Cu același număr de ecuații cu numărul de necunoscute cu determinantul principal al matricei, care nu este egal cu zero, coeficienții sistemului (pentru astfel de ecuații există o soluție și există doar una).
teorema lui Cramer.
Când determinantul matricei unui sistem pătrat este diferit de zero, înseamnă că sistemul este consistent și are o singură soluție și poate fi găsit prin formulele lui Cramer:
unde Δ - determinant al matricei sistemului,
Δ i este determinantul matricei sistemului, în care în loc de i Coloana a treia conține coloana laturilor drepte.
Când determinantul unui sistem este zero, înseamnă că sistemul poate deveni cooperant sau incompatibil.
Această metodă este de obicei utilizată pentru sisteme mici cu calcule ample și dacă este necesar să se determine una dintre necunoscute. Complexitatea metodei este că trebuie să se calculeze mulți factori determinanți.
Descrierea metodei Cramer.
Există un sistem de ecuații:
Un sistem de 3 ecuații poate fi rezolvat folosind metoda Cramer, care a fost discutată mai sus pentru un sistem de 2 ecuații.
Compunem un determinant din coeficienții necunoscutelor:
Va fi determinant de sistem. Când D≠0, ceea ce înseamnă că sistemul este consistent. Acum să creăm 3 determinanți suplimentari:
,
,
Rezolvăm sistemul prin formulele lui Cramer:
Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații folosind metoda lui Cramer.
Exemplul 1.
Sistem dat:
Să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer.
Mai întâi trebuie să calculați determinantul matricei sistemului:
Deoarece Δ≠0, ceea ce înseamnă că din teorema lui Cramer sistemul este consistent și are o singură soluție. Calculăm determinanți suplimentari. Determinantul Δ 1 se obține din determinantul Δ prin înlocuirea primei sale coloane cu o coloană de coeficienți liberi. Primim:
În același mod, obținem determinantul lui Δ 2 din determinantul matricei sistemului prin înlocuirea celei de-a doua coloane cu o coloană de coeficienți liberi:
2. Rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda matricei (folosind o matrice inversă).
3. Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații.
metoda lui Cramer.
Metoda Cramer este folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare ( SLAU).
Formule folosind exemplul unui sistem de două ecuații cu două variabile.
Dat: Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer
Referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:
Să aflăm determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului Calculul determinanților. : 
Să aplicăm formulele lui Cramer și să găsim valorile variabilelor: 
Și 
.
Exemplul 1:
Rezolvați sistemul de ecuații:
referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:
Să înlocuim prima coloană din acest determinant cu o coloană de coeficienți din partea dreaptă a sistemului și să găsim valoarea acesteia: 
Să facem un lucru similar, înlocuind a doua coloană în primul determinant: 
Aplicabil formulele lui Cramerși găsiți valorile variabilelor:
Și .
Răspuns: 
Cometariu: Această metodă poate rezolva sisteme de dimensiuni mai mari.
Cometariu: Dacă se dovedește că , dar nu poate fi împărțit la zero, atunci ei spun că sistemul nu are o soluție unică. În acest caz, sistemul fie are infinite de soluții, fie nu are deloc soluții.
Exemplul 2(numar infinit de solutii):
Rezolvați sistemul de ecuații:
referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:
Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului: 
Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției. 
Prima dintre ecuațiile sistemului este o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor (deoarece 4 este întotdeauna egal cu 4). Aceasta înseamnă că a mai rămas o singură ecuație. Aceasta este o ecuație pentru relația dintre variabile.
Am descoperit că soluția sistemului este orice pereche de valori ale variabilelor legate între ele prin egalitate.
Soluția generală se va scrie după cum urmează: 
Soluții particulare pot fi determinate prin alegerea unei valori arbitrare a lui y și calculând x folosind această egalitate de conexiune. 
etc.
Există o infinitate de astfel de soluții.
Răspuns: decizie comună
Soluții private:
Exemplul 3(fără soluții, sistemul este incompatibil):
Rezolvați sistemul de ecuații:
Soluţie:
Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului: 
Formulele lui Cramer nu pot fi folosite. Să rezolvăm acest sistem folosind metoda substituției 
A doua ecuație a sistemului este o egalitate care nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor (desigur, deoarece -15 nu este egal cu 2). Dacă una dintre ecuațiile sistemului nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor, atunci întregul sistem nu are soluții.
Răspuns: fara solutii
Pentru a stăpâni acest paragraf, trebuie să poți dezvălui determinanții „două câte doi” și „trei câte trei”. Dacă ești prost cu calificative, te rog să studiezi lecția Cum se calculează determinantul?
În primul rând, vom arunca o privire mai atentă la regula lui Cramer pentru un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute. Pentru ce? – La urma urmei, cel mai simplu sistem poate fi rezolvat folosind metoda școlii, metoda adunării trimestriale!
Faptul este că, deși uneori, apare o astfel de sarcină - pentru a rezolva un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute folosind formulele lui Cramer. În al doilea rând, un exemplu mai simplu vă va ajuta să înțelegeți cum să utilizați regula lui Cramer pentru un caz mai complex - un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute.
În plus, există sisteme de ecuații liniare cu două variabile, care este recomandabil să le rezolve folosind regula lui Cramer!
Luați în considerare sistemul de ecuații
La primul pas, calculăm determinantul, se numește determinant principal al sistemului.
metoda Gauss.
Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă doi determinanți:
Și
În practică, calificativele de mai sus pot fi notate și printr-o literă latină.
Găsim rădăcinile ecuației folosind formulele:
,
Exemplul 7
Rezolvați un sistem de ecuații liniare 
Soluţie: Vedem că coeficienții ecuației sunt destul de mari în partea dreaptă sunt fracții zecimale cu virgulă; Virgula este un invitat destul de rar în sarcinile practice la matematică am luat acest sistem dintr-o problemă econometrică.
Cum se rezolvă un astfel de sistem? Puteți încerca să exprimați o variabilă în termenii alteia, dar în acest caz veți ajunge probabil cu fracții fanteziste teribile, cu care sunt extrem de incomod de lucrat, iar designul soluției va arăta pur și simplu groaznic. Puteți înmulți a doua ecuație cu 6 și scădeți termen cu termen, dar aceleași fracții vor apărea și aici.
Ce să fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer vin în ajutor.
;
;
Răspuns: ,
Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar banal) pentru problemele de econometrie.
Comentariile nu sunt necesare aici, deoarece sarcina este rezolvată folosind formule gata făcute, cu toate acestea, există o avertizare. Când utilizați această metodă, obligatoriu Un fragment al designului sarcinii este următorul fragment: „Aceasta înseamnă că sistemul are o soluție unică”. În caz contrar, recenzentul vă poate pedepsi pentru nerespectarea teoremei lui Cramer.
Nu ar fi de prisos să verificăm, ceea ce poate fi efectuat convenabil pe un calculator: înlocuim valorile aproximative în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului. Ca rezultat, cu o mică eroare, ar trebui să obțineți numere care sunt în partea dreaptă.
Exemplul 8
Prezentați răspunsul în fracții improprii obișnuite. Faceți o verificare.
Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (un exemplu de design final și răspunsul la sfârșitul lecției).
Să trecem la considerarea regulii lui Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute: 
Găsim principalul determinant al sistemului: 
Dacă , atunci sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent (nu are soluții). În acest caz, regula lui Cramer nu va ajuta, trebuie să utilizați metoda Gauss.
Dacă , atunci sistemul are o soluție unică și pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă trei determinanți: 
, 
, 
Și în sfârșit, răspunsul este calculat folosind formulele: 
După cum puteți vedea, cazul „trei cu trei” nu este în mod fundamental diferit de cazul „doi câte doi” coloana de termeni liberi „se plimbă” secvenţial de la stânga la dreapta de-a lungul coloanelor determinantului principal;
Exemplul 9
Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer. 
Soluţie: Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer. 
, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.
Răspuns: 
.
De fapt, iar aici nu este nimic special de comentat, din cauza faptului că soluția urmează formule gata făcute. Dar există câteva comentarii.
Se întâmplă ca în urma calculelor să se obțină fracții ireductibile „rele”, de exemplu: .
Recomand următorul algoritm de „tratament”. Dacă nu aveți un computer la îndemână, procedați astfel:
1) Poate exista o eroare în calcule. De îndată ce întâlniți o fracție „rea”, trebuie să verificați imediat Condiția este rescrisă corect?. Dacă condiția este rescrisă fără erori, atunci trebuie să recalculați determinanții folosind expansiunea într-un alt rând (coloană).
2) Dacă nu sunt identificate erori ca urmare a verificării, atunci cel mai probabil a existat o greșeală de scriere în condițiile sarcinii. În acest caz, lucrați cu calm și cu ATENȚIE la sarcina până la sfârșit și apoi asigurați-vă că verificațiși întocmește-l pe o foaie curată după decizie. Desigur, verificarea unui răspuns fracționat este o sarcină neplăcută, dar va fi un argument dezarmant pentru profesor, căruia îi place foarte mult să dea un minus pentru orice prostie de genul . Modul de manipulare a fracțiilor este descris în detaliu în răspunsul la Exemplul 8.
Dacă aveți un computer la îndemână, atunci utilizați un program automat pentru a verifica, care poate fi descărcat gratuit chiar la începutul lecției. Apropo, cel mai profitabil este să folosești programul imediat (chiar înainte de a începe soluția, vei vedea imediat pasul intermediar în care ai greșit! Același calculator calculează automat soluția sistemului folosind metoda matricei.
A doua remarcă. Din când în când există sisteme din ecuațiile cărora lipsesc unele variabile, de exemplu: 
Aici în prima ecuație nu există variabilă, în a doua nu există variabilă. În astfel de cazuri, este foarte important să notați corect și CU ATENȚIE principalul determinant: 
– zerourile sunt plasate în locul variabilelor lipsă.
Apropo, este rațional să deschideți determinanții cu zerouri în funcție de rândul (coloana) în care se află zero, deoarece există considerabil mai puține calcule.
Exemplul 10
Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer. 
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (o mostră din proiectul final și răspunsul de la sfârșitul lecției).
Pentru cazul unui sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, formulele lui Cramer sunt scrise după principii similare. Puteți vedea un exemplu viu în lecția Proprietățile determinanților. Reducerea ordinului determinantului - cinci determinanți de ordinul 4 sunt destul de rezolvabili. Deși sarcina amintește deja foarte mult de pantoful unui profesor pe pieptul unui student norocos.
Rezolvarea sistemului folosind o matrice inversă
Metoda matricei inverse este în esență un caz special ecuația matriceală(Vezi Exemplul nr. 3 al lecției specificate).
Pentru a studia această secțiune, trebuie să fiți capabil să extindeți determinanții, să găsiți inversul unei matrice și să efectuați înmulțirea matricei. Link-uri relevante vor fi furnizate pe măsură ce explicațiile progresează.
Exemplul 11
Rezolvați sistemul folosind metoda matricei
Soluţie: Să scriem sistemul sub formă de matrice:
, Unde 
Vă rugăm să priviți sistemul de ecuații și matrice. Cred că toată lumea înțelege principiul prin care scriem elementele în matrice. Singurul comentariu: dacă unele variabile ar lipsi din ecuații, atunci ar trebui plasate zerouri în locurile corespunzătoare din matrice.
Găsim matricea inversă folosind formula:
, unde este matricea transpusă a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.
Mai întâi, să ne uităm la determinant:
Aici determinantul este extins pe prima linie.
Atenţie! Dacă , atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul folosind metoda matricei. În acest caz, sistemul se rezolvă prin metoda eliminării necunoscutelor (metoda Gauss).
Acum trebuie să calculăm 9 minori și să le scriem în matricea minorilor 
Referinţă: Este util să cunoaștem semnificația indicelor duble în algebra liniară. Prima cifră este numărul liniei în care se află elementul. A doua cifră este numărul coloanei în care se află elementul: 
Adică, un indice dublu indică faptul că elementul este în primul rând, a treia coloană și, de exemplu, elementul este în 3 rânduri, 2 coloană
În timpul soluției, este mai bine să descrieți în detaliu calculul minorilor, deși cu ceva experiență vă puteți obișnui să le calculați cu erori oral.
Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acest lucru accelerează semnificativ procesul de soluție.
Metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva un sistem de atâtea ecuații liniare câte necunoscute există în fiecare ecuație. Dacă determinantul sistemului nu este egal cu zero, atunci metoda lui Cramer poate fi utilizată în soluție, dar dacă este egal cu zero, atunci nu poate. În plus, metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare care au o soluție unică.
Definiție. Un determinant format din coeficienți pentru necunoscute se numește determinant al sistemului și se notează (delta).
Determinanți
se obțin prin înlocuirea coeficienților necunoscutelor corespunzătoare cu termeni liberi:
;
.
teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o soluție unică, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. Numitorul conține determinantul sistemului, iar numărătorul conține determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților acestei necunoscute cu termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.
Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații liniare:
Conform teorema lui Cramer avem:
Deci, soluția sistemului (2):
calculator online, metoda de rezolvare a lui Cramer.
Trei cazuri la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
După cum este clar din teorema lui Cramer, la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare pot apărea trei cazuri:
Primul caz: un sistem de ecuații liniare are o soluție unică
(sistemul este consistent și definit)
Al doilea caz: un sistem de ecuații liniare are un număr infinit de soluții
(sistemul este consistent și incert)
** 
,
acestea. coeficienţii necunoscutelor şi termenilor liberi sunt proporţionali.
Al treilea caz: sistemul de ecuații liniare nu are soluții
(sistemul este inconsecvent)
Deci sistemul m ecuații liniare cu n numite variabile nearticulată, dacă ea nu are o singură soluție, și comun, dacă are cel puțin o soluție. Se numește un sistem simultan de ecuații care are o singură soluție anumit, și mai mult de unul - incert.
Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Cramer
Să fie dat sistemul
.
Bazat pe teorema lui Cramer
………….
,
Unde 
-
determinant de sistem. Obținem determinanții rămași prin înlocuirea coloanei cu coeficienții variabilei corespunzătoare (necunoscute) cu termeni liberi:
Exemplul 2.
Prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții
Folosind formulele lui Cramer găsim:
Deci, (1; 0; -1) este singura soluție a sistemului.
Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.
Dacă într-un sistem de ecuații liniare nu există variabile în una sau mai multe ecuații, atunci în determinant elementele corespunzătoare sunt egale cu zero! Acesta este următorul exemplu.
Exemplul 3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:
.
Soluţie. Găsim determinantul sistemului:
Priviți cu atenție sistemul de ecuații și determinantul sistemului și repetați răspunsul la întrebarea în care cazuri unul sau mai multe elemente ale determinantului sunt egale cu zero. Deci, determinantul nu este egal cu zero, prin urmare sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții pentru necunoscute
Folosind formulele lui Cramer găsim:
Deci, soluția sistemului este (2; -1; 1).
Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.
Începutul paginii
Continuăm să rezolvăm împreună sisteme folosind metoda lui Cramer
După cum sa menționat deja, dacă determinantul sistemului este egal cu zero, iar determinanții necunoscutelor nu sunt egali cu zero, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții. Să ilustrăm cu următorul exemplu.
Exemplul 6. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:
Soluţie. Găsim determinantul sistemului:
Determinantul sistemului este egal cu zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare este fie inconsecvent și definit, fie inconsecvent, adică nu are soluții. Pentru a clarifica, calculăm determinanții pentru necunoscute
Determinanții necunoscutelor nu sunt egali cu zero, prin urmare, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții.
Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.
În problemele care implică sisteme de ecuații liniare, există și acelea în care, pe lângă literele care denotă variabile, există și alte litere. Aceste litere reprezintă un număr, cel mai adesea real. În practică, astfel de ecuații și sisteme de ecuații sunt conduse la probleme de căutare a proprietăților generale ale oricăror fenomene sau obiecte. Adică ați inventat un material sau dispozitiv nou și pentru a descrie proprietățile sale, care sunt comune indiferent de dimensiunea sau cantitatea specimenului, trebuie să rezolvați un sistem de ecuații liniare, în care în loc de niște coeficienți pentru variabile există scrisori. Nu trebuie să cauți departe pentru exemple.
Următorul exemplu este pentru o problemă similară, doar numărul de ecuații, variabile și litere care denotă un anumit număr real crește.
Exemplul 8. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:
Soluţie. Găsim determinantul sistemului:
Găsirea determinanților pentru necunoscute
Gabriel Kramer este un matematician elvețian, student și prieten cu Johann Bernoulli, unul dintre creatorii algebrei liniare. Cramer a considerat un sistem de un număr arbitrar de ecuații liniare cu o matrice pătrată. El a prezentat soluția sistemului ca o coloană de fracții cu un numitor comun - determinantul matricei. Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, ceea ce accelerează semnificativ procesul de rezolvare. Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva un sistem de atâtea ecuații liniare câte necunoscute există în fiecare ecuație. Principalul lucru este că determinantul sistemului nu este egal cu „0”, atunci metoda lui Cramer poate fi utilizată în soluție, dacă „0” - această metodă nu poate fi utilizată. Această metodă poate fi folosită și pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare cu o soluție unică.
teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o soluție unică, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. La numitor se află determinantul sistemului, iar la numărător este determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților acestei necunoscute cu termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.
Să presupunem că ni se oferă un SLAE de acest tip:
\[\left\(\begin(matrix) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matrix)\right.\]
Conform teoremei lui Cramer obținem:
Răspuns: \
Unde pot rezolva o ecuație folosind metoda lui Cramer folosind un rezolvator online?
Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.
