Caracteristicile DSW și proprietățile lor. Așteptări matematice, varianță, abatere standard
Legea distribuției caracterizează pe deplin variabila aleatoare. Cu toate acestea, atunci când este imposibil să găsiți legea distribuției sau acest lucru nu este necesar, vă puteți limita la găsirea unor valori numite caracteristici numerice variabilă aleatorie. Aceste valori determină o valoare medie în jurul căreia sunt grupate valorile unei variabile aleatoare și gradul de dispersie a acestora în jurul acestei valori medii.
așteptări matematice O variabilă aleatoare discretă este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și a probabilităților acestora.
Așteptările matematice există dacă seria de pe partea dreaptă a egalității converge absolut.
Din punct de vedere al probabilității, putem spune că așteptarea matematică este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare.
Exemplu. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este cunoscută. Găsiți așteptările matematice.
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Soluţie:
9.2 Proprietăți așteptări matematice
1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta în sine.
2. Un factor constant poate fi scos din semnul așteptării.
3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
Această proprietate este valabilă pentru un număr arbitrar de variabile aleatoare.
4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor.
Această proprietate este valabilă și pentru un număr arbitrar de variabile aleatoare.
Să fie efectuate n încercări independente, probabilitatea de apariție a evenimentului A în care este egală cu p.
Teorema. Așteptarea matematică M(X) a numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea de apariție a evenimentului în fiecare încercare.
Exemplu. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare Z dacă sunt cunoscute așteptările matematice ale lui X și Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Soluţie:
9.3 Dispersia unei variabile aleatoare discrete
Cu toate acestea, așteptările matematice nu pot caracteriza pe deplin un proces aleatoriu. Pe lângă așteptarea matematică, trebuie să introduceți o valoare care caracterizează abaterea valorilor unei variabile aleatoare de la așteptarea matematică.
Această abatere este egală cu diferența dintre variabila aleatoare și așteptarea ei matematică. În acest caz, așteptarea matematică a abaterii este zero. Acest lucru se explică prin faptul că unele posibile abateri sunt pozitive, altele sunt negative și, ca urmare a anulării lor reciproce, se obține zero.
Dispersare (împrăștiere) Variabila aleatoare discretă se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea sa matematică.
În practică, această metodă de calcul a varianței este incomod, deoarece conduce la în număr mare valori ale unei variabile aleatorii la calcule greoaie.
Prin urmare, se folosește o altă metodă.
Teorema. Varianta este egală cu diferența dintre așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare X și pătratul așteptării sale matematice.
Dovada. Ținând cont de faptul că așteptarea matematică M (X) și pătratul așteptării matematice M 2 (X) sunt valori constante, putem scrie:
Exemplu. Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete dată de legea distribuției.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Soluție: .
9.4 Proprietăţi de dispersie
1. Dispersia unei valori constante este zero. .
2. Un factor constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul acestuia. .
3. Varianta sumei a doua variabile aleatoare independente este egala cu suma variantelor acestor variabile. .
4. Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile. .
Teorema. Varianța numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea p de apariție a evenimentului este constantă, este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitățile de apariție și de neapariție. a evenimentului în fiecare proces.
9.5 Abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete
Deviație standard variabila aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței.
Teorema. Abaterea standard a sumei unui număr finit de variabile aleatoare reciproc independente este egală cu rădăcina pătrată a sumei abaterilor standard pătrate ale acestor variabile.
- numarul de baieti din 10 nou-nascuti.
Este destul de clar că acest număr nu este cunoscut în prealabil, iar în următorii zece copii născuți pot exista:
Sau băieți - unul si numai unul dintre opțiunile enumerate.
Și, pentru a fi în formă, puțină educație fizică:
- distanta de saritura in lungime (în unele unități).
Nici măcar maestrul sportului nu este în stare să prevadă :)
Totuși, care sunt ipotezele tale?
2) Variabilă aleatoare continuă - ia toate valori numerice dintr-un interval finit sau infinit.
Notă : abrevierile DSV și NSV sunt populare în literatura educațională
Mai întâi, să analizăm o variabilă aleatoare discretă, apoi - continuu.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
- aceasta este conformitateîntre valorile posibile ale acestei mărimi și probabilitățile acestora. Cel mai adesea, legea este scrisă într-un tabel: 
Termenul este destul de comun rând
distributie, dar în unele situații sună ambiguu și, prin urmare, voi respecta „legea”.
Si acum punct foarte important: din moment ce variabila aleatoare neapărat voi accepta una dintre valori, apoi se formează evenimentele corespunzătoare grup complet iar suma probabilităților apariției lor este egală cu unu:
sau, dacă este scris pliat:
Deci, de exemplu, legea distribuției probabilităților punctelor de pe un zar are următoarea formă: 
Fără comentarii.
Este posibil să aveți impresia că o variabilă aleatoare discretă poate lua doar valori întregi „bune”. Să risipim iluzia - pot fi orice:
Exemplul 1
Unele jocuri au următoarea lege de distribuire a plăților: 
…probabil că visezi la astfel de sarcini de multă vreme :) Hai să-ți spun un secret – și eu. Mai ales după terminarea lucrărilor teoria câmpului.
Soluţie: deoarece o variabilă aleatoare poate lua doar una din trei valori, se formează evenimentele corespunzătoare grup complet, ceea ce înseamnă că suma probabilităților lor este egală cu unu: 
Îl expunem pe „partizanul”: 
– astfel, probabilitatea de a câștiga unități convenționale este de 0,4.
Control: de ce ai nevoie pentru a te asigura.
Răspuns:
Nu este neobișnuit când legea distribuției trebuie elaborată independent. Pentru această utilizare definiția clasică a probabilității, teoreme de înmulțire/adunare pentru probabilitățile de evenimenteși alte chips-uri tervera:
Exemplul 2
În cutie sunt 50 de bilete de loterie, dintre care 12 sunt câștigătoare, iar 2 dintre ele câștigă 1000 de ruble fiecare, iar restul - 100 de ruble fiecare. Întocmește o lege de distribuție a unei variabile aleatoare - mărimea câștigurilor, dacă un bilet este extras aleatoriu din casetă.
Soluţie: după cum ați observat, este obișnuit să plasați valorile unei variabile aleatoare în ordine crescătoare. Prin urmare, începem cu cele mai mici câștiguri, și anume ruble.
În total, sunt 50 - 12 = 38 de astfel de bilete, iar conform definiție clasică:
este probabilitatea ca un bilet extras aleatoriu să nu câștige.
Restul cazurilor sunt simple. Probabilitatea de a câștiga ruble este:
Verificarea: - si acesta este un moment deosebit de placut al unor astfel de sarcini!
Răspuns: legea impusă de distribuire a plăților: 
Următoarea sarcină pentru solutie independenta:
Exemplul 3
Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este de . Faceți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatorie - numărul de lovituri după 2 lovituri.
... Stiam ca ti-a fost dor de el :) Ne amintim teoreme de înmulțire și adunare. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.
Legea distribuției descrie complet o variabilă aleatoare, dar în practică este util (și uneori mai util) să cunoști doar o parte din ea. caracteristici numerice .
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
vorbind limbaj simplu, aceasta este valoarea medie aşteptată cu teste repetate. Lasă o variabilă aleatorie să ia valori cu probabilități 
respectiv. Atunci așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare este egală cu suma lucrărilor toate valorile sale după probabilitățile corespunzătoare:
sau în formă pliată: 
Să calculăm, de exemplu, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare - numărul de puncte aruncate pe un zar:
Acum să ne amintim jocul nostru ipotetic: 
Apare întrebarea: este chiar profitabil să joci acest joc? ... cine are impresii? Așa că nu poți spune „de la îndemână”! Dar la această întrebare se poate răspunde cu ușurință prin calcularea așteptărilor matematice, în esență - medie ponderată probabilități de câștig:
Astfel, așteptările matematice ale acestui joc pierzând.
Nu aveți încredere în impresii - aveți încredere în numere!
Da, aici poți câștiga de 10 și chiar de 20-30 de ori la rând, dar pe termen lung vom fi inevitabil ruinați. Și nu te-aș sfătui să joci astfel de jocuri :) Ei bine, poate doar pentru distractie.
Din toate cele de mai sus, rezultă că așteptarea matematică NU este o valoare aleatorie.
Sarcina creativă pentru cercetare independentă:
Exemplul 4
Domnul X joacă la ruleta europeană după următorul sistem: pariază constant 100 de ruble pe roșu. Alcătuiți legea distribuției unei variabile aleatoare - profitul acesteia. Calculați așteptările matematice ale câștigurilor și rotunjiți-o la copeici. Cum in medie jucătorul pierde la fiecare sută de pariuri?
Referinţă : Ruleta europeană conține 18 sectoare roșii, 18 negre și 1 verde („zero”). În cazul unei căderi „roșii”, jucătorului i se plătește un pariu dublu, în caz contrar, acesta merge la venitul cazinoului.
Există multe alte sisteme de ruletă pentru care vă puteți crea propriile tabele de probabilitate. Dar acesta este cazul când nu avem nevoie de nicio lege și tabele de distribuție, deoarece este stabilit cu siguranță că așteptările matematice ale jucătorului vor fi exact aceleași. Doar modificări de la sistem la sistem
1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta în sine M(S)=S
.
2. Un factor constant poate fi scos din semnul așteptării: M(CX)=CM(X)
3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Teorema. Așteptarea matematică M(x) a numărului de apariții a evenimentelor A în n încercări independente este egală cu produsul acestor încercări cu probabilitatea de apariție a evenimentelor în fiecare încercare: M(x) = np.
Lăsa X este o variabilă aleatoare și M(X) este așteptarea sa matematică. Considerați ca o nouă variabilă aleatoare diferența X - M(X).
Abaterea este diferența dintre o variabilă aleatoare și așteptarea ei matematică.
Abaterea are următoarea lege de distribuție:
Soluție: Aflați așteptările matematice:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Să scriem legea distribuției abaterii pătratului:
Rezolvare: Aflați așteptarea M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5
Să scriem legea de distribuție a variabilei aleatoare X 2
| x2 | |||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Să găsim așteptările matematice M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Dispersia dorită D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05
Proprietăți de dispersie:
1. Dispersia unei valori constante DIN
este egal cu zero: D(C)=0
2. Un factor constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul acestuia. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Varianta sumei variabilelor aleatoare independente este egala cu suma variantelor acestor variabile. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Dispersia distribuție binomială este egal cu produsul numărului de încercări cu probabilitatea de apariție și neapariție a unui eveniment într-o singură încercare D(X)=npq
Pentru a estima dispersia valorilor posibile ale unei variabile aleatoare în jurul valorii sale medii, pe lângă varianță, servesc și alte caracteristici. Printre acestea se numără abaterea standard.
Abaterea standard a unei variabile aleatoare X numită rădăcina pătrată a varianței:
σ(X) = √D(X) (4)
Exemplu. Variabila aleatoare X este dată de legea distribuției
| X | |||
| P | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Găsiți abaterea standard σ(x)
Rezolvare: Aflați așteptarea matematică X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Să aflăm așteptarea matematică a lui X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Aflați dispersia: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Abaterea standard dorită σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61
Teorema. Abaterea standard a sumei unui număr finit de variabile aleatoare reciproc independente este egală cu rădăcina pătrată a sumei abaterilor standard pătrate ale acestor variabile:
Exemplu. Sunt 3 cărți de matematică și 3 de fizică pe un raft cu 6 cărți. Trei cărți sunt alese la întâmplare. Găsiți legea de distribuție a numărului de cărți de matematică între cărțile selectate. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.
D (X) \u003d M (X 2) - M (X) 2 \u003d 2,7 - 1,5 2 \u003d 0,45
Teoria probabilității este o ramură specială a matematicii care este studiată numai de studenții instituțiilor de învățământ superior. Îți plac calculele și formulele? Nu vă este frică de perspectivele de familiarizare cu distribuția normală, entropia ansamblului, așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare discrete? Atunci acest subiect va fi de mare interes pentru tine. Să ne familiarizăm cu unele dintre cele mai importante concepte de bază ale acestei secțiuni a științei.
Să ne amintim elementele de bază
Chiar dacă vă amintiți cele mai simple concepte ale teoriei probabilităților, nu neglijați primele paragrafe ale articolului. Faptul este că, fără o înțelegere clară a elementelor de bază, nu veți putea lucra cu formulele discutate mai jos.
Deci, există un eveniment aleatoriu, un experiment. Ca urmare a acțiunilor efectuate, putem obține mai multe rezultate - unele dintre ele sunt mai frecvente, altele mai puțin frecvente. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate efectiv obținute de un tip și numărul total de rezultate posibile. Numai cunoscând definiția clasică a acestui concept, puteți începe să studiați așteptările matematice și dispersia variabilelor aleatoare continue.
In medie
Înapoi la școală, la lecțiile de matematică, ai început să lucrezi cu media aritmetică. Acest concept este utilizat pe scară largă în teoria probabilității și, prin urmare, nu poate fi ignorat. Principalul lucru pentru noi în acest moment este că îl vom întâlni în formulele pentru așteptarea și varianța matematică a unei variabile aleatoare.
Avem o succesiune de numere și vrem să aflăm media aritmetică. Tot ceea ce ni se cere este să însumăm tot ceea ce este disponibil și să împărțim la numărul de elemente din succesiune. Să avem numere de la 1 la 9. Suma elementelor va fi 45, iar această valoare o vom împărți la 9. Răspuns: - 5.
Dispersia
În termeni științifici, varianța este pătratul mediu al abaterilor valorilor caracteristicilor obținute de la media aritmetică. Unul este notat cu litera latină majusculă D. Ce este necesar pentru a o calcula? Pentru fiecare element al șirului, calculăm diferența dintre numărul disponibil și media aritmetică și o pătratăm. Vor exista exact atâtea valori câte rezultate pot exista pentru evenimentul pe care îl luăm în considerare. În continuare, rezumăm totul primit și împărțim la numărul de elemente din secvență. Dacă avem cinci rezultate posibile, atunci împărțiți la cinci.
Varianta are, de asemenea, proprietăți pe care trebuie să le rețineți pentru a o aplica atunci când rezolvați probleme. De exemplu, dacă variabila aleatoare este mărită de X ori, varianța crește de X ori pătratul (adică, X*X). Nu este niciodată mai mic de zero și nu depinde de deplasarea valorilor cu o valoare egală în sus sau în jos. De asemenea, pentru încercările independente, varianța sumei este egală cu suma variațiilor.
Acum trebuie să luăm în considerare exemple de varianță a unei variabile aleatoare discrete și așteptările matematice.
Să presupunem că rulăm 21 de experimente și obținem 7 rezultate diferite. Am observat fiecare dintre ele, respectiv, de 1,2,2,3,4,4 și, respectiv, de 5 ori. Care va fi variația?
Mai întâi, calculăm media aritmetică: suma elementelor, desigur, este 21. O împărțim la 7, obținând 3. Acum scădem 3 din fiecare număr din șirul inițial, pătram fiecare valoare și adunăm rezultatele împreună. . Se dovedește 12. Acum ne rămâne să împărțim numărul la numărul de elemente și, s-ar părea, atât. Dar există o captură! Să discutăm.
Dependența de numărul de experimente
Se pare că atunci când se calculează varianța, numitorul poate fi unul dintre cele două numere: fie N, fie N-1. Aici N este numărul de experimente efectuate sau numărul de elemente din secvență (care este în esență același lucru). De ce depinde?
Dacă numărul de teste este măsurat în sute, atunci trebuie să punem la numitor N. Dacă este în unități, atunci N-1. Oamenii de știință au decis să deseneze granița în mod destul de simbolic: astăzi trece de-a lungul numărului 30. Dacă am efectuat mai puțin de 30 de experimente, atunci vom împărți cantitatea cu N-1, iar dacă mai mult, atunci cu N.
O sarcină
Să ne întoarcem la exemplul nostru de rezolvare a problemei varianței și așteptărilor. Am obținut un număr intermediar de 12, care trebuia împărțit la N sau N-1. Deoarece am efectuat 21 de experimente, adică mai puțin de 30, vom alege a doua opțiune. Deci răspunsul este: varianța este 12 / 2 = 2.
Valorea estimata
Să trecem la al doilea concept, pe care trebuie să îl luăm în considerare în acest articol. Așteptările matematice sunt rezultatul adunării tuturor rezultatelor posibile înmulțite cu probabilitățile corespunzătoare. Este important de înțeles că valoarea rezultată, precum și rezultatul calculării varianței, se obține o singură dată pentru întreaga sarcină, indiferent de câte rezultate ia în considerare.
Formula de așteptare matematică este destul de simplă: luăm rezultatul, îl înmulțim cu probabilitatea lui, adăugăm același lucru pentru al doilea, al treilea rezultat etc. Tot ce este legat de acest concept este ușor de calculat. De exemplu, suma așteptărilor matematice este egală cu așteptările matematice ale sumei. Același lucru este valabil și pentru lucrare. Nu orice mărime din teoria probabilității permite efectuarea unor astfel de operații simple. Să luăm o sarcină și să calculăm valoarea a două concepte pe care le-am studiat simultan. În plus, am fost distrași de teorie – este timpul să exersăm.
Încă un exemplu
Am efectuat 50 de studii și am obținut 10 tipuri de rezultate - numere de la 0 la 9 - care apar în procente diferite. Acestea sunt, respectiv: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Amintiți-vă că pentru a obține probabilitățile, trebuie să împărțiți valorile procentuale la 100. Astfel, obținem 0,02; 0,1 etc. Să prezentăm un exemplu de rezolvare a problemei pentru varianța unei variabile aleatoare și așteptarea matematică.
Calculăm media aritmetică folosind formula pe care o amintim din școala elementară: 50/10 = 5.
Acum să traducem probabilitățile în numărul de rezultate „pe bucăți” pentru a face mai convenabil numărarea. Obținem 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 și 9. Scădem media aritmetică din fiecare valoare obținută, după care punem la pătrat fiecare dintre rezultatele obținute. Vedeți cum să faceți acest lucru cu primul element ca exemplu: 1 - 5 = (-4). Mai mult: (-4) * (-4) = 16. Pentru alte valori, faceți singur aceste operații. Dacă ați făcut totul bine, atunci după ce ați adăugat totul obțineți 90.
Să continuăm calcularea varianței și a mediei împărțind 90 la N. De ce alegem N și nu N-1? Așa este, pentru că numărul de experimente efectuate depășește 30. Deci: 90/10 = 9. Am obținut dispersia. Dacă primești un alt număr, nu dispera. Cel mai probabil, ai făcut o eroare banală în calcule. Verificați din nou ceea ce ați scris și, cu siguranță, totul va fi la locul său.
În sfârșit, să ne amintim formula de așteptare matematică. Nu vom da toate calculele, vom scrie doar răspunsul cu care puteți verifica după finalizarea tuturor procedurilor solicitate. Valoarea așteptată va fi 5,48. Ne amintim doar cum să efectuăm operațiuni, folosind exemplul primelor elemente: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... și așa mai departe. După cum puteți vedea, pur și simplu înmulțim valoarea rezultatului cu probabilitatea acestuia.
Deviere
Un alt concept strâns legat de dispersie și așteptările matematice este abaterea standard. Se notează fie prin literele latine sd, fie prin literele grecești „sigma”. Acest concept arată cum, în medie, valorile se abat de la caracteristica centrală. Pentru a-i găsi valoarea, trebuie să calculați rădăcina pătrată a varianței.
Dacă faci un grafic distributie normalași doriți să vedeți abaterea pătrată direct pe ea, acest lucru se poate face în mai mulți pași. Luați jumătate din imagine la stânga sau la dreapta modului (valoarea centrală), trageți o perpendiculară pe axa orizontală, astfel încât zonele figurilor rezultate să fie egale. Valoarea segmentului dintre mijlocul distribuției și proiecția rezultată pe axa orizontală va fi abaterea standard.
Software
După cum se poate observa din descrierile formulelor și exemplele prezentate, calcularea varianței și a așteptărilor matematice nu este cea mai ușoară procedură din punct de vedere aritmetic. Pentru a nu pierde timpul, este logic să folosiți programul folosit în superioare institutii de invatamant- se numește „R”. Are funcții care vă permit să calculați valori pentru multe concepte din statistică și teoria probabilității.
De exemplu, definiți un vector de valori. Aceasta se face astfel: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
In cele din urma
Dispersia și așteptările matematice sunt fără de care este dificil să calculezi ceva în viitor. În cursul principal al prelegerilor la universități, acestea sunt luate în considerare deja în primele luni de studiu a materiei. Tocmai din cauza lipsei de înțelegere a acestor concepte simple și a incapacității de a le calcula, mulți studenți încep imediat să rămână în urmă în program și ulterior primesc note slabe în sesiune, ceea ce îi privează de burse.
Exersează cel puțin o săptămână timp de o jumătate de oră pe zi, rezolvând sarcini similare cu cele prezentate în acest articol. Apoi, la orice test de teorie a probabilităților, vei face față exemplelor fără sfaturi străine și foi de cheat.
Așteptarea matematică (valoarea medie) a unei variabile aleatoare X , dată pe un spațiu de probabilitate discret, este numărul m =M[X]=∑x i p i , dacă seria converge absolut.
Atribuirea serviciului. Cu un serviciu online se calculează așteptările matematice, varianța și abaterea standard(vezi exemplu). În plus, este reprezentat grafic un grafic al funcției de distribuție F(X).
Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare
- Așteptarea matematică a unei constante este egală cu ea însăși: M[C]=C , C este o constantă;
- M=C M[X]
- Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: M=M[X]+M[Y]
- Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: M=M[X] M[Y] dacă X și Y sunt independenți.
Proprietăți de dispersie
- Dispersia unei valori constante este egală cu zero: D(c)=0.
- Factorul constant poate fi scos de sub semnul de dispersie prin pătratul: D(k*X)= k 2 D(X).
- Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt independente, atunci varianța sumei este egală cu suma varianțelor: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt dependente: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Pentru varianță, formula de calcul este valabilă:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Exemplu. Sunt cunoscute așteptările și variațiile matematice ale a două variabile aleatoare independente X și Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Aflați așteptarea și varianța matematică a variabilei aleatoare Z=9X-8Y+7 .
Soluţie. Pe baza proprietăților așteptărilor matematice: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Pe baza proprietăților de dispersie: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritm pentru calcularea așteptării matematice
Proprietăți ale variabilelor aleatoare discrete: toate valorile lor pot fi renumerotate prin numere naturale; Atribuiți fiecărei valori o probabilitate diferită de zero.- Înmulțiți perechile unul câte unul: x i cu p i .
- Adunăm produsul fiecărei perechi x i p i .
De exemplu, pentru n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Exemplul #1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Aşteptarea matematică se găseşte prin formula m = ∑x i p i .
Așteptări matematice M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Dispersia se găsește prin formula d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersia D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Abaterea standard σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Exemplul #2. O variabilă aleatorie discretă are următoarea serie de distribuție:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Soluţie. Valoarea a se găsește din relația: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 sau 0,24=3 a , de unde a = 0,08
Exemplul #3. Determinați legea distribuției unei variabile aleatoare discrete dacă varianța ei este cunoscută și x 1
p1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96
Soluţie.
Aici trebuie să faceți o formulă pentru a găsi varianța d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
unde așteptarea m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pentru datele noastre
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
sau -9/100 (x 2 -20x+96)=0
În consecință, este necesar să găsiți rădăcinile ecuației și vor fi două dintre ele.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
O alegem pe cea care satisface condiția x 1
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
