Luați în considerare o funcție a două variabile:
Deoarece variabilele $x$ și $y$ sunt independente, pentru o astfel de funcție putem introduce conceptul de derivată parțială:
Derivata parțială a funcției $f$ în punctul $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ în raport cu variabila $x$ este limita
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]
În mod similar, puteți defini derivata parțială în raport cu variabila $y$ :
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]
Cu alte cuvinte, pentru a găsi derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile, trebuie să fixați toate celelalte variabile, cu excepția celei dorite, și apoi să găsiți derivata obișnuită în raport cu această variabilă dorită.
Aceasta conduce la tehnica principală de calcul a unor astfel de derivate: pur și simplu presupuneți că toate variabilele, cu excepția acesteia, sunt o constantă, apoi diferențiați funcția așa cum ați diferenția una „obișnuită” - cu o variabilă. De exemplu:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prim ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$
Evident, derivatele parțiale cu privire la diferite variabile dau răspunsuri diferite - acest lucru este normal. Este mult mai important să înțelegem de ce, să zicem, în primul caz am eliminat cu calm $10y$ de sub semnul derivatului, iar în al doilea caz am eliminat complet primul termen. Toate acestea se întâmplă din cauza faptului că toate literele, cu excepția variabilei prin care se realizează diferențierea, sunt considerate constante: pot fi scoase, „arse”, etc.
Ce este „derivată parțială”?
Astăzi vom vorbi despre funcțiile mai multor variabile și derivatele parțiale ale acestora. În primul rând, ce este o funcție a mai multor variabile? Până acum, suntem obișnuiți să considerăm o funcție ca $y\left(x\right)$ sau $t\left(x \right)$, sau orice variabilă și o singură funcție a acesteia. Acum vom avea o singură funcție, dar mai multe variabile. Pe măsură ce $y$ și $x$ se schimbă, valoarea funcției se va schimba. De exemplu, dacă $x$ se dublează, valoarea funcției se va modifica, iar dacă $x$ se modifică, dar $y$ nu se modifică, valoarea funcției se va schimba în același mod.
Desigur, o funcție a mai multor variabile, la fel ca o funcție a unei variabile, poate fi diferențiată. Cu toate acestea, deoarece există mai multe variabile, este posibil să se diferențieze în funcție de diferite variabile. În acest caz, apar reguli specifice care nu au existat la diferențierea unei variabile.
În primul rând, atunci când calculăm derivata unei funcții din orice variabilă, ni se cere să indicăm pentru ce variabilă calculăm derivata - aceasta se numește derivată parțială. De exemplu, avem o funcție a două variabile și o putem calcula atât în $x$ cât și în $y$ - două derivate parțiale pentru fiecare dintre variabile.
În al doilea rând, de îndată ce am fixat una dintre variabile și începem să calculăm derivata parțială în raport cu aceasta, atunci toate celelalte incluse în această funcție sunt considerate constante. De exemplu, în $z\left(xy \right)$, dacă luăm în considerare derivata parțială față de $x$, atunci oriunde întâlnim $y$, considerăm că este o constantă și o tratăm ca atare. În special, la calcularea derivatei unui produs, putem scoate $y$ din paranteze (avem o constantă), iar la calcularea derivatei unei sume, dacă undeva obținem o derivată a unei expresii care conține $y$ și neconținând $x$, atunci derivata acestei expresii va fi egală cu „zero” ca derivată a unei constante.
La prima vedere, poate părea că vorbesc despre ceva complicat, iar mulți studenți sunt confuzi la început. Cu toate acestea, nu există nimic supranatural în derivatele parțiale și acum vom vedea acest lucru folosind exemplul unor probleme specifice.
Probleme cu radicali și polinoame
Sarcina nr. 1
Pentru a nu pierde timpul, să începem de la bun început cu exemple serioase.
Pentru început, permiteți-mi să vă reamintesc această formulă:
Aceasta este valoarea tabelului standard pe care o cunoaștem din cursul standard.
În acest caz, derivata $z$ se calculează după cum urmează:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
Să o facem din nou, deoarece rădăcina nu este $x$, ci o altă expresie, în acest caz $\frac(y)(x)$, atunci vom folosi mai întâi valoarea tabelului standard și apoi, deoarece rădăcina este nu $x $ și o altă expresie, trebuie să ne înmulțim derivata cu alta a acestei expresii în raport cu aceeași variabilă. Să calculăm mai întâi următoarele:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Ne întoarcem la expresia noastră și scriem:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]
Practic, asta-i tot. Cu toate acestea, este greșit să o lăsați în această formă: o astfel de construcție este incomod de utilizat pentru calcule ulterioare, așa că să o transformăm puțin:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Răspunsul a fost găsit. Acum să ne ocupăm de $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
Să-l notăm separat:
\[((\left(\frac(y)(x) \right)))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot (((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
Acum scriem:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Terminat.
Problema nr. 2
Acest exemplu este atât mai simplu, cât și mai complex decât cel precedent. Este mai complicat pentru că există mai multe acțiuni, dar este mai simplu pentru că nu există rădăcină și, în plus, funcția este simetrică față de $x$ și $y$, adică. dacă schimbăm $x$ și $y$, formula nu se va schimba. Această remarcă va simplifica și mai mult calculul derivatei parțiale, adică. este suficient să numărați unul dintre ele, iar în al doilea pur și simplu schimbați $x$ și $y$.
Sa trecem la treaba:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Hai să numărăm:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Cu toate acestea, mulți studenți nu înțeleg această notație, așa că să o scriem astfel:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Astfel, suntem din nou convinși de universalitatea algoritmului derivatei parțiale: indiferent de modul în care le calculăm, dacă toate regulile sunt aplicate corect, răspunsul va fi același.
Acum să ne uităm la încă o derivată parțială din formula noastră mare:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((() x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Să substituim expresiile rezultate în formula noastră și să obținem:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ dreapta)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \dreapta))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((() x)^(2))+((y)^(2))+1 \dreapta))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\) stânga(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]
Bazat pe $x$ numărați. Și pentru a calcula $y$ din aceeași expresie, să nu executăm aceeași secvență de acțiuni, ci să profităm de simetria expresiei noastre originale - pur și simplu înlocuim toți $y$ din expresia noastră originală cu $x$ și invers:
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Datorită simetriei, am calculat această expresie mult mai rapid.
Nuanțe ale soluției
Pentru derivatele parțiale funcționează toate formulele standard pe care le folosim pentru cele obișnuite, și anume, derivata coeficientului. În același timp, însă, apar și caracteristici specifice: dacă luăm în considerare derivata parțială a lui $x$, atunci când o obținem din $x$, o considerăm constantă și, prin urmare, derivata ei va fi egală cu „zero” .
Ca și în cazul derivatelor obișnuite, coeficientul (aceeași derivată) poate fi calculat în mai multe moduri diferite. De exemplu, aceeași construcție pe care tocmai am calculat-o poate fi rescrisă după cum urmează:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
În același timp, pe de altă parte, puteți utiliza formula din suma derivatelor. După cum știm, este egal cu suma derivatelor. De exemplu, să scriem următoarele:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Acum, știind toate acestea, să încercăm să lucrăm cu expresii mai serioase, deoarece derivatele parțiale reale nu se limitează doar la polinoame și rădăcini: există și trigonometrie și logaritmi și funcția exponențială. Acum hai să facem asta.
Probleme cu funcțiile trigonometrice și logaritmi
Sarcina nr. 1
Să scriem următoarele formule standard:
\[((\left(\sqrt(x) \right)))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Înarmați cu aceste cunoștințe, să încercăm să rezolvăm:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Să scriem o variabilă separat:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Să revenim la designul nostru:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Gata, am găsit-o pentru $x$, acum hai să facem calculele pentru $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Din nou, să calculăm o expresie:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \dreapta)\]
Revenim la expresia originală și continuăm soluția:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Terminat.
Problema nr. 2
Să scriem formula de care avem nevoie:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Acum să numărăm cu $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
Găsit pentru $x$. Numărăm cu $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
Problema este rezolvată.
Nuanțe ale soluției
Deci, indiferent de ce funcție luăm derivata parțială, regulile rămân aceleași, indiferent dacă lucrăm cu trigonometrie, cu rădăcini sau cu logaritmi.
Regulile clasice de lucru cu derivate standard rămân neschimbate, și anume, derivata unei sume și a unei diferențe, a unui coeficient și a unei funcții complexe.
Ultima formulă se găsește cel mai adesea la rezolvarea problemelor cu derivate parțiale. Îi întâlnim aproape peste tot. Nu a existat niciodată o singură sarcină în care să nu am întâlnit-o. Dar indiferent de formula pe care o folosim, mai avem încă o cerință adăugată, și anume, particularitatea lucrului cu derivate parțiale. Odată ce fixăm o variabilă, toate celelalte sunt constante. În special, dacă luăm în considerare derivata parțială a expresiei $\cos \frac(x)(y)$ față de $y$, atunci $y$ este variabila și $x$ rămâne constantă peste tot. Același lucru funcționează invers. Poate fi scos din semnul derivatului, iar derivata constantei în sine va fi egală cu „zero”.
Toate acestea conduc la faptul că derivatele parțiale ale aceleiași expresii, dar cu privire la diferite variabile, pot arăta complet diferit. De exemplu, să ne uităm la următoarele expresii:
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Probleme cu funcțiile exponențiale și logaritmii
Sarcina nr. 1
Pentru început, să scriem următoarea formulă:
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
Cunoscând acest fapt, precum și derivata unei funcții complexe, să încercăm să calculăm. Acum o voi rezolva în două moduri diferite. Primul și cel mai evident este derivatul produsului:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Să rezolvăm separat următoarea expresie:
\[((\left(\frac(x)(y) \right)))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Revenim la designul nostru original și continuăm cu soluția:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\dreapta)\]
Totul, $x$ este calculat.
Totuși, așa cum am promis, acum vom încerca să calculăm această derivată parțială într-un mod diferit. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Hai sa o scriem asa:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
Drept urmare, am primit exact același răspuns, dar cantitatea de calcule s-a dovedit a fi mai mică. Pentru a face acest lucru, a fost suficient să rețineți că la efectuarea produsului, indicatorii pot fi adăugați.
Acum să numărăm cu $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Să rezolvăm o expresie separat:
\[((\left(\frac(x)(y) \right)))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Să continuăm să rezolvăm construcția noastră originală:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Desigur, această derivată ar putea fi calculată în al doilea mod, iar răspunsul ar fi același.
Problema nr. 2
Să numărăm cu $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Să calculăm o expresie separat:
\[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]
Să continuăm rezolvarea construcției inițiale: $$
Acesta este răspunsul.
Rămâne de găsit prin analogie folosind $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Ca întotdeauna, calculăm o expresie separat:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Continuăm să rezolvăm designul de bază:
Totul a fost calculat. După cum puteți vedea, în funcție de ce variabilă este luată pentru diferențiere, răspunsurile sunt complet diferite.
Nuanțe ale soluției
Iată un exemplu izbitor al modului în care derivata aceleiași funcții poate fi calculată în două moduri diferite. Uite aici:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ stânga(1+\frac(1)(y) \dreapta)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right)))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]
Atunci când alegeți căi diferite, cantitatea de calcule poate fi diferită, dar răspunsul, dacă totul este făcut corect, va fi același. Acest lucru se aplică atât derivatelor clasice, cât și parțiale. În același timp, vă reamintesc încă o dată: în funcție de ce variabilă se ia derivata, adică. diferențiere, răspunsul poate fi complet diferit. Uite:
\[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]
În concluzie, pentru a consolida tot acest material, să încercăm să calculăm încă două exemple.
Probleme cu funcții trigonometrice și funcții cu trei variabile
Sarcina nr. 1
Să notăm următoarele formule:
\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Să rezolvăm acum expresia noastră:
\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Să calculăm separat următoarea construcție:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ stânga(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Continuăm să rezolvăm expresia originală:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Acesta este răspunsul final al variabilei private pe $x$. Acum să numărăm cu $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Să rezolvăm o expresie separat:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ stânga(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Să ne rezolvăm construcția până la capăt:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Problema nr. 2
La prima vedere, acest exemplu poate părea destul de complicat, deoarece există trei variabile. De fapt, aceasta este una dintre cele mai ușoare sarcini din tutorialul video de astăzi.
Găsiți după $x$:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Acum să ne ocupăm de $y$:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Am găsit răspunsul.
Acum tot ce rămâne este să găsiți cu $z$:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Am calculat derivata a treia, care completează soluția celei de-a doua probleme.
Nuanțe ale soluției
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în aceste două exemple. Singurul lucru de care suntem convinși este că derivata unei funcții complexe este folosită des și în funcție de derivată parțială pe care o calculăm, obținem răspunsuri diferite.
În ultima sarcină, ni s-a cerut să înțelegem o funcție a trei variabile simultan. Nu este nimic în neregulă cu asta, dar până la urmă am fost convinși că toate sunt semnificativ diferite unele de altele.
Puncte cheie
Ultimele concluzii din tutorialul video de astăzi sunt următoarele:
- Derivatele parțiale sunt calculate în același mod ca și cele obișnuite, dar pentru a calcula derivata parțială față de o variabilă, luăm toate celelalte variabile incluse în această funcție ca constante.
- Când lucrăm cu derivate parțiale, folosim aceleași formule standard ca și cu derivatele obișnuite: sumă, diferență, derivată a produsului și coeficientului și, desigur, derivată a unei funcții complexe.
Desigur, doar vizionarea acestei lecții video nu este suficientă pentru a înțelege pe deplin acest subiect, așa că chiar acum pe site-ul meu există un set de probleme pentru acest videoclip dedicat special subiectului de astăzi - intrați, descărcați, rezolvați aceste probleme și verificați răspunsul . Și după aceasta nu veți mai avea probleme cu derivatele parțiale nici la examene, nici în munca independentă. Desigur, aceasta nu este ultima lecție de matematică superioară, așa că vizitați site-ul nostru, adăugați VKontakte, abonați-vă la YouTube, like și rămâneți cu noi!
Derivate parțiale ale unei funcții a două variabile.
Concept și exemple de soluții
În această lecție vom continua cunoașterea funcției a două variabile și vom lua în considerare, probabil, cea mai comună sarcină tematică - găsirea derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea, precum și diferența totală a funcției. Studenții cu fracțiune de normă, de regulă, întâlnesc derivate parțiale în anul I în semestrul II. Mai mult decât atât, conform observațiilor mele, sarcina de a găsi derivate parțiale apare aproape întotdeauna la examen.
Pentru a studia eficient materialul de mai jos, tu necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivate „obișnuite” ale funcțiilor unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul?Și Derivată a unei funcții complexe. De asemenea, vom avea nevoie de un tabel de derivate ale funcțiilor elementare și reguli de diferențiere; este cel mai convenabil dacă este la îndemână în formă tipărită. Puteți obține material de referință pe pagină Formule și tabele matematice.
Să repetăm rapid conceptul de funcție a două variabile, voi încerca să mă limitez la minim. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.
Exemplu: – funcţia a două variabile.
Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.
Din punct de vedere geometric, o funcție a două variabile reprezintă cel mai adesea o suprafață în spațiu tridimensional (plan, cilindru, sferă, paraboloid, hiperboloid etc.). Dar, de fapt, aceasta este mai mult geometrie analitică, iar pe agenda noastră este analiza matematică, pe care profesorul meu universitar nu mi-a lăsat-o niciodată să o scriu și este „punctul meu forte”.
Să trecem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei care au băut câteva cești de cafea și se găsesc la un material incredibil de dificil: derivatele parțiale sunt aproape la fel cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.
Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe, pe care le vom cunoaște chiar acum:
...da, apropo, pentru acest subiect pe care l-am creat carte mica pdf, care vă va permite să vă „prindeți dinții” în doar câteva ore. Dar utilizând site-ul, veți obține cu siguranță același rezultat - poate puțin mai lent:
Exemplul 1
Găsiți derivatele parțiale de ordinul I și II ale funcției
Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.
Denumiri:
sau – derivată parțială în raport cu „x”
sau – derivată parțială în raport cu „y”
Sa incepem cu . Când găsim derivata parțială față de „x”, variabila este considerată o constantă (număr constant).
Comentarii asupra acțiunilor efectuate:
(1) Primul lucru pe care îl facem atunci când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub prim cu indice.
Atentie, important! NU PIERDERM abonamente în timpul procesului de soluționare. În acest caz, dacă desenați o „loc” undeva fără , atunci profesorul, cel puțin, îl poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din punct pentru neatenție).
(2) Folosim regulile de diferențiere 
, . Pentru un exemplu simplu ca acesta, ambele reguli pot fi aplicate cu ușurință într-un singur pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatului, apoi l-am scos din paranteze. Adică, în această situație nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.
(3) Folosim derivate tabulare și .
(4) Să simplificăm sau, după cum îmi place să spun, să „ajustăm” răspunsul.
Acum . Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilaconsiderată o constantă (număr constant).
(1) Folosim aceleași reguli de diferențiere 
, . În primul termen scoatem constanta din semnul derivatei, în al doilea termen nu putem scoate nimic deoarece este deja o constantă.
(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Să schimbăm mental toate „X”-urile din tabel cu „I”. Adică, acest tabel este la fel de valabil pentru (și într-adevăr pentru aproape orice literă). În special, formulele pe care le folosim arată astfel: și .
Care este sensul derivatelor parțiale?
În esență, derivatele parțiale de ordinul 1 se aseamănă derivat „obișnuit”.:
- Acest funcții, care caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia axelor şi, respectiv. Deci, de exemplu, funcția 
caracterizează abruptul „creșterilor” și „pantelor” suprafeteîn direcția axei absciselor, iar funcția ne vorbește despre „relieful” aceleiași suprafețe în direcția axei ordonatelor.
! Notă : aici ne referim la direcții care paralel axele de coordonate.
Pentru o mai bună înțelegere, să luăm în considerare un punct specific din plan și să calculăm valoarea funcției („înălțimea”) la acesta:
– și acum imaginează-ți că ești aici (LA suprafață).
Să calculăm derivata parțială în raport cu „x” la un punct dat:
Semnul negativ al derivatului „X” ne vorbește despre in scadere funcţionează într-un punct în direcţia axei absciselor. Cu alte cuvinte, dacă facem un mic, mic (infinitezimal) pas spre vârful axei (paralel cu această axă), apoi vom coborî pe panta suprafeței.
Acum aflăm natura „terenului” în direcția axei ordonatelor:
Derivata față de „y” este pozitivă, prin urmare, într-un punct din direcția axei funcția crește. Pentru a spune simplu, aici așteptăm o urcare în urcare.
În plus, derivata parțială la un punct caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia corespunzătoare. Cu cât valoarea rezultată este mai mare modulo– cu cât suprafața este mai abruptă și invers, cu cât este mai aproape de zero, cu atât suprafața este mai plată. Deci, în exemplul nostru, „panta” în direcția axei absciselor este mai abruptă decât „muntele” în direcția axei ordonatelor.
Dar acelea erau două căi private. Este destul de clar că din punctul în care ne aflăm, (și în general din orice punct de pe o suprafață dată) ne putem deplasa într-o altă direcție. Astfel, există interesul de a realiza o „hartă de navigație” generală care să ne informeze despre „peisajul” suprafeței. dacă este posibilîn fiecare punct domeniul de definire al acestei funcţii de-a lungul tuturor căilor disponibile. Voi vorbi despre acest lucru și despre alte lucruri interesante într-una dintre lecțiile următoare, dar deocamdată să revenim la partea tehnică a problemei.
Să sistematizăm regulile elementare aplicate:
1) Când facem diferență față de , variabila este considerată o constantă.
2) Când diferenţierea se realizează conform, atunci este considerată o constantă.
3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă (sau oricare alta) prin care se realizează diferențierea.
Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.
Denumiri:
sau – derivata a doua în raport cu „x”
sau – derivata a doua în raport cu „y”
sau - amestecat derivată a lui „x prin igr”
sau - amestecat derivata lui "Y"
Nu există probleme cu derivata a doua. In termeni simpli, a doua derivată este derivata primei derivate.
Pentru comoditate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite: 
Mai întâi, să găsim derivate mixte:
După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiam din nou, dar în acest caz - de data aceasta în funcție de „Y”.
De asemenea:
În exemple practice, vă puteți concentra pe următoarea egalitate:
Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.
Aflați derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, să o luăm 
și diferențiază-l prin „x” din nou:
De asemenea:
Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, întrucât nu există egalități miraculoase care să le verifice.
Derivatele secunde găsesc, de asemenea, aplicații practice largi, în special, sunt utilizate în problema găsirii extremele unei funcţii a două variabile. Dar totul are timpul lui:
Exemplul 2
Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției în punctul. Găsiți derivate de ordinul doi.
Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsuri la sfârșitul lecției). Dacă aveți dificultăți în diferențierea rădăcinilor, reveniți la lecție Cum să găsesc derivatul?În general, destul de curând veți învăța să găsiți astfel de derivate „din mers”.
Să ne îmbunătățim la exemple mai complexe:
Exemplul 3
Verifică asta . Notați diferența totală de ordinul întâi.
Soluție: Aflați derivatele parțiale de ordinul întâi: 
Atenție la indice: , lângă „X” nu este interzis să scrieți între paranteze că este o constantă. Această notă poate fi foarte utilă pentru începători pentru a facilita navigarea prin soluție.
Comentarii suplimentare:
(1) Deplasăm toate constantele dincolo de semnul derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.
(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.
(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei; în acest caz, constanta este .
(2) Sub prim avem produsul a două funcții rămase, prin urmare, trebuie să folosim regula pentru diferențierea produsului 
.
(3) Nu uitați că aceasta este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: 
.
Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:
Aceasta înseamnă că toate calculele au fost efectuate corect.
Să notăm diferența totală. În contextul sarcinii luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.
Diferenţial total de ordinul întâi funcția a două variabile are forma: 
În acest caz:
Adică, trebuie doar să înlocuiți prostesc derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite în formulă. În această situație și în situații similare, cel mai bine este să scrieți semnele diferențiale în numărător:
Și conform solicitărilor repetate ale cititorilor, diferenţial complet de ordinul doi.
Arata cam asa:
Să găsim cu ATENȚIE derivatele „cu o literă” de ordinul 2: 
și notează „monstrul”, „atașând” cu grijă pătratele, produsul și fără a uita să dublezi derivatul mixt: 
Este în regulă dacă ceva pare dificil; poți oricând să revii la derivate mai târziu, după ce ai stăpânit tehnica de diferențiere:
Exemplul 4
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții 
. Verifică asta . Notați diferența totală de ordinul întâi.
Să ne uităm la o serie de exemple cu funcții complexe:
Exemplul 5
Găsiți derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției.
Soluţie: 
Exemplul 6
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții 
.
Notați diferența totală.
Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției). Nu vă voi da o soluție completă pentru că este destul de simplă.
Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.
Exemplul 7
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții 
.
(1) Folosim regula de diferențiere a sumei
(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece nu există nimic în expresie care să depindă de „x” - doar „y”. Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată în zero). Pentru al doilea termen aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, în acest sens, nimic nu s-ar fi schimbat dacă s-ar fi dat în schimb o funcție - important este că aici produsul a doua functii, Fiecare dintre ele depinde de "X", și, prin urmare, trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.
(1) Primul termen atât la numărător, cât și la numitor conține un „Y”, prin urmare, trebuie să utilizați regula pentru diferențierea coeficientilor: 
. Al doilea termen depinde NUMAI de „x”, ceea ce înseamnă că este considerat o constantă și se transformă în zero. Pentru al treilea termen folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe.
Pentru acei cititori care au ajuns cu curaj aproape până la sfârșitul lecției, vă voi spune o glumă veche cu Mehmatov pentru ușurare:
Într-o zi, un derivat malefic a apărut în spațiul funcțiilor și a început să diferențieze pe toți. Toate funcțiile sunt împrăștiate în toate direcțiile, nimeni nu vrea să se transforme! Și o singură funcție nu fuge. Derivatul se apropie de ea și o întreabă:
- De ce nu fugi de mine?
- Ha. Dar nu-mi pasă, pentru că sunt „e la puterea lui X”, iar tu nu-mi vei face nimic!
La care derivatul malefic cu un zâmbet insidios îi răspunde:
- Aici te înșeli, te voi diferenția prin „Y”, așa că ar trebui să fii zero.
Cine a înțeles gluma a stăpânit derivatele, cel puțin la nivelul „C”).
Exemplul 8
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții 
.
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția completă și exemplul problemei sunt la sfârșitul lecției.
Ei bine, asta e aproape tot. În cele din urmă, nu pot să nu le rog iubitorilor de matematică încă un exemplu. Nici măcar nu e vorba de amatori, fiecare are un alt nivel de pregătire matematică – sunt oameni (și nu atât de rari) cărora le place să concureze cu sarcini mai dificile. Deși, ultimul exemplu din această lecție nu este atât de complex, cât este greoi din punct de vedere computațional.
Sunt luate în considerare exemple de calculare a derivatelor de ordin superior ale funcțiilor explicite. Sunt date formule utile pentru calcularea derivatelor de ordinul al n-lea.
ConţinutDeterminarea derivatelor de ordin superior
Aici luăm în considerare cazul în care variabila y depinde în mod explicit de variabila x:
.
Diferențiând funcția față de variabila x, obținem derivata de ordinul întâi, sau pur și simplu derivata:
.
Ca rezultat, obținem o nouă funcție, care este o derivată a funcției. Diferențiând această nouă funcție față de variabila x, obținem derivata de ordinul doi:
.
Diferențiând funcția, obținem o derivată de ordinul trei:
.
Și așa mai departe. Diferențiând funcția originală de n ori, obținem derivata de ordinul a n-a sau derivata a n-a:
.
Derivatele pot fi notate linii, cifre romane, cifre arabe între paranteze sau fracții din diferențe. De exemplu, derivatele de ordinul trei și al patrulea pot fi notate după cum urmează:
;
.
Mai jos sunt formule care pot fi utile în calcularea derivatelor de ordin superior.
Formule utile pentru derivate de ordinul n-lea
Derivate ale unor funcţii elementare:
;
;
;
;
.
Derivată a sumei funcțiilor:
,
unde sunt constante.
formula Leibniz derivată a produsului a două funcții:
,
Unde
- coeficienți binomiali.
Exemplul 1
Găsiți derivatele de ordinul I și II ale următoarei funcții:
.
Găsim derivata de ordinul întâi. Luăm constanta în afara semnului derivatei și aplicăm formula din tabelul derivatelor:
.
Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe:
.
Aici .
Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe si folosim derivatele gasite:
.
Aici .
.
Pentru a găsi derivata de ordinul doi, trebuie să găsim derivata derivatei de ordinul întâi, adică a funcției:
.
Pentru a evita confuzia cu notația, să notăm această funcție cu litera:
(A1.1) .
Apoi derivată de ordinul doi din funcția originală este derivata funcției:
.
Găsirea derivatei funcției. Acest lucru este mai ușor de realizat folosind derivata logaritmică. Să logaritmizăm (A1.1):
.
Acum sa facem diferenta:
(A1.2) .
Dar este constant. Derivata sa este zero. Am găsit deja derivatul lui. Găsim derivatele rămase folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe.
;
;
.
Înlocuim în (A1.2):
.
De aici
.
;
.
Exemplul 2
Găsiți derivata de ordinul trei:
.
Găsirea derivatei de ordinul întâi. Pentru a face acest lucru, luăm constanta în afara semnului derivatei și folosim tabelul derivatelor si aplica regula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe .
.
Aici .
Deci, am găsit derivata de ordinul întâi:
.
Găsirea derivatei de ordinul doi. Pentru a face acest lucru, găsim derivata lui . Aplicam formula fractiei derivate.
.
Derivată de ordinul doi:
.
Acum găsim ceea ce căutăm derivată de ordinul trei. Pentru a face acest lucru, facem diferența.
;
;
.
Derivată de ordinul trei este egală cu
.
Exemplul 3
Găsiți derivata de ordinul șase a următoarei funcții:
.
Dacă deschideți parantezele, va fi clar că funcția originală este un polinom de grad . Să-l scriem ca polinom:
,
unde sunt coeficienți constanți.
Apoi, aplicăm formula pentru derivata a n-a a unei funcții de putere:
.
Pentru derivata de ordinul al șaselea (n = 6
) avem:
.
Din aceasta rezultă clar că la . Când avem:
.
Folosim formula pentru derivata unei sume de funcții:
.
Astfel, pentru a găsi derivata de ordinul șase a funcției originale, trebuie doar să găsim coeficientul polinomului la cel mai înalt grad. O găsim înmulțind cele mai mari puteri din produsele sumelor funcției inițiale:
.
De aici. Apoi
.
Exemplul 4
Aflați derivata a n-a a unei funcții
.
Exemplul 5
Găsiți derivata a n-a a următoarei funcții:
,
unde și sunt constante.
În acest exemplu, este convenabil să efectuați calcule folosind numere complexe. Să avem o funcție complexă
(A5.1) ,
unde și sunt funcții ale variabilei reale x;
- unitate imaginară, .
Diferențiând (A.1) de n ori, avem:
(A5.2) .
Uneori este mai ușor să găsești derivata a n-a a unei funcții. Atunci derivatele a n-a ale funcțiilor sunt definite ca părțile reale și imaginare ale derivatei a n-a:
;
.
Să folosim această tehnică pentru a rezolva exemplul nostru. Luați în considerare funcția
.
Aici am aplicat formula lui Euler
,
și a introdus denumirea
.
Atunci derivata a n-a a funcției originale este determinată de formula:
.
Să găsim derivata a n-a a funcției
.
Pentru a face acest lucru aplicăm formula:
.
În cazul nostru
.
Apoi
.
Deci, am găsit derivata a n-a a funcției complexe:
,
Unde .
Să găsim partea reală a funcției.
Pentru a face acest lucru, reprezentăm un număr complex în formă exponențială:
,
Unde ;
;
.
Apoi
;
.
Exemplu de soluție
.
Lăsa , .
Apoi ;
.
La ,
,
,
.
Și obținem formula pentru derivata a n-a a cosinusului:
.
,
Unde
;
.
Fiecare derivată parțială (prin Xși prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile pentru o valoare fixă a celeilalte variabile:
(Unde y= const),
(Unde X= const).
Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate folosind formule și reguli pentru calcularea derivatelor funcțiilor unei variabile, luând în considerare cealaltă constantă variabilă.
Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de teoria minimă necesară pentru aceasta, ci aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci accesați calculator de derivate parțiale online .
Dacă este greu să vă concentrați pentru a urmări unde se află constanta în funcție, atunci în schița de soluție a exemplului, în loc de o variabilă cu o valoare fixă, puteți înlocui orice număr - atunci puteți calcula rapid derivata parțială ca derivata obisnuita a unei functii a unei variabile. Trebuie doar să vă amintiți să returnați constanta (o variabilă cu o valoare fixă) la locul ei când terminați proiectul final.
Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate apărea în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide referința teoretică.
Conceptul de continuitate a funcției z= f(X, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.
Funcţie z = f(X, y) se numeste continuu intr-un punct daca
Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține ca urmare a creșterii ambelor argumente).
Să fie dată funcția z= f(X, y) și punct
Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu, X, cu o valoare fixă a altui argument y, atunci funcția va primi un increment
numită creștere parțială a funcției f(X, y) De X.
Luând în considerare o schimbare a funcției zîn funcție de schimbarea doar a unuia dintre argumente, trecem efectiv la o funcție a unei variabile.
Dacă există o limită finită
atunci se numește derivată parțială a funcției f(X, y) prin argumentare Xși este indicată de unul dintre simboluri
(4)
Creșterea parțială este determinată în mod similar z De y:
și derivată parțială f(X, y) De y:
(6)
Exemplul 1.
Soluţie. Găsim derivata parțială față de variabila „x”:
(y fix);
Găsim derivata parțială față de variabila „y”:
(X fix).
După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz este pur și simplu un anumit număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) al variabilei cu care găsim derivata parțială. . Dacă variabila fixă nu este înmulțită cu variabila cu care găsim derivata parțială, atunci această constantă singură, indiferent în ce măsură, ca în cazul derivatei obișnuite, dispare.
Exemplul 2. Dată o funcție
Găsiți derivate parțiale
(prin X) și (prin Y) și calculați valorile lor la punctul A (1; 2).
Soluţie. La fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției putere ( tabelul funcțiilor derivate ale unei variabile):
.
La fix X derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției exponențiale, iar al doilea - ca derivată a unei constante:
Acum să calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul respectiv A (1; 2):
Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online .
Exemplul 3. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții
Soluţie. Într-un singur pas găsim
(y X, de parcă argumentul sinelui ar fi 5 X: la fel, 5 apare înaintea semnului funcției);
(X este fix și este în acest caz un multiplicator la y).
Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online .
Derivatele parțiale ale unei funcții de trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.
Dacă fiecare set de valori ( X; y; ...; t) variabile independente din mulţime D corespunde unei anumite valori u din multi E, Acea u numită funcţie de variabile X, y, ..., t si denota u= f(X, y, ..., t).
Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.
Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt, de asemenea, determinate și calculate sub ipoteza că doar una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.
Exemplul 4. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții
.
Soluţie. yȘi z fix:
XȘi z fix:
XȘi y fix:
Găsiți singur derivate parțiale și apoi uitați-vă la soluții
Exemplul 5.
Exemplul 6. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții.
Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sensul mecanic este același cu derivata unei funcții a unei variabile, este rata de modificare a funcției în raport cu o modificare a unuia dintre argumente.
Exemplul 8. Valoarea cantitativă a debitului P călătorii feroviari pot fi exprimați prin funcție
Unde P– numărul de pasageri, N– numărul de rezidenți ai punctelor corespondente, R- distanta dintre puncte.
Derivată parțială a unei funcții P De R, egal
arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporțională cu pătratul distanței dintre punctele corespunzătoare cu același număr de rezidenți în puncte.
Derivată parțială P De N, egal
arată că creșterea fluxului de pasageri este proporțională cu dublul numărului de locuitori ai localităților aflate la aceeași distanță între puncte.
Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online .
Diferenţial complet
Produsul unei derivate parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferențială parțială. Diferențele parțiale se notează după cum urmează:
Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate
(7)
Exemplul 9. Găsiți diferența completă a unei funcții
Soluţie. Rezultatul utilizării formulei (7):
Se spune că o funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unui anumit domeniu este diferențiabilă în acel domeniu.
Găsiți singur diferența totală și apoi uitați-vă la soluție
La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-un anumit domeniu implică continuitatea acesteia în acest domeniu, dar nu invers.
Să formulăm fără dovezi o condiție suficientă pentru derivabilitatea unei funcții.
Teorema. Dacă funcţia z= f(X, y) are derivate parțiale continue
într-o regiune dată, atunci este diferențiabilă în această regiune și diferența sa este exprimată prin formula (7).
Se poate demonstra că, la fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este partea liniară principală a incrementului funcției, deci în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară în raport cu incrementele variabilelor independente, parte din incrementul total al funcției.
Pentru o funcție de două variabile, incrementul total al funcției are forma
(8)
unde α și β sunt infinitezimale la și .
Derivate parțiale de ordin superior
Derivate parțiale și funcții f(X, y) în sine sunt unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.
Să rezumam modul în care găsirea derivatelor parțiale diferă de găsirea derivatelor „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile:
1) Când găsim derivata parțială, Acea variabil este considerată o constantă.
2) Când găsim derivata parțială, Acea variabil este considerată o constantă.
3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă ( , sau altele) prin care se realizează diferenţierea.
Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.
Denumiri:
Sau – a doua derivată în raport cu „x”
Sau – a doua derivată în raport cu „Y”
Sau - amestecat derivat „de x igrek”
Sau - amestecat derivat „de igrek x”
Nu este nimic complicat în conceptul de derivată a doua. In termeni simpli, a doua derivată este derivata primei derivate.
Pentru claritate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite:
Mai întâi, să găsim derivate mixte:
După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiam din nou, dar în acest caz - de data aceasta în funcție de „Y”.
De asemenea:
Pentru exemple practice, când toate derivatele parțiale sunt continue, este valabilă următoarea egalitate:
Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.
Aflați derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, să o luăm și diferențiază-l prin „x” din nou:
De asemenea:
Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, deoarece nu există egalități minunate de verificat.
Exemplul 2
Găsiți derivatele parțiale de ordinul I și II ale funcției
Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).
Cu ceva experiență, derivatele parțiale din exemplele nr. 1 și 2 vor fi rezolvate oral de dvs.
Să trecem la exemple mai complexe.
Exemplul 3
Verifică asta . Notați diferența totală de ordinul întâi.
Soluție: Aflați derivatele parțiale de ordinul întâi:
Atenție la indice: , lângă „X” nu este interzis să scrieți între paranteze că este o constantă. Această notă poate fi foarte utilă pentru începători pentru a facilita navigarea prin soluție.
Comentarii suplimentare:
(1) Deplasăm toate constantele dincolo de semnul derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.
(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.
(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei; în acest caz, constanta este .
(2) Sub prim avem produsul a două funcții rămase, prin urmare, trebuie să folosim regula pentru diferențierea produsului 
.
(3) Nu uitați că aceasta este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: 
.
Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:
Aceasta înseamnă că toate calculele au fost efectuate corect.
Să notăm diferența totală. În contextul sarcinii luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.
Diferenţialul total de ordinul întâi al unei funcţii de două variabile are forma:
.
În acest caz:
Adică, trebuie doar să înlocuiți derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite în formulă. În această situație și în situații similare, cel mai bine este să scrieți semnele diferențiale în numărător:
Exemplul 4
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții 
. Verifică asta . Notați diferența totală de ordinul întâi.
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția completă și exemplul problemei sunt la sfârșitul lecției.
Să ne uităm la o serie de exemple care implică funcții complexe.
Exemplul 5
(1) Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe . Din clasa Derivată a unei funcții complexe trebuie reținut un punct foarte important: atunci când transformăm un sinus (funcție externă) într-un cosinus folosind tabelul, atunci avem o încorporare (funcție internă) nu se schimba.
(2) Aici folosim proprietatea rădăcinilor: , scoatem constanta din semnul derivatei și prezentăm rădăcina sub forma necesară diferențierii.
De asemenea: 
Să notăm diferența completă de ordinul întâi:
Exemplul 6
Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții 
.
Notați diferența totală.
Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției). Nu vă voi da o soluție completă pentru că este destul de simplă.
Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.
Exemplul 7
Găsiți derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției.
(1) Folosim regula de diferențiere a sumei.
(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece nu există nimic în expresie care să depindă de „x” - doar „y”.
(Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată în zero).
Pentru al doilea termen aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, nimic nu s-ar fi schimbat în algoritm dacă ar fi fost dată o funcție - este important ca aici să avem produs a două funcții, fiecare dintre ele depinde de „x”, deci trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.
