În acest articol ne vom uita la împărțirea numerelor pozitive la numere negative și invers. Să dăm analiză detaliată reguli pentru împărțirea numerelor cu semne diferite și, de asemenea, dați exemple.
Regula pentru împărțirea numerelor cu semne diferite
Regula pentru numerele întregi cu semne diferite, obținută în articolul despre împărțirea numerelor întregi, este valabilă și pentru rațional și numere reale. Să oferim o formulare mai generală a acestei reguli.
Regula pentru împărțirea numerelor cu semne diferite
Când împărțiți un număr pozitiv la un număr negativ și invers, trebuie să împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului și să scrieți rezultatul cu semnul minus.
Literal, arată așa:
a ÷ - b = - a ÷ b
A ÷ b = - a ÷ b.
Rezultatul împărțirii numerelor cu semne diferite este întotdeauna un număr negativ. Regula luată în considerare, de fapt, reduce împărțirea numerelor cu semne diferite la împărțirea numerelor pozitive, deoarece modulele dividendului și divizorului sunt pozitive.
O altă formulare matematică echivalentă a acestei reguli are forma:
a ÷ b = a b - 1
Pentru a împărți numerele a și b care au semne diferite, trebuie să înmulțiți numărul a cu inversul numărului b, adică b - 1. Această formulare este aplicabilă setului de numere raționale și reale; vă permite să treceți de la împărțire la înmulțire.
Să analizăm acum cum să aplicăm teoria descrisă mai sus în practică.
Cum se impart numerele cu semne diferite? Exemple
Mai jos vom analiza câteva exemple tipice.
Exemplul 1. Cum se împarte numere cu semne diferite?
Împărțiți - 35 la 7.
Mai întâi, să notăm modulele dividendului și divizorului:
35 = 35 , 7 = 7 .
Acum să separăm modulele:
35 7 = 35 7 = 5 .
Adăugați un semn minus în fața rezultatului și obțineți răspunsul:
Acum să folosim o formulare diferită a regulii și să calculăm reciproca lui 7.
Acum să facem înmulțirea:
35 · 1 7 = - - 35 · 1 7 = - 35 7 = - 5.
Exemplul 2. Cum se împart numerele cu semne diferite?
Dacă împărțim fracții cu semne raționale, dividendul și divizorul trebuie reprezentate ca fracții obișnuite.
Exemplul 3. Cum se împarte numere cu semne diferite?
Împărțiți numărul mixt - 3 3 22 la fracția zecimală 0, (23).
Modulele dividendului și divizorului sunt, respectiv, egale cu 3 3 22 și 0, (23). Transformând 3 3 22 într-o fracție comună, obținem:
3 3 22 = 3 22 + 3 22 = 69 22.
De asemenea, putem reprezenta divizorul ca o fracție obișnuită:
0 , (23) = 0 , 23 + 0 , 0023 + 0 , 000023 = 0 , 23 1 - 0 , 01 = 0 , 23 0 , 99 = 23 99 .
Acum împărțim fracțiile obișnuite, efectuăm reduceri și obținem rezultatul:
69 22 ÷ 23 99 = - 69 22 99 23 = - 3 2 9 1 = - 27 2 = - 13 1 2.
În concluzie, luați în considerare cazul când dividendul și divizorul sunt numere iraționale și sunt scrise sub formă de rădăcini, logaritmi, puteri etc.
Într-o astfel de situație, câtul se scrie sub forma unei expresii numerice, care se simplifică pe cât posibil. Dacă este necesar, valoarea sa aproximativă este calculată cu precizia necesară.
Exemplul 4. Cum se împarte numere cu semne diferite?
Să împărțim numerele 5 7 și - 2 3.
Conform regulii de împărțire a numerelor cu semne diferite, scriem egalitatea:
5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ 2 3 = - 5 7 2 3 .
Să scăpăm de iraționalitatea din numitor și să obținem răspunsul final:
5 7 · 2 3 = - 5 · 4 3 14 .
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
În această lecție vom revizui regulile pentru adăugarea pozitivă și numere negative. De asemenea, vom învăța cum să înmulțim numere cu diferite semne și vom învăța regulile semnelor pentru înmulțire. Să ne uităm la exemple de înmulțire a numerelor pozitive și negative.
Proprietatea înmulțirii cu zero rămâne adevărată în cazul numerelor negative. Zero înmulțit cu orice număr este egal cu zero.
Bibliografie
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul. 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - M.: Educaţie, 1989.
- Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Teme pentru cursul de matematică pentru clasele 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii de clasa a VI-a la școala de corespondență MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: Manual-interlocutor pentru clasele 5-6 liceu. - M.: Educație, Biblioteca Profesorului de Matematică, 1989.
Teme pentru acasă
- Portalul de internet Mnemonica.ru ().
- Portalul de internet Youtube.com ().
- Portalul de internet School-assistant.ru ().
- Portalul de internet Bymath.net ().
În acest articol vom oferi o definiție a împărțirii unui număr negativ la unul negativ, vom formula și justifica regula, vom oferi exemple de împărțire a numerelor negative și vom analiza procesul de rezolvare a acestora.
Împărțirea numerelor negative. Regulă
Să ne amintim care este esența operațiunii de divizare. Această acțiune implică găsirea unui multiplicator necunoscut prin lucrare celebrăși un alt factor cunoscut. Un număr c se numește câtul numerelor a și b dacă produsul c · b = a este adevărat. În acest caz, a ÷ b = c.
Regula pentru împărțirea numerelor negative
Cât de împărțire a unui număr negativ la un alt număr negativ este egal cu cât de împărțire a modulelor acestor numere.
Fie a și b numere negative. Apoi
a ÷ b = a ÷ b.
Această regulă reduce împărțirea a două numere negative la împărțirea numerelor pozitive. Acest lucru este valabil nu numai pentru numerele întregi, ci și pentru numerele raționale și reale. Rezultatul împărțirii unui număr negativ la un număr negativ este întotdeauna un număr pozitiv.
Să dăm o altă formulare a acestei reguli, potrivită pentru numerele raționale și reale. Este dat folosind numere reciproce și spune: pentru a împărți un număr negativ a la numărul nedefinit, înmulțiți cu numărul b - 1, inversul lui b.
a ÷ b = a · b - 1 .
Aceeași regulă, care reduce împărțirea la înmulțire, poate fi folosită și pentru a împărți numerele cu semne diferite.
Egalitatea a ÷ b = a · b - 1 poate fi demonstrată folosind proprietatea înmulțirii numerelor reale și definiția numerelor reciproce. Să notăm egalitățile:
a · b - 1 · b = a · b - 1 · b = a · 1 = a .
Datorită definiției operației de împărțire, această egalitate demonstrează că există un coeficient de împărțire a unui număr la numărul b.
Să trecem la a lua în considerare exemple.
Să începem cu cazuri simple și să trecem la altele mai complexe.
Exemplul 1: Cum se împarte numerele negative
Împărțiți - 18 la - 3.
Modulele divizorului și dividendului sunt, respectiv, 3 și, respectiv, 18. Hai sa scriem:
18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6.
Exemplul 2: Cum se împarte numerele negative
Împărțiți - 5 la - 2.
În mod similar, scriem după regula:
5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2.
Același rezultat se va obține dacă folosim a doua formulare a regulii cu numărul invers.
5 ÷ - 2 = - 5 · - 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .
La împărțirea numerelor raționale fracționale, cel mai convenabil este să le reprezentați sub formă de fracții obișnuite. Cu toate acestea, fracțiile zecimale finite pot fi, de asemenea, împărțite.
Exemplul 3. Cum se împarte numerele negative
Să împărțim - 0,004 la - 0,25.
În primul rând, notăm modulele acestor numere: 0,004 și 0,25.
Acum puteți alege una dintre două moduri:
- Separați fracțiile zecimale folosind o coloană.
- Mergi la fracții obișnuiteși faceți împărțirea.
Să ne uităm la ambele metode.
1. Când împărțiți fracții zecimale cu o coloană, mutați virgulă zecimală cu două cifre la dreapta.
Răspuns: - 0,004 ÷ 0,25 = 0,016
2. Acum vom da o soluție cu conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite.
0,004 = 4 1000; 0,25 = 25 100 0,004 ÷ 0,25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 100 25 = 4 250 = 0,016
Rezultatele obtinute sunt consistente.
În concluzie, observăm că dacă dividendul și divizorul sunt numere iraționale și sunt date în termeni de rădăcini, puteri, logaritmi etc., rezultatul împărțirii se scrie ca expresie numerică, a cărei valoare aproximativă se calculează dacă este necesar.
Exemplul 4: Cum se împarte numerele negative
Să calculăm câtul de împărțire a numerelor - 0, 5 și - 5.
0, 5 ÷ - 5 = - 0, 5 ÷ - 5 = 0, 5 ÷ 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Clasă: 6
„Cunoașterea este un set de fapte. Înțelepciunea este capacitatea de a le folosi"
Scopul lecției: 1) derivarea regulii de înmulțire a numerelor pozitive și negative; modalități de aplicare a acestor reguli în cele mai simple cazuri;
2) dezvoltarea abilităților de a compara, identifica tipare, generaliza;
3) căutarea diverselor căi și metode de rezolvare a problemelor practice;
4) creați un mini-proiect. Buletin de știri.
Echipament: model termometru, carduri pentru simulator mutual, proiector.
În timpul orelor
Salutari. Află care subiect nou Ne vom uita la asta astăzi; numărarea orală ne va ajuta. Calculați exemplele, înlocuiți răspunsurile cu litere folosind „număr - literă”.
Slide nr. 1 Gândește-te puțin
Slide nr. 2 Cine este acesta?
Matematicianul indian Brahmagupta, care a trăit în secolul al VII-lea, a reprezentat numerele pozitive ca „proprietăți” și numerele negative ca „datorii”.
El a exprimat regulile de adunare a numerelor pozitive și negative după cum urmează:
„Suma a două proprietăți este proprietate”:
„Suma a două datorii este o datorie”:
Și vom învăța regula după ce luăm în considerare subiectul „Înmulțirea numerelor negative și pozitive”
Sarcina ta este să înveți cum să înmulți numerele pozitive și negative, precum și cum să înmulți numerele negative.
Vom întocmi un mini-proiect.
Mini proiect.
Buletin de știri
„Înmulțirea numerelor pozitive și negative”
Lucrați în grupuri (4 grupuri).(Așezăm acțiunea într-un simulator matematic)
Sarcina 1 (1 grup)
Temperatura aerului scade cu două grade la fiecare oră. Acum termometrul arată zero grade. Ce temperatură va arăta după trei ore? Desenați acest lucru pe o linie de coordonate. Dați exemple similare. Trageți o concluzie și generalizați.
Soluţie:
Deoarece acum temperatura este de zero grade și în fiecare oră scade cu 2 grade, apoi în 3 ore va fi egală cu -6,
(-2) 3=-(2 3)=-6
Sarcina 1 (grupul 2)
Temperatura aerului scade cu două grade la fiecare oră. Acum termometrul arată zero grade. Ce temperatură a aerului a indicat termometrul în urmă cu 3 ore? Desenați acest lucru pe o linie de coordonate. Trage o concluzie.
Soluţie:
Deoarece temperatura scade cu două grade la fiecare oră, iar acum este zero grade, atunci acum 3 ore era +6.
(-2)·(-3)=2·3=6
Sarcina 1 (grupa 3)
Fabrica produce 200 de costume pentru bărbați pe zi. Când au început să producă costume de un stil nou, consumul de țesătură per costum sa schimbat la -0,4 m2. Cât de mult s-a schimbat consumul de țesături pentru costume pe zi?
Soluţie:
Aceasta înseamnă că consumul de țesături pentru costume pe zi sa schimbat la -80.
(-0,4) 200=-(0,4 200)=-80.
Sarcina 1 (grupa 4)
Temperatura aerului scade cu două grade la fiecare oră. Acum termometrul arată zero grade. Ce temperatură a aerului a indicat termometrul în urmă cu 4 ore?
Soluţie:
Deoarece temperatura scade cu două grade la fiecare oră, iar acum este zero grade, atunci acum 4 ore era +8, adică
(-2)·(-4)=2·4=8
Concluzii (elevii introduc informații în aspectul buletinului informativ).
Slide numărul 4 Gândește-te bine
Înțelegerea și aplicarea primară a ceea ce s-a învățat.
Lucru la masă la bord și pe teren (folosind un buletin informativ).
Repetăm regula (elevii pun întrebări).
Lucrul cu manualul:
- 1 elev: nr. 1105 (f, h, i) 2 elev: nr. 1105 (k, l, m)
- Nr 1107 (lucram pe grupe) Grupa 1: a), d);
Grupa 2: b), d);
Grupa 3: c), d).
Minut de educație fizică (2 min.)
Repetăm regula pentru ecuația numerelor pozitive și negative.
Slide nr. 5 Sarcina 2
Sarcina 2 (aceeași pentru toate grupurile).
Aplicați proprietatea comutativă și asociativă, efectuați produsul mai multor numere și trageți concluzia:
Dacă numărul de factori negativi este par, atunci produsul este numărul _?_
Dacă numărul de factori negativi este impar, atunci produsul este numărul _?_
Adăugați încă o informație la aspectul buletinului informativ.
Slide nr. 6 Regula semnelor.
Determinați semnul produsului:
1) „+”·«-»·«-»·«+»·«-»·«-»
2) „-”·«-»·«-»·«+»·«+»·
·«+»·«-»·«-»
3) „-”·«+»·«-»·«-»·«+»·«+»·
·«-»·«+»·«-»·«-»·«+»
Deci, să parcurgem întregul buletin și să repetăm regulile și să le aplicăm la rezolvarea sarcinilor de pe cărți.
Simulator (4 opțiuni).
Verifică-te.
Răspunsuri la cărți.
| 1 opțiune | Opțiunea 2 | Opțiunea 3 | Opțiunea 4 | |
| 1) | 18 | 20 | 24 | 18 |
| 2) | -20 | -18 | -18 | -24 |
| 3) | -24 | 16 | 24 | 18 |
| 4) | 15 | -15 | 1 | -2 |
| 5) | -4 | 0 | -5 | 0 |
| 6) | 0 | 2 | 2 | -5 |
| 7) | -1 | -3 | -1,5 | -3 |
| 8) | -0,8 | -3,5 | -4,8 | 3,6 |
Numerele pozitive și negative sunt studiate chiar de la începutul cursului de matematică, în clasa a VI-a. Deși formarea continuă necesită o muncă constantă cu aceste numere, nu este surprinzător că în timp unele mici detalii sunt uitate - iar oamenii încep să facă greșeli grave.
Înmulțirea și împărțirea sunt unele dintre cele mai frecvente operații cu numere care au semne diferite. Să ne dăm seama și să ne amintim cum să înmulțim și să împărțim astfel de numere între ele, punând semnul corect în răspuns.
Înmulțirea numerelor cu semne diferite
Această regulă este una dintre cele mai simple din aritmetică.
- Dacă avem un anumit număr pozitiv „a” în fața noastră și trebuie să-l înmulțim cu un număr negativ „z”, atunci pur și simplu înmulțim numerele - și apoi punem un semn „minus” în fața rezultatului.
- Puteți spune acest lucru - pentru a înmulți numere cu semne diferite între ele, trebuie să înmulțiți modulele factorilor între ei, apoi să returnați semnul minus în răspuns.
Următoarea notație digitală este valabilă pentru declarația: -a*z = - (|a|*|z|). De asemenea, reamintim că la zero se aplică reguli speciale - dacă orice număr, pozitiv sau negativ, este înmulțit cu acesta, răspunsul va fi zero în orice caz.
Să luăm câteva exemple simple.
- Dacă expresia arată ca – 5*6, atunci trebuie rezolvată după cum urmează: -5*6 = - (|5|*|6|) = - 30.
- Dacă o expresie de următorul tip este - - 7*0, atunci se scrie imediat 0 în răspuns.
Împărțirea numerelor cu semne diferite
Pentru astfel de cazuri, se aplică și o regulă foarte simplă. Este similar cu cel precedent - dacă sarcina necesită împărțirea „–a” la „b” sau „a” la „–b”, atunci luăm mai întâi modulele numerelor, lor valori absolute, și efectuăm procesul de împărțire fără nicio rearanjare a dividendului și a divizorului.
În acest fel se găsește coeficientul - și apoi i se adaugă un semn minus. Nu contează dacă dividendul este un număr negativ sau invers, împărțim un număr cu semnul plus la unul negativ - răspunsul va fi întotdeauna cu semnul minus. Cu alte cuvinte, folosind metoda numerică o scriem astfel: -a: b = - (|a| : |b|).
De exemplu, - 10: 2 = - (10:2) = - 5, sau 21: (-3) = - (21:3) = - 7. În cele din urmă, împărțirea nu este deloc complicată și se reduce la operațiuni uzuale asupra numerelor modulelor.
Și la fel ca în cazul precedent, zero este într-o poziție specială. Prezența lui în expresie produce automat un nul în răspuns. Și nu contează dacă este 0:a sau a:0 - atât o încercare de a împărți zero, cât și împărțirea la zero dau același rezultat.
