Πληρότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Θεμέλιο της ανάλυσης. Πληρότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών Ορισμός του συνόλου των πραγματικών αριθμών

Οι μαθηματικές θεωρίες, κατά κανόνα, βρίσκουν τη διέξοδό τους στο γεγονός ότι επιτρέπουν την επεξεργασία ενός συνόλου αριθμών (αρχικών δεδομένων) σε ένα άλλο σύνολο αριθμών, το οποίο αποτελεί έναν ενδιάμεσο ή τελικό στόχο των υπολογισμών. Για το λόγο αυτό, οι αριθμητικές συναρτήσεις κατέχουν ιδιαίτερη θέση στα μαθηματικά και τις εφαρμογές τους. Αυτές (ακριβέστερα, οι λεγόμενες διαφοροποιήσιμες αριθμητικές συναρτήσεις) αποτελούν το κύριο αντικείμενο μελέτης της κλασικής ανάλυσης. Αλλά οποιαδήποτε περιγραφή των ιδιοτήτων αυτών των συναρτήσεων που να είναι πλήρης από την άποψη των σύγχρονων μαθηματικών, όπως θα μπορούσατε ήδη να αισθανθείτε στο σχολείο και όπως θα δείτε σύντομα, είναι αδύνατη χωρίς έναν ακριβή ορισμό του συνόλου των πραγματικών αριθμών στο οποίο αυτές οι λειτουργίες δρουν.

Ένας αριθμός στα μαθηματικά, όπως ο χρόνος στη φυσική, είναι γνωστός σε όλους, αλλά είναι ακατανόητος μόνο για τους ειδικούς. Αυτή είναι μια από τις κύριες μαθηματικές αφαιρέσεις, η οποία, προφανώς, δεν έχει ακόμη υποστεί σημαντική εξέλιξη και η ιστορία της οποίας μπορεί να αφιερωθεί σε ένα ανεξάρτητο εντατικό μάθημα. Εδώ εννοούμε μόνο να συγκεντρώσουμε όσα βασικά γνωρίζει ο αναγνώστης για τους πραγματικούς αριθμούς από το γυμνάσιο, τονίζοντας με τη μορφή αξιωμάτων τις θεμελιώδεις και ανεξάρτητες ιδιότητες των αριθμών. Ταυτόχρονα, στόχος μας είναι να δώσουμε έναν ακριβή ορισμό των πραγματικών αριθμών που είναι κατάλληλοι για μετέπειτα μαθηματική χρήση και να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στην ιδιότητά τους της πληρότητας ή της συνέχειας, που είναι το μικρόβιο της μετάβασης στο όριο - το κύριο μη αριθμητικό λειτουργία ανάλυσης.

§ 1. Αξιωματικά και μερικές γενικές ιδιότητες του συνόλου των πραγματικών αριθμών

1. Ορισμός του συνόλου των πραγματικών αριθμών

Ορισμός 1. Το σύνολο Ε ονομάζεται το σύνολο των πραγματικών (πραγματικών) αριθμών και τα στοιχεία του ονομάζονται πραγματικοί (πραγματικοί)

αριθμοί εάν το ακόλουθο σύνολο συνθηκών, που ονομάζεται αξιωματική των πραγματικών αριθμών, ικανοποιείται:

(Ι) Αξιώματα πρόσθεσης

Ορίστηκε χαρτογράφηση (λειτουργία προσθήκης)

εκχωρώντας σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος στοιχείων από το Ε κάποιο στοιχείο που ονομάζεται άθροισμα των x και y. Στην περίπτωση αυτή πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

Υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο 0 (που ονομάζεται μηδέν στην περίπτωση πρόσθεσης) τέτοιο ώστε για οποιοδήποτε

Για οποιοδήποτε στοιχείο υπάρχει ένα στοιχείο που ονομάζεται αντίθετο με τέτοιο ώστε

Η λειτουργία 4 είναι συσχετιστική, δηλ. για οποιαδήποτε στοιχεία από

Η λειτουργία 4 είναι ανταλλακτική, δηλ. για οποιαδήποτε στοιχεία του E,

Εάν οριστεί μια πράξη σε κάποιο σύνολο που ικανοποιεί τα αξιώματα, τότε λέγεται ότι δίνεται η δομή μιας ομάδας ή ότι υπάρχει μια ομάδα. Εάν η πράξη ονομάζεται πρόσθεση, τότε η ομάδα ονομάζεται πρόσθετη. Εάν, επιπλέον, είναι γνωστό ότι η πράξη είναι ανταλλακτική, δηλ. ικανοποιείται η συνθήκη, τότε η ομάδα ονομάζεται ανταλλακτική ή αβελιανή. Έτσι τα αξιώματα λένε ότι το Ε είναι μια προσθετική αβελιανή ομάδα.

(II) Αξιώματα πολλαπλασιασμού

Καθορισμός χαρτογράφησης (λειτουργία πολλαπλασιασμού)

εκχωρώντας σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος στοιχείων από το Ε κάποιο στοιχείο, που ονομάζεται γινόμενο των x και y, και με τέτοιο τρόπο ώστε να πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες:

1. Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο στην περίπτωση πολλαπλασιασμού επί ένα) τέτοιο ώστε

2. Για κάθε στοιχείο υπάρχει ένα στοιχείο που ονομάζεται αντίστροφο, τέτοιο ώστε

3. Η πράξη είναι συνειρμική, δηλαδή οποιοδήποτε από τα Ε

4. Η πράξη είναι ανταλλακτική, δηλαδή για οποιαδήποτε

Σημειώστε ότι, όσον αφορά τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού, το σύνολο μπορεί να επαληθευτεί ότι είναι μια (πολλαπλασιαστική) ομάδα.

(I, II) Σχέση πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού

Ο πολλαπλασιασμός είναι κατανεμητικός ως προς την πρόσθεση, δηλ.

Σημειώστε ότι, ενόψει της ανταλλαξιμότητας του πολλαπλασιασμού, η τελευταία ισότητα διατηρείται εάν αντιστραφεί η σειρά των παραγόντων και στα δύο μέρη της.

Εάν σε κάποιο σύνολο υπάρχουν δύο πράξεις που ικανοποιούν όλα τα αναφερόμενα αξιώματα, τότε ονομάζεται αλγεβρικό πεδίο ή απλώς πεδίο.

(III) Αξιώματα τάξης

Υπάρχει σχέση μεταξύ των στοιχείων του Ε, δηλ. για στοιχεία από το Ε διαπιστώνεται αν εκπληρώνεται ή όχι. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

Η σχέση ονομάζεται σχέση ανισότητας.

Ένα σύνολο, μεταξύ ορισμένων από τα στοιχεία του οποίου υπάρχει μια σχέση που ικανοποιεί τα αξιώματα 0, 1, 2, είναι γνωστό ότι ονομάζεται μερικώς διατεταγμένο και εάν, επιπλέον, ικανοποιείται το αξίωμα 3, δηλ. οποιαδήποτε δύο στοιχεία του συνόλου είναι συγκρίσιμο, τότε το σύνολο ονομάζεται γραμμικά διατεταγμένο.

Έτσι, το σύνολο των πραγματικών αριθμών ταξινομείται γραμμικά από τη σχέση ανισότητας μεταξύ των στοιχείων του.

(I, III) Σχέση μεταξύ πρόσθεσης και τάξης στο R

Αν το x είναι στοιχεία του R, τότε

(II, III) Σχέση πολλαπλασιασμού και τάξης στο R

Αν είναι στοιχεία του R, τότε

(IV) Αξίωμα πληρότητας (συνέχεια)

Αν τα X και Y είναι μη κενά υποσύνολα του E που έχουν την ιδιότητα ότι για οποιαδήποτε στοιχεία, τότε υπάρχει τέτοια ώστε για οποιαδήποτε στοιχεία .

Αυτό συμπληρώνει τη λίστα των αξιωμάτων, η εκπλήρωση των οποίων σε οποιοδήποτε σύνολο Ε καθιστά δυνατό να θεωρηθεί αυτό το σύνολο ως συγκεκριμένη υλοποίηση ή, όπως λένε, μοντέλο πραγματικών αριθμών.

Αυτός ο ορισμός τυπικά δεν προϋποθέτει καμία προκαταρκτική πληροφορία για τους αριθμούς, και από αυτόν, "συμπεριλαμβανομένης της μαθηματικής σκέψης", και πάλι, τυπικά, πρέπει ήδη να λάβουμε τις υπόλοιπες ιδιότητες των πραγματικών αριθμών ως θεωρήματα. Θα θέλαμε να κάνουμε μερικές ανεπίσημες παρατηρήσεις σχετικά με αυτόν τον αξιωματικό φορμαλισμό.

Φανταστείτε ότι δεν έχετε περάσει από την προσθήκη μήλων, κύβων ή άλλων ονομασμένων ποσοτήτων στην προσθήκη αφηρημένων φυσικών αριθμών. ότι δεν μετρήσατε τμήματα και δεν καταλήξατε σε ορθολογικούς αριθμούς. ότι δεν ξέρεις τη μεγάλη ανακάλυψη των αρχαίων ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι ασύγκριτη με την πλευρά του και επομένως το μήκος του δεν μπορεί να είναι ρητός αριθμός, δηλαδή χρειάζονται παράλογοι αριθμοί? ότι δεν έχετε την έννοια του "περισσότερο" που προκύπτει στη διαδικασία μέτρησης, ότι δεν απεικονίζετε την τάξη στον εαυτό σας, για παράδειγμα, με την εικόνα μιας αριθμητικής γραμμής. Αν δεν ήταν όλα αυτά εκ των προτέρων, τότε το απαριθμημένο σύνολο αξιωμάτων όχι μόνο δεν θα γινόταν αντιληπτό ως οριστικό αποτέλεσμα πνευματικής ανάπτυξης, αλλά μάλλον θα φαινόταν τουλάχιστον παράξενος και σε κάθε περίπτωση αυθαίρετος καρπός της φαντασίας.

Σε σχέση με οποιοδήποτε αφηρημένο σύστημα αξιωμάτων, προκύπτουν αμέσως τουλάχιστον δύο ερωτήματα.

Πρώτον, είναι συμβατά αυτά τα αξιώματα, δηλ. υπάρχει κάποιο σύνολο που να ικανοποιεί όλες τις παραπάνω προϋποθέσεις; Αυτό είναι το ζήτημα της συνέπειας της αξιωματικής.

Δεύτερον, το δεδομένο σύστημα αξιωμάτων καθορίζει μοναδικά το μαθηματικό αντικείμενο, δηλαδή, όπως θα έλεγαν οι λογικοί, το σύστημα των αξιωμάτων είναι κατηγορικό.

Η αμφισημία εδώ πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής. Εάν τα άτομα Α και Β, ανεξάρτητα, έχουν κατασκευάσει τα δικά τους μοντέλα, για παράδειγμα, αριθμητικών συστημάτων που ικανοποιούν την αξιωματική, τότε μπορεί να δημιουργηθεί μια διπλή αντιστοιχία μεταξύ των συνόλων, ακόμα κι αν διατηρεί τις αριθμητικές πράξεις και τη σχέση τάξης, δηλ.

Από μαθηματική άποψη, σε αυτήν την περίπτωση, είναι απλώς διαφορετικές (εντελώς ίσες) υλοποιήσεις (μοντέλα) πραγματικών αριθμών (για παράδειγμα, άπειρα δεκαδικά κλάσματα και - σημεία στην αριθμητική γραμμή). Τέτοιες πραγματοποιήσεις ονομάζονται ισομορφικές και η χαρτογράφηση ονομάζεται ισομορφισμός. Τα αποτελέσματα της μαθηματικής δραστηριότητας, λοιπόν, δεν αναφέρονται σε μια μεμονωμένη υλοποίηση, αλλά σε κάθε μοντέλο από την κατηγορία των ισομορφικών μοντέλων μιας δεδομένης αξιωματικής.

Δεν θα συζητήσουμε τις παραπάνω ερωτήσεις εδώ και θα περιοριστούμε σε κατατοπιστικές απαντήσεις σε αυτές.

Μια θετική απάντηση στο ερώτημα σχετικά με τη συνέπεια των αξιωματικών είναι πάντα υπό όρους. Όσον αφορά τους αριθμούς, μοιάζει με αυτό: με βάση την αξιωματική της θεωρίας συνόλων που υιοθετήσαμε (βλ. Κεφ. I, § 4, στοιχείο 2), μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα σύνολο φυσικών αριθμών, μετά ένα σύνολο ρητικών, και , τέλος, ένα σύνολο Ε όλων των πραγματικών αριθμών που ικανοποιεί όλες τις παραπάνω ιδιότητες.

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

1 / 5

✪ Αξιωματικά πραγματικών αριθμών

✪ Εισαγωγή. Πραγματικοί αριθμοί | matan #001 | Μπόρις Τρούσιν +

✪ Η αρχή των ένθετων τμημάτων | matan #003 | Μπόρις Τρούσιν!

✪ Διάφορες αρχές συνέχειας | matan #004 | Μπόρις Τρούσιν!

✪ Αξίωμα συνέχειας. Η αρχή του Cantor των ένθετων περικοπών

Υπότιτλοι

Αξίωμα συνέχειας

Η παρακάτω πρόταση είναι ίσως η απλούστερη και πιο βολική για εφαρμογές διατύπωση της ιδιότητας συνέχειας των πραγματικών αριθμών. Στην αξιωματική κατασκευή της θεωρίας του πραγματικού αριθμού, αυτή η δήλωση, ή ισοδύναμη με αυτήν, περιλαμβάνεται ασφαλώς στον αριθμό των αξιωμάτων του πραγματικού αριθμού.

Αξίωμα συνέχειας (πληρότητα). A ⊂ R (\displaystyle A\subset \mathbb (R))και B ⊂ R (\displaystyle B\subset \mathbb (R) )και η ανισότητα ικανοποιείται, υπάρχει ένας τέτοιος πραγματικός αριθμός ξ (\displaystyle \xi )αυτό για όλους a ∈ A (\displaystyle a\in A)και b ∈ B (\displaystyle b\in B)υπάρχει σχέση

Γεωμετρικά, αν αντιμετωπίσουμε τους πραγματικούς αριθμούς ως σημεία σε ευθεία γραμμή, αυτή η δήλωση φαίνεται προφανής. Αν δύο σετ A (\displaystyle A)και B (\displaystyle B)είναι τέτοια ώστε στην αριθμητική γραμμή όλα τα στοιχεία ενός από αυτά βρίσκονται στα αριστερά όλων των στοιχείων του δεύτερου, τότε υπάρχει ένας αριθμός ξ (\displaystyle \xi ), χωρίζονταςαυτά τα δύο σύνολα, δηλαδή, που βρίσκονται στα δεξιά όλων των στοιχείων A (\displaystyle A)(εκτός ίσως από το ξ (\displaystyle \xi )) και στα αριστερά όλων των στοιχείων B (\displaystyle B)(ίδια ρήτρα).

Να σημειωθεί εδώ ότι παρά το «προφανές» αυτής της ιδιότητας, για τους ρητούς αριθμούς δεν ικανοποιείται πάντα. Για παράδειγμα, σκεφτείτε δύο σύνολα:

A = ( x ∈ Q: x > 0 , x 2< 2 } , B = { x ∈ Q: x >0 , x 2 > 2 ) (\displaystyle A=$x\in \mathbb (Q) :x>0,\;x^(2)<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^(2)>2$)

Είναι εύκολο να το δει κανείς για οποιοδήποτε στοιχείο a ∈ A (\displaystyle a\in A)και b ∈ B (\displaystyle b\in B)την ανισότητα ένα< b {\displaystyle a. Ωστόσο λογικόςαριθμοί ξ (\displaystyle \xi ), που χωρίζει αυτά τα δύο σύνολα, δεν υπάρχει. Πράγματι, αυτός ο αριθμός μπορεί μόνο να είναι 2 (\displaystyle (\sqrt (2))), αλλά δεν είναι λογικό.

Ο ρόλος του αξιώματος της συνέχειας στην κατασκευή της μαθηματικής ανάλυσης

Η σημασία του αξιώματος της συνέχειας είναι τέτοια που χωρίς αυτό είναι αδύνατη μια αυστηρή κατασκευή μαθηματικής ανάλυσης. Για να το δείξουμε, παρουσιάζουμε αρκετές θεμελιώδεις δηλώσεις ανάλυσης, η απόδειξη των οποίων βασίζεται στη συνέχεια των πραγματικών αριθμών:

(Θεώρημα του Weierstrass).Κάθε οριοθετημένη μονότονα αυξανόμενη ακολουθία συγκλίνει
(Θεώρημα Bolzano - Cauchy).Μια συνεχής συνάρτηση σε ένα τμήμα που παίρνει τιμές διαφορετικών σημάτων στα άκρα του εξαφανίζεται σε κάποιο εσωτερικό σημείο του τμήματος
(Ύπαρξη ισχύος, εκθετικής, λογαριθμικής και όλων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ολόκληρο το «φυσικό» πεδίο ορισμού).Για παράδειγμα, αποδεικνύεται ότι για κάθε a > 0 (\displaystyle a>0)και ολόκληρο n ⩾ 1 (\displaystyle n\geqslant 1)υπάρχει a n (\displaystyle (\sqrt[(n)](a))), δηλαδή τη λύση της εξίσωσης x n = a , x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). Αυτό σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την τιμή της έκφρασης για όλα τα ορθολογικά x (\displaystyle x):

A m / n = (a n) m (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\right)^(m))

Τέλος, πάλι λόγω της συνέχειας της αριθμητικής γραμμής, μπορεί κανείς να προσδιορίσει την τιμή της παράστασης a x (\displaystyle a^(x))ήδη για αυθαίρετα x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R) ). Ομοίως, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα συνέχειας, αποδεικνύουμε την ύπαρξη του αριθμού καταγραφή a ⁡ b (\displaystyle \log _(a)(b))για κάθε a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).

Για μια μακρά ιστορική περίοδο, οι μαθηματικοί απέδειξαν θεωρήματα από αναλύσεις, σε «λεπτές θέσεις» αναφερόμενες σε γεωμετρική αιτιολόγηση, και πιο συχνά παρακάμπτοντάς τα εντελώς, αφού ήταν προφανές. Η βασική έννοια της συνέχειας χρησιμοποιήθηκε χωρίς σαφή ορισμό. Μόνο στο τελευταίο τρίτο του 19ου αιώνα ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass παρήγαγε την αριθμητική ανάλυση της ανάλυσης, κατασκευάζοντας την πρώτη αυστηρή θεωρία των πραγματικών αριθμών ως άπειρα δεκαδικά κλάσματα. Πρότεινε τον κλασικό ορισμό του ορίου στη γλώσσα ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta ), απέδειξε μια σειρά από δηλώσεις που θεωρήθηκαν «προφανείς» ενώπιον του, και έτσι ολοκλήρωσε την κατασκευή του θεμελίου της μαθηματικής ανάλυσης.

Αργότερα, προτάθηκαν άλλες προσεγγίσεις για τον ορισμό ενός πραγματικού αριθμού. Στην αξιωματική προσέγγιση, η συνέχεια των πραγματικών αριθμών ξεχωρίζει ρητά ως ξεχωριστό αξίωμα. Σε εποικοδομητικές προσεγγίσεις στη θεωρία ενός πραγματικού αριθμού, για παράδειγμα, κατά την κατασκευή πραγματικών αριθμών με χρήση τμημάτων Dedekind, η ιδιότητα της συνέχειας (σε μια διατύπωση ή την άλλη) αποδεικνύεται ως θεώρημα.

Άλλες Δηλώσεις Ιδιότητας Συνέχειας και Ισοδύναμες Προτάσεις

Υπάρχουν πολλές διαφορετικές προτάσεις που εκφράζουν την ιδιότητα της συνέχειας των πραγματικών αριθμών. Κάθε μία από αυτές τις αρχές μπορεί να ληφθεί ως βάση για την κατασκευή της θεωρίας του πραγματικού αριθμού ως αξίωμα της συνέχειας και όλες οι άλλες μπορούν να προκύψουν από αυτήν. Αυτό το θέμα συζητείται με περισσότερες λεπτομέρειες στην επόμενη ενότητα.

Συνέχεια κατά τον Dedekind

Το ζήτημα της συνέχειας των πραγματικών αριθμών ο Dedekind εξετάζει στο έργο του "Συνέχεια και παράλογοι αριθμοί". Σε αυτό, συγκρίνει ρητούς αριθμούς με σημεία σε ευθεία γραμμή. Όπως γνωρίζετε, μεταξύ ρητών αριθμών και σημείων μιας ευθείας γραμμής, μπορείτε να δημιουργήσετε μια αντιστοιχία όταν το σημείο εκκίνησης και η μονάδα μέτρησης των τμημάτων επιλέγονται στην ευθεία γραμμή. Με τη βοήθεια του τελευταίου, για κάθε ρητό αριθμό a (\displaystyle a)κατασκευάστε το αντίστοιχο τμήμα και βάζοντάς το στην άκρη δεξιά ή αριστερά, ανάλογα με το αν υπάρχει a (\displaystyle a)θετικός ή αρνητικός αριθμός, πάρε σημείο p (\displaystyle p)που αντιστοιχεί στον αριθμό a (\displaystyle a). Άρα κάθε ρητός αριθμός a (\displaystyle a)ταιριάζει με έναν και μόνο βαθμό p (\displaystyle p)σε ευθεία γραμμή.

Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν άπειρα πολλά σημεία στην ευθεία που δεν αντιστοιχούν σε κανένα ρητό αριθμό. Για παράδειγμα, ένα σημείο που προκύπτει σχεδιάζοντας το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου που είναι χτισμένο σε ένα τμήμα μονάδας. Έτσι, το βασίλειο των ρητών αριθμών δεν το έχει αυτό πληρότητα, ή συνέχεια, που είναι εγγενές σε μια ευθεία γραμμή.

Για να ανακαλύψει σε τι συνίσταται αυτή η συνέχεια, ο Dedekind κάνει την εξής παρατήρηση. Αν ένα p (\displaystyle p)είναι ένα ορισμένο σημείο της ευθείας, τότε όλα τα σημεία της ευθείας χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: σημεία που βρίσκονται στα αριστερά p (\displaystyle p)και δείχνει προς τα δεξιά p (\displaystyle p). Το ίδιο το σημείο p (\displaystyle p)μπορεί να ανατεθεί αυθαίρετα είτε στην κατώτερη είτε στην ανώτερη τάξη. Ο Dedekind βλέπει την ουσία της συνέχειας στην αντίστροφη αρχή:

Γεωμετρικά, αυτή η αρχή φαίνεται προφανής, αλλά δεν είμαστε σε θέση να το αποδείξουμε. Ο Dedekind τονίζει ότι, στην ουσία, αυτή η αρχή είναι ένα αξίωμα, το οποίο εκφράζει την ουσία αυτής της ιδιότητας που αποδίδεται στην ευθεία γραμμή, την οποία ονομάζουμε συνέχεια.

Για να κατανοήσετε καλύτερα την ουσία της συνέχειας της αριθμητικής γραμμής με την έννοια του Dedekind, εξετάστε ένα αυθαίρετο τμήμα του συνόλου των πραγματικών αριθμών, δηλαδή τη διαίρεση όλων των πραγματικών αριθμών σε δύο μη κενές τάξεις, έτσι ώστε όλοι οι αριθμοί μια κλάση βρίσκεται στην αριθμητική γραμμή στα αριστερά όλων των αριθμών της δεύτερης. Αυτές οι τάξεις ονομάζονται αντίστοιχα πιο χαμηλακαι ανώτερες τάξειςενότητες. Θεωρητικά, υπάρχουν 4 πιθανότητες:

Η κατώτερη τάξη έχει μέγιστο στοιχείο, η ανώτερη δεν έχει ελάχιστο
Η κάτω κατηγορία δεν έχει μέγιστο στοιχείο, ενώ η ανώτερη κατηγορία έχει ένα ελάχιστο
Η κάτω κατηγορία έχει ένα μέγιστο στοιχείο και η ανώτερη κατηγορία έχει ένα ελάχιστο στοιχείο.
Η κατώτερη κατηγορία δεν έχει μέγιστο και η ανώτερη κατηγορία δεν έχει ελάχιστο.

Στην πρώτη και στη δεύτερη περίπτωση, το μέγιστο στοιχείο του κάτω ή το ελάχιστο στοιχείο του άνω, αντίστοιχα, παράγει αυτό το τμήμα. Στην τρίτη περίπτωση έχουμε άλμα, και στο τέταρτο χώρος. Έτσι, η συνέχεια της αριθμητικής γραμμής σημαίνει ότι δεν υπάρχουν άλματα ή κενά στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή, μεταφορικά μιλώντας, δεν υπάρχουν κενά.

Αυτή η πρόταση είναι επίσης ισοδύναμη με την αρχή της συνέχειας του Dedekind. Επιπλέον, μπορεί να αποδειχθεί ότι η δήλωση του infimum θεωρήματος απορρέει άμεσα από τον ισχυρισμό του supremum θεωρήματος και αντίστροφα (βλ. παρακάτω).

Πεπερασμένο λήμμα καλύμματος (αρχή Heine-Borel)

Λήμμα πεπερασμένου εξωφύλλου (Heine - Borel). Σε οποιοδήποτε σύστημα διαστημάτων που καλύπτει ένα τμήμα, υπάρχει ένα πεπερασμένο υποσύστημα που καλύπτει αυτό το τμήμα.

Λήμμα οριακού σημείου (αρχή Bolzano-Weierstrass)

Λήμμα οριακού σημείου (Μπολτσάνο - Βάιερστρας). Κάθε σύνολο άπειρων οριοθετημένων αριθμών έχει τουλάχιστον ένα οριακό σημείο.. Η δεύτερη ομάδα εκφράζει το γεγονός ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι , και η σχέση τάξης είναι συνεπής με τις βασικές πράξεις του πεδίου. Έτσι, η πρώτη και η δεύτερη ομάδα αξιωμάτων σημαίνουν ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι ένα διατεταγμένο πεδίο. Η τρίτη ομάδα αξιωμάτων αποτελείται από ένα αξίωμα - το αξίωμα της συνέχειας (ή της πληρότητας).

Για να δείξουμε την ισοδυναμία διαφορετικών διατυπώσεων της συνέχειας των πραγματικών αριθμών, πρέπει να αποδείξουμε ότι εάν μία από αυτές τις προτάσεις ισχύει για ένα διατεταγμένο πεδίο, τότε όλες οι άλλες είναι αληθείς.

Θεώρημα. Έστω ένα αυθαίρετο γραμμικό-διατεταγμένο-σύνολο . Οι παρακάτω δηλώσεις είναι ισοδύναμες:

Όποια κι αν είναι τα μη κενά σετ και B ⊂ R (\displaystyle B\υποσύνολο (\mathsf (R))), έτσι ώστε για οποιαδήποτε δύο στοιχεία a ∈ A (\displaystyle a\in A)και b ∈ B (\displaystyle b\in B)την ανισότητα a ⩽ b (\displaystyle a\leqslant b), υπάρχει ένα τέτοιο στοιχείο ξ ∈ R (\displaystyle \xi \in (\mathsf (R)))αυτό για όλους a ∈ A (\displaystyle a\in A)και b ∈ B (\displaystyle b\in B)υπάρχει σχέση a ⩽ ξ ⩽ b (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
Για οποιοδήποτε τμήμα σε R (\displaystyle (\mathsf (R)))υπάρχει ένα στοιχείο που παράγει αυτό το τμήμα
Κάθε μη κενό σύνολο περιορίζεται παραπάνω A ⊂ R (\displaystyle A\υποσύνολο (\mathsf (R)))έχει υπέρτατο
Κάθε μη κενό σύνολο περιορίζεται παρακάτω A ⊂ R (\displaystyle A\υποσύνολο (\mathsf (R)))έχει ένα infimum

Όπως φαίνεται από αυτό το θεώρημα, αυτές οι τέσσερις προτάσεις χρησιμοποιούν μόνο αυτό που υπάρχει R (\displaystyle (\mathsf (R)))εισήγαγε μια σχέση γραμμικής τάξης και μην χρησιμοποιείτε τη δομή πεδίου. Έτσι, το καθένα από αυτά εκφράζει την ιδιότητα R (\displaystyle (\mathsf (R)))ως γραμμικά διατεταγμένο σύνολο. Αυτή η ιδιότητα (ενός αυθαίρετου γραμμικά διατεταγμένου συνόλου, όχι απαραίτητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών) ονομάζεται συνέχεια, ή πληρότητα, σύμφωνα με τον Dedekind.

Η απόδειξη της ισοδυναμίας άλλων προτάσεων απαιτεί ήδη μια δομή πεδίου.

Θεώρημα. Αφήνω R (\displaystyle (\mathsf (R)))- ένα αυθαίρετο διατεταγμένο πεδίο. Οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:

Σχόλιο. Όπως φαίνεται από το θεώρημα, η αρχή των ένθετων τμημάτων από μόνη της δεν είναι ισοδύναμοΗ αρχή της συνέχειας του Dedekind. Η αρχή των ένθετων τμημάτων απορρέει από την αρχή της συνέχειας Dedekind, αλλά για το αντίστροφο απαιτείται επιπλέον να απαιτείται το διατεταγμένο πεδίο .

Σχέδιο:

1 Αξίωμα συνέχειας
2 Ο ρόλος του αξιώματος της συνέχειας στην κατασκευή της μαθηματικής ανάλυσης
3 Άλλες Δηλώσεις Ιδιότητας Συνέχειας και Ισοδύναμες Προτάσεις
- 3.1 Συνέχεια κατά τον Dedekind
- 3.2 Λήμμα σε ένθετα τμήματα (αρχή Cauchy-Cantor)
- 3.3 Η υπέρτατη αρχή
- 3.4 Πεπερασμένο λήμμα καλύμματος (αρχή Heine-Borel)
- 3.5 Λήμμα οριακού σημείου (αρχή Bolzano-Weierstrass)
4 Ισοδυναμία προτάσεων που εκφράζουν τη συνέχεια του συνόλου των πραγματικών αριθμών

Εισαγωγή

Συνέχεια πραγματικών αριθμών- μια ιδιότητα του συστήματος των πραγματικών αριθμών, την οποία το σύνολο των ρητών αριθμών δεν έχει. Μερικές φορές, αντί για συνέχεια, μιλάνε για πληρότητα του συστήματος των πραγματικών αριθμών. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές διατυπώσεις της ιδιότητας συνέχειας, οι πιο γνωστές από τις οποίες είναι: Η αρχή του Dedekind για τη συνέχεια των πραγματικών αριθμών, αρχή των ένθετων τμημάτων Cauchy - Cantor, υπέρτατο θεώρημα. Ανάλογα με τον αποδεκτό ορισμό ενός πραγματικού αριθμού, η ιδιότητα της συνέχειας μπορεί είτε να θεωρηθεί ως αξίωμα - με τη μία ή την άλλη διατύπωση, είτε να αποδειχθεί ως θεώρημα.

1. Αξίωμα συνέχειας

Η παρακάτω πρόταση είναι ίσως η απλούστερη και πιο βολική για εφαρμογές διατύπωση της ιδιότητας συνέχειας των πραγματικών αριθμών. Στην αξιωματική κατασκευή της θεωρίας ενός πραγματικού αριθμού, αυτή η δήλωση, ή ισοδύναμη με αυτήν, είναι σίγουρα μεταξύ των αξιωμάτων ενός πραγματικού αριθμού.

Γεωμετρική απεικόνιση του αξιώματος της συνέχειας

Αξίωμα συνέχειας (πληρότητα). Όποια και αν είναι τα μη κενά σύνολα και , έτσι ώστε για οποιαδήποτε δύο στοιχεία και ισχύει η ανισότητα, υπάρχει ένας αριθμός ξ τέτοιος ώστε για όλα και η σχέση ισχύει

Γεωμετρικά, αν αντιμετωπίσουμε τους πραγματικούς αριθμούς ως σημεία σε ευθεία γραμμή, αυτή η δήλωση φαίνεται προφανής. Αν δύο σετ ΕΝΑκαι σιείναι τέτοια ώστε στην αριθμητική γραμμή όλα τα στοιχεία ενός από αυτά βρίσκονται στα αριστερά όλων των στοιχείων του δεύτερου, τότε υπάρχει ένας αριθμός ξ, χωρίζονταςαυτά τα δύο σύνολα, δηλαδή, που βρίσκονται στα δεξιά όλων των στοιχείων ΕΝΑ(εκτός, ίσως, του ίδιου του ξ) και στα αριστερά όλων των στοιχείων σι(ίδια ρήτρα).

Είναι εύκολο να το δει κανείς για οποιαδήποτε στοιχεία και την ανισότητα ένα < σι. Ωστόσο λογικόςδεν υπάρχει αριθμός ξ που να χωρίζει αυτά τα δύο σύνολα. Πράγματι, αυτός ο αριθμός μπορεί να είναι μόνο , αλλά δεν είναι λογικός.

2. Ο ρόλος του αξιώματος της συνέχειας στην κατασκευή της μαθηματικής ανάλυσης

Τέλος, πάλι λόγω της συνέχειας της αριθμητικής γραμμής, μπορεί κανείς να προσδιορίσει την τιμή της παράστασης ένα Χήδη για αυθαίρετα . Ομοίως, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα συνέχειας, αποδεικνύουμε την ύπαρξη του ημερολογίου αριθμών ένα σιγια κάθε .

Για μια μακρά ιστορική χρονική περίοδο, οι μαθηματικοί απέδειξαν θεωρήματα από την ανάλυση, σε «λεπτές θέσεις» που αναφέρονται στη γεωμετρική αιτιολόγηση, και πιο συχνά τα παρακάμπτουν εντελώς επειδή ήταν προφανές. Η βασική έννοια της συνέχειας χρησιμοποιήθηκε χωρίς σαφή ορισμό. Μόνο το τελευταίο τρίτο του 19ου αιώνα ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass παρήγαγε την αριθμητική ανάλυση της ανάλυσης, κατασκευάζοντας την πρώτη αυστηρή θεωρία των πραγματικών αριθμών ως άπειρα δεκαδικά κλάσματα. Πρότεινε έναν κλασικό ορισμό του ορίου στη γλώσσα, απέδειξε μια σειρά από δηλώσεις που θεωρούνταν «προφανείς» μπροστά του, και έτσι ολοκλήρωσε τη βάση της μαθηματικής ανάλυσης.

Αργότερα, προτάθηκαν άλλες προσεγγίσεις για τον ορισμό ενός πραγματικού αριθμού. Στην αξιωματική προσέγγιση, η συνέχεια των πραγματικών αριθμών ξεχωρίζει ρητά ως ξεχωριστό αξίωμα. Σε εποικοδομητικές προσεγγίσεις στη θεωρία των πραγματικών αριθμών, για παράδειγμα, κατά την κατασκευή πραγματικών αριθμών με χρήση τμημάτων Dedekind, η ιδιότητα της συνέχειας (σε μια διατύπωση ή την άλλη) αποδεικνύεται ως θεώρημα.

3. Άλλες διατυπώσεις της ιδιότητας συνέχειας και ισοδύναμες προτάσεις

3.1. Συνέχεια κατά τον Dedekind

Το ζήτημα της συνέχειας των πραγματικών αριθμών εξετάζεται από τον Dedekind στο έργο του Continuity and Irrational Numbers. Σε αυτό, συγκρίνει τους ρητούς αριθμούς με τα σημεία μιας ευθείας γραμμής. Όπως γνωρίζετε, μπορεί να καθοριστεί μια αντιστοιχία μεταξύ ρητών αριθμών και σημείων μιας ευθείας γραμμής όταν επιλέγεται ένα σημείο εκκίνησης και μια μονάδα μέτρησης τμημάτων σε μια ευθεία γραμμή. Με τη βοήθεια του τελευταίου, για κάθε ρητό αριθμό ένακατασκευάστε το αντίστοιχο τμήμα και βάζοντάς το στην άκρη δεξιά ή αριστερά, ανάλογα με το αν υπάρχει έναθετικός ή αρνητικός αριθμός, πάρε σημείο Ππου αντιστοιχεί στον αριθμό ένα. Άρα κάθε ρητός αριθμός έναταιριάζει με έναν και μόνο βαθμό Πσε ευθεία γραμμή.

Για να ανακαλύψει σε τι συνίσταται αυτή η συνέχεια, ο Dedekind κάνει την εξής παρατήρηση. Αν ένα Πείναι ένα ορισμένο σημείο της ευθείας, τότε όλα τα σημεία της ευθείας χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: σημεία που βρίσκονται στα αριστερά Πκαι δείχνει προς τα δεξιά Π. Το ίδιο το σημείο Πμπορεί να ανατεθεί αυθαίρετα είτε στην κατώτερη είτε στην ανώτερη τάξη. Ο Dedekind βλέπει την ουσία της συνέχειας στην αντίστροφη αρχή:

Η κατώτερη κατηγορία έχει ένα μέγιστο στοιχείο, η ανώτερη κατηγορία δεν έχει ένα ελάχιστο
Η κάτω κατηγορία δεν έχει μέγιστο στοιχείο, ενώ η ανώτερη κατηγορία έχει ένα ελάχιστο
Η κάτω κατηγορία έχει ένα μέγιστο στοιχείο και η ανώτερη κατηγορία έχει ένα ελάχιστο στοιχείο.
Η κατώτερη κατηγορία δεν έχει μέγιστο και η ανώτερη κατηγορία δεν έχει ελάχιστο.

Αν εισαγάγουμε την έννοια ενός τμήματος του συνόλου των πραγματικών αριθμών, τότε η αρχή της συνέχειας του Dedekind μπορεί να διατυπωθεί ως εξής.

Η αρχή της συνέχειας του Dedekind (πληρότητα). Για κάθε τμήμα του συνόλου των πραγματικών αριθμών, υπάρχει ένας αριθμός που παράγει αυτήν την ενότητα.

Σχόλιο. Η διατύπωση του αξιώματος της συνέχειας σχετικά με την ύπαρξη ενός σημείου που χωρίζει δύο σύνολα θυμίζει πολύ τη διατύπωση της αρχής της συνέχειας του Dedekind. Στην πραγματικότητα, αυτές οι δηλώσεις είναι ισοδύναμες και, στην ουσία, είναι διαφορετικές διατυπώσεις του ίδιου πράγματος. Επομένως, καλούνται και οι δύο αυτές δηλώσεις η αρχή της συνέχειας των πραγματικών αριθμών σύμφωνα με τον Dedekind.

3.2. Λήμμα σε ένθετα τμήματα (αρχή Cauchy-Cantor)

Λήμμα σε ένθετα τμήματα (Cauchy - Kantor). Οποιοδήποτε σύστημα ένθετων τμημάτων

έχει μια μη κενή τομή, δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός που ανήκει σε όλα τα τμήματα του δεδομένου συστήματος.

Εάν, επιπλέον, το μήκος των τμημάτων του δεδομένου συστήματος τείνει στο μηδέν, δηλαδή

τότε η τομή των τμημάτων αυτού του συστήματος αποτελείται από ένα σημείο.

Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται συνέχεια του συνόλου των πραγματικών αριθμών με την έννοια του Cantor. Θα φανεί παρακάτω ότι για τα διατεταγμένα πεδία του Αρχιμήδειου η συνέχεια σύμφωνα με τον Cantor είναι ισοδύναμη με τη συνέχεια σύμφωνα με τον Dedekind.

3.3. Η υπέρτατη αρχή

Η αρχή της υπεροχής. Κάθε μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών που οριοθετείται παραπάνω έχει ένα υπέρτατο.

Στα μαθήματα λογισμού, αυτή η πρόταση είναι συνήθως ένα θεώρημα και η απόδειξή της κάνει σημαντική χρήση της συνέχειας του συνόλου των πραγματικών αριθμών με τη μία ή την άλλη μορφή. Ταυτόχρονα, αντίθετα, είναι δυνατό να υποθέσουμε την ύπαρξη ενός ανώτατου ορίου για οποιοδήποτε μη κενό σύνολο που οριοθετείται από πάνω, και βασιζόμενοι σε αυτό για να αποδείξουμε, για παράδειγμα, την αρχή της συνέχειας του Dedekind. Έτσι, το ανώτατο θεώρημα είναι ένας από τους ισοδύναμους σχηματισμούς της ιδιότητας της συνέχειας των πραγματικών αριθμών.

Σχόλιο. Αντί για το supremum, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τη διττή έννοια του infimum.

Η αρχή του infimum. Κάθε μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών που οριοθετείται παρακάτω έχει ένα infimum.

3.4. Πεπερασμένο λήμμα καλύμματος (αρχή Heine-Borel)

3.5. Λήμμα οριακού σημείου (αρχή Bolzano-Weierstrass)

Λήμμα οριακού σημείου (Μπολτσάνο - Βάιερστρας). Κάθε σύνολο άπειρων οριοθετημένων αριθμών έχει τουλάχιστον ένα οριακό σημείο.

4. Ισοδυναμία προτάσεων που εκφράζουν τη συνέχεια του συνόλου των πραγματικών αριθμών

Ας κάνουμε μερικές προκαταρκτικές παρατηρήσεις. Σύμφωνα με τον αξιωματικό ορισμό ενός πραγματικού αριθμού, το σύνολο των πραγματικών αριθμών ικανοποιεί τρεις ομάδες αξιωμάτων. Η πρώτη ομάδα είναι τα αξιώματα πεδίου. Η δεύτερη ομάδα εκφράζει το γεγονός ότι η συλλογή των πραγματικών αριθμών είναι ένα γραμμικά διατεταγμένο σύνολο και η σχέση τάξης είναι συνεπής με τις βασικές πράξεις του πεδίου. Έτσι, η πρώτη και η δεύτερη ομάδα αξιωμάτων σημαίνουν ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι ένα διατεταγμένο πεδίο. Η τρίτη ομάδα αξιωμάτων αποτελείται από ένα αξίωμα - το αξίωμα της συνέχειας (ή της πληρότητας).

Θεώρημα. Έστω ένα αυθαίρετο γραμμικά διατεταγμένο σύνολο. Οι παρακάτω δηλώσεις είναι ισοδύναμες:

Όπως φαίνεται από αυτό το θεώρημα, αυτές οι τέσσερις προτάσεις χρησιμοποιούν μόνο αυτό που έχει εισαγάγει η σχέση γραμμικής τάξης και δεν χρησιμοποιούν τη δομή πεδίου. Έτσι, καθένα από αυτά εκφράζει μια ιδιότητα ως γραμμικά διατεταγμένο σύνολο. Αυτή η ιδιότητα (ενός αυθαίρετου γραμμικά διατεταγμένου συνόλου, όχι απαραίτητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών) ονομάζεται συνέχεια, ή πληρότητα, σύμφωνα με τον Dedekind.

Η απόδειξη της ισοδυναμίας άλλων προτάσεων απαιτεί ήδη μια δομή πεδίου.

Θεώρημα. Έστω ένα αυθαίρετο διατεταγμένο πεδίο. Οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:

Η απόδειξη των παραπάνω θεωρημάτων βρίσκεται στα βιβλία από τη βιβλιογραφία που δίνεται παρακάτω.

Σημειώσεις

Zorich, V. A.Μαθηματική ανάλυση. Μέρος Ι. - Εκδ. 4ο, διορθώθηκε .. - M .: "MTsNMO", 2002. - S. 43.
Για παράδειγμα, στον αξιωματικό ορισμό ενός πραγματικού αριθμού, η αρχή της συνέχειας Dedekind περιλαμβάνεται μεταξύ των αξιωμάτων και στον εποικοδομητικό ορισμό ενός πραγματικού αριθμού χρησιμοποιώντας τμήματα Dedekind, η ίδια πρόταση είναι ήδη θεώρημα - βλ. για παράδειγμα Fikhtengolts, G. M.
Kudryavtsev, L. D.Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης. - 5η έκδ. - Μ .: "Δρόφα", 2003. - Τ. 1. - Σ. 38.
Kudryavtsev, L. D.Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης. - 5η έκδ. - Μ .: "Δρόφα", 2003. - Τ. 1. - Σ. 84.
Zorich, V. A.Μαθηματική ανάλυση. Μέρος Ι. - Εκδ. 4ο, διορθώθηκε .. - M .: "MTsNMO", 2002. - S. 81.
Dedekind, R.Συνέχεια και παράλογοι αριθμοί - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4η αναθεωρημένη έκδοση. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.

Βιβλιογραφία

Kudryavtsev, L. D.Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης. - 5η έκδ. - Μ .: «Δρόφα», 2003. - Τ. 1. - 704 σελ. - ISBN 5-7107-4119-1
Fikhtengolts, G. M.Βασικές αρχές μαθηματικής ανάλυσης. - 7η έκδ. - M .: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X
Dedekind, R.Συνέχεια και παράλογοι αριθμοί - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4η αναθεωρημένη έκδοση. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p. , Πληρότητα Turing , Κατάτμηση ορισμού , Παραλλαγή συνόλου , Βαθμός ορισμού .

§ 7 . Ίδρυμα Ανάλυσης, 4

Πληρότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

7.1. Εισαγωγή.

Ορισμός.Ως πραγματικός αριθμός α εννοούμε την κλάση ισοδυναμίας a των θεμελιωδών ακολουθιών ρητών αριθμών.

Ορισμός.Πολλά RΟι τάξεις ισοδυναμίας των θεμελιωδών ακολουθιών ορθολογικών αριθμών θα ονομάζονται το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

1) lim a n = a Û " 0< eÎR$ pО Ν(" nΟ Ν, n ³ p) Þ |a n - a| £ ε

2) κάθε ακολουθία (a n) που είναι συγκλίνουσα είναι επίσης θεμελιώδης

" 0 < eÎR$ pО Ν(("mΟ Ν, " nО Ν, m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £ ε)

Είναι φυσικό να προσπαθήσουμε, κατ' αναλογία με την §6, να εφαρμόσουμε τη διαδικασία παραγοντοποίησης στο σύνολο των θεμελιωδών ακολουθιών των πραγματικών αριθμών. Δεν θα παίρναμε ένα σύνολο τάξεων ισοδυναμίας θεμελιωδών ακολουθιών πραγματικών αριθμών που περιέχουν το σύνολο Rως δικό του υποσύνολο;

Αποδεικνύεται ότι όχι.

Σε αυτό το §, θα καθοριστεί μια αξιοσημείωτη ιδιότητα: η ιδιότητα πληρότητας του συνόλου των πραγματικών αριθμών, η οποία συνίσταται στο γεγονός ότι οποιαδήποτε θεμελιώδης ακολουθία πραγματικών αριθμών συγκλίνει σε R.

7.2. Προσέγγιση πραγματικών αριθμών με δεκαδικά κλάσματα.

Ορισμός.Η ακολουθία (q n) περιορίζεται εάν $0< MÎQ, ότι (" nΟ Ν|q n | £ εκ.)

Θεώρημα 1. Κάθε θεμελιώδης ακολουθία ρητών αριθμών είναι οριοθετημένη.

Απόδειξη. Έστω (q n) μια θεμελιώδης ακολουθία ορθολογικών αριθμών, τότε, λόγω της θεμελιώδους φύσης, για e=1 υπάρχει ένα τέτοιο pн Ν, τι:

$ pО N:((" m ³ p) Þ |q n -q m | £ 1)

m = p - fix, τότε "n ³ p |q n | £ |q p | + 1.

Πράγματι: |q n | = |qn -qp +qp | £ |q n -q p | + |q p | z |q n | £ 1 + |q p |.

Ορίζοντας ως M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) παίρνουμε: " nн Ν|q n | £ M.ð

Στην ενότητα 6.3. Στο πλατό δόθηκε η ενιαία σχέση «να είσαι θετικός». Συμφωνούμε να γράψουμε ">0". Στη συνέχεια a ³ 0 w (a > 0 ή a = 0).

Θεώρημα 2 . Έστω η θεμελιώδης ακολουθία (q n) ρητών αριθμών αντιπροσωπεύει έναν πραγματικό αριθμό a, τότε:

α) ($ p 1 О Ν, $ MO Q(" nΟ Ν, " n ³ p 1) z |q n | £ M) z a £ M.

β) ($ p 2 О Ν, $ mО Q(" nΟ Ν, " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.

Απόδειξη.Αφού " n³p 1 q n -M £ 0, τότε η θεμελιώδης ακολουθία q n -M - η διαφορά μεταξύ της θεμελιώδους ακολουθίας (q n) και της σταθερής ακολουθίας M δεν μπορεί να είναι θετική ακολουθία, αφού είναι είτε μηδέν είτε αρνητική.

Επομένως, ο πραγματικός αριθμός (a-M) που αντιπροσωπεύεται από αυτή την ακολουθία δεν μπορεί να είναι θετικός, δηλ. a-M £ 0, δηλ. a e M.

Ομοίως, το β) θεωρείται.

Θεώρημα 3 . Η θεμελιώδης ακολουθία (q n) ρητών αριθμών αντιπροσωπεύει έναν πραγματικό αριθμό a εάν και μόνο εάν " 0 R$po Ν, ότι «nО Νκαι n³p η ανισότητα |q n -a| £e:

(q n)нa ы " 0< eÎR$ pО Ν(" nΟ Ν, n³p) Þ |q n -a| £ ε.

Απόδειξη.Ας αποδείξουμε απλώς την αναγκαιότητα. Είναι προφανές ότι «εν R$ e 1 О Q(e 1 £e)

Έστω η θεμελιώδης ακολουθία (q n) των ρητών αριθμών αντιπροσωπευτική του αριθμού a.

Με την παραδοχή, είναι θεμελιώδες, δηλ. "0< eÎQ$ pО Ν(" nΟ Ν,"mO Ν, n³p, m³p) Þ |q n -q n | £ e/2.

Διορθώστε το n³p, τότε παίρνουμε τη θεμελιώδη ακολουθία (q m -q n): (q 1 -q n; q 2 -q n; ...; q n-1 -q n; 0; q n+1 -q n; ...) .

Όλοι οι όροι αυτής της ακολουθίας για το m³p ικανοποιούν την ανισότητα: |q m -q n |£ e/2.

Από το Θεώρημα 2, ο πραγματικός αριθμός που αντιπροσωπεύεται από αυτήν την ακολουθία | a-q n | £ e/2.

| a-q n | £ e О R"n³p.

Θεώρημα 4 . Όποιος κι αν είναι ο πραγματικός αριθμός a, θα υπάρχει πάντα ένας ακέραιος M τέτοιος ώστε η ανίσωση M £ a

("aΟ R$! MO Ζ(Μ £ α< M+1))

Απόδειξη.

Βήμα 1. Απόδειξη ύπαρξης.

Έστω η θεμελιώδης ακολουθία (q n) ρητών αριθμών αντιπροσωπεύει έναν πραγματικό αριθμό a: ((q n)нa). Δυνάμει του Θεωρήματος 1, $ Lн Ζ0, έτσι ώστε " nн Ν q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L).

Από το Θεώρημα 3 (q n)нa ы " e>0, en R$ pО Ν: ((" nΟ Ν, n³p) z 1q n -a1 £ e).

Τότε " n³p ½a1=½a- q n + q n ½ £½a- q n ½+½ q n ½ £ e + L.

½a1 £ e + L w -L-e £ a £ L+e.

Επειδή Το e είναι ένας αυθαίρετος αριθμός >0, τότε –L £ a £ L. Μετά από αυτό, είναι προφανές ότι -1-L< a < L+1.

Στη συνέχεια, μεταξύ του πεπερασμένου συνόλου ακεραίων: -L-1, -L, -L+1, ..., -1, 0, +1, ..., L, L+1, βρίσκουμε πρώτααριθμός Μ+1 για τον οποίο η συνθήκη α< M+1.

Τότε ο αριθμός M δεν ικανοποιεί την ανίσωση M £ a< M+1, т.е. такое число M существует.

Βήμα 2. Απόδειξη μοναδικότητας.4

15. Αν τα μη κενά σύνολα Α και Β των πραγματικών αριθμών είναι τέτοια ώστε για οποιοδήποτε και την ανίσωση α< b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

Το αξίωμα της πληρότητας ισχύει μόνο στο R.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι μεταξύ οποιωνδήποτε άνισων ρητών αριθμών είναι πάντα δυνατό να εισαχθεί ένας ρητός αριθμός άνισος με αυτούς.

Από τα αξιώματα που δόθηκαν παραπάνω, μπορεί κανείς να συμπεράνει τη μοναδικότητα του μηδενός και του ενός, την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της διαφοράς και του πηλίκου. Σημειώστε, επιπλέον, τις ιδιότητες των ανισοτήτων που χρησιμοποιούνται ευρέως σε διάφορους μετασχηματισμούς:

1. Εάν α< b, с < d , то a+c < b+d.

2. Εάν α< b, то –a >-σι.

3. Αν a > 0, β< 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab >0. (Το τελευταίο ισχύει επίσης για a > 0, b > 0.)

4. Αν 0< a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. Εάν α< b, c >0, μετά ac< bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. Αν 0< a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. Για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς a και b, υπάρχει ένας αριθμός nО N τέτοιος ώστε na > b (αξίωμα Αρχιμήδης, για τμήματα μήκους a, b, na).

Χρησιμοποιείται ο ακόλουθος συμβολισμός για αριθμητικά σύνολα:

Ν – σύνολο φυσικών αριθμών.

Ζ – σύνολο ακεραίων αριθμών?

Q – σύνολο ρητών αριθμών.

Εγώ – σύνολο παράλογων αριθμών.

R – σύνολο πραγματικών αριθμών.

Το R + είναι το σύνολο των πραγματικών θετικών αριθμών.

R_ – το σύνολο των πραγματικών αρνητικών αριθμών.

R 0 είναι το σύνολο των πραγματικών μη αρνητικών αριθμών.

C είναι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών (ο ορισμός και οι ιδιότητες αυτού του συνόλου συζητούνται στην Ενότητα 1.1).

Ας εισαγάγουμε την έννοια του περιορισμού στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Θα χρησιμοποιηθεί ενεργά στη συζήτηση παρακάτω.

Θα ονομάσουμε ένα σύνολο UPPER (BOTTOM) Bounded αν υπάρχει ένας τέτοιος πραγματικός αριθμός M (Μ ) ότι οποιοδήποτε στοιχείο ικανοποιεί την ανισότητα:

Ο αριθμός Μ λέγεται ΑΝΩΤΕΡΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ Α και ο αριθμός m – ΚΑΤΩ Όριο αυτού του συνόλου.

Ένα σύνολο που οριοθετείται πάνω και κάτω ονομάζεται περιορισμένο.

Πολλά Ν Οι φυσικοί αριθμοί οριοθετούνται από κάτω, αλλά δεν οριοθετούνται από πάνω. Σύνολο ακεραίων αριθμών Ζ δεν περιορίζεται από πάνω ή από κάτω.

Αν θεωρήσουμε το σύνολο των εμβαδών των αυθαίρετων τριγώνων εγγεγραμμένων σε κύκλο διαμέτρου ρε , τότε οριοθετείται από το μηδέν από κάτω και από πάνω – το εμβαδόν οποιουδήποτε πολυγώνου που περιλαμβάνει κύκλο (ιδίως το εμβαδόν του περιγεγραμμένου τετραγώνου, ίσο με ρε 2 ).

Κάθε σύνολο που οριοθετείται από πάνω (από κάτω) έχει άπειρες πάνω (κάτω) όψεις. Τότε, υπάρχει το μικρότερο από όλα τα άνω όρια και το μεγαλύτερο από όλα τα κάτω όρια;

Ας καλέσουμε τον αριθμό το ελάχιστο άνω όριο ενός συνόλου που οριοθετείται παραπάνω ΑΛΛΑÌ R , αν:

1. είναι ένα από τα άνω όρια του συνόλου ΑΛΛΑ ;

2. είναι το μικρότερο από τα άνω όρια του συνόλου ΑΛΛΑ . Με άλλα λόγια, ο πραγματικός αριθμός είναι το ελάχιστο άνω όριο του σετ ΑΛΛΑÌ R , αν:

Αποδεκτός χαρακτηρισμός

Εισαγάγετε με τον ίδιο τρόπο: – το λιγότερο από ένα σύνολο που οριοθετείται παρακάτω ΑΛΛΑ και αντίστοιχες ονομασίες

Στα λατινικά: supremum - το υψηλότερο, infimum - το χαμηλότερο.

Οι ακριβείς όψεις ενός συνόλου μπορεί να ανήκουν ή να μην ανήκουν σε αυτό.

ΘΕΩΡΗΜΑ. Οριοθετημένο από πάνω (από κάτω) μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών το ακριβές άνω (κάτω) φράγμα.

Δεχόμαστε αυτό το θεώρημα χωρίς απόδειξη. Για παράδειγμα, αν , τότε το ανώτερο όριο μπορεί να θεωρηθεί ο αριθμός 100, το κατώτερο -10 και . Αν τότε . Στο δεύτερο παράδειγμα, τα ακριβή όρια δεν ανήκουν σε αυτό το σύνολο.

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, μπορούν να διακριθούν δύο μη τεμνόμενα υποσύνολα αλγεβρικών και υπερβατικών αριθμών.

ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ είναι αριθμοί που είναι οι ρίζες ενός πολυωνύμου

των οποίων οι συντελεστές – ολόκληροι αριθμοί.

Στην ανώτερη άλγεβρα, αποδεικνύεται ότι το σύνολο των μιγαδικών ριζών ενός πολυωνύμου είναι πεπερασμένο και ίσο με n. (Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι γενίκευση πραγματικών αριθμών). Το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι μετρήσιμο . Περιλαμβάνει όλους τους ρητούς αριθμούς, αφού αριθμοί της μορφής

ικανοποιεί την εξίσωση

Αποδεικνύεται επίσης ότι υπάρχουν αλγεβρικοί αριθμοί που δεν είναι ρίζες από ρητούς αριθμούς. Αυτό το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα σταμάτησε τις άκαρπες προσπάθειες εξεύρεσης λύσεων εξισώσεων βαθμού υψηλότερου από τον τέταρτο στις ρίζες. Η μακραίωνη αναζήτηση αλγεβριστών που μελέτησαν αυτό το πρόβλημα μπόρεσε να γενικεύσει τον Γάλλο μαθηματικό Ε. Γκαλουά, ο οποίος πέθανε παράλογα σε ηλικία 21 ετών. Οι επιστημονικές του εργασίες είναι μόλις 60 σελίδες, αλλά ήταν μια λαμπρή συμβολή στην ανάπτυξη των μαθηματικών.

Ένας νέος που αγαπούσε με πάθος και ανεξέλεγκτα αυτή την επιστήμη, προσπάθησε δύο φορές να μπει στο πιο διάσημο εκπαιδευτικό ίδρυμα της Γαλλίας εκείνη την εποχή. – Πολυτεχνική Σχολή – ανεπιτυχώς. Άρχισε να σπουδάζει σε προνομιούχο λύκειο – αποβλήθηκε λόγω σύγκρουσης με τον διευθυντή. Έχοντας γίνει πολιτικός κρατούμενος αφού μίλησε εναντίον του Λουί Φιλίπ, παρέδωσε από τη φυλακή στην Ακαδημία Επιστημών του Παρισιού ένα χειρόγραφο με μια μελέτη για την επίλυση μιας εξίσωσης σε ριζοσπάστες. Η Ακαδημία απέρριψε αυτό το έργο. Ένας παράλογος θάνατος σε μια μονομαχία έβαλε τέλος στη ζωή αυτού του εξαιρετικού ανθρώπου.

Το σύνολο που είναι η διαφορά μεταξύ των συνόλων των πραγματικών και των αλγεβρικών αριθμών ονομάζεται σύνολο των ΥΠΕΡΒΑΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ . Προφανώς, κάθε υπερβατικός αριθμός δεν μπορεί να είναι ρίζα πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές.

Ταυτόχρονα, η απόδειξη της υπέρβασης οποιωνδήποτε μεμονωμένων αριθμών προκάλεσε τεράστιες δυσκολίες.

Μόνο το 1882, ο καθηγητής του Πανεπιστημίου του Koenigsberg F. Lindemann κατάφερε να αποδείξει την υπέρβαση του αριθμού, από την οποία έγινε σαφές ότι ήταν αδύνατο να λυθεί το πρόβλημα του τετραγωνισμού ενός κύκλου (να κατασκευαστεί ένα τετράγωνο με το εμβαδόν του ένας δεδομένος κύκλος χρησιμοποιώντας πυξίδα και χάρακα). Βλέπουμε ότι οι ιδέες της άλγεβρας, της ανάλυσης, της γεωμετρίας διαπερνούν αμοιβαία η μία την άλλη.

Η αξιωματική εισαγωγή των πραγματικών αριθμών απέχει πολύ από τη μοναδική. Αυτοί οι αριθμοί μπορούν να εισαχθούν συνδυάζοντας το σύνολο των ορθολογικών και παράλογων αριθμών ή ως άπειρα δεκαδικά ψηφία ή χρησιμοποιώντας τμήματα στο σύνολο των ρητών αριθμών.

*1) Αυτό το υλικό προέρχεται από το 7ο κεφάλαιο του βιβλίου:

L.I. Lurie ΙΔΡΥΜΑΤΑ ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ / Εγχειρίδιο / M .: Publishing and Trade Corporation "Dashkov and Co", - 2003, - 517 S.