Θα δούμε τρία παραδείγματα σε αυτό το άρθρο:
1. Παραδείγματα με αγκύλες (πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης)
2. Παραδείγματα με αγκύλες (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση)
3. Παραδείγματα με πολλές ενέργειες
1 Παραδείγματα με αγκύλες (πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης)
Ας δούμε τρία παραδείγματα. Σε καθένα από αυτά, η διαδικασία υποδεικνύεται με κόκκινους αριθμούς:
Βλέπουμε ότι η σειρά των ενεργειών σε κάθε παράδειγμα θα είναι διαφορετική, αν και οι αριθμοί και τα σημάδια είναι ίδια. Αυτό συμβαίνει γιατί το δεύτερο και το τρίτο παράδειγμα έχουν παρενθέσεις.
*Αυτός ο κανόνας είναι για παραδείγματα χωρίς πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Κανόνες για παραδείγματα με αγκύλες, συμπεριλαμβανομένων των πράξεων πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, θα εξετάσουμε στο δεύτερο μέρος αυτού του άρθρου.
Για να μην μπερδευτείτε στο παράδειγμα με αγκύλες, μπορείτε να το μετατρέψετε σε κανονικό παράδειγμα, χωρίς αγκύλες. Για να γίνει αυτό, γράφουμε το αποτέλεσμα που λήφθηκε σε αγκύλες πάνω από τις αγκύλες, μετά ξαναγράφουμε ολόκληρο το παράδειγμα, γράφοντας αυτό το αποτέλεσμα αντί για αγκύλες και, στη συνέχεια, εκτελούμε όλες τις ενέργειες με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά:
Σε απλά παραδείγματα, όλες αυτές οι λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν στο μυαλό. Το κύριο πράγμα είναι να εκτελέσετε πρώτα τη δράση σε αγκύλες και να θυμάστε το αποτέλεσμα και στη συνέχεια να μετρήσετε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά.
Και τώρα - εκπαιδευτές!
1) Παραδείγματα με αγκύλες έως 20. Online προσομοιωτής.
2) Παραδείγματα με αγκύλες έως 100. Online προσομοιωτής.
3) Παραδείγματα με αγκύλες. Προπονητής #2
4) Εισαγάγετε τον αριθμό που λείπει - παραδείγματα με αγκύλες. Συσκευή εκπαίδευσης
2 Παραδείγματα με αγκύλες (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση)
Εξετάστε τώρα παραδείγματα στα οποία, εκτός από την πρόσθεση και την αφαίρεση, υπάρχει πολλαπλασιασμός και διαίρεση.
Ας δούμε πρώτα παραδείγματα χωρίς παρένθεση:
Υπάρχει ένα κόλπο, πώς να μην μπερδεύεστε όταν λύνετε παραδείγματα για τη σειρά των ενεργειών. Εάν δεν υπάρχουν αγκύλες, τότε εκτελούμε τις πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, τότε ξαναγράφουμε το παράδειγμα, σημειώνοντας τα αποτελέσματα που ελήφθησαν αντί για αυτές τις ενέργειες. Στη συνέχεια κάνουμε πρόσθεση και αφαίρεση με τη σειρά:
Εάν το παράδειγμα περιέχει αγκύλες, τότε πρώτα πρέπει να απαλλαγείτε από τις αγκύλες: ξαναγράψτε το παράδειγμα, γράφοντας το αποτέλεσμα που προέκυψε σε αυτές αντί για αγκύλες. Στη συνέχεια, πρέπει να επισημάνετε νοερά τα μέρη του παραδείγματος, που χωρίζονται με τα σημάδια "+" και "-" και να μετρήσετε κάθε μέρος ξεχωριστά. Στη συνέχεια, κάντε πρόσθεση και αφαίρεση με τη σειρά:
3 Παραδείγματα με πολλή δράση
Εάν υπάρχουν πολλές ενέργειες στο παράδειγμα, τότε θα είναι πιο βολικό να μην τακτοποιήσετε τη σειρά των ενεργειών σε ολόκληρο το παράδειγμα, αλλά να επιλέξετε μπλοκ και να λύσετε κάθε μπλοκ ξεχωριστά. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τα ελεύθερα σημάδια "+" και "-" (ελεύθερα σημαίνει όχι σε αγκύλες, που φαίνονται με βέλη στο σχήμα).
Αυτά τα σημάδια θα χωρίσουν το παράδειγμά μας σε μπλοκ:
Εκτελώντας τις ενέργειες σε κάθε μπλοκ, μην ξεχνάτε τη διαδικασία που αναφέρεται παραπάνω στο άρθρο. Αφού λύσουμε κάθε μπλοκ, εκτελούμε πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης με τη σειρά.
Και τώρα διορθώνουμε τη λύση των παραδειγμάτων με τη σειρά των ενεργειών στους προσομοιωτές!
Όταν εργαζόμαστε με διάφορες παραστάσεις, συμπεριλαμβανομένων αριθμών, γραμμάτων και μεταβλητών, πρέπει να εκτελέσουμε μεγάλο αριθμό αριθμητικών πράξεων. Όταν κάνουμε έναν μετασχηματισμό ή υπολογίζουμε μια τιμή, είναι πολύ σημαντικό να ακολουθούμε τη σωστή σειρά αυτών των ενεργειών. Με άλλα λόγια, οι αριθμητικές πράξεις έχουν τη δική τους ειδική σειρά εκτέλεσης.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Σε αυτό το άρθρο, θα σας πούμε ποιες ενέργειες πρέπει να γίνουν πρώτα και ποιες μετά. Αρχικά, ας δούμε μερικές απλές εκφράσεις που περιέχουν μόνο μεταβλητές ή αριθμητικές τιμές, καθώς και σύμβολα διαίρεσης, πολλαπλασιασμού, αφαίρεσης και πρόσθεσης. Στη συνέχεια θα πάρουμε παραδείγματα με αγκύλες και θα εξετάσουμε με ποια σειρά θα πρέπει να αξιολογηθούν. Στο τρίτο μέρος, θα δώσουμε τη σωστή σειρά μετασχηματισμών και υπολογισμών σε εκείνα τα παραδείγματα που περιλαμβάνουν τα σημάδια των ριζών, των δυνάμεων και άλλων συναρτήσεων.
Ορισμός 1Στην περίπτωση των εκφράσεων χωρίς αγκύλες, η σειρά των ενεργειών καθορίζεται με σαφήνεια:
- Όλες οι ενέργειες εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά.
- Πρώτα απ 'όλα, κάνουμε διαίρεση και πολλαπλασιασμό, και δεύτερον, αφαίρεση και πρόσθεση.
Το νόημα αυτών των κανόνων είναι εύκολο να κατανοηθεί. Η παραδοσιακή σειρά γραφής από αριστερά προς τα δεξιά ορίζει τη βασική ακολουθία των υπολογισμών και η ανάγκη να πολλαπλασιαστεί ή να διαιρεθεί πρώτα εξηγείται από την ίδια την ουσία αυτών των πράξεων.
Ας πάρουμε μερικές εργασίες για σαφήνεια. Χρησιμοποιήσαμε μόνο τις απλούστερες αριθμητικές εκφράσεις έτσι ώστε όλοι οι υπολογισμοί να μπορούν να γίνουν νοερά. Έτσι, μπορείτε να θυμάστε γρήγορα την επιθυμητή παραγγελία και να ελέγξετε γρήγορα τα αποτελέσματα.
Παράδειγμα 1
Κατάσταση:υπολογίστε πόσο 7 − 3 + 6 .
Λύση
Δεν υπάρχουν αγκύλες στην έκφρασή μας, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση επίσης απουσιάζουν, επομένως εκτελούμε όλες τις ενέργειες με την καθορισμένη σειρά. Αρχικά, αφαιρέστε τρία από τα επτά, προσθέστε έξι στο υπόλοιπο, και ως αποτέλεσμα παίρνουμε δέκα. Εδώ είναι μια εγγραφή ολόκληρης της λύσης:
7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10
Απάντηση: 7 − 3 + 6 = 10 .
Παράδειγμα 2
Κατάσταση:με ποια σειρά πρέπει να εκτελούνται οι υπολογισμοί στην παράσταση 6:2 8:3?
Λύση
Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, ξαναδιαβάζουμε τον κανόνα για εκφράσεις χωρίς παρένθεση, τον οποίο διατυπώσαμε νωρίτερα. Εδώ έχουμε μόνο πολλαπλασιασμό και διαίρεση, που σημαίνει ότι κρατάμε τη γραπτή σειρά των υπολογισμών και μετράμε διαδοχικά από αριστερά προς τα δεξιά.
Απάντηση:Αρχικά, διαιρούμε έξι με δύο, πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με οκτώ και διαιρούμε τον αριθμό που προκύπτει με το τρία.
Παράδειγμα 3
Κατάσταση:υπολογίστε πόσο θα είναι 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2.
Λύση
Αρχικά, ας προσδιορίσουμε τη σωστή σειρά πράξεων, αφού εδώ έχουμε όλους τους βασικούς τύπους αριθμητικών πράξεων - πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να διαιρέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε. Αυτές οι ενέργειες δεν έχουν προτεραιότητα η μία έναντι της άλλης, επομένως τις εκτελούμε με τη γραπτή σειρά από δεξιά προς τα αριστερά. Δηλαδή, το 5 πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το 6 και να πάρει 30, μετά το 30 να διαιρεθεί με το 3 και να πάρει το 10. Μετά από αυτό διαιρούμε το 4 με το 2, αυτό είναι 2. Αντικαταστήστε τις τιμές που βρέθηκαν στην αρχική έκφραση:
17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2
Δεν υπάρχει διαίρεση ή πολλαπλασιασμός εδώ, οπότε κάνουμε τους υπόλοιπους υπολογισμούς με τη σειρά και παίρνουμε την απάντηση:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Απάντηση:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.
Μέχρι να μαθευτεί σταθερά η σειρά εκτέλεσης των ενεργειών, μπορείτε να βάλετε αριθμούς πάνω από τα σημάδια των αριθμητικών πράξεων, υποδεικνύοντας τη σειρά υπολογισμού. Για παράδειγμα, για το παραπάνω πρόβλημα, θα μπορούσαμε να το γράψουμε ως εξής:
Αν έχουμε κυριολεκτικές εκφράσεις, τότε κάνουμε το ίδιο με αυτές: πρώτα πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε, μετά προσθέτουμε και αφαιρούμε.
Τι είναι τα βήματα ένα και δύο
Μερικές φορές στα βιβλία αναφοράς όλες οι αριθμητικές πράξεις χωρίζονται σε πράξεις του πρώτου και του δεύτερου σταδίου. Ας διατυπώσουμε τον απαιτούμενο ορισμό.
Οι πράξεις του πρώτου σταδίου περιλαμβάνουν αφαίρεση και πρόσθεση, το δεύτερο - πολλαπλασιασμό και διαίρεση.
Γνωρίζοντας αυτά τα ονόματα, μπορούμε να γράψουμε τον κανόνα που δόθηκε προηγουμένως σχετικά με τη σειρά των ενεργειών ως εξής:
Ορισμός 2
Σε μια έκφραση που δεν περιέχει παρενθέσεις, εκτελέστε πρώτα τις ενέργειες του δεύτερου βήματος προς την κατεύθυνση από αριστερά προς τα δεξιά και μετά τις ενέργειες του πρώτου βήματος (στην ίδια κατεύθυνση).
Σειρά αξιολόγησης σε εκφράσεις με αγκύλες
Οι ίδιες οι παρενθέσεις είναι ένα σημάδι που μας λέει την επιθυμητή σειρά με την οποία πρέπει να εκτελέσουμε τις ενέργειες. Σε αυτήν την περίπτωση, ο επιθυμητός κανόνας μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Ορισμός 3
Εάν υπάρχουν αγκύλες στην έκφραση, τότε εκτελείται πρώτα η ενέργεια σε αυτές, μετά την οποία πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε και στη συνέχεια προσθέτουμε και αφαιρούμε προς την κατεύθυνση από αριστερά προς τα δεξιά.
Όσον αφορά την ίδια την έκφραση σε παρένθεση, μπορεί να θεωρηθεί ως συστατικό της κύριας έκφρασης. Κατά τον υπολογισμό της τιμής της έκφρασης σε αγκύλες, κρατάμε την ίδια διαδικασία γνωστή σε εμάς. Ας επεξηγήσουμε την ιδέα μας με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 4
Κατάσταση:υπολογίστε πόσο 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.
Λύση
Αυτή η έκφραση έχει παρενθέσεις, οπότε ας ξεκινήσουμε με αυτές. Πρώτα απ 'όλα, ας υπολογίσουμε πόσο θα είναι το 7 − 2 · 3. Εδώ πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 2 με το 3 και να αφαιρέσουμε το αποτέλεσμα από το 7:
7 − 2 3 = 7 − 6 = 1
Θεωρούμε το αποτέλεσμα στις δεύτερες αγκύλες. Εκεί έχουμε μόνο μία ενέργεια: 6 − 4 = 2 .
Τώρα πρέπει να αντικαταστήσουμε τις προκύπτουσες τιμές στην αρχική έκφραση:
5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2
Ας ξεκινήσουμε με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, μετά αφαιρούμε και παίρνουμε:
5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6
Αυτό ολοκληρώνει τους υπολογισμούς.
Απάντηση: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.
Μην ανησυχείτε εάν η συνθήκη περιέχει μια έκφραση στην οποία ορισμένες αγκύλες περικλείουν άλλες. Χρειάζεται μόνο να εφαρμόσουμε τον παραπάνω κανόνα με συνέπεια σε όλες τις παραστάσεις σε παρένθεση. Ας αναλάβουμε αυτό το καθήκον.
Παράδειγμα 5
Κατάσταση:υπολογίστε πόσο 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).
Λύση
Έχουμε αγκύλες εντός παρενθέσεων. Ξεκινάμε με 3 + 1 + 4 (2 + 3) , δηλαδή 2 + 3 . Θα είναι 5. Η τιμή θα πρέπει να αντικατασταθεί στην παράσταση και να υπολογίσετε ότι 3 + 1 + 4 5 . Θυμόμαστε ότι πρέπει πρώτα να πολλαπλασιάσουμε και μετά να προσθέσουμε: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν στην αρχική έκφραση, υπολογίζουμε την απάντηση: 4 + 24 = 28 .
Απάντηση: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.
Με άλλα λόγια, όταν αξιολογούμε την αξία μιας έκφρασης που περιλαμβάνει παρενθέσεις μέσα σε παρενθέσεις, ξεκινάμε από τις εσωτερικές παρενθέσεις και προχωράμε προς τις εξωτερικές.
Ας πούμε ότι πρέπει να βρούμε πόσο θα είναι (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Ξεκινάμε με την έκφραση στις εσωτερικές αγκύλες. Εφόσον 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , η αρχική παράσταση μπορεί να γραφτεί ως (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Και πάλι γυρίζουμε στις εσωτερικές αγκύλες: 4 + 1 = 5 . Φτάσαμε στην έκφραση (4 + 5 − 1) − 1 . Πιστεύουμε 4 + 5 − 1 = 8 και ως αποτέλεσμα παίρνουμε τη διαφορά 8 - 1, το αποτέλεσμα της οποίας θα είναι 7.
Η σειρά υπολογισμού σε παραστάσεις με δυνάμεις, ρίζες, λογάριθμους και άλλες συναρτήσεις
Αν έχουμε έκφραση στη συνθήκη με βαθμό, ρίζα, λογάριθμο ή τριγωνομετρική συνάρτηση (ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη) ή άλλες συναρτήσεις, τότε πρώτα από όλα υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης. Μετά από αυτό, ενεργούμε σύμφωνα με τους κανόνες που καθορίζονται στις προηγούμενες παραγράφους. Με άλλα λόγια, οι συναρτήσεις έχουν ίση σημασία με την έκφραση που περικλείεται σε αγκύλες.
Ας δούμε ένα παράδειγμα τέτοιου υπολογισμού.
Παράδειγμα 6
Κατάσταση:βρείτε πόσο θα είναι (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .
Λύση
Έχουμε μια έκφραση με βαθμό, η τιμή της οποίας πρέπει να βρεθεί πρώτα. Θεωρούμε: 6 2 \u003d 36. Τώρα αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στην παράσταση, μετά την οποία θα πάρει τη μορφή (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 .
(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13
Απάντηση: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.
Σε ένα ξεχωριστό άρθρο αφιερωμένο στον υπολογισμό των τιμών των παραστάσεων, παρέχουμε άλλα, πιο σύνθετα παραδείγματα υπολογισμών στην περίπτωση εκφράσεων με ρίζες, βαθμούς κ.λπ. Σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε με αυτό.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Και κατά τον υπολογισμό των τιμών των εκφράσεων, οι ενέργειες εκτελούνται με μια συγκεκριμένη σειρά, με άλλα λόγια, πρέπει να παρατηρήσετε σειρά ενεργειών.
Σε αυτό το άρθρο, θα καταλάβουμε ποιες ενέργειες πρέπει να εκτελεστούν πρώτα και ποιες μετά από αυτές. Ας ξεκινήσουμε με τις απλούστερες περιπτώσεις, όταν η παράσταση περιέχει μόνο αριθμούς ή μεταβλητές που συνδέονται με συν, πλην, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Στη συνέχεια, θα εξηγήσουμε ποια σειρά εκτέλεσης των ενεργειών πρέπει να ακολουθείται σε εκφράσεις με αγκύλες. Τέλος, εξετάστε τη σειρά με την οποία εκτελούνται ενέργειες σε εκφράσεις που περιέχουν δυνάμεις, ρίζες και άλλες συναρτήσεις.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση
Το σχολείο παρέχει τα ακόλουθα ένας κανόνας που καθορίζει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε εκφράσεις χωρίς παρένθεση:
- οι ενέργειες εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά,
- όπου γίνεται πρώτα ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση και μετά η πρόσθεση και η αφαίρεση.
Ο αναφερόμενος κανόνας γίνεται αντιληπτός αρκετά φυσιολογικά. Η εκτέλεση ενεργειών με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά εξηγείται από το γεγονός ότι συνηθίζεται να κρατάμε αρχεία από αριστερά προς τα δεξιά. Και το γεγονός ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση εκτελούνται πριν από την πρόσθεση και την αφαίρεση εξηγείται από το νόημα που φέρουν αυτές οι ενέργειες από μόνες τους.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα. Για παράδειγμα, θα πάρουμε τις απλούστερες αριθμητικές εκφράσεις, ώστε να μην μας αποσπούν οι υπολογισμοί, αλλά να επικεντρωθούμε στη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες.
Παράδειγμα.
Ακολουθήστε τα βήματα 7−3+6.
Λύση.
Η αρχική έκφραση δεν περιέχει παρενθέσεις, ούτε πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Επομένως, θα πρέπει να εκτελέσουμε όλες τις ενέργειες με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, δηλαδή, πρώτα αφαιρούμε 3 από το 7, παίρνουμε 4, μετά από το οποίο προσθέτουμε 6 στη διαφορά που προκύπτει 4, παίρνουμε 10.
Συνοπτικά, η λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής: 7−3+6=4+6=10 .
Απάντηση:
7−3+6=10 .
Παράδειγμα.
Υποδείξτε τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες στην έκφραση 6:2·8:3.
Λύση.
Για να απαντήσουμε στην ερώτηση του προβλήματος, ας στραφούμε στον κανόνα που υποδεικνύει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες. Η αρχική έκφραση περιέχει μόνο τις πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης και σύμφωνα με τον κανόνα, πρέπει να εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.
Απάντηση:
Πρώτα 6 διαιρούμενο με 2, αυτό το πηλίκο πολλαπλασιάζεται με 8, τελικά, το αποτέλεσμα διαιρείται με 3.
Παράδειγμα.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 17−5·6:3−2+4:2 .
Λύση.
Αρχικά, ας προσδιορίσουμε με ποια σειρά πρέπει να εκτελούνται οι ενέργειες στην αρχική έκφραση. Περιλαμβάνει και πολλαπλασιασμό και διαίρεση και πρόσθεση και αφαίρεση. Πρώτα, από αριστερά προς τα δεξιά, πρέπει να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Έτσι πολλαπλασιάζουμε το 5 με το 6, παίρνουμε 30, διαιρούμε αυτόν τον αριθμό με το 3, παίρνουμε 10. Τώρα διαιρούμε το 4 με το 2, παίρνουμε 2. Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε 10 αντί για 5 6:3 στην αρχική έκφραση και την τιμή 2 αντί για 4:2, έχουμε 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.
Δεν υπάρχει πολλαπλασιασμός και διαίρεση στην παράσταση που προκύπτει, επομένως μένει να εκτελέσουμε τις υπόλοιπες ενέργειες με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Απάντηση:
17−5 6:3−2+4:2=7 .
Αρχικά, για να μην συγχέεται η σειρά εκτέλεσης των ενεργειών κατά τον υπολογισμό της τιμής μιας έκφρασης, είναι βολικό να τοποθετούνται οι αριθμοί πάνω από τα σημάδια των ενεργειών που αντιστοιχούν στη σειρά με την οποία εκτελούνται. Για το προηγούμενο παράδειγμα, θα μοιάζει με αυτό: .
Η ίδια σειρά πράξεων - πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση - πρέπει να ακολουθείται κατά την εργασία με κυριολεκτικές εκφράσεις.
Βήματα 1 και 2
Σε ορισμένα σχολικά βιβλία για τα μαθηματικά, υπάρχει μια διαίρεση των αριθμητικών πράξεων σε πράξεις του πρώτου και του δεύτερου βήματος. Ας ασχοληθούμε με αυτό.
Ορισμός.
Δράσεις πρώτου βήματοςλέγονται πρόσθεση και αφαίρεση και πολλαπλασιασμός και διαίρεση ενέργειες δεύτερου βήματος.
Με αυτούς τους όρους, ο κανόνας της προηγούμενης παραγράφου, ο οποίος καθορίζει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες, θα γραφτεί ως εξής: εάν η έκφραση δεν περιέχει αγκύλες, τότε με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, οι ενέργειες του δεύτερου σταδίου ( ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση) εκτελούνται πρώτα και μετά οι ενέργειες του πρώτου σταδίου (πρόσθεση και αφαίρεση).
Σειρά εκτέλεσης αριθμητικών πράξεων σε εκφράσεις με αγκύλες
Οι εκφράσεις συχνά περιέχουν παρενθέσεις για να υποδείξουν τη σειρά με την οποία πρέπει να εκτελεστούν οι ενέργειες. Σε αυτήν την περίπτωση ένας κανόνας που καθορίζει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε εκφράσεις με αγκύλες, διατυπώνεται ως εξής: πρώτα εκτελούνται οι ενέργειες σε αγκύλες, ενώ ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση γίνονται επίσης με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, μετά πρόσθεση και αφαίρεση.
Έτσι, οι εκφράσεις σε αγκύλες θεωρούνται συστατικά της αρχικής έκφρασης και η σειρά των ενεργειών που είναι ήδη γνωστές σε εμάς διατηρείται σε αυτές. Εξετάστε τις λύσεις των παραδειγμάτων για μεγαλύτερη σαφήνεια.
Παράδειγμα.
Εκτελέστε τα δοσμένα βήματα 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Λύση.
Η έκφραση περιέχει αγκύλες, οπότε ας εκτελέσουμε πρώτα τις πράξεις στις εκφράσεις που περικλείονται σε αυτές τις αγκύλες. Ας ξεκινήσουμε με την έκφραση 7−2 3 . Σε αυτό, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, και μόνο μετά την αφαίρεση, έχουμε 7−2 3=7−6=1 . Περνάμε στη δεύτερη παράσταση στις αγκύλες 6−4 . Υπάρχει μόνο μία ενέργεια εδώ - αφαίρεση, την εκτελούμε 6−4=2 .
Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στην αρχική έκφραση: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. Στην παράσταση που προκύπτει, πρώτα εκτελούμε πολλαπλασιασμό και διαίρεση από αριστερά προς τα δεξιά, μετά αφαίρεση, παίρνουμε 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . Σε αυτό, ολοκληρώθηκαν όλες οι ενέργειες, τηρήσαμε την ακόλουθη σειρά εκτέλεσής τους: 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Ας γράψουμε μια σύντομη λύση: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
Απάντηση:
5+(7−2 3)(6−4):2=6 .
Συμβαίνει μια έκφραση να περιέχει αγκύλες μέσα σε αγκύλες. Δεν πρέπει να φοβάστε αυτό, απλά πρέπει να εφαρμόζετε με συνέπεια τον εκφρασμένο κανόνα για την εκτέλεση ενεργειών σε εκφράσεις με αγκύλες. Ας δείξουμε ένα παράδειγμα λύσης.
Παράδειγμα.
Εκτελέστε τις ενέργειες στην παράσταση 4+(3+1+4·(2+3)) .
Λύση.
Αυτή είναι μια έκφραση με αγκύλες, που σημαίνει ότι η εκτέλεση των ενεργειών πρέπει να ξεκινά με την έκφραση σε αγκύλες, δηλαδή με 3+1+4 (2+3) . Αυτή η έκφραση περιέχει επίσης παρενθέσεις, επομένως πρέπει πρώτα να εκτελέσετε ενέργειες σε αυτές. Ας κάνουμε αυτό: 2+3=5 . Αντικαθιστώντας την τιμή που βρέθηκε, παίρνουμε 3+1+4 5 . Σε αυτήν την παράσταση, κάνουμε πρώτα πολλαπλασιασμό, μετά πρόσθεση, έχουμε 3+1+4 5=3+1+20=24 . Η αρχική τιμή, αφού αντικαταστήσει αυτήν την τιμή, παίρνει τη μορφή 4+24 , και μένει μόνο να ολοκληρωθούν οι ενέργειες: 4+24=28 .
Απάντηση:
4+(3+1+4 (2+3))=28 .
Γενικά, όταν υπάρχουν παρενθέσεις εντός παρενθέσεων σε μια έκφραση, είναι συχνά βολικό να ξεκινήσετε με τις εσωτερικές παρενθέσεις και να προχωρήσετε προς τις εξωτερικές.
Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να εκτελέσουμε πράξεις στην παράσταση (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Αρχικά, εκτελούμε ενέργειες σε εσωτερικές αγκύλες, αφού 4−6:2=4−3=1 , μετά από αυτό η αρχική παράσταση θα πάρει τη μορφή (4+(4+1)−1)−1. Και πάλι, εκτελούμε την ενέργεια στις εσωτερικές αγκύλες, αφού 4+1=5 , τότε φτάνουμε στην παρακάτω παράσταση (4+5−1)−1 . Και πάλι, εκτελούμε τις ενέργειες σε αγκύλες: 4+5−1=8 , ενώ φτάνουμε στη διαφορά 8−1 , που είναι ίση με 7 .
Το δημοτικό σχολείο φτάνει στο τέλος του, σύντομα το παιδί θα μπει στον βαθύ κόσμο των μαθηματικών. Όμως ήδη σε αυτή την περίοδο, ο μαθητής έρχεται αντιμέτωπος με τις δυσκολίες της επιστήμης. Εκτελώντας μια απλή εργασία, το παιδί μπερδεύεται, χάνεται, κάτι που ως αποτέλεσμα οδηγεί σε αρνητικό βαθμό για την εργασία που εκτελείται. Για να αποφύγετε τέτοια προβλήματα, κατά την επίλυση παραδειγμάτων, πρέπει να μπορείτε να πλοηγηθείτε με τη σειρά με την οποία πρέπει να λύσετε το παράδειγμα. Κατανέμοντας εσφαλμένες ενέργειες, το παιδί δεν εκτελεί σωστά την εργασία. Το άρθρο αποκαλύπτει τους βασικούς κανόνες για την επίλυση παραδειγμάτων που περιέχουν όλο το φάσμα των μαθηματικών υπολογισμών, συμπεριλαμβανομένων των παρενθέσεων. Η σειρά των ενεργειών στα μαθηματικά τάξη 4 κανόνες και παραδείγματα.
Πριν ολοκληρώσετε την εργασία, ζητήστε από το παιδί σας να αριθμήσει τις ενέργειες που πρόκειται να κάνει. Εάν έχετε οποιεσδήποτε δυσκολίες, παρακαλώ βοηθήστε.
Μερικοί κανόνες που πρέπει να ακολουθήσετε κατά την επίλυση παραδειγμάτων χωρίς αγκύλες:
Εάν μια εργασία χρειάζεται να εκτελέσει μια σειρά ενεργειών, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε διαίρεση ή πολλαπλασιασμό και στη συνέχεια. Όλες οι ενέργειες εκτελούνται κατά τη διάρκεια της γραφής. Διαφορετικά, το αποτέλεσμα της λύσης δεν θα είναι σωστό.
Αν στο παράδειγμα απαιτείται να εκτελεστεί, εκτελούμε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά.
27-5+15=37 (όταν λύνουμε το παράδειγμα, καθοδηγούμαστε από τον κανόνα. Πρώτα, κάνουμε αφαίρεση και μετά πρόσθεση).
Διδάξτε στο παιδί σας να σχεδιάζει και να αριθμεί πάντα τις ενέργειες που πρέπει να κάνει.
Οι απαντήσεις σε κάθε λυμένη ενέργεια γράφονται πάνω από το παράδειγμα. Έτσι θα είναι πολύ πιο εύκολο για το παιδί να πλοηγηθεί στις ενέργειες.
Εξετάστε μια άλλη επιλογή όπου είναι απαραίτητο να διανείμετε τις ενέργειες με τη σειρά:
Όπως μπορείτε να δείτε, κατά την επίλυση, τηρείται ο κανόνας, πρώτα αναζητούμε το προϊόν, μετά από αυτό - τη διαφορά.
Αυτά είναι απλά παραδείγματα που απαιτούν προσοχή για να λυθούν. Πολλά παιδιά πέφτουν σε λήθαργο όταν βλέπουν μια εργασία στην οποία δεν υπάρχει μόνο πολλαπλασιασμός και διαίρεση, αλλά και παρενθέσεις. Ένας μαθητής που δεν γνωρίζει τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών έχει ερωτήσεις που τον εμποδίζουν να ολοκληρώσει την εργασία.
Όπως αναφέρεται στον κανόνα, πρώτα βρίσκουμε ένα έργο ή ένα συγκεκριμένο, και μετά όλα τα άλλα. Αλλά μετά υπάρχουν παρενθέσεις! Πώς να προχωρήσετε σε αυτή την περίπτωση;
Επίλυση παραδειγμάτων με αγκύλες
Ας πάρουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:
- Κατά την εκτέλεση αυτής της εργασίας, βρείτε πρώτα την τιμή της έκφρασης που περικλείεται σε αγκύλες.
- Ξεκινήστε με τον πολλαπλασιασμό και μετά προσθέστε.
- Αφού λυθεί η έκφραση στις αγκύλες, προχωράμε στις ενέργειες έξω από αυτές.
- Σύμφωνα με τη σειρά των πράξεων, το επόμενο βήμα είναι ο πολλαπλασιασμός.
- Το τελικό βήμα θα είναι.
Όπως μπορείτε να δείτε στο ενδεικτικό παράδειγμα, όλες οι ενέργειες είναι αριθμημένες. Για να εμπεδώσετε το θέμα, καλέστε το παιδί να λύσει πολλά παραδείγματα μόνο του:
Η σειρά με την οποία πρέπει να αξιολογηθεί η τιμή της έκφρασης έχει ήδη οριστεί. Το παιδί θα πρέπει μόνο να εκτελέσει την απόφαση απευθείας.
Ας περιπλέκουμε το έργο. Αφήστε το παιδί να βρει μόνο του το νόημα των εκφράσεων.
7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)
Διδάξτε στο παιδί σας να λύνει όλες τις εργασίες σε μια πρόχειρη έκδοση. Σε αυτή την περίπτωση, ο μαθητής θα έχει την ευκαιρία να διορθώσει τη λάθος απόφαση ή τα blots. Δεν επιτρέπονται διορθώσεις στο βιβλίο εργασίας. Όταν κάνουν εργασίες μόνα τους, τα παιδιά βλέπουν τα λάθη τους.
Οι γονείς, με τη σειρά τους, θα πρέπει να δώσουν προσοχή στα λάθη, να βοηθήσουν το παιδί να τα κατανοήσει και να τα διορθώσει. Μην φορτώνετε τον εγκέφαλο του μαθητή με μεγάλο όγκο εργασιών. Με τέτοιες ενέργειες, θα νικήσετε την επιθυμία του παιδιού για γνώση. Πρέπει να υπάρχει μια αίσθηση αναλογίας σε όλα.
Κάνε ένα διάλειμμα. Το παιδί πρέπει να αποσπάται η προσοχή και να ξεκουράζεται από τα μαθήματα. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν έχουν όλοι μια μαθηματική νοοτροπία. Ίσως το παιδί σας μεγαλώσει και γίνει διάσημος φιλόσοφος.
Το άλφα δηλώνει έναν πραγματικό αριθμό. Το πρόσημο ίσου στις παραπάνω εκφράσεις δείχνει ότι αν προσθέσετε έναν αριθμό ή άπειρο στο άπειρο, τίποτα δεν θα αλλάξει, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο άπειρο. Αν πάρουμε ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών ως παράδειγμα, τότε τα εξεταζόμενα παραδείγματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως εξής:
Για να αποδείξουν οπτικά την υπόθεσή τους, οι μαθηματικοί έχουν βρει πολλές διαφορετικές μεθόδους. Προσωπικά, βλέπω όλες αυτές τις μεθόδους σαν τους χορούς των σαμάνων με τα ντέφια. Ουσιαστικά, όλοι καταλήγουν στο γεγονός ότι είτε κάποια από τα δωμάτια δεν είναι κατειλημμένα και εγκαθίστανται νέοι επισκέπτες, είτε ότι κάποιοι από τους επισκέπτες πετιούνται στο διάδρομο για να κάνουν χώρο για τους καλεσμένους (πολύ ανθρώπινα). Παρουσίασα την άποψή μου για τέτοιες αποφάσεις με τη μορφή μιας φανταστικής ιστορίας για την Ξανθιά. Σε τι βασίζεται το σκεπτικό μου; Η μετακίνηση ενός άπειρου αριθμού επισκεπτών απαιτεί άπειρο χρόνο. Αφού αδειάσουμε το πρώτο δωμάτιο επισκεπτών, ένας από τους επισκέπτες θα περπατά πάντα κατά μήκος του διαδρόμου από το δωμάτιό του στο επόμενο μέχρι το τέλος του χρόνου. Φυσικά, ο παράγοντας χρόνος μπορεί να αγνοηθεί βλακωδώς, αλλά αυτό θα είναι ήδη από την κατηγορία «ο νόμος δεν είναι γραμμένος για ανόητους». Όλα εξαρτώνται από το τι κάνουμε: προσαρμογή της πραγματικότητας στις μαθηματικές θεωρίες ή το αντίστροφο.
Τι είναι ένα «άπειρο ξενοδοχείο»; Ένα infinity inn είναι ένα πανδοχείο που έχει πάντα οποιονδήποτε αριθμό κενών θέσεων, ανεξάρτητα από το πόσα δωμάτια είναι κατειλημμένα. Αν όλα τα δωμάτια στον ατελείωτο διάδρομο «για τους επισκέπτες» είναι κατειλημμένα, υπάρχει ένας άλλος ατελείωτος διάδρομος με δωμάτια για «καλεσμένους». Θα υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων διαδρόμων. Ταυτόχρονα, το «άπειρο ξενοδοχείο» έχει άπειρους ορόφους σε άπειρα κτίρια σε άπειρο αριθμό πλανητών σε άπειρα σύμπαντα που δημιουργούνται από άπειρους Θεούς. Οι μαθηματικοί, από την άλλη, δεν μπορούν να απομακρυνθούν από τα κοινά καθημερινά προβλήματα: ο Θεός-Αλλάχ-Βούδας είναι πάντα μόνο ένας, το ξενοδοχείο είναι ένα, ο διάδρομος είναι μόνο ένας. Έτσι, οι μαθηματικοί προσπαθούν να κάνουν ταχυδακτυλουργικά τους σειριακούς αριθμούς των δωματίων του ξενοδοχείου, πείθοντάς μας ότι είναι δυνατό να «σπρώξουμε το απωθημένο».
Θα σας δείξω τη λογική του συλλογισμού μου χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου φυσικών αριθμών. Πρώτα πρέπει να απαντήσετε σε μια πολύ απλή ερώτηση: πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν - ένα ή πολλά; Δεν υπάρχει σωστή απάντηση σε αυτή την ερώτηση, αφού εμείς οι ίδιοι εφεύραμε τους αριθμούς, δεν υπάρχουν αριθμοί στη Φύση. Ναι, η φύση ξέρει να μετράει τέλεια, αλλά για αυτό χρησιμοποιεί άλλα μαθηματικά εργαλεία που δεν μας είναι οικεία. Όπως νομίζει η Φύση, θα σας το πω άλλη φορά. Εφόσον εφεύραμε τους αριθμούς, εμείς οι ίδιοι θα αποφασίσουμε πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν. Εξετάστε και τις δύο επιλογές, όπως αρμόζει σε έναν πραγματικό επιστήμονα.
Επιλογή μία. «Ας μας δοθεί» ένα ενιαίο σύνολο φυσικών αριθμών, που βρίσκεται γαλήνια σε ένα ράφι. Παίρνουμε αυτό το σετ από το ράφι. Αυτό ήταν, δεν έχουν μείνει άλλοι φυσικοί αριθμοί στο ράφι και δεν υπάρχει που να τους πάρεις. Δεν μπορούμε να προσθέσουμε ένα σε αυτό το σύνολο, αφού το έχουμε ήδη. Τι γίνεται αν το θέλεις πραγματικά; Κανένα πρόβλημα. Μπορούμε να πάρουμε μια μονάδα από το σετ που έχουμε ήδη πάρει και να την επιστρέψουμε στο ράφι. Μετά από αυτό, μπορούμε να πάρουμε μια μονάδα από το ράφι και να την προσθέσουμε σε ότι μας έχει απομείνει. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε και πάλι ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών. Μπορείτε να γράψετε όλους τους χειρισμούς μας ως εξής:
Έχω γράψει τις πράξεις σε αλγεβρική σημειογραφία και σημειογραφία θεωρίας συνόλων, παραθέτοντας αναλυτικά τα στοιχεία του συνόλου. Ο δείκτης υποδεικνύει ότι έχουμε ένα και μοναδικό σύνολο φυσικών αριθμών. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών θα παραμείνει αμετάβλητο μόνο εάν αφαιρεθεί ένας από αυτό και προστεθεί η ίδια μονάδα.
Επιλογή δύο. Έχουμε πολλά διαφορετικά άπειρα σύνολα φυσικών αριθμών στο ράφι. Τονίζω - ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ, παρά το γεγονός ότι πρακτικά δεν διακρίνονται. Παίρνουμε ένα από αυτά τα σετ. Στη συνέχεια παίρνουμε ένα από ένα άλλο σύνολο φυσικών αριθμών και το προσθέτουμε στο σύνολο που έχουμε ήδη πάρει. Μπορούμε ακόμη να προσθέσουμε δύο σύνολα φυσικών αριθμών. Να τι παίρνουμε:
Οι δείκτες "ένα" και "δύο" υποδεικνύουν ότι αυτά τα στοιχεία ανήκαν σε διαφορετικά σύνολα. Ναι, αν προσθέσετε ένα σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένα άπειρο σύνολο, αλλά δεν θα είναι το ίδιο με το αρχικό σύνολο. Εάν ένα άπειρο σύνολο προστεθεί σε ένα άλλο άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα είναι ένα νέο άπειρο σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία των δύο πρώτων συνόλων.
Το σύνολο των φυσικών αριθμών χρησιμοποιείται για μέτρηση με τον ίδιο τρόπο όπως ένας χάρακας για μετρήσεις. Τώρα φανταστείτε ότι έχετε προσθέσει ένα εκατοστό στον χάρακα. Αυτή θα είναι ήδη μια διαφορετική γραμμή, όχι ίση με την αρχική.
Μπορείτε να αποδεχτείτε ή να μην αποδεχτείτε το σκεπτικό μου - αυτό είναι δική σας υπόθεση. Αν όμως συναντήσετε ποτέ μαθηματικά προβλήματα, σκεφτείτε μήπως βρίσκεστε στον δρόμο της ψευδούς συλλογιστικής, που την πατούν γενιές μαθηματικών. Άλλωστε, τα μαθήματα των μαθηματικών, πρώτα απ 'όλα, σχηματίζουν ένα σταθερό στερεότυπο σκέψης μέσα μας και μόνο τότε μας προσθέτουν νοητικές ικανότητες (ή το αντίστροφο, μας στερούν την ελεύθερη σκέψη).
Κυριακή 4 Αυγούστου 2019
Έγραφα ένα υστερόγραφο σε ένα άρθρο και είδα αυτό το υπέροχο κείμενο στη Wikipedia:
Διαβάζουμε: «... η πλούσια θεωρητική βάση των μαθηματικών της Βαβυλώνας δεν είχε ολιστικό χαρακτήρα και περιορίστηκε σε ένα σύνολο ετερόκλητων τεχνικών, χωρίς κοινό σύστημα και βάση στοιχείων».
Ουάου! Πόσο έξυπνοι είμαστε και πόσο καλά μπορούμε να δούμε τις ελλείψεις των άλλων. Είναι αδύναμο για εμάς να δούμε τα σύγχρονα μαθηματικά στο ίδιο πλαίσιο; Παραφράζοντας ελαφρά το παραπάνω κείμενο, προσωπικά πήρα το εξής:
Η πλούσια θεωρητική βάση των σύγχρονων μαθηματικών δεν έχει ολιστικό χαρακτήρα και περιορίζεται σε ένα σύνολο ανόμοιων τμημάτων, χωρίς κοινό σύστημα και αποδεικτική βάση.
Δεν θα πάω πολύ για να επιβεβαιώσω τα λόγια μου - έχει γλώσσα και συμβάσεις που διαφέρουν από τη γλώσσα και τις συμβάσεις πολλών άλλων μαθηματικών κλάδων. Τα ίδια ονόματα σε διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών μπορεί να έχουν διαφορετική σημασία. Θέλω να αφιερώσω έναν ολόκληρο κύκλο δημοσιεύσεων στις πιο προφανείς γκάφες των σύγχρονων μαθηματικών. Τα λέμε σύντομα.
Σάββατο 3 Αυγούστου 2019
Πώς να χωρίσετε ένα σύνολο σε υποσύνολα; Για να γίνει αυτό, πρέπει να εισαγάγετε μια νέα μονάδα μέτρησης, η οποία υπάρχει σε ορισμένα από τα στοιχεία του επιλεγμένου συνόλου. Εξετάστε ένα παράδειγμα.
Μακάρι να έχουμε πολλούς ΑΛΛΑπου αποτελείται από τέσσερα άτομα. Αυτό το σετ διαμορφώνεται με βάση το "άνθρωποι" Ας ορίσουμε τα στοιχεία αυτού του συνόλου μέσω του γράμματος ένα, ο δείκτης με έναν αριθμό θα υποδεικνύει τον τακτικό αριθμό κάθε ατόμου σε αυτό το σύνολο. Ας εισαγάγουμε μια νέα μονάδα μέτρησης «σεξουαλικό χαρακτηριστικό» και ας το υποδηλώσουμε με το γράμμα σι. Δεδομένου ότι τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά είναι εγγενή σε όλους τους ανθρώπους, πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο του συνόλου ΑΛΛΑγια το φύλο σι. Παρατηρήστε ότι το σετ "άνθρωποι" μας έχει γίνει πλέον το σετ "άτομα με φύλο". Μετά από αυτό, μπορούμε να χωρίσουμε τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά σε αρσενικά bmκαι γυναικεία bwχαρακτηριστικά του φύλου. Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα μαθηματικό φίλτρο: επιλέγουμε ένα από αυτά τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά, δεν έχει σημασία ποιο είναι αρσενικό ή θηλυκό. Αν υπάρχει σε ένα άτομο, τότε το πολλαπλασιάζουμε με ένα, αν δεν υπάρχει τέτοιο ζώδιο, το πολλαπλασιάζουμε με το μηδέν. Και μετά εφαρμόζουμε τα συνηθισμένα σχολικά μαθηματικά. Δείτε τι έγινε.
Μετά τον πολλαπλασιασμό, τις αναγωγές και τις ανακατατάξεις, έχουμε δύο υποσύνολα: το αρσενικό υποσύνολο bmκαι ένα υποσύνολο γυναικών bw. Περίπου με τον ίδιο τρόπο συλλογίζονται οι μαθηματικοί όταν εφαρμόζουν τη θεωρία συνόλων στην πράξη. Αλλά δεν μας αφήνουν να μπούμε στις λεπτομέρειες, αλλά μας δίνουν το τελικό αποτέλεσμα - «πολλοί άνθρωποι αποτελούνται από ένα υποσύνολο ανδρών και ένα υποσύνολο γυναικών». Φυσικά, μπορεί να έχετε μια ερώτηση, πόσο σωστά εφαρμόστηκαν τα μαθηματικά στους παραπάνω μετασχηματισμούς; Τολμώ να σας διαβεβαιώσω ότι στην πραγματικότητα οι μετασχηματισμοί γίνονται σωστά, αρκεί να γνωρίζουμε τη μαθηματική αιτιολόγηση της αριθμητικής, της άλγεβρας Boole και άλλων τμημάτων των μαθηματικών. Τι είναι? Κάποια άλλη φορά θα σας το πω.
Όσον αφορά τα υπερσύνολα, είναι δυνατό να συνδυαστούν δύο σύνολα σε ένα υπερσύνολο επιλέγοντας μια μονάδα μέτρησης που υπάρχει στα στοιχεία αυτών των δύο συνόλων.
Όπως μπορείτε να δείτε, οι μονάδες μέτρησης και τα κοινά μαθηματικά κάνουν τη θεωρία συνόλων παρελθόν. Ένα σημάδι ότι δεν πάνε όλα καλά με τη θεωρία συνόλων είναι ότι οι μαθηματικοί έχουν βρει τη δική τους γλώσσα και σημειογραφία για τη θεωρία συνόλων. Οι μαθηματικοί έκαναν ό,τι έκαναν κάποτε οι σαμάνοι. Μόνο οι σαμάνοι ξέρουν να εφαρμόζουν «σωστά» τη «γνώση» τους. Αυτή τη «γνώση» μας διδάσκουν.
Τέλος, θέλω να σας δείξω πώς χειραγωγούν οι μαθηματικοί.
Δευτέρα 7 Ιανουαρίου 2019
Τον πέμπτο αιώνα π.Χ., ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ο Ελέας διατύπωσε τις περίφημες απορίας του, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι η απορία «Αχιλλέας και η χελώνα». Να πώς ακούγεται:
Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω από αυτήν. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που ο Αχιλλέας τρέχει αυτή την απόσταση, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας έχει τρέξει εκατό βήματα, η χελώνα θα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ' αόριστον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.
Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Ο Αριστοτέλης, ο Διογένης, ο Καντ, ο Χέγκελ, ο Γκίλμπερτ... Όλοι αυτοί, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, θεωρούσαν τις απορίας του Ζήνωνα. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται αυτή τη στιγμή, η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων ... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος ; κανένα από αυτά δεν έγινε μια παγκοσμίως αποδεκτή λύση στο πρόβλημα ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει ποια είναι η απάτη.
Από τη σκοπιά των μαθηματικών, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την τιμή στο. Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για σταθερές. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για την εφαρμογή μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνήθους λογικής μας οδηγεί σε παγίδα. Εμείς, με την αδράνεια της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στο αντίστροφο. Από φυσική άποψη, αυτό μοιάζει με επιβράδυνση του χρόνου μέχρι να σταματήσει τελείως τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να προσπεράσει τη χελώνα.
Αν γυρίσουμε τη λογική που έχουμε συνηθίσει, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτή την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προσπεράσει απείρως γρήγορα τη χελώνα».
Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες τιμές. Στη γλώσσα του Ζήνωνα, μοιάζει με αυτό:
Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα, ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.
Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση στο πρόβλημα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ανυπέρβλητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Πρέπει να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.
Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:
Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.
Σε αυτήν την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή το ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιοριστεί το γεγονός της κίνησης του αυτοκινήτου, χρειάζονται δύο φωτογραφίες που έχουν ληφθεί από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της απόστασης. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από το αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που λαμβάνονται από διαφορετικά σημεία του χώρου ταυτόχρονα, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης από αυτά (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει). Αυτό που θέλω να επισημάνω συγκεκριμένα είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι δύο διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται καθώς παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για εξερεύνηση.
Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018
Σας είπα ήδη ότι, με τη βοήθεια του οποίου οι σαμάνοι προσπαθούν να ταξινομήσουν "" πραγματικότητες. Πώς το κάνουν; Πώς γίνεται στην πραγματικότητα η διαμόρφωση του συνόλου;
Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στον ορισμό ενός συνόλου: «μια συλλογή διαφορετικών στοιχείων, που συλλαμβάνεται ως ένα ενιαίο σύνολο». Τώρα νιώστε τη διαφορά μεταξύ των δύο φράσεων: "σκεπτόμενος ως σύνολο" και "σκεπτόμενος ως σύνολο". Η πρώτη φράση είναι το τελικό αποτέλεσμα, το πλήθος. Η δεύτερη φράση είναι μια προκαταρκτική προετοιμασία για το σχηματισμό του σετ. Σε αυτό το στάδιο, η πραγματικότητα χωρίζεται σε ξεχωριστά στοιχεία («ολόκληρο») από τα οποία στη συνέχεια θα σχηματιστεί ένα πλήθος («ενιαίο σύνολο»). Ταυτόχρονα, ο παράγοντας που σας επιτρέπει να συνδυάσετε το "σύνολο" σε ένα "ενιαίο σύνολο" παρακολουθείται προσεκτικά, διαφορετικά οι σαμάνοι δεν θα τα καταφέρουν. Άλλωστε, οι σαμάνοι γνωρίζουν εκ των προτέρων τι ακριβώς σετ θέλουν να μας επιδείξουν.
Θα δείξω τη διαδικασία με ένα παράδειγμα. Επιλέγουμε "κόκκινο στερεό σε ένα σπυράκι" - αυτό είναι το "σύνολο". Ταυτόχρονα, βλέπουμε ότι αυτά τα πράγματα είναι με τόξο, και υπάρχουν χωρίς τόξο. Μετά από αυτό, επιλέγουμε ένα μέρος του «όλου» και σχηματίζουμε ένα σύνολο «με φιόγκο». Έτσι τρέφονται οι σαμάνοι συνδέοντας τη θεωρία των συνόλων τους με την πραγματικότητα.
Τώρα ας κάνουμε ένα μικρό κόλπο. Ας πάρουμε το «στερεό σε ένα σπυράκι με φιόγκο» και ας ενώσουμε αυτά τα «ολόκληρα» ανά χρώμα, επιλέγοντας κόκκινα στοιχεία. Πήραμε πολύ «κόκκινο». Τώρα μια δύσκολη ερώτηση: τα σετ "με φιόγκο" και "κόκκινα" είναι το ίδιο σετ ή δύο διαφορετικά σετ; Μόνο οι σαμάνοι γνωρίζουν την απάντηση. Πιο συγκεκριμένα, οι ίδιοι δεν ξέρουν τίποτα, αλλά όπως λένε, ας είναι.
Αυτό το απλό παράδειγμα δείχνει ότι η θεωρία συνόλων είναι εντελώς άχρηστη όταν πρόκειται για πραγματικότητα. Ποιο είναι το μυστικό; Σχηματίσαμε ένα σετ «κόκκινο συμπαγές σπυράκι με φιόγκο». Ο σχηματισμός έγινε σύμφωνα με τέσσερις διαφορετικές μονάδες μέτρησης: χρώμα (κόκκινο), αντοχή (συμπαγές), τραχύτητα (σε χτύπημα), διακοσμήσεις (με φιόγκο). Μόνο ένα σύνολο μονάδων μέτρησης καθιστά δυνατή την επαρκή περιγραφή πραγματικών αντικειμένων στη γλώσσα των μαθηματικών. Εδώ είναι πώς φαίνεται.
Το γράμμα "a" με διαφορετικούς δείκτες υποδηλώνει διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Σε παρένθεση επισημαίνονται μονάδες μέτρησης, σύμφωνα με τις οποίες το «σύνολο» κατανέμεται στο προκαταρκτικό στάδιο. Η μονάδα μέτρησης, σύμφωνα με την οποία σχηματίζεται το σετ, βγαίνει από αγκύλες. Η τελευταία γραμμή δείχνει το τελικό αποτέλεσμα - ένα στοιχείο του σετ. Όπως μπορείτε να δείτε, αν χρησιμοποιήσουμε μονάδες μέτρησης για να σχηματίσουμε ένα σύνολο, τότε το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά των ενεργειών μας. Και αυτό είναι μαθηματικά, και όχι οι χοροί των σαμάνων με τα ντέφια. Οι σαμάνοι μπορούν «διαισθητικά» να καταλήξουν στο ίδιο αποτέλεσμα, υποστηρίζοντάς το με «προφανή», επειδή οι μονάδες μέτρησης δεν περιλαμβάνονται στο «επιστημονικό» τους οπλοστάσιο.
Με τη βοήθεια μονάδων μέτρησης, είναι πολύ εύκολο να σπάσετε ένα ή να συνδυάσετε πολλά σετ σε ένα υπερσύνολο. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην άλγεβρα αυτής της διαδικασίας.
Σάββατο 30 Ιουνίου 2018
Εάν οι μαθηματικοί δεν μπορούν να αναγάγουν μια έννοια σε άλλες έννοιες, τότε δεν καταλαβαίνουν τίποτα στα μαθηματικά. Απαντώ: σε τι διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Η απάντηση είναι πολύ απλή: αριθμοί και μονάδες μέτρησης.
Είναι σήμερα που όλα όσα δεν παίρνουμε ανήκουν σε κάποιο σύνολο (όπως μας διαβεβαιώνουν οι μαθηματικοί). Παρεμπιπτόντως, είδες στον καθρέφτη στο μέτωπό σου μια λίστα με εκείνα τα σύνολα στα οποία ανήκεις; Και δεν έχω δει τέτοια λίστα. Θα πω περισσότερα - κανένα πράγμα στην πραγματικότητα δεν έχει ετικέτα με λίστα σετ στα οποία ανήκει αυτό το πράγμα. Τα σετ είναι όλα εφευρέσεις των σαμάνων. Πώς το κάνουν; Ας δούμε λίγο βαθύτερα στην ιστορία και ας δούμε πώς έμοιαζαν τα στοιχεία του σετ προτού οι μαθηματικοί-σαμάνοι τα αποχωριστούν στα σετ τους.
Πριν από πολύ καιρό, όταν κανείς δεν είχε ακούσει ακόμη για τα μαθηματικά, και μόνο τα δέντρα και ο Κρόνος είχαν δαχτυλίδια, τεράστια κοπάδια από άγρια στοιχεία συνόλων περιπλανιόταν στα φυσικά πεδία (εξάλλου, οι σαμάνοι δεν είχαν εφεύρει ακόμη μαθηματικά πεδία). Έμοιαζαν έτσι.
Ναι, μην εκπλαγείτε, από την άποψη των μαθηματικών, όλα τα στοιχεία των σετ μοιάζουν περισσότερο με τους αχινούς - από ένα σημείο, όπως οι βελόνες, οι μονάδες μέτρησης προεξέχουν προς όλες τις κατευθύνσεις. Για όσους, σας υπενθυμίζω ότι οποιαδήποτε μονάδα μέτρησης μπορεί να αναπαρασταθεί γεωμετρικά ως τμήμα αυθαίρετου μήκους και ένας αριθμός ως σημείο. Γεωμετρικά, οποιαδήποτε ποσότητα μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια δέσμη τμημάτων που προεξέχουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις από ένα σημείο. Αυτό το σημείο είναι το σημείο μηδέν. Δεν θα ζωγραφίσω αυτό το έργο γεωμετρικής τέχνης (χωρίς έμπνευση), αλλά μπορείτε εύκολα να το φανταστείτε.
Ποιες μονάδες μέτρησης αποτελούν στοιχείο του συνόλου; Οποιοδήποτε που περιγράφει αυτό το στοιχείο από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Αυτές είναι οι αρχαίες μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούσαν οι πρόγονοί μας και τις οποίες όλοι έχουν ξεχάσει εδώ και καιρό. Αυτές είναι οι σύγχρονες μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούμε τώρα. Αυτές είναι άγνωστες σε εμάς μονάδες μέτρησης, τις οποίες θα καταλήξουν οι απόγονοί μας και τις οποίες θα χρησιμοποιήσουν για να περιγράψουν την πραγματικότητα.
Καταλάβαμε τη γεωμετρία - το προτεινόμενο μοντέλο των στοιχείων του συνόλου έχει μια σαφή γεωμετρική αναπαράσταση. Και τι γίνεται με τη φυσική; Μονάδες μέτρησης - αυτή είναι η άμεση σύνδεση μεταξύ των μαθηματικών και της φυσικής. Εάν οι σαμάνοι δεν αναγνωρίζουν τις μονάδες μέτρησης ως ένα πλήρες στοιχείο των μαθηματικών θεωριών, αυτό είναι το πρόβλημά τους. Προσωπικά δεν μπορώ να φανταστώ μια πραγματική επιστήμη των μαθηματικών χωρίς μονάδες μέτρησης. Γι' αυτό, στην αρχή κιόλας της ιστορίας για τη θεωρία συνόλων, μίλησα για αυτήν ως Λίθινη Εποχή.
Αλλά ας προχωρήσουμε στο πιο ενδιαφέρον - στην άλγεβρα των στοιχείων των συνόλων. Αλγεβρικά, οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου είναι γινόμενο (το αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού) διαφορετικών μεγεθών.Μοιάζει με αυτό.
Σκόπιμα δεν χρησιμοποίησα τις συμβάσεις που υιοθετήθηκαν στη θεωρία συνόλων, καθώς εξετάζουμε ένα στοιχείο ενός συνόλου στο φυσικό του περιβάλλον πριν από την εμφάνιση της θεωρίας συνόλων. Κάθε ζεύγος γραμμάτων σε αγκύλες δηλώνει μια ξεχωριστή τιμή, που αποτελείται από τον αριθμό που υποδεικνύεται με το γράμμα " n"και μονάδες μέτρησης, που υποδεικνύονται με το γράμμα" ένα". Οι δείκτες κοντά στα γράμματα δείχνουν ότι οι αριθμοί και οι μονάδες μέτρησης είναι διαφορετικοί. Ένα στοιχείο του συνόλου μπορεί να αποτελείται από άπειρο αριθμό τιμών (εφόσον εμείς και οι απόγονοί μας έχουμε αρκετή φαντασία). Κάθε στοιχείο Το στήριγμα αντιπροσωπεύεται γεωμετρικά από ένα ξεχωριστό τμήμα Στο παράδειγμα με τον αχινό ένα στήριγμα είναι μια βελόνα.
Πώς οι σαμάνοι σχηματίζουν σύνολα από διαφορετικά στοιχεία; Μάλιστα, με μονάδες μέτρησης ή με αριθμούς. Μη καταλαβαίνοντας τίποτα στα μαθηματικά, παίρνουν διαφορετικούς αχινούς και τους εξετάζουν προσεκτικά αναζητώντας τη μοναδική βελόνα με την οποία σχηματίζουν ένα σύνολο. Εάν υπάρχει μια τέτοια βελόνα, τότε αυτό το στοιχείο ανήκει στο σετ· εάν δεν υπάρχει τέτοια βελόνα, αυτό το στοιχείο δεν είναι από αυτό το σετ. Οι σαμάνοι μας λένε μύθους για νοητικές διεργασίες και ένα ενιαίο σύνολο.
Όπως ίσως έχετε μαντέψει, το ίδιο στοιχείο μπορεί να ανήκει σε μια ποικιλία συνόλων. Στη συνέχεια, θα σας δείξω πώς σχηματίζονται σύνολα, υποσύνολα και άλλες σαμανικές ανοησίες. Όπως μπορείτε να δείτε, «το σύνολο δεν μπορεί να έχει δύο πανομοιότυπα στοιχεία», αλλά αν υπάρχουν πανομοιότυπα στοιχεία στο σύνολο, ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται «πολυσύνολο». Τα λογικά όντα δεν θα καταλάβουν ποτέ μια τέτοια λογική του παραλογισμού. Αυτό είναι το επίπεδο των παπαγάλων που μιλάνε και των εκπαιδευμένων πιθήκων, όπου το μυαλό απουσιάζει από τη λέξη «εντελώς». Οι μαθηματικοί ενεργούν ως απλοί εκπαιδευτές, κηρύττοντας μας τις παράλογες ιδέες τους.
Μια φορά κι έναν καιρό, οι μηχανικοί που κατασκεύασαν τη γέφυρα βρίσκονταν σε μια βάρκα κάτω από τη γέφυρα κατά τη διάρκεια των δοκιμών της γέφυρας. Αν η γέφυρα κατέρρεε, ο μέτριος μηχανικός πέθαινε κάτω από τα ερείπια του δημιουργήματός του. Αν η γέφυρα μπορούσε να αντέξει το φορτίο, ο ταλαντούχος μηχανικός έχτισε άλλες γέφυρες.
Ανεξάρτητα από το πόσο κρύβονται οι μαθηματικοί πίσω από τη φράση «μυαλό μου, είμαι στο σπίτι», ή μάλλον «τα μαθηματικά μελετούν αφηρημένες έννοιες», υπάρχει ένας ομφάλιος λώρος που τους συνδέει άρρηκτα με την πραγματικότητα. Αυτός ο ομφάλιος λώρος είναι χρήματα. Ας εφαρμόσουμε τη μαθηματική θεωρία συνόλων στους ίδιους τους μαθηματικούς.
Σπουδάσαμε πολύ καλά μαθηματικά και τώρα καθόμαστε στο ταμείο και πληρώνουμε μισθούς. Εδώ μας έρχεται ένας μαθηματικός για τα λεφτά του. Του μετράμε όλο το ποσό και το απλώνουμε στο τραπέζι μας σε διαφορετικούς σωρούς, στους οποίους βάζουμε λογαριασμούς της ίδιας ονομαστικής αξίας. Στη συνέχεια παίρνουμε έναν λογαριασμό από κάθε σωρό και δίνουμε στον μαθηματικό το «μαθηματικό σύνολο μισθών» του. Εξηγούμε τα μαθηματικά ότι θα λάβει τους υπόλοιπους λογαριασμούς μόνο όταν αποδείξει ότι το σύνολο χωρίς πανομοιότυπα στοιχεία δεν είναι ίσο με το σύνολο με τα ίδια στοιχεία. Εδώ αρχίζει η διασκέδαση.
Καταρχήν θα λειτουργήσει η λογική των βουλευτών: «μπορείς να την εφαρμόσεις σε άλλους, σε μένα όχι!». Επιπλέον, θα ξεκινήσουν οι διαβεβαιώσεις ότι υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί τραπεζογραμματίων σε τραπεζογραμμάτια της ίδιας ονομαστικής αξίας, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να θεωρηθούν πανομοιότυπα στοιχεία. Λοιπόν, μετράμε τον μισθό σε νομίσματα - δεν υπάρχουν αριθμοί στα νομίσματα. Εδώ ο μαθηματικός θα θυμηθεί μανιωδώς τη φυσική: διαφορετικά νομίσματα έχουν διαφορετικές ποσότητες βρωμιάς, η κρυσταλλική δομή και η διάταξη των ατόμων για κάθε νόμισμα είναι μοναδική...
Και τώρα έχω την πιο ενδιαφέρουσα ερώτηση: πού είναι το όριο πέρα από το οποίο τα στοιχεία ενός πολυσυνόλου μετατρέπονται σε στοιχεία ενός συνόλου και το αντίστροφο; Δεν υπάρχει τέτοια γραμμή - όλα αποφασίζονται από σαμάνους, η επιστήμη εδώ δεν είναι καν κοντά.
Κοιτάξτε εδώ. Επιλέγουμε γήπεδα ποδοσφαίρου με τον ίδιο χώρο γηπέδου. Η περιοχή των πεδίων είναι η ίδια, που σημαίνει ότι έχουμε ένα πολυσύνολο. Αλλά αν αναλογιστούμε τα ονόματα των ίδιων γηπέδων, παίρνουμε πολλά, γιατί τα ονόματα είναι διαφορετικά. Όπως μπορείτε να δείτε, το ίδιο σύνολο στοιχείων είναι ταυτόχρονα σύνολο και πολυσύνολο. Πόσο σωστά; Και εδώ ο μαθηματικός-σαμάνος-σούλερ βγάζει έναν άσο ατού από το μανίκι του και αρχίζει να μας λέει είτε για σετ είτε για πολυσετ. Σε κάθε περίπτωση, θα μας πείσει ότι έχει δίκιο.
Για να κατανοήσουμε πώς λειτουργούν οι σύγχρονοι σαμάνοι με τη θεωρία συνόλων, συνδέοντάς την με την πραγματικότητα, αρκεί να απαντήσουμε σε μια ερώτηση: πώς διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Θα σας δείξω, χωρίς κανένα «νοητό ως μη ενιαίο σύνολο» ή «μη νοητό ως ενιαίο σύνολο».
