În cazul special când https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> distributie normala numit standard, iar clasa unor astfel de distribuții este indicată de https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
și funcția de distribuție
O astfel de integrală nu poate fi calculată analitic (nu este luată în „quadraturi”) și, prin urmare, au fost compilate tabele pentru funcție. Funcția este legată de funcția Laplace introdusă în capitolul 4
,
prin următoarea relație 
. În cazul valorilor arbitrare ale parametrilor https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este legată de funcția Laplace folosind relația:
.
Prin urmare, probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită normal să cadă într-un interval poate fi calculată folosind formula
.
O variabilă aleatoare nenegativă x se numește lognormal distribuită dacă logaritmul ei h=lnx respectă legea normală. Valoarea așteptată și varianța unei variabile aleatoare lognormal distribuite sunt Mx= și Dx=.
Sarcina 3. Să fie dată o variabilă aleatorie https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.
Soluţie. Aici https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Distribuția Laplace este dat de funcția fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> iar kurtoza este gx=3.
Fig.6.5. Funcția de densitate de distribuție Laplace.
Variabila aleatoare x este distribuită peste legea lui Weibull, dacă are o funcție de densitate de distribuție egală cu https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">
Distribuția Weibull guvernează timpii de funcționare fără defecțiuni a multor dispozitive tehnice. În problemele de acest profil, o caracteristică importantă este rata de eșec (rata mortalității) l(t) a elementelor studiate de vârstă t, determinată de relația l(t)=. Dacă a=1, atunci distribuția Weibull se transformă într-o distribuție exponențială, iar dacă a=2 - în așa-numita distribuție Rayleigh.
Așteptările matematice ale distribuției Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, unde Г(а) este Euler functie..
În diverse probleme de statistică aplicată, sunt adesea întâlnite așa-numitele distribuții „trunchiate”. De exemplu, organele fiscale sunt interesate de repartizarea veniturilor acelor persoane fizice al căror venit anual depășește un anumit prag c0 stabilit de legile fiscale. Aceste distribuții se dovedesc a coincide aproximativ cu distribuția Pareto. Distribuția Pareto dat de funcţii
Fx(x)=P(x
Aici https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Sarcina 4. Variabila aleatoare este distribuită uniform pe segment. Aflați densitatea unei variabile aleatoare.
Soluţie. Din condiţiile problemei rezultă că
În continuare, funcția este o funcție monotonă și diferențiabilă pe un interval și are o funcție inversă 
, a cărui derivată este egală cu Prin urmare,
§ 5. Pereche de variabile aleatoare continue
Să fie date două variabile aleatoare continue x și h. Apoi perechea (x, h) definește un punct „aleatoriu” pe plan. Se numește perechea (x, h). vector aleatoriu sau variabilă aleatoare bidimensională.
Funcția de distribuție comună variabile aleatoare x și h și funcția se numește F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. densitatea articulațiilor distribuția de probabilitate a variabilelor aleatoare x și h se numește funcție astfel încât 
.
Sensul acestei definiții a densității distribuției comune este următorul. Probabilitatea ca un „punct aleatoriu” (x, h) să cadă într-o regiune a unui plan este calculată ca volumul unei figuri tridimensionale – un cilindru „curbiliniu” delimitat de suprafața https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">
Cel mai simplu exemplu de distribuție comună a două variabile aleatoare este bidimensional distribuție uniformă pe platouA. Fie dată o mulțime mărginită M cu aria, aceasta este definită ca distribuția perechii (x, h), definită de următoarea densitate a îmbinării:
Sarcina 5. Fie un vector aleator bidimensional (x, h) distribuit uniform în interiorul triunghiului. Calculați probabilitatea inegalității x>h.
Soluţie. Aria triunghiului indicat este egală cu (vezi Fig. Nr.?). În virtutea definiției unei distribuții uniforme bidimensionale, densitatea comună a variabilelor aleatoare x, h este egală cu
Un eveniment corespunde unui set 
într-un avion, adică un semiplan. Apoi probabilitatea
Pe semiplanul B, densitatea îmbinării este zero în afara setului https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Astfel, semiplanul B este împărțit în două seturi și https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> și , iar a doua integrală este egală cu zero, deoarece densitatea îmbinării acolo este egală cu zero. De aceea
Dacă este dată densitatea distribuției comune pentru o pereche (x, h), atunci densitățile ambelor componente x și h se numesc densități privateși se calculează folosind formulele:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
Pentru variabile aleatoare distribuite continuu cu densitățile рx(х), рh(у), independența înseamnă că
Sarcina 6.În condițiile problemei anterioare, determinați dacă componentele vectorului aleator x și h sunt independente?
Soluţie. Să calculăm densitățile parțiale și . Avem:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
Evident, în cazul nostru https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> este densitatea comună a cantităților x și h și j( x, y) este o funcție a două argumente, atunci
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
Sarcina 7.În condițiile problemei anterioare, calculați .
Soluţie. Conform formulei de mai sus avem:
.
Reprezentând triunghiul ca
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. Densitatea sumei a două variabile aleatoare continue
Fie x și h variabile aleatoare independente cu densități https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Densitatea variabilei aleatoare x + h se calculează prin formulă convoluţie
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Calculați densitatea sumei.
Soluţie. Deoarece x și h sunt distribuite conform legii exponențiale cu parametrul , densitățile lor sunt egale
Prin urmare,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Dacă x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">este negativ și, prin urmare, . Prin urmare, dacă https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Astfel am primit răspunsul:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> distribuite normal cu parametrii 0 și 1. Variabilele aleatoare x1 și x2 sunt independente și au distribuții normale cu parametrii a1, respectiv a2.Demonstrați că x1 + x2 are o distribuție normală.Variabilele aleatoare x1, x2, ... xn sunt distribuite și independente și au aceeași funcție de densitate
.
Găsiți funcția de distribuție și densitatea distribuției valorilor:
a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)
Variabilele aleatoare x1, x2, ... xn sunt independente și uniform distribuite pe intervalul [a, b]. Găsiți funcțiile de distribuție și funcțiile de densitate ale distribuțiilor de cantități
x(1) = min (x1,x2, ... xn) și x(2)= max(x1, x2, ...xn).
Demonstrați că Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.
Variabila aleatoare este distribuită conform legii lui Cauchy Aflați: a) coeficientul a; b) funcţia de distribuţie; c) probabilitatea de a cădea în intervalul (-1, 1). Arătați că așteptarea matematică a lui x nu există. Variabila aleatoare este supusă legii lui Laplace cu parametrul l (l>0): Aflați coeficientul a; construiți grafice de densitate de distribuție și funcții de distribuție; găsiți Mx și Dx; găsiți probabilitățile evenimentelor (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Scrieți o formulă pentru densitatea distribuției, găsiți Mx și Dx.
Sarcini de calcul.
Un punct aleator A are o distribuție uniformă într-un cerc cu raza R. Aflați așteptările matematice și varianța distanței r a punctului la centrul cercului. Să se arate că valoarea r2 este distribuită uniform pe segment. 
Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are forma: 
Calculați constanta C, funcția de distribuție F(x) și probabilitatea 
Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are forma: 
Calculați constanta C, funcția de distribuție F(x) și probabilitatea 
Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are forma: 
Calculați constanta C, funcția de distribuție F(x), , varianța și probabilitatea O variabilă aleatoare are o funcție de distribuție 
Calculați densitatea unei variabile aleatoare, așteptarea matematică, varianța și probabilitatea Verificați dacă funcția = 
poate fi o funcție de distribuție a unei variabile aleatoare. Aflați caracteristicile numerice ale acestei mărimi: Mx și Dx. Variabila aleatoare este distribuită uniform pe segment. Notați densitatea distribuției. Găsiți funcția de distribuție. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă pe segment și pe segment. Densitatea distribuției x este egală cu
.
Aflați constanta c, densitatea distribuției h = și probabilitatea
P (0,25 Timpul de funcționare fără defecțiuni al unui calculator este distribuit conform unei legi exponențiale cu parametrul l = 0,05 (defecțiuni pe oră), adică are o funcție de densitate p(x) = Rezolvarea unei anumite probleme necesită funcționarea fără probleme a mașinii timp de 15 minute. Dacă apare o eroare în timpul rezolvării unei probleme, eroarea este detectată numai după ce soluția este finalizată și problema este rezolvată din nou. Aflați: a) probabilitatea ca în timpul rezolvării problemei să nu se producă nici o singură defecțiune; b) timpul mediu în care se va rezolva problema. O tijă de 24 cm lungime este ruptă în două părți; Vom presupune că punctul de rupere este distribuit uniform pe toată lungimea tijei. Care este lungimea medie a majorității tijei? O bucată cu lungimea de 12 cm este tăiată aleatoriu în două părți. Punctul de tăiere este distribuit uniform pe toată lungimea segmentului. Care este lungimea medie a părții mici a segmentului? Variabila aleatoare este distribuită uniform pe segment. Aflați densitatea de distribuție a variabilei aleatoare a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = . Să se arate că dacă x are o funcție de distribuție continuă F(x) = P(x Aflați funcția de densitate și funcția de distribuție a sumei a două mărimi independente x și h cu legi uniforme de distribuție pe segmente și, respectiv. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe segmente și, respectiv. Calculați densitatea sumei x+h. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe segmente și, respectiv. Calculați densitatea sumei x+h. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe segmente și, respectiv. Calculați densitatea sumei x+h. Variabilele aleatoare sunt independente și au o distribuție exponențială cu densitate Legile distribuției variabilelor aleatoare continue
Legea de distribuție a unei variabile aleatoare continue nu poate fi specificată în același mod ca și pentru una discretă. Este inaplicabil din cauza faptului că este imposibil să enumerați întregul set infinit nenumărat de valori, iar probabilitățile fiecărei valori individuale a unei variabile aleatoare continue sunt egale cu zero. Pentru a descrie legea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X se propune o altă abordare: să se ia în considerare nu probabilităţile evenimentelor X=x pentru diferite X, și probabilitatea evenimentului X<х
. În acest caz, probabilitateaP(
X<
X)
depinde de variabila curentă, adică este o funcție a X.
Funcția de distribuție
variabilă aleatorie X numită funcțieF(
X)
, exprimând pentru fiecare X probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua o valoare mai mică decât X:
Funcţie F(
X)
numit funcția de distribuție cumulativă sau legea integrală a distribuţiei. Metoda de specificare a unei variabile aleatoare continue folosind funcția de distribuție nu este singura. Este necesar să se definească o funcție care să reflecte probabilitățile ca un punct aleatoriu să se încadreze în diferite părți ale intervalului de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue. Adică, pentru a oferi un înlocuitor pentru probabilități p i
pentru o variabilă aleatoare discretă în cazul continuu. Această funcție este funcția de densitate de probabilitate. Probabilitate densitate (densitate de distribuție, funcție diferențială) variabilă aleatorie X numită funcțief(
X),
care este prima derivată a funcției de distribuție integrală: Despre o variabilă aleatorie X se spune că are o distribuţie (distribuită) cu densitatef(
X)
pe o anumită secțiune a axei x. Legea distribuției uniforme.
Variabilă aleatoare continuă X are o lege de distribuție uniformă (legea densității constante) pe segment [A;
b], dacă pe acest segment funcția de densitate de probabilitate a variabilei aleatoare este constantă, i.e.f(
X)
are forma: Valorea estimata Dispersie: Valoarea se numește corecție Sheppard. Probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare să aibă o distribuție uniformă să se încadreze în intervalul (a, b) care aparține în întregime segmentului [a, b]:
Din punct de vedere geometric, această probabilitate este aria dreptunghiului umbrit. Numerele AȘibsunt numite parametrii de distribuțieȘi determina in mod unic o distributie uniforma.
Exemplul 4.
Timpul de așteptare pentru un răspuns la un apel telefonic este o variabilă aleatorie care se supune unei legi uniforme de distribuție în intervalul de la 0 la 2 minute. Găsiți funcțiile de distribuție integrală și diferențială ale acestei variabile aleatoare. Legea distribuției normale
(legea lui Gauss).
Variabilă aleatoare continuă X are o lege de distribuție normală cu parametrii și (notă Unde
,
.
Funcția de densitate
probabilitățif(
X)
Funcția de distribuție
F(
X)
Orez.2
. Legea distribuției normale
Așteptările matematice caracterizează centrul de dispersie al valorilor unei variabile aleatoare și, atunci când se schimbă, curba se va deplasa de-a lungul axei absciselor (vezi Fig. 2 la și la ). Dacă, cu o așteptare matematică constantă, varianța unei variabile aleatoare se modifică, atunci curba își va schimba forma, comprimându-se sau întinzându-se (vezi Fig. 2 pentru : ; ; ). Astfel, parametrul caracterizează poziția, iar parametrul caracterizează forma curbei densității probabilității. Legea distribuției normale a unei variabile aleatoare X cu parametrii și (notatN(0;1)) se numește standard sau normalizat iar curba normală corespunzătoare este standard sau normalizată. Conform definiției, funcția de densitate de probabilitate și funcția de distribuție sunt legate: O integrală de acest fel este „imposibilă”, prin urmare, pentru a o găsi, se folosește o funcție specială, așa-numita integrală de probabilitate sau Funcția Laplace, pentru care au fost întocmite tabele (vezi Anexa 1). Folosind funcția Laplace, puteți exprima funcția de distribuție a legii normale folosind formula: În scopuri practice, este foarte important proprietăți variabilă aleatoare având o lege de distribuție normală. 1.
Dacă , atunci pentru a găsi probabilitatea ca această valoare să se încadreze într-un interval dat ( x 1; x 2) se utilizează formula: 2.
Probabilitatea ca abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice să nu depășească valoarea (în valoare absolută) este egală cu: 3.
„Regula celor trei sigma”
. Dacă o variabilă aleatoare este , atunci este aproape sigur că valorile sale se află în intervalul ( Exemplul 5.
Variabila aleatoare este distribuită în mod normal cu parametrii , . Aflați probabilitatea ca variabila aleatoare ca rezultat al experimentului să ia o valoare conținută în intervalul (12.5; 14). Exemplul 6.
Eroarea de măsurare aleatorie este supusă legii distribuției normale cu parametri , . Se fac trei măsurători independente. Aflați probabilitatea ca eroarea a cel puțin unei măsurători să nu depășească 3 mm în valoare absolută. Probabilitatea ca eroarea de măsurare într-un singur test să nu depășească 3 mm: Probabilitatea ca această eroare de măsurare într-un test să depășească 3 mm este: Probabilitatea ca eroarea de măsurare să fie mai mare de 3 mm în toate cele trei teste este: Probabilitate necesară: . Returnează funcția de distribuție normală pentru media și abaterea standard specificate. Această funcție este utilizată pe scară largă în statistică, inclusiv în testarea ipotezelor. Sintaxă NORMDIST(X;in medie;standard_off;integrală
)
X
- valoarea pentru care se construieste distributia. In medie Standard_off
Integral- o valoare logică care determină forma funcției. Dacă cumulativ este TRUE, NORMDIST returnează funcția de distribuție cumulativă; dacă acest argument este FALS, este returnată funcția de densitate. Note ·
Dacă argumentul este „mediu” sau „ standard_off" nu este un număr, funcția NORMDIST returnează valoarea de eroare #VALOARE!. ·
Dacă standard_off≤ 0, atunci funcția NORMIDIST returnează valoarea de eroare #NUM!. ·
Dacă medie = 0, standard_off= 1 și cumulativ = TRUE, apoi funcția NORMSDIST returnează distribuția normală standard, adică NORMSDIST. ·
Ecuația pentru densitatea distribuției normale (argumentul „cumulativ” conține valoarea FALS) este următoarea: ·
Dacă integrala este ADEVĂRATĂ, formula descrie o integrală cu limite de la minus infinit la x. Returnează distribuția cumulată normală standard. Această distribuție are o medie de zero și o abatere standard de unu. Această funcție este utilizată în locul tabelului standard cu zonele curbei normale. Sintaxă NORMSDIST(z
)
Z- valoarea pentru care se construieste distributia. Note · Dacă z nu este un număr, funcția NORMSDIST returnează valoarea de eroare #VALOARE!. ·
Ecuația densității distribuției normale standard este următoarea: Returnează distribuția normală inversă pentru media și abaterea standard specificate. Sintaxă NORMOBRE(;in medie;standard_off
)
Probabilitate- probabilitatea corespunzatoare distributiei normale. In medie- media aritmetică a distribuţiei. Standard_off
- abaterea standard a distributiei. Note ·
Dacă oricare dintre argumente nu este un număr, NORMINV returnează valoarea de eroare #VALOARE!. ·
Dacă probabilitatea< 0 или вероятность >1, funcția NORMINV returnează valoarea de eroare #NUM!. ·
Dacă standard_off≤ 0, funcția NORMINV returnează valoarea de eroare #NUM!. ·
Dacă media = 0 și standard_off= 1, funcția NORMSINV utilizează distribuția normală standard (vezi NORMSINV). Dacă este dată o valoare de probabilitate, funcția NORMINV caută o valoare a lui x pentru care NORMIDST(x, medie, standard_off, TRUE) = probabilitate. Cu toate acestea, acuratețea funcției NORMINV depinde de precizia NORMIDST. Funcția NORMINV folosește o metodă de iterație pentru căutare. Dacă căutarea nu s-a încheiat după 100 de iterații, funcția returnează valoarea de eroare #N/A. Putem evidenția cele mai comune legi ale distribuției variabilelor aleatoare discrete: Pentru distribuții date de variabile aleatoare discrete, calculul probabilităților valorilor acestora, precum și al caracteristicilor numerice (așteptări matematice, varianță etc.) se realizează folosind anumite „formule”. Prin urmare, este foarte important să cunoaștem aceste tipuri de distribuții și proprietățile lor de bază. O variabilă aleatoare discretă $X$ este supusă legii distribuției binomiale a probabilității dacă ia valori $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ cu probabilități $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. De fapt, variabila aleatoare $X$ este numărul de apariții ale evenimentului $A$ în $n$ încercări independente. Legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare $X$: $\begin(matrice)(|c|c|) Pentru o astfel de variabilă aleatorie, așteptarea matematică este $M\left(X\right)=np$, varianța este $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$. Exemplu
. Familia are doi copii. Presupunând că probabilitățile de a avea un băiat și o fată egale cu $0,5$, găsiți legea distribuției variabilei aleatoare $\xi$ - numărul de băieți din familie. Fie variabila aleatoare $\xi $ numărul de băieți din familie. Valori pe care $\xi le poate lua:\ 0,\ 1,\ 2$. Probabilitățile acestor valori pot fi găsite folosind formula $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, unde $n =2$ este numărul de încercări independente, $p=0,5$ este probabilitatea ca un eveniment să apară într-o serie de $n$ încercări. Primim: $P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$ $P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$ $P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$ Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare $\xi $ este corespondența dintre valorile $0,\ 1,\ 2$ și probabilitățile acestora, adică: $\begin(matrice)(|c|c|) Suma probabilităților din legea distribuției ar trebui să fie egală cu $1$, adică $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25=1 USD. Așteptare $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, varianța $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, abatere standard $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\aproximativ 0,707 $. Dacă o variabilă aleatorie discretă $X$ poate lua numai valori întregi nenegative $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ cu probabilități $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!} cometariu. Particularitatea acestei distribuții este că, pe baza datelor experimentale, găsim estimări $M\left(X\right),\D\left(X\right)$, dacă estimările obținute sunt apropiate unele de altele, atunci avem motiv pentru a afirma că variabila aleatoare este supusă legii distribuției Poisson. Exemplu
. Exemple de variabile aleatoare supuse legii distribuției Poisson pot fi: numărul de mașini care vor fi deservite de o benzinărie mâine; numărul de articole defecte din produsele fabricate. Exemplu
. Fabrica a trimis 500$ de produse la bază. Probabilitatea de deteriorare a produsului în transport este de 0,002 USD. Aflați legea distribuției variabilei aleatoare $X$ egală cu numărul de produse deteriorate; ce este $M\stanga(X\dreapta),\D\stanga(X\dreapta)$. Fie variabila aleatoare discretă $X$ numărul de produse deteriorate. O astfel de variabilă aleatoare este supusă legii distribuției Poisson cu parametrul $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Probabilitățile valorilor sunt egale cu $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\peste (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!} $P\left(X=0\right)=((1^0)\peste (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!} $P\left(X=1\right)=((1^1)\peste (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!} $P\left(X=2\right)=((1^2)\peste (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!} $P\left(X=3\right)=((1^3)\peste (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!} $P\left(X=4\right)=((1^4)\peste (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!} $P\left(X=5\right)=((1^5)\peste (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!} $P\left(X=6\right)=((1^6)\peste (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!} $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\peste (k}\cdot e^{-\lambda }$!} Legea distribuției variabilei aleatoare $X$: $\begin(matrice)(|c|c|) Pentru o astfel de variabilă aleatorie, așteptarea și varianța matematică sunt egale între ele și egale cu parametrul $\lambda $, adică $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $. Dacă o variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua numai valori naturale $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ cu probabilități $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ dreapta)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, atunci ei spun că o astfel de variabilă aleatoare $X$ este supusă legii geometrice a distribuției probabilităților. De fapt, distribuția geometrică este un test Bernoulli până la primul succes. Exemplu
. Exemple de variabile aleatoare care au o distribuție geometrică pot fi: numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei; numărul de teste de dispozitiv până la prima defecțiune; numărul aruncărilor de monede până când apare primul cap etc. Așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare supuse distribuției geometrice sunt, respectiv, egale cu $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $2. Exemplu
. Pe drumul deplasării peștilor către locul de depunere a icrelor există o blocare de $4$. Probabilitatea ca peștii să treacă prin fiecare ecluză este $p=3/5$. Construiți o serie de distribuție a variabilei aleatoare $X$ - numărul de ecluze trecute de pește înainte de prima reținere la ecluză. Găsiți $M\left(X\dreapta),\D\left(X\dreapta),\\sigma \left(X\right)$. Fie ca variabila aleatoare $X$ numărul de încuietori trecute de pește înainte de prima arestare la ecluză. O astfel de variabilă aleatorie este supusă legii geometrice a distribuției probabilităților. Valori pe care variabila aleatoare $X le poate lua:$ 1, 2, 3, 4. Probabilitățile acestor valori sunt calculate folosind formula: $P\left(X=k\right)=pq^(k) -1)$, unde: $ p=2/5$ - probabilitatea ca peștele să fie reținut prin ecluză, $q=1-p=3/5$ - probabilitatea ca peștele să treacă prin ecluză, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$. $P\left(X=1\right)=((2)\peste (5))\cdot (\left(((3)\peste (5))\right))^0=((2)\ peste (5))=0,4;$ $P\left(X=2\right)=((2)\peste (5))\cdot ((3)\peste (5))=((6)\peste (25))=0,24; $ $P\left(X=3\right)=((2)\peste (5))\cdot (\left(((3)\peste (5))\dreapta))^2=((2)\ peste (5))\cdot ((9)\peste (25))=((18)\peste (125))=0,144;$ $P\left(X=4\right)=((2)\peste (5))\cdot (\left(((3)\peste (5))\right))^3+(\left(( (3)\peste (5))\dreapta))^4=((27)\peste (125))=0,216.$ $\begin(matrice)(|c|c|) Valorea estimata: $M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$ Dispersie: $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left( 1-2.176\right))^2+0.24\cdot (\left(2-2.176\right))^2+0.144\cdot (\left(3-2.176\right))^2+$ $+\0.216\cdot (\left(4-2.176\right))^2\aproximativ 1.377.$ Deviație standard: $\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1.377)\aproximativ 1.173.$ Dacă $N$ obiecte, printre care $m$ obiecte au o proprietate dată. $n$ obiecte sunt preluate aleatoriu fără a reveni, printre care au existat $k$ obiecte care au o proprietate dată. Distribuția hipergeometrică face posibilă estimarea probabilității ca exact $k$ obiecte din eșantion să aibă o proprietate dată. Fie variabila aleatoare $X$ numărul de obiecte din eșantion care au o proprietate dată. Apoi probabilitățile valorilor variabilei aleatoare $X$: $P\stanga(X=k\dreapta)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\peste (C^n_N))$ cometariu. Funcția statistică HYPERGEOMET a vrăjitorului funcției Excel $f_x$ vă permite să determinați probabilitatea ca un anumit număr de teste să aibă succes. $f_x\to$ statistic$\la$ HIPERGEOMETĂ$\la$ Bine. Va apărea o casetă de dialog pe care trebuie să o completați. În coloană Număr_de_reușite_în_eșantion indicați valoarea $k$. marime de mostra este egal cu $n$. În coloană Număr_de_succese_în_împreună indicați valoarea $m$. dimensiunea_populației este egal cu $N$. Așteptările și varianța matematică a unei variabile aleatoare discrete $X$, supuse legii distribuției geometrice, sunt, respectiv, egale cu $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\stânga(1 -((m)\peste (N))\dreapta)\stânga(1-((n)\peste (N))\dreapta))\peste (N-1))$. Exemplu
. Departamentul credit al băncii angajează 5 specialişti cu studii superioare financiare şi 3 specialişti cu studii superioare juridice. Conducerea băncii a decis să trimită 3 specialiști pentru a-și îmbunătăți calificările, selectându-i în ordine aleatorie. a) Realizați o serie de distribuție a numărului de specialiști cu studii financiare superioare care pot fi trimiși pentru a-și îmbunătăți competențele; b) Aflați caracteristicile numerice ale acestei distribuții. Fie variabila aleatoare $X$ numărul de specialiști cu studii financiare superioare dintre cei trei selectați. Valori pe care $X le poate lua: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Această variabilă aleatoare $X$ este distribuită conform unei distribuții hipergeometrice cu următorii parametri: $N=8$ - mărimea populației, $m=5$ - numărul de succese în populație, $n=3$ - dimensiunea eșantionului, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - numărul de succese în eșantion. Atunci probabilitățile $P\left(X=k\right)$ pot fi calculate folosind formula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ peste C_( N)^(n) ) $. Avem: $P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\peste (C^3_8))=((1)\peste (56))\aproximativ 0,018;$ $P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\peste (C^3_8))=((15)\peste (56))\aproximativ 0,268;$ $P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\peste (C^3_8))=((15)\peste (28))\aproximativ 0,536;$ $P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\peste (C^3_8))=((5)\peste (28))\aproximativ 0,179.$ Apoi seria de distribuție a variabilei aleatoare $X$: $\begin(matrice)(|c|c|) Să calculăm caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare $X$ folosind formulele generale ale distribuției hipergeometrice. $M\left(X\right)=((nm)\peste (N))=((3\cdot 5)\peste (8))=((15)\peste (8))=1.875.$ $D\stanga(X\dreapta)=((nm\stanga(1-((m)\peste (N))\dreapta)\stanga(1-((n)\peste (N))\dreapta)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\dreapta))\peste (8-1))=((225)\peste (448))\aproximativ 0,502.$ $\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\aproximativ 0,7085.$ Regula trei sigma. Să înlocuim valoarea? în formula (*), obținem: Deci, cu o probabilitate apropiată în mod arbitrar de unitate, putem afirma că modulul de abatere al unei variabile aleatoare distribuite normal de la așteptarea ei matematică nu depășește de trei ori abaterea standard. Teorema limitei centrale. Teorema limită centrală este un grup de teoreme dedicate stabilirii condițiilor în care apare o lege de distribuție normală. Dintre aceste teoreme, locul cel mai important îi revine teoremei lui Lyapunov. Dacă variabila aleatoare X reprezintă suma unui număr mare reciproc? variabile aleatoare independente, adică influența fiecăreia asupra întregii sume este neglijabilă, apoi variabila aleatoare X are o distribuție care se apropie la infinit de distribuția normală. Momentele inițiale și centrale ale unei variabile aleatoare continue, asimetrie și curtoză. Mod și mediană. În problemele aplicate, de exemplu în statistica matematică, când se studiază teoretic distribuțiile empirice care diferă de distribuția normală, este nevoie de estimări cantitative ale acestor diferențe. În acest scop, au fost introduse caracteristici speciale adimensionale. Definiție. Modul unei variabile aleatoare continue (Mo (X))
este valoarea sa cea mai probabilă, pentru care probabilitatea p i sau densitatea de probabilitate f(x) atinge un maxim. Definiție. Mediana unei variabile aleatoare continue X (Pe mine(X))
– aceasta este valoarea sa pentru care este valabilă egalitatea: Geometric, linia verticală x = Me (X) împarte aria figurii de sub curbă în două părți egale. În punctul X = Me (X), funcția de distribuție F (Me (X)) = Aflați modul Mo, mediana Me și așteptarea matematică M a unei variabile aleatoare X cu densitatea de probabilitate f(x) = 3x 2, pentru x I [ 0; 1]. Densitatea de probabilitate f (x) este maximă la x = 1, adică. f (1) = 3, deci Mo (X) = 1 pe intervalul [ 0; 1]. Pentru a găsi mediana, să notăm Me (X) = b. Deoarece Me (X) satisface condiția P (X 3 = . b 3 = ; b = "0,79 M (X) = =+ Să notăm cele 3 valori rezultate Mo (x), Me (X), M (X) pe axa Ox: Definiție. Asimetrie Distribuția teoretică se numește raportul dintre momentul central de ordinul trei și cubul abaterii standard: Definiție. Exces distribuția teoretică este cantitatea definită de egalitate: Unde ? moment central de ordinul al patrulea. Pentru distribuție normală. La devierea de la distribuția normală, asimetria este pozitivă dacă partea „lungă” și mai plată a curbei de distribuție este situată la dreapta punctului de pe axa x corespunzător modului; dacă această parte a curbei este situată în stânga modului, atunci asimetria este negativă (Fig. 1, a, b). Kurtosis caracterizează „abruptul” creșterii curbei de distribuție în comparație cu curba normală: dacă kurtosis este pozitiv, atunci curba are un vârf mai înalt și mai ascuțit; în cazul curtozei negative, curba comparată are un vârf mai mic și mai plat. Trebuie avut în vedere că atunci când se utilizează caracteristicile de comparație specificate, ipotezele despre aceleași valori ale așteptării matematice și dispersiei pentru distribuțiile normale și teoretice sunt cele de referință. Exemplu. Fie variabila aleatoare discreta X este dat de legea distribuției: Aflați: asimetria și curtoza distribuției teoretice. Să găsim mai întâi așteptările matematice ale variabilei aleatoare: Apoi calculăm momentele inițiale și centrale ale ordinului 2, 3 și 4 și: Acum, folosind formulele, găsim cantitățile necesare: În acest caz, partea „lungă” a curbei de distribuție este situată în dreapta modului, iar curba în sine este puțin mai aprinsă decât curba normală, cu aceleași valori de așteptare matematică și dispersie. Teorema. Pentru o variabilă aleatoare arbitrară Xși orice număr ?>0 următoarele inegalități sunt adevărate: Probabilitatea inegalității opuse. Consumul mediu de apă la o fermă zootehnică este de 1000 de litri pe zi, iar abaterea standard a acestei variabile aleatorii nu depășește 200 de litri. Estimați probabilitatea ca debitul de apă al fermei în orice zi selectată să nu depășească 2000 L folosind inegalitatea lui Chebyshev. Lăsa X– consumul de apă la o fermă zootehnică (l). Dispersia D(X) = . Deoarece limitele intervalului sunt 0 X 2000 sunt simetrici în raport cu așteptările matematice M(X) = 1000, atunci pentru a estima probabilitatea evenimentului dorit putem aplica inegalitatea lui Chebyshev: Adică nu mai puțin de 0,96. Pentru distribuția binomială, inegalitatea lui Chebyshev ia forma: LEGILE DISTRIBUȚIEI VARIABILLOR ALEATORII - secțiunea Matematică, TEORIA PROBABILITĂȚII ȘI STATISTICA MATEMATICĂ Cele mai comune legi sunt Uniforme, Normale și Exponențiale. Cele mai comune legi sunt distribuțiile de probabilitate uniforme, normale și exponențiale ale variabilelor aleatoare continue. O distribuție de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X se numește uniformă dacă, în intervalul (a,b), căruia îi aparțin toate valorile posibile ale lui X, densitatea distribuției menține o valoare constantă (6.1) Funcția de distribuție are forma: Normală este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, a cărei densitate are forma: Probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare aparținând intervalului (?; ?): unde este funcția Laplace și, Probabilitatea ca valoarea absolută a abaterii să fie mai mică decât un număr pozitiv?: În special, pentru a = 0, . (6,7) Exponențială este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, care este descrisă prin densitate: Unde? – valoare pozitivă constantă. Funcția de distribuție a legii exponențiale: Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să cadă în intervalul (a, b), distribuită conform legii exponențiale: 1. Variabila aleatoare X este distribuită uniform în intervalul (-2;N). Aflați: a) funcția diferențială a variabilei aleatoare X; b) funcţia integrală; c) probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în intervalul (-1;); d) așteptarea matematică, dispersia și abaterea standard a variabilei aleatoare X. 2. Aflați așteptarea și varianța matematică a unei variabile aleatoare distribuite uniform în intervalul: a) (5; 11); b) (-3; 5). Desenați grafice ale acestor funcții. 3. Variabila aleatoare X este distribuită uniform pe intervalul (2; 6), cu D(x) = 12. Aflați funcțiile de distribuție ale variabilei aleatoare X. Desenați grafice ale funcțiilor. 4. Variabila aleatoare X este distribuită conform legii unui triunghi dreptunghic (Fig. 1) în intervalul (0; a). Aflați: a) funcția diferențială a variabilei aleatoare X; b) funcţia integrală; c) probabil probabilitatea de lovire a unei variabile aleatoare la int(); d) matematică așteptare, varianță și pătrat mediu abaterea ratică a aleatoriei 5. Variabila aleatoare X este distribuită conform legii lui Simpson („legea unui triunghi isoscel”) (Fig. 2) pe intervalul (-a; a). Aflați: a) funcția de distribuție a probabilității diferențiale a variabilei aleatoare X; b) funcţia integrală şi construiţi graficul acesteia; c) probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în intervalul (-); d) așteptarea matematică, dispersia și abaterea standard a variabilei aleatoare X. 6. Pentru a studia productivitatea unei anumite rase de păsări se măsoară diametrul ouălor. Cel mai mare diametru transversal al ouălor este o variabilă aleatorie distribuită conform unei legi normale cu o valoare medie de 5 cm și o abatere standard de 0,3 cm.Găsiți probabilitatea ca: a) diametrul unui ou luat la întâmplare să se încadreze în interval de la 4,7 la 6, 2 cm; b) abaterea diametrului de la medie nu va depăşi 0,6 cm în valoare absolută. 7. Greutatea peștilor prinși într-un iaz respectă legea distribuției normale cu o abatere standard de 150 g și așteptarea matematică a = 1000 g. Aflați probabilitatea ca greutatea peștelui prins să fie: a) de la 900 la 1300 g. ; b) nu mai mult de 1500 g; c) nu mai puțin de 800 g; d) diferă de greutatea medie modulo cu cel mult 200 g; e) trageți un grafic al funcției diferențiale a variabilei aleatoare X. 8. Randamentul grâului de toamnă pe un set de parcele se repartizează după o lege normală cu parametrii: a = 50 c/ha, = 10 c/ha. Determinaţi: a) ce procent de parcele vor avea un randament de peste 40 c/ha; b) procentul de parcele cu un randament de 45 până la 60 c/ha. 9. Contaminarea cerealelor se măsoară folosind o metodă selectivă, erorile de măsurare aleatoare sunt supuse legii distribuției normale cu o abatere standard de 0,2 g și așteptarea matematică a = 0. Aflați probabilitatea ca din patru măsurători independente eroarea a cel puțin una dintre ele nu vor depăși valoarea absolută 0,3 g. 10. Cantitatea de cereale colectată din fiecare parcelă a câmpului experimental este o variabilă aleatoare X distribuită normal, având o așteptare matematică a = 60 kg și o abatere standard de 1,5 kg. Aflați intervalul în care valoarea X va fi conținută cu probabilitatea 0,9906. Scrieți funcția diferențială a acestei variabile aleatoare. 11. Cu o probabilitate de 0,9973, s-a stabilit că abaterea absolută a greutății în viu a unui capete de bovine alese aleatoriu de la greutatea medie a animalului pentru întregul efectiv nu depășește 30 kg. Găsiți abaterea standard a greutății în viu a animalelor, presupunând că distribuția efectivelor în funcție de greutatea în viu respectă legea normală. 12. Randamentul de legume pe parcelă este o variabilă aleatorie distribuită normal, cu o așteptare matematică de 300 c/ha și o abatere standard de 30 c/ha. Cu o probabilitate de 0,9545, determinați limitele în care va fi randamentul mediu de legume din parcele. 13. O variabilă aleatoare X distribuită normal este specificată de o funcție diferențială: Determinaţi: a) probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în interval (3; 9); b) modul și mediana variabilei aleatoare X. 14. O societate comercială vinde produse similare de la doi producători. Durata de viață a produselor este supusă legii normale. Durata medie de viață a produselor de la primul producător este de 5,5 mii de ore, iar din al doilea de 6 mii de ore. Primul producător susține că, cu o probabilitate de 0,95, durata de viață a primului producător este în intervalul de la 5 la 6 mii de ore, iar al doilea, cu o probabilitate de 0,9, este în intervalul de la 5 la 7 mii de ore. Care producător are o variabilitate mai mare în durata de viață a produselor. 15. Salariile lunare ale angajaților întreprinderii sunt distribuite conform legii normale cu așteptarea matematică a = 10 mii de ruble. Se știe că 50% dintre angajații întreprinderii primesc salarii de la 8 la 12 mii de ruble. Determinați ce procent din angajații întreprinderii au un salariu lunar de la 9 la 18 mii de ruble. 16. Scrieţi funcţia de densitate şi distribuţie a legii exponenţiale dacă: a) parametru; b) ; V). Desenați grafice ale funcțiilor. 17. Variabila aleatoare X este distribuită conform legii exponenţiale, şi. Aflați probabilitatea ca variabila aleatoare X să cadă în intervalul: a) (0; 1); b) (2; 4). M(X), D(X), (X). 18. Aflați M(X), D(X), (X) ale legii de distribuție exponențială a variabilei aleatoare X prin funcția dată: 19. Două elemente de operare independentă sunt testate. Durata de funcționare fără defecțiuni a primului are o distribuție mai revelatoare decât a doua. Aflați probabilitatea ca pe o perioadă de 20 de ore: a) ambele elemente să funcționeze; b) un singur element va eșua; c) cel puţin un element va eşua; d) ambele elemente vor eșua. 20. Probabilitatea ca ambele elemente independente să funcționeze în decurs de 10 zile este de 0,64. Determinați funcția de fiabilitate pentru fiecare element dacă funcțiile sunt aceleași. 21. Numărul mediu de erori pe care un operator le face pe parcursul unei ore de muncă este 2. Aflați probabilitatea ca în 3 ore de muncă operatorul să comită: a) 4 erori; b) cel puţin două erori; c) cel puţin o greşeală. 22. Numărul mediu de apeluri primite de centrala telefonică pe minut este de trei. Găsiți probabilitatea ca în 2 minute să primiți: a) 4 apeluri; b) cel puţin trei apeluri. 23. Variabila aleatoare X este distribuită conform legii lui Cauchy 6.
Variabile aleatoare continue 6.1.
Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare continue Continuă este o variabilă aleatoare care poate lua toate valorile dintr-un interval finit sau infinit. Funcția de distribuție se numește funcția F (x) ? determinarea probabilității ca variabila aleatoare X ca rezultat al testului să ia o valoare mai mică decât x, adică. Proprietățile funcției de distribuție: 1. Valorile funcției de distribuție aparțin segmentului, adică 2. F (x) este o funcție nedescrescătoare, adică. daca atunci . · Probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare cuprinsă în interval este egală cu: · Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să ia o anumită valoare este zero. Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X se numește funcție - prima derivată a funcției de distribuție. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să se încadreze într-un interval dat: Găsirea funcției de distribuție folosind o densitate de distribuție cunoscută: Proprietățile densității de distribuție 1. Densitatea distribuției este o funcție nenegativă: 2. Condiție de normalizare: Deviație standard 6.2. Distributie uniforma O distribuție de probabilitate se numește uniformă dacă, în intervalul căruia îi aparțin toate valorile posibile ale variabilei aleatoare, densitatea distribuției rămâne constantă. Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare distribuite uniform Deviație standard 6.3. Distributie normala Normal este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare, care este descrisă de densitatea distribuției a- așteptarea matematică deviație standard dispersie Probabilitatea de a cădea în interval Unde este funcția Laplace. Această funcție este tabelată, adică nu este nevoie să calculați integrala; trebuie să utilizați tabelul. Probabilitatea de abatere a unei variabile aleatoare x de la așteptarea matematică Regula trei sigma Dacă o variabilă aleatoare este distribuită normal, atunci valoarea absolută a abaterii ei de la așteptarea matematică nu depășește de trei ori abaterea standard. Pentru a fi precis, probabilitatea de a depăși intervalul specificat este de 0,27% Calculator online pentru probabilitatea distribuției normale 6.4. Distribuție exponențială Variabila aleatoare X este distribuită conform legii exponențiale dacă densitatea distribuției are forma Deviație standard O caracteristică distinctivă a acestei distribuții este că așteptarea matematică este egală cu abaterea standard. 12. Variabile aleatorii X 13. Probabilitatea de a produce un produs defect este de 0,0002. Calculați probabilitatea ca un inspector care verifică calitatea a 5000 de produse să găsească 4 defecte. X 15. Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a unui element este distribuită conform legii exponențiale 16. Dispozitivul este format din 10 elemente de operare independentă. Probabilitatea de defectare a fiecărui element în timp T egal cu 0,05. Folosind inegalitatea lui Cebyshev, estimați probabilitatea ca valoarea absolută a diferenței dintre numărul de elemente eșuate și numărul mediu (așteptările matematice) de eșecuri în timp T va fi mai puțin de două. 17. Trei focuri independente au fost trase către țintă (în Fig. 4.1 m, m) fără eroare sistematică () cu răspândirea așteptată a loviturilor m. Aflați probabilitatea de a obține cel puțin o lovitură asupra țintei. 1. Câte numere din trei cifre pot fi făcute din numerele 0,1,2,3,4,5? 2. Corul este format din 10 participanți. În câte moduri pot fi selectați 6 participanți pe parcursul a 3 zile, astfel încât în fiecare zi să fie un cor diferit? 3. În câte moduri poate fi împărțit în jumătate un pachet de 52 de cărți amestecate astfel încât o jumătate să conțină trei ași? 4. Dintr-o cutie care conține jetoane cu numere de la 1 la 40, participanții la extragere trag jetoane. Determinați probabilitatea ca numărul primului jeton extras la întâmplare să nu conțină numărul 2. 5. Pe un banc de testare, 250 de dispozitive sunt testate în anumite condiții. Găsiți probabilitatea ca cel puțin unul dintre dispozitivele testate să se defecteze în decurs de o oră dacă se știe că probabilitatea de defecțiune într-o oră a unuia dintre aceste dispozitive este de 0,04 și este aceeași pentru toate dispozitivele. 6. Există 10 puști în piramidă, dintre care 4 sunt echipate cu o vizor optic. Probabilitatea ca un trăgător să lovească ținta atunci când trage o pușcă cu o vizor telescopic este de 0,95; pentru puștile fără vizor optic, această probabilitate este de 0,8. Trăgătorul a lovit ținta cu o pușcă luată la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să tragă dintr-o pușcă cu o vizor telescopic. 7. Dispozitivul este format din 10 noduri. Fiabilitate (probabilitatea de funcționare fără defecțiuni în timp t pentru fiecare nod este egal cu . Nodurile eșuează independent unul de celălalt. Găsiți probabilitatea ca în timp t: a) cel puţin un nod va eşua; b) exact două noduri vor eșua; c) exact un nod va eșua; d) cel puțin două noduri vor eșua. 8. Fiecare dintre cele 16 elemente ale unui anumit dispozitiv este testat. Probabilitatea ca elementul să treacă testul este de 0,8. Găsiți numărul cel mai probabil de elemente care vor trece testul. 9. Aflați probabilitatea ca evenimentul A(schimbarea vitezelor) va apărea de 70 de ori pe o autostradă de 243 de kilometri dacă probabilitatea de a comuta pe fiecare kilometru al acestei autostrăzi este de 0,25. 10. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,8. Găsiți probabilitatea ca cu 100 de lovituri ținta să fie lovită de cel puțin 75 de ori și nu mai mult de 90 de ori. X. 12. Variabile aleatorii X si independenta. Aflați așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare 13. Un manuscris de 1000 de pagini de text dactilografiat conține 100 de greșeli de scriere. Găsiți probabilitatea ca o pagină luată la întâmplare să conțină exact 2 greșeli de scriere. 14. Variabilă aleatoare continuă X distribuit uniform cu o densitate de probabilitate constantă, unde 15. Durata de funcționare fără defecțiuni a unui element are o distribuție exponențială 16. Variabilă aleatoare continuă X distribuite normal 17. Distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare bidimensionale discrete este dată: Aflați legea distribuției componentelor XȘi ; așteptările lor matematice și ; varianțe și ; coeficient de corelație . 1. Câte numere din trei cifre pot fi făcute din cifrele 1,2, 3, 4, 5, dacă fiecare dintre aceste cifre este folosită nu mai mult de o dată? 2. Dat n puncte, dintre care 3 se află pe aceeași linie. Câte linii drepte pot fi trase prin conectarea punctelor în perechi? Câte piese de domino poți face folosind numerele de la 0 la 9? 3. Care este probabilitatea ca o bucată de hârtie ruptă aleatoriu dintr-un calendar nou să corespundă cu prima zi a lunii? (Anul nu este considerat an bisect). 4. În atelier sunt 3 telefoane, care funcționează independent unele de altele. 5. Probabilităţile de angajare ale fiecăruia dintre ei sunt, respectiv, următoarele: ; ; . Găsiți probabilitatea ca cel puțin un telefon să fie liber. 6. Sunt trei urne identice. Prima urnă conține 20 de bile albe, a doua conține 10 bile albe și 10 negre, iar a treia conține 20 de bile negre. Dintr-o urna aleasa aleatoriu se extrage o bila alba. Găsiți probabilitatea ca o minge să fie extrasă din prima urnă. 7. În unele zone vara, în medie 20% din zile sunt ploioase. Care este probabilitatea ca pe parcursul unei săptămâni: a) să fie cel puţin o zi ploioasă; b) va fi exact o zi ploioasă; c) numărul de zile ploioase nu va fi mai mare de patru; d) nu vor fi zile ploioase. 8. Probabilitatea de încălcare a preciziei în asamblarea dispozitivului este de 0,32. Determinați cel mai probabil număr de instrumente de precizie într-un lot de 9 bucăți. 9. Determinați probabilitatea ca la 150 de lovituri de la o pușcă ținta să fie lovită de 70 de ori dacă probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,4. 10. Determinați probabilitatea ca din 1000 de copii născuți, numărul băieților să fie de cel puțin 455 și nu mai mult de 555, dacă probabilitatea ca băieții să se nască este de 0,515. 11. Este dată legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X: Aflați: 1) valoarea probabilității corespunzătoare valorii lui ; 2) , , ; 3) funcția de distribuție; construiește-și graficul. Construiți un poligon de distribuție variabilă aleatorie X. 12. Variabile aleatorii X si independenta. Aflați așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare 13. Probabilitatea de a produce o piesă nestandard este de 0,004. Găsiți probabilitatea ca între 1000 de părți să fie 5 non-standard. 14. Variabilă aleatoare continuă X dat de funcţia de distribuţie 1. Vorbitorii trebuie să fie prezenți la ședință A, ÎN, CU, D. În câte moduri pot fi plasate pe lista vorbitorilor astfel încât ÎN a vorbit după vorbitor A? 2. În câte moduri pot fi distribuite 14 bile identice în 8 cutii? 3. Câte numere din cinci cifre pot fi făcute din numerele de la 1 la 9? 4. Elevul a venit la examen știind doar 24 din cele 32 de întrebări din program. Examinatorul i-a pus 3 întrebări. Găsiți probabilitatea ca elevul să răspundă la toate întrebările. 5. Până la sfârșitul zilei, în magazin au mai rămas 60 de pepeni, inclusiv 50 copți. Cumpărătorul alege 2 pepeni verzi. Care este probabilitatea ca ambii pepeni verzi să fie copți? 6. Într-un grup de sportivi sunt 20 de alergători, 6 săritori și 4 aruncători de ciocane. Probabilitatea ca un alergător să îndeplinească standardul maestru al sportului este de 0,9; săritor - 0,8 și aruncător - 0,75. Determinați probabilitatea ca un atlet numit aleatoriu să îndeplinească norma de maestru al sportului. 7. Probabilitatea ca un articol închiriat să fie returnat în stare bună este de 0,8. Determinați probabilitatea ca din cinci lucruri luate: a) trei să fie returnate în stare bună; b) toate cele cinci articole vor fi returnate în stare bună; c) cel puțin două articole vor fi returnate în stare bună. 8. Probabilitatea ca un defect să apară într-un lot de 500 de piese este de 0,035. Determinați numărul cel mai probabil de piese defecte din acest lot. 9. În producția de becuri electrice, probabilitatea producerii unei lămpi de clasa întâi se presupune a fi de 0,64. Determinați probabilitatea ca din 100 de lămpi electrice luate la întâmplare, 70 să fie de clasa întâi. 10. Sunt supuse examinării 400 de probe de minereu. Probabilitatea de conținut de metal industrial în fiecare probă este aceeași și egală cu 0,8. Găsiți probabilitatea ca numărul de mostre cu conținut de metal industrial să fie între 290 și 340. 11. Este dată legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X dacă X XȘi ; 4) aflați dacă aceste cantități sunt dependente. 1. În câte feluri pot fi așezați 8 invitați la o masă rotundă, astfel încât doi invitați celebri să stea unul lângă altul? 2. Câte „cuvinte” diferite puteți face prin rearanjarea literelor cuvântului „combinatoric”? 3. Câte triunghiuri sunt ale căror laturi iau una dintre următoarele valori: 4, 5, 6, 7 cm? 4. Plicul conține literele alfabetului împărțit: DESPRE, P, R, CU, T. Literele sunt bine amestecate. Determinați probabilitatea ca, prin scoaterea acestor litere și așezându-le una lângă alta, să obțineți cuvântul „ SPORTUL‘. 5. Din prima mașină, 20% din piese sunt furnizate la montaj, din a doua 30%, din a treia - 50% din piese. Prima mașină dă în medie 0,2% din defecte, a doua - 0,3%, a treia - 1%. Găsiți probabilitatea ca o piesă primită pentru asamblare să fie defectă. 6. Unul dintre cei trei trăgători este chemat la linia de tragere și trage un foc. Ținta este lovită. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură pentru primul trăgător este de 0,3, pentru al doilea - 0,5, pentru al treilea - 0,8. Găsiți probabilitatea ca focul să fi fost tras de al doilea trăgător. 7. În atelier sunt 6 motoare. Pentru fiecare motor, probabilitatea ca acesta să fie pornit în prezent este de 0,8. Aflați probabilitatea ca în acest moment: a) 4 motoare să fie pornite; b) cel puțin un motor este pornit; c) toate motoarele sunt pornite. 8. Televizorul are 12 lămpi. Fiecare dintre ele cu o probabilitate de 0,4 poate eșua în perioada de garanție. Găsiți numărul cel mai probabil de lămpi care se defectează în perioada de garanție. 9. Probabilitatea de a avea un băiat este de 0,515. Aflați probabilitatea ca din 200 de copii născuți să fie un număr egal de băieți și fete. 10. Probabilitatea ca piesa să nu fi trecut inspecția de control al calității va fi de . Găsiți probabilitatea ca între 400 de părți alese aleatoriu să fie de la 70 la 100 de părți netestate. 11. Este dată legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X:
.
. Aflați densitatea de distribuție a sumei lor. Aflați distribuția sumei variabilelor aleatoare independente x și h, unde x are o distribuție uniformă pe interval, iar h are o distribuție exponențială cu parametrul l. Găsiți P 
, dacă x are: a) distribuţie normală cu parametrii a şi s2; b) distribuţie exponenţială cu parametrul l; c) distribuţie uniformă pe segmentul [-1;1]. Distribuția comună a lui x, h este uniformă la pătrat
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Găsiți probabilitatea 
. Sunt x și h independente? O pereche de variabile aleatoare x și h sunt distribuite uniform în interiorul triunghiului K=. Calculați densitățile x și h. Sunt aceste variabile aleatoare independente? Găsiți probabilitatea. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și distribuite uniform pe segmente și [-1,1]. Găsiți probabilitatea. O variabilă aleatoare bidimensională (x, h) este distribuită uniform într-un pătrat cu vârfuri (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Aflați valoarea funcției de distribuție comună în punctul (1, -1). Un vector aleator (x, h) este distribuit uniform în interiorul unui cerc cu raza 3 centrat la origine. Scrieți o expresie pentru densitatea distribuției comune. Determinați dacă aceste variabile aleatoare sunt dependente. Calculați probabilitatea. O pereche de variabile aleatoare x și h sunt distribuite uniform în interiorul unui trapez cu vârfuri în punctele (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Găsiți densitatea distribuției comune pentru această pereche de variabile aleatoare și densitatea componentelor. Sunt x și h dependente? O pereche aleatorie (x, h) este distribuită uniform în interiorul unui semicerc. Aflați densitățile x și h, investigați problema dependenței lor. Densitatea comună a două variabile aleatoare x și h este egală cu 
.
Aflați densitățile x, h. Investigați problema dependenței lui x și h. O pereche aleatorie (x, h) este distribuită uniform pe mulțime. Aflați densitățile x și h, investigați problema dependenței lor. Găsiți M(xh). Variabilele aleatoare x și h sunt independente și distribuite conform legii exponențiale cu parametrul Find
.
. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare distribuite uniform pe un segment(a, b), este egal cu mijlocul acestui segment.
), dacă densitatea sa de probabilitate are forma:
,
, Unde .
, Unde .
.
). (Probabilitatea de a depăși aceste limite este de 0,0027.) Regula permite, cunoscând parametrii ( și ), să se determine aproximativ intervalul de valori practice ale variabilei aleatoare.
.
Funcția NORMIDIST
Funcția NORMSDIST
Funcția NORMINV
1. Legea distribuției binomiale.
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i și P_n\stanga(0\dreapta) și P_n\stanga(1\dreapta) și \dots și P_n\left(n\dreapta) \\
\hline
\end(matrice)$
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(matrice)$2. Legea distribuției Poisson.
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\peste (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(matrice)$3. Legea distribuției geometrice.
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\stanga(X_i\dreapta) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(matrice)$4. Legea distribuției hipergeometrice.
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(matrice)$
=
LEGILE DISTRIBUȚIEI VARIABILELE ALEATORII
Variabile aleatoare continue
Teoria probabilității. Evenimente aleatorii (pagina 6)
, Dacă , , , .
X va lua o valoare aparținând intervalului . Construiți grafice ale funcțiilor și .
(). Găsiți probabilitatea ca elementul să funcționeze fără defecțiune timp de 50 de ore.
, Dacă , , , .
Găsiți 1) parametrul și notați legea distribuției; 2) Găsiți , ; 3) Aflați probabilitatea ca X va lua o valoare aparținând intervalului .
(). Găsiți probabilitatea ca t= 24 de ore elementul nu va eșua.
. Găsi , . Găsiți probabilitatea ca în urma testului X va lua valoarea cuprinsă în intervalul ., Dacă , , , .
Găsiți: 1) funcția de densitate; 2) , , ; 3) probabilitatea ca în urma experimentului o variabilă aleatorie X va lua o valoare aparținând intervalului . Construiți grafice de funcții și .km, km. Determinați probabilitatea de două lovituri asupra țintei.
