Dacă trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă sunt legate prin segmente, obținem un triunghi. Una dintre laturile unui triunghi este adesea numită baza sa.
Teorema. Suma unghiurilor unui triunghi este 180 0
Dacă toate cele trei unghiuri ale unui triunghi sunt acute, atunci triunghiul se numește unghiular acut.
Dacă unul dintre unghiurile unui triunghi este obtuz, atunci triunghiul se numește obtuz-unghiular.
Dacă unul dintre unghiurile unui triunghi este drept, atunci triunghiul se numește dreptunghiular. Latura unui triunghi dreptunghic opus unghiului drept se numește ipotenuză, iar celelalte două părți sunt picioare.
În orice triunghi, unghiul mai mare se află opus laturii mai mari; laturi opuse egale - unghiuri egale și invers. Orice latură a unui triunghi este mai mică decât suma celorlalte două laturi și, de asemenea, mai mare decât diferența celorlalte două laturi.
Continuând una dintre laturile triunghiului, obținem un unghi extern. Unghi ABD - extern.
Semne de egalitate a triunghiurilor
Dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci elementele (laturile și unghiurile) unui triunghi sunt, respectiv, egale cu elementele celuilalt triunghi.
Teorema. Două triunghiuri sunt congruente dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale celuilalt.
Teorema. Două triunghiuri sunt congruente dacă o latură și două unghiuri adiacente ale unui triunghi sunt egale cu latura și, respectiv, două unghiuri adiacente ale celuilalt.
Teorema. Două triunghiuri sunt congruente dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale celuilalt.
Mediana, bisectoarea și înălțimea unui triunghi
Segmentul care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse se numește median triunghi.
Se numește raza care emană din vârful unui unghi și care îl împarte în două unghiuri egale bisectoare. Bisectoarea împarte partea opusă în părți proporționale cu laturile adiacente acesteia.
Se numește perpendiculara trasată de la vârful unui triunghi pe linia care conține latura opusă înălţime triunghi.
Puncte remarcabile ale triunghiului. 1) Bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct. 
2) Bisectoarele perpendiculare pe laturile triunghiului se intersectează într-un punct. 
3) Altitudinile triunghiului (sau prelungirile lor) se intersectează într-un punct. 
4) Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct.
Triunghi isoscel
Un triunghi se numește isoscel dacă cele două laturi ale sale sunt egale. Se numesc laturi egale laturi, iar tertul - bază triunghi isoscel.
Un triunghi în care toate laturile sunt egale se numește echilateral.
Teorema.Într-un triunghi isoscel, unghiurile de bază sunt egale.
Teorema.Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și altitudinea.
Triunghi . Triunghi acut, obtuz și dreptunghic.
Picioare și ipotenuză. Triunghi isoscel și echilateral.
Suma unghiurilor unui triunghi.
Unghiul exterior al unui triunghi. Semne de egalitate a triunghiurilor.
Linii și puncte remarcabile într-un triunghi: înălțimi, mediane,
bisectoare, mediană e perpendiculare, ortocentre,
centrul de greutate, centrul unui cerc circumscris, centrul unui cerc înscris.
Teorema lui Pitagora. Raportul de aspect într-un triunghi arbitrar.
Triunghi este un poligon cu trei laturi (sau trei unghiuri). Laturile unui triunghi sunt adesea indicate prin litere mici care corespund majusculelor reprezentând vârfurile opuse.
Dacă toate cele trei unghiuri sunt acute (Fig. 20), atunci aceasta este triunghi acut
. Dacă unul dintre unghiuri este drept(C, Fig.21), acesta este triunghi dreptunghic; laturia, bformând un unghi drept se numesc picioare; laturăcopus unghiului drept se numeste ipotenuză. Dacă unul dintre unghiuri obtuze (B, Fig. 22), acesta este triunghi obtuz.
Triunghiul ABC (Fig. 23) - isoscel, Dacă Două laturile sale sunt egale (A=
c); aceste laturi egale se numesc lateral, este sunat terțul bază triunghi. Triunghi ABC (Fig. 24) – echilateral,
Dacă Toate laturile sale sunt egale (A
=
b
=
c). În general ( A ≠ b ≠ c)
avem scalen triunghi .
Proprietățile de bază ale triunghiurilor. În orice triunghi:
1. Opus laturii mai mari se află unghiul mai mare și invers.
2. Unghiurile egale sunt opuse laturi egale și invers.
În special, toate unghiurile în echilateral triunghiul sunt egale.
3. Suma unghiurilor unui triunghi este 180 º .
Din ultimele două proprietăți rezultă că fiecare unghi într-un echilateral
triunghiul este 60 º.
4. Continuând una dintre laturile triunghiului (AC, Fig. 25), primim extern
unghiul BCD . Unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma unghiurilor interne,
nu adiacent cu acesta : BCD = A + B.
5. Orice latura unui triunghi este mai mică decât suma celorlalte două laturi și mai mare
diferențele lor (A < b + c, A > b – c;b < A + c, b > A – c;c < A + b,c > A – b).
Semne de egalitate a triunghiurilor.
Triunghiurile sunt congruente dacă sunt, respectiv, egale:
A ) două laturi și unghiul dintre ele;
b ) două colțuri și latura adiacentă acestora;
c) trei laturi.
Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare.
Două dreptunghiular Triunghiurile sunt egale dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
1) picioarele lor sunt egale;
2) catetul și ipotenuza unui triunghi sunt egale cu catetul și ipotenuza celuilalt;
3) ipotenuza și unghiul ascuțit ale unui triunghi sunt egale cu ipotenuza și unghiul ascuțit ale celuilalt;
4) cateta și unghiul ascuțit adiacent al unui triunghi sunt egale cu cateta și unghiul ascuțit adiacent al celuilalt;
5) catetul și unghiul ascuțit opus al unui triunghi sunt egale cu cateta și unghiul acut opus celuilalt.
Minunate linii și puncte în triunghi.
Înălţime triunghiul esteperpendicular,coborât de la orice vârf în partea opusă ( sau continuarea ei). Această parte se numeștebaza triunghiului . Cele trei altitudini ale unui triunghi se intersectează întotdeaunala un moment dat, numit ortocentru triunghi. Ortocentrul unui triunghi acut (punctul O , Fig. 26) este situat în interiorul triunghiului șiortocentrul unui triunghi obtuz (punctul O , fig.27) – in afara; Ortocentrul unui triunghi dreptunghic coincide cu vârful unghiului drept.
Median - Acest segment de linie , legând orice vârf al unui triunghi de mijlocul laturii opuse. Trei mediane ale unui triunghi (AD, BE, CF, fig.28) se intersectează la un punct O , aflat mereu în interiorul triunghiului si fiind al lui centrul de greutate. Acest punct împarte fiecare mediană într-un raport de 2:1, numărând de la vârf.
Bisectoare - Acest segment bisectoare unghi de la vârf la punct intersecții cu partea opusă. Trei bisectoare ale unui triunghi (AD, BE, CF, fig.29) se intersectează la un punct Oh, mereu întins în interiorul triunghiuluiȘi fiind centrul cercului înscris(vezi secțiunea „Inscrisși poligoane circumscrise").
Bisectoarea împarte partea opusă în părți proporționale cu laturile adiacente ; de exemplu, în Fig. 29 AE: CE = AB: BC.
Perpendiculară mediană este o perpendiculară trasă din mijloc puncte de segment (laturi). Trei bisectoare perpendiculare ale triunghiului ABC(KO, MO, NU, Fig. 30 ) se intersectează într-un punct O, adică centru cerc circumscris (punctele K, M, N – punctele mijlocii ale laturilor triunghiului ABC).
Într-un triunghi ascuțit, acest punct se află în interiorul triunghiului; în obtuz - în exterior; într-un dreptunghiular - în mijlocul ipotenuzei. Ortocentrul, centrul de greutate, circumcentrul și cercul înscris coincid doar într-un triunghi echilateral.
Teorema lui Pitagora. Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimiiIpotenuza este egală cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
Dovada teoremei lui Pitagora rezultă clar din Fig. 31. Luați în considerare un triunghi dreptunghic ABC cu picioare a, b si ipotenuza c.
Să construim un pătrat AKMB folosind ipotenuza AB ca o parte. Apoicontinuați laturile triunghiului dreptunghic ABC astfel încât să obțină un pătrat CDEF , a cărui latură este egalăa + b .Acum este clar că aria pătratului CDEF este egal cu ( a+b) 2 . Pe de altă parte, aceasta aria este egală cu suma zone patru triunghiuri dreptunghiulareși pătratul AKMB, adică
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
de aici,
c 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,
si in final avem:
c 2 =A 2 +b 2 .
Raportul de aspect într-un triunghi arbitrar.
În cazul general (pentru un triunghi arbitrar) avem:
c 2 =A 2 +b 2 – 2ab· cos C,
unde C – unghiul dintre laturiAȘi b .
Cum se numesc unghiurile unui triunghi? Răspunsul poate depinde de câte unghiuri sunt la vârful triunghiului.
Dacă un triunghi are un singur unghi, atunci poate fi numit printr-o literă, după numele vârfului.
De exemplu, în triunghiul MKF (Figura 1) există un singur unghi la fiecare vârf. În consecință, fiecare dintre unghiuri poate fi numit o literă, după numele vârfului din care emană razele care formează acest unghi:
poza 1
Unghiul M, Unghiul K și Unghiul F.
Există un semn special pentru a indica un unghi: ∠
Notația ∠M se citește ca „unghi M”.
Fiecare dintre colțurile triunghiului MKF poate fi numit și trei litere. În acest caz, vârful din numele unghiului ar trebui să fie în mijloc.
Unghiul M poate fi numit și unghi KMF sau unghi FMK,
∠K - ∠MKF sau ∠FKM,
∠F - ∠MFK sau ∠KFM.
figura 2
În triunghiurile prezentate în Figura 2, numai unghiurile de la vârfurile A și D pot fi denumite printr-o singură literă: ∠A și ∠D.
Există trei unghiuri la vârful B, astfel încât fiecare dintre aceste unghiuri ar trebui să fie numit cu trei litere: ∠ABC, ∠CBD și ∠ABD.
La fel, unghiurile de vârf C pot fi denumite doar cu trei litere: ∠ACB, ∠BCD și ∠ACD. Este imposibil să numim oricare dintre aceste unghiuri ∠C.
figura 3
Fiecare dintre unghiurile triunghiurilor prezentate în Figura 3 poate fi denumit doar cu trei litere.
Unghiurile triunghiului ABO: ∠ABO, ∠BAO, ∠AOB.
Unghiurile triunghiului BOC: ∠BOC, ∠OBC, ∠BCO.
Unghiurile triunghiului OCD: ∠OCD, ∠COD, ∠CDO.
Unghiurile triunghiului AOD: ∠AOD, ∠ADO,∠OAD.
Unghiurile triunghiului ABC: ∠ABC, ∠BAC, ∠BCA.
Unghiurile triunghiului BCD: ∠BCD, ∠CBD, ∠BDC.
Unghiurile triunghiului ACD: ∠ACD, ∠CAD, ∠ADC.
Unghiurile triunghiului ABD: ∠ABD, ∠BAD, ∠ADB.
Triunghi- aceasta este o figură formată din trei puncte și trei segmente, în timp ce cele trei puncte nu se află pe aceeași linie, ci trei segmente leagă aceste puncte în perechi. Pentru a fi mai precis, punctele unui triunghi sunt numite vârfuri, iar segmentele sunt numite laturi. Un triunghi este desemnat prin vârfurile sale, iar în locul cuvântului lung triunghi este desenat simbolul Δ.
Să aruncăm acum o privire mai atentă la tipurile de triunghiuri.
- Un triunghi isoscel este un triunghi care are două laturi identice, care sunt numite și laterale, a treia latură, diferită de cele două, se numește bază.
- Un triunghi echilateral este un triunghi cu laturile egale, numit uneori și triunghi regulat.
- Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi drept (90 de grade).
- Un triunghi ascuțit este un triunghi în care toate unghiurile sunt acute (adică mai puțin de 90 de grade).
- Un triunghi obtuz este un triunghi în care unul dintre unghiuri este obtuz (adică mai mult de 90 de grade).
În principiu, este ușor să ne amintim caracteristicile fiecărui tip de triunghi, astfel încât numele vorbesc de la sine.
Luați, de exemplu, triunghiul ABC. A, B, C sunt vârfurile sale, iar AB, BC și AC sunt laturile sale, respectiv.
Acum să ne uităm la structura acestui triunghi mai detaliat. Unghiul triunghiului ABC la vârful A este unghiul format din jumătăți de drepte AB și AC. În mod similar, putem determina unghiurile care se află la vârful B și la vârful C.
Altitudinea unui triunghi este perpendiculara care coboară de la un vârf dat la dreapta care este opusă vârfului.
Bisectoarea unui triunghi este bisectoarea unui unghi dintr-un triunghi dat care leagă un vârf de un punct de pe latura opusă.
Mediana unui triunghi, care este trasă dintr-un vârf dat, este un segment care leagă acest vârf cu punctul de mijloc al laturii opuse a triunghiului.
Linia mediană a unui triunghi este un segment care leagă punctele de mijloc a două laturi ale unui triunghi dat. Această denumire are și o anumită teoremă, care spune că linia de mijloc a unui triunghi este întotdeauna paralelă cu a treia latură și este, de asemenea, egală cu jumătatea acesteia.
Toate aceste notații (mediană, bisectoare, înălțime, linie mediană a unui triunghi) vor fi cu siguranță necesare în rezolvarea problemelor practice. Mai mult, fără a cunoaște proprietățile acestor vârfuri, este puțin probabil să poți rezolva orice problemă legată de triunghiuri.
Teorema cosinusului
| A | 2 | = b | 2 | + c | 2 | - 2bccosα |
| a+c a-c | = | tg | α + γ;
2 | = | ctg | β
2 |
| tg | α - γ
2 | tg | α - γ
2 |
| R= | c 2 | = m | c |
Triunghi echilateral
|
