Calculul varianței unei variabile aleatoare. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete. Momente mai mari ale sumei variabilelor aleatoare

Așteptările și varianța matematică sunt caracteristicile numerice cele mai frecvent utilizate ale unei variabile aleatorii. Ele caracterizează cele mai importante trăsături ale distribuției: poziția sa și gradul de dispersie. Așteptările matematice sunt adesea denumite pur și simplu medie. variabilă aleatorie. Dispersia unei variabile aleatoare - o caracteristică a dispersiei, dispersia unei variabile aleatoare in jurul ei așteptări matematice.

În multe probleme de practică, o descriere completă, exhaustivă a unei variabile aleatoare - legea distribuției - fie nu poate fi obținută, fie nu este deloc necesară. În aceste cazuri, ele sunt limitate la o descriere aproximativă a unei variabile aleatorii folosind caracteristici numerice.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete

Să ajungem la conceptul de așteptare matematică. Fie ca masa unei substanțe să fie distribuită între punctele axei x X1 , X 2 , ..., X n. Mai mult, fiecare punct material are o masă care îi corespunde cu o probabilitate de p1 , p 2 , ..., p n. Este necesar să selectați un punct pe axa x, care caracterizează poziția întregului sistem puncte materiale, luând în considerare masele lor. Este firesc să luăm ca un astfel de punct centrul de masă al sistemului de puncte materiale. Aceasta este media ponderată a variabilei aleatoare X, în care abscisa fiecărui punct Xi intră cu o „pondere” egală cu probabilitatea corespunzătoare. Valoarea medie a variabilei aleatoare astfel obţinută X se numește așteptarea sa matematică.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestor valori:

Exemplul 1 Am organizat o loterie câștig-câștig. Există 1000 de câștiguri, dintre care 400 sunt câte 10 ruble fiecare. 300 - 20 de ruble fiecare 200 - 100 de ruble fiecare. și 100 - 200 de ruble fiecare. Care este câștigul mediu pentru o persoană care cumpără un bilet?

Decizie. Vom găsi câștigul mediu dacă suma totală a câștigurilor, care este egală cu 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 de ruble, este împărțită la 1000 (suma totală a câștigurilor). Apoi obținem 50000/1000 = 50 de ruble. Dar expresia pentru calcularea câștigului mediu poate fi reprezentată și în următoarea formă:

Pe de altă parte, în aceste condiții, valoarea câștigurilor este o variabilă aleatorie care poate lua valori de 10, 20, 100 și 200 de ruble. cu probabilități egale cu 0,4, respectiv; 0,3; 0,2; 0,1. Prin urmare, câștigul mediu așteptat este egal cu suma produselor mărimii plăților și probabilitatea de a le primi.

Exemplul 2 Editorul a decis să publice carte noua. El va vinde cartea cu 280 de ruble, din care 200 îi vor fi date lui, 50 librăriei și 30 autorului. Tabelul oferă informații despre costul publicării unei cărți și probabilitatea de a vinde un anumit număr de exemplare ale cărții.

Găsiți profitul așteptat al editorului.

Decizie. Variabila aleatoare „profit” este egală cu diferența dintre venitul din vânzare și costul costurilor. De exemplu, dacă se vând 500 de exemplare ale unei cărți, atunci venitul din vânzare este de 200 * 500 = 100.000, iar costul publicării este de 225.000 de ruble. Astfel, editorul se confruntă cu o pierdere de 125.000 de ruble. Următorul tabel rezumă valorile așteptate ale variabilei aleatoare - profit:

Număr	Profit Xi	Probabilitate pi	Xi p i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Total:		1,00	25000

Astfel, obținem așteptarea matematică a profitului editorului:

Exemplul 3Șansa de a lovi cu o lovitură p= 0,2. Determinați consumul de obuze care oferă așteptarea matematică a numărului de lovituri egal cu 5.

Decizie. Din aceeași formulă de așteptare pe care am folosit-o până acum, ne exprimăm X- consumul de scoici:

Exemplul 4 Determinați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X numărul de lovituri cu trei lovituri, dacă probabilitatea de a lovi cu fiecare lovitură p = 0,4 .

Sugestie: găsiți probabilitatea valorilor unei variabile aleatoare prin formula Bernoulli .

Proprietăți de așteptare

Luați în considerare proprietățile așteptărilor matematice.

Proprietatea 1. Așteptările matematice ale unei constante este egală cu această constantă:

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării:

Proprietatea 3. Așteptarea matematică a sumei (diferența) variabile aleatoare este egală cu suma (diferența) așteptărilor lor matematice:

Proprietatea 4. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare sunt egale cu produsul așteptărilor lor matematice:

Proprietatea 5. Dacă toate valorile variabilei aleatoare X scade (creste) cu acelasi numar Cu, atunci așteptarea sa matematică va scădea (crește) cu același număr:

Când nu poți fi limitat doar la așteptări matematice

În cele mai multe cazuri, doar așteptarea matematică nu poate caracteriza în mod adecvat o variabilă aleatoare.

Să fie variabile aleatoare Xși Y sunt date de următoarele legi de distribuție:

Sens X	Probabilitate
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Sens Y	Probabilitate
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Așteptările matematice ale acestor cantități sunt aceleași - egale cu zero:

Cu toate acestea, distribuția lor este diferită. Valoare aleatoare X poate lua doar valori care sunt puțin diferite de așteptările matematice și de variabila aleatoare Y poate lua valori care se abat semnificativ de la așteptările matematice. Un exemplu asemănător: salariul mediu nu permite judecarea proporției lucrătorilor cu plăți mari și prost plătite. Cu alte cuvinte, prin așteptarea matematică nu se poate judeca ce abateri de la ea, cel puțin în medie, sunt posibile. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți varianța unei variabile aleatoare.

Dispersia unei variabile aleatoare discrete

dispersie variabilă aleatoare discretă X se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea matematică:

Abaterea standard a unei variabile aleatoare X este valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate a varianței sale:

Exemplul 5 Calculați variațiile și abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y, ale căror legi de distribuție sunt date în tabelele de mai sus.

Decizie. Așteptări matematice ale variabilelor aleatoare Xși Y, așa cum a fost găsit mai sus, sunt egale cu zero. Conform formulei de dispersie pentru E(X)=E(y)=0 obținem:

Apoi abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y constitui

Astfel, cu aceleași așteptări matematice, varianța variabilei aleatoare X foarte mici și aleatorii Y- semnificativă. Aceasta este o consecință a diferenței de distribuție a acestora.

Exemplul 6 Investitorul are 4 proiecte alternative de investiții. Tabelul rezumă datele privind profitul așteptat în aceste proiecte cu probabilitatea corespunzătoare.

Proiectul 1	Proiectul 2	Proiectul 3	Proiectul 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Găsiți pentru fiecare alternativă așteptările matematice, varianța și abaterea standard.

Decizie. Să arătăm cum se calculează aceste cantități pentru a treia alternativă:

Tabelul rezumă valorile găsite pentru toate alternativele.

Toate alternativele au aceeași așteptare matematică. Asta înseamnă că, pe termen lung, toată lumea are același venit. Deviație standard poate fi interpretat ca o măsură a riscului - cu cât acesta este mai mare, cu atât este mai mare riscul investiției. Un investitor care nu dorește riscuri mari va alege proiectul 1 deoarece are cea mai mică abatere standard (0). Dacă investitorul preferă riscul și randamentele mari într-o perioadă scurtă, atunci va alege proiectul cu cea mai mare abatere standard - proiectul 4.

Proprietăți de dispersie

Să prezentăm proprietățile dispersiei.

Proprietatea 1. Dispersia unei valori constante este zero:

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:

Proprietatea 3. Varianta unei variabile aleatoare este egală cu așteptarea matematică a pătratului acestei valori, din care se scade pătratul așteptării matematice a valorii în sine:

Unde .

Proprietatea 4. Varianta sumei (diferenței) variabilelor aleatoare este egală cu suma (diferenței) varianțelor acestora:

Exemplul 7 Se știe că o variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori: −3 și 7. În plus, așteptarea matematică este cunoscută: E(X) = 4 . Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete.

Decizie. Notează prin p probabilitatea cu care o variabilă aleatoare ia o valoare X1 = −3 . Apoi probabilitatea valorii X2 = 7 va fi 1 − p. Să derivăm ecuația pentru așteptările matematice:

E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

de unde obținem probabilitățile: p= 0,3 și 1 − p = 0,7 .

Legea distribuției unei variabile aleatoare:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Calculăm varianța acestei variabile aleatoare folosind formula de la proprietatea 3 a varianței:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Găsiți singur așteptările matematice ale unei variabile aleatoare și apoi vedeți soluția

Exemplul 8 Variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori. Se ia valoarea mai mare de 3 cu o probabilitate de 0,4. În plus, este cunoscută varianța variabilei aleatoare D(X) = 6 . Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii.

Exemplul 9 O urna contine 6 bile albe si 4 negre. Se iau 3 bile din urnă. Numărul de bile albe dintre bilele extrase este o variabilă aleatorie discretă X. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.

Decizie. Valoare aleatoare X poate lua valorile 0, 1, 2, 3. Probabilitățile corespunzătoare pot fi calculate din regula înmulțirii probabilităților. Legea distribuției unei variabile aleatoare:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

De aici așteptările matematice ale acestei variabile aleatoare:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Varianta unei variabile aleatoare date este:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Așteptările matematice și dispersia unei variabile aleatoare continue

Pentru o variabilă aleatoare continuă, interpretarea mecanică a așteptării matematice va păstra același sens: centrul de masă pentru o unitate de masă distribuită continuu pe axa x cu densitate. f(X). Spre deosebire de o variabilă aleatorie discretă, pentru care argumentul funcției Xi se modifică brusc, pentru o variabilă aleatoare continuă, argumentul se schimbă continuu. Dar așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue este, de asemenea, legată de valoarea medie a acesteia.

Pentru a găsi așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare continue, trebuie să găsiți integrale definite . Dacă este dată o funcție de densitate a unei variabile aleatoare continue, atunci aceasta intră direct în integrand. Dacă este dată o funcție de distribuție a probabilității, atunci prin diferențierea acesteia, trebuie să găsiți funcția de densitate.

Media aritmetică a tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue se numește ea așteptări matematice, notat cu sau .

În multe cazuri, devine necesară introducerea unei alte caracteristici numerice pentru măsurarea gradului dispersie, răspândire a valorilor, luată ca o variabilă aleatoare ξ , în jurul așteptărilor sale matematice.

Definiție. Varianta unei variabile aleatoare ξ numit un număr.

D= M(ξ-M ξ) 2 . (1)

Cu alte cuvinte, dispersia este așteptarea matematică a abaterii pătrate a valorilor unei variabile aleatoare de la valoarea medie a acesteia.

numit medie pătrată deviere

cantități ξ .

Dacă varianţa caracterizează mărimea medie a abaterii pătrate ξ din Mξ, atunci numărul poate fi considerat ca o caracteristică medie a abaterii în sine, mai exact, cantitatea | ξ-Mξ |.

Definiția (1) implică următoarele două proprietăți ale dispersiei.

1. Dispersia unei valori constante este zero. Acest lucru este destul de în concordanță cu sensul vizual al dispersiei, ca „măsură a răspândirii”.

Într-adevăr, dacă

ξ \u003d C, apoi Mξ = C si asta inseamnă Dξ = M(C-C) 2 = M 0 = 0.

2. La înmulțirea unei variabile aleatoare ξ cu un număr constant C, varianța acestuia este înmulțită cu C 2

D(Cξ) = C 2 Dξ . (3)

Într-adevăr

D(Cξ) = M(C

= M(C .

3. Există următoarea formulă pentru calcularea varianței:

Dovada acestei formule rezultă din proprietățile așteptării matematice.

Noi avem:

4. Dacă valorile ξ 1 și ξ 2 sunt independente, atunci varianța sumei lor este egală cu suma varianțelor lor:

Dovada . Pentru demonstrație, folosim proprietățile așteptării matematice. Lasa Mξ 1 = m 1 , Mξ 2 = m 2 atunci.

Formula (5) este dovedită.

Deoarece varianța unei variabile aleatoare este, prin definiție, așteptarea matematică a valorii ( ξ-m) 2 , unde m = Mξ , apoi pentru a calcula varianța, puteți utiliza formulele obținute în Secțiunea 7, Capitolul II.

Astfel, dacă ξ există un DSV cu lege de distribuție

X 1	X 2	...
p 1	p 2	...

atunci vom avea:

În cazul în care un ξ variabilă aleatoare continuă cu densitate de distribuție p(x), atunci obținem:

Dξ= . (8)

Dacă se utilizează formula (4) pentru a calcula varianța, atunci se pot obține alte formule și anume:

dacă valoarea ξ discret, și

Dξ= , (10)

dacă ξ distribuite cu densitate p(X).

Exemplul 1. Lasă valoarea ξ este distribuit uniform pe segment [ a,b]. Folosind formula (10) obținem:

Se poate arăta că varianța unei variabile aleatoare distribuită conform legii normale cu densitatea

p(x)= , (11)

este egal cu σ 2 .

Aceasta clarifică semnificația parametrului σ inclus în expresia densității (11) pentru legea normală; σ este abaterea standard a valorii ξ.

Exemplul 2 . Aflați varianța unei variabile aleatoare ξ distribuite conform legii binomiale.

Decizia . Folosind reprezentarea lui ξ sub forma

ξ = ξ 1 + ξ 2 + n(vezi exemplul 2 §7 cap. II) și aplicând formula de adunare a variațiilor pentru mărimi independente, obținem

Dξ = Dξ 1 + Dξ 2 + Dξn .

Dispersia oricăreia dintre cantități ξi (i= 1,2, n) se calculează direct:

Dξi = M(ξi) 2 - (Mξ i) 2 = 0 2 q+ 1 2 p- p 2 = p(1-p) = pq.

În sfârșit, obținem

Dξ= npq, Unde q = 1 -p.

varianţă) în străină. În statistică, notația este adesea folosită σ X 2 (\displaystyle \sigma _(X)^(2)) sau σ 2 (\displaystyle \displaystyle \sigma ^(2)).

Rădăcina pătrată a varianței, egală cu σ (\displaystyle \displaystyle \sigma), se numește abatere standard, abatere standard sau spread standard. Abaterea standard este măsurată în aceleași unități ca și variabila aleatoare în sine, iar varianța este măsurată în pătratele acelei unități.

Remarci

Unde - i (\displaystyle i)-a valoare a variabilei aleatoare, p i (\displaystyle p_(i))- probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valoarea x i (\displaystyle x_(i)), n (\displaystyle n)- numărul de valori ale variabilei aleatoare.

Unde f (x) (\displaystyle f(x))- densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare.

Datorită liniarității așteptărilor matematice, formula este valabilă: D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 (\displaystyle D[X]=M-\left(M[X]\right)^(2))
Dispersia este al doilea moment central al variabilei aleatoare;
Dispersia poate fi infinită.
Dispersia poate fi calculată folosind funcția de generare a momentelor U (t) (\displaystyle U(t)): D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 = U ″ (0) − (U ′ (0)) 2 (\displaystyle D[X]=M-\left(M[X] \right)^(2)=U""(0)-\left(U"(0)\dreapta)^(2))
Varianta unei variabile aleatoare întregi poate fi calculată utilizând secvența funcție generatoare .
O formulă convenabilă pentru calcularea estimării părtinitoare dispersiei (îng. variația eșantionului părtinitoare) a unei variabile aleatoare X (\displaystyle X) in secvență X1. . . X n (\displaystyle X_(1)...X_(n))- realizări ale acestei variabile aleatoare: S ¯ 2 = ∑ i = 1 n X i 2 − (∑ i = 1 n X i) n 2 n = ∑ i = 1 n X i 2 − n X ¯ 2 n = ∑ i = 1 n (X i 2 − X ¯ 2) n (\displaystyle (\bar (S))^(2)=(\dfrac (\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)^(2)-(\ dfrac (\left(\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)\right))(n))^(2))(n))=(\dfrac (\sum \limits _ (i=1)^(n)X_(i)^(2)-n(\bar (X))^(2))(n))=(\dfrac (\sum \limits _(i=1)) ^(n)\stanga(X_(i)^(2)-(\bar (X))^(2)\dreapta))(n))) Unde X ¯ = ∑ i = 1 n X i n (\displaystyle (\bar (X))=(\dfrac (\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i))(n)))- estimare imparțială M [ X ] (\displaystyle M[X]). Pentru a obține o estimare imparțială a varianței (de exemplu, varianța eșantionului imparțial), partea dreaptă a egalității de mai sus trebuie înmulțită cu n n - 1 (\displaystyle (\frac (n)(n-1))). Estimatorul imparțial este notat S ~ 2 (\displaystyle (\widetilde (S))^(2)): S ~ 2 = ∑ i = 1 n X i 2 − (∑ i = 1 n X i) n 2 n − 1 = ∑ i = 1 n X i 2 − n X ¯ 2 n − 1 = ∑ i = 1 n (X i 2 - X ¯ 2) n - 1 (\displaystyle (\widetilde (S))^(2)=(\dfrac (\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)^ (2)-(\dfrac (\left(\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)\right))(n))^(2))(n-1))=( \dfrac (\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)^(2)-n(\bar (X))^(2))(n-1))=(\dfrac ( \sum \limits _(i=1)^(n)\left(X_(i)^(2)-(\bar (X))^(2)\right))(n-1)))

Proprietăți

Varianta oricărei variabile aleatoare este nenegativă: D [ X ] ⩾ 0 ; (\displaystyle D[X]\geqslant 0;)
Dacă varianța unei variabile aleatoare este finită, atunci așteptarea ei matematică este, de asemenea, finită;
Dacă o variabilă aleatorie este egală cu o constantă, atunci varianța sa este zero: D [ a ] = 0. (\displaystyle D[a]=0.) Este adevărat și invers: dacă D [ X ] = 0 , (\displaystyle D[X]=0,) apoi X = M [ X ] (\displaystyle X=M[X]) aproape peste tot;
Varianta sumei a doua variabile aleatoare este: D [ X + Y ] = D [ X ] + D [ Y ] + 2 cov (X , Y) (\displaystyle D=D[X]+D[Y]+2\,(\text(cov))( X Y)), Unde cov (X , Y) (\displaystyle (\text(cov))(X,Y))- covarianta lor;
Pentru varianța unei combinații liniare arbitrare a mai multor variabile aleatoare, egalitatea are loc: D [ ∑ i = 1 n c i X i ] = ∑ i = 1 n c i 2 D [ X i ] + 2 ∑ 1 ≤ i< j ⩽ n c i c j cov (X i , X j) {\displaystyle D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D+2\sum _{1\leqslant i, Unde c i ∈ R (\displaystyle c_(i)\in \mathbb (R) );
În special, D [ X 1 + . . . + X n ] = D [ X 1 ] + . . . + D [ X n ] (\displaystyle D=D+...+D) pentru orice dat de egalitate f X (x) = ( 1 , x ∈ [ 0 , 1 ] 0 , x ∉ [ 0 , 1 ] . (\displaystyle f_(X)(x)=\left\((\begin(matrix)1,&x \în \\0,&x\nu \în .\end(matrice))\dreapta.)
Apoi așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare
M [ X 2 ] = ∫ 0 1 x 2 d x = x 3 3 | 0 1 = 1 3 , (\displaystyle M\left=\int \limits _(0)^(1)\!x^(2)\,dx=\left.(\frac (x^(3))( 3))\right\vert _(0)^(1)=(\frac (1)(3)),)
și așteptarea matematică a unei variabile aleatoare
M [ X ] = ∫ 0 1 x d x = x 2 2 | 0 1 = 1 2 . (\displaystyle M\left=\int \limits _(0)^(1)\!x\,dx=\left.(\frac (x^(2))(2))\right\vert _(0 )^(1)=(\frac (1)(2)).)
Apoi varianța variabilei aleatoare
D [ X ] = M [ X 2 ] − (M [ X ]) 2 = 1 3 − (1 2) 2 = 1 12 . (\displaystyle D[X]=M\left-(M[X])^(2)=(\frac (1)(3))-\left((\frac (1)(2))\dreapta) ^(2)=(\frac (1)(12)).)

Definiție.Dispersare (împrăștiere) Variabila aleatoare discretă se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea ei matematică:

Exemplu. Pentru exemplul de mai sus, găsim

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt:

Valori posibile ale abaterii pătrate:

; ;

Dispersia este:

Cu toate acestea, în practică, această metodă de calcul a varianței este incomod, deoarece duce la calcule greoaie pentru un număr mare de valori ale unei variabile aleatorii. Prin urmare, se folosește o altă metodă.

Calculul variației

Teorema. Varianta este egală cu diferența dintre așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare X și pătratul așteptării sale matematice:

Dovada.Ținând cont de faptul că așteptarea matematică și pătratul așteptării matematice sunt valori constante, putem scrie:

Să aplicăm această formulă la exemplul de mai sus:

X
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Proprietăți de dispersie

1) Dispersia unei valori constante este zero:

2) Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:

3) Varianța sumei a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile:

4) Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile:

Valabilitatea acestei egalități rezultă din proprietatea 2.

Teorema. Varianța numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente, în fiecare dintre care probabilitatea de apariție a evenimentului este constantă, este egală cu produsul dintre numărul de încercări cu probabilitatea de apariție și probabilitatea evenimentului. care nu au loc în fiecare proces:

Exemplu. Fabrica produce 96% din produsele de clasa întâi și 4% din produsele de clasa a doua. 1000 de articole sunt alese la întâmplare. Lasa X- numarul de produse de clasa I din acest esantion. Găsiți legea distribuției, așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare.

Astfel, legea distribuției poate fi considerată binomială.

Exemplu. Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete X– numărul de apariții ale evenimentului DARîn două încercări independente, dacă probabilitățile de apariție a acestui eveniment în fiecare proces sunt egale și se știe că

pentru că valoare aleatorie X distribuite conform legii binomiale, atunci

Exemplu. Testele independente sunt efectuate cu aceeași probabilitate de apariție a evenimentului DAR la fiecare test. Găsiți probabilitatea ca un eveniment să se producă DAR dacă varianța numărului de apariții ale evenimentului în trei încercări independente este de 0,63.

Conform formulei de dispersie a legii binomiale, obținem:

;

Exemplu. Este testat un dispozitiv format din patru dispozitive care funcționează independent. Probabilitățile de defecțiune ale fiecăruia dintre dispozitive sunt, respectiv, egale ; ; . Găsiți așteptările și variația matematică a numărului de dispozitive defectate.

Luând numărul de dispozitive eșuate ca variabilă aleatorie, vedem că această variabilă aleatoare poate lua valorile 0, 1, 2, 3 sau 4.

Pentru a elabora o lege de distribuție pentru această variabilă aleatoare, este necesar să se determine probabilitățile corespunzătoare. Să acceptăm.

1) Niciun dispozitiv nu a eșuat:

2) Unul dintre dispozitive a eșuat.

dispersie (difuzarea) unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică:

Pentru a calcula varianța, puteți utiliza o formulă ușor modificată

la fel de M(X), 2 și
sunt valori constante. Prin urmare,

4.2.2. Proprietăți de dispersie

Proprietatea 1. Dispersia unei valori constante este zero. Într-adevăr, prin definiție

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul acestuia.

Dovada

Centrat o variabilă aleatoare este abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice:

Valoarea centrată are două proprietăți care sunt convenabile pentru transformare:

Proprietatea 3. Dacă variabilele aleatoare X și Y independent, atunci

Dovada. Denota
. Apoi.

În al doilea termen, datorită independenței variabilelor aleatoare și proprietăților variabilelor aleatoare centrate

Exemplul 4.5.În cazul în care un Ași b sunt constante, atunci D (AX+b)= D(AX)+D(b)=
.

4.2.3. Deviație standard

Dispersia, ca caracteristică a răspândirii unei variabile aleatoare, are un dezavantaj. Dacă, de exemplu, X– eroarea de măsurare are dimensiunea MM, atunci varianța are dimensiunea
. Prin urmare, adesea se preferă să se folosească o altă caracteristică de împrăștiere - deviație standard , care este egal cu rădăcina pătrată a varianței

Abaterea standard are aceeași dimensiune ca și variabila aleatoare în sine.

Exemplul 4.6. Variația numărului de apariție a unui eveniment în schema de studii independente

Produs nîncercări independente și probabilitatea ca un eveniment să apară în fiecare proces este R. Exprimăm, ca și până acum, numărul de apariție a evenimentului X prin numărul de apariții a evenimentului în experimente individuale:

Deoarece experimentele sunt independente, variabilele aleatoare asociate cu experimentele independent. Și în virtutea independenței noi avem

Dar fiecare dintre variabilele aleatoare are o lege de distribuție (exemplul 3.2)

și
(exemplul 4.4). Prin urmare, prin definiția varianței:

Unde q=1- p.

Ca urmare, avem
,

Abaterea standard a numărului de apariții ale unui eveniment în n experimente independente
.

4.3. Momente de variabile aleatorii

Pe lângă cele deja luate în considerare, variabilele aleatoare au multe alte caracteristici numerice.

Moment de pornire k X (
) se numește așteptarea matematică k puterea acestei variabile aleatoare.

Punctul central k- variabilă aleatoare de ordinul al-lea X se numește așteptare k puterea a mărimii centrate corespunzătoare.

Este ușor de observat că momentul central de ordinul întâi este întotdeauna egal cu zero, momentul central de ordinul doi este egal cu dispersia, deoarece .

Momentul central de ordinul al treilea oferă o idee despre asimetria distribuției unei variabile aleatoare. Momentele de ordine mai mari decât secunda sunt folosite relativ rar, așa că ne vom limita doar la conceptele lor.

4.4. Exemple de găsire a legilor de distribuție

Luați în considerare exemple de găsire a legilor de distribuție a variabilelor aleatoare și a caracteristicilor lor numerice.

Exemplul 4.7.

Compilați legea de distribuție a numărului de lovituri pe țintă cu trei lovituri la țintă, dacă probabilitatea de a lovi cu fiecare lovitură este 0,4. Găsiți funcția integrală F(X) pentru distribuția rezultată a unei variabile aleatoare discrete Xși desenați graficul acestuia. Găsiți așteptările matematice M(X) , dispersie D(X) și abaterea standard
(X) variabilă aleatorie X.

Decizie

1) Variabilă aleatoare discretă X- numărul de lovituri pe țintă cu trei lovituri - poate lua patru valori: 0, 1, 2, 3 . Probabilitatea ca ea să accepte fiecare dintre ele o găsim prin formula Bernoulli pentru: n=3,p=0,4,q=1- p=0,6 și m=0, 1, 2, 3:

Obțineți probabilitățile valorilor posibile X:;

Să compunem legea de distribuție dorită a unei variabile aleatoare X:

Control: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Să construim un poligon de distribuție al variabilei aleatoare obținute X. Pentru a face acest lucru, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, marcați punctele (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Să conectăm aceste puncte cu segmente de linie, linia întreruptă rezultată este poligonul de distribuție dorit (Fig. 4.1).

2) Dacă x 0, atunci F(X)=0. Într-adevăr, pentru valori mai mici decât zero, valoarea X nu acceptă. Prin urmare, pentru toți X0 , folosind definiția F(X), primim F(X)=P(X< X) =0 (ca probabilitate a unui eveniment imposibil).

Daca 0 , apoi F(X) =0,216. Într-adevăr, în acest caz F(X)=P(X< X) = =P(- < X 0)+ P(0< X< X) =0,216+0=0,216.

Dacă luăm, de exemplu, X=0,2, atunci F(0,2)=P(X<0,2) . Dar probabilitatea unui eveniment X<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаX doar într-un caz ia o valoare mai mică de 0,2 și anume 0 cu o probabilitate de 0,216.

Daca 1 , apoi

Într-adevăr, X poate lua valoarea 0 cu o probabilitate de 0,216 și valoarea 1 cu o probabilitate de 0,432; prin urmare, una dintre aceste valori, indiferent care, X poate accepta (conform teoremei de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile) cu o probabilitate de 0,648.

Daca 2 , atunci, argumentând în mod similar, obținem F(X)=0,216+0,432 + + 0,288=0,936. Într-adevăr, să lăsăm, de exemplu, X=3. Apoi F(3)=P(X<3) exprimă probabilitatea unui eveniment X<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииF(X).

În cazul în care un X>3, atunci F(X)=0,216+0,432+0,288+0,064=1. Într-adevăr, evenimentul X
este de încredere și probabilitatea sa este egală cu unu și X>3 - imposibil. Dat fiind

F(X)=P(X< X) =P(X 3) + P(3< X< X) , obținem rezultatul indicat.

Deci, se obține funcția de distribuție integrală dorită a variabilei aleatoare X:

F(X) =

al cărui grafic este prezentat în fig. 4.2.

3) Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete sunt egale cu suma produselor tuturor valorilor posibile X pe probabilitățile lor:

M(X)=0=1,2.

Adică, în medie, există o lovitură la țintă cu trei lovituri.

Varianta poate fi calculată din definiția varianței D(X)= M(X- M(X)) sau folosiți formula D(X)= M(X
, ceea ce duce mai repede la obiectiv.

Să scriem legea distribuției unei variabile aleatoare X :

Găsiți așteptările matematice pentru X:

M(X ) = 04
= 2,16.

Să calculăm varianța dorită:

D(X) = M(X ) – (M(X)) = 2,16 – (1,2)= 0,72.

Abaterea pătratică medie se găsește prin formulă

(X) =
= 0,848.

Interval ( M- ; M+ ) = (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) - intervalul celor mai probabile valori ale variabilei aleatoare X, valorile 1 și 2 se încadrează în el.

Exemplul 4.8.

Este dată funcția de distribuție diferențială (funcția de densitate) a unei variabile aleatoare continue X:

f(X) =

1) Definiți un parametru constant A.

2) Aflați funcția integrală F(X) .

3) Trasează grafice de funcții f(X) și F(X) .

4) Găsiți două moduri de probabilități P(0,5< X 1,5) și P(1,5< X<3,5) .

5). Găsiți așteptările matematice M(X), dispersie D(X)și abaterea standard
variabilă aleatorie X.

Decizie

1) Funcție diferențială după proprietate f(X) trebuie să îndeplinească condiția
.

Să calculăm această integrală improprie pentru funcția dată f(X) :

Înlocuind acest rezultat în partea stângă a egalității, obținem asta A=1. In conditia pentru f(X) modifica parametrul A pe 1:

2) A găsi F(X) utilizați formula

Dacă x
, apoi
, prin urmare,

Daca 1
apoi

Dacă x>2 atunci

Deci, funcția integrală dorită F(X) se pare ca:

3) Să construim grafice ale funcțiilor f(X) și F(X) (fig. 4.3 și 4.4).

4) Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare într-un interval dat (A,b) calculate prin formula
, dacă funcția este cunoscută f(X), iar conform formulei P(A < X < b) = F(b) – F(A), dacă funcţia este cunoscută F(X).

Sa gasim
folosind două formule și comparați rezultatele. După condiție a=0,5;b=1,5; funcţie f(X) specificate la paragraful 1). Prin urmare, probabilitatea dorită conform formulei este:

Aceeași probabilitate poate fi calculată prin formula b) prin creșterea obținută la paragraful 2). funcţie integrală F(X) pe acest interval:

La fel de F(0,5)=0.

În mod similar, găsim

la fel de F(3,5)=1.

5) Pentru a afla așteptarea matematică M(X) utilizați formula
Funcţie f(X) dat în decizia de la paragraful 1), este egal cu zero în afara intervalului (1,2]: