Προηγουμένως, η έννοια του πολυωνύμου οριζόταν ως το αλγεβρικό άθροισμα των μονοωνύμων. Αν όλα τα όμοια μονοώνυμα ενός πολυωνύμου δίνονται και ταξινομούνται με φθίνουσα σειρά του βαθμού της μεταβλητής, τότε ο συμβολισμός που προκύπτει ονομάζεται κανονική σημειογραφίαπολυώνυμος.

Ορισμός.Έκφραση της φόρμας

όπου Χείναι κάποια μεταβλητή, πραγματικοί αριθμοί, και , καλείται πολυώνυμο βαθμού n από μια μεταβλητή Χ . Βαθμόςένα πολυώνυμο είναι ο μεγαλύτερος βαθμός μιας μεταβλητής στον κανονικό συμβολισμό της. Εάν η μεταβλητή δεν εμφανίζεται στον πολυωνυμικό συμβολισμό, π.χ. το πολυώνυμο ισούται με σταθερά, ο βαθμός του θεωρείται ίσος με 0. Η περίπτωση που το πολυώνυμο πρέπει να εξεταστεί χωριστά. Στην περίπτωση αυτή θεωρείται ότι δεν ορίζεται ο βαθμός του.

Παραδείγματα.πολυώνυμο δευτέρου βαθμού,

πολυώνυμο πέμπτου βαθμού.

Ορισμός.Δύο πολυώνυμα ίσοςαν και μόνο αν έχουν τους ίδιους συντελεστές σε κανονικούς τύπους με τις ίδιες δυνάμεις.

Ορισμός. Ο αριθμός καλείται πολυωνυμική ρίζα, εάν κατά τον ορισμό αυτού του αριθμού αντί για Χτο πολυώνυμο παίρνει την τιμή 0, δηλ. Με άλλα λόγια, θα είναι η ρίζα της εξίσωσης

Έτσι, το έργο της εύρεσης όλων των ριζών ενός πολυωνύμου και των ριζών μιας ορθολογικής εξίσωσης είναι ένα και το αυτό έργο.

Οι ορθολογικές εξισώσεις πρώτου και δεύτερου βαθμού λύνονται με γνωστούς αλγόριθμους. Υπάρχουν επίσης τύποι για την εύρεση των ριζών πολυωνύμων τρίτου και τέταρτου βαθμού (οι τύποι Cardano και Ferrari), ωστόσο, λόγω της δυσκινησίας τους, δεν περιλαμβάνονται στο μάθημα των στοιχειωδών μαθηματικών.

Η γενική ιδέα της εύρεσης των ριζών πολυωνύμων υψηλότερων βαθμών είναι να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο και να αντικαταστήσουμε την εξίσωση με ένα ισοδύναμο σύνολο εξισώσεων χαμηλότερου βαθμού.

Σε προηγούμενα θέματα, επισημάνθηκαν οι κύριοι τρόποι παραγοντοποίησης πολυωνύμων: η εξαγωγή ενός κοινού παράγοντα. ομαδοποίηση? συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού.

Ωστόσο, η μέθοδος ομαδοποίησης δεν έχει αλγοριθμικό χαρακτήρα, επομένως είναι δύσκολο να εφαρμοστεί σε πολυώνυμα μεγάλων βαθμών. Ας εξετάσουμε μερικά επιπλέον θεωρήματα και μεθόδους που καθιστούν δυνατή την παραγοντοποίηση πολυωνύμων υψηλότερων βαθμών.

Θεώρημα διαίρεσης με υπόλοιπο.Έστω ότι δίνονται πολυώνυμα και ο βαθμός είναι διαφορετικός από το 0 και ο βαθμός είναι μεγαλύτερος από τον βαθμό. Τότε υπάρχουν πολυώνυμα τέτοια ώστε η ισότητα

Επιπλέον, ο βαθμός είναι μικρότερος από τον βαθμό Το πολυώνυμο ονομάζεται διαιρετός, πολυώνυμο διαιρών,πολυώνυμος ημιτελής ιδιωτική, και το πολυώνυμο υπόλοιπο .

Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 0, τότε το λέμε ειναι χωρισμενοστο εντελώς, ενώ η ισότητα έχει τη μορφή:

Ο αλγόριθμος για τη διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα πολυώνυμο είναι παρόμοιος με τον αλγόριθμο για τη διαίρεση ενός αριθμού με έναν αριθμό με μια στήλη ή μια γωνία. Ας περιγράψουμε τα βήματα του αλγορίθμου.

Γράψτε το μέρισμα σε μια γραμμή, συμπεριλαμβανομένων όλων των δυνάμεων της μεταβλητής (όσες λείπουν, γράψτε με συντελεστή 0).

Γράψτε στη "γωνία" το μέρισμα, συμπεριλαμβανομένων όλων των δυνάμεων της μεταβλητής.

Για να βρείτε τον πρώτο όρο (μονώνυμο) σε ένα ημιτελές πηλίκο, πρέπει να διαιρέσετε το πρώτο μονώνυμο του μερίσματος με το πρώτο μονώνυμο του διαιρέτη.

Πολλαπλασιάστε τον πρώτο όρο του πηλίκου που προκύπτει με ολόκληρο τον διαιρέτη και γράψτε το αποτέλεσμα κάτω από το μέρισμα και γράψτε τους ίδιους βαθμούς της μεταβλητής ο ένας κάτω από τον άλλο.

Αφαιρέστε το προϊόν που προκύπτει από το μέρισμα.

Εφαρμόστε τον αλγόριθμο στο υπόλοιπο που προκύπτει, ξεκινώντας από το σημείο 1).

Ο αλγόριθμος τερματίζεται όταν η διαφορά που προκύπτει έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του διαιρέτη. Αυτό είναι το υπόλοιπο.

Παράδειγμα. Διαιρέστε το πολυώνυμο με .

Γράψτε το μέρισμα και το διαιρέτη

Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία

Ο βαθμός είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη. Αυτό είναι λοιπόν το υπόλοιπο. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης γράφεται ως εξής:

Το σχήμα του Χόρνερ.Εάν ο διαιρέτης είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού, τότε η διαδικασία διαίρεσης μπορεί να απλοποιηθεί. Εξετάστε τον αλγόριθμο για τη διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα διώνυμο.

Παράδειγμα. Διαιρέστε το πολυώνυμο με το σχήμα του Horner. Σε αυτήν την περίπτωση ένα=2. Ας γράψουμε τα αποτελέσματα της εκτέλεσης του αλγορίθμου βήμα προς βήμα.

Έτσι, γράφουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης ως εξής

Σχόλιο.Εάν πρέπει να διαιρέσετε με ένα διώνυμο

Στη συνέχεια μετατρέπεται στη μορφή τότε . Αυτό δείχνει ότι διαιρώντας σύμφωνα με το σχήμα Horner με θα βρούμε Τότε το επιθυμητό πηλίκο θα ληφθεί διαιρώντας το που βρέθηκε με ένα. Τα υπόλοιπα παραμένουν ίδια.

Το θεώρημα του Bezout. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου με είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου στο σημείο Χ = ένα, δηλ. . Ένα πολυώνυμο διαιρείται με χωρίς υπόλοιπο αν και μόνο αν Χ = έναείναι η ρίζα του πολυωνύμου.

Έτσι, βρίσκοντας τη μία ρίζα του πολυωνύμου ένα , μπορούμε να το παραγοντοποιήσουμε επιλέγοντας έναν παράγοντα που έχει βαθμό έναν μικρότερο από τον βαθμό . Μπορείτε να βρείτε αυτόν τον πολλαπλασιαστή είτε σύμφωνα με το σχήμα Horner, είτε διαιρώντας με μια "γωνία".

Το ζήτημα της εύρεσης της ρίζας λύνεται είτε με επιλογή είτε χρησιμοποιώντας το θεώρημα για τις ορθολογικές ρίζες ενός πολυωνύμου.

Θεώρημα.Έστω το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές. Αν ένα μη αναγώγιμο κλάσμα είναι ρίζα πολυωνύμου, τότε ο αριθμητής του Πείναι ο διαιρέτης του ελεύθερου όρου και ο παρονομαστής qείναι ο διαιρέτης του προπορευόμενου συντελεστή .

Αυτό το θεώρημα βασίζεται αλγόριθμος για την εύρεση ορθολογικών ριζώνπολυώνυμο (αν υπάρχει).

Αποσύνθεση αλγεβρικού κλάσματος σε άθροισμα απλών κλασμάτων

ΟρισμόςΈνα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα ονομάζεται αλγεβρικό κλάσμα .

Θεωρήστε αλγεβρικά κλάσματα σε μία μεταβλητή. Γενικά, μπορούν να γραφτούν ως εξής: , όπου ο αριθμητής είναι ένα πολυώνυμο βαθμού n, ο παρονομαστής είναι ένα πολυώνυμο βαθμού κ. Αν , τότε καλείται το κλάσμα σωστός .

Προς την τα απλούστερα αλγεβρικά κλάσματαΥπάρχουν δύο τύποι κατάλληλων κλασμάτων:

Θεώρημα.Οποιοδήποτε αλγεβρικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα απλών αλγεβρικών κλασμάτων.

Αλγόριθμος για την επέκταση ενός αλγεβρικού κλάσματος σε άθροισμα απλών κλασμάτων.

Παραγοντοποιήστε τον παρονομαστή.

Να προσδιορίσετε τον αριθμό των κατάλληλων κλασμάτων και τον τύπο των παρονομαστών τους.

Γράψτε την εξίσωση, στην αριστερή πλευρά της οποίας είναι το αρχικό κλάσμα, στη δεξιά πλευρά είναι το άθροισμα απλών κλασμάτων με αόριστους συντελεστές.

Φέρτε τα κλάσματα στη δεξιά πλευρά σε κοινό παρονομαστή.

Εξισώστε τα πολυώνυμα στους αριθμητές των κλασμάτων. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της ισότητας των πολυωνύμων, συνθέστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων και λύστε το βρίσκοντας αόριστους συντελεστές.

Ένας αριθμός είναι ρίζα πολυωνύμου αν και μόνο αν διαιρείται με

Έστω _ η ρίζα του πολυωνύμου, δηλ. Διαιρέστε με, όπου ο βαθμός είναι μικρότερος από τον βαθμό, που είναι ίσος. Επομένως, ο βαθμός είναι ίσος, δηλ. . Που σημαίνει, . Εφόσον, από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι δηλ. .

Αντίθετα, έστω διαιρεί, δηλ. . Επειτα.

Συνέπεια.Το υπόλοιπο μετά τη διαίρεση ενός πολυωνύμου με είναι ίσο.

Τα πολυώνυμα πρώτου βαθμού ονομάζονται γραμμικά πολυώνυμα. Το θεώρημα του Bezout δείχνει ότι η εύρεση των ριζών ενός πολυωνύμου ισοδυναμεί με την εύρεση των γραμμικών διαιρετών του με συντελεστή 1.

Ένα πολυώνυμο μπορεί να χωριστεί σε ένα γραμμικό πολυώνυμο χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο διαίρεση με υπόλοιπο, αλλά υπάρχει μια πιο βολική διαίρεση γνωστή ως σχήμα του Χόρνερ.

Αφήστε και αφήστε όπου. Συγκρίνοντας τους συντελεστές στις ίδιες δυνάμεις του αγνώστου με το αριστερό και το δεξί μέρος της τελευταίας ισότητας, έχουμε:

Ένας αριθμός ονομάζεται ρίζα πολλαπλότητας ενός πολυωνύμου εάν διαιρείται, αλλά δεν διαιρείται πλέον.

Για να πιστέψετε εάν ο αριθμός θα είναι η ρίζα του πολυωνύμου και ποια πολλαπλότητα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το σχήμα του Horner. Πρώτα διαιρείται με τότε, εάν το υπόλοιπο είναι μηδέν, το πηλίκο που προκύπτει διαιρείται με, και ούτω καθεξής. μέχρι να επιτευχθεί μη μηδενικό υπόλοιπο.

Ο αριθμός των διακριτών ριζών ενός πολυωνύμου δεν υπερβαίνει το βαθμό του.

Το ακόλουθο βασικό θεώρημα έχει μεγάλη σημασία.

Κύριο θεώρημα. Οποιοδήποτε πολυώνυμο με αριθμητικούς συντελεστές μη μηδενικού βαθμού έχει τουλάχιστον μία ρίζα (ίσως σύνθετη).

Συνέπεια. Κάθε πολυώνυμο βαθμού έχει τόσες ρίζες στο C (το σύνολο των μιγαδικών αριθμών) όσες και ο βαθμός του, μετρώντας κάθε ρίζα τόσες φορές όση η πολλαπλότητα της.

όπου _ ρίζες, δηλ. στο σύνολο C, κάθε πολυώνυμο αποσυντίθεται σε γινόμενο γραμμικών παραγόντων. Αν συνδυαστούν οι ίδιοι παράγοντες, τότε:

όπου ήδη διαφορετικές ρίζες, _ είναι η πολλαπλότητα της ρίζας.

Αν ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές έχει ρίζα, τότε και ο αριθμός είναι ρίζα

Αυτό σημαίνει ότι ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές έχει μιγαδικές ρίζες σε ζεύγη.

Συνέπεια.Ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές περιττού βαθμού έχει περιττό αριθμό πραγματικών ριζών.

Έστω και οι ρίζες Τότε διαιρείται με και αλλά εφόσον και δεν έχουν κοινούς διαιρέτες, τότε διαιρείται με το γινόμενο.

Δήλωση 2.Ένα πολυώνυμο με συντελεστές πραγματικού βαθμού αποσυντίθεται πάντα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών σε γινόμενο γραμμικών πολυωνύμων που αντιστοιχούν στις πραγματικές του ρίζες και πολυωνύμων 2ου βαθμού που αντιστοιχούν σε ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών.

Όταν υπολογίζουμε ολοκληρώματα ορθολογικών συναρτήσεων, χρειαζόμαστε μια αναπαράσταση ενός ορθολογικού κλάσματος ως άθροισμα των απλούστερων.



Ένα ορθολογικό κλάσμα είναι ένα κλάσμα όπου και _ είναι πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές, και ένα πολυώνυμο. Ένα ορθολογικό κλάσμα ονομάζεται σωστό αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή. Εάν ένα ορθολογικό κλάσμα δεν είναι κανονικό, τότε διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή σύμφωνα με τον κανόνα διαίρεσης πολυωνύμων, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή, όπου και είναι μερικά πολυώνυμα, και είναι ένα σωστό ορθολογικό κλάσμα.



Λήμμα 1.Το Αν είναι σωστό ρητό κλάσμα, και ο αριθμός είναι η πραγματική ρίζα της πολλαπλότητας του πολυωνύμου, δηλ. και, τότε υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός και ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές τέτοιους ώστε όπου είναι επίσης ένα σωστό κλάσμα.



Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η έκφραση που προκύπτει είναι ένα ορθολογικό κλάσμα με πραγματικούς συντελεστές.



Λήμμα 2.Αν είναι σωστό ρητό κλάσμα, και ο αριθμός (και είναι πραγματικοί) είναι η ρίζα της πολλαπλότητας του πολυωνύμου, δηλ. και, και αν, τότε υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί και και ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές τέτοιοι ώστε όπου να είναι και σωστό κλάσμα.



Τα ορθολογικά κλάσματα της μορφής, _ ένα τριώνυμο με πραγματικούς συντελεστές που δεν έχουν πραγματικές ρίζες, ονομάζονται απλά (ή στοιχειώδη) κλάσματα.

Κάθε σωστό ορθολογικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως άθροισμα απλών κλασμάτων.

Στην πρακτική απόκτηση μιας τέτοιας επέκτασης, η αποκαλούμενη μέθοδος αόριστων συντελεστών αποδεικνύεται βολική. Αποτελείται από τα εξής:

• Για ένα δεδομένο κλάσμα, γράφεται μια επέκταση στην οποία οι συντελεστές θεωρούνται άγνωστοι.
• Μετά από αυτό, και τα δύο μέρη της ισότητας ανάγεται σε έναν κοινό παρονομαστή και οι συντελεστές των πολυωνύμων που λαμβάνονται στον αριθμητή εξισώνονται.

Επιπλέον, αν ο βαθμός του πολυωνύμου είναι ίσος, τότε στον αριθμητή, μετά από αναγωγή σε κοινό παρονομαστή, προκύπτει πολυώνυμο βαθμού, δηλ. πολυώνυμο με συντελεστές.



Ο αριθμός των αγνώστων ισούται επίσης με: .

Έτσι, προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους. Η ύπαρξη λύσης για αυτό το σύστημα προκύπτει από το παραπάνω θεώρημα.

Απόδειξη του θεωρήματος του Bezout

Έστω f(x) συμβολίζει ένα αυθαίρετο πολυώνυμο nου βαθμού ως προς τη μεταβλητή x και έστω διαιρείται με το διώνυμο (x-a) στο πηλίκο q(x), και στο υπόλοιπο R. Προφανώς, q(x) θα είναι κάποιο πολυώνυμο (n-1)-ο βαθμό σε σχέση με το x, και το υπόλοιπο R θα είναι μια σταθερή τιμή, δηλ. ανεξάρτητο του x.

Εάν το υπόλοιπο του R ήταν ένα πολυώνυμο τουλάχιστον του πρώτου βαθμού ως προς το x, τότε αυτό θα σήμαινε ότι η διαίρεση δεν πραγματοποιήθηκε. Άρα το R δεν εξαρτάται από το x.

Με τον ορισμό της διαίρεσης (το μέρισμα ισούται με το γινόμενο του διαιρέτη και του πηλίκου συν το υπόλοιπο), παίρνω την ταυτότητα

f(x)=(x-a)q(x)+R.

Αυτή η ισότητα ισχύει για οποιαδήποτε τιμή του x, άρα ισχύει και για το x=a.

Αντικαθιστώντας τον αριθμό a στο αριστερό και το δεξί μέρος της ισότητας αντί της μεταβλητής x, παίρνω:

f(a)=(a-a)q(a)+R. (ένας)

Εδώ το σύμβολο f(a) δεν δηλώνει πλέον f(x), δηλ. όχι ένα πολυώνυμο στο x, αλλά η τιμή αυτού του πολυωνύμου στο x=a. Το q(a) δηλώνει την τιμή του q(x) όταν x=a.

Το υπόλοιπο του R παραμένει όπως ήταν πριν, αφού το R δεν εξαρτάται από το x.

Το γινόμενο (a-a)q(a) είναι ίσο με μηδέν, αφού ο παράγοντας (a-a) είναι ίσος με μηδέν, και ο παράγοντας q(a) είναι ένας ορισμένος αριθμός. (Το πολυώνυμο q(x) δεν χάνει τη σημασία του για κάποια συγκεκριμένη τιμή του x.)

Επομένως, από την ισότητα (1) παίρνουμε:

Q.E.D.

Συνέπειες από το θεώρημα

Συνέπεια 1.

Το υπόλοιπο μετά τη διαίρεση του πολυωνύμου f(x) με το διώνυμο (ax+b) είναι ίσο με την τιμή

αυτού του πολυωνύμου για x=-b/a, δηλ. R=f(-b/a).

Απόδειξη:

Σύμφωνα με τον κανόνα της πολυωνυμικής διαίρεσης:

f(x)= (ax+b)*q(x)+R.

f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. Άρα R=f(-b/a),

Q.E.D.

Συνέπεια 2:

Αν ο αριθμός a είναι η ρίζα του πολυωνύμου f(x), τότε αυτό το πολυώνυμο διαιρείται με το (x-a) χωρίς υπόλοιπο.

Απόδειξη:

Με το θεώρημα Bezout, το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου f(x) με το (x-a) είναι ίσο με f(a), και από τη συνθήκη a είναι η ρίζα του f(x), που σημαίνει ότι η f(a) =0, που έπρεπε να αποδειχθεί.

Από αυτό το συμπέρασμα του θεωρήματος του Bezout, φαίνεται ότι το πρόβλημα της επίλυσης της εξίσωσης f(x)=0 είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα της επιλογής διαιρετών του πολυωνύμου f που έχουν τον πρώτο βαθμό (γραμμικοί διαιρέτες).

Συμπέρασμα 3:

Αν το πολυώνυμο f(x) έχει ζεύγους διακριτές ρίζες a 1 , a 2 ,…, a n , τότε διαιρείται με το γινόμενο (x-a 1)…(x-a n) χωρίς υπόλοιπο.

Απόδειξη:

Πραγματοποιούμε την απόδειξη χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή στον αριθμό των ριζών. Για n=1, ο ισχυρισμός αποδεικνύεται στο Συμπέρασμα 2. Έστω ότι έχει ήδη αποδειχθεί για την περίπτωση που ο αριθμός των ριζών είναι ίσος με k, που σημαίνει ότι η f(x) διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με το

(x-a 1)(x-a 2)…(x-a k), όπου a 1 , a 2 ,…, a k είναι οι ρίζες του.

Έστω η f(x) να έχει (k+1) χωριστές ρίζες κατά ζεύγη. Με την επαγωγική υπόθεση, a 1 , a 2 , a k ,…, (a k+1) είναι οι ρίζες του πολυωνύμου, που σημαίνει ότι το πολυώνυμο διαιρείται με το γινόμενο (x-a 1)…(x-a k), που σημαίνει ότι

f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x).

Επιπλέον, (a k+1) είναι η ρίζα του πολυωνύμου f(x), δηλ.

Έτσι, αντικαθιστώντας αντί του x (a k + 1), παίρνουμε τη σωστή ισότητα:

f(a k+1)=(a k+1 -a 1)…(a k+1 -a k)q(a k+1)=0.

Αλλά το (a k+1) είναι διαφορετικό από τους αριθμούς a 1 ,…, a k, και επομένως κανένας από τους αριθμούς (a k+1 -a 1),…, (a k+1 -a k) δεν είναι ίσος με 0. Επομένως, το μηδέν ισούται με q(a k+1), δηλ. (a k+1) είναι η ρίζα του πολυωνύμου q(x). Και από το συμπέρασμα 2 προκύπτει ότι το q(x) διαιρείται με το (x-a k+1) χωρίς υπόλοιπο.

q(x)=(x-a k+1)q 1 (x), και επομένως

f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x)=(x-a 1)…(x-a k)(x-a k+1)q 1 (x).

Αυτό σημαίνει ότι η f (x) διαιρείται με (x-a 1) ... (x-a k + 1) χωρίς υπόλοιπο.

Άρα, έχει αποδειχθεί ότι το θεώρημα ισχύει για k=1, και από την εγκυρότητά του για n=k προκύπτει ότι ισχύει και για n=k+1. Έτσι, το θεώρημα ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό ριζών, που έπρεπε να αποδειχθεί.

Συμπέρασμα 4:

Ένα πολυώνυμο βαθμού n έχει το πολύ n διακριτές ρίζες.

Απόδειξη:

Ας χρησιμοποιήσουμε την αντίθετη μέθοδο: αν το πολυώνυμο f(x) του βαθμού n είχε περισσότερες από n ρίζες - n+k (a 1 , a 2 ,..., και n+k είναι οι ρίζες του), τότε με την προηγουμένως αποδειχθεί συμπέρασμα 3 θα διαιρείται με το γινόμενο (x-a 1)...(x-a n+k) του βαθμού (n+k), το οποίο είναι αδύνατο.

Φτάσαμε σε μια αντίφαση, που σημαίνει ότι η υπόθεσή μας είναι λανθασμένη, και ένα πολυώνυμο βαθμού n δεν μπορεί να έχει περισσότερες από n ρίζες, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

Συμπέρασμα 5:

Για οποιοδήποτε πολυώνυμο f(x) και έναν αριθμό a, η διαφορά (f(x)-f(a)) διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με το διώνυμο (x-a).

Απόδειξη:

Έστω f(x) ένα δεδομένο πολυώνυμο βαθμού n και έστω a οποιοσδήποτε αριθμός.

Το πολυώνυμο f(x) μπορεί να αναπαρασταθεί ως: f(x)=(x-a)q(x)+R, όπου q(x) είναι το πολυώνυμο πηλίκο όταν η f(x) διαιρείται με το (x-a), το R είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης f(x) έως (x-a).

Και σύμφωνα με το θεώρημα του Bezout:

f(x)=(x-a)q(x)+f(a).

f(x)-f(a)=(x-a)q(x),

και αυτό σημαίνει διαιρετότητα χωρίς υπόλοιπο (f(x)-f(a))

επί (χ-α), που επρόκειτο να αποδειχτεί.

Συμπέρασμα 6:

Ο αριθμός a είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου f(x) βαθμού όχι μικρότερου από τον πρώτο μόνο αν η f(x) διαιρείται με το (x-a) χωρίς υπόλοιπο.

Απόδειξη:

Για να αποδειχθεί αυτό το θεώρημα, απαιτείται να εξεταστεί η αναγκαιότητα και η επάρκεια της διατυπωμένης συνθήκης.

1. Αναγκαιότητα.

Έστω a η ρίζα του πολυωνύμου f(x), τότε με το Συμπέρασμα 2 η f(x) διαιρείται με το (x-a) χωρίς υπόλοιπο.

Έτσι η διαιρετότητα της f(x) με το (x-a) είναι απαραίτητη προϋπόθεση για να είναι το a ρίζα του f(x), επειδή είναι συνέπεια αυτού.

2. Επάρκεια.

Έστω το πολυώνυμο f(x) διαιρούμενο χωρίς υπόλοιπο με το (x-a),

τότε R=0, όπου R είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης της f(x) με το (x-a), αλλά με το θεώρημα του Bezout R=f(a), που σημαίνει ότι f(a)=0, που σημαίνει ότι a είναι η ρίζα f (Χ).

Έτσι, η διαιρετότητα της f(x) με το (x-a) είναι επίσης επαρκής προϋπόθεση για να είναι το a ρίζα του f(x).

Η διαιρετότητα της f(x) με το (x-a) είναι απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για να είναι το a ρίζα της f(x), η οποία έπρεπε να αποδειχθεί.

Συμπέρασμα 7:

Ένα πολυώνυμο που δεν έχει πραγματικές ρίζες δεν περιέχει γραμμικούς παράγοντες στην παραγοντοποίηση.

Απόδειξη:

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο με αντίφαση: ας υποθέσουμε ότι το πολυώνυμο f(x) που δεν έχει ρίζες όταν η παραγοντοποίηση περιέχει έναν γραμμικό παράγοντα

τότε θα διαιρείται με το (x-a), αλλά από το συμπέρασμα 6 το a θα είναι ρίζα του f(x), και με την υπόθεση δεν περιέχει πραγματικές ρίζες. Φτάσαμε σε μια αντίφαση, που σημαίνει ότι η υπόθεση μας είναι λανθασμένη και το πολυώνυμο, που δεν έχει πραγματικές ρίζες, δεν περιέχει γραμμικούς παράγοντες στην παραγοντοποίηση, που έπρεπε να αποδειχθεί.

Ετιέν Μπεζού–

Γάλλος μαθηματικός, μέλος της Ακαδημίας Επιστημών του Παρισιού (από το 1758), γεννήθηκε στο Nemours στις 31 Μαρτίου 1730 και πέθανε στις 27 Σεπτεμβρίου 1783.

Από το 1763, ο Bezout δίδασκε μαθηματικά στη σχολή των μεσαίων και από το 1768 στο βασιλικό σώμα πυροβολικού.

Τα κύρια έργα του Etienne Bezout σχετίζονται με την ανώτερη άλγεβρα, είναι αφιερωμένα στη δημιουργία μιας θεωρίας για την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων. Στη θεωρία επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, συνέβαλε στην εμφάνιση της θεωρίας των οριζόντων, ανέπτυξε τη θεωρία της εξάλειψης αγνώστων από συστήματα εξισώσεων υψηλότερου βαθμού, απέδειξε το θεώρημα (πρώτη διατύπωση από τον C. Maclaurin) ότι δύο καμπύλες του Η τάξη m και n τέμνονται σε όχι περισσότερα από mn σημεία. Στη Γαλλία και στο εξωτερικό, μέχρι το 1848, το εξάτομο «Μάθημα Μαθηματικών», που έγραψε ο ίδιος το 1764-69, ήταν πολύ δημοφιλές. Ο Bezout ανέπτυξε τη μέθοδο των αόριστων παραγόντων· στη στοιχειώδη άλγεβρα, μια μέθοδος για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων που βασίζονται σε αυτή τη μέθοδο πήρε το όνομά του. Μέρος της δουλειάς του Bezout είναι αφιερωμένο στην εξωτερική βαλλιστική. Ένα από τα κύρια θεωρήματα της άλγεβρας πήρε το όνομά του από τον επιστήμονα.

Το θεώρημα του Bezout.

Υπόλοιπο πολυωνυμικής διαίρεσης Π n ( Χ )

σε ένα διώνυμο ( Χ - ένα ) ισούται με την τιμή

αυτό το πολυώνυμο στο Χ = ένα .

Πn(Χ) είναι πολυώνυμο δεδομένου βαθμού n ,

διωνυμικός (Χ- ένα) - ο διαιρέτης του,

Qn-1 (Χ) - πηλίκο διαίρεσης Πn(Χ) στο Χ- ένα(πολυώνυμο βαθμού n-1) ,

R- το υπόλοιπο τμήμα ( Rδεν περιέχει μεταβλητή Χως διαιρέτης πρώτου βαθμού ως προς Χ).

Απόδειξη:

Σύμφωνα με τον κανόνα για τη διαίρεση πολυωνύμων με ένα υπόλοιπο, μπορούμε να γράψουμε:

Πn(x) = (x-a)Qn-1(x) + R .

Από εδώ στο Χ = ένα :

Πn(α) = (α-α)Qn-1(α) + R =0*Qn-1(α)+R=

=0+ R= R .

Που σημαίνει, R = Πn(ένα) , δηλ. υπόλοιπο μετά τη διαίρεση του πολυωνύμου με (Χ- ένα) είναι ίση με την τιμή αυτού

πολυωνυμικό στο Χ= ένα, που έπρεπε να αποδειχτεί.

Συνέπειες από το θεώρημα .

ΑΠΟ συνέπεια 1 :

Υπόλοιπο πολυωνυμικής διαίρεσης Π n ( Χ )

σε ένα διώνυμο τσεκούρι + σι ισούται με την τιμή

αυτό το πολυώνυμο στο Χ = - σι / ένα ,

t . μι . R=P n (-β/α) .

Απόδειξη:

Σύμφωνα με τον κανόνα της πολυωνυμικής διαίρεσης:

Πn(x)= (ax + b)* Qn-1(x) + R.

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Επομένως, R = Pn (-b/a) , που έπρεπε να αποδειχθεί .

Συνέπεια 2 :

Αν αριθμός ένα είναι η ρίζα

πολυώνυμος Π ( Χ ) , έπειτα Αυτό

το πολυώνυμο διαιρείται με ( Χ - ένα ) χωρίς

υπόλοιπο.

Απόδειξη:

Με το θεώρημα του Bezout, το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Π (Χ) στο Χ- έναισοδυναμεί Π (ένα) , και κατά συνθήκη έναείναι η ρίζα Π (Χ) , το οποίο σημαίνει ότι Π (ένα) = 0 , που έπρεπε να αποδειχτεί .

Από αυτό το συμπέρασμα του θεωρήματος του Bezout, μπορεί να φανεί ότι το πρόβλημα της επίλυσης της εξίσωσης Π (Χ) = 0 ισοδυναμεί με το πρόβλημα της εύρεσης διαιρετών ενός πολυωνύμου Πέχοντας τον πρώτο βαθμό (γραμμικούς διαιρέτες) .

Συμπέρασμα 3 :

Αν πολυωνυμικό Π ( Χ ) Εχει

κατά ζεύγη διακριτές ρίζες

ένα 1 , ένα 2 , … , ένα n , τότε διαιρείται με

δουλειά ( Χ - ένα 1 ) … ( Χ - ένα n )

χωρίς ίχνος .

Απόδειξη:

Πραγματοποιούμε την απόδειξη χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή στον αριθμό των ριζών. Στο n=1 ο ισχυρισμός αποδεικνύεται στο συμπέρασμα 2. Ας υποθέσουμε ότι έχει ήδη αποδειχθεί για την περίπτωση που ο αριθμός των ριζών είναι ίσος με κ, αυτό σημαίνει ότι P(x)διαιρείται χωρίς υπόλοιπο (Χ- ένα1 )(Χ- ένα2 ) … (Χ- ένακ) , όπου

ένα1 , ένα2 , … , ένακ- οι ρίζες του.

Αφήνω Π(Χ) Εχει κ+1 κατά ζεύγη διακριτές ρίζες.Με την επαγωγική υπόθεση ένα1 , ένα2 , ένακ , … , ένακ+1 είναι οι ρίζες του πολυωνύμου, που σημαίνει ότι το πολυώνυμο διαιρείται με το γινόμενο (Χ- ένα1 ) … (Χ- ένακ) , από όπου προκύπτει ότι

P(x) = (x-a1 ) … (χ-ακ)Q(x).

Εν ένακ+1 είναι η ρίζα του πολυωνύμου Π(Χ) , δηλ. . Π(ένακ+1 ) = 0 .

Αντικαθιστώντας λοιπόν Χένακ+1 , παίρνουμε τη σωστή ισότητα:

P(ak+1) = (αk+1-ένα1 ) … (έναk+1-ένακ) Ε (αk+1) =

Αλλά ένακ+1 διαφορετικό από τους αριθμούς ένα1 , … , ένακ, και επομένως κανένας από τους αριθμούς ένακ+1 - ένα1 , … , ένακ+1 - ένακδεν ισούται με 0. Επομένως, το μηδέν είναι Q(ένακ+1 ) , δηλ. ένακ+1 είναι η ρίζα του πολυωνύμου Q(Χ) . Και από το συμπέρασμα 2 προκύπτει ότι Q(Χ) διαιρείται με Χ- ένακ+ 1 χωρίς ίχνος.

Q(Χ) = (Χ- ένακ+1 ) Q1 (Χ) , και για αυτο

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

=(Χ- ένα1 ) … (Χ- ένακ)(Χ- ένακ+1 ) Q1 (Χ) .

Αυτό σημαίνει ότι Π(Χ) διαιρείται με (Χ- ένα1 ) … (Χ- ένακ+1 ) χωρίς ίχνος.

Έτσι, αποδείξαμε ότι το θεώρημα ισχύει για κ =1 , και από την ισχύ του στο n = κπροκύπτει ότι είναι αλήθεια και n = κ+1 . Έτσι, το θεώρημα ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό ριζών, τι καιχρειάζεται να αποδειχθεί .

Συνέπεια 4 :

πολυώνυμο βαθμού n δεν έχει άλλα

n διάφορες ρίζες.

Απόδειξη:

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο με αντίφαση: αν το πολυώνυμο Πn(Χ) βαθμός nθα είχε περισσότερα nρίζες - n+ κ (ένα1 , ένα2 , … , έναn+ κ- οι ρίζες του), τότε από το προηγουμένως αποδεδειγμένο συμπέρασμα 3 θα ήταν

θα διαιρούνταν ανά προϊόν (Χ- ένα1 ) … (Χ- έναn+ κ) έχοντας πτυχίο n+ κ, κάτι που είναι αδύνατο.

Έχουμε φτάσει σε μια αντίφαση, που σημαίνει ότι η υπόθεση μας είναι λανθασμένη και το πολυώνυμο του βαθμού n δεν μπορεί να έχει περισσότερο από nρίζες, Q.E.D.

Συνέπεια 5 :

Για οποιοδήποτε πολυώνυμο Π ( Χ )

και αριθμοί ένα διαφορά

( Π ( Χ )- Π ( ένα )) χωρίζεται χωρίς

υπόλοιπο ανά διώνυμο ( Χ - ένα ) .

Απόδειξη:

Αφήνω Π(Χ) είναι πολυώνυμο δεδομένου βαθμού n , ένα- οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ.

Πολυώνυμος Πn(Χ) μπορεί να αναπαρασταθεί ως: Πn(Χ)=(Χ- ένα) Qn-1 (Χ)+ R ,

όπου Qn-1 (Χ) – πολυώνυμο, πηλίκο στη διαίρεση Πn(Χ) στο (Χ- ένα) ,

R- το υπόλοιπο τμήμα Πn(Χ) στο (Χ- ένα) .

Και σύμφωνα με το θεώρημα του Bezout:

R=Pn(ένα), δηλ.

Πn(x)=(x-a)Qn-1(χ)+Ρn(ένα) .

Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

και αυτό σημαίνει διαιρετότητα χωρίς υπόλοιπο (Πn(Χ) – Πn(ένα))

στο (Χ- ένα) , που έπρεπε να αποδειχτεί .

Συνέπεια 6 :

Αριθμός ένα είναι η ρίζα

πολυώνυμος Π ( Χ ) βαθμούς

όχι χαμηλότερα από την πρώτη τότε και

μόνο όταν

Π ( Χ ) διαιρούμενο με ( Χ - ένα )

χωρίς ίχνος .

Απόδειξη:

Για να αποδειχθεί αυτό το θεώρημα, απαιτείται να εξεταστεί η αναγκαιότητα και η επάρκεια της διατυπωμένης συνθήκης.

1. Χρειάζομαι .

Αφήνω έναείναι η ρίζα του πολυωνύμου Π(Χ) , στη συνέχεια από το συμπέρασμα 2 Π(Χ) διαιρείται με (Χ- ένα) χωρίς ίχνος.

Διαιρετότητα λοιπόν Π(Χ) στο (Χ- ένα) είναι απαραίτητη προϋπόθεση για έναήταν η ρίζα Π(Χ) , επειδή είναι συνέπεια αυτού.

2. Επάρκεια .

Έστω το πολυώνυμο Π(Χ) διαιρείται χωρίς υπόλοιπο (Χ- ένα) ,

έπειτα R = 0 , όπου R- το υπόλοιπο τμήμα Π(Χ) στο (Χ- ένα) , αλλά με το θεώρημα του Bezout R = Π(ένα) , από όπου προκύπτει ότι Π(ένα) = 0 , το οποίο σημαίνει ότι έναείναι η ρίζα Π(Χ) .

Διαιρετότητα λοιπόν Π(Χ) στο (Χ- ένα) είναι επίσης επαρκής προϋπόθεση για έναήταν η ρίζα Π(Χ) .

Διαιρετό Π(Χ) στο (Χ- ένα) είναι αναγκαία και επαρκήπροϋπόθεση για έναήταν η ρίζα Π(Χ) , Q.E.D.

Ένα πολυώνυμο που δεν έχει δράση

συμπαγείς ρίζες, σε αποσύνθεση

πολλαπλασιαζόμενο με γραμμικούς πολλαπλασιαστές

Δεν περιέχει.

Απόδειξη:

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο με αντίφαση: ας υποθέσουμε ότι ένα πολυώνυμο χωρίς ρίζες Π(Χ) όταν συνυπολογίζεται, περιέχει έναν γραμμικό παράγοντα (Χ – ένα) :

P(x) = (x – a)Q(x),

τότε θα διαιρούνταν με (Χ – ένα) , αλλά από το συμπέρασμα 6 έναθα ήταν η ρίζα Π(Χ) , και υπό την προϋπόθεση ότι δεν περιέχει ρίζες. Έχουμε φτάσει σε μια αντίφαση, που σημαίνει ότι η υπόθεση μας είναι εσφαλμένη και πολυωνυμική,

Θεώρημα

Το υπόλοιπο μετά τη διαίρεση του πολυωνύμου $P(x)$ με το διώνυμο $(x-a)$ είναι ίσο με $P(a)$.

Συνέπειες από το θεώρημα του Bezout

Ο αριθμός $a$ είναι μια ρίζα του πολυωνύμου $P(x)$ εάν και μόνο εάν το $P(x)$ διαιρείται ομοιόμορφα με το διώνυμο $x-a$ .

Αυτό συνεπάγεται, ειδικότερα, ότι το σύνολο των ριζών του πολυωνύμου $P(x)$ είναι πανομοιότυπο με το σύνολο των ριζών της αντίστοιχης εξίσωσης $P(x)=0$ .

1. Ο ελεύθερος όρος ενός πολυωνύμου διαιρείται με οποιαδήποτε ακέραια ρίζα πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές (αν ο αρχικός συντελεστής είναι 1, τότε όλες οι ορθολογικές ρίζες είναι επίσης ακέραιοι).
2. Έστω $a$ μια ακέραια ρίζα του μειωμένου πολυωνύμου $P(x)$ με ακέραιους συντελεστές. Τότε για κάθε ακέραιο $k$ ο αριθμός $P(k)$ διαιρείται με $a-k$ .

Το θεώρημα του Bezout καθιστά δυνατό, έχοντας βρει μια ρίζα ενός πολυωνύμου, να αναζητήσουμε περαιτέρω τις ρίζες ενός πολυωνύμου του οποίου ο βαθμός είναι ήδη ένα λιγότερο: αν $P(a)=0$, τότε το δεδομένο πολυώνυμο $P(x)$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

$$P(x)=(x-a) Q(x)$$

Έτσι, βρίσκεται μια ρίζα και, στη συνέχεια, βρίσκονται οι ρίζες του πολυωνύμου $Q(x)$, ο βαθμός του οποίου είναι κατά ένα μικρότερος από τον βαθμό του αρχικού πολυωνύμου. Μερικές φορές με αυτήν την τεχνική - που ονομάζεται μείωση του βαθμού - μπορείτε να βρείτε όλες τις ρίζες ενός δεδομένου πολυωνύμου.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παράδειγμα

Ασκηση.Βρείτε το υπόλοιπο αφού διαιρέσετε το πολυώνυμο $f(x)=3 x^(2)-4 x+6$ με το διώνυμο $(x-1)$

Λύση.Σύμφωνα με το θεώρημα του Bezout, το επιθυμητό υπόλοιπο ισούται με την τιμή του πολυωνύμου στο σημείο $a=1$. Στη συνέχεια βρίσκουμε το $f(1)$, για αυτό αντικαθιστούμε την τιμή $a=1$ στην έκφραση για το πολυώνυμο $f(x)$ αντί για $x$ . Θα έχω:

$$f(1)=3 \cdot 1^(2)-4 \cdot 1+6=3-4+6=5$$

Απάντηση.Το υπόλοιπο είναι 5

Παράδειγμα

Ασκηση.Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Bezout, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο $f(x)=17 x^(3)-13 x^(2)-4$ διαιρείται με το διώνυμο $x=1$ χωρίς υπόλοιπο.

Λύση.Το καθορισμένο πολυώνυμο διαιρείται με το δεδομένο δυώνυμο χωρίς υπόλοιπο, αν ο αριθμός $x=1$ είναι η ρίζα του δεδομένου πολυωνύμου, δηλαδή γίνεται η ισότητα: $f(1)=0$ . Βρείτε την τιμή του πολυωνύμου στο σημείο $x=1$ .