CLOPOTUL

Sunt cei care citesc aceasta stire inaintea ta.
Abonați-vă pentru a primi cele mai recente articole.
E-mail
Nume
Nume de familie
Cum ți-ar plăcea să citești Clopoțelul
Fără spam

Să presupunem că trebuie să găsiți numărul mediu de zile în care sarcinile trebuie îndeplinite de diferiți angajați. De asemenea, doriți să calculați temperatura medie pentru o anumită zi pe o perioadă de 10 ani. Calcularea valorii medii pentru un grup de numere se poate face în mai multe moduri.

Funcția MEDIE calculează media, care este centrul unui set de numere într-o distribuție statistică. Există trei modalități cele mai comune de a determina media:

    Rău Aceasta este media aritmetică, care se calculează adunând un grup de numere și împărțindu-le la numărul acestor numere. De exemplu, media numerelor 2, 3, 3, 5, 7 și 10 este 5, care este rezultatul împărțirii sumei lor, care este 30, la numărul lor, care este 6.

    Median Numărul mijlociu al unui grup de numere. Jumătate dintre numere conțin valori mai mari decât mediana, iar jumătate dintre numere conțin valori mai mici decât mediana. De exemplu, mediana numerelor 2, 3, 3, 5, 7 și 10 este 4.

    Modă Numărul care apare cel mai frecvent într-un grup de numere. De exemplu, modul pentru numerele 2, 3, 3, 5, 7 și 10 ar fi 3.

Cu o distribuție simetrică a unui set de numere, toate cele trei valori ale tendinței centrale vor coincide. În distribuția deviată a unui grup de numere, acestea pot fi diferite.

Calculați valoarea medie în rândurile sau coloanele adiacente

Urmați pașii de mai jos.

Calcularea valorii medii dincolo de un rând sau coloană continuă

Pentru a îndeplini această sarcină, utilizați funcția IN MEDIE. Copiați tabelul de mai jos pe o foaie goală.

Calculul mediei ponderate

Pentru a îndeplini această sarcină, utilizați funcțiile SUMPRODUSși sumă. Exemplul WWIS calculează prețurile medii plătite pe unitate pentru trei achiziții, unde fiecare este pentru un articol diferit pe o unitate diferită.

Copiați tabelul de mai jos pe o foaie goală.

Pentru a găsi valoarea medie în Excel (fie că este o valoare numerică, textuală, procentuală sau altă valoare), există multe funcții. Și fiecare dintre ele are propriile sale caracteristici și avantaje. La urma urmei, anumite condiții pot fi stabilite în această sarcină.

De exemplu, valorile medii ale unei serii de numere în Excel sunt calculate folosind funcții statistice. De asemenea, puteți introduce manual propria formulă. Să luăm în considerare diverse opțiuni.

Cum se găsește media aritmetică a numerelor?

Pentru a găsi media aritmetică, adăugați toate numerele din mulțime și împărțiți suma la număr. De exemplu, notele unui student la informatică: 3, 4, 3, 5, 5. Ce este valabil pentru un sfert: 4. Am găsit media aritmetică folosind formula: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Cum se face rapid folosind funcțiile Excel? Luați de exemplu o serie de numere aleatorii dintr-un șir:

Sau: activați celula și introduceți pur și simplu manual formula: =AVERAGE(A1:A8).

Acum să vedem ce mai poate face funcția AVERAGE.


Aflați media aritmetică a primelor două și a ultimelor trei numere. Formula: =MEDIE(A1:B1;F1:H1). Rezultat:



Medie după stare

Condiția pentru aflarea mediei aritmetice poate fi un criteriu numeric sau unul text. Vom folosi funcția: =AVERAGEIF().

Aflați media aritmetică a numerelor care sunt mai mari sau egale cu 10.

Funcție: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")


Rezultatul utilizării funcției AVERAGEIF cu condiția „>=10”:

Al treilea argument - „Intervalul de mediere” - este omis. În primul rând, nu este necesar. În al doilea rând, intervalul analizat de program conține NUMAI valori numerice. În celulele specificate în primul argument, căutarea se va efectua conform condiției specificate în al doilea argument.

Atenţie! Criteriul de căutare poate fi specificat într-o celulă. Și în formula pentru a face o referire la ea.

Să găsim valoarea medie a numerelor după criteriul textului. De exemplu, vânzările medii ale produsului „tabele”.

Funcția va arăta astfel: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Interval - o coloană cu nume de produse. Criteriul de căutare este o legătură către o celulă cu cuvântul „tables” (puteți introduce cuvântul „tables” în loc de linkul A7). Interval de mediere - acele celule din care vor fi luate date pentru a calcula valoarea medie.

Ca rezultat al calculului funcției, obținem următoarea valoare:

Atenţie! Pentru un criteriu text (condiție), trebuie specificat intervalul de mediere.

Cum se calculează prețul mediu ponderat în Excel?

Cum știm prețul mediu ponderat?

Formula: =SUMPRODUS(C2:C12;B2:B12)/SUMA(C2:C12).


Folosind formula SUMPRODUCT, aflăm venitul total după vânzarea întregii cantități de mărfuri. Și funcția SUM - însumează cantitatea de mărfuri. Împărțind venitul total din vânzarea mărfurilor la numărul total de unități de mărfuri, am găsit prețul mediu ponderat. Acest indicator ține cont de „greutatea” fiecărui preț. Ponderea sa în masa totală a valorilor.

Abaterea standard: formula în Excel

Distingeți abaterea standard pentru populația generală și pentru eșantion. În primul caz, aceasta este rădăcina varianței generale. În al doilea, din varianța eșantionului.

Pentru a calcula acest indicator statistic, este compilată o formulă de dispersie. Rădăcina este luată din ea. Dar în Excel există o funcție gata făcută pentru găsirea abaterii standard.


Abaterea standard este legată de amploarea datelor sursă. Acest lucru nu este suficient pentru o reprezentare figurativă a variației intervalului analizat. Pentru a obține nivelul relativ de împrăștiere în date, se calculează coeficientul de variație:

abatere standard / medie aritmetică

Formula în Excel arată astfel:

STDEV (interval de valori) / AVERAGE (interval de valori).

Coeficientul de variație se calculează procentual. Prin urmare, setăm formatul procentual în celulă.

Media aritmetică - un indicator statistic care arată valoarea medie a unui anumit tablou de date. Un astfel de indicator este calculat ca o fracție, al cărei numărător este suma tuturor valorilor matricei, iar numitorul este numărul acestora. Media aritmetică este un coeficient important care este utilizat în calculele casnice.

Sensul coeficientului

Media aritmetică este un indicator elementar pentru compararea datelor și calcularea unei valori acceptabile. De exemplu, o cutie de bere de la un anumit producător este vândută în diferite magazine. Dar într-un magazin costă 67 de ruble, în altul - 70 de ruble, în al treilea - 65 de ruble, iar în ultimul - 62 de ruble. Există o gamă destul de mare de prețuri, așa că cumpărătorul va fi interesat de costul mediu al unei conserve, astfel încât atunci când cumpără un produs să-și poată compara costurile. În medie, o cutie de bere în oraș are un preț:

Prețul mediu = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 de ruble.

Cunoscând prețul mediu, este ușor să determinați unde este profitabil să cumpărați bunuri și unde va trebui să plătiți în exces.

Media aritmetică este utilizată constant în calculele statistice în cazurile în care este analizat un set omogen de date. În exemplul de mai sus, acesta este prețul unei cutii de bere de aceeași marcă. Cu toate acestea, nu putem compara prețul berii de la diferiți producători sau prețurile berii și limonadei, deoarece în acest caz răspândirea valorilor va fi mai mare, prețul mediu va fi neclar și nesigur și însuși sensul calculelor. va fi distorsionat la caricatura „temperatura medie în spital”. Pentru a calcula matrice de date eterogene, se utilizează media ponderată aritmetică, când fiecare valoare primește propriul factor de ponderare.

Calcularea mediei aritmetice

Formula de calcul este extrem de simplă:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

unde an este valoarea cantității, n este numărul total de valori.

La ce poate fi folosit acest indicator? Prima și evidentă utilizare a acestuia este în statistică. Aproape fiecare studiu statistic folosește media aritmetică. Aceasta poate fi vârsta medie de căsătorie în Rusia, nota medie la o materie pentru un student sau cheltuiala medie pe zi pentru alimente. După cum am menționat mai sus, fără a ține cont de ponderi, calculul mediilor poate da valori ciudate sau absurde.

De exemplu, președintele Federației Ruse a făcut o declarație că, conform statisticilor, salariul mediu al unui rus este de 27.000 de ruble. Pentru majoritatea oamenilor din Rusia, acest nivel de salariu părea absurd. Nu este surprinzător dacă calculul ține cont de veniturile oligarhilor, ale șefilor întreprinderilor industriale, ale marilor bancheri, pe de o parte, și ale salariilor profesorilor, curățătorilor și vânzătorilor, pe de altă parte. Chiar și salariile medii într-o specialitate, de exemplu, un contabil, vor avea diferențe serioase la Moscova, Kostroma și Ekaterinburg.

Cum se calculează mediile pentru date eterogene

În situațiile de salarizare, este important să se ia în considerare ponderea fiecărei valori. Aceasta înseamnă că salariilor oligarhilor și bancherilor li s-ar acorda o pondere de, de exemplu, 0,00001, iar salariile vânzătorilor ar fi 0,12. Acestea sunt numere din tavan, dar ele ilustrează aproximativ prevalența oligarhilor și a vânzătorilor în societatea rusă.

Astfel, pentru a calcula media mediilor sau valoarea medie într-o matrice de date eterogenă, este necesară utilizarea mediei ponderate aritmetice. În caz contrar, veți primi un salariu mediu în Rusia la nivelul de 27.000 de ruble. Dacă doriți să cunoașteți nota medie la matematică sau numărul mediu de goluri marcate de un jucător de hochei selectat, atunci calculatorul de medie aritmetică vi se va potrivi.

Programul nostru este un calculator simplu și convenabil pentru calcularea mediei aritmetice. Trebuie doar să introduceți valorile parametrilor pentru a efectua calcule.

Să ne uităm la câteva exemple

Calculul notei medii

Mulți profesori folosesc metoda mediei aritmetice pentru a determina o notă anuală la o materie. Să ne imaginăm că un copil ia următoarele note trimestriale la matematică: 3, 3, 5, 4. Ce notă anuală îi va acorda profesorul? Să folosim un calculator și să calculăm media aritmetică. Mai întâi, selectați numărul adecvat de câmpuri și introduceți valorile notă în celulele care apar:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Profesorul va rotunji valoarea în favoarea elevului, iar elevul va primi un patru solid pentru anul.

Calculul dulciurilor consumate

Să ilustrăm o oarecare absurditate a mediei aritmetice. Imaginează-ți că Masha și Vova au avut 10 dulciuri. Masha a mâncat 8 bomboane, iar Vova doar 2. Câte bomboane a mâncat în medie fiecare copil? Folosind un calculator, este ușor de calculat că, în medie, copiii au mâncat câte 5 dulciuri, ceea ce este complet neadevărat și de bun simț. Acest exemplu arată că media aritmetică este importantă pentru seturi de date semnificative.

Concluzie

Calculul mediei aritmetice este utilizat pe scară largă în multe domenii științifice. Acest indicator este popular nu numai în calculele statistice, ci și în fizică, mecanică, economie, medicină sau finanțe. Utilizați calculatoarele noastre ca asistent pentru rezolvarea problemelor de medie aritmetică.

În cele mai multe cazuri, datele sunt concentrate în jurul unui punct central. Astfel, pentru a descrie orice set de date, este suficient să indicați valoarea medie. Să luăm în considerare succesiv trei caracteristici numerice care sunt folosite pentru a estima valoarea medie a distribuției: media aritmetică, mediana și modul.

In medie

Media aritmetică (denumită adesea pur și simplu medie) este cea mai comună estimare a mediei unei distribuții. Este rezultatul împărțirii sumei tuturor valorilor numerice observate la numărul lor. Pentru un eșantion de numere X 1, X 2, ..., Xn, media eșantionului (notat cu simbolul ) egal \u003d (X 1 + X 2 + ... + Xn) / n, sau

unde este media eșantionului, n- marime de mostra, Xi– al-lea element al probei.

Descărcați nota în sau format, exemple în format

Luați în considerare calcularea mediei aritmetice a randamentelor medii anuale pe cinci ani a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat (Figura 1).

Orez. 1. Rentabilitatea medie anuală a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat

Media eșantionului se calculează după cum urmează:

Acesta este un randament bun, mai ales în comparație cu randamentul de 3-4% pe care l-au primit deponenții băncii sau uniunii de credit în aceeași perioadă de timp. Dacă sortați valorile randamentului, este ușor de observat că opt fonduri au un randament peste medie și șapte sub medie. Media aritmetică acționează ca un punct de echilibru, astfel încât fondurile cu venituri mici echilibrează fondurile cu venituri mari. Toate elementele eșantionului sunt implicate în calculul mediei. Niciunul dintre ceilalți estimatori ai mediei de distribuție nu are această proprietate.

Când se calculează media aritmetică. Deoarece media aritmetică depinde de toate elementele eșantionului, prezența valorilor extreme afectează în mod semnificativ rezultatul. În astfel de situații, media aritmetică poate distorsiona sensul datelor numerice. Prin urmare, atunci când se descrie un set de date care conține valori extreme, este necesar să se indice mediana sau media aritmetică și mediana. De exemplu, dacă rentabilitatea fondului RS Emerging Growth este eliminată din eșantion, media eșantionului a randamentului celor 14 fonduri scade cu aproape 1% până la 5,19%.

Median

Mediana este valoarea de mijloc a unui tablou ordonat de numere. Dacă matricea nu conține numere care se repetă, atunci jumătate din elementele sale vor fi mai mici și jumătate mai mult decât mediana. Dacă eșantionul conține valori extreme, este mai bine să folosiți mediana mai degrabă decât media aritmetică pentru a estima media. Pentru a calcula mediana unui eșantion, acesta trebuie mai întâi sortat.

Această formulă este ambiguă. Rezultatul depinde dacă numărul este par sau impar. n:

  • Dacă eșantionul conține un număr impar de articole, mediana este (n+1)/2-al-lea element.
  • Dacă eșantionul conține un număr par de elemente, mediana se află între cele două elemente din mijloc ale eșantionului și este egală cu media aritmetică calculată pentru aceste două elemente.

Pentru a calcula mediana pentru un eșantion de 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat, trebuie mai întâi să sortăm datele brute (Figura 2). Atunci mediana va fi opusă numărului elementului mijlociu al probei; în exemplul nostru numărul 8. Excel are o funcție specială =MEDIAN() care funcționează și cu tablouri neordonate.

Orez. 2. Median 15 fonduri

Astfel, mediana este 6,5. Aceasta înseamnă că jumătate din fondurile cu risc foarte mare nu depășesc 6,5, în timp ce cealaltă jumătate o fac. Rețineți că mediana de 6,5 este puțin mai mare decât mediana de 6,08.

Dacă eliminăm profitabilitatea fondului RS Emerging Growth din eșantion, atunci mediana celor 14 fonduri rămase va scădea la 6,2%, adică nu la fel de semnificativ ca media aritmetică (Fig. 3).

Orez. 3. Median 14 fonduri

Modă

Termenul a fost introdus pentru prima dată de Pearson în 1894. Moda este numărul care apare cel mai des în eșantion (cel mai la modă). Moda descrie bine, de exemplu, reacția tipică a șoferilor la un semnal de circulație pentru a opri traficul. Un exemplu clasic de utilizare a modei este alegerea mărimii lotului de pantofi produs sau a culorii tapetului. Dacă o distribuție are mai multe moduri, atunci se spune că este multimodală sau multimodală (are două sau mai multe „vârfuri”). Distribuția multimodală oferă informații importante despre natura variabilei studiate. De exemplu, în anchetele sociologice, dacă o variabilă reprezintă o preferință sau atitudine față de ceva, atunci multimodalitatea ar putea însemna că există mai multe opinii distinct diferite. Multimodalitatea servește, de asemenea, ca un indicator că eșantionul nu este omogen și observațiile pot fi generate de două sau mai multe distribuții „suprapuse”. Spre deosebire de media aritmetică, valorile aberante nu afectează modul. Pentru variabile aleatoare distribuite continuu, cum ar fi randamentul mediu anual al fondurilor mutuale, modul uneori nu există deloc (sau nu are sens). Deoarece acești indicatori pot lua o varietate de valori, valorile repetate sunt extrem de rare.

Quartile

Quartilele sunt măsuri care sunt utilizate cel mai frecvent pentru a evalua distribuția datelor atunci când descriu proprietățile eșantioanelor numerice mari. În timp ce mediana împarte matricea ordonată în jumătate (50% din elementele matricei sunt mai mici decât mediana și 50% sunt mai mari), quartilele împart setul de date ordonat în patru părți. Valorile Q 1 , mediana și Q 3 sunt percentilele 25, 50 și, respectiv, 75. Prima cuartilă Q 1 este un număr care împarte eșantionul în două părți: 25% dintre elemente sunt mai mici decât și 75% sunt mai mult decât prima cuartilă.

A treia cuartilă Q 3 este un număr care împarte eșantionul în două părți: 75% dintre elemente sunt mai mici decât și 25% sunt mai mult decât a treia cuartilă.

Pentru a calcula quartile în versiunile de Excel anterioare anului 2007, a fost folosită funcția =QUARTILE(array, part). Începând cu Excel 2010, se aplică două funcții:

  • =QUARTILE.ON(matrice, parte)
  • =QUARTILE.EXC(matrice, parte)

Aceste două funcții dau valori ușor diferite (Figura 4). De exemplu, atunci când se calculează quartilele pentru un eșantion care conține date privind randamentul anual mediu a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat, Q 1 = 1,8 sau -0,7 pentru QUARTILE.INC și, respectiv, QUARTILE.EXC. Apropo, funcția QUARTILE folosită mai devreme corespunde funcției moderne QUARTILE.ON. Pentru a calcula quartile în Excel folosind formulele de mai sus, matricea de date poate fi lăsată neordonată.

Orez. 4. Calculați quartile în Excel

Să subliniem din nou. Excel poate calcula quartile pentru univariat serie discretă, care conține valorile unei variabile aleatoare. Calculul quartilelor pentru o distribuție bazată pe frecvență este prezentat în secțiunea de mai jos.

medie geometrică

Spre deosebire de media aritmetică, media geometrică măsoară cât de mult s-a schimbat o variabilă în timp. Media geometrică este rădăcina n gradul de la produs n valori (în Excel se folosește funcția = CUGEOM):

G= (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

Un parametru similar - media geometrică a ratei de rentabilitate - este determinat de formula:

G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

Unde R i- rata de rentabilitate i-a-a perioadă de timp.

De exemplu, să presupunem că investiția inițială este de 100 000 USD. Până la sfârșitul primului an, scade la 50 000 USD și, la sfârșitul celui de-al doilea an, se recuperează la 100 000 USD inițial. Rata de rentabilitate a acestei investiții peste un perioada anului este egală cu 0, deoarece suma inițială și finală a fondurilor sunt egale între ele. Cu toate acestea, media aritmetică a ratelor anuale de rentabilitate este = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 sau 25%, deoarece rata rentabilității în primul an R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = -0,5 și în al doilea R 2 = (100.000 - 50.000) / 50.000 = 1. În același timp, media geometrică a ratei rentabilității pe doi ani este: G = [(1–0,5) * (1 + 1 )] 1 /2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Astfel, media geometrică reflectă mai exact modificarea (mai precis, nicio modificare) a volumului investițiilor pe parcursul bienului decât media aritmetică.

Fapte interesante.În primul rând, media geometrică va fi întotdeauna mai mică decât media aritmetică a acelorași numere. Cu excepția cazului în care toate numerele luate sunt egale între ele. În al doilea rând, luând în considerare proprietățile unui triunghi dreptunghic, se poate înțelege de ce media se numește geometrică. Înălțimea unui triunghi dreptunghic, coborât la ipotenuză, este media proporțională dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză, iar fiecare catete este media proporțională dintre ipotenuză și proiecția acesteia pe ipotenuză (Fig. 5). Aceasta oferă o modalitate geometrică de a construi media geometrică a două (lungimi) segmente: trebuie să construiți un cerc pe suma acestor două segmente ca diametru, apoi înălțimea, restabilită de la punctul de conectare la intersecția cu cerc, va da valoarea dorită:

Orez. 5. Natura geometrică a mediei geometrice (figura de pe Wikipedia)

A doua proprietate importantă a datelor numerice este lor variație caracterizarea gradului de dispersie a datelor. Două mostre diferite pot diferi atât în ​​ceea ce privește valorile medii, cât și în variații. Totuși, așa cum se arată în fig. 6 și 7, două eșantioane pot avea aceeași variație, dar medii diferite, sau aceeași medie și variație complet diferită. Datele corespunzătoare poligonului B din Fig. 7 se schimbă mult mai puțin decât datele din care a fost construit poligonul A.

Orez. 6. Două distribuții simetrice în formă de clopot cu aceeași răspândire și valori medii diferite

Orez. 7. Două distribuții simetrice în formă de clopot cu aceleași valori medii și dispersie diferită

Există cinci estimări ale variației datelor:

  • span,
  • intervalul intercuartil,
  • dispersie,
  • deviație standard,
  • coeficientul de variație.

domeniul de aplicare

Intervalul este diferența dintre cele mai mari și cele mai mici elemente ale eșantionului:

Glisați = XMax-XMin

Intervalul unui eșantion care conține date privind randamentele medii anuale a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat poate fi calculat utilizând o matrice ordonată (vezi Figura 4): interval = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Aceasta înseamnă că diferența dintre rentabilitatea medie anuală cea mai mare și cea mai scăzută pentru fondurile cu risc foarte ridicat este de 24,6%.

Intervalul măsoară răspândirea globală a datelor. Deși intervalul de eșantion este o estimare foarte simplă a răspândirii totale a datelor, slăbiciunea sa este că nu ia în considerare exact modul în care datele sunt distribuite între elementele minime și maxime. Acest efect este bine văzut în fig. 8 care ilustrează mostre având același interval. Scara B arată că, dacă eșantionul conține cel puțin o valoare extremă, intervalul de eșantion este o estimare foarte inexactă a răspândirii datelor.

Orez. 8. Comparația a trei probe cu același interval; triunghiul simbolizează suportul balanței, iar amplasarea acesteia corespunde valorii medii a probei

Intervalul intercuartil

Intervalul intercuartil, sau media, este diferența dintre a treia și prima cuartilă a eșantionului:

Interval intercuartil \u003d Q 3 - Q 1

Această valoare face posibilă estimarea răspândirii a 50% din elemente și să nu se țină cont de influența elementelor extreme. Intervalul interquartil pentru un eșantion care conține date privind randamentele anuale medii a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat poate fi calculat folosind datele din Figura 2. 4 (de exemplu, pentru funcția QUARTILE.EXC): Interval interquartil = 9,8 - (-0,7) = 10,5. Intervalul dintre 9,8 și -0,7 este adesea denumit jumătatea mijlocie.

Trebuie remarcat faptul că valorile Q 1 și Q 3 și, prin urmare, intervalul intercuartil, nu depind de prezența valorilor aberante, deoarece calculul lor nu ia în considerare nicio valoare care ar fi mai mică decât Q 1 sau mai mare decât Q 3 . Caracteristicile cantitative totale, cum ar fi mediana, primul și al treilea quartile și intervalul intercuartil, care nu sunt afectate de valori aberante, se numesc indicatori robusti.

În timp ce intervalul și intervalul intercuartil oferă o estimare a dispersiei totale și, respectiv, medie a eșantionului, niciuna dintre estimări nu ia în considerare modul în care sunt distribuite datele. Varianta si abaterea standard liber de acest neajuns. Acești indicatori vă permit să evaluați gradul de fluctuație a datelor în jurul mediei. Varianta eșantionului este o aproximare a mediei aritmetice calculată din diferențele pătrate dintre fiecare element eșantion și media eșantionului. Pentru un eșantion de X 1 , X 2 , ... X n varianța eșantionului (notat cu simbolul S 2 este dată de următoarea formulă:

În general, varianța eșantionului este suma diferențelor pătrate dintre elementele eșantionului și media eșantionului, împărțită la o valoare egală cu dimensiunea eșantionului minus unu:

Unde - medie aritmetică, n- marime de mostra, X i - i-al-lea element de probă X. În Excel înainte de versiunea 2007, funcția =VAR() a fost folosită pentru a calcula varianța eșantionului, din versiunea 2010, este folosită funcția =VAR.V().

Cea mai practică și larg acceptată estimare a împrăștierii datelor este deviație standard. Acest indicator este notat cu simbolul S și este egal cu rădăcina pătrată a varianței eșantionului:

În Excel înainte de versiunea 2007, se folosea funcția =STDEV() pentru a calcula abaterea standard, din versiunea 2010 se folosește funcția =STDEV.B(). Pentru a calcula aceste funcții, matricea de date poate fi neordonată.

Nici varianța eșantionului, nici abaterea standard a eșantionului nu pot fi negative. Singura situație în care indicatorii S 2 și S pot fi zero este dacă toate elementele eșantionului sunt egale. În acest caz complet improbabil, intervalul și intervalul intercuartil sunt, de asemenea, zero.

Datele numerice sunt în mod inerent volatile. Orice variabilă poate lua multe valori diferite. De exemplu, diferite fonduri mutuale au rate diferite de rentabilitate și pierdere. Datorită variabilității datelor numerice, este foarte important să se studieze nu numai estimări ale mediei, care sunt de natură sumativă, ci și estimări ale varianței, care caracterizează împrăștierea datelor.

Varianța și abaterea standard ne permit să estimăm răspândirea datelor în jurul mediei, cu alte cuvinte, să determinăm câte elemente ale eșantionului sunt mai mici decât media și câte sunt mai mari. Dispersia are unele proprietăți matematice valoroase. Cu toate acestea, valoarea sa este pătratul unei unități de măsură - un procent pătrat, un dolar pătrat, un inch pătrat etc. Prin urmare, o estimare naturală a varianței este abaterea standard, care este exprimată în unitățile obișnuite de măsură - procente din venit, dolari sau inci.

Abaterea standard vă permite să estimați cantitatea de fluctuație a elementelor eșantionului în jurul valorii medii. În aproape toate situațiile, majoritatea valorilor observate se află în plus sau minus o abatere standard de la medie. Prin urmare, cunoscând media aritmetică a elementelor eșantionului și abaterea standard a eșantionului, este posibil să se determine intervalul căruia îi aparține cea mai mare parte a datelor.

Abaterea standard a randamentelor a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat este de 6,6 (Figura 9). Aceasta înseamnă că profitabilitatea majorității fondurilor diferă de valoarea medie cu cel mult 6,6% (adică fluctuează în intervalul de la – S= 6,2 – 6,6 = –0,4 la +S= 12,8). De fapt, acest interval conține o rentabilitate anuală medie pe cinci ani de 53,3% (8 din 15) din fonduri.

Orez. 9. Abaterea standard

Rețineți că în procesul de însumare a diferențelor pătrate, articolele care sunt mai îndepărtate de medie câștigă mai multă greutate decât articolele care sunt mai apropiate. Această proprietate este principalul motiv pentru care media aritmetică este cel mai des folosită pentru a estima media unei distribuții.

Coeficientul de variație

Spre deosebire de estimările anterioare de dispersie, coeficientul de variație este o estimare relativă. Este întotdeauna măsurat ca procent, nu în unitățile de date originale. Coeficientul de variație, notat cu simbolurile CV, măsoară împrăștierea datelor în jurul mediei. Coeficientul de variație este egal cu abaterea standard împărțită la media aritmetică și înmulțită cu 100%:

Unde S- abaterea standard a probei, - medie eșantionului.

Coeficientul de variație vă permite să comparați două eșantioane, ale căror elemente sunt exprimate în unități de măsură diferite. De exemplu, managerul unui serviciu de livrare poștă intenționează să modernizeze flota de camioane. La încărcarea pachetelor, există două tipuri de restricții de luat în considerare: greutatea (în lire sterline) și volumul (în picioare cubi) ale fiecărui pachet. Să presupunem că, într-un eșantion de 200 de saci, greutatea medie este de 26,0 lire sterline, abaterea standard a greutății este de 3,9 lire sterline, volumul mediu al pachetului este de 8,8 picioare cubi, iar abaterea standard a volumului este de 2,2 picioare cubi. Cum să comparăm răspândirea greutății și volumului pachetelor?

Deoarece unitățile de măsură pentru greutate și volum diferă între ele, managerul trebuie să compare răspândirea relativă a acestor valori. Coeficientul de variație a greutății este CV W = 3,9 / 26,0 * 100% = 15%, iar coeficientul de variație a volumului CV V = 2,2 / 8,8 * 100% = 25%. Astfel, împrăștierea relativă a volumelor de pachete este mult mai mare decât împrăștierea relativă a greutăților lor.

Formular de distribuire

A treia proprietate importantă a eșantionului este forma distribuției sale. Această distribuție poate fi simetrică sau asimetrică. Pentru a descrie forma unei distribuții, este necesar să se calculeze media și mediana acesteia. Dacă aceste două măsuri sunt aceleași, se spune că variabila este distribuită simetric. Dacă valoarea medie a unei variabile este mai mare decât mediana, distribuția ei are o asimetrie pozitivă (Fig. 10). Dacă mediana este mai mare decât media, distribuția variabilei este denaturată negativ. Deformarea pozitivă apare atunci când media crește la valori neobișnuit de ridicate. Deformarea negativă apare atunci când media scade la valori neobișnuit de mici. O variabilă este distribuită simetric dacă nu ia valori extreme în nicio direcție, astfel încât valorile mari și mici ale variabilei se anulează reciproc.

Orez. 10. Trei tipuri de distribuții

Datele prezentate pe scara A au o asimetrie negativă. Această figură arată o coadă lungă și o oblică la stânga cauzate de valori neobișnuit de mici. Aceste valori extrem de mici modifică valoarea medie spre stânga și devine mai mică decât mediana. Datele prezentate pe scara B sunt distribuite simetric. Jumătățile stânga și dreapta ale distribuției sunt imaginile lor în oglindă. Valorile mari și mici se echilibrează reciproc, iar media și mediana sunt egale. Datele afișate pe scara B au o asimetrie pozitivă. Această figură arată o coadă lungă și înclinată spre dreapta, cauzată de prezența unor valori neobișnuit de ridicate. Aceste valori prea mari mută media spre dreapta și devine mai mare decât mediana.

În Excel, statisticile descriptive pot fi obținute folosind programul de completare Pachet de analize. Treceți prin meniu DateAnaliza datelor, în fereastra care se deschide, selectați linia Statisticile descriptiveși faceți clic Bine. La fereastră Statisticile descriptive asigurați-vă că indicați interval de intrare(Fig. 11). Dacă doriți să vedeți statistici descriptive pe aceeași foaie cu datele originale, selectați butonul radio interval de ieșireși specificați celula în care doriți să plasați colțul din stânga sus al statisticilor afișate (în exemplul nostru, $C$1). Dacă doriți să trimiteți date într-o foaie nouă sau într-un registru de lucru nou, pur și simplu selectați butonul radio corespunzător. Bifați caseta de lângă Statistici finale. Opțional, puteți alege Nivel de dificultate,k-a cel mai mic șik-a cea mai mare.

Dacă în depozit Dateîn zonă Analiză nu vezi pictograma Analiza datelor, mai întâi trebuie să instalați suplimentul Pachet de analize(vezi, de exemplu,).

Orez. 11. Statistici descriptive ale randamentelor medii anuale pe cinci ani ale fondurilor cu niveluri foarte ridicate de risc, calculate folosind add-on-ul Analiza datelor programe Excel

Excel calculează un număr de statistici discutate mai sus: medie, mediană, mod, abatere standard, varianță, interval ( interval), minim, maxim și dimensiunea eșantionului ( Verifica). În plus, Excel calculează câteva statistici noi pentru noi: eroare standard, curtoză și asimetrie. eroare standard este egal cu abaterea standard împărțită la rădăcina pătrată a dimensiunii eșantionului. Asimetrie caracterizează abaterea de la simetria distribuţiei şi este o funcţie care depinde de cubul de diferenţe dintre elementele probei şi valoarea medie. Kurtosis este o măsură a concentrației relative a datelor în jurul mediei față de cozile distribuției și depinde de diferențele dintre eșantion și media ridicată la a patra putere.

Calculul statisticilor descriptive pentru populația generală

Media, împrăștierea și forma distribuției discutate mai sus sunt caracteristici bazate pe eșantion. Cu toate acestea, dacă setul de date conține măsurători numerice ale întregii populații, atunci parametrii acestuia pot fi calculați. Acești parametri includ media, varianța și abaterea standard a populației.

Valorea estimata este egală cu suma tuturor valorilor populației generale împărțită la volumul populației generale:

Unde µ - valorea estimata, Xi- i-a-a observație variabilă X, N- volumul populaţiei generale. În Excel, pentru a calcula așteptările matematice, se folosește aceeași funcție ca și pentru media aritmetică: =AVERAGE().

Varianta populatiei egal cu suma diferenţelor pătrate dintre elementele populaţiei generale şi mat. așteptări împărțite la dimensiunea populației:

Unde σ2 este varianța populației generale. Excel înainte de versiunea 2007 folosește funcția =VAR() pentru a calcula varianța populației, începând cu versiunea 2010 =VAR.G().

abaterea standard a populației este egală cu rădăcina pătrată a varianței populației:

Excel înainte de versiunea 2007 folosește =STDEV() pentru a calcula abaterea standard a populației, începând cu versiunea 2010 =STDEV.Y(). Rețineți că formulele pentru varianța populației și abaterea standard sunt diferite de formulele pentru varianța eșantionului și abaterea standard. La calcularea statisticilor eșantionului S2și S numitorul fracției este n - 1, iar la calcularea parametrilor σ2și σ - volumul populaţiei generale N.

regula generală

În majoritatea situațiilor, o mare parte a observațiilor sunt concentrate în jurul mediei, formând un cluster. În seturile de date cu asimetrie pozitivă, acest cluster este situat la stânga (adică, dedesubt) așteptării matematice, iar în seturile cu asimetrie negativă, acest cluster este situat la dreapta (adică, deasupra) așteptării matematice. Datele simetrice au aceeași medie și aceeași mediană, iar observațiile se grupează în jurul mediei, formând o distribuție în formă de clopot. Dacă distribuția nu are o asimetrie pronunțată, iar datele sunt concentrate în jurul unui anumit centru de greutate, se poate folosi o regulă generală pentru a estima variabilitatea, care spune: dacă datele au o distribuție în formă de clopot, atunci aproximativ 68% dintre observații se află la o abatere standard a așteptărilor matematice, Aproximativ 95% dintre observații sunt la două abateri standard ale valorii așteptate și 99,7% dintre observații sunt în trei deviații standard ale valorii așteptate.

Astfel, abaterea standard, care este o estimare a fluctuației medii în jurul așteptărilor matematice, ajută la înțelegerea modului în care sunt distribuite observațiile și la identificarea valorii aberante. Din regula generală rezultă că, pentru distribuțiile în formă de clopot, doar o valoare din douăzeci diferă de așteptarea matematică cu mai mult de două abateri standard. Prin urmare, valorile în afara intervalului µ ± 2σ, pot fi considerate valori aberante. În plus, doar trei din 1000 de observații diferă de așteptările matematice cu mai mult de trei abateri standard. Astfel, valorile în afara intervalului µ ± 3σ sunt aproape întotdeauna valori aberante. Pentru distribuțiile care sunt foarte denaturate sau nu au formă de clopot, se poate aplica regula generală Biename-Chebyshev.

În urmă cu mai bine de o sută de ani, matematicienii Bienamay și Chebyshev au descoperit în mod independent o proprietate utilă a deviației standard. Ei au descoperit că pentru orice set de date, indiferent de forma distribuției, procentul de observații care se află la o distanță care nu depășește k abateri standard de la așteptările matematice, nu mai puțin (1 – 1/ 2)*100%.

De exemplu, dacă k= 2, regula Biename-Chebyshev prevede că cel puțin (1 - (1/2) 2) x 100% = 75% din observații trebuie să se afle în interval µ ± 2σ. Această regulă este valabilă pentru orice k depășind unul. Regula Biename-Chebyshev este de natură foarte generală și este valabilă pentru distribuții de orice fel. Indică numărul minim de observații, distanța de la care până la așteptarea matematică nu depășește o valoare dată. Cu toate acestea, dacă distribuția este în formă de clopot, regula generală estimează mai precis concentrația datelor în jurul mediei.

Calcularea statisticilor descriptive pentru o distribuție bazată pe frecvență

Dacă datele originale nu sunt disponibile, distribuția de frecvență devine singura sursă de informații. În astfel de situații, puteți calcula valorile aproximative ale indicatorilor cantitativi ai distribuției, cum ar fi media aritmetică, abaterea standard, quartilele.

Dacă datele eșantionului sunt prezentate ca o distribuție de frecvență, se poate calcula o valoare aproximativă a mediei aritmetice, presupunând că toate valorile din fiecare clasă sunt concentrate la mijlocul clasei:

Unde - medie eșantion, n- numărul de observații sau dimensiunea eșantionului, cu- numărul de clase din distribuția de frecvență, mj- punctul de mijloc j- clasa a-a, fj- frecventa corespunzatoare j- clasa a-a.

Pentru a calcula abaterea standard de la distribuția frecvenței, se presupune, de asemenea, că toate valorile din cadrul fiecărei clase sunt concentrate la mijlocul clasei.

Pentru a înțelege cum sunt determinate quartilele seriei pe baza frecvențelor, să luăm în considerare calculul quartilei inferioare pe baza datelor pentru anul 2013 privind distribuția populației ruse în funcție de venitul în numerar mediu pe cap de locuitor (Fig. 12).

Orez. 12. Ponderea populației Rusiei cu venit monetar pe cap de locuitor în medie pe lună, ruble

Pentru a calcula prima quartila a seriei de variații de interval, puteți folosi formula:

unde Q1 este valoarea primului cuartil, xQ1 este limita inferioară a intervalului care conține primul cuartil (intervalul este determinat de frecvența acumulată, prima depășind 25%); i este valoarea intervalului; Σf este suma frecvențelor întregului eșantion; probabil întotdeauna egal cu 100%; SQ1–1 este frecvența cumulativă a intervalului care precede intervalul care conține quartila inferioară; fQ1 este frecvența intervalului care conține quartila inferioară. Formula pentru a treia cuartilă diferă prin aceea că în toate locurile, în loc de Q1, trebuie să utilizați Q3 și să înlocuiți ¾ în loc de ¼.

În exemplul nostru (Fig. 12), quartila inferioară se află în intervalul 7000,1 - 10.000, a cărei frecvență cumulată este de 26,4%. Limita inferioară a acestui interval este de 7000 de ruble, valoarea intervalului este de 3000 de ruble, frecvența acumulată a intervalului care precede intervalul care conține quartila inferioară este de 13,4%, frecvența intervalului care conține quartila inferioară este de 13,0%. Astfel: Q1 \u003d 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13,4) / 13 \u003d 9677 ruble.

Capcanele asociate cu statisticile descriptive

În această notă, am analizat cum să descriem un set de date folosind diverse statistici care estimează media, dispersia și distribuția acestuia. Următorul pas este analiza și interpretarea datelor. Până acum, am studiat proprietățile obiective ale datelor, iar acum ne întoarcem la interpretarea subiectivă a acestora. Două greșeli îl așteaptă pe cercetător: un subiect de analiză ales incorect și o interpretare incorectă a rezultatelor.

O analiză a performanței a 15 fonduri mutuale cu risc foarte ridicat este destul de imparțială. El a condus la concluzii complet obiective: toate fondurile mutuale au randamente diferite, spread-ul randamentelor fondurilor variază de la -6,1 la 18,5, iar randamentul mediu este de 6,08. Obiectivitatea analizei datelor este asigurată de alegerea corectă a indicatorilor cantitativi totali ai distribuţiei. Au fost luate în considerare mai multe metode de estimare a mediei și dispersării datelor și au fost indicate avantajele și dezavantajele acestora. Cum să alegi statisticile potrivite care să ofere o analiză obiectivă și imparțială? Dacă distribuția datelor este ușor denaturată, ar trebui să fie aleasă mediana față de media aritmetică? Care indicator caracterizează mai exact răspândirea datelor: abaterea standard sau intervalul? Ar trebui indicată asimetria pozitivă a distribuției?

Pe de altă parte, interpretarea datelor este un proces subiectiv. Oameni diferiți ajung la concluzii diferite, interpretând aceleași rezultate. Fiecare are punctul lui de vedere. Cineva consideră că randamentele totale medii anuale a 15 fonduri cu un nivel de risc foarte ridicat sunt bune și este destul de mulțumit de veniturile primite. Alții pot crede că aceste fonduri au randamente prea mici. Astfel, subiectivitatea ar trebui compensată de onestitate, neutralitate și claritatea concluziilor.

Probleme etice

Analiza datelor este indisolubil legată de problemele etice. Ar trebui să fim critici cu privire la informațiile difuzate de ziare, radio, televiziune și internet. De-a lungul timpului, vei învăța să fii sceptic nu numai în ceea ce privește rezultatele, ci și în ceea ce privește obiectivele, subiectul și obiectivitatea cercetării. Celebrul politician britanic Benjamin Disraeli a spus-o cel mai bine: „Există trei feluri de minciuni: minciuni, minciuni blestemate și statistici”.

După cum se menționează în notă, la alegerea rezultatelor care ar trebui prezentate în raport apar probleme etice. Ar trebui publicate atât rezultatele pozitive, cât și cele negative. În plus, la realizarea unui raport sau raport scris, rezultatele trebuie prezentate onest, neutru și obiectiv. Distingeți între prezentările proaste și necinstite. Pentru a face acest lucru, este necesar să se determine care au fost intențiile vorbitorului. Uneori, vorbitorul omite informații importante din ignoranță și alteori în mod deliberat (de exemplu, dacă folosește media aritmetică pentru a estima media datelor clar denaturate pentru a obține rezultatul dorit). De asemenea, este necinstit să suprimi rezultate care nu corespund punctului de vedere al cercetătorului.

Sunt folosite materiale din cartea Levin et al. Statistici pentru manageri. - M.: Williams, 2004. - p. 178–209

Funcția QUARTILE reținută pentru a se alinia cu versiunile anterioare de Excel

Salariul mediu... Speranța medie de viață... Aproape în fiecare zi auzim aceste expresii folosite pentru a descrie o mulțime cu un singur număr. Dar, în mod ciudat, „valoarea medie” este un concept destul de insidios, care induce adesea în eroare o persoană obișnuită care nu are experiență în statistici matematice.

Care este problema?

Valoarea medie înseamnă cel mai adesea media aritmetică, care variază foarte mult sub influența unor fapte sau evenimente individuale. Și nu vă veți face o idee reală despre cum sunt distribuite exact valorile pe care le învățați.

Să luăm un exemplu clasic de salariu mediu.

O companie abstractă are zece angajați. Nouă dintre ei primesc un salariu de aproximativ 50.000 de ruble, iar unul de 1.500.000 de ruble (printr-o ciudată coincidență, el este și directorul general al acestei companii).

Valoarea medie în acest caz va fi de 195.150 de ruble, ceea ce, vedeți, este greșit.

Care sunt modalitățile de a calcula media?

Prima modalitate este de a calcula cele deja menționate medie aritmetică, care este suma tuturor valorilor împărțită la numărul lor.

  • x – medie aritmetică;
  • x n - valoare specifică;
  • n - numărul de valori.
  • Funcționează bine cu o distribuție normală a valorilor în eșantion;
  • Ușor de calculat;
  • Intuitiv.
  • Nu oferă o idee reală despre distribuția valorilor;
  • O cantitate instabilă care este ușor aruncată (ca în cazul CEO-ului).

A doua modalitate este de a calcula Modă, care este valoarea care apare cel mai frecvent.

  • M 0 - mod;
  • x0 este limita inferioară a intervalului care conține modul;
  • n este valoarea intervalului;
  • f m - frecvență (de câte ori apare o anumită valoare într-o serie);
  • f m-1 - frecvența intervalului premergător modalului;
  • f m+1 este frecvența intervalului care urmează modalului.
  • Excelent pentru a obține un simț al opiniei publice;
  • Bun pentru date non-numerice (culori ale sezonului, bestselleruri, evaluări);
  • Ușor de înțeles.
  • Moda poate pur și simplu să nu existe (fără repetări);
  • Pot exista mai multe moduri (distribuție multimodală).

A treia modalitate este de a calcula mediane, adică valoarea care împarte proba comandată în două jumătăți și se află între ele. Și dacă nu există o astfel de valoare, atunci media aritmetică dintre limitele jumătăților eșantionului este luată ca mediană.

  • M e este mediana;
  • x0 este limita inferioară a intervalului care conține mediana;
  • h este valoarea intervalului;
  • f i - frecvența (de câte ori apare o anumită valoare într-o serie);
  • S m-1 - suma frecvențelor intervalelor care preced mediana;
  • f m este numărul de valori din intervalul median (frecvența acestuia).
  • Oferă cea mai realistă și reprezentativă estimare;
  • Rezistent la emisii.
  • Este mai dificil de calculat, deoarece eșantionul trebuie comandat înainte de calcul.

Am luat în considerare metodele de bază pentru găsirea valorii medii, numite măsuri de tendinţă centrală(de fapt sunt mai multe, dar acestea sunt cele mai populare).

Acum să revenim la exemplul nostru și să calculăm toate cele trei variante ale mediei folosind funcții speciale Excel:

  • MEDIE(număr1;[număr2];…) — funcție pentru determinarea mediei aritmetice;
  • FASHION.ONE(număr1,[număr2],...) - funcție de modă (versiunile mai vechi de Excel foloseau FASHION(număr1,[număr2],...));
  • MEDIAN(număr1;[număr2];...) este o funcție pentru găsirea medianei.

Și iată care sunt valorile pe care le avem:

În acest caz, modul și mediana caracterizează mult mai bine salariul mediu în companie.

Dar ce să faci când nu există 10 valori în eșantion, ca în exemplu, ci milioane? În Excel, acest lucru nu poate fi calculat, dar în baza de date în care sunt stocate datele dvs., nicio problemă.

Calculați media aritmetică în SQL

Totul este destul de simplu aici, deoarece SQL oferă o funcție de agregare specială AVG .

Și pentru a-l folosi, este suficient să scrieți următoarea interogare:

Calcularea modului în SQL

SQL nu are o funcție separată pentru găsirea modului, dar îl puteți scrie ușor și rapid. Pentru a face acest lucru, trebuie să aflăm care dintre salarii se repetă cel mai des și să-l alegem pe cel mai popular.

Să scriem o interogare:

/* WITH TIES trebuie adăugat la TOP() dacă setul este multimodal, adică setul are mai multe moduri */ SELECTARE TOP(1) WITH TIES salariul CA „Modul salarial” FROM angajații GROUP BY salari ORDER BY COUNT(*) DESC

Calculați mediana în SQL

Ca și în cazul modei, SQL nu are o funcție încorporată pentru calcularea mediei, dar are o funcție generică pentru calcularea percentilelor PERCENTILE_CONT .

Totul arată așa:

/* În acest caz, percentila de 0,5 va fi mediana */ SELECTARE TOP(1) PERCENTILE_CONT(0.5) WITHIN GROUP (ORDER BY salary) OVER() AS "Salariu mediu" FROM angajaților

Este mai bine să citiți mai multe despre funcționarea funcției PERCENTILE_CONT cu ajutorul Microsoft și Google BigQuery .

Ce mod de a folosi oricum?

Din cele de mai sus rezultă că mediana este cea mai bună modalitate de a calcula valoarea medie.

Dar nu este întotdeauna cazul. Dacă lucrați cu media, atunci aveți grijă la distribuția multimodală:

Graficul prezintă o distribuție bimodală cu două vârfuri. O astfel de situație poate apărea, de exemplu, la vot în alegeri.

În acest caz, media aritmetică și mediana sunt valori undeva la mijloc și nu vor spune nimic despre ceea ce se întâmplă cu adevărat și este mai bine să recunoașteți imediat că aveți de-a face cu o distribuție bimodală raportând două moduri.

Mai bine, împărțiți eșantionul în două grupuri și colectați date statistice pentru fiecare.

Concluzie:

Atunci când alegeți o metodă pentru găsirea mediei, este necesar să se țină seama de prezența valorilor aberante, precum și de distribuția normală a valorilor în eșantion.

Alegerea finală a măsurii tendinței centrale revine întotdeauna analistului.

CLOPOTUL

Sunt cei care citesc aceasta stire inaintea ta.
Abonați-vă pentru a primi cele mai recente articole.
E-mail
Nume
Nume de familie
Cum ți-ar plăcea să citești Clopoțelul
Fără spam