1. Αναμενόμενη αξίασταθερή τιμή είναι ίση με την πιο σταθερή M(S)=S
.
2. Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ζώδιο της προσδοκίας: M(CX)=CM(X)
3. Μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίες μεταβλητέςείναι ίσο με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους: Μ(ΧΥ)=Μ(Χ) Μ(Υ).
4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων: Μ(Χ+Υ)=Μ(Χ)+Μ(Υ).
Θεώρημα. Η μαθηματική προσδοκία M(x) του αριθμού των εμφανίσεων των γεγονότων A σε n ανεξάρτητες δοκιμές είναι ίση με το γινόμενο αυτών των δοκιμών με την πιθανότητα εμφάνισης γεγονότων σε κάθε δοκιμή: M(x) = np.
Αφήνω Χ είναι μια τυχαία μεταβλητή και M(X) είναι η μαθηματική προσδοκία του. Θεωρήστε ως νέα τυχαία μεταβλητή τη διαφορά Χ - Μ(Χ).
Η απόκλιση είναι η διαφορά μεταξύ μιας τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής της προσδοκίας.
Η απόκλιση έχει τον ακόλουθο νόμο κατανομής:
Λύση: Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Ας γράψουμε τον νόμο κατανομής της τετραγωνικής απόκλισης:
Λύση: Βρείτε την προσδοκία M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5
Ας γράψουμε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X 2
| x2 | |||
| Π | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Η επιθυμητή διασπορά D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05
Ιδιότητες διασποράς:
1. Διασπορά σταθερής τιμής ΑΠΟ
ισούται με μηδέν: D(C)=0
2. Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς το. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Η διακύμανση του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων αυτών των μεταβλητών. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Διασπορά διωνυμική κατανομήείναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών με την πιθανότητα εμφάνισης και μη εμφάνισης ενός συμβάντος σε μία δοκιμή D(X)=npq
Για την εκτίμηση της διασποράς των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μέση τιμή της, εκτός από τη διακύμανση, εξυπηρετούν και κάποια άλλα χαρακτηριστικά. Μεταξύ αυτών είναι η τυπική απόκλιση.
Η τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Χονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:
σ(X) = √D(X) (4)
Παράδειγμα. Η τυχαία μεταβλητή Χ δίνεται από τον νόμο κατανομής
| Χ | |||
| Π | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Βρείτε την τυπική απόκλιση σ(x)
Λύση: Να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία Χ: Μ(χ)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία του X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Βρείτε τη διασπορά: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Επιθυμητή τυπική απόκλιση σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61
Θεώρημα. Η τυπική απόκλιση του αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγωνικών τυπικών αποκλίσεων αυτών των μεταβλητών:
Παράδειγμα. Υπάρχουν 3 βιβλία για τα μαθηματικά και 3 για τη φυσική σε ένα ράφι 6 βιβλίων. Τρία βιβλία επιλέγονται τυχαία. Βρείτε τον νόμο κατανομής του αριθμού των βιβλίων στα μαθηματικά ανάμεσα στα επιλεγμένα βιβλία. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής.
D (X) \u003d M (X 2) - M (X) 2 \u003d 2,7 - 1,5 2 \u003d 0,45
Η μαθηματική προσδοκία είναι, ο ορισμός
Ματ αναμονή είναιμια από τις πιο σημαντικές έννοιες στη μαθηματική στατιστική και τη θεωρία πιθανοτήτων, που χαρακτηρίζει την κατανομή των τιμών ή πιθανότητεςτυχαία μεταβλητή. Συνήθως εκφράζεται ως σταθμισμένος μέσος όρος όλων των πιθανών παραμέτρων μιας τυχαίας μεταβλητής. Χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνική ανάλυση, την έρευνα σειρά αριθμών, η μελέτη συνεχών και μακρών διαδικασιών. Είναι σημαντικό για την αξιολόγηση των κινδύνων, την πρόβλεψη δεικτών τιμών κατά τη διαπραγμάτευση σε χρηματοπιστωτικές αγορές και χρησιμοποιείται στην ανάπτυξη στρατηγικών και μεθόδων τακτικής παιχνιδιών σε θεωρίες ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ .
Αναμονή ματ- αυτό είναιμέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής, κατανομή πιθανότητεςΗ τυχαία μεταβλητή θεωρείται στη θεωρία πιθανοτήτων.
Ματ αναμονή είναιμέτρο της μέσης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής στη θεωρία πιθανοτήτων. Μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χσυμβολίζεται M(x).
Η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος πληθυσμού) είναι
Ματ αναμονή είναι
Ματ αναμονή είναιστη θεωρία πιθανοτήτων, ο σταθμισμένος μέσος όρος όλων των πιθανών τιμών που μπορεί να λάβει αυτή η τυχαία μεταβλητή.
Ματ αναμονή είναιτο άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής από τις πιθανότητες αυτών των τιμών.
Η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος πληθυσμού) είναι
Ματ αναμονή είναιτο μέσο όφελος από μια συγκεκριμένη απόφαση, υπό την προϋπόθεση ότι μια τέτοια απόφαση μπορεί να εξεταστεί στο πλαίσιο της θεωρίας των μεγάλων αριθμών και της μεγάλης απόστασης.
Ματ αναμονή είναιστη θεωρία του τζόγου, το ποσό των κερδών που μπορεί να κερδίσει ή να χάσει ένας κερδοσκόπος, κατά μέσο όρο, για κάθε στοίχημα. Στη γλώσσα του τζόγου κερδοσκόπωναυτό μερικές φορές ονομάζεται «πλεονέκτημα κερδοσκόπος» (αν είναι θετικό για τον κερδοσκόπο) ή «ακρη του σπιτιού» (αν είναι αρνητικό για τον κερδοσκόπο).
Η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος πληθυσμού) είναι
Η έννοια της μαθηματικής προσδοκίας μπορεί να εξεταστεί χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της ρίψης ζαριών. Με κάθε ρίψη καταγράφονται οι πόντοι που πέφτουν. Για να τις εκφράσουν χρησιμοποιούνται φυσικές τιμές στην περιοχή 1 - 6.
Μετά από έναν ορισμένο αριθμό ρίψεων, με τη βοήθεια απλών υπολογισμών, μπορείτε να βρείτε τον μέσο όρο αριθμητική τιμήέπεσαν πόντους.
Εκτός από την απόρριψη οποιασδήποτε από τις τιμές εύρους, αυτή η τιμή θα είναι τυχαία.
Και αν αυξήσετε τον αριθμό των βολών αρκετές φορές; Με μεγάλο αριθμό ρίψεων, η αριθμητική μέση τιμή των πόντων θα πλησιάσει έναν συγκεκριμένο αριθμό, ο οποίος στη θεωρία πιθανοτήτων έχει λάβει το όνομα της μαθηματικής προσδοκίας.
Έτσι, η μαθηματική προσδοκία νοείται ως η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής. Αυτός ο δείκτης μπορεί επίσης να παρουσιαστεί ως σταθμισμένο άθροισμα πιθανών τιμών.
Αυτή η έννοια έχει πολλά συνώνυμα:
- σημαίνω;
- μέση αξία;
- κεντρικός δείκτης τάσης·
- πρώτη στιγμή.
Με άλλα λόγια, δεν είναι τίποτα περισσότερο από έναν αριθμό γύρω από τον οποίο κατανέμονται οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής.
Σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας, οι προσεγγίσεις για την κατανόηση της μαθηματικής προσδοκίας θα είναι κάπως διαφορετικές.
Μπορεί να θεωρηθεί ως:
- το μέσο όφελος που προκύπτει από την έκδοση απόφασης, στην περίπτωση που μια τέτοια απόφαση εξετάζεται από την άποψη της θεωρίας των μεγάλων αριθμών·
- το πιθανό ποσό νίκης ή ήττας (θεωρία τζόγου), που υπολογίζεται κατά μέσο όρο για κάθε ένα από τα στοιχήματα. Στην αργκό, ακούγονται σαν "πλεονέκτημα του παίκτη" (θετικό για τον παίκτη) ή "πλεονέκτημα καζίνο" (αρνητικό για τον παίκτη).
- ποσοστό του κέρδους που λαμβάνεται από τα κέρδη.
Η μαθηματική προσδοκία δεν είναι υποχρεωτική για όλες τις τυχαίες μεταβλητές. Απουσιάζει για όσους έχουν απόκλιση στο αντίστοιχο άθροισμα ή ολοκλήρωμα.
Ιδιότητες προσδοκίας
Όπως κάθε στατιστική παράμετρος, η μαθηματική προσδοκία έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
Βασικοί τύποι για τη μαθηματική προσδοκία
Ο υπολογισμός της μαθηματικής προσδοκίας μπορεί να πραγματοποιηθεί τόσο για τυχαίες μεταβλητές που χαρακτηρίζονται τόσο από συνέχεια (τύπος Α) όσο και από διακριτικότητα (τύπος Β):
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, όπου xi είναι οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής, pi είναι οι πιθανότητες:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, όπου f(x) είναι δεδομένης πυκνότηταςπιθανότητες.
Παραδείγματα υπολογισμού της μαθηματικής προσδοκίας
Παράδειγμα Α.
Είναι δυνατόν να μάθετε το μέσο ύψος των καλικάντζαρων στο παραμύθι για τη Χιονάτη. Είναι γνωστό ότι καθένας από τους 7 καλικάντζαρους είχε ένα ορισμένο ύψος: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 και 0,81 μ.
Ο αλγόριθμος υπολογισμού είναι αρκετά απλός:
- βρείτε το άθροισμα όλων των τιμών του δείκτη ανάπτυξης (τυχαία μεταβλητή):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Το ποσό που προκύπτει διαιρείται με τον αριθμό των καλικάντζαρων:
6,31:7=0,90.
Έτσι, το μέσο ύψος των καλικάντζαρων σε ένα παραμύθι είναι 90 εκ. Με άλλα λόγια, αυτή είναι η μαθηματική προσδοκία για την ανάπτυξη των καλικάντζαρων.
Τύπος εργασίας - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6
Πρακτική εφαρμογή της μαθηματικής προσδοκίας
Στον υπολογισμό στατιστικός δείκτηςΗ μαθηματική προσδοκία χρησιμοποιείται σε διάφορους τομείς πρακτικές δραστηριότητες. Πρώτα απ 'όλα, μιλάμε για την εμπορική σφαίρα. Πράγματι, η εισαγωγή αυτού του δείκτη από τον Huygens συνδέεται με τον προσδιορισμό των πιθανοτήτων που μπορεί να είναι ευνοϊκές ή, αντίθετα, δυσμενείς, για κάποιο γεγονός.
Αυτή η παράμετρος χρησιμοποιείται ευρέως για την αξιολόγηση κινδύνου, ειδικά όταν πρόκειται για χρηματοοικονομικές επενδύσεις.
Έτσι, στις επιχειρήσεις, ο υπολογισμός των μαθηματικών προσδοκιών λειτουργεί ως μέθοδος για την εκτίμηση του κινδύνου κατά τον υπολογισμό των τιμών.
Επίσης, αυτός ο δείκτης μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατά τον υπολογισμό της αποτελεσματικότητας ορισμένων μέτρων, για παράδειγμα, για την προστασία της εργασίας. Χάρη σε αυτό, μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν.
Ένας άλλος τομέας εφαρμογής αυτής της παραμέτρου είναι η διαχείριση. Μπορεί επίσης να υπολογιστεί κατά τον ποιοτικό έλεγχο του προϊόντος. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας χαλάκι. προσδοκίες, μπορείτε να υπολογίσετε τον πιθανό αριθμό των ελαττωματικών εξαρτημάτων κατασκευής.
Η μαθηματική προσδοκία αποδεικνύεται επίσης απαραίτητη κατά τη στατιστική επεξεργασία των δεδομένων που λαμβάνονται κατά τη διάρκεια του επιστημονική έρευναΑποτελέσματα. Σας επιτρέπει επίσης να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός επιθυμητού ή ανεπιθύμητου αποτελέσματος ενός πειράματος ή μελέτης, ανάλογα με το επίπεδο επίτευξης του στόχου. Άλλωστε, η επίτευξή του μπορεί να συσχετιστεί με κέρδος και κέρδος, και η μη επίτευξή του - ως απώλεια ή απώλεια.
Χρήση μαθηματικών προσδοκιών στο Forex
Η πρακτική εφαρμογή αυτής της στατιστικής παραμέτρου είναι δυνατή κατά τη διενέργεια συναλλαγών στην αγορά συναλλάγματος. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση της επιτυχίας των εμπορικών συναλλαγών. Επιπλέον, η αύξηση της αξίας των προσδοκιών υποδηλώνει αύξηση της επιτυχίας τους.
Είναι επίσης σημαντικό να θυμόμαστε ότι η μαθηματική προσδοκία δεν πρέπει να θεωρείται ως η μόνη στατιστική παράμετρος που χρησιμοποιείται για την ανάλυση της απόδοσης ενός εμπόρου. Η χρήση πολλών στατιστικών παραμέτρων μαζί με τη μέση τιμή αυξάνει την ακρίβεια της ανάλυσης κατά καιρούς.
Αυτή η παράμετρος έχει αποδειχθεί καλά στην παρακολούθηση των παρατηρήσεων των λογαριασμών συναλλαγών. Χάρη σε αυτόν, πραγματοποιείται μια γρήγορη αξιολόγηση των εργασιών που πραγματοποιήθηκαν στον καταθετικό λογαριασμό. Σε περιπτώσεις που η δραστηριότητα του εμπόρου είναι επιτυχής και αποφεύγει τις απώλειες, δεν συνιστάται η χρήση μόνο του υπολογισμού της μαθηματικής προσδοκίας. Σε αυτές τις περιπτώσεις, οι κίνδυνοι δεν λαμβάνονται υπόψη, γεγονός που μειώνει την αποτελεσματικότητα της ανάλυσης.
Οι μελέτες που πραγματοποιήθηκαν για τις τακτικές των εμπόρων δείχνουν ότι:
- Οι πιο αποτελεσματικές είναι οι τακτικές που βασίζονται σε τυχαία εισαγωγή.
- Οι λιγότερο αποτελεσματικές είναι οι τακτικές που βασίζονται σε δομημένες εισροές.
Για να επιτευχθούν θετικά αποτελέσματα, είναι εξίσου σημαντικό:
- τακτικές διαχείρισης χρημάτων?
- στρατηγικές εξόδου.
Χρησιμοποιώντας έναν τέτοιο δείκτη όπως η μαθηματική προσδοκία, μπορούμε να υποθέσουμε ποιο θα είναι το κέρδος ή η ζημία όταν επενδύουμε 1 δολάριο. Είναι γνωστό ότι αυτός ο δείκτης, που υπολογίζεται για όλα τα παιχνίδια που ασκούνται στο καζίνο, είναι υπέρ του ιδρύματος. Αυτό είναι που σας επιτρέπει να κερδίσετε χρήματα. Στην περίπτωση μιας μεγάλης σειράς παιχνιδιών, η πιθανότητα απώλειας χρημάτων από τον πελάτη αυξάνεται σημαντικά.
Τα παιχνίδια των επαγγελματιών παικτών περιορίζονται σε μικρές χρονικές περιόδους, γεγονός που αυξάνει την πιθανότητα νίκης και μειώνει τον κίνδυνο ήττας. Το ίδιο μοτίβο παρατηρείται και στην απόδοση των επενδυτικών πράξεων.
Ένας επενδυτής μπορεί να κερδίσει ένα σημαντικό ποσό με θετική προσδοκία και απόδοση ένας μεγάλος αριθμόςσυναλλαγές σε σύντομο χρονικό διάστημα.
Η προσδοκία μπορεί να θεωρηθεί ως η διαφορά μεταξύ του ποσοστού κέρδους (PW) επί του μέσου κέρδους (AW) και της πιθανότητας απώλειας (PL) επί της μέσης ζημίας (AL).
Ως παράδειγμα, εξετάστε τα εξής: θέση - 12,5 χιλιάδες δολάρια, χαρτοφυλάκιο - 100 χιλιάδες δολάρια, κίνδυνος ανά κατάθεση - 1%. Η κερδοφορία των συναλλαγών είναι 40% των περιπτώσεων με μέσο κέρδος 20%. Σε περίπτωση απώλειας, η μέση απώλεια είναι 5%. Ο υπολογισμός της μαθηματικής προσδοκίας για μια συναλλαγή δίνει μια τιμή 625 $.
Βασικά αριθμητικά χαρακτηριστικά διακριτών και συνεχών τυχαίων μεταβλητών: μαθηματική προσδοκία, διακύμανση και τυπική απόκλιση. Οι ιδιότητες και τα παραδείγματα τους.
Ο νόμος κατανομής (συνάρτηση κατανομής και σειρά διανομής ή πυκνότητα πιθανότητας) περιγράφει πλήρως τη συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής. Αλλά σε μια σειρά προβλημάτων αρκεί να γνωρίζουμε ορισμένα αριθμητικά χαρακτηριστικά της υπό μελέτη ποσότητας (για παράδειγμα, η μέση τιμή της και πιθανή απόκλιση από αυτήν) για να απαντήσουμε στο ερώτημα που τίθεται. Εξετάστε τα κύρια αριθμητικά χαρακτηριστικά των διακριτών τυχαίων μεταβλητών.
Ορισμός 7.1.μαθηματική προσδοκίαΜια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι το άθροισμα των γινομένων των πιθανών τιμών της και των αντίστοιχων πιθανοτήτων τους:
Μ(Χ) = Χ 1 R 1 + Χ 2 R 2 + … + x p r p(7.1)
Εάν ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής είναι άπειρος, τότε εάν η σειρά που προκύπτει συγκλίνει απόλυτα.
Παρατήρηση 1.Η μαθηματική προσδοκία ονομάζεται μερικές φορές σταθμισμένος μέσος όρος, αφού είναι περίπου ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρούμενων τιμών της τυχαίας μεταβλητής για μεγάλο αριθμό πειραμάτων.
Παρατήρηση 2.Από τον ορισμό της μαθηματικής προσδοκίας, προκύπτει ότι η τιμή της δεν είναι μικρότερη από τη μικρότερη δυνατή τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής και όχι μεγαλύτερη από τη μεγαλύτερη.
Παρατήρηση 3.Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι μη τυχαία(συνεχής. Αργότερα θα δούμε ότι το ίδιο ισχύει και για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.
Παράδειγμα 1. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χ- τον αριθμό των τυπικών ανταλλακτικών μεταξύ τριών επιλεγμένων από μια παρτίδα 10 εξαρτημάτων, συμπεριλαμβανομένων 2 ελαττωματικών. Ας συνθέσουμε μια σειρά διανομής για Χ. Από την κατάσταση του προβλήματος προκύπτει ότι Χμπορεί να πάρει τις τιμές 1, 2, 3. Στη συνέχεια
Παράδειγμα 2. Ορίστε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χ- τον αριθμό των ρίψεων νομισμάτων μέχρι την πρώτη εμφάνιση του οικόσημου. Αυτή η ποσότητα μπορεί να λάβει έναν άπειρο αριθμό τιμών (το σύνολο των πιθανών τιμών είναι το σύνολο φυσικούς αριθμούς). Η σειρά διανομής του έχει τη μορφή:
| Χ | … | Π | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)Π | … |
+ (κατά τον υπολογισμό, ο τύπος για το άθροισμα ενός απείρως φθίνουσας γεωμετρική πρόοδος: , όπου ).
Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας.
1) Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθεράς είναι ίση με την ίδια τη σταθερά:
Μ(ΑΠΟ) = ΑΠΟ.(7.2)
Απόδειξη. Αν αναλογιστούμε ΑΠΟως διακριτή τυχαία μεταβλητή που παίρνει μόνο μία τιμή ΑΠΟμε πιθανότητα R= 1, λοιπόν Μ(ΑΠΟ) = ΑΠΟ?1 = ΑΠΟ.
2) Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της προσδοκίας:
Μ(CX) = ΕΚ(Χ). (7.3)
Απόδειξη. Αν η τυχαία μεταβλητή Χδίνεται από τη σειρά διανομής
Επειτα Μ(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p r p = ΑΠΟ(Χ 1 R 1 + Χ 2 R 2 + … + x p r p) = ΕΚ(Χ).
Ορισμός 7.2.Καλούνται δύο τυχαίες μεταβλητές ανεξάρτητος, εάν ο νόμος κατανομής ενός από αυτούς δεν εξαρτάται από τις τιμές που έχει λάβει ο άλλος. Διαφορετικά τυχαίες μεταβλητές εξαρτώμενος.
Ορισμός 7.3.Ας καλέσουμε γινόμενο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών Χκαι Υ τυχαία μεταβλητή XY, των οποίων οι πιθανές τιμές είναι ίσες με τα γινόμενα όλων των πιθανών τιμών Χγια όλες τις πιθανές τιμές Υ, και οι πιθανότητες που αντιστοιχούν σε αυτές είναι ίσες με τα γινόμενα των πιθανοτήτων των παραγόντων.
3) Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:
Μ(XY) = Μ(Χ)Μ(Υ). (7.4)
Απόδειξη. Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, περιοριζόμαστε στην περίπτωση όταν Χκαι Υπάρτε μόνο δύο πιθανές τιμές:
Συνεπώς, Μ(XY) = Χ 1 y 1 ?Π 1 σολ 1 + Χ 2 y 1 ?Π 2 σολ 1 + Χ 1 y 2 ?Π 1 σολ 2 + Χ 2 y 2 ?Π 2 σολ 2 = y 1 σολ 1 (Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2) + + y 2 σολ 2 (Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2) = (y 1 σολ 1 + y 2 σολ 2) (Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2) = Μ(Χ)?Μ(Υ).
Παρατήρηση 1.Αυτή η ιδιότητα μπορεί να αποδειχθεί παρόμοια για περισσότεροπιθανές τιμές παραγόντων.
Παρατήρηση 2.Η ιδιότητα 3 ισχύει για το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, το οποίο αποδεικνύεται με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Ορισμός 7.4.Ας ορίσουμε άθροισμα τυχαίων μεταβλητών Χκαι Υ ως τυχαία μεταβλητή Χ + Υ, των οποίων οι πιθανές τιμές είναι ίσες με τα αθροίσματα κάθε πιθανής τιμής Χμε κάθε δυνατή τιμή Υ; οι πιθανότητες τέτοιων ποσών είναι ίσες με τα γινόμενα των πιθανοτήτων των όρων (για εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές - τα γινόμενα της πιθανότητας ενός όρου με την υπό όρους πιθανότητα του δεύτερου).
4) Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών (εξαρτημένων ή ανεξάρτητων) είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων:
Μ (Χ+Υ) = Μ (Χ) + Μ (Υ). (7.5)
Απόδειξη.
Εξετάστε ξανά τις τυχαίες μεταβλητές που δίνονται από τη σειρά κατανομής που δίνεται στην απόδειξη της ιδιότητας 3. Στη συνέχεια, οι πιθανές τιμές Χ+Υείναι Χ 1 + στο 1 , Χ 1 + στο 2 , Χ 2 + στο 1 , Χ 2 + στο 2. Να χαρακτηρίσετε τις πιθανότητες τους αντίστοιχα ως R 11 , R 12 , R 21 και R 22. Ας βρούμε Μ(Χ+Υ) = (Χ 1 + y 1)Π 11 + (Χ 1 + y 2)Π 12 + (Χ 2 + y 1)Π 21 + (Χ 2 + y 2)Π 22 =
= Χ 1 (Π 11 + Π 12) + Χ 2 (Π 21 + Π 22) + y 1 (Π 11 + Π 21) + y 2 (Π 12 + Π 22).
Ας το αποδείξουμε R 11 + R 22 = Rένας . Πράγματι, το γεγονός που Χ+Υθα πάρει τις αξίες Χ 1 + στο 1 ή Χ 1 + στο 2 και του οποίου η πιθανότητα είναι R 11 + R 22 συμπίπτει με το γεγονός που Χ = Χ 1 (η πιθανότητα είναι Rένας). Ομοίως, αποδεικνύεται ότι Π 21 + Π 22 = R 2 , Π 11 + Π 21 = σολ 1 , Π 12 + Π 22 = σολ 2. Που σημαίνει,
Μ(Χ+Υ) = Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2 + y 1 σολ 1 + y 2 σολ 2 = Μ (Χ) + Μ (Υ).
Σχόλιο. Η ιδιότητα 4 υποδηλώνει ότι το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού τυχαίων μεταβλητών είναι ίσο με το άθροισμα των αναμενόμενων τιμών των όρων.
Παράδειγμα. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος του αριθμού των πόντων που ρίχνονται όταν ρίχνετε πέντε ζάρια.
Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των πόντων που έπεσαν κατά την ρίψη ενός ζαριού:
Μ(Χ 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Ο ίδιος αριθμός είναι ίσος με τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των σημείων που έπεσαν σε οποιοδήποτε ζάρι. Επομένως, κατά ιδιοκτησία 4 Μ(Χ)=
Διασπορά.
Για να έχουμε μια ιδέα για τη συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής, δεν αρκεί να γνωρίζουμε μόνο τις μαθηματικές προσδοκίες της. Εξετάστε δύο τυχαίες μεταβλητές: Χκαι Υ, που δίνεται από τη σειρά διανομής της φόρμας
| Χ | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Υ | ||
| Π | 0,5 | 0,5 |
Ας βρούμε Μ(Χ) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, Μ(Υ) \u003d 0? 0,5 + 100? 0,5 \u003d 50. Όπως μπορείτε να δείτε, οι μαθηματικές προσδοκίες και των δύο ποσοτήτων είναι ίσες, αλλά αν για HM(Χ) περιγράφει καλά τη συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής, καθώς είναι η πιο πιθανή δυνατή τιμή της (επιπλέον, οι υπόλοιπες τιμές διαφέρουν ελαφρώς από το 50), και στη συνέχεια οι τιμές Υαποκλίνουν σημαντικά από Μ(Υ). Επομένως, μαζί με τη μαθηματική προσδοκία, είναι επιθυμητό να γνωρίζουμε πόσο αποκλίνουν από αυτήν οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής. Η διασπορά χρησιμοποιείται για τον χαρακτηρισμό αυτού του δείκτη.
Ορισμός 7.5.Διασπορά (σκέδαση)τυχαία μεταβλητή ονομάζεται η μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της απόκλισής της από τη μαθηματική της προσδοκία:
ρε(Χ) = Μ (X-M(Χ))². (7.6)
Βρείτε τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ(αριθμός τυπικών εξαρτημάτων μεταξύ αυτών που επιλέχθηκαν) στο παράδειγμα 1 αυτής της διάλεξης. Ας υπολογίσουμε τις τιμές της τετραγωνικής απόκλισης κάθε πιθανής τιμής από τη μαθηματική προσδοκία:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Συνεπώς,
Παρατήρηση 1.Στον ορισμό της διακύμανσης, δεν αξιολογείται η απόκλιση από τον ίδιο τον μέσο όρο, αλλά το τετράγωνό του. Αυτό γίνεται έτσι ώστε οι αποκλίσεις των διαφορετικών ζωδίων να μην αντισταθμίζουν η μία την άλλη.
Παρατήρηση 2.Από τον ορισμό της διασποράς προκύπτει ότι αυτή η ποσότητα παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές.
Παρατήρηση 3.Υπάρχει ένας πιο βολικός τύπος για τον υπολογισμό της διακύμανσης, η εγκυρότητα του οποίου αποδεικνύεται στο ακόλουθο θεώρημα:
Θεώρημα 7.1.ρε(Χ) = Μ(Χ²) - Μ²( Χ). (7.7)
Απόδειξη.
Χρησιμοποιώντας τι Μ(Χ) είναι μια σταθερή τιμή και οι ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας, μετατρέπουμε τον τύπο (7.6) στη μορφή:
ρε(Χ) = Μ(X-M(Χ))² = Μ(Χ² - 2 X?M(Χ) + Μ²( Χ)) = Μ(Χ²) - 2 Μ(Χ)?Μ(Χ) + Μ²( Χ) =
= Μ(Χ²) - 2 Μ²( Χ) + Μ²( Χ) = Μ(Χ²) - Μ²( Χ), που έπρεπε να αποδειχθεί.
Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε τις διακυμάνσεις των τυχαίων μεταβλητών Χκαι Υπου συζητήθηκε στην αρχή αυτής της ενότητας. Μ(Χ) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
Μ(Υ) \u003d (0 2? 0,5 + 100²; 0,5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Άρα, η διασπορά της δεύτερης τυχαίας μεταβλητής είναι αρκετές χιλιάδες φορές μεγαλύτερη από τη διασπορά της πρώτης. Έτσι, ακόμη και χωρίς να γνωρίζουμε τους νόμους κατανομής αυτών των ποσοτήτων, σύμφωνα με τις γνωστές τιμές της διασποράς, μπορούμε να πούμε ότι Χαποκλίνει ελάχιστα από τη μαθηματική προσδοκία του, ενώ για Υαυτή η απόκλιση είναι πολύ σημαντική.
Ιδιότητες διασποράς.
1) Σταθερά διασποράς ΑΠΟισούται με μηδέν:
ρε (ντο) = 0. (7.8)
Απόδειξη. ρε(ντο) = Μ((ΕΚ(ντο))²) = Μ((Γ-Γ)²) = Μ(0) = 0.
2) Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς τον:
ρε(CX) = ντο² ρε(Χ). (7.9)
Απόδειξη. ρε(CX) = Μ((CX-M(CX))²) = Μ((CX-CM(Χ))²) = Μ(ντο²( X-M(Χ))²) =
= ντο² ρε(Χ).
3) Η διακύμανση του αθροίσματος δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεών τους:
ρε(Χ+Υ) = ρε(Χ) + ρε(Υ). (7.10)
Απόδειξη. ρε(Χ+Υ) = Μ(Χ² + 2 XY + Υ²) - ( Μ(Χ) + Μ(Υ))² = Μ(Χ²) + 2 Μ(Χ)Μ(Υ) +
+ Μ(Υ²) - Μ²( Χ) - 2Μ(Χ)Μ(Υ) - Μ²( Υ) = (Μ(Χ²) - Μ²( Χ)) + (Μ(Υ²) - Μ²( Υ)) = ρε(Χ) + ρε(Υ).
Συνέπεια 1.Η διακύμανση του αθροίσματος πολλών αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεών τους.
Συνέπεια 2.Η διακύμανση του αθροίσματος μιας σταθεράς και μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής.
4) Η διακύμανση της διαφοράς δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεών τους:
ρε(Χ-Υ) = ρε(Χ) + ρε(Υ). (7.11)
Απόδειξη. ρε(Χ-Υ) = ρε(Χ) + ρε(-Υ) = ρε(Χ) + (-1)² ρε(Υ) = ρε(Χ) + ρε(Χ).
Η διακύμανση δίνει τη μέση τιμή της τετραγωνικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή. η εκτίμηση της ίδιας της απόκλισης είναι μια τιμή που ονομάζεται τυπική απόκλιση.
Ορισμός 7.6.Τυπική απόκλισησ τυχαία μεταβλητή Χονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:
Παράδειγμα. Στο προηγούμενο παράδειγμα, οι τυπικές αποκλίσεις Χκαι Υίσα αντίστοιχα
Το πιο πλήρες χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ο νόμος κατανομής της. Ωστόσο, δεν είναι πάντα γνωστό και σε αυτές τις περιπτώσεις πρέπει κανείς να αρκείται σε λιγότερες πληροφορίες. Τέτοιες πληροφορίες μπορεί να περιλαμβάνουν: το εύρος διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής, τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της, κάποια άλλα χαρακτηριστικά που περιγράφουν μια τυχαία μεταβλητή με κάποιο συνοπτικό τρόπο. Όλες αυτές οι ποσότητες ονομάζονται αριθμητικά χαρακτηριστικάτυχαία μεταβλητή. Συνήθως αυτά είναι μερικά μη τυχαίααριθμοί που με κάποιο τρόπο χαρακτηρίζουν μια τυχαία μεταβλητή. Ο κύριος σκοπός των αριθμητικών χαρακτηριστικών είναι να εκφράσουν με συνοπτική μορφή τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά μιας συγκεκριμένης κατανομής.
Το απλούστερο αριθμητικό χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής Χτην κάλεσε αναμενόμενη αξία:
M (X) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n. (1.3.1)
Εδώ x 1, x 2, …, x nείναι οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χ, ένα σελ 1, σελ 2, …, p nείναι οι πιθανότητες τους.
Παράδειγμα 1Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής εάν είναι γνωστός ο νόμος κατανομής της:
Λύση. Μ(Χ)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.
Παράδειγμα 2. Να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των εμφανίσεων ενός γεγονότος ΑΛΛΑσε μία δοκιμή, εάν η πιθανότητα αυτού του συμβάντος είναι R.
Λύση. Αν ένα Χ– αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΑΛΛΑσε μια δίκη, τότε προφανώς ο νόμος διανομής Χμοιάζει με:
Επειτα М(Х)=0×(1–ρ)+1×ρ=ρ.
Άρα: η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των εμφανίσεων ενός γεγονότος σε μια δοκιμή είναι ίση με την πιθανότητα του.
Πιθανολογική σημασία της μαθηματικής προσδοκίας
Αφήστε να παραχθεί nδοκιμές στις οποίες η τυχαία μεταβλητή Χδεκτός m 1επί της αξίας x 1, m2επί της αξίας x 2, …, m kεπί της αξίας x k. Στη συνέχεια, το άθροισμα όλων των τιμών σε nοι δοκιμές είναι ίσες με:
x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Ας βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο όλων των τιμών που λαμβάνονται από την τυχαία μεταβλητή:
Τιμές - σχετικές συχνότητες εμφάνισης τιμών x i (i=1, …, k). Αν ένα nαρκετά μεγάλο (n®¥), τότε αυτές οι συχνότητες είναι περίπου ίσες με τις πιθανότητες: . Αλλά στη συνέχεια
=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).
Έτσι, η μαθηματική προσδοκία είναι περίπου ίση (όσο πιο ακριβής, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των δοκιμών) με τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρούμενων τιμών της τυχαίας μεταβλητής. Αυτή είναι η πιθανολογική έννοια της μαθηματικής προσδοκίας.
Ιδιότητες προσδοκίας
1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθεράς είναι ίση με την ίδια τη σταθερά.
M(S)=S×1=S.
2. Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ζώδιο της προσδοκίας
M(CX)=S×M(X).
Απόδειξη. Αφήστε τον νόμο διανομής Χδίνεται ανά πίνακα:
Στη συνέχεια η τυχαία μεταβλητή CXπαίρνει αξίες Dx 1, CX 2, …, Сх n με τις ίδιες πιθανότητες, δηλ. νόμος διανομής CXμοιάζει με:
М(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =
\u003d C (x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n) \u003d CM (X).
3. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:
M(XY)=M(X)×M(Y).
Αυτός ο ισχυρισμός δίνεται χωρίς απόδειξη (η απόδειξη βασίζεται στον ορισμό της προσδοκίας).
Συνέπεια. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου πολλών αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.
Ειδικότερα, για τρεις ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές
M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).
Παράδειγμα. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του γινόμενου του αριθμού των πόντων που μπορεί να πέσει όταν ρίχνετε δύο ζάρια.
Λύση. Αφήνω Χ i- αριθμός πόντων Εγώου οστά. Μπορεί να είναι αριθμοί 1 , 2 , …, 6 με πιθανότητες. Επειτα
М(Х i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
Αφήνω X \u003d X 1 × X 2. Επειτα
M (X) \u003d M (X 1) × M (X 2) \u003d \u003d 12,25.
4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών (ανεξάρτητων ή εξαρτημένων) ισούται με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Αυτή η ιδιότητα γενικεύεται στην περίπτωση αυθαίρετου αριθμού όρων.
Παράδειγμα. Εκτελούνται 3 βολές με πιθανότητες να χτυπηθεί ο στόχος ίσες με p 1 \u003d 0,4, p 2 \u003d 0,3και p 3 \u003d 0,6. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του συνολικού αριθμού επισκέψεων.
Λύση. Αφήνω Χ i- αριθμός επισκέψεων Εγώ-η βολή. Επειτα
М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.
Με αυτόν τον τρόπο,
M(X 1 + X 2 + X 3) \u003d \u003d 0,4 + 0,3 + 0,6 \u003d 1,3.
