Înveliș liniar. §7. Exemple de spații liniare. Definiții și proprietăți înrudite

Vector(sau liniar) spaţiu- o structură matematică, care este un set de elemente numite vectori, pentru care se definesc operațiile de adunare între ele și de înmulțire cu un număr - un scalar. Aceste operații sunt supuse opt axiome. Scalarii pot fi elemente ale câmpului real, complex sau al oricărui alt câmp numeric. Un caz special al unui astfel de spațiu este spațiul euclidian tridimensional obișnuit, ai cărui vectori sunt utilizați, de exemplu, pentru a reprezenta forțele fizice. Trebuie remarcat faptul că un vector, ca element al spațiului vectorial, nu trebuie neapărat specificat sub forma unui segment direcționat. Generalizarea conceptului de „vector” la un element al unui spațiu vectorial de orice natură nu numai că nu provoacă confuzii de termeni, dar face și posibilă înțelegerea sau chiar prezicerea unui număr de rezultate care sunt valabile pentru spații de natură arbitrară.

Spațiile vectoriale sunt subiectul algebrei liniare. Una dintre principalele caracteristici ale unui spațiu vectorial este dimensiunea acestuia. Dimensiunea reprezintă numărul maxim de elemente liniar independente ale spațiului, adică recurgând la o interpretare geometrică grosieră, numărul de direcții inexprimabile între ele prin numai operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar. Spațiul vectorial poate fi dotat cu structuri suplimentare, cum ar fi o normă sau un produs interior. Astfel de spații apar în mod natural în analiza matematică, în primul rând sub forma spațiilor funcționale cu dimensiuni infinite. (Engleză), unde funcțiile sunt vectorii. Multe probleme de analiză necesită a afla dacă o secvență de vectori converge către un vector dat. Luarea în considerare a unor astfel de întrebări este posibilă în spații vectoriale cu structură suplimentară, în majoritatea cazurilor o topologie adecvată, care ne permite să definim conceptele de proximitate și continuitate. Astfel de spații vectoriale topologice, în special spațiile Banach și Hilbert, permit un studiu mai profund.

Primele lucrări care au anticipat introducerea conceptului de spațiu vectorial datează din secolul al XVII-lea. Atunci au început să se dezvolte geometria analitică, doctrina matricelor, sistemele de ecuații liniare și vectorii euclidieni.

Definiție

Liniar sau spațiu vectorial V (F) (\displaystyle V\stanga(F\dreapta)) peste câmp F (\displaystyle F)- acesta este un patru comandat (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Unde

• V (\displaystyle V)- un set nevid de elemente de natură arbitrară, care sunt numite vectori;
• F (\displaystyle F)- un câmp ale cărui elemente sunt numite scalari;
• Operațiune definită plus vectori V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), care asociază fiecare pereche de elemente x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) seturi V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) i-a numit Cantitate si desemnat x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Operațiune definită înmulțirea vectorilor cu scalari F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), potrivirea fiecărui element λ (\displaystyle \lambda) câmpuri F (\displaystyle F)și fiecare element x (\displaystyle \mathbf (x) ) seturi V (\displaystyle V) singurul element al setului V (\displaystyle V), notat λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) sau λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Spațiile vectoriale definite pe același set de elemente, dar pe câmpuri diferite, vor fi spații vectoriale diferite (de exemplu, setul de perechi de numere reale R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) poate fi un spațiu vectorial bidimensional peste câmpul numerelor reale sau unidimensional - peste câmpul numerelor complexe).

Cele mai simple proprietăți

1. Un spațiu vectorial este un grup abelian sub adunare.
2. Element neutru 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) pentru oricine .
4. Pentru oricine x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) element opus − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) este singurul lucru care decurge din proprietățile grupului.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) pentru oricine x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) pentru orice și x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) pentru oricine α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Definiții și proprietăți înrudite

Subspațiu

Definiție algebrică: Subspațiu liniar sau subspațiu vectorial- submult nevid K (\displaystyle K) spațiu liniar V (\displaystyle V) astfel încât K (\displaystyle K)în sine este un spațiu liniar în raport cu cele definite în V (\displaystyle V) operatii de adunare si inmultire cu un scalar. Setul tuturor subspațiilor este de obicei notat ca L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Pentru ca o submulțime să fie un subspațiu este necesar și suficient ca

Ultimele două afirmații sunt echivalente cu următoarele:

Pentru toți vectorii x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vector α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) a aparținut și K (\displaystyle K) pentru orice α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

În particular, un spațiu vectorial format dintr-un singur vector zero este un subspațiu al oricărui spațiu; fiecare spațiu este un subspațiu al lui însuși. Subspațiile care nu coincid cu aceste două sunt numite proprii sau nebanală.

Proprietățile subspațiilor

Combinații liniare

Suma finală a formularului

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

Combinația liniară se numește:

Bază. Dimensiune

Vectori x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) sunt numite dependent liniar, dacă există o combinație liniară netrivială a acestora a cărei valoare este egală cu zero; acesta este

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2) +\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

la unii coeficienţi α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots,\alpha _(n)\in F,)și cel puțin unul dintre coeficienți α i (\displaystyle \alpha _(i)) diferit de zero.

În caz contrar, acești vectori sunt numiți liniar independent.

Această definiție permite următoarea generalizare: un set infinit de vectori din V (\displaystyle V) numit dependent liniar, dacă unele sunt dependente liniar final un subset al acestuia și liniar independent, dacă vreunul dintre ei final submulțimea este liniar independentă.

Proprietățile bazei:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

Înveliș liniar

Înveliș liniar subseturi X (\displaystyle X) spațiu liniar V (\displaystyle V)- intersecția tuturor subspațiilor V (\displaystyle V) conținând X (\displaystyle X).

Spațiul liniar este un subspațiu V (\displaystyle V).

Înveliș liniar este, de asemenea, numit subspațiul generat X (\displaystyle X). Se mai spune că învelișul liniar V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- spatiu, întins peste o multime de X (\displaystyle X).

L- intersecție M toate subspațiile L conținând X .

Înveliș liniar este, de asemenea, numit subspațiul generat X. De obicei notat . Se mai spune că învelișul liniar întins peste o multime de X .

Proprietăți

Vezi si

Legături

Fundația Wikimedia. 2010.

• Jangar
• Sold de plată

Vedeți ce este „cochilia liniară” în alte dicționare:

COCASA LINEARĂ- intersecția M a tuturor subspațiilor care conțin mulțimea spațiului vectorial E. Mai mult, Mnaz. de asemenea un subspațiu generat de A. M. I. Voitsekhovsky... Enciclopedie matematică

Vectori de înveliș liniar

Vectori de înveliș liniar- un set de combinații liniare ale acestor vectori ∑αiаi cu toți coeficienții posibili (α1, …, αn) … Dicționar economic și matematic

vectori liniari de înveliș- Un set de combinatii liniare ale acestor vectori??iai cu toti coeficientii posibili (?1, …, ?n). Subiecte economie EN carenă liniară...

algebră liniară- Disciplina matematică, o secțiune de algebră, care conține, în special, teoria ecuațiilor liniare, matricelor și determinanților, precum și teoria spațiilor vectoriale (liniare). Relație liniară „relație de forma: a1x1 + a2x2 + … +… … Ghidul tehnic al traducătorului

Dependență liniară- „relație de forma: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, unde a1, a2, …, an sunt numere, dintre care cel puțin unul este diferit de zero; x1, x2, ..., xn sunt anumite obiecte matematice pentru care sunt definite operații de adunare... Dicționar economic și matematic

Coajă- vezi înveliș liniar... Dicționar economic și matematic

Dependență liniară

Combinație liniară- Spațiul liniar, sau spațiul vectorial, este principalul obiect de studiu al algebrei liniare. Cuprins 1 Definiție 2 Proprietăți cele mai simple 3 Definiții și proprietăți înrudite... Wikipedia

GRUP LINEAR este un grup de transformări liniare ale unui spațiu vectorial V de dimensiune finită n peste un anumit corp K. Alegerea unei baze în spațiul V realizează grupul liniar ca un grup de matrici pătrate nedegenerate de grad n peste corpul K. Se stabilește astfel un izomorfism... Enciclopedie matematică

Cărți

• Algebră liniară. Manual și atelier pentru educație open source Cumpărați pentru 1471 UAH (numai Ucraina)
• Algebră liniară. Manual și atelier pentru diplomă academică de licență, Kremer N.Sh.. Acest manual include o serie de concepte noi și întrebări suplimentare, cum ar fi norma unei matrice, metoda de completare a unei baze, izomorfismul spațiilor liniare, subspații liniare, liniare. ...

1. Set de polinoame P n (X) grade nu mai mari n.

2. O multime de n-secvente de termeni (cu adunare termen cu termen si inmultire cu un scalar).

3 . O mulțime de caracteristici C [ A , b ] continuu pe [ A, b] și cu adunare punctual și înmulțire cu un scalar.

4. Multe funcții specificate pe [ A, b] și dispare într-un punct interior fix c: f (c) = 0 și cu operații punctual de adunare și înmulțire cu un scalar.

5. Setați R+, dacă X ⊕ y  X  y, ⊙X X  .

§8. Definiţia subspace

Lasă decorul W este o submulțime a spațiului liniar V (W  V) și așa încât

a)  X, yW  X ⊕ yW;

b)  XW,    ⊙ XW.

Operațiile de adunare și înmulțire aici sunt aceleași ca în spațiu V(se numesc induse de spațiu V).

Asa de mult W numit subspațiu al spațiului V.

7  . Subspațiu Wîn sine este spațiu.

◀ Pentru a o demonstra, este suficient să dovediți existența unui element neutru și opusul acestuia. Egalități 0⊙ X=  și (–1)⊙ X = –X dovediți ceea ce este necesar.

Un subspațiu format doar dintr-un element neutru () și un subspațiu care coincide cu spațiul însuși V, sunt numite subspații triviale ale spațiului V.

§9. Combinație liniară de vectori. Intervalul liniar al sistemului vectorial

Lasă vectorii e 1 ,e 2 , …e n Vși  1,  2 , …  n .

Vector x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = numit liniar combinație de vectori e 1 , e 2 , … , e n cu coeficienți  1,  2 , …  n .

Dacă toți coeficienții dintr-o combinație liniară sunt egali cu zero, atunci combinația liniară numit banal.

Set de toate combinațiile liniare posibile de vectori
numită carenă liniară acest sistem de vectori și se notează:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Corectitudinea operațiilor de adunare și înmulțire cu un scalar rezultă din faptul că ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) este o mulțime de toate combinațiile liniare posibile. Elementul neutru este o combinație liniară trivială. Pentru element X=
opusul este elementul - X =
. Sunt satisfăcute și axiomele pe care operațiile trebuie să le îndeplinească. Astfel,ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) este un spațiu liniar.

Orice spațiu liniar conține, în cazul general, un număr infinit de alte spații liniare (subspații) - învelișuri liniare

Pe viitor vom încerca să răspundem la următoarele întrebări:

Când învelișurile liniare ale diferitelor sisteme vectoriale constau din aceiași vectori (adică coincid)?

2) Care este numărul minim de vectori care definesc aceeași distanță liniară?

3) Este spațiul original un interval liniar al unui sistem de vectori?

§10. Sisteme vectoriale complete

Dacă în spațiu V există o mulțime finită de vectori
deci ce,ℒ
 V, apoi sistemul de vectori
se numește sistem complet în V, iar spațiul se numește dimensional finit. Astfel, sistemul de vectori e 1 , e 2 , …, e n V numit complet in V sistem, adică Dacă

XV   1 ,  2 , …  n astfel încât x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Dacă în spațiu V nu există un sistem complet finit (și un sistem complet există întotdeauna - de exemplu, mulțimea tuturor vectorilor spațiului V), apoi spațiul V este numit infinit-dimensional.

9  . Dacă
plin in V sistem de vectori și y V, Acea ( e 1 , e 2 , …, e n , y) este, de asemenea, un sistem complet.

◀ În combinațiile liniare coeficientul înainte y ia egal cu 0.

Fie un sistem de vectori din . Înveliș liniar sisteme vectoriale este mulțimea tuturor combinațiilor liniare de vectori ai unui sistem dat, adică

Proprietățile unei învelișuri liniare: Dacă , atunci pentru și .

Învelișul liniar are proprietatea de a fi închis în raport cu operațiile liniare (operațiile de adunare și înmulțire cu un număr).

O submulțime a unui spațiu care are proprietatea de a fi închis în raport cu operațiile de adunare și înmulțire cu numere se numeștesubspațiu liniar al spațiului .

Învelișul liniar al unui sistem de vectori este un subspațiu liniar al spațiului.

Sistemul de vectori din se numește bază ,Dacă

Orice vector poate fi exprimat ca o combinație liniară de vectori de bază:

2. Sistemul de vectori este liniar independent.

Lema Coeficienți de expansiune vectorială în funcție de bază sunt determinate în mod unic.

Vector , compus din coeficienți de expansiune vectorială după bază se numește vectorul de coordonate al vectorului în bază .

Desemnare . Această intrare subliniază faptul că coordonatele vectorului depind de bază.

Spații liniare

Definiții

Să fie dat un set de elemente de natură arbitrară. Să fie definite două operații pentru elementele acestei mulțimi: adunarea și înmulțirea cu oricare real număr: , și setați închis cu privire la aceste operaţiuni: . Lasă aceste operații să se supună axiomelor:

3. Există un vector zero cu proprietatea pentru ;

4. pentru fiecare există un vector invers cu proprietatea ;

6. pentru , ;

7. pentru , ;

Atunci se numește un astfel de set spațiu liniar (vector)., elementele sale se numesc vectori, și - pentru a sublinia diferența lor față de numerele de la - acestea din urmă sunt numite scalari 1) . Se numește un spațiu format dintr-un singur vector zero banal .

Dacă în axiomele 6 - 8 permitem înmulțirea cu scalari complecși, atunci un astfel de spațiu liniar se numește cuprinzătoare. Pentru a ne simplifica raționamentul, în cele ce urmează vom lua în considerare doar spațiile reale.

Un spațiu liniar este un grup în raport cu operația de adunare și un grup abelian.

Unicitatea vectorului zero și unicitatea vectorului invers față de vector sunt ușor de demonstrat: , este de obicei desemnat .

Un subset al unui spațiu liniar care este el însuși un spațiu liniar (adică închis prin adăugarea vectorilor și înmulțirea cu un scalar arbitrar) se numește subspațiu liniar spaţiu. Subspații triviale Un spațiu liniar se numește el însuși și spațiul constând dintr-un vector zero.

Exemplu. Spațiul triplelor ordonate ale numerelor reale

operații definite de egalități:

Interpretarea geometrică este evidentă: un vector în spațiu, „legat” de origine, poate fi specificat în coordonatele capătului său. Figura arată și un subspațiu tipic al spațiului: un plan care trece prin origine. Mai exact, elementele sunt vectori care încep de la origine și se termină în puncte din plan. Închiderea unei astfel de mulțimi în ceea ce privește adăugarea vectorilor și dilatarea lor 2) este evidentă.

Pe baza acestei interpretări geometrice, se vorbește adesea despre un vector al unui spațiu liniar arbitrar ca punct în spațiu. Uneori, acest punct este numit „sfârșitul vectorului”. În afară de comoditatea percepției asociative, acestor cuvinte nu li se dă nici un sens formal: conceptul de „sfârșit al unui vector” este absent în axiomatica spațiului liniar.

Exemplu. Pe baza aceluiași exemplu, putem oferi o interpretare diferită a spațiului vectorial (încorporat, de altfel, în însăși originea cuvântului „vector” 3)) - definește un set de „deplasări” de puncte în spațiu. Aceste deplasări - sau translații paralele ale oricărei figuri spațiale - sunt alese să fie paralele cu planul.

În general, cu astfel de interpretări ale conceptului de vector, totul nu este atât de simplu. Încercările de a face apel la sensul său fizic - ca obiect care are mărimeaȘi direcţie- provocați o mustrare corectă din partea matematicienilor stricți. Definiția unui vector ca element al spațiului vectorial amintește foarte mult de episodul cu sepulchami din celebra poveste science-fiction a lui Stanislaw Lem (vezi ☞AICI). Să nu ne agățăm de formalism, ci să explorăm acest obiect neclar în manifestările sale particulare.

Exemplu. O generalizare firească este spațiul: spațiu vectorial rând sau coloană . O modalitate de a specifica un subspațiu este de a specifica un set de constrângeri.

Exemplu. Mulțimea soluțiilor unui sistem de ecuații liniare omogene:

formează un subspațiu liniar al spațiului. De fapt, dacă

Soluția sistemului, deci

Aceeași soluție pentru orice. Dacă

O altă soluție pentru sistem, atunci

Va fi și decizia ei.

De ce există multe soluții pentru sistem? eterogen ecuațiile nu formează un subspațiu liniar?

Exemplu. Generalizând în continuare, putem considera spațiul șirurilor „infinite” sau secvente , de obicei obiectul analizei matematice - atunci când se consideră secvențe și serii. Puteți considera linii (secvențe) „infinite în ambele direcții” - sunt folosite în TEORIA SEMNULUI.

Exemplu. Mulțimea de -matrici cu elemente reale cu operațiile de adunare și înmulțire a matricelor cu numere reale formează un spațiu liniar.

În spațiul matricelor de ordin pătrat se pot distinge două subspații: subspațiul matricelor simetrice și subspațiul matricelor simetrice. În plus, subspații formează fiecare dintre mulțimile: matrice triunghiulară superioară, matrice idiagonală triunghiulară inferioară.

Exemplu. O mulțime de polinoame de un grad variabil exact egal cu coeficienții lui (unde este oricare dintre mulțimi sau ) cu operațiile obișnuite de adunare a polinoamelor și înmulțire cu un număr din nu se formează spațiu liniar. De ce? - Pentru că nu este închisă sub adunare: suma polinoamelor nu va fi un polinom de gradul al treilea. Dar aici sunt o mulțime de polinoame de grad nu mai sus

forme spațiale liniare; numai la această mulţime trebuie să adăugăm şi un polinom identic nul 4). Subspațiile evidente sunt . În plus, subspațiile vor fi mulțimea de polinoame pare și mulțimea de polinoame impare de grad cel mult . Mulțimea tuturor polinoamelor posibile (fără restricții de grade) formează, de asemenea, un spațiu liniar.

Exemplu. O generalizare a cazului anterior va fi spațiul de polinoame de mai multe variabile de grad cel mult cu coeficienți din . De exemplu, mulțimea de polinoame liniare

formează un spațiu liniar. Mulțimea de polinoame (forme) omogene de grad (cu adăugarea unui polinom identic zero la această mulțime) este, de asemenea, un spațiu liniar.

În ceea ce privește definiția de mai sus, setul de șiruri de caractere cu componente întregi

luate în considerare cu privire la operaţiile de adunare şi înmulţire pe componente prin numere întregi scalari nu este un spațiu liniar. Cu toate acestea, toate axiomele 1 - 8 vor fi satisfăcute dacă permitem înmulțirea numai cu scalari întregi. În această secțiune nu ne vom concentra asupra acestui obiect, dar este destul de util în matematică discretă, de exemplu în ☞ TEORIA CODIFICARII. Spațiile liniare peste câmpuri finite sunt considerate ☞ AICI.

Variabilele sunt izomorfe cu spațiul matricelor simetrice de ordinul al-lea. Izomorfismul este stabilit printr-o corespondență, pe care o vom ilustra pentru cazul:

Conceptul de izomorfism este introdus pentru a realiza studiul obiectelor care apar în diferite zone ale algebrei, dar cu proprietăți „similare” ale operațiilor, folosind exemplul unui eșantion, elaborând rezultate pe acesta care pot fi apoi replicate ieftin. Ce spațiu liniar ar trebui să luăm „ca probă”? - Vezi sfârșitul următorului paragraf

L- intersecție M toate subspațiile L conținând X .

Înveliș liniar este, de asemenea, numit subspațiul generat X. De obicei notat . Se mai spune că învelișul liniar întins peste o multime de X .

Proprietăți

Vezi si

Legături

Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce este „cochilia liniară” în alte dicționare:

Intersecția lui M a tuturor subspațiilor care conțin mulțimea spațiului vectorial E. Mai mult, Mnaz. de asemenea un subspațiu generat de A. M. I. Voitsekhovsky... Enciclopedie matematică

Vectori de înveliș liniar

Vectori de înveliș liniar- un set de combinații liniare ale acestor vectori ∑αiаi cu toți coeficienții posibili (α1, …, αn) … Dicționar economic și matematic

vectori liniari de înveliș- Un set de combinatii liniare ale acestor vectori??iai cu toti coeficientii posibili (?1, …, ?n). Subiecte economie EN carenă liniară...

algebră liniară- Disciplina matematică, o secțiune de algebră, care conține, în special, teoria ecuațiilor liniare, matricelor și determinanților, precum și teoria spațiilor vectoriale (liniare). Relație liniară „relație de forma: a1x1 + a2x2 + … +… … Ghidul tehnic al traducătorului

Dependență liniară- „relație de forma: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, unde a1, a2, …, an sunt numere, dintre care cel puțin unul este diferit de zero; x1, x2, ..., xn sunt anumite obiecte matematice pentru care sunt definite operații de adunare... Dicționar economic și matematic

Coajă- vezi înveliș liniar... Dicționar economic și matematic

Spațiul liniar, sau spațiul vectorial, este obiectul principal de studiu al algebrei liniare. Cuprins 1 Definiție 2 Proprietăți cele mai simple 3 Definiții și proprietăți înrudite ... Wikipedia

Un grup de transformări liniare ale unui spațiu vectorial V de dimensiune finită n peste un anumit corp K. Alegerea unei baze în spațiul V realizează grupul liniar ca un grup de matrici pătrate nedegenerate de grad n peste corpul K. Astfel, se stabilește un izomorfism... Enciclopedie matematică

Cărți

• Algebră liniară. Manual și atelier pentru software open source
• Algebră liniară. Manual și atelier pentru diplomă academică de licență, Kremer N.Sh.. Acest manual include o serie de concepte noi și întrebări suplimentare, cum ar fi norma unei matrice, metoda de completare a unei baze, izomorfismul spațiilor liniare, subspații liniare, liniare. ...