Definiție. Două ecuații f 1 (x) = g 1 (x) și f 2 (x) = g 2 (x) se numesc echivalente dacă mulțimile rădăcinilor lor sunt aceleași.
De exemplu, ecuațiile x 2 - 9 = 0 și (2 X + 6)(X- 3) = 0 sunt echivalente, deoarece ambele au ca rădăcini numerele 3 și -3. Ecuațiile (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 și x 2+ 1 = 0, deoarece ambele nu au rădăcini, adică. seturile rădăcinilor lor sunt aceleași.
Definiție. Înlocuirea unei ecuații cu o ecuație echivalentă se numește transformare echivalentă.
Să aflăm acum ce transformări fac posibilă obținerea de ecuații echivalente.
Teorema 1. Lasă ecuația f(x) și g(x) dat pe platou și h(X) este o expresie definită pe aceeași mulțime. Apoi ecuațiile f(x) = g(x)(1) și f(x) + h(X) =g(x) + h(X) (2) sunt echivalente.
Dovada. Notează prin T 1 - set de soluții ale ecuației (1) și prin T 2 - mulţime de soluţii ale ecuaţiei (2). Atunci ecuațiile (1) și (2) vor fi echivalente dacă T 1 \u003d T 2. Pentru a verifica acest lucru, este necesar să se arate că orice rădăcină a T 1 este o rădăcină a ecuației (2) și, invers, orice rădăcină a lui T 2 este rădăcina ecuației (1).
Lasă numărul A este rădăcina ecuației (1). Apoi A? T 1 iar la substituirea în ecuația (1) o transformă într-o egalitate numerică adevărată f(a) = g(a), și expresia h(x) se convertește într-o expresie numerică h(A) care are sens pe platou X. Adaugă la ambele părți ale adevăratei egalități f(a) = g(a) expresie numerică h(A). Obţinem, după proprietăţile egalităţilor numerice adevărate, egalitatea numerică adevărată f(a) + h(A) =g(a) + h(A), ceea ce indică faptul că A este rădăcina ecuației (2).
Deci, s-a demonstrat că fiecare rădăcină a ecuației (1) este și o rădăcină a ecuației (2), adică. T 1 cu T2.
Lasă acum A - rădăcina ecuației (2). Apoi A? T2 iar la substituirea în ecuația (2) o transformă într-o egalitate numerică adevărată f(a) + h(A) =g(a) + h(A). Să adăugăm la ambele părți ale acestei egalități o expresie numerică - h(A), obținem adevărata egalitate numerică f(x) = g(x), ceea ce indică faptul că numărul A - rădăcina ecuației (1).
Deci, s-a demonstrat că fiecare rădăcină a ecuației (2) este și o rădăcină a ecuației (1), adică. T2 cu T 1 .
La fel de T 1 cu T 2și T 2 cu T 1 apoi prin definiţia mulţimilor egale T 1= T 2, ceea ce înseamnă că ecuațiile (1) și (2) sunt echivalente.
Această teoremă poate fi formulată diferit: dacă ambele părți ale ecuației cu domeniul de definiție X adăugați aceeași expresie cu o variabilă, definită pe aceeași mulțime, apoi obținem o nouă ecuație echivalentă cu cea dată.
Din această teoremă decurg consecințe, care sunt utilizate în rezolvarea ecuațiilor:
1. Dacă adăugăm același număr la ambele părți ale ecuației, obținem o ecuație care este echivalentă cu cea dată.
2. Dacă orice termen (o expresie numerică sau o expresie cu o variabilă) este transferat dintr-o parte a ecuației în alta, schimbând semnul termenului în opus, atunci obținem o ecuație echivalentă cu cea dată.
Teorema 2. Lasă ecuația f(x) = g(x) pus pe platou Xși h(x) - o expresie care este definită pe același set și nu dispare pentru nicio valoare X din multi X. Apoi ecuațiile f(x) = g(x)și f(x) h(X) =g(x) h(X) sunt echivalente.
Demonstrarea acestei teoreme este similară cu demonstrația teoremei 1.
Teorema 2 poate fi formulată diferit: dacă ambele părți ale ecuației cu domeniu Xînmulțim cu aceeași expresie, care este definită pe aceeași mulțime și nu dispare pe ea, atunci obținem o nouă ecuație echivalentă cu cea dată.
Corolarul rezultă din această teoremă: dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite (sau împărțite) cu același număr, altul decât zero, atunci obținem o ecuație echivalentă cu cea dată.
Rezolvarea ecuațiilor cu o variabilă
Rezolvați ecuația 1- X/3 = X/6, X ? Rși justificați toate transformările pe care le vom efectua în procesul de soluționare.
| Transformări | Motivul conversiei |
| 1. Aducem expresiile din stânga și din dreapta ecuației la un numitor comun: (6-2 X)/ 6 = X/6 | A efectuat transformarea identică a expresiei din partea stângă a ecuației. |
| 2. Reduceți numitorul comun: 6-2 X = X | Am înmulțit cu 6 ambele părți ale ecuației (Teorema 2), am obținut o ecuație echivalentă cu cea dată. |
| 3. Transferăm expresia -2x în partea dreaptă a ecuației cu semnul opus: 6 = X+2X. | Am folosit corolarul din Teorema 1 și am obținut o ecuație echivalentă cu cea anterioară și, prin urmare, cu cea dată. |
| 4. Prezentăm termeni similari în partea dreaptă a ecuației: 6 = 3 X. | A efectuat transformarea identică a expresiei. |
| 5. Împărțiți ambele părți ale ecuației la 3: X = 2. | Am folosit corolarul din teorema 2, am obținut o ecuație echivalentă cu cea anterioară și, prin urmare, la aceasta |
Deoarece toate transformările pe care le-am efectuat la rezolvarea acestei ecuații au fost echivalente, se poate argumenta că 2 este rădăcina acestei ecuații.
Dacă în procesul de rezolvare a ecuației nu sunt îndeplinite condițiile teoremelor 1 și 2, atunci poate apărea pierderea rădăcinilor sau pot apărea rădăcini străine. Prin urmare, este important ca la efectuarea transformărilor ecuației pentru a obține una mai simplă, să se asigure că acestea conduc la o ecuație echivalentă cu cea dată.
Luați în considerare, de exemplu, ecuația x(x - 1) = 2x, x? R. Să împărțim ambele părți în X, obținem ecuația X - 1 = 2, de unde X= 3, adică această ecuație are o singură rădăcină - numărul 3. Dar este acest lucru adevărat? Este ușor de observat că dacă în această ecuație în loc de variabilă Xînlocuiți 0, se va transforma într-o egalitate numerică adevărată 0 (0 - 1) = 2 0. Și asta înseamnă că 0 este rădăcina acestei ecuații, pe care am pierdut-o la efectuarea transformărilor. Să le analizăm. Primul lucru pe care l-am făcut a fost să împărțim ambele părți ale ecuației în X, acestea. inmultit cu expresia1/ X, dar la X= Oh, nu are sens. În consecință, nu am îndeplinit condiția teoremei 2, ceea ce a dus la pierderea rădăcinii.
Pentru a ne asigura că mulțimea rădăcinilor acestei ecuații este formată din două numere 0 și 3, prezentăm o altă soluție. Să mutăm expresia 2 X de la dreapta la stânga: x(x- 1) - 2x \u003d 0. Scoatem parantezele din partea stângă a ecuației Xși dați termeni similari: x(x - 3) = 0. Produsul a doi factori este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ei este egal cu zero, prin urmare X= 0 sau X- 3 = 0. De aici obținem că rădăcinile acestei ecuații sunt 0 și 3.
În cursul inițial de matematică, baza teoretică pentru rezolvarea ecuațiilor este relația dintre componente și rezultatele acțiunilor. De exemplu, rezolvarea ecuației ( X 9):24 = 3 se justifică după cum urmează. Deoarece necunoscuta este în dividend, pentru a găsi dividendul, trebuie să înmulțiți divizorul cu câtul: X 9 = 24 3 sau X 9 = 72.
Pentru a găsi factorul necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la factorul cunoscut: x = 72:9 sau x = 8, prin urmare, rădăcina acestei ecuații este numărul 8.
Exerciții
1 . Determinați care dintre următoarele intrări sunt ecuații cu o variabilă:
A) ( X-3) 5 = 12 X; d) 3 + (12-7) 5 = 16;
b) ( X-3) 5 = 12; e) ( X-3) y =12X;
in) ( X-3) 17 + 12; e) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Ecuația 2 X 4 + 4X 2 -6 = 0 este dat pe mulțimea numerelor naturale. Explicați de ce numărul 1 este rădăcina acestei ecuații, dar 2 și -1 nu sunt rădăcinile acesteia.
3. În ecuația ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 un număr este șters și înlocuit cu puncte. Găsiți numărul șters dacă știți că rădăcina acestei ecuații este numărul 2.
4. Formulați condițiile în care:
a) numărul 5 este rădăcina ecuației f(x) = g(x);
b) numărul 7 nu este rădăcina ecuației f(x) = g(x).
5. Determinați care dintre următoarele perechi de ecuații sunt echivalente în mulțimea numerelor reale:
a) 3 + 7 X\u003d -4 și 2 (3 + 7l X) = -8;
6)3 + 7X= -4 și 6 + 7 X = -1;
c) 3 + 7 X= -4 și l X + 2 = 0.
6. Formulați proprietățile relației de echivalență a ecuației. Care dintre ele sunt folosite în procesul de rezolvare a ecuației?
7. Rezolvați ecuațiile (toate sunt date pe mulțimea numerelor reale) și justificați toate transformările efectuate în procesul de simplificare a acestora:
a)(7 X+4)/2 – X = (3X-5)/2;
b) X –(3X-2)/5 = 3 – (2X-5)/3;
in 2- X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Elevul a rezolvat ecuația 5 X + 15 = 3 X+ 9 după cum urmează: puneți numărul 5 din paranteze în partea stângă, iar numărul 3 în partea dreaptă, a obținut ecuația 5(x+ 3) = 3(X+ 3) și apoi împărțiți ambele părți într-o expresie X+ 3. Am obținut egalitatea 5 = 3 și am concluzionat că această ecuație nu are rădăcini. Are dreptate elevul?
9. Rezolvați ecuația 2/(2- X) – ½ = 4/((2- X)X); X? R. Numărul 2 este rădăcina acestei ecuații?
10. Rezolvați ecuațiile folosind relația dintre componente și rezultatele acțiunilor:
A) ( X+ 70) 4 = 328; c) (85 X + 765): 170 = 98;
b) 560: ( X+ 9) - 56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Rezolvați probleme în moduri aritmetice și algebrice:
a) Sunt cu 16 cărți mai multe pe primul raft decât pe al doilea. Dacă scoți 3 cărți din fiecare raft, atunci vor fi de o ori și jumătate mai multe cărți pe primul raft decât pe al doilea. Câte cărți sunt pe fiecare raft?
b) Biciclistul a parcurs tot drumul de la camping până la gară, egal cu 26 km, în 1 oră și 10 minute. În primele 40 de minute din acest timp, a condus cu aceeași viteză, iar în restul timpului - cu o viteză cu 3 km/h mai puțin. Găsiți viteza biciclistului în prima etapă a călătoriei.
Definiție. Două formule ale algebrei logicii A și B numit echivalent dacă iau aceleași valori logice pe orice set de valori ale propozițiilor elementare incluse în formule.
Echivalența formulelor va fi notată prin semn și notație A LAînseamnă că formulele A și B sunt echivalente.
De exemplu, următoarele formule sunt echivalente:
Formula A se numește identic adevărat (sau tautologie), dacă ia valoarea 1 pentru toate valorile variabilelor incluse în acesta.
De exemplu, formulele sunt și ele adevărate , .
Formulă DAR numit identic fals, dacă ia valoarea 0 pentru toate valorile variabilelor incluse în acesta.
De exemplu, formula este identic falsă.
Este clar că relația de echivalență este reflexivă, simetrică și tranzitivă.
Între conceptele de echivalenţă şi echivalenţă există următoarea legătură: dacă formulele DARși LA sunt echivalente, apoi formula DAR LA- tautologie, și invers, dacă formula DAR LA- tautologie, apoi formule DARși LA sunt echivalente.
Cele mai importante echivalențe ale algebrei logicii pot fi împărțite în trei grupe.
1. Echivalențe de bază:
Să demonstrăm una dintre legile absorbției. Luați în considerare formula . Dacă această formulă A= 1 atunci, evident, și în timp ce conjuncția a două propoziții adevărate. Lăsați acum formula A x = 0. Dar atunci, prin definiția operației de conjuncție, conjuncția va fi falsă și conjuncția . Deci, în toate cazurile, valorile formulei DAR se potrivesc cu valorile A, prin urmare DAR X.
2. Echivalențe care exprimă unele operații logice în termenii altora:
Este clar că echivalențele 5 și 6 se obțin din echivalențele 3 și, respectiv, 4, dacă luăm negații din ambele părți ale acesteia din urmă și folosim legea eliminării dublelor negații. Astfel, primele patru echivalențe au nevoie de dovezi. Să demonstrăm două dintre ele: primul și al treilea.
Întrucât pentru aceleaşi valori logice Xși la sunt formule adevărate , , , atunci va fi și conjuncția adevărată 
.
Prin urmare, în acest caz, ambele părți ale echivalenței au aceleași valori adevărate.
Lasă acum Xși la au valori logice diferite. Atunci echivalența și una dintre cele două implicații sau vor fi false. In acelasi timp
va fi fals şi conjuncţia . Astfel, în acest caz, ambele părți ale echivalenței au aceleași valori logice.
Luați în considerare Echivalența 3. Dacă Xși la preia valori adevărate în același timp, atunci conjuncția va fi adevărată X yși falsă negație a conjuncției. În același timp, ambele și și vor fi false și, prin urmare, disjuncția va fi și falsă .
Să fie acum cel puțin una dintre variabile X sau la ia valoarea false. Atunci va exista o conjuncție falsă X yși adevărata ei negare. În același timp, negația a cel puțin uneia dintre variabile va fi adevărată și, prin urmare, va fi adevărată și disjuncția .
Prin urmare, în toate cazurile, ambele părți ale echivalenței 3 iau aceleași valori logice.
Echivalențele 2 și 4 sunt dovedite în mod similar.
Din echivalențe ale acestui grup rezultă că orice formulă a algebrei logicii poate fi înlocuită cu o formulă echivalentă cu aceasta, care conține doar două operații logice: conjuncție și negație sau disjuncție și negație.
Excluderea suplimentară a operațiunilor logice nu este posibilă. Deci, dacă folosim doar conjuncția, atunci deja o formulă precum negația X nu poate fi exprimat folosind operatorul de conjuncție.
Cu toate acestea, există operații prin care oricare dintre cele cinci operații logice pe care le folosim poate fi exprimată. O astfel de operație este, de exemplu, operația „AVC lui Schaeffer”. Această operație este simbolizată x|yși este determinată de următorul tabel de adevăr:
| X | y | x|y |
Evident, există echivalențe:
2) X y (x|y)|(x|y).
Din aceste două echivalențe rezultă că orice formulă a algebrei logicii poate fi înlocuită cu o formulă echivalentă care să conțină doar operațiunea „Stratul lui Schaeffer”.
Rețineți că .
În mod similar, operația poate fi introdusă 
.
3. Echivalențe care exprimă legile de bază ale algebrei logicii:
1. X y y&x - comutativitatea conjuncției.
2. X la y X- comutativitatea disjuncției.
3. x& (y&z) (x și y) și z- Asociativitatea conjuncției.
4. X(yz ) (X y) z este asociativitatea disjuncției.
5. X y z) (X y) (x&z)- distributivitatea conjuncției în raport cu disjuncția.
6. X (y&z) (X y)& (x z ) - distributivitatea disjuncției în raport cu conjuncția.
Să demonstrăm ultima dintre legile enumerate. În cazul în care un X= 1, atunci formulele vor fi adevărate X (y& z), X y, x z . Dar atunci conjuncția va fi și adevărată (X y)& (x z ). Astfel, la X= 1 ambele părți ale echivalenței 6 au aceleași valori logice (adevărat).
Lasă acum x = 0. Apoi X (y&z) y&z, x la lași X Z Z , şi deci conjuncţia X (y&z) y&z. Prin urmare, aici ambele părți ale echivalenței 6 sunt echivalente cu aceeași formulă y&z,și prin urmare iau aceleași valori booleene.
§ 5. Transformări echivalente de formule
Folosind echivalența grupelor I, II și III, este posibilă înlocuirea unei părți a formulei sau a unei formule cu o formulă echivalentă. Astfel de transformări ale formulelor se numesc echivalent.
Transformările echivalente sunt folosite pentru a demonstra echivalențe, pentru a aduce formule într-o formă dată, pentru a simplifica formule.
Formulă DAR este considerată mai simplă decât formula echivalentă LA, dacă conține mai puține litere, mai puține operații logice. În acest caz, operațiile de echivalență și implicare sunt de obicei înlocuite cu operațiile de disjuncție și conjuncție, iar negația este denumită propoziții elementare. Să luăm în considerare câteva exemple.
1. Demonstrați echivalența 
.
Folosind echivalențe ale grupelor I, II și III
2.
Simplificați formula 
.
Să scriem un lanț de formule echivalente:
3. Demonstrați adevărul identic al formulei
Să scriem un lanț de formule echivalente:
algebră boole
Echivalențele grupei III spun că algebra logicii are legi comutative și asociative cu privire la operațiile de conjuncție și disjuncție și o lege distributivă a conjuncției față de disjuncție; aceleași legi au loc și în algebra numerelor. Prin urmare, peste formulele algebrei logicii, puteți efectua aceleași transformări care se efectuează în algebra numerelor (paranteze de deschidere, bracketing, bracketing factorul comun).
Dar în algebra logicii sunt posibile și alte transformări bazate pe utilizarea echivalențelor:
Această caracteristică ne permite să ajungem la generalizări de anvergură.
Luați în considerare un set nevid M elemente de orice natura ( x,y,z,...} , care definește relația „=" (egal cu) și trei operații: „+” (adunare), „” (înmulțire) și „-” (negație), sub rezerva următoarelor axiome:
Legile comutative:
1a. x + y = y + x, 1b. X y = y X.
Legile asociatiei:
2a. x + (y + z)= (x + y) + z, 2b. X (la z) = (x y) z.
Legile de distribuție:
3a. (x + y) z = (x z ) + (y G) 3b. (x y) + z = (x+z) (y + z).
Legile impotentei:
4a. x + x = x, 4b. X x = x.
Legea dublei negații:
Legile lui De Morgan:
6a. , 6b . .
Legile de absorbție:
7a. x + (y X)= X, 7b. X (y + x) = x.
O asemenea multitudine M numit algebră booleană.
Dacă sub elementele principale x, y, z,... a însemna enunțuri, sub operațiile „+”, „”, „-” disjuncție, conjuncție, respectiv negație și consideră semnul egal ca semn de echivalență, apoi, după cum rezultă din echivalențe ale grupelor I, II și III , toate axiomele algebrei booleene sunt îndeplinite.
În acele cazuri când, pentru un anumit sistem de axiome, este posibil să se selecteze obiecte specifice și relații specifice între ele astfel încât toate axiomele să fie satisfăcute, spunem că interpretare(sau model) acest sistem de axiome.
Deci algebra logicii este o interpretare a algebrei booleene. Algebra lui Boole are și alte interpretări. De exemplu, dacă sub elementele principale x, y, z,... seturi M multimi medii, sub operatiile "+", "", "-" unire, intersectie, complement, respectiv, si sub semnul egal - semnul de egalitate al multimilor, apoi ajungem la algebra multimilor. Este ușor de verificat că în algebra mulțimilor sunt îndeplinite toate axiomele algebrei booleene.
Printre diferitele interpretări ale algebrei booleene, există interpretări de natură tehnică. Una dintre ele va fi discutată mai jos. După cum se va arăta, joacă un rol important în automatizarea modernă.
Funcțiile algebrei logicii
După cum sa menționat deja, semnificația formulei algebrei logicii depinde complet de semnificațiile enunțurilor incluse în această formulă. Prin urmare, formula algebrei logicii este o funcție a propozițiilor elementare incluse în ea.
De exemplu, formula este o funcție
trei variabile f(x,y,z). O caracteristică a acestei funcții este faptul că argumentele sale iau una dintre cele două valori: zero sau unu, în timp ce funcția ia și una dintre cele două valori: zero sau unu.
Definiție. Funcția logică algebrică ha variabile (sau funcția booleană) Se apelează o funcție de n variabile, unde fiecare variabilă ia două valori: 0 și 1 și, în același timp, funcția poate lua doar una dintre cele două valori: 0 sau 1.
Este clar că formulele identic adevărate și identic false ale algebrei logicii sunt funcții constante, iar două formule echivalente exprimă aceeași funcție.
Să aflăm care este numărul de funcții ale n variabile. Evident, fiecare funcție a algebrei logicii (precum și formula algebrei logicii) poate fi definită folosind un tabel de adevăr, care va conține 2 n rânduri. Prin urmare, fiecare funcție de n variabile ia 2n valori, constând din zerouri și unu. Astfel, o funcție de n variabile este complet determinată de un set de valori de zerouri și uni de lungime 2 n. (Numărul total de seturi de zerouri și uni de lungime 2 n este egal cu . Prin urmare, numărul de diferite funcțiile algebrei logice P variabile este egală cu .
În special, există patru funcții diferite ale unei variabile și șaisprezece funcții diferite ale două variabile. Să notăm toate funcțiile algebrei celei logice și două variabile.
Luați în considerare un tabel de adevăr pentru diferite funcții ale unei variabile. Evident arata asa:
| X | f 1 (x) | f 2 (x) | f 3 (x) | f 3 (x) |
| 1 | ||||
Din acest tabel rezultă că două funcții ale unei variabile vor fi constante: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0 și f 2 (x) X,și f 3 (x) .
Tabelul de adevăr pentru toate funcțiile posibile ale două variabile este:
f i = f i (x, y)
| X | y | f1 | f2 | f 3 | f4 | f5 | f6 | f7 | f 8 | f9 | f 10 | f 11 | f 12 | f 13 | f 14 | f 15 | f 16 |
Este clar că expresiile analitice pentru aceste funcții pot fi scrise după cum urmează.
Lecție deschisă de matematică „Schema Bernoulli. Rezolvarea problemelor folosind schema Bernoulli și Laplace”
Didactic: dobândirea de abilități și abilități de a lucra cu schema Bernoulli pentru a calcula probabilități.
Dezvoltarea: dezvoltarea abilităților de aplicare a cunoștințelor în practică, formarea și dezvoltarea gândirii funcționale a elevilor, dezvoltarea abilităților de comparare, analiză și sinteză, abilități de lucru în perechi, extinderea vocabularului profesional.
Cum să joci acest joc:
Educativ: stimularea interesului pentru subiect prin aplicarea practică a teoriei, realizarea unei asimilare conștientă a materialului educațional al elevilor, formarea capacității de a lucra în echipă, utilizarea corectă a termenilor informatici, interes pentru știință, respect pentru viitoarea profesie.
Cunoștințe științifice: B
Tip de lecție: lecție combinată:
- consolidarea materialului acoperit în clasele anterioare;
- tematică, tehnologia informației-problemă;
- generalizarea şi consolidarea materialului studiat în această lecţie.
Metoda de predare: explicativă - ilustrativă, problematică.
Controlul cunoștințelor: sondaj frontal, rezolvare de probleme, prezentare.
Materialul și echipamentul tehnic al lecției. calculator, proiector multimedia.
Suport metodologic: materiale de referință, prezentare pe tema lecției, cuvinte încrucișate.
În timpul orelor
1. Moment organizatoric: 5 min.
(salut, pregătirea grupului pentru lecție).
2. Verificarea cunoștințelor:
Verificați întrebările frontal pe diapozitive: 10 min.
- definițiile secțiunii „Teoria probabilității”
- conceptul principal al secțiunii „Teoria probabilității”
- ce evenimente sunt studiate de „Teoria probabilității”
- caracteristică unui eveniment aleatoriu
- definiția clasică a probabilităților
Rezumând. 5 minute.
3. Rezolvarea problemelor pe rânduri: 5 min.
Sarcina 1. Se aruncă un zar. Care este probabilitatea de a obține un număr par mai mic de 5?
Sarcina 2. Există nouă tuburi radio identice într-o cutie, dintre care trei erau în uz. În timpul zilei de lucru, comandantul trebuia să ia două tuburi radio pentru a repara echipamentul. Care este probabilitatea ca ambele lămpi să fi fost folosite?
Sarcina 3. Există trei filme diferite în trei săli de cinema. Probabilitatea ca pentru o anumită oră să existe bilete la casa de bilete a sălii 1 este de 0,3, la casa de bilete a sălii a 2-a - 0,2, iar la casa de bilete a sălii a 3-a - 0,4. Care este probabilitatea ca la o oră dată să se poată cumpăra un bilet pentru cel puțin un film?
4. Verificarea la tablă a modului de rezolvare a problemelor. Aplicare 1. 5 min.
A 5-a Concluzie privind rezolvarea problemelor:
Probabilitatea de apariție a unui eveniment este aceeași pentru fiecare sarcină: m și n - const
6. Stabilirea obiectivelor prin sarcină: 5 min.
Sarcină. Doi jucători egali de șah joacă șah. Care este probabilitatea de a câștiga două jocuri din patru?
Care este probabilitatea de a câștiga trei jocuri din șase (nu se iau în considerare remizele)?
Întrebare. Gândește-te și numește diferența dintre întrebările acestei probleme și întrebările problemelor anterioare?
Prin raționament, prin comparație, obțineți un răspuns: la întrebările m și n sunt diferite.
7. Tema lecției:
Calculul probabilității de apariție a unui eveniment k ori din n experimente cu p-const.
Dacă se fac studii în care probabilitatea de apariție a evenimentului A în fiecare studiu nu depinde de rezultatele altor încercări, atunci astfel de încercări sunt numite independente în raport cu evenimentul A. Încercări, în fiecare dintre ele probabilitatea de apariție a evenimentul este același.
formula Bernoulli. Probabilitatea ca în n încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de apariție a unui eveniment este egală cu p (0 sau Anexa 2 Formula Bernoulli, unde k,n-numere mici unde q = 1-p Soluție: Jucători egali de șah joacă, deci probabilitatea de a câștiga este p=1/2; prin urmare, probabilitatea de a pierde q este de asemenea 1/2. Deoarece probabilitatea de câștig este constantă în toate jocurile și nu contează în ce ordine sunt câștigate, formula Bernoulli este aplicabilă. 5 minute Găsiți probabilitatea ca două jocuri din patru să fie câștigate: Găsiți probabilitatea ca trei din șase jocuri să fie câștigate: Deoarece P4 (2) > P6 (3), este mai probabil să câștigi două jocuri din patru decât trei din șase. Găsiți probabilitatea ca evenimentul A să apară exact de 70 de ori în 243 de încercări dacă probabilitatea ca acest eveniment să apară în fiecare încercare este 0,25. k=70, n=243 Aceasta implică faptul că k și n sunt numere mari. Aceasta înseamnă că este dificil de calculat conform formulei Bernoulli. Pentru astfel de cazuri, se aplică formula locală Laplace: Anexa 3 pentru valorile pozitive ale lui x este prezentată în apendicele 4; pentru valori negative ale lui x folosiți același tabel și = . Permițând cuiva să treacă de la ecuația care se rezolvă la așa-numita ecuații echivalenteși ecuații corolare, prin soluții ale cărora se poate determina soluția ecuației inițiale. În acest articol, vom analiza în detaliu ce ecuații sunt numite echivalente și care sunt numite ecuații de consecințe, vom oferi definițiile corespunzătoare, vom oferi exemple explicative și vom explica cum să găsim rădăcinile unei ecuații din rădăcinile cunoscute ale unei ecuații echivalente și o consecință. ecuaţie. Să dăm o definiție a ecuațiilor echivalente. Definiție Ecuații echivalente sunt ecuații care au aceleași rădăcini sau nu au rădăcini. Definiții similare ca înțeles, dar ușor diferite în formulare, sunt date în diverse manuale de matematică, de exemplu, Definiție Se numesc cele două ecuații f(x)=g(x) și r(x)=s(x). echivalent, dacă au aceleași rădăcini (sau, în special, dacă ambele ecuații nu au rădăcini). Definiție Se numesc ecuații care au aceleași rădăcini ecuații echivalente. Ecuațiile care nu au rădăcini sunt de asemenea considerate echivalente. Prin aceleași rădăcini se înțelege următoarele: dacă un număr este rădăcina uneia dintre ecuațiile echivalente, atunci este și rădăcina oricărei alte ecuații din aceste ecuații și nici una dintre ecuațiile echivalente nu poate avea o rădăcină care nu este rădăcina oricărei alte ecuații. Să dăm exemple de ecuații echivalente. De exemplu, trei ecuații 4 x=8, 2 x=4 și x=2 sunt echivalente. Într-adevăr, fiecare dintre ele are o rădăcină unică 2, deci sunt echivalente prin definiție. Un alt exemplu: două ecuații x 0=0 și 2+x=x+2 sunt echivalente, mulțimile soluțiilor lor sunt aceleași: rădăcina primei și celei de-a doua dintre ele este orice număr. Cele două ecuații x=x+5 și x 4 =−1 sunt, de asemenea, un exemplu de ecuații echivalente, ambele nu au soluții reale. Pentru a completa imaginea, merită să oferiți exemple de ecuații neechivalente. De exemplu, ecuațiile x=2 și x 2 =4 nu sunt echivalente, deoarece a doua ecuație are rădăcina −2, care nu este rădăcina primei ecuații. De asemenea, ecuațiile și nu sunt echivalente, deoarece rădăcinile celei de-a doua ecuații sunt orice numere, iar numărul zero nu este rădăcina primei ecuații. Definiția corectă a ecuațiilor echivalente se aplică atât ecuațiilor cu o variabilă, cât și ecuațiilor cu un număr mare de variabile. Cu toate acestea, pentru ecuațiile cu doi, trei etc. variabile, cuvântul „rădăcini” din definiție ar trebui înlocuit cu cuvântul „soluții”. Asa de, Definiție Ecuații echivalente sunt ecuații care au aceleași soluții sau nu le au. Să arătăm un exemplu de ecuații echivalente cu mai multe variabile. x 2 +y 2 +z 2 =0 și 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - iată un exemplu de ecuații echivalente cu trei variabile x, y și z, ambele având o soluție unică (0, 0 , 0). Dar ecuațiile cu două variabile x+y=5 și x y=1 nu sunt echivalente, deoarece, de exemplu, perechea de valori x=2, y=3 este soluția primei ecuații (înlocuind aceste valori în prima ecuație, obținem egalitatea corectă 2+3=5), dar nu este o soluție pentru a doua (când înlocuim aceste valori în a doua ecuație, obținem egalitatea greșită 2 3=1). Iată definițiile ecuațiilor corolar din manualele școlare: Definiție Dacă fiecare rădăcină a ecuației f(x)=g(x) este în același timp rădăcina ecuației p(x)=h(x) , atunci ecuația p(x)=h(x) se numește consecinţă ecuațiile f(x)=g(x) . Definiție Dacă toate rădăcinile primei ecuații sunt rădăcini ale celei de-a doua ecuații, atunci a doua ecuație se numește consecinţă prima ecuație. Să dăm câteva exemple de ecuații corolare. Ecuația x 2 =3 2 este o consecință a ecuației x−3=0 . Într-adevăr, a doua ecuație are o singură rădăcină x=3, această rădăcină este și rădăcina ecuației x 2 =3 2 , prin urmare, prin definiție, ecuația x 2 =3 2 este o consecință a ecuației x−3= 0. Un alt exemplu: ecuația (x−2) (x−3) (x−4)=0 este o consecință a ecuației Din definiția unei ecuații de consecință, rezultă că absolut orice ecuație este o consecință a oricărei ecuații care nu are rădăcini. Merită menționat câteva consecințe destul de evidente din definirea ecuațiilor echivalente și definiția unei ecuații corolar:8. Sarcină.
9. Compune un algoritm pentru rezolvarea problemei: 5 min.
10. Rezolvarea problemei cu analiza la tabla. Anexa 5. 10 min.
11. Rezumarea informațiilor despre lecție prin prezentări
Ecuații echivalente, definiție, exemple
Ecuații corolare
, deoarece toate rădăcinile celei de-a doua ecuații (sunt două dintre ele, acestea sunt 2 și 3 ), evident, sunt rădăcinile primei ecuații.
