συχνά παίρνουν έναν αριθμό μι = 2,718281828 . Οι λογάριθμοι σε αυτή τη βάση ονομάζονται φυσικός. Όταν εκτελείτε υπολογισμούς με φυσικούς λογάριθμους, είναι σύνηθες να λειτουργείτε με το πρόσημο μεγάλοn, αλλά όχι κούτσουρο; ενώ ο αριθμός 2,718281828 , που ορίζει τη βάση, δεν υποδεικνύεται.
Με άλλα λόγια, η διατύπωση θα μοιάζει με αυτό: φυσικός λογάριθμοςαριθμοί Χείναι ο εκθέτης στον οποίο πρόκειται να αυξηθεί ο αριθμός μι, Αποκτώ Χ.
Ετσι, ln(7.389...)= 2 γιατί μι 2 =7,389... . Ο φυσικός λογάριθμος του ίδιου του αριθμού μι= 1 γιατί μι 1 =μι, και ο φυσικός λογάριθμος της ενότητας είναι ίσος με μηδέν, αφού μι 0 = 1.
Ο ίδιος ο αριθμός μιορίζει το όριο μιας μονοτονικής οριοθετημένης ακολουθίας
υπολόγισε ότι μι = 2,7182818284... .
Αρκετά συχνά, για να καθοριστεί ένας αριθμός στη μνήμη, τα ψηφία του απαιτούμενου αριθμού συνδέονται με κάποια εκκρεμή ημερομηνία. Η ταχύτητα απομνημόνευσης των πρώτων εννέα ψηφίων ενός αριθμού μιμετά την υποδιαστολή θα αυξηθεί αν σημειώσετε ότι το 1828 είναι το έτος γέννησης του Λέοντα Τολστόι!
Μέχρι σήμερα, υπάρχουν αρκετά πλήρεις πίνακες φυσικών λογαρίθμων.
φυσικό ημερολόγιο(λειτουργίες y=Στο x) είναι συνέπεια της γραφικής παράστασης του εκθέτη ως κατοπτρικής εικόνας ως προς την ευθεία y = xκαι μοιάζει με:
Ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να βρεθεί για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό έναως η περιοχή κάτω από την καμπύλη y = 1/Χαπό 1 πριν ένα.
Η στοιχειώδης φύση αυτής της διατύπωσης, η οποία ταιριάζει με πολλούς άλλους τύπους στους οποίους εμπλέκεται ο φυσικός λογάριθμος, ήταν η αιτία για τον σχηματισμό του ονόματος «φυσικός».
Αν αναλύσουμε φυσικός λογάριθμος, ως πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, τότε ενεργεί αντίστροφη συνάρτησησε μια εκθετική συνάρτηση, η οποία ανάγεται στις ταυτότητες:
ln(a)=a (a>0)
ln(e a)=a
Κατ' αναλογία με όλους τους λογάριθμους, ο φυσικός λογάριθμος μετατρέπει τον πολλαπλασιασμό σε πρόσθεση, τη διαίρεση σε αφαίρεση:
ln(xy) = ln(Χ) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
Ο λογάριθμος μπορεί να βρεθεί για κάθε θετική βάση που δεν είναι ίση με ένα, όχι μόνο για μι, αλλά οι λογάριθμοι για άλλες βάσεις διαφέρουν από τον φυσικό λογάριθμο μόνο κατά έναν σταθερό παράγοντα και συνήθως ορίζονται ως προς τον φυσικό λογάριθμο.
Έχοντας αναλύσει φυσικό ημερολόγιο,παίρνουμε ότι υπάρχει για θετικές τιμές της μεταβλητής Χ. Αυξάνεται μονότονα στον τομέα ορισμού του.
Στο Χ → 0 το όριο του φυσικού λογάριθμου είναι μείον το άπειρο ( -∞ ).Στο x → +∞ το όριο του φυσικού λογάριθμου είναι συν το άπειρο ( + ∞ ). Ασύλληπτος Χο λογάριθμος αυξάνεται μάλλον αργά. Οποιαδήποτε λειτουργία ισχύος x αμε θετικό εκθέτη ένααυξάνεται ταχύτερα από τον λογάριθμο. Ο φυσικός λογάριθμος είναι μια μονότονα αυξανόμενη συνάρτηση, επομένως δεν έχει ακρότατα.
Χρήση φυσικούς λογάριθμουςπολύ ορθολογικό στο πέρασμα των ανώτερων μαθηματικών. Έτσι, η χρήση του λογάριθμου είναι βολική για την εύρεση της απάντησης σε εξισώσεις στις οποίες οι άγνωστοι εμφανίζονται ως εκθέτης. Η χρήση φυσικών λογαρίθμων στους υπολογισμούς καθιστά δυνατή τη μεγάλη διευκόλυνση ένας μεγάλος αριθμός απόμαθηματικούς τύπους. βασικοί λογάριθμοι μι είναι παρόντες στην επίλυση σημαντικού αριθμού φυσικών προβλημάτων και φυσικά περιλαμβάνονται στη μαθηματική περιγραφή επιμέρους χημικών, βιολογικών και άλλων διεργασιών. Έτσι, οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της σταθεράς διάσπασης για έναν γνωστό χρόνο ημιζωής ή για τον υπολογισμό του χρόνου διάσπασης στην επίλυση προβλημάτων ραδιενέργειας. Εκτελούν σε πρωταγωνιστικός ρόλοςσε πολλούς κλάδους των μαθηματικών και πρακτικές επιστήμες, καταφεύγουν στον τομέα των οικονομικών για την επίλυση μεγάλου αριθμού προβλημάτων, μεταξύ των οποίων και στον υπολογισμό του ανατοκισμού.
Πριν εξοικειωθείτε με την έννοια του φυσικού λογάριθμου, εξετάστε την έννοια του σταθερού αριθμού $e$.
Αριθμός $e$
Ορισμός 1
Αριθμός $e$είναι μια μαθηματική σταθερά που είναι υπερβατικός αριθμός και ισούται με $e \περίπου 2,718281828459045\ldots$.
Ορισμός 2
υπερβατικόςείναι ένας αριθμός που δεν είναι ρίζα πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές.
Παρατήρηση 1
Ο τελευταίος τύπος περιγράφει δεύτερο υπέροχο όριο.
Ο αριθμός e ονομάζεται επίσης Αριθμοί Euler, και μερικές φορές Αριθμοί νάπιερ.
Παρατήρηση 2
Για να θυμάστε τους πρώτους χαρακτήρες του αριθμού $e$, χρησιμοποιείται συχνά η ακόλουθη έκφραση: "2$, 7$, δύο φορές Λέων Τολστόι". Φυσικά, για να μπορέσετε να το χρησιμοποιήσετε, πρέπει να θυμάστε ότι ο Λέων Τολστόι γεννήθηκε στα 1828$.Είναι αυτοί οι αριθμοί που επαναλαμβάνονται δύο φορές στην τιμή του αριθμού $e$ μετά το ακέραιο μέρος $2$ και το δεκαδικό $7 $.
Κατά τη μελέτη του φυσικού λογάριθμου, αρχίσαμε να εξετάζουμε την έννοια του αριθμού $e$ ακριβώς επειδή βρίσκεται στη βάση του λογαρίθμου $\log_(e)a$, που συνήθως ονομάζεται φυσικόςκαι γράψτε ως $\ln a$.
φυσικός λογάριθμος
Συχνά στους υπολογισμούς χρησιμοποιούνται λογάριθμοι, οι οποίοι βασίζονται στον αριθμό $e$.
Ορισμός 4
Ο λογάριθμος με βάση $e$ ονομάζεται φυσικός.
Εκείνοι. ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να συμβολιστεί ως $\log_(e)a$, αλλά στα μαθηματικά είναι σύνηθες να χρησιμοποιείται ο συμβολισμός $\ln a$.
Ιδιότητες του φυσικού λογάριθμου
Επειδή ο λογάριθμος οποιασδήποτε βάσης από τη μονάδα είναι ίσος με $0$, τότε ο φυσικός λογάριθμος της ενότητας είναι ίσος με $0$:
Ο φυσικός λογάριθμος του αριθμού $e$ είναι ίσος με ένα:
Φυσικός λογάριθμος του γινομένου δύο αριθμών ισούται με το άθροισμαφυσικοί λογάριθμοι αυτών των αριθμών:
$\ln (ab)=\ln a+\ln b$.
Ο φυσικός λογάριθμος ενός πηλίκου δύο αριθμών είναι ίσος με τη διαφορά των φυσικών λογαρίθμων αυτών των αριθμών:
$\ln\frac(a)(b)=\ln a-\ln b$.
Ο φυσικός λογάριθμος της ισχύος ενός αριθμού μπορεί να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο του εκθέτη και ο φυσικός λογάριθμος του υπολογαριθμικού αριθμού:
$\ln a^s=s \cdot \ln a$.
Παράδειγμα 1
Απλοποιήστε την έκφραση $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)$.
Λύση.
Εφαρμόστε στον πρώτο λογάριθμο στον αριθμητή και στον παρονομαστή την ιδιότητα του λογάριθμου του γινομένου και στον δεύτερο λογάριθμο του αριθμητή και του παρονομαστή - την ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού:
$\frac(2 \ln 4e-\ln16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=\frac(2(\ln 4+\ln e) -\ln 4^2)(\ln 5+\ln e-\frac(1)(2) \ln 5^2)=$
ανοίξτε τις αγκύλες και δώστε παρόμοιους όρους και εφαρμόστε επίσης την ιδιότητα $\ln e=1$:
$=\frac(2 \ln 4+2-2 \ln 4)(\ln 5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln 5)=\frac(2)( \ln 5+1-\ln 5)=2$.
Απάντηση: $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=2$.
Παράδειγμα 2
Βρείτε την τιμή της παράστασης $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.
Λύση.
Εφαρμόζουμε τον τύπο για το άθροισμα των λογαρίθμων:
$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln e=1$.
Απάντηση: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε την τιμή της λογαριθμικής παράστασης $2 \lg 0.1+3 \ln e^5$.
Λύση.
Εφαρμόστε την ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού:
$2 \lg 0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln e=-2 \lg 10+15 \ln e=-2+ 15=13$.
Απάντηση: $2 \lg 0,1+3 \ln e^5=13$.
Παράδειγμα 4
Απλοποιήστε τη λογαριθμική παράσταση $\ln \frac(1)(8)-3 \ln 4$.
$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln 3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln 3=$
εφαρμόστε στον πρώτο λογάριθμο την ιδιότητα του πηλίκου λογάριθμου:
$=6(\ln 3-\ln e)-6 \ln 3=$
ανοίξτε τις αγκύλες και δώστε τους ίδιους όρους:
$=6 \ln 3-6 \ln e-6 \ln 3=-6$.
Απάντηση: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=-6$.
Ο λογάριθμος ενός θετικού αριθμού b στη βάση a (a>0, a δεν είναι ίσος με 1) είναι ένας αριθμός c τέτοιος ώστε a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Σημειώστε ότι ο λογάριθμος ενός μη θετικού αριθμού δεν ορίζεται. Επίσης, η βάση του λογάριθμου πρέπει να είναι θετικός αριθμός, όχι ίσος με 1. Για παράδειγμα, αν τετραγωνίσουμε το -2, παίρνουμε τον αριθμό 4, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι ο λογάριθμος βάσης -2 του 4 είναι 2.
Βασική λογαριθμική ταυτότητα
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Είναι σημαντικό οι τομείς ορισμού του δεξιού και του αριστερού μέρους αυτού του τύπου να είναι διαφορετικοί. Η αριστερή πλευρά ορίζεται μόνο για b>0, a>0 και a ≠ 1. Η δεξιά πλευρά ορίζεται για οποιοδήποτε b και δεν εξαρτάται καθόλου από το a. Έτσι, η εφαρμογή της βασικής λογαριθμικής «ταυτότητας» στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων μπορεί να οδηγήσει σε αλλαγή του DPV.
Δύο προφανείς συνέπειες του ορισμού του λογάριθμου
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Πράγματι, όταν ανεβάζουμε τον αριθμό a στην πρώτη δύναμη, παίρνουμε τον ίδιο αριθμό, και όταν τον ανεβάζουμε στη μηδενική ισχύ, παίρνουμε ένα.
Ο λογάριθμος του γινομένου και ο λογάριθμος του πηλίκου
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Θα ήθελα να προειδοποιήσω τους μαθητές για την αλόγιστη εφαρμογή αυτών των τύπων κατά την επίλυση λογαριθμικές εξισώσειςκαι ανισότητες. Όταν χρησιμοποιούνται "από αριστερά προς τα δεξιά", το ODZ στενεύει και όταν μετακινείται από το άθροισμα ή τη διαφορά των λογαρίθμων στον λογάριθμο του γινομένου ή του πηλίκου, το ODZ διευρύνεται.
Πράγματι, η έκφραση log a (f (x) g (x)) ορίζεται σε δύο περιπτώσεις: όταν και οι δύο συναρτήσεις είναι αυστηρά θετικές ή όταν η f(x) και η g(x) είναι και οι δύο μικρότερες από το μηδέν.
Μετατρέποντας αυτήν την έκφραση στο άθροισμα log a f (x) + log a g (x) , αναγκαζόμαστε να περιοριστούμε μόνο στην περίπτωση που f(x)>0 και g(x)>0. Υπάρχει μια στένωση του εύρους των αποδεκτών τιμών, και αυτό είναι κατηγορηματικά απαράδεκτο, καθώς μπορεί να οδηγήσει σε απώλεια λύσεων. Παρόμοιο πρόβλημα υπάρχει για τον τύπο (6).
Ο βαθμός μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Και πάλι θα ήθελα να ζητήσω ακρίβεια. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Η αριστερή πλευρά της ισότητας ορίζεται προφανώς για όλες τις τιμές του f(x) εκτός από το μηδέν. Η δεξιά πλευρά είναι μόνο για f(x)>0! Βγάζοντας την ισχύ από τον λογάριθμο, περιορίζουμε ξανά το ODZ. Η αντίστροφη διαδικασία οδηγεί σε διεύρυνση του εύρους των αποδεκτών τιμών. Όλες αυτές οι παρατηρήσεις ισχύουν όχι μόνο για τη δύναμη του 2, αλλά και για οποιαδήποτε άρτια δύναμη.
Φόρμουλα για μετάβαση σε νέα βάση
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Αυτή η σπάνια περίπτωση όταν το ODZ δεν αλλάζει κατά τη μετατροπή. Εάν έχετε επιλέξει τη βάση c με σύνεση (θετική και όχι ίση με 1), η φόρμουλα για τη μετάβαση σε μια νέα βάση είναι απολύτως ασφαλής.
Εάν επιλέξουμε τον αριθμό b ως νέα βάση c, λαμβάνουμε μια σημαντική συγκεκριμένη περίπτωση του τύπου (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Μερικά απλά παραδείγματα με λογάριθμους
Παράδειγμα 1 Υπολογίστε: lg2 + lg50.
Λύση. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για το άθροισμα των λογαρίθμων (5) και τον ορισμό του δεκαδικού λογάριθμου.
Παράδειγμα 2 Υπολογίστε: lg125/lg5.
Λύση. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Χρησιμοποιήσαμε τον νέο τύπο μετάβασης βάσης (8).
Πίνακας τύπων που σχετίζονται με λογάριθμους
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Πριν εξοικειωθείτε με την έννοια του φυσικού λογάριθμου, εξετάστε την έννοια του σταθερού αριθμού $e$.
Αριθμός $e$
Ορισμός 1
Αριθμός $e$είναι μια μαθηματική σταθερά που είναι υπερβατικός αριθμός και ισούται με $e \περίπου 2,718281828459045\ldots$.
Ορισμός 2
υπερβατικόςείναι ένας αριθμός που δεν είναι ρίζα πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές.
Παρατήρηση 1
Ο τελευταίος τύπος περιγράφει δεύτερο υπέροχο όριο.
Ο αριθμός e ονομάζεται επίσης Αριθμοί Euler, και μερικές φορές Αριθμοί νάπιερ.
Παρατήρηση 2
Για να θυμάστε τους πρώτους χαρακτήρες του αριθμού $e$, χρησιμοποιείται συχνά η ακόλουθη έκφραση: "2$, 7$, δύο φορές Λέων Τολστόι". Φυσικά, για να μπορέσετε να το χρησιμοποιήσετε, πρέπει να θυμάστε ότι ο Λέων Τολστόι γεννήθηκε στα 1828$.Είναι αυτοί οι αριθμοί που επαναλαμβάνονται δύο φορές στην τιμή του αριθμού $e$ μετά το ακέραιο μέρος $2$ και το δεκαδικό $7 $.
Κατά τη μελέτη του φυσικού λογάριθμου, αρχίσαμε να εξετάζουμε την έννοια του αριθμού $e$ ακριβώς επειδή βρίσκεται στη βάση του λογαρίθμου $\log_(e)a$, που συνήθως ονομάζεται φυσικόςκαι γράψτε ως $\ln a$.
φυσικός λογάριθμος
Συχνά στους υπολογισμούς χρησιμοποιούνται λογάριθμοι, οι οποίοι βασίζονται στον αριθμό $e$.
Ορισμός 4
Ο λογάριθμος με βάση $e$ ονομάζεται φυσικός.
Εκείνοι. ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να συμβολιστεί ως $\log_(e)a$, αλλά στα μαθηματικά είναι σύνηθες να χρησιμοποιείται ο συμβολισμός $\ln a$.
Ιδιότητες του φυσικού λογάριθμου
Επειδή ο λογάριθμος οποιασδήποτε βάσης από τη μονάδα είναι ίσος με $0$, τότε ο φυσικός λογάριθμος της ενότητας είναι ίσος με $0$:
Ο φυσικός λογάριθμος του αριθμού $e$ είναι ίσος με ένα:
Ο φυσικός λογάριθμος του γινομένου δύο αριθμών είναι ίσος με το άθροισμα των φυσικών λογαρίθμων αυτών των αριθμών:
$\ln (ab)=\ln a+\ln b$.
Ο φυσικός λογάριθμος ενός πηλίκου δύο αριθμών είναι ίσος με τη διαφορά των φυσικών λογαρίθμων αυτών των αριθμών:
$\ln\frac(a)(b)=\ln a-\ln b$.
Ο φυσικός λογάριθμος της ισχύος ενός αριθμού μπορεί να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο του εκθέτη και ο φυσικός λογάριθμος του υπολογαριθμικού αριθμού:
$\ln a^s=s \cdot \ln a$.
Παράδειγμα 1
Απλοποιήστε την έκφραση $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)$.
Λύση.
Εφαρμόστε στον πρώτο λογάριθμο στον αριθμητή και στον παρονομαστή την ιδιότητα του λογάριθμου του γινομένου και στον δεύτερο λογάριθμο του αριθμητή και του παρονομαστή - την ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού:
$\frac(2 \ln 4e-\ln16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=\frac(2(\ln 4+\ln e) -\ln 4^2)(\ln 5+\ln e-\frac(1)(2) \ln 5^2)=$
ανοίξτε τις αγκύλες και δώστε παρόμοιους όρους και εφαρμόστε επίσης την ιδιότητα $\ln e=1$:
$=\frac(2 \ln 4+2-2 \ln 4)(\ln 5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln 5)=\frac(2)( \ln 5+1-\ln 5)=2$.
Απάντηση: $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=2$.
Παράδειγμα 2
Βρείτε την τιμή της παράστασης $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.
Λύση.
Εφαρμόζουμε τον τύπο για το άθροισμα των λογαρίθμων:
$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln e=1$.
Απάντηση: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε την τιμή της λογαριθμικής παράστασης $2 \lg 0.1+3 \ln e^5$.
Λύση.
Εφαρμόστε την ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού:
$2 \lg 0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln e=-2 \lg 10+15 \ln e=-2+ 15=13$.
Απάντηση: $2 \lg 0,1+3 \ln e^5=13$.
Παράδειγμα 4
Απλοποιήστε τη λογαριθμική παράσταση $\ln \frac(1)(8)-3 \ln 4$.
$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln 3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln 3=$
εφαρμόστε στον πρώτο λογάριθμο την ιδιότητα του πηλίκου λογάριθμου:
$=6(\ln 3-\ln e)-6 \ln 3=$
ανοίξτε τις αγκύλες και δώστε τους ίδιους όρους:
$=6 \ln 3-6 \ln e-6 \ln 3=-6$.
Απάντηση: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=-6$.
Ο λογάριθμος του αριθμού b στη βάση a είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξήσετε τον αριθμό a για να λάβετε τον αριθμό b.
Αν τότε .
Ο λογάριθμος είναι εξαιρετικά σπουδαίος μαθηματική αξία , αφού ο λογαριθμικός λογισμός επιτρέπει όχι μόνο να λύσει εκθετικές εξισώσεις, αλλά και να λειτουργούν με δείκτες, να διαφοροποιούνται εκθετικά και λογαριθμικές συναρτήσεις, ενσωματώστε τα και φέρτε τα σε πιο αποδεκτή μορφή για να υπολογιστούν.
Σε επαφή με
Όλες οι ιδιότητες των λογαρίθμων σχετίζονται άμεσα με τις ιδιότητες εκθετικές συναρτήσεις. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι 
σημαίνει ότι:
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι κατά την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων, οι ιδιότητες των λογαρίθμων μπορεί να είναι πιο σημαντικές και χρήσιμες από τους κανόνες για την εργασία με δυνάμεις.
Εδώ είναι μερικές ταυτότητες:
Εδώ είναι οι κύριες αλγεβρικές εκφράσεις:
;
.
Προσοχή!μπορεί να υπάρχει μόνο για x>0, x≠1, y>0.
Ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε το ερώτημα του τι είναι οι φυσικοί λογάριθμοι. Ξεχωριστό ενδιαφέρον για τα μαθηματικά αντιπροσωπεύουν δύο τύπους- το πρώτο έχει τον αριθμό "10" στη βάση, και ονομάζεται "δεκαδικός λογάριθμος". Το δεύτερο ονομάζεται φυσικό. Η βάση του φυσικού λογάριθμου είναι ο αριθμός e. Για αυτόν θα μιλήσουμε λεπτομερώς σε αυτό το άρθρο.
Ονομασίες:
- lg x - δεκαδικό;
- ln x - φυσικό.
Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα, μπορούμε να δούμε ότι ln e = 1, καθώς και ότι lg 10=1.
φυσικό ημερολόγιο
Κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση του φυσικού λογάριθμου με τον τυπικό κλασικό τρόπο κατά σημεία. Εάν θέλετε, μπορείτε να ελέγξετε εάν χτίζουμε σωστά μια συνάρτηση εξετάζοντας τη συνάρτηση. Ωστόσο, είναι λογικό να μάθετε πώς να το κατασκευάζετε "χειροκίνητα" για να ξέρετε πώς να υπολογίζετε σωστά τον λογάριθμο.
Συνάρτηση: y = log x. Ας γράψουμε έναν πίνακα σημείων από τα οποία θα περάσει το γράφημα:
Ας εξηγήσουμε γιατί επιλέξαμε τέτοιες τιμές του ορίσματος x. Όλα είναι θέμα ταυτότητας: Για έναν φυσικό λογάριθμο, αυτή η ταυτότητα θα μοιάζει με αυτό:
Για ευκολία, μπορούμε να πάρουμε πέντε σημεία αναφοράς:
;
;
.
;
.
Έτσι, η μέτρηση των φυσικών λογαρίθμων είναι μια αρκετά απλή εργασία, επιπλέον, απλοποιεί τον υπολογισμό των πράξεων με δυνάμεις, μετατρέποντάς τις σε κανονικός πολλαπλασιασμός.
Έχοντας δημιουργήσει ένα γράφημα ανά σημεία, παίρνουμε ένα κατά προσέγγιση γράφημα:
Ο τομέας του φυσικού λογάριθμου (δηλαδή, όλες οι έγκυρες τιμές του ορίσματος X) είναι όλοι οι αριθμοί μεγαλύτεροι από το μηδέν.
Προσοχή!Το πεδίο ορισμού του φυσικού λογάριθμου περιλαμβάνει μόνο θετικούς αριθμούς! Το εύρος δεν περιλαμβάνει x=0. Αυτό είναι αδύνατο με βάση τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη του λογαρίθμου.
Το εύρος τιμών (δηλαδή όλες οι έγκυρες τιμές της συνάρτησης y = ln x) είναι όλοι οι αριθμοί στο διάστημα .
φυσικό όριο κορμού
Μελετώντας το γράφημα, τίθεται το ερώτημα - πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση όταν y<0.
Προφανώς, το γράφημα της συνάρτησης τείνει να διασχίσει τον άξονα y, αλλά δεν θα μπορέσει να το κάνει αυτό, αφού ο φυσικός λογάριθμος του x<0 не существует.
Φυσικό όριο κούτσουρομπορεί να γραφτεί ως εξής:
Τύπος για την αλλαγή της βάσης ενός λογάριθμου
Η ενασχόληση με έναν φυσικό λογάριθμο είναι πολύ πιο εύκολη από την αντιμετώπιση ενός λογάριθμου που έχει αυθαίρετη βάση. Γι' αυτό θα προσπαθήσουμε να μάθουμε πώς να ανάγουμε οποιονδήποτε λογάριθμο σε φυσικό ή να τον εκφράζουμε σε αυθαίρετη βάση μέσω φυσικών λογαρίθμων.
Ας ξεκινήσουμε με τη λογαριθμική ταυτότητα:
Τότε οποιοσδήποτε αριθμός ή μεταβλητή y μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
όπου x είναι οποιοσδήποτε αριθμός (θετικός σύμφωνα με τις ιδιότητες του λογαρίθμου).
Αυτή η έκφραση μπορεί να λογαριθμηθεί και στις δύο πλευρές. Ας το κάνουμε αυτό με μια αυθαίρετη βάση z:
Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα (μόνο αντί για "με" έχουμε μια έκφραση):
Από εδώ παίρνουμε τον καθολικό τύπο:
.
Ειδικότερα, αν z=e, τότε:
.
Καταφέραμε να αναπαραστήσουμε τον λογάριθμο σε μια αυθαίρετη βάση μέσω του λόγου δύο φυσικών λογαρίθμων.
Λύνουμε προβλήματα
Για καλύτερη πλοήγηση σε φυσικούς λογάριθμους, εξετάστε παραδείγματα πολλών προβλημάτων.
Εργασία 1. Είναι απαραίτητο να λυθεί η εξίσωση ln x = 3.
Λύση:Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του λογάριθμου: αν , τότε , παίρνουμε:
Εργασία 2. Λύστε την εξίσωση (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.
Λύση: Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του λογάριθμου: αν , τότε , παίρνουμε:
.
Για άλλη μια φορά, εφαρμόζουμε τον ορισμό του λογάριθμου:
.
Με αυτόν τον τρόπο:
.
Μπορείτε να υπολογίσετε την απάντηση κατά προσέγγιση ή μπορείτε να την αφήσετε σε αυτή τη φόρμα.
Εργασία 3.Λύστε την εξίσωση.
Λύση:Ας κάνουμε μια αντικατάσταση: t = ln x. Τότε η εξίσωση θα πάρει την ακόλουθη μορφή:
.
Έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση. Ας βρούμε τη διάκρισή του:
Στη στατιστική και τη θεωρία πιθανοτήτων, τα λογαριθμικά μεγέθη είναι πολύ κοινά. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, επειδή ο αριθμός e - συχνά αντανακλά τον ρυθμό αύξησης των εκθετικών τιμών.
Στην επιστήμη των υπολογιστών, στον προγραμματισμό και στη θεωρία των υπολογιστών, οι λογάριθμοι είναι αρκετά συνηθισμένοι, για παράδειγμα, για την αποθήκευση N bits στη μνήμη.
Στις θεωρίες των φράκταλ και των διαστάσεων χρησιμοποιούνται συνεχώς λογάριθμοι, αφού οι διαστάσεις των φράκταλ καθορίζονται μόνο με τη βοήθειά τους.
Στη μηχανική και τη φυσικήδεν υπάρχει τμήμα όπου δεν χρησιμοποιήθηκαν λογάριθμοι. Η βαρομετρική κατανομή, όλες οι αρχές της στατιστικής θερμοδυναμικής, η εξίσωση Tsiolkovsky και ούτω καθεξής είναι διαδικασίες που μπορούν να περιγραφούν μόνο μαθηματικά χρησιμοποιώντας λογάριθμους.
Στη χημεία, ο λογάριθμος χρησιμοποιείται στις εξισώσεις Nernst, περιγραφές διεργασιών οξειδοαναγωγής.
Περιέργως, ακόμη και στη μουσική, για να μάθουμε τον αριθμό των μερών μιας οκτάβας, χρησιμοποιούνται λογάριθμοι.
Φυσικός λογάριθμος Συνάρτηση y=ln x ιδιότητές του
Απόδειξη της κύριας ιδιότητας του φυσικού λογάριθμου
