Materialul teoretic pe această temă este prezentat la p. 228-236 din această publicație.

Exemplul 30. Verificați dacă un câmp vectorial este

a) potențial; b) solenoidal. Dacă câmpul este potențial, găsiți-i potențialul.

Soluţie. A) Găsiți rotorul de câmp

Prin urmare, domeniul este potențial.

B) Aflați divergența câmpului

Prin urmare, câmpul nu este solenoidal.

B) Deoarece , potențialul câmpului poate fi calculat folosind formula

Integrala de linie a diferenţialului total nu depinde de calea de integrare. Aici este convenabil să luăm originea coordonatelor ca punct de plecare. Ca cale de integrare luăm linia întreruptă OAVM(Fig. 17).

Orez. 17

1. Pe segment deci

2. Pe segmentul de aici

3. Pe segmentul de aici

Deci, unde este o constantă arbitrară.

In cele din urma,

Sarcinile de testare nr. 5-8

Numerele sarcinilor sunt selectate dintr-un tabel în conformitate cu ultimele două cifre ale codului și prima literă a numelui de familie. De exemplu, elevul Ivanov, cod 1-45-5815, rezolvă problemele 5, 15, 21,31 în testul 5, problemele 45, 51, 61, 71 în testul 6, problemele 85, 91 în testul 7, 101, 111, în testul 8 - probleme 125.135.141.151.

Ultima cifră a cifrului
Numărul testului
Penultima cifră a codului
Numărul testului
Prima literă a numelui de familie	A, I T	B,OC	V,NH	G, FYA	D, ZL	E,MR	F, MF	K E	P	U, SHYU
Numărul testului

Testul nr. 5

În problemele 1-10, găsiți soluția generală a ecuației diferențiale de ordinul întâi

În problemele 11-20, găsiți soluția generală sau integrala generală a unei ecuații diferențiale de ordinul doi

În problemele 21-30, găsiți soluția generală a ecuațiilor liniare de ordinul doi

În problemele 31-40, găsiți regiunea de convergență a seriei de puteri

Testul nr. 6

În problemele 41-50, extindeți funcția într-o serie Maclaurin, determinați domeniul de convergență al seriei

În problemele 51-60, construiți domeniul integrării și schimbați ordinea integrării

61. Calculați aria suprafeței unei părți a unei sfere , tăiat cu cilindru si avionul .

62. Calculați aria unei plăci plate delimitate de liniile: și (în afara parabolei).

63. Calculați aria suprafeței cilindrului, tăiată de avioane.

64. Aflați volumul unui corp delimitat de suprafețe , , , , .

65. Aflați volumul unui corp delimitat de suprafețe: și , situată în primul octant la .

66. Găsiți aria unei plăci plate delimitate de linii, .

67. Determinați aria părții cercului situată în afara cercului (utilizați coordonatele polare).

68. Calculați masa unei plăci plate omogene (),

mărginită de un cerc și drepte și .

69. Aflați masa unei plăci cu densitate , mărginită de linii , , .

70. Aflați masa plăcii cu densitate , dat de inegalitățile: .

În problemele 71-80, calculați integralele curbilinii de-a lungul curbei:

Testul nr. 7

În problemele 81-86, extindeți funcțiile într-o serie Fourier; reprezentați grafic o funcție dată

81.

82.

83.

84.

85.

86.

În problemele 87, 88, extindeți funcția într-o serie Fourier în termeni de sinusuri; desenați un grafic al funcției date.

87.

88.

În problemele 89.90, extindeți funcția într-o serie Fourier în cosinus; desenați un grafic al funcției date.

89.

90.

În problemele 91-95, rezolvați ecuația de undă pe un segment dat cu condiții la limită folosind metoda Fourier și date condiții inițiale.

91.

93.

95.

În problemele 96-100, rezolvați ecuația conducției căldurii pe un segment dat folosind metoda Fourier pentru o condiție inițială și condiții la limită date. .

96.

97.

98.

99.

100.

În problemele 101-106, se calculează integrala triplă asupra ariei T, dat de inegalități. Faceți un desen.

103.
(la calcularea integralelor, mergeți la coordonatele cilindrice).

105. (la calcularea integralelor, mergeți la coordonatele cilindrice).

În problemele 107-110, găsiți masa unui corp dată de inegalități și având o densitate dată. Faceți un desen.

108. (la calcularea integralei triple, mergeți la coordonatele cilindrice).

110. (la calcularea integralei triple, treceți la coordonatele cilindrice).

În problemele 111-120, se calculează integrala de suprafață. Faceți un desen al suprafeței.

111. unde face parte din avion limitat de planuri de coordonate.

112. - partea superioară a unei părți a unui cilindru parabolic, delimitată de un cilindru circular si avionul. Când calculați integrala peste, mergeți la coordonatele polare.

113. - o parte din suprafața cilindrului limitată de planuri

114. , unde face parte din suprafața conului , limitat de planuri și (la calculul integralei duble, mergeți la coordonatele polare).

115. , - parte dintr-un cilindru circular delimitat de plane

116. - partea superioară a părții conului , limitat de avioane . Când calculați integrala peste, mergeți la coordonatele polare.

117. , unde este partea superioară a sferei . Când calculați o integrală dublă, mergeți la coordonatele polare.

118. , unde este partea superioară a părții plane , limitat de planuri de coordonate.

119. , - parte dintr-un cilindru parabolic limitat de planuri de coordonate și de plan.

120. ; - partea superioară a unei părți a unui cilindru circular, delimitată de un cilindru circular și avion Mergeți la coordonatele polare.

Testul nr. 8

În problemele 121-130, găsiți gradientul câmpului scalar și verificați dacă câmpul scalar este armonic.

În problemele 131-135, găsiți fluxul câmpului vectorial prin partea de suprafață situată în primul octant în direcţia normalei formând un unghi ascuţit cu axa. Faceți un desen.

În problemele 136-140, utilizați teorema lui Ostrogradsky pentru a calcula fluxul câmpului vectorial către normala exterioară prin suprafața corpului aflat în primul octant. și limitată de o suprafață dată și planuri de coordonate. Faceți un desen.

În problemele 141-150, calculați circulația câmpului vectorial de-a lungul traseului de intersecție cu planurile de coordonate ale acelei părți a suprafeței care se află în primul octant . - punctele de intersecţie ale suprafeţei cu axele, respectiv. Faceți un desen.

În problemele 141-145, calculați circulațiile folosind teorema lui Stokes.

În problemele 146-150, calculați circulația folosind definiția acesteia.

În problemele 151-160, verificați dacă câmpul vectorial este: a) potențial, b) solenoidal. Dacă câmpul este potențial, găsiți-i potențialul.

152.

155.

Controlul curentului

Sarcini de testare

1. Determinați care ecuație are următoarea soluție .

A) b) V)

2. Determinați ecuația caracteristică pentru ecuația diferențială

a) b) V)

3. Determinați la ce valoare va converge seria de puteri folosind testul lui D’Alembert .

4. Formulați o interpretare geometrică a integralei duble.

5. Formulați o interpretare geometrică a integralei triple.

6. Determinați semnul potențialității unui câmp vectorial:

a B C)

Controlul final

Întrebări pentru pregătirea examenului de matematică

(semestrul III)

Ecuatii diferentiale

1. Definiția unei ecuații diferențiale obișnuite, ordinea și soluția acesteia. Ecuație diferențială de ordinul întâi, câmp de direcție, izocline.

2. Problemă Cauchy pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi. Teorema existenței și unicității unei soluții la problema Cauchy.

3. Determinarea soluției generale și particulare (integrale) a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi.

4. Ecuația cu variabile separabile, integrarea ei.

5. Ecuația liniară de ordinul întâi, integrarea ei.

6. Ecuație diferențială omogenă de ordinul întâi, integrarea ei.

7. Ecuația diferențială n-a ordine. Problemă Cauchy pentru ecuația diferențială n-a ordine. Teorema de existență și unicitate pentru rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuație n-a ordine.

8. Determinarea soluțiilor generale și particulare ale unei ecuații diferențiale n-a ordine. Integrarea unei ecuații de formă.

9. Ecuații care permit o scădere în ordine. Metodă de integrare a unei ecuații de forma , unde k< n.

10. Metoda de integrare a ecuatiilor de forma .

11. Definirea unei ecuații diferențiale liniare n-a ordine. Ecuație liniară omogenă. Proprietăți ale soluțiilor unei ecuații liniare omogene.

12. Definirea funcţiilor liniar dependente şi liniar independente. Exemple.

13. Determinarea sistemului fundamental de soluții la o ecuație liniară omogenă. Teoremă privind structura soluției generale a unei ecuații liniare omogene n-a ordine.

14. Teoremă privind structura soluției generale a unei ecuații liniare neomogene n-a ordine.

15. Ecuație liniară omogenă cu coeficienți constanți. Metoda lui Euler, ecuație caracteristică.

16. Construirea unui sistem fundamental de soluții și a unei soluții generale a unei ecuații liniare omogene n-de ordinul în cazul rădăcinilor reale distincte ale ecuației caracteristice. Exemplu.

17. Construirea unui sistem fundamental de soluții și a unei soluții generale a unei ecuații liniare omogene n-de ordinul în cazul rădăcinilor conjugate complexe ale ecuației caracteristice. Exemplu.

18. Construirea unui sistem fundamental de soluții și a unei soluții generale a unei ecuații liniare omogene n-de ordinul în cazul rădăcinilor reale egale ale ecuației caracteristice. Exemplu.

19. Regula pentru găsirea unei anumite soluții la o ecuație liniară neomogenă cu coeficienți constanți dacă partea dreaptă are forma , unde este un polinom de grad .

20. Regula pentru găsirea unei anumite soluții la o ecuație liniară neomogenă cu coeficienți constanți, dacă partea dreaptă are forma , unde .

21. Metoda de rezolvare a unei ecuații diferențiale neomogene liniare de formă (principiul suprapunerii).

22. Sistem de ecuații diferențiale liniare în formă normală. Problema Cauchy. Teorema existenței și unicității unei soluții la problema Cauchy. Determinarea soluțiilor generale și particulare ale sistemului. Metoda de eliminare pentru sisteme normale de ecuații diferențiale.

23. Sisteme de ecuații diferențiale liniare. Proprietățile soluțiilor. Rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți.

Rânduri

24. Seria de numere. Definiție n-a-a sumă parțială a seriei. Concepte de convergență și divergență a unei serii de numere. Suma unei serii convergente. Seria geometrică.

25. Proprietăţile serii convergente: înmulţirea unei serii cu un număr, adunarea serii termen cu termen.

26. Restul rândului. Teorema privind convergența simultană a unei serii și a restului acesteia.

27. Un semn necesar de convergență a unei serii. Ilustrare a insuficienței sale cu un exemplu.

28. Serii pozitive. O condiție necesară și suficientă pentru convergența unei serii pozitive.

29. Primul și al doilea semn de comparare a seriilor pozitive.

30. Semnul lui D'Alembert.

31. Testul Cauchy integral.

32. Serii armonice generalizate, unde p– orice număr real. Comportamentul serialului la p<1, p=1, p>1.

33. Serii alternante. Convergență absolută și non-absolută. Teorema privind convergența unei serii absolut convergente.

34. Testul lui Leibniz pentru convergența unei serii alternative. Estimarea erorii absolute la înlocuirea sumei unei serii convergente cu suma primei n

42. Serii binomiale pentru funcție.

Definiția 27. Câmp vectorial A = {A X , A y , A z) se numește potenţial, dacă este vector A este gradientul unei funcții scalare u = u(X, y, z) :

A = grad u = . (119)

În acest caz, funcția Și numit potenţial a acestui câmp vectorial.

Exemple de câmpuri potențiale sunt câmpul gravitațional al unei mase punctuale T, plasat la origine, câmpul electric al unei sarcini punctuale e, situat la origine, și altele.

Să aflăm în ce condiții un câmp vectorial este potențial.

Din moment ce din (119) rezultă că
Acea

întrucât derivata mixtă de ordinul doi nu depinde de ordinea diferențierii. Din aceste egalități obținem cu ușurință că

putrezi A = 0 – (120)

condiție pentru potențialul unui câmp vectorial.

Definiția 28. Câmp vectorial A = {A X , A y , A z), pentru care putrezesc A = 0, numit irotaţional.

Din argumentele anterioare rezultă că orice câmp potențial este irotațional. De asemenea, se poate demonstra contrariul, adică că orice câmp irotațional este un câmp potențial.

Exemplul 30.

Determinați dacă un câmp vectorial este potențial. Dacă răspunsul este pozitiv, găsiți-i potențialul Și sub presupunerea că la origine Și = 0.

Să calculăm derivatele parțiale ale funcțiilor,

Prin urmare,
adică gura F = 0 – condiția (120) este îndeplinită, iar câmpul este potențial.

8. Câmpuri vectoriale solenoidale și armonice

Definiția 29. Câmp vectorial A = {A X , A y , A z) se numește solenoidalîn zonă D, dacă în fiecare punct al acestei zone

div A = 0. (121)

cometariu. Deoarece divergenţa caracterizează densitatea surselor de câmp A , apoi în regiunea în care câmpul este solenoidal nu există surse ale acestui câmp. Un exemplu de câmp solenoidal este câmpul unei sarcini punctiforme eîn toate punctele, cu excepția punctului în care se află încărcătura.

Condiția ca câmpul să fie solenoidal este cerința ca vectorul A este bucla unui vector ÎN : A = putrezire B . Să demonstrăm.

Într-adevăr, dacă , atunci

div A =

Definiția 30. Câmp scalar definit de o funcție u = u(X, y, z) , numit armonicîntr-o anumită zonă, dacă funcția Șiîn această regiune satisface ecuația Laplace: Δ Și = 0.

Exemple: funcție liniară, potențial de câmp electric al unei sarcini punctuale sau câmp gravitațional al unei mase punctuale.

Literatură

Fikhtengolts G.M. Curs de calcul diferențial și integral. M.: Nauka, 1969.

Kudryavtsev L.D. Curs scurt de analiză matematică. M.: Nauka, 1989.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analiza matematică.

M.: Nauka, 1999.

Smirnov V.I. Curs de matematică superioară.- T.2. M.: Nauka, 1965.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Ecuatii diferentiale. Integrale multiple. Rânduri. Funcțiile unei variabile complexe. M.: Nauka, 1981.

Piskunov N.S. Calcul diferențial și integral. – T.2. M.: Nauka, 1981.

Culegere de probleme de matematică pentru colegii. Secțiuni speciale de analiză matematică (sub conducerea lui A.V. Efimov și B.P. Demidovich). – T.2. M.: Nauka, 1981.

Myshkis A.D. Prelegeri de matematică superioară. M.: Nauka, 1973.

Teorema 1. Pentru ca un câmp vectorial specificat în regiunea T să fie solenoidal, este necesar și suficient ca acest câmp să fie câmpul rotor al unui anumit vector, adică. astfel încât să existe un vector care satisface condiția în toate punctele regiunii T

Dovada. Adecvarea.

Avem Necesitate.

Lăsa

Să găsim o funcție astfel încât

Mai jos vom arăta că funcția nu este definită în mod unic, astfel încât acestei funcții pot fi impuse condiții suplimentare. Lăsa

Să selectăm funcții

Să arătăm că aceste funcții satisfac sistemul de ecuații (1). Intr-adevar avem

Într-adevăr, funcția construită satisface condiția

Funcția se numește potențial vectorial.

La demonstrarea teoremei, am propus o metodă care ne permite să determinăm potențialul vectorial al câmpului.

Observație 1. Dacă funcția este un potențial vectorial al câmpului, atunci funcția

Teorema 1. Pentru ca un câmp vectorial specificat în regiunea T să fie solenoidal, este necesar și suficient ca acest câmp să fie câmpul rotor al unui anumit vector, adică. astfel încât să existe un vector care satisface condiția în toate punctele regiunii T

unde este o funcție scalară arbitrară și este, de asemenea, potențialul vectorial al câmpului.

În consecință, potențialul vectorial este determinat în mod ambiguu.

Exemplul 1: Arătați că un câmp

Soluţie. Avem.

Să calculăm

Funcția găsită este potențialul vectorial dorit. Să verificăm această afirmație, adică hai sa gasim rotorul:

Condiția este îndeplinită. Este ușor de verificat că potențialul vectorial al acestui câmp poate fi o funcție mai simetrică

Exemplul 2: Arătați că un câmp

Exemplul 1: Arătați că un câmp

Soluţie. Avem.

solenoidală și găsiți potențialul vectorial al acestui câmp.

Condiția este îndeplinită. Este ușor de verificat că potențialul vectorial al acestui câmp poate fi funcții mai simetrice

Din exemplele date este clar că expresiile pentru potențialul vectorial pentru același câmp pot diferi semnificativ. Acest lucru se datorează faptului că gradientul oricărei funcții scalare poate fi adăugat la potențialul vectorial găsit.

Teoria câmpului

De asemenea cunoscut ca si analiza vectoriala. Și pentru unii, analiza vectorială, cunoscută sub numele de teoria câmpului =) În sfârșit, am ajuns la acest subiect interesant Această secțiune de matematică superioară nu poate fi numită simplă, totuși, în articolele viitoare voi încerca să ating două obiective:

a) pentru ca toată lumea să înțeleagă despre ce este vorba în conversație;

b) și pentru ca „manechinii” să învețe să rezolve, cel puțin, lucruri simple – cel puțin la nivelul sarcinilor care sunt oferite studenților cu fracțiune de normă.

Toate materialele vor fi prezentate într-un stil popular, iar dacă aveți nevoie de informații mai riguroase și complete, puteți lua, de exemplu, volumul 3 din Fichtenholtz sau vă uitați la Wiki.

Și să descifrăm imediat titlul. Cu teoria, cred că totul este clar - în cele mai bune tradiții ale site-ului, ne vom analiza elementele de bază și ne vom concentra pe practică. Ei bine, cu ce asociați cuvântul „câmp”?

Teren de iarbă, teren de fotbal... Mai mult? Domeniu de activitate, domeniu de experimente. Salutări umaniștilor! ...De la un curs de școală? Câmp electric, magnetic, electromagnetic..., bine. Câmpul gravitațional al Pământului în care ne aflăm. Grozav! Deci, cine a spus asta despre teren? valabilȘi numere complexe? ... niște monștri s-au adunat aici! =) Din fericire algebră A trecut deja.

În lecțiile următoare ne vom familiariza cu un concept specific câmpuri, exemple specifice din viață și, de asemenea, învață cum să rezolvi probleme tematice ale analizei vectoriale. Teoria câmpului este cel mai bine studiată, după cum ghiciți corect, într-un câmp - în natură, unde există o pădure, un râu, un lac, o casă de sat și invit pe toată lumea să se cufunde, dacă nu în realitatea caldă de vară, apoi în amintiri plăcute:

Câmpurile în sensul considerat astăzi sunt scalarȘi vector, și vom începe cu „blocurile lor de construcție”.

In primul rand, scalar. Destul de des, acest termen este identificat în mod eronat număr. Nu, lucrurile stau puțin diferit: scalar este o cantitate, fiecare valoare poate fi exprimată doar un număr. Există o mulțime de exemple în fizică: lungime, lățime, suprafață, volum, densitate, temperatură etc. Toate acestea sunt mărimi scalare. Și, apropo, masa este, de asemenea, un exemplu.

În al doilea rând, vector. Am atins definiția algebrică a unui vector în lecția despre transformări liniareși una dintre încarnările sale private Pur și simplu este imposibil să nu știi=) Tipic vector este exprimat două sau mai multe numere(cu coordonatele tale). Și chiar și pentru un vector unidimensional un singur număr insuficient– din motivul că vectorul are și o direcție. Și punctul de aplicare dacă vectorul nu singur. Vectorii caracterizează câmpurile de forță fizică, viteza și multe alte cantități.

Ei bine, acum puteți începe să recoltați castraveți de aluminiu:

Câmp scalar

Dacă fiecare un moment dat zone de spatiu i se atribuie un anumit număr (de obicei real), apoi se spune că în acest domeniu se dă câmp scalar.

Luați în considerare, de exemplu, o perpendiculară care emană de pe pământ Ray. Bagă o lopată pentru claritate =) Ce câmpuri scalare pot intreba pe raza asta? Primul lucru care îmi vine în minte este câmp de înălțime– când fiecărui punct al grinzii i se atribuie înălțimea față de nivelul solului. Sau, de exemplu, câmpul de presiune atmosferică– aici fiecărui punct al fasciculului îi corespunde o valoare numerică a presiunii atmosferice într-un punct dat.

Acum să ne apropiem de lac și să desenăm mental un avion pe suprafața lui. Dacă fiecare punct al fragmentului „apă” al planului este asociat cu adâncimea lacului, atunci, vă rog, este dat câmpul scalar. În aceleași puncte, puteți lua în considerare și alte cantități scalare, de exemplu, temperatura suprafeței apei.

Cea mai importantă proprietate a unui câmp scalar este al lui invarianta raportat la sistemul de coordonate. Dacă îl traducem în limbajul uman, atunci indiferent din ce parte ne uităm la lopată / lac - un câmp scalar (înălțime, adâncime, temperatură etc.) asta nu se va schimba. Mai mult, câmpul scalar, să zicem, adâncimea, poate fi setat pe o altă suprafață, de exemplu, pe o suprafață adecvată emisferă, sau direct pe suprafața apei în sine. De ce nu? Nu este posibil să atribuiți câte un număr fiecărui punct al emisferei situat deasupra lacului? Am sugerat planeitatea doar de dragul confortului.

Să mai adăugăm o coordonată. Luați o piatră în mână. Fiecare punct al acestei pietre poate fi atribuit acestuia densitatea fizică. Și din nou - indiferent în ce sistem de coordonate îl considerăm, indiferent de modul în care îl răsucim în mână - câmpul de densitate scalară va rămâne neschimbat. Cu toate acestea, unii oameni pot contesta acest fapt =) Aceasta este piatra filosofală.

Din punct de vedere pur matematic (dincolo de sensul fizic sau alt sens privat) câmpurile scalare sunt specificate în mod tradițional de funcțiile noastre „obișnuite”. unu , Două , Treiși mai multe variabile. În același timp, în teoria câmpului, atributele tradiționale ale acestor funcții sunt utilizate pe scară largă, cum ar fi domeniu, linii și suprafețe de nivel.

Cu spațiul tridimensional totul este similar:
– aici, fiecare punct permis din spațiu este asociat cu un vector cu început într-un punct dat. „Admisibilitatea” este determinată de domeniile de definire a funcțiilor, iar dacă fiecare dintre ele este definită pentru toate „X”, „E”, „Z”, atunci câmpul vectorial va fi specificat în întreg spațiul.

! Denumiri : câmpurile vectoriale sunt de asemenea notate cu litera sau, iar componentele lor prin sau, respectiv.

Din cele de mai sus a fost de multă vreme clar că, cel puțin matematic, câmpurile scalare și vectoriale pot fi definite în spațiu. Cu toate acestea, am fost încă atent cu exemplele fizice corespunzătoare, deoarece concepte precum temperatura, gravitatie(sau altele) până la urmă undeva poate să nu existe deloc. Dar asta nu mai este horror, ci science fiction =) Și nu numai science fiction. Pentru că vântul, de regulă, nu suflă în interiorul pietrelor.

Trebuie remarcat faptul că unele câmpuri vectoriale (câmpuri cu aceleași viteze) se schimbă rapid în timp și, prin urmare, multe modele fizice consideră o variabilă suplimentară independentă. Apropo, același lucru se aplică câmpurilor scalare - temperatura, de fapt, nu este nici „înghețată” în timp.

Totuși, în cadrul matematicii, ne vom limita la trinitate, iar atunci când astfel de câmpuri „se întâlnesc” vom implica un moment fix în timp sau un timp în care domeniul nu s-a schimbat.

linii vectoriale

Dacă sunt descrise câmpuri scalare linii și suprafețe de nivel, atunci se poate caracteriza „forma” câmpului vectorial linii vectoriale. Probabil că mulți își amintesc această experiență școlară: un magnet este plasat sub o coală de hârtie, iar deasupra (să vedem!) se revarsă pilitura de fier, care doar „se aliniază” de-a lungul liniilor câmpului.

Voi încerca să o formulez mai simplu: fiecare punct al unei linii vectoriale este începutul vector câmp, care se află pe tangentă într-un punct dat:

Desigur, vectorii de linie în cazul general au lungimi diferite, așa că în figura de mai sus, atunci când se deplasează de la stânga la dreapta, lungimea lor crește - aici putem presupune că ne apropiem, de exemplu, de un magnet. În câmpurile fizice de forță, liniile vectoriale se numesc - linii de înaltă tensiune. Un alt exemplu, mai simplu, este câmpul gravitațional al Pământului: liniile sale de câmp sunt razele cu începutul în centrul planetei, iar vectorii gravitatie situat direct pe razele în sine.

Se numesc linii vectoriale ale câmpurilor de viteză linii curente. Imaginați-vă din nou o furtună de praf - particulele de praf împreună cu moleculele de aer se mișcă pe aceste linii. La fel și cu un râu: traiectoriile de-a lungul cărora se mișcă moleculele de lichid (și nu numai) sunt, în sens literal, linii fluide. În general, multe concepte ale teoriei câmpului provin din hidrodinamică, pe care le vom întâlni de mai multe ori.

Dacă un câmp vectorial „plat” este dat de o funcție diferită de zero, atunci liniile sale de câmp pot fi găsite de la ecuație diferențială. Soluția acestei ecuații dă familie linii vectoriale pe un plan. Uneori, în sarcini, este necesar să trasăm mai multe astfel de linii, care de obicei nu provoacă dificultăți - am ales mai multe valori convenabile ale „tse”, am desenat câteva hiperbole, și comanda.

Cu câmpul vectorial spațial situația este mai interesantă. Liniile sale de câmp sunt determinate de relații. Aici trebuie să decidem sistem de două ecuații diferențialeși obțineți două familii suprafețe spațiale. Liniile de intersecție ale acestor familii vor fi linii vectoriale spațiale. Dacă toate componentele („pe”, „ku”, „er”) sunt diferite de zero, atunci există mai multe soluții tehnice. Nu voi lua în considerare toate aceste metode. (pentru că articolul va crește la dimensiuni indecente), dar mă voi concentra pe un caz special comun, când una dintre componentele câmpului vectorial este egală cu zero. Să enumerăm toate opțiunile simultan:

dacă , atunci sistemul trebuie rezolvat;
dacă , atunci sistemul;
iar dacă , atunci .

Și din anumite motive nu am mai avut antrenament de mult timp:

Exemplul 1

Găsiți liniile de câmp ale câmpului vectorial

Soluţie: în această problemă, deci rezolvăm sistem:

Sensul este foarte simplu. Deci, dacă o funcție specifică un câmp scalar de adâncimea lacului, atunci funcția vectorială corespunzătoare definește mulțimea neliberă vectori, fiecare indicând o direcție ridicare rapidă jos într-un punct sau altul și viteza acestei creșteri.

Dacă o funcție specifică un câmp scalar de temperatură al unei anumite regiuni a spațiului, atunci câmpul vectorial corespunzător caracterizează direcția și viteza cea mai rapidă încălzire spațiu în fiecare punct din această zonă.

Să ne uităm la o problemă matematică generală:

Exemplul 3

Având în vedere un câmp scalar și un punct. Necesar:

1) alcătuiți funcția de gradient a câmpului scalar;

Care este egal diferenta potentiala .

Cu alte cuvinte, în câmpul potențial contează doar punctele de început și de sfârșit ale traseului. Și dacă aceste puncte coincid, atunci munca totală a forțelor de-a lungul unui contur închis va fi egală cu zero:

Să ridicăm o pană de pe pământ și să o livrăm la punctul de plecare. În acest caz, traiectoria mișcării noastre este din nou arbitrară; poți chiar să arunci stiloul, să-l ridici din nou etc.

De ce rezultatul final este zero?

A căzut pana din punctul „a” în punctul „b”? Se simte. Forța gravitației a făcut treaba.

A lovit stiloul „a” înapoi? Am înţeles. Aceasta înseamnă că exact aceeași muncă a fost făcută împotriva gravitației, și nu contează cu ce „aventuri” și cu ce forțe - chiar dacă vântul l-a dus înapoi.

Notă : În fizică, semnul minus simbolizează direcția opusă.

Astfel, munca totală efectuată de forțe este zero:

După cum am menționat deja, conceptul fizic și cel laic al muncii sunt diferite. Și această diferență te va ajuta să înțelegi bine nu o pană sau chiar o cărămidă, ci, de exemplu, un pian :)

Împreună, ridicați pianul și coborâți-l pe scări. Trageți-l pe stradă. Oricât vrei și oriunde vrei. Și dacă nimeni nu l-a chemat pe prost, aduceți instrumentul înapoi. Ai lucrat? Cu siguranță. Până la a șaptea sudoare. Dar din punct de vedere al fizicii nu s-a lucrat.

Expresia „diferență de potențial” este tentantă să vorbim mai mult despre câmpul electrostatic potențial, dar șocarea cititorilor tăi nu este cumva deloc uman =) Mai mult, există nenumărate exemple, pentru că orice câmp de gradient este potențial, dintre care sunt un ban pe duzină.

Dar este ușor să spui „un ban pe duzină”: aici ni se oferă un câmp vectorial - cum se stabilește dacă este potențial sau nu?

Rotor de câmp vectorial

Sau el vârtej componentă, care este exprimată și prin vectori.

Să luăm din nou pana în mâini și să o trimitem cu grijă plutind pe râu. Pentru puritatea experimentului, vom presupune că este omogen și simetric față de centrul său. Axa se lipește în sus.

Sa luam in considerare câmp vectorial viteza curentului și un anumit punct de pe suprafața apei deasupra căruia se află centrul penei.

Dacă în în acest moment stiloul se rotește în sens invers acelor de ceasornic, apoi îl vom potrivi cu cel de ieșire neliberă vector ascendent. În același timp, cu cât stiloul se rotește mai repede, cu atât acest vector este mai lung, ... din anumite motive mi se pare atât de negru în razele strălucitoare ale soarelui... Dacă rotația are loc în sensul acelor de ceasornic, atunci vectorul „se uită” în jos. Dacă stiloul nu se rotește deloc, atunci vectorul este zero.

Faceți cunoștință - asta este vector rotor câmp de viteză vectorială, caracterizează direcția de „învârtire” a lichidului în în acest momentși viteza unghiulară de rotație a stiloului (dar nu direcția sau viteza curentului în sine!).

Este absolut clar că toate punctele râului au un vector rotativ (inclusiv cele care sunt „sub apă”), astfel, pentru câmp vectorial al vitezei curentului am definit un nou câmp vectorial!

Dacă un câmp vectorial este dat de o funcție, atunci câmpul său rotor este dat de următoarele funcție vectorială:

Mai mult, dacă vectorii câmpul rotorului râurile sunt mari ca magnitudine și tind să-și schimbe direcția, asta nu înseamnă deloc că vorbim despre un râu întortocheat și agitat (revenind la exemplu). Această situație poate fi observată și într-un canal drept - când, de exemplu, viteza este mai mare în mijloc și mai mică în apropierea malurilor. Adică se generează rotația stiloului debite diferite V vecine linii curente.

Pe de altă parte, dacă vectorii rotorului sunt scurti, atunci ar putea fi un râu de munte „întorpuit”! Este important ca în linii curente adiacente viteza curentului în sine (rapid sau lent) diferă ușor.

Și, în sfârșit, răspundem la întrebarea de mai sus: în orice punct al câmpului potențial rotorul său este zero:

Sau mai degrabă, vectorul zero.

Câmpul potențial se mai numește irotaţional camp.

Un flux „ideal”, desigur, nu există, dar destul de des se poate observa asta câmp de viteză râurile sunt aproape de potențial - diverse obiecte plutesc calm și nu se învârt, ...ți-ai imaginat și această poză? Cu toate acestea, pot înota foarte repede și într-o curbă, apoi încetinesc, apoi accelerează - este important ca viteza curentului să fie în liniile curente adiacente a fost conservat constant.

Și, desigur, câmpul nostru gravitațional muritor. Pentru următorul experiment, orice obiect destul de greu și omogen este potrivit, de exemplu, o carte închisă, o cutie de bere nedeschisă sau, apropo, o cărămidă care a așteptat în aripi =) Ține-i capetele cu mâinile. , ridicați-l și eliberați-l cu grijă în cădere liberă. Nu se va învârti. Și dacă se întâmplă, atunci acesta este „efortul tău personal” sau cărămida pe care ai primit-o a fost cea greșită. Nu fi leneș și verifică acest fapt! Doar nu arunca nimic pe geam, nu mai este o pană

După care, cu o conștiință curată și un ton sporit, puteți reveni la sarcinile practice:

Exemplul 5

Arătați că un câmp vectorial este potențial și găsiți potențialul acestuia

Soluţie: condiția afirmă direct potențialul câmpului, iar sarcina noastră este să dovedim acest fapt. Să găsim funcția rotorului sau, așa cum se spune mai des, rotorul unui câmp dat:

Pentru comoditate, notăm componentele câmpului:

și să începem să le găsim derivate parțiale– este convenabil să le „sortați” într-o ordine „rotativă”, de la stânga la dreapta:
- Și pe loc verifică asta (pentru a evita munca suplimentară în cazul unui rezultat diferit de zero). Sa trecem peste:

Prin urmare:
, prin urmare, câmpul este potențial și, prin urmare, reprezintă o funcție de gradient un câmp scalar specificat de potențial.

Definiție 1. Fie A un câmp vectorial într-un domeniu Funcția se numește potențialul câmpului A într-un domeniu dacă este în acest domeniu

Definiție 2. Un câmp care are potențial se numește câmp potențial.

Deoarece într-o regiune conexă derivatele parțiale determină funcția până la o constantă, atunci într-o astfel de regiune potențialul câmpului este determinat până la o constantă aditivă.

În prima parte a cursului, am vorbit deja pe scurt despre potențial. Aici vom discuta acest concept important mai detaliat. Să remarcăm în legătură cu aceste definiții că în fizică, atunci când se iau în considerare diferite tipuri de câmpuri de forță, potențialul câmpului este de obicei numit o astfel de funcție încât Un astfel de potențial diferă de cel introdus de Definiția 1 doar în semn.

Exemplul 1. Puterea câmpului gravitațional creat de o masă punctuală M plasată la originea coordonatelor într-un punct din spațiu având un vector rază se calculează conform legii lui Newton sub forma

Aceasta este forța cu care câmpul acționează asupra unei unități de masă în punctul corespunzător din spațiu. Câmp gravitațional (1)

potenţial. Potențialul său în sensul Definiției 1 este funcția

Exemplul 2. Intensitatea câmpului electric E al unei sarcini punctiforme plasate la originea coordonatelor, într-un punct din spațiu având un vector rază, se calculează conform legii lui Coulomb