Calculați integrala folosind formula trapezoidală online. Cum se calculează integrala definită folosind formula trapezoidală și metoda Simpson? Cum se calculează o integrală definită folosind formula lui Simpson

Este practic dificil să găsești o asemenea valoare Cu, la care (b-a)f(c) ar fi exact egal cu . Pentru a obține o valoare mai precisă, aria unui trapez curbiliniu este împărțită în n dreptunghiuri ale căror înălțimi sunt egale y 0 , y 1 , y 2 , …, y n -1 si fundatii.

Dacă rezumăm ariile dreptunghiurilor care acoperă aria unui trapez curbiliniu cu un dezavantaj, funcția este nedescrescătoare, atunci în loc de formulă, se folosește formula

Dacă este în exces, atunci

Valorile se găsesc din egalități. Aceste formule sunt numite formule dreptunghiulareși dați un rezultat aproximativ. Odată cu creșterea n rezultatul devine mai precis.

Exemplul 1 . Calculați din formula dreptunghiurilor

Împărțim intervalul de integrare în 5 părți. Apoi . Folosind un calculator sau un tabel, găsim valorile integrandului (cu o precizie de 4 zecimale):

Conform formulei dreptunghiurilor (cu un dezavantaj)

Pe de altă parte, conform formulei Newton-Leibniz

Să găsim eroarea relativă de calcul folosind formula dreptunghiurilor:

Calculul integralelor prin formule trapezoidale. Estimarea erorii:

Semnificația geometrică a următoarei metode pentru calculul aproximativ al integralelor este aceea de a găsi aria unui trapez „rectilin” aproximativ egal.

Să fie necesar să se calculeze suprafața A 1 AmBB 1 trapez curbiliniu, exprimat prin formula .

Să înlocuim arcul AmB coardă ABși în loc de zona unui trapez curbiliniu A 1 AmBB 1 calculați aria trapezului A 1 ABB 1: , Unde AA 1și BB 1 - baza trapezului și A 1 B 1 este înălțimea sa.

Denota f(a)=A 1 A, f(b)=B 1 B.înălțimea trapezului A 1 B 1 \u003d b-a, pătrat . Prin urmare, sau

Acest așa-zis formulă trapezoidală mică.

Exemplul 2. Lățimea râului 26 m, măsurători de adâncime în secțiunea transversală a râului fiecare 2 m a dat următoarele rezultate.

Exerciții.

5.1 Calculați prin formula de pătrare a dreptunghiurilor cu n= 3 integrală și comparați cu valoarea exactă a integralei:

A) , eu= 1; b), eu= ln 2;

în), eu= ; G), eu= 0,75.

5.2 Calculați prin formula de pătrare a dreptunghiurilor când n= 5 integrală și evaluați eroarea de integrare:

5.3 Determinați numărul de noduri n, care trebuie utilizat pentru a calcula integrala folosind formula dreptunghiurilor cu o precizie de 0,01:

A) ; b) ; în); G).

5.4 Calculați integrala folosind formula de pătrare a dreptunghiurilor cu o precizie de 0,01:

Luați în considerare integrala definită eu(6) și desenați graficul integrandului (Fig. 17). Să împărțim intervalul de integrare în n segmente egale cu puncte , unde (Fig. 17).

Lungimea fiecărui segment al partiției. În acest caz, este evident că pentru punctele de partiție relația va fi adevărată:

și X 0 = Ași x n = b.

Conectați punctele graficului funcției cu coordonatele pe segmente. Ca rezultat, obținem o linie întreruptă, care este un grafic al unei funcții liniare pe bucăți (Fig. 17). Pe fiecare segment al partiției, funcția este dată de formula

La puncte, ia aceleași valori ca și funcția:

acestea. funcția realizează interpolarea liniară pe bucăți a funcției pe segment (Fig. 17).

Să calculăm integrala:

Acest rezultat are o semnificație geometrică simplă: o figură delimitată de jos de un segment de axă Oh, de sus printr-un segment al funcției (13), din laturi prin drepte verticale și , este un trapez cu baze de lungime și și înălțime h, a cărui suprafață este determinată de formula (14) (Fig. 17).

Integrala funcției pe întregul segment este suma integralelor (14):

Formula de cuadratura

dă o valoare aproximativă a integralei eu:

unde este termenul rămas (notație specială). În formula de cuadratura (16), care se numește formula de cuadratura trapezoidală , nodurile sunt punctele, factorii de greutate toți cu excepția doi la și sunt la fel și egali cu , iar coeficienții de greutate la și sunt egali cu . Formula (16) exprimă aria unui trapez curbiliniu, corespunzătoare integralei eu, prin suma ariilor trapezelor (14) (Fig. 17).

Formula (7) sau (7ʹ) pentru valoare a fost construită ca o sumă integrală. La derivarea formulei (15) pentru , nu a fost folosit conceptul de sumă integrală, dar poate fi considerat și ca sumă integrală. Prin urmare, dacă funcția este integrabilă pe , atunci prin definiția unei integrale definite

acestea. condiţiile de convergenţă pentru formula trapezoidală de cuadratura (16) sunt îndeplinite în acest caz.

Relațiile limită (17) demonstrează posibilitatea fundamentală de a calcula integrala definită a unei funcții integrabile arbitrare prin metoda trapezului cu orice precizie ε prin alegerea unui număr n punctele de despicare ale segmentului si pasul corespunzator h.

Să luăm în considerare principala întrebare legată de organizarea unui proces de calcul real: cum să luăm n pentru a obține precizia necesară la calcularea integralei definite (6) ε . Pentru a face acest lucru, este necesar să se evalueze termenul rezidual (eroare). În acest sens, integrandul trebuie să fie nu numai integrabil, ci și diferențiabil de două ori continuu pe intervalul . Dacă toate condițiile descrise mai sus sunt îndeplinite, atunci următoarea estimare este valabilă pentru termenul rămas

Unde M este un număr pozitiv care satisface condiția (11).

Pentru o precizie dată ε condiția (18) ne permite să determinăm numărul de noduri n, care trebuie folosit la calcularea integralei definite (6). Pentru a face acest lucru, este suficient să folosiți raportul

Exemplul 1 Calculați prin formula de cuadratura a trapezelor cu n= 3 integral

Comparați cu valoarea exactă a integralei.

Soluţie.

pentru că n= 3, apoi pas

Și având în vedere asta și:

Prin urmare, prin formula (15) avem

Prin urmare, .

Să comparăm valoarea aproximativă obținută cu valoarea exactă a integralei

Răspuns: , .

Exemplul 2 Determinați numărul de noduri n, care trebuie folosit pentru a calcula integrala folosind formula trapezoidală

cu o precizie de 0,01.

Soluţie.

Pentru determinare n, folosim relația (19)

Conform sarcinii şi ε = 0,01. Ținând cont de faptul că integrandul și derivatele sale prima și a doua sunt egale cu și , atunci pe segmentul de integrare avem = . Mijloace M= 1. Ca rezultat, obținem relația

Din care stabilim n:

ah, atunci hai să luăm n = 6.

Prin urmare, pentru a obține acuratețe ε = 0,01, trebuie să luați 7 noduri.

Răspuns:n = 6.

Exemplul 3 Calculați integrala folosind formula trapezoidală în cuadratura

cu o precizie de 0,01.

Soluţie.

Să determinăm mai întâi numărul de noduri n, care trebuie folosit pentru a calcula integrala. Conform sarcinii, ε = 0,01 și . pentru că

și pentru alergare

apoi M= 2. Înlocuirea valorilor A, b, ε și Mîn formula (12) obținem relația:

Din care găsim n.

ah, atunci hai să luăm n = 5.

pentru că n= 5, apoi pas

Să găsim valorile folosind relația

Și având în vedere că , și b :

Acum să calculăm valorile integrandului în punctele ,:

Prin urmare, prin formula (15) avem

Prin urmare, .

Răspuns: cu o precizie de 0,01.

Astăzi ne vom familiariza cu o altă metodă de integrare numerică, metoda trapezoidală. Cu ajutorul lui, vom calcula integrale definite cu un anumit grad de precizie. În articol, vom descrie esența metodei trapezului, vom analiza modul în care este derivată formula, vom compara metoda trapezului cu metoda dreptunghiului și vom nota estimarea erorii absolute a metodei. Vom ilustra fiecare dintre secțiuni cu exemple pentru o înțelegere mai profundă a materialului.

Să presupunem că trebuie să calculăm aproximativ integrala definită ∫ a b f (x) d x , al cărei integrand y = f (x) este continuu pe segmentul [ a ; b] . Pentru a face acest lucru, împărțim segmentul [ a ; b ] în mai multe intervale egale de lungime h cu punctele a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Să găsim pasul de partiție: h = b - a n . Definim noduri din egalitatea x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n .

Pe intervale elementare se consideră integralul x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . , n .

Cu o creștere infinită în n, reducem toate cazurile la cele mai simple patru opțiuni:

Selectați segmentele x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n . Să înlocuim funcția y = f (x) pe fiecare dintre grafice cu un segment de dreaptă care trece prin punctele cu coordonatele x i - 1 ; f x i - 1 și x i ; f x i . Le marchem în cifre cu albastru.

Să luăm expresia f (x i - 1) + f (x i) 2 h ca valoare aproximativă a integralei ∫ x i - 1 x dacă (x) d x . Acestea. se ia ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .

Să vedem de ce metoda de integrare numerică pe care o studiem se numește metoda trapezoidală. Pentru a face acest lucru, trebuie să aflăm ce înseamnă egalitatea aproximativă scrisă din punct de vedere al geometriei.

Pentru a calcula aria unui trapez, înmulțiți jumătate din sumele bazelor sale cu înălțimea. În primul caz, aria unui trapez curbiliniu este aproximativ egală cu un trapez cu baze f (x i - 1), f (x i) înălțimea h. În al patrulea dintre cazurile pe care le luăm în considerare, integrala dată ∫ x i - 1 x f (x) d x este aproximativ egală cu aria unui trapez cu baze - f (x i - 1) , - f (x i) și înălțime h, care trebuie luată cu semnul „-”. Pentru a calcula valoarea aproximativă a integralei definite ∫ x i - 1 x i f (x) d x în al doilea și al treilea dintre cazurile luate în considerare, trebuie să găsim diferența dintre ariile regiunilor roșie și albastră, pe care le-am marcat cu haşurarea în figura de mai jos.

Să rezumam. Esența metodei trapezoidale este următoarea: putem reprezenta integrala definită ∫ a b f (x) d x ca o sumă de integrale de forma ∫ x i - 1 x i f (x) d x pe fiecare segment elementar și în modificarea aproximativă ∫ ulterioară x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h.

Formula trapezoidală

Reamintim a cincea proprietate a integralei definite: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Pentru a obține formula metodei trapezoidale, în locul integralelor ∫ x i - 1 x i f (x) d x, înlocuiți valorile lor aproximative: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Definiția 1

Formula trapezoidala:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Estimarea erorii absolute a metodei trapezoidale

Să estimăm eroarea absolută a metodei trapezoidale după cum urmează:

Definiția 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

O ilustrare grafică a metodei trapezoidale este prezentată în figură:

Exemple de calcul

Să analizăm exemple de utilizare a metodei trapezului pentru calculul aproximativ al integralelor definite. Vom acorda o atenție deosebită două tipuri de sarcini:

• calculul unei integrale definite prin metoda trapezoidală pentru un număr dat de partiții ale segmentului n;
• găsirea unei valori aproximative a unei anumite integrale cu o precizie specificată.

Pentru un n dat, toate calculele intermediare trebuie efectuate cu un grad suficient de mare de precizie. Precizia calculelor ar trebui să fie mai mare, cu cât n mai mare.

Dacă avem o precizie dată de calculare a unei integrale definite, atunci toate calculele intermediare trebuie efectuate cu două sau mai multe ordine de mărime mai precis. De exemplu, dacă precizia este setată la 0.01, atunci efectuăm calcule intermediare cu o precizie de 0.0001 sau 0.00001. Pentru n mare, calculele intermediare trebuie efectuate cu o precizie și mai mare.

Să luăm ca exemplu regula de mai sus. Pentru a face acest lucru, comparăm valorile unei integrale definite calculate prin formula Newton-Leibniz și obținute prin metoda trapezului.

Deci, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .

Exemplul 1

Folosind metoda trapezoidală, calculăm integrala definită ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x pentru n egal cu 10 .

Soluţie

Formula pentru metoda trapezoidală este ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Pentru a aplica formula, trebuie să calculăm pasul h folosind formula h = b - a n , să determinăm nodurile x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n , calculați valorile integrandului f (x) = 7 x 2 + 1 .

Etapa de partiție se calculează astfel: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Pentru a calcula integrandul la nodurile x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n vom lua patru zecimale:

i \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 . 5 2 + 1 = 5 . 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

Să introducem rezultatele calculelor în tabel:

Înlocuiți valorile obținute în formula metodei trapezoidale: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 1 9 2 , 6 , 6

Să comparăm rezultatele noastre cu rezultatele calculate prin formula Newton-Leibniz. Valorile primite coincid până la sutimi.

Răspuns:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Exemplul 2

Folosind metoda trapezului, calculăm valoarea integralei definite ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x cu o precizie de 0 , 01 .

Soluţie

După condiţia problemei a = 1 ; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; 5n ≤ 0, 01.

Găsiți n , care este egal cu numărul de puncte de împărțire ale segmentului de integrare, folosind inegalitatea pentru estimarea erorii absolute δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . O vom face în felul următor: vom găsi valorile n pentru care inegalitatea m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . Dat n, formula trapezoidală ne va oferi o valoare aproximativă a unei anumite integrale cu o precizie dată.

Mai întâi, să găsim cea mai mare valoare a modulului derivatei a doua a funcției pe intervalul [ 1 ; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Funcția derivată a doua este o parabolă pătratică f "" (x) = x 2 . Din proprietățile sale știm că este pozitiv și crește pe segmentul [ 1 ; 2]. În acest sens, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

În exemplul dat, procesul de găsire a m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) sa dovedit a fi destul de simplu. În cazuri complexe, pentru calcule, vă puteți referi la cele mai mari și mai mici valori ale funcției. După ce luăm în considerare acest exemplu, prezentăm o metodă alternativă de găsire a m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Să substituim valoarea obţinută în inegalitatea m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 . 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 . 7735

Numărul de intervale elementare în care se împarte segmentul de integrare n este un număr natural. Pentru comportamentul de calcul, să luăm n egal cu șase. O astfel de valoare a lui n ne va permite să obținem precizia specificată a metodei trapezului cu un minim de calcule.

Să calculăm pasul: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Găsiți nodurile x i = a + i h , i = 1 , 0 , . . . , n , determinăm valorile integrandului la aceste noduri:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266. . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1, 983

Scriem rezultatele calculului sub forma unui tabel:

Înlocuim rezultatele obținute în formula trapezoidală:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054

Pentru a compara, calculăm integrala originală folosind formula Newton-Leibniz:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

După cum puteți vedea, am obținut precizia obținută a calculelor.

Răspuns: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054

Pentru integranții complecși, găsirea numărului n din inegalitatea pentru estimarea erorii absolute nu este întotdeauna ușoară. În acest caz, următoarea metodă ar fi adecvată.

Să notăm valoarea aproximativă a integralei definite, care a fost obținută prin metoda trapezului pentru n noduri, ca I n . Să alegem un număr arbitrar n . Folosind formula metodei trapezoidale, calculăm integrala inițială cu un număr simplu (n = 10) și dublu (n = 20) de noduri și găsim valoarea absolută a diferenței dintre cele două valori aproximative obținute I 20 - eu 10 .

Dacă valoarea absolută a diferenței dintre cele două valori aproximative obținute este mai mică decât precizia necesară I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Dacă valoarea absolută a diferenței dintre cele două valori aproximative obținute este mai mare decât precizia necesară, atunci este necesar să repetați pașii cu dublul numărului de noduri (n = 40).

Această metodă necesită o mulțime de calcule, așa că este înțelept să folosiți tehnologia computerizată pentru a economisi timp.

Să rezolvăm problema folosind algoritmul de mai sus. Pentru a economisi timp, omitem calculele intermediare folosind metoda trapezului.

Exemplul 3

Este necesar să se calculeze integrala definită ∫ 0 2 x e x d x folosind metoda trapezoidală cu o precizie de 0 , 001 .

Soluţie

Să luăm n egal cu 10 și 20 . Conform formulei trapezoidale, obținem I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, ceea ce necesită calcule suplimentare.

Să luăm n egal cu 40: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, care necesită și calcule suplimentare.

Să luăm n egal cu 80: I 80 = 8 , 3901585 .

I 80 - I 40 = 8,3901585 - 8,3934656 = 0,0033071 > 0,001, ceea ce necesită încă o dublare a numărului de noduri.

Să luăm n egal cu 160: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

Puteți obține o valoare aproximativă a integralei originale rotunjind I 160 = 8 , 3893317 la miimi: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

Pentru comparație, calculăm integrala definită inițială folosind formula Newton-Leibniz: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . Precizia cerută a fost atinsă.

Răspuns: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Erori

Calculele intermediare pentru a determina valoarea unei integrale definite sunt efectuate, în cea mai mare parte, aproximativ. Aceasta înseamnă că pe măsură ce n crește, eroarea de calcul începe să se acumuleze.

Să comparăm estimările erorilor absolute ale metodei trapezoidale și ale metodei dreptunghiurilor medii:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .

Metoda dreptunghiurilor pentru un n dat cu aceeași cantitate de lucru de calcul dă jumătate din eroare. Acest lucru face ca metoda să fie mai preferată în cazurile în care valorile funcției sunt cunoscute în segmentele mijlocii ale segmentelor elementare.

În acele cazuri în care funcțiile integrabile sunt specificate nu analitic, ci ca un set de valori la noduri, putem folosi metoda trapezoidală.

Dacă comparăm precizia metodei trapezoidale și metoda dreptunghiurilor drepte și stângi, atunci prima metodă o depășește pe a doua în acuratețea rezultatului.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter