Cea mai simplă generalizare a procesului Poisson se obține presupunând că probabilitățile de salt pot depinde de starea curentă a sistemului. Acest lucru ne aduce la următoarele cerințe.

Postulatele. (i) O tranziție directă de la starea este posibilă numai la starea . (ii) Dacă în momentul în care sistemul este în starea , atunci probabilitatea (condițională) a unui salt în intervalul de timp scurt următor dintre și este egală, în timp ce probabilitatea (condițională) a mai multor sărituri în acest interval este .

Trăsătură distinctivă Această presupunere este că timpul pe care sistemul îl petrece într-o anumită stare nu joacă niciun rol; sunt posibile schimbări bruște de stare, totuși, atâta timp cât sistemul este în aceeași stare, nu îmbătrânește.

Fie din nou probabilitatea ca în momentul în care sistemul să fie în starea . Aceste funcții satisfac sistemul ecuatii diferentiale, care poate fi derivat folosind argumentele secțiunii precedente, cu singura modificare care (5) din secțiunea anterioară este înlocuită cu

Astfel, obținem sistemul principal de ecuații diferențiale

(2)

În procesul Poisson, era firesc să presupunem că la momentul 0 sistemul părăsește starea inițială. Acum putem presupune un caz mai general în care sistemul părăsește o stare inițială arbitrară. Atunci obținem asta

Aceste condiții inițiale determină în mod unic soluția sistemului (2). (În special, ). Formulele explicite pentru au fost derivate independent de mulți autori, dar nu ne interesează.

Exemplu. dezintegrare radioactivă. Ca rezultat al emisiei de particule sau raze, un atom radioactiv, să zicem uraniul, se poate transforma într-un atom de alt fel. Fiecare vedere reprezintă o stare posibilă și, pe măsură ce procesul continuă, obținem o secvență de tranziții. Conform teoriilor fizice acceptate, probabilitatea de tranziție rămâne neschimbată în timp ce atomul este în starea , iar această ipoteză își găsește expresie în ipoteza noastră originală. Prin urmare, acest proces este descris prin ecuații diferențiale (2) (un fapt bine cunoscut de fizicieni). Dacă este starea finală din care nu sunt posibile alte tranziții, atunci sistemul (2) se termină la . (Când primim automat ).

Introducere

În această lucrare, vom lua în considerare o schemă de lanțuri Markov continue - așa-numita „schemă de moarte și reproducere”

Procesul de reproducere și moarte este un proces aleatoriu cu un set numărabil (finit sau infinit) de stări, care se desfășoară în timp discret sau continuu. Constă în faptul că oarecare sistem în momente aleatorii timpul trece de la o stare la alta, iar tranzițiile între stări se produc brusc atunci când apar anumite evenimente. De regulă, aceste evenimente sunt de două tipuri: unul dintre ele se numește condiționat nașterea unui obiect, iar al doilea - moartea acestui obiect.

Acest subiect este extrem de relevant datorită importanței ridicate a proceselor Markov în studiul proceselor economice, de mediu și biologice, în plus, procesele Markov stau la baza teoriei cozilor de așteptare, care este în prezent utilizată activ în diferite domenii economice, inclusiv managementul proceselor întreprinderii.

Procesele Markov de moarte și reproducere sunt utilizate pe scară largă în explicare diverse procese care apar în fizică, biosferă, ecosistem etc. Trebuie remarcat faptul că acest tip de procese Markov și-a primit numele tocmai datorită aplicării sale largi în biologie, în special, în modelarea morții și reproducerii indivizilor din diferite populații.

În această lucrare se va stabili o sarcină al cărei scop este de a determina așteptările matematice pentru unele procese de reproducere și moarte. Se vor da exemple de calculare a numărului mediu de solicitări în sistem în modul staționar și se vor face estimări pentru diferite cazuri de procese de reproducere și moarte.

Procesele de reproducere și moarte

Procesele de reproducere și moarte sunt un caz special de procese aleatorii Markov, care, cu toate acestea, sunt foarte utilizate pe scară largă în studiul sistemelor discrete cu o natură stocastică a funcționării. Procesul de reproducere și moarte este un proces aleatoriu Markov în care tranzițiile de la starea E i sunt permise numai la statele vecine E i-1 , E i și E i+1 . Procesul de reproducere și moarte este un model adecvat pentru descrierea modificărilor care au loc în volumul populațiilor biologice. Urmând acest model, se spune că un proces este în starea E i dacă dimensiunea populației este egală cu i membri. În acest caz, trecerea de la starea E i la starea E i+1 corespunde nașterii, iar trecerea de la E i la E i-1 corespunde morții, se presupune că volumul populației se poate modifica cu nu mai mult de un; aceasta înseamnă că pentru procesele de reproducere și moarte nu sunt permise nașteri și/sau decese simultane multiple.

Procesele discrete de reproducere și moarte sunt mai puțin interesante decât cele continue; prin urmare, în cele ce urmează nu sunt luate în considerare în detaliu și se acordă atenție principală proceselor continue. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că pentru procese discrete se efectuează calcule aproape paralele. Trecerea procesului de reproducere și moarte de la starea E i înapoi la starea E i prezintă interes direct doar pentru lanțurile Markov discrete; în cazul continuu, rata cu care procesul revine la starea curentă este infinită, iar acest infinit a fost eliminat și este definit după cum urmează:

În cazul unui proces de reproducere și moarte cu timp discret, probabilitățile de tranziții între stări

Aici d i este probabilitatea ca la următoarea etapă (în ceea ce privește populația biologică) să se producă un deces, reducând dimensiunea populației cu condiția ca la acest pas dimensiunea populației să fie egală cu i. În mod similar, b i este probabilitatea de naștere la pasul următor, rezultând o creștere a dimensiunii populației la; reprezintă probabilitatea ca niciunul dintre aceste evenimente să nu aibă loc și dimensiunea populației să nu se modifice la pasul următor. Sunt permise doar aceste trei posibilități. Este clar că, din moment ce moartea nu poate veni dacă nu are cine să moară.

Totuși, contrar intuiției, se presupune că, ceea ce corespunde posibilității de naștere atunci când nu există un singur membru în populație. Deși aceasta poate fi privită ca o naștere spontană sau o creație divină, dar în teoria sistemelor discrete, un astfel de model este o presupunere complet semnificativă. Și anume, modelul este următorul: populația este un flux de cerințe în sistem, moartea înseamnă plecarea unei cerințe din sistem, iar nașterea corespunde cu intrarea unei noi cerințe în sistem. Este clar că într-un astfel de model este foarte posibil ca o nouă cerere (naștere) să intre în sistemul liber. Matricea probabilității de tranziție pentru procesul general de reproducere și moarte are următoarea formă:

Dacă lanțul Markov este finit, atunci ultimul rând al matricei este scris ca ; aceasta corespunde faptului că nu este permisă reproducerea după ce populația atinge dimensiunea maximă n. Matricea T conține termeni zero doar pe diagonala principală și pe cele două diagonale cele mai apropiate de aceasta. Din cauza acestei forme particulare a matricei T, este firesc să ne așteptăm ca analiza procesului de reproducere și moarte să nu provoace dificultăți. Mai departe, vom lua în considerare numai procesele continue de reproducere și moarte, în care tranzițiile de la starea E i sunt posibile numai la stările vecine E i-1 (moarte) și E i+1 (naștere). Notează cu i intensitatea reproducerii; descrie rata cu care are loc reproducerea într-o populație de volum i. În mod similar, notăm cu i intensitatea morții, care determină ritmul cu care apare moartea într-o populație de volum i. Rețineți că ratele de reproducere și deces introduse nu depind de timp, ci depind doar de starea E i , prin urmare, obținem un lanț Markov continuu omogen de tipul reproducerii și morții. Aceste notații speciale sunt introduse deoarece conduc direct la notațiile acceptate în teoria sistemelor discrete. În funcție de notația introdusă anterior, avem:

i = q i,i+1 și i = q i,i-1 .

Cerința ca tranzițiile numai către cele mai apropiate state vecine să fie admisibile înseamnă că, pe baza faptului că

obținem q ii =-(i + i). Astfel, matricea intensităților tranzițiilor procesului general omogen de reproducere și moarte ia forma:

Rețineți că, cu excepția diagonalei principale și a diagonalelor adiacente acesteia, dedesubt și de deasupra, toate elementele matricei sunt egale cu zero. Graficul corespondent al intensității tranziției este prezentat în figura corespunzătoare (2.1):

Figura 2.1 - Graficul intensităților de tranziție pentru procesul de reproducere și moarte

O definiție mai precisă a unui proces continuu de naștere și moarte este următoarea: un proces este un proces de naștere și moarte dacă este un lanț Markov omogen cu un set de stări (E 0 , E 1 , E 2 , ...), dacă naşterea şi moartea sunt evenimente independente(aceasta rezultă direct din proprietatea Markov) și dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

(exact 1 naștere în intervalul de timp (t, t + Dt), mărimea populației este egală cu i) ;

(exact 1 deces în intervalul de timp (t, t + Dt) | mărimea populației este egală cu i);

= (exact 0 nașteri în intervalul de timp (t, t + Дt) | mărimea populației este egală cu i);

= (exact 0 decese în intervalul de timp (t, t + Дt) | mărimea populației este egală cu i).

Astfel, ?t până la este probabilitatea nașterii unui nou individ într-o populație de n indivizi și este probabilitatea decesului unui individ din această populație în timpul .

Probabilitățile de tranziție satisfac ecuațiile inverse ale lui Kolmogorov. Astfel, probabilitatea ca procesul continuu de reproducere și moarte la momentul t să fie în starea E i (mărimea populației este egală cu i) este definită ca (2.1):

Pentru a rezolva sistemul de ecuații diferențiale rezultat în cazul nestaționar, când probabilitățile P i (t), i=0,1,2,…, depind de timp, este necesar să se stabilească distribuția probabilităților inițiale P i (0), i=0,1,2 ,…, la t=0. În plus, condiția de normalizare trebuie îndeplinită.

Luați în considerare acum cel mai simplu proces de reproducere pură, care este definit ca un proces pentru care i = 0 pentru tot i. De asemenea, pentru a simplifica și mai mult problema, să presupunem că i = pentru toate i=0,1,2,... . Înlocuind aceste valori în ecuațiile (2.1) obținem (2.2):

Pentru simplitate, presupunem, de asemenea, că procesul începe la momentul zero cu termeni zero, adică:

Prin urmare, pentru P 0 (t) obținem soluția:

Înlocuind această soluție în ecuația (2.2) pentru i = 1, ajungem la ecuația:

Soluția acestei ecuații diferențiale are, evident, forma:

Aceasta este distribuția Poisson cunoscută. Astfel, un proces de reproducere pură cu intensitate constantă duce la o succesiune de nașteri care formează un flux Poisson.

De cel mai mare interes în termeni practici sunt probabilitățile stărilor procesului de reproducere și moarte în starea de echilibru. Presupunând că procesul are o proprietate ergodică, adică există limite

să trecem la definiția probabilităților limită P i . Ecuațiile pentru determinarea probabilităților regimului staționar pot fi obținute direct din (2.1), ținând cont că dP i (t)/dt = 0 pentru:

Sistemul de ecuații rezultat este rezolvat ținând cont de condiția de normalizare (2.4):

Sistemul de ecuații (2.3) pentru starea de echilibru a procesului de naștere și moarte poate fi compilat direct din graficul intensității tranziției din Figura 2.1, aplicând principiul egalității fluxurilor de probabilitate stărilor individuale ale procesului. De exemplu, dacă considerăm starea E i în stare staționară, atunci:

intensitatea fluxului de probabilităţi în şi

intensitatea fluxului de probabilități în afară.

Într-o stare de echilibru, aceste două fluxuri trebuie să fie egale și, prin urmare, obținem direct:

Dar aceasta este tocmai prima egalitate din sistem (2.3). A doua egalitate a sistemului poate fi obținută în mod similar. Aceleași argumente de conservare a fluxului care au fost date mai devreme pot fi aplicate fluxului de probabilități prin orice graniță închisă. De exemplu, în loc să izolați fiecare stare și să scrieți o ecuație pentru ea, puteți alege o secvență de contururi, primul dintre care acoperă starea E 0 , al doilea - starea E 0 și E 1 și așa mai departe, incluzând fiecare timp in frontiera noua urmatoarea stare. Atunci pentru circuitul i (starea mediului E 0 , E 1 ,..., E i-1) condiția păstrării fluxului de probabilități se poate scrie în următoarea formă simplă:

Egalitatea (2.5) poate fi formulată ca regulă: pentru cel mai simplu sistem reproducerea și moartea, care se află într-un mod staționar, fluxurile de probabilitate între oricare două state vecine sunt egale.

Sistemul de ecuații rezultat este echivalent cu cel derivat mai devreme. Pentru a compila ultimul sistem de ecuații, trebuie să trasați o linie verticală care separă statele învecinate și să echivalați fluxurile prin limita rezultată.

Soluția sistemului (2.5) poate fi găsită prin inducție matematică.

Pentru i=1 avem

Forma egalităţilor obţinute arată că decizie comună sistemul de ecuații (2.5) are forma:

sau, având în vedere că, prin definiție, produsul peste mulțimea goală este egal cu unu:

Astfel, toate probabilitățile P i pentru starea de echilibru sunt exprimate în termenii unei singure constante necunoscute P 0 . Egalitatea (2.4) dă o condiție suplimentară care face posibilă determinarea P 0 . Apoi, însumând peste tot i, pentru P 0 obținem (2.7):

Să ne întoarcem la întrebarea existenței probabilităților staționare P i . Pentru ca expresiile rezultate să specifice probabilități, se impune de obicei cerința ca P 0 >0. Acest lucru impune în mod evident o restricție asupra coeficienților de înmulțire și de moarte în ecuațiile corespunzătoare. În esență, necesită ca sistemul să fie golit ocazional; această condiție de stabilitate pare a fi destul de rezonabilă, dacă ne întoarcem la exemple viata reala. Dacă cresc prea repede în comparație cu, atunci se poate dovedi că, cu o probabilitate pozitivă la un timp finit t, procesul va părăsi spațiul fazelor (0,1, ...) la „un punct la infinit?” (vor fi prea mulți indivizi în populație). Cu alte cuvinte, procesul va deveni neregulat, iar apoi egalitatea (2.4) va fi încălcată. Definim următoarele două sume:

Pentru regularitatea procesului de reproducere și moarte este necesar și suficient ca S 2 = .

Pentru existența distribuției sale staționare este necesar și suficient ca S 1< .

Pentru ca toate stările E i ale procesului nașterii și morții luate în considerare să fie ergodice, este necesar și suficient ca seria S 1 să convergă< , при этом ряд должен расходиться S 2 = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям P i , i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются, например, когда, начиная с некоторого i, все члены последовательности {} ограничены единицей, т. е. тогда, когда существует некоторое i 0 (и некоторое С<1) такое, что для всех ii 0 выполняется неравенство:

Această inegalitate poate primi o interpretare simplă: pornind de la o stare E i și pentru toate stările ulterioare, intensitatea fluxului de reproducere trebuie să fie mai mică decât intensitatea fluxului de moarte.

Uneori în practică există procese de reproducere „pură”. Procesul de reproducere „pură” este un astfel de proces de moarte și reproducere, în care intensitatea tuturor fluxurilor morții este egală cu zero. Graficul de stare al unui astfel de proces fără limitare a numărului de stări este prezentat în Figura (2.2):

Figura 2.2 - Graficul intensităților de tranziție pentru procesul de reproducere „pură”.

Conceptul de moarte „pură” este introdus în mod similar. Procesul morții „pure” este un astfel de proces de moarte și reproducere, în care intensitățile tuturor fluxurilor de reproducere sunt egale cu zero. Graficul de stare al unui astfel de proces fără o limită a numărului de stări este prezentat în figură:

Figura 2.3 - Graficul intensităților de tranziție pentru procesul de moarte „pură”.

Sistemul ecuației Kolmogorov pentru astfel de procese poate fi obținut din sistemul de ecuații (2.1), în care este necesar să se stabilească toate intensitățile fluxurilor proceselor de moarte egale cu zero: .

Unul dintre cele mai importante cazuri de lanțuri Markov este cunoscut ca procesul de moarte și reproducere. Acest proces poate fi cu timp discret sau continuu, iar condiția care îl determină este ca doar tranzițiile către statele vecine să fie permise.

Luați în considerare procesul de moarte și reproducere cu timp continuu. Un astfel de proces este un model al schimbărilor în dimensiunea populației.

Procesul este în stat A ei, dacă volumul (numărul) populației este egal cu k; tranziție de stat Ek corespunde decesului unui membru al populației și trecerii la stat Ek+- naștere.

Acest proces poate fi privit ca un model QS în care Ek corespunde la cererile în sistem și trecerea la stat Ek- sau Ek+- părăsirea aplicației din sistem sau sosirea acesteia.

Pentru procesul de moarte și reproducere cu un set de stări 0, 1,2, ..., trebuie îndeplinite următoarele condiții:

Aici P(+i; bt; k)- probabilitate i nașteri de-a lungul timpului bt cu condiția ca mărimea populației să fie egală cu la; P(-i; bt; k)- probabilitate i moartea in aceleasi conditii.

Conform acestor condiții, nașterile multiple, anihilările multiple și nașterile și anihilările simultane într-un interval de timp mic sunt interzise în sensul că probabilitatea acestor evenimente multiple este de ordinul micii o(6r). Această proprietate rezultă din proprietatea distribuției exponențiale, așa cum sa arătat mai devreme.

Aflați probabilitatea ca mărimea populației la un moment dat să fie egală cu k p(k, t) = P.

Luați în considerare modificarea volumului populației în intervalul de timp (t, t+ 5/). La un moment dat t+bt procesul va fi în starea E la, dacă a avut loc unul dintre cele trei evenimente care se exclud reciproc și formează un grup complet de evenimente:

• 1) la momentul respectiv t mărimea populaţiei a fost A: iar în decursul timpului bt starea nu s-a schimbat;
• 2) la momentul de timp t mărimea populaţiei a fost la - 1 și pentru timp bt s-a născut un membru al populației;
• 3) la momentul respectiv t mărimea populaţiei a fost la+ 1 și pentru timp bt un membru al populației a murit.

Apoi probabilitatea ca la un moment dat t+bt procesul va fi în stat Ek, este egal cu

Egalitatea dată are sens numai atunci când la > Oh, deoarece o populație nu poate consta din (-1) membri. Egalitatea frontierei la la= O are forma:

În plus, condiția de normalizare trebuie îndeplinită

Separarea în ecuațiile (49.3) și (49.5) p(k)și împărțind prin bk primim

Trecerea la limita la bt-> 0, avem:

Astfel, procesul probabilistic considerat este descris printr-un sistem de ecuații diferențiale liniare. Aceste ecuații pot fi derivate direct din diagrama de stări (Figura 49.2).

Orez. 49.2.

Stat Ek indicat printr-un oval în care este scris numărul la. Tranzițiile între stări sunt indicate prin săgeți, care reprezintă intensitățile tranzițiilor.

Diferența dintre intensitatea cu care sistemul intră în stare ek, iar intensitatea cu care îl părăsește trebuie să fie egală cu intensitatea schimbării fluxului în acea stare.

Debitul pe stare

Debitul din stare ~

Diferența dintre ele este egală cu intensitatea efectivă a fluxului de probabilități în stare

Soluția pentru acest sistem este vedere generala imposibil. Modelul chiar și al unui sistem simplu este extrem de complex și greu de analizat. Dacă luăm în considerare mai mult SMO tip complex, atunci dificultățile de calcul vor fi și mai mari. Prin urmare, soluțiile sistemului (49.3) - (49.4) sunt de obicei considerate în stare staționară cu t-> oo, p "(k; t) -> 0,p(k,t) -> p(k)= const.

Procesul de reproducere pură

Pentru acest proces p*=0, A* = A = const. Poate fi considerat ca un model al fluxului de aplicații primite de QS. Sistemul de ecuații pentru acest proces are forma:

Fie condițiile inițiale următoarele:

Apoi iar la k= 1 obținem: exp

Soluția acestei ecuații este R(; /) \u003d A / exp (-AD) Prin inducție, putem obține asta

Astfel, probabilitățile sunt distribuite conform legii Poisson.

Procesul Poisson este esențial pentru studiul QS. Acest lucru se datorează, în primul rând, proprietăților sale analitice și probabiliste simplificatoare; în al doilea rând, descrie multe procese reale care sunt rezultatul efectului cumulativ al unui număr mare de evenimente individuale.

În teoria stării de așteptare, o clasă specială de procese aleatorii, așa-numitele procesul de moarte și reproducere. Denumirea acestui proces este asociată cu o serie de probleme biologice, unde este un model matematic de modificări ale numărului de populații biologice.

Graficul de stare al procesului de moarte și reproducere are forma prezentată în Fig. 15.4.

Orez. 15.4

Luați în considerare un set ordonat de stări ale sistemului De la stat, tranzițiile sunt posibile numai fie la stat, fie la stat.

Să presupunem că toate fluxurile de evenimente care traduc sistemul de-a lungul săgeților graficului sunt cele mai simple cu intensitățile corespunzătoare sau

Conform graficului prezentat în Fig. 15.4, alcătuim și rezolvăm ecuații algebrice pentru probabilitățile limită ale stărilor (existența acestora decurge din posibilitatea de trecere de la fiecare stare una la alta și din caracterul finit al numărului de stări).

În conformitate cu regula de compilare a unor astfel de ecuații (vezi 15.10), obținem: pentru starea S 0

pentru stat S,

Care, ținând cont de (15.12), se reduce la forma

În mod similar, prin scrierea ecuațiilor pentru probabilitățile limită ale altor stări, se poate obține următorul sistem de ecuații:

(15.14)

la care se adaugă condiţia de normalizare

Rezolvarea sistemului (15.14), (15.15), se poate obține

(15.16)

Este ușor de observat că în formulele (15.17) pentru coeficienții la există termeni după unitate în formula (15.16). Număratorii acestor coeficienți reprezintă produsul tuturor intensităților de la săgețile care duc de la stânga la dreapta la starea dată, iar numitorii sunt produsul tuturor intensităților de la săgețile care duc de la dreapta la stânga de la starea la.

15.4. Procesul morții și al reproducerii este reprezentat printr-un grafic (Fig. 15.5). Aflați probabilitățile limită ale stărilor.

Orez. 15.5

Soluţie. Prin formula (15.16) găsim

prin (15.17) adică într-un mod constant, staționar, în medie, 70,6% din timp, sistemul va fi în starea 5 (), 17,6% - în starea 5 și 11,8% - în starea S2.

CMO cu eșecuri

Ca indicatori ai eficacității QS cu eșecuri, vom lua în considerare:

DAR – debit absolut QS, adică numărul mediu de cereri deservite pe unitatea de timp;

Q este debitul relativ, acestea. ponderea medie a cererilor primite deservite de sistem;

R tk - probabilitatea de eșec acestea. faptul că cererea va lăsa CMO neservit;

k - numărul mediu de canale de virgulă(pentru sistem multicanal).

Sistem unic canal cu defecțiuni. Să luăm în considerare problema.

Există un canal, care primește un flux de solicitări cu intensitatea λ. Fluxul de servicii are intensitatea μ . Găsiți probabilitățile limită ale stărilor sistemului și indicatorii eficienței acestuia.

Sistemul 5 (QS) are două stări: 50 - canalul este liber, 5 - canalul este ocupat. Graficul de stare etichetat este prezentat în fig. 15.6.

Când modul de limitare, staționar al procesului este stabilit în QS, sistem ecuații algebrice pentru probabilitățile de stare are forma (vezi regula pentru compilarea unor astfel de ecuații la p. 370):

acestea. sistemul degenerează într-o singură ecuație. Ținând cont de starea de normalizare R 0+p x \u003d 1, găsim din (15.18) probabilitățile limită ale stărilor

(15.19)

care exprimă timpul relativ mediu pe care sistemul îl petrece în starea 50 (când canalul este liber) și 5 (când canalul este ocupat), adică. determina, respectiv, debitul relativ Q sisteme și probabilitatea de defecțiune:

Găsim debitul absolut înmulțind debitul relativ Q cu intensitatea fluxului de aplicații

15.5. Se știe că aplicațiile pentru convorbiri telefonice într-un studio de televiziune sunt primite cu o intensitate λ egală cu 90 de aplicații pe oră, iar durata medie a unei convorbiri telefonice este de min. Determinați indicatorii de performanță ai QS (comunicații telefonice) în prezența unui număr de telefon.

Soluţie. Avem λ = 90 (1/h), min. Intensitatea debitului de serviciu μ = 1/ίο6 = 1/2 = 0,5 (1/min) = 30 (1/h). Conform (15.20), capacitatea relativă a QS Q= 30/(90 + 30) = 0,25, adică în medie, doar 25% din aplicațiile primite vor fi conversații telefonice. În consecință, probabilitatea refuzului serviciului va fi R tk = 0,75 (vezi (15.21)). Lățimea de bandă absolută a QS dar (15.22) DAR= 90 ∙ 0,25 = 22,5, i.e. în medie, 22,5 cereri pentru negocieri vor fi deservite pe oră. Evident, cu un singur număr de telefon, CMO nu va putea face față bine fluxului de aplicații.

Sistem multicanal cu defecțiuni. Luați în considerare clasicul Problema Erlang.

Disponibil P canale care primesc un flux de cereri cu intensitatea λ. Fluxul de serviciu al fiecărui canal are intensitatea μ. Găsiți probabilitățile limită ale stărilor sistemului și indicatorii eficienței acestuia.

Sistem S(QS) are următoarele stări (le numerotăm în funcție de numărul de aplicații din sistem):

unde este starea sistemului când k aplicații, adică ocupat k canale.

Graficul de stare QS corespunde procesului de moarte și reproducere și este prezentat în Fig. 15.7.

Orez. 15.7

Fluxul de cereri transferă secvenţial sistemul din orice stare din stânga în cea din dreapta vecină cu aceeaşi intensitate λ. Intensitatea fluxului de servicii care transferă sistemul din orice stat din dreapta într-un stat vecin din stânga este în continuă schimbare în funcție de stat. Într-adevăr, dacă QS-ul este în stare S.,(două canale sunt ocupate), apoi poate trece în starea 5, (un canal este ocupat) atunci când primul sau al doilea canal termină deservirea, de exemplu. intensitatea totală a fluxurilor lor de serviciu va fi de 2μ. În mod similar, fluxul total de servicii, transferând QS-ul din starea 53 (trei canale sunt ocupate) în 52, va avea o intensitate de 3μ, adică. oricare dintre cele trei canale poate deveni liber și așa mai departe.

În formula (15.16) pentru schema morții și reproducerii, obținem pentru probabilitatea limită a stării

(15.23)

unde sunt termenii de expansiune vor fi coeficienţii pt R iar în expresii pentru limitarea probabilităţilor Valoare

numit intensitatea redusă a fluxului de aplicații, sau intensitatea încărcării canalului. Acesta exprimă numărul mediu de cereri care sosesc în timpul mediu de serviciu al unei cereri. Acum

(15.25)

Sunt denumite formulele (15.25) și (15.26) pentru probabilitățile marginale Formule Erlangîn onoarea întemeietorului teoriei cozilor.

Probabilitatea de eșec QS este probabilitatea marginală ca toate P canalele de sistem vor fi ocupate, de ex.

Debit relativ - probabilitatea ca aplicația să fie deservită:

(15.28)

Lățimea de bandă absolută:

(15.29)

In medie ( valorea estimata număr) canale ocupate:

unde /;, sunt probabilitățile limită ale stărilor determinate de formulele (15.25), (15.26).

Cu toate acestea, numărul mediu de canale ocupate poate fi găsit mai ușor dacă ținem cont de faptul că debitul absolut al sistemului DAR nu există altceva decât intensitatea fluxului deservite sistem de aplicare (pe unitate de timp). Deoarece fiecare canal ocupat servește în medie μ cereri (pe unitate de timp), numărul mediu de canale ocupate

sau, având în vedere (15.29), (15.24):

15.6. În condiţiile problemei 15.5, se determină numărul optim de numere de telefon într-un studio de televiziune, dacă condiţia optimităţii este satisfacerea unei medii la fiecare 100 de cereri mai puţin de 90 de cereri de negocieri.

Soluţie. Intensitatea sarcinii canalului conform formulei (15.24) p = 90/30 = 3, i.e. pe parcursul unei convorbiri telefonice medii (ca durata) 7rev = 2 min se primesc in medie 3 cereri de negocieri.

Vom crește treptat numărul de canale (numere de telefon) P= 2, 3, 4, ... și se determină prin formulele (15.25–15.29) pentru caracteristica de serviciu QS canal u rezultată. De exemplu, când P = 2 R 0 = \u003d (1 + 3 + 32/2!) „" \u003d 0,118 ≈ 0,12; Q \u003d 1 - (z2 / 2l) - 0,118 \u003d 0,47. A = 90 ∙ 0,47 = 42,3 etc. Valorile caracteristicilor QS sunt rezumate în tabel. 15.1.

Tabelul 15.1

Prin condiția de optimitate Q> 0,9, prin urmare, în studioul de televiziune este necesar să setați 5 numere de telefon (în acest caz Q= 0,90 - vezi tabel. 15.1). Totodată, pe oră vor fi deservite în medie 80 de cereri. (DAR= 80,1), iar numărul mediu de numere de telefon ocupate (canale) conform formulei (15,30) la = 80,1/30 = 2,67.

15.7. Centrul de calcul pentru utilizare colectivă cu trei calculatoare primește comenzi de la întreprinderi pentru lucrări de calcul. Dacă toate cele trei computere funcționează, atunci noua comandă primită nu este acceptată, iar întreprinderea este forțată să apeleze la un alt centru de calcul. Timpul mediu de lucru cu o singură comandă este de 3 ore.Intensitatea fluxului de aplicații este de 0,25 (1/h). Găsiți probabilitățile limită ale stărilor și indicatorii de performanță ai centrului de calcul.

Soluţie. După condiție n = 3, λ = 0,25 (1/h), ^ = 3 (h). Intensitatea debitului de serviciu μ=1/ίο6 =1/3 = 0,33. Intensitatea sarcinii computerului conform formulei (15,24) p \u003d 0,25 / 0,33 \u003d 0,75. Să găsim probabilitățile limită ale stărilor:

conform formulei (15,25) р0 = (1 + 0,75 + 0,752/2! + 0,753/3!) = 0,476;

conform formulei (15,26) p, \u003d 0,75 0,476 \u003d 0,357; R 2 \u003d (θ,752 / 2ΐ)χ xO,476 \u003d 0,134; R 3 \u003d (θ,753 / 3ΐ) 0,476 \u003d 0,033, adică în modul staționar al centrului de calcul, în medie, 47,6% din timp nu există o singură aplicație, 35,7% - există o aplicație (un computer este ocupat), 13,4% - două aplicații (două calculatoare), 3,3% - trei aplicații (trei computere sunt ocupate).

Probabilitatea de eșec (când toate cele trei computere sunt ocupate), astfel, Rtk = R 3 = 0,033.

Conform formulei (15.28), debitul relativ al centrului<2= 1 – 0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

Conform formulei (15.29), debitul absolut al centrului DAR= 0,25-0,967 = 0,242, adică 0,242 aplicații sunt servite în medie pe oră.

Conform formulei (15,30), numărul mediu de calculatoare ocupate la= = 0,242/0,33 = 0,725, adică fiecare dintre cele trei computere va fi ocupat cu aplicații de service cu o medie de doar 72,5/3 = 24,2%.

La evaluarea eficienței centrului de calcul, este necesar să comparăm veniturile din executarea cererilor cu pierderile din timpul de nefuncționare a calculatoarelor scumpe (pe de o parte, avem un randament ridicat al QS-ului, iar pe de altă parte , un timp de nefuncționare semnificativ al canalelor de servicii) și alegeți un compromis soluţie.

Să luăm în considerare încă o schemă tipică a lanțurilor Markov continue - așa-numita schemă a morții și a reproducerii, care este adesea întâlnită în diferite probleme practice.

Procesul Markov cu stări discrete S 0 , S 1 , ..., S n numit proces moartea și reproducerea, dacă toate stările pot fi trase într-un singur lanț, în care fiecare dintre stările de mijloc ( S1, S2, ...,
Sn-1) poate merge numai în statele vecine, care, la rândul lor, se întorc, iar statele extreme ( S 0 și S n) merg numai în statele vecine (Fig. 3.7).

Denumirea este luată de la problemele biologice, unde starea populației Skînseamnă că conține k unități ale indivizilor.

Tranziția spre dreapta este asociată cu reproducerea unităților, iar spre stânga - cu moartea lor.

Orez. 3.7. Graficul de stat pentru procesul de moarte și reproducere

l 0 (t), l 1 (t), l 2 (t), …, l n (t)- intensitatea reproducerii;

m 1 (t), m 2 (t), …, m n (t)- intensitatea morții.

La lși μ indicele stării din care iese săgeata.

Cu statul Sk variabila nealeatoria asociata X k: dacă sistem S atunci t este într-o stare Sk, apoi variabila aleatoare discretă X(t), asociat cu funcționarea sistemului, ia valoarea k. Astfel, obținem un proces aleatoriu X(t), care la întâmplare, momente de timp necunoscute anterior își schimbă brusc starea.

procesul Markov moartea şi reproducerea cu timp continuu este un proces aleatoriu care poate lua numai valori întregi nenegative. Modificările în acest proces pot avea loc în orice moment, adică în orice moment poate fie să crească cu unu, fie să scadă cu unul, fie să rămână neschimbat.

În practică, există procese de reproducere pură și moarte pură. Procesul de reproducere pură este un astfel de proces de moarte și reproducere, în care intensitățile tuturor fluxurilor morții sunt egale cu zero; în mod similar, procesul de „moarte” pură este un astfel de proces de moarte și reproducere, în care intensitățile tuturor fluxurilor de reproducere sunt egale cu zero.

Exemplul 1 Luați în considerare funcționarea modelelor de mașini de aceeași marcă într-o companie mare de transport (la întreprindere). Intensitatea sosirii mașinilor la întreprindere este egală cu l(t). Fiecare mașină primită de întreprindere este anulată după un timp aleatoriu T c. Durata de viață a vehiculului t distribuite conform legii exponenţiale cu parametrul m. Procesul de funcționare a mașinii este un proces aleatoriu. La)- numărul de mașini ale acestei mărci care sunt în funcțiune la momentul respectiv t. Să găsim legea distribuției unidimensionale a procesului aleatoriu P i (t) = P(A(t) = i), dacă: 1) nu există restricții privind numărul de mașini în funcțiune, 2) întreprinderea poate opera cel mult n mașini.

Soluţie.

1. Un proces aleatoriu de funcționare a mașinii este un proces de moarte și reproducere, al cărui grafic etichetat este prezentat în fig. 3.8.

Orez. 3.8. Graficul de stat

Sistemul de ecuații Kolmogorov corespunzător acestui grafic are forma

Unde i = 1, 2, …

Daca la momentul initial t= 0 nu a existat o singură mașină la întreprindere, atunci acest sistem de ecuații trebuie rezolvat în condițiile inițiale P 0 (0) = 1, Pi (0) = 0 (i= 1, 2, …). Eu gras t= 0 k mașini ( k= 1, 2, ...), atunci condițiile inițiale vor avea forma

P k (0) = 1, Pi (0) = 0 (i = 1, 2, …, eu ¹ k).

2. Dacă întreprinderea poate opera nu mai mult de n mașini de modele de aceeași marcă, atunci există un proces de moarte și reproducere cu un număr limitat de stări, al cărui grafic etichetat este prezentat în Fig. 3.9.

Orez. 3.9. Graficul de stat

Sistemul de ecuații Kolmogorov pentru un grafic etichetat (Fig. 3.9) are forma (3.4).

Acest sistem trebuie rezolvat în condițiile inițiale discutate mai sus. Soluțiile sistemelor de ecuații (3.4) și (3.5) sunt legi de distribuție unidimensională P i (t). Găsirea de soluții la sisteme într-o formă generală pentru o formă arbitrară a unei funcții l(t) prezintă dificultăţi considerabile şi nu are aplicaţii practice.

La intensități constante ale fluxurilor de moarte și reproducere și un număr finit de stări, va exista un regim staționar. Sistem S cu un număr finit de stări ( n+ 1), în care procesul morții și reproducerii se desfășoară cu intensități constante ale fluxurilor morții și reproducerii, este cel mai simplu sistem ergodic. Graficul de stare etichetat pentru un astfel de sistem este prezentat în Fig. 3.9.

Probabilitățile limită (finale) ale stărilor pentru cel mai simplu proces ergodic de moarte și reproducere, care se află într-un mod staționar, sunt determinate de următoarele formule:

Regulă. Probabilitate k-a stare din schema morții și reproducerii este egală cu o fracțiune, al cărei numărător este produsul tuturor intensităților de reproducere din stânga Sk, iar în numitor - produsul tuturor intensităților morții la stânga Skînmulțit cu probabilitatea stării macaralei la stânga a sistemului P0.

În exemplul anterior pentru un mod staționar, dacă intensitatea sosirilor de mașini este constantă ( l(t) = l = const), atunci probabilitățile finale ale statelor, cu condiția să nu existe restricții privind numărul de mașini din întreprindere, sunt egale cu

În același timp, așteptarea matematică a numărului de mașini operate este egală cu varianța sa:

M=D=l/m. (3.10)

Dacă există o limită a numărului de mașini din întreprindere (nu mai mult de n), atunci probabilitățile finale se pot scrie după cum urmează:

Unde ρ = l/m.

Unde k = 0, 1, 2, ..., n.

Așteptări matematice ale numărului de vehicule operate în regim staționar

Exemplul 2 Linia de producție include patru mașini. O echipă de patru personal de service efectuează întreținerea preventivă a fiecăruia dintre ei. Fluxul total de momente de finalizare a reparațiilor pentru întreaga echipă este Poisson cu intensitate l(t). După finalizarea reparației, mașina este verificată; cu probabilitate R se dovedește a fi operabil (timpul de verificare este scurt și poate fi neglijat în comparație cu timpul de întreținere preventivă). Dacă mașina se dovedește a fi inoperabilă, atunci se efectuează din nou întreținerea preventivă (timpul pentru care nu depinde dacă a fost efectuată mai devreme), etc. La momentul inițial, toate mașinile au nevoie de întreținere preventivă. Necesar:

1. Construiți un grafic de stare pentru sistem S(patru mașini).

2. Scrieți ecuații diferențiale pentru probabilitățile de stare.

3. Aflați așteptarea matematică a numărului de mașini M t, succesul celor care au suferit până atunci profilaxie t.

Soluţie.

Graficul de stare este prezentat în fig. 3.10, în care:

S 0 - toate cele patru mașini au nevoie de întreținere preventivă;

S1- o mașină a trecut cu succes întreținerea preventivă, iar trei necesită întreținere preventivă;

S2- două utilaje au trecut cu succes întreținerea preventivă, iar două au nevoie de întreținere preventivă;

S3– trei utilaje au trecut cu succes întreținerea preventivă, una are nevoie de întreținere preventivă;

S4– toate cele patru mașini au trecut cu succes întreținerea preventivă.

Orez. 3.10. Graficul stării sistemului

Fiecare întreținere preventivă este finalizată cu succes cu o probabilitate P, care este echivalent P- transformarea fluxului de finalizari reparatii, dupa care va ramane Poisson, dar cu intensitate pl(t). În acest exemplu, avem de-a face cu un proces de multiplicare pur cu un număr limitat de stări.

Ecuațiile lui Kolmogorov au următoarea formă:

Condiții inițiale P 0 (0) = 1, P 1 (0) = … = P 4 (0)= 0. La intensitate constantă l(t) = l iar probabilitățile de stare sunt determinate de următoarele formule:

Așteptările matematice ale numărului de discuri care au suferit cu succes întreținere preventivă până la momentul t este egală cu

Unde n = 4.

Exemplul 3 Luați în considerare producția de mașini într-o fabrică. Fluxul de mașini produse este un Poisson nestaționar cu intensitate l(t). Să găsim legea unidimensională a distribuției procesului aleator X(t)- numărul de vehicule produse de timp t, dacă în acest moment t= 0 a început producția de mașini.

Soluţie

Este evident că aici procesul de reproducere pură fără restricții asupra numărului de stări, în timp ce l i (t) = l(t), întrucât intensitatea producției de mașini nu depinde de câte dintre ele au fost deja produse. Graficul de stare al unui astfel de proces este prezentat în Fig. 3.11.

Orez. 3.11. Graficul de stat

Legea distribuției unidimensionale a unui proces aleatoriu X(t) pentru graficul prezentat în fig. 3.11 este determinată de următorul sistem de ecuații Kolmogorov:

De la numărul de mașini produse X(t) pentru orice moment fix t distribuit conform legii Poisson cu parametrul

M = D = a(t).

Procesul descris în acest exemplu X(t) numit procesul Poisson neomogen. Dacă intensitatea l(t) = l = const, apoi primim proces Poisson omogen. Pentru un astfel de proces, P 0 (0) = 1, P i (0) = 0 (i > 0)

Caracteristicile procesului Poisson vor fi

M = D = l×t.

Sarcina 1. Există un dispozitiv care constă din patru noduri; fluxul de defecțiuni este cel mai simplu, timpul mediu de funcționare fără defecțiuni a fiecărui nod este de 11 ore. Nodul defectat începe imediat să fie reparat; Timpul mediu de reparare pentru un nod este de 2 ore. (fluxul de recuperare este cel mai simplu). Găsiți performanța medie a dispozitivului, dacă cu patru noduri de lucru este 100%, cu trei 60%, cu două sau mai puțin dispozitivul nu funcționează deloc.