Formulele de bază ale trigonometriei sunt formule care stabilesc relații între funcțiile trigonometrice de bază. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt interconectate prin multe relații. Mai jos sunt principalele formule trigonometrice, iar pentru comoditate, le grupăm în funcție de scopul lor. Folosind aceste formule, puteți rezolva aproape orice problemă de la cursul standard de trigonometrie. Observăm imediat că mai jos sunt date doar formulele în sine, și nu derivarea lor, cărora le vor fi consacrate articole separate.
Identități de bază ale trigonometriei
Identitățile trigonometrice dau o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi, permițând unei funcții să fie exprimată în termenii altuia.
Identități trigonometrice
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α
Aceste identități rezultă direct din definițiile cercului unitar, sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg) și cotangente (ctg).
Formule turnate
Formulele de turnare vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare și arbitrar mari la lucrul cu unghiuri cuprinse între 0 și 90 de grade.
Formule turnate
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
Formulele de reducere sunt o consecință a periodicității funcții trigonometrice.
Formule trigonometrice de adunare
Formulele de adunare din trigonometrie vă permit să exprimați funcția trigonometrică a sumei sau diferenței unghiurilor în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri.
Formule trigonometrice de adunare
sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
Pe baza formulelor de adunare, sunt derivate formule trigonometrice pentru un unghi multiplu.
Formule cu mai multe unghiuri: dublu, triplu etc.
Formule cu unghi dublu și triplusin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α cu t g 2 α \u003d cu t g 2 α - 1 2 cu t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1
Formule cu jumătate de unghi
Formulele de semiunghi în trigonometrie sunt o consecință a formulelor de unghi dublu și exprimă relația dintre funcțiile de bază ale semiunghiului și cosinusul întregului unghi.
Formule cu jumătate de unghi
sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
Formule de reducere
Formule de reduceresin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Adesea, în calcule, este incomod să operezi cu puteri greoaie. Formulele de reducere a gradului vă permit să reduceți gradul unei funcții trigonometrice de la arbitrar mare la prima. Iată viziunea lor generală:
Forma generală a formulelor de reducere
pentru chiar n
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)
pentru n. impar
sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)
Suma și diferența funcțiilor trigonometrice
Diferența și suma funcțiilor trigonometrice pot fi reprezentate ca un produs. Factorizarea diferențelor de sinusuri și cosinus este foarte convenabilă de aplicat atunci când rezolvați ecuații trigonometriceși simplificarea expresiilor.
Suma și diferența funcțiilor trigonometrice
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2
Produsul funcțiilor trigonometrice
Dacă formulele pentru suma și diferența funcțiilor vă permit să mergeți la produsul lor, atunci formulele pentru produsul funcțiilor trigonometrice efectuează tranziția inversă - de la produs la sumă. Sunt luate în considerare formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.
Formule pentru produsul funcțiilor trigonometrice
sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))
Substituție trigonometrică universală
Toate funcțiile trigonometrice de bază - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă - pot fi exprimate în termenii tangentei unui jumătate de unghi.
Substituție trigonometrică universală
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Formule de bază ale trigonometriei. Lectia 1
Numărul de formule folosite în trigonometrie este destul de mare (prin „formule” înțelegem nu definiții (de exemplu, tgx=sinx/cosx), ci egalități identice precum sin2x=2sinxcosx). Pentru a naviga mai ușor în această abundență de formule și pentru a nu obosi studenții cu înghesuiala fără sens, este necesar să le evidențiem pe cele mai importante dintre ele. Sunt puțini dintre ei - doar trei. Toate restul rezultă din aceste trei formule. Acesta este principalul identitate trigonometricăși formule pentru sinusul și cosinusul sumei și diferenței:
Sin2x+cos2x=1 (1)
Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)
Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)
Din aceste trei formule rezultă absolut toate proprietățile sinusului și cosinusului (periodicitatea, valoarea perioadei, valoarea sinusului 30 0 = π/6=1/2 etc.) Din acest punct de vedere, în curiculumul scolar sunt folosite o mulțime de informații formal superflue, redundante. Deci, formulele „1-3” sunt conducătorii regnului trigonometric. Să trecem la formule-consecințe:
1) Sinusurile și cosinusurile unghiurilor multiple
Dacă înlocuim în (2) și (3) valoarea x=y , obținem:
Sin2x=2sinxcosx; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0
Cos2x=cos 2x-sin 2x; cos0=cos2x+sin2x=1
Am dedus că sin0=0; cos0=1 fără a ne referi la interpretarea geometrică a sinusului și cosinusului. În mod similar, prin aplicarea formulelor „2-3” de două ori, putem deriva expresii pentru sin3x; cos3x; sin4x; cos4x etc.
Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 X
Sarcină pentru studenți: obțineți expresii similare pentru cos3x; sin4x; cos4x
2) Formule de reducere
Rezolvați problema inversă exprimând puterile sinusului și cosinusului în termeni de cosinus și sinusuri ale unghiurilor multiple.
De exemplu: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, deci: cos 2 x=1/2+cos2x/2
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, deci: sin 2 x=1/2-cos2x/2
Aceste formule sunt folosite foarte des. Pentru a le înțelege mai bine, vă sfătuiesc să desenați grafice ale părților lor din stânga și din dreapta. Graficele pătratelor cosinusului și sinusului „înfășoară” în jurul graficului dreptei „y \u003d 1/2” (aceasta este valoarea medie a cos 2 x și sin 2 x pentru multe perioade). În acest caz, frecvența de oscilație se dublează față de cea inițială (perioada funcțiilor cos 2 x sin 2 x este 2π /2=π), iar amplitudinea oscilației este înjumătățită (coeficientul 1/2 în fața cos2x).
Sarcina: exprima sin 3 x; cos 3x; sin4x; cos 4 x în termeni de cosinus și sinusuri ale unghiurilor multiple.
3) Formule turnate
Ei folosesc periodicitatea funcțiilor trigonometrice, permițându-vă să calculați valorile lor în orice sferturi ale cercului trigonometric din valorile din primul trimestru. Formulele de reducere sunt cazuri foarte speciale de formule „principale” (2-3). De exemplu: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx
Deci Cos(x+ π/2) =sinx
Sarcină: deducerea formulelor de reducere pentru sin(x+ π/2); cos(x+ 3 π/2)
4) Formule care convertesc suma sau diferența unui cosinus și a unui sinus într-un produs și invers.
Să scriem formula pentru sinusul sumei și diferenței a două unghiuri:
Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx(1)
Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx(2)
Adăugăm părțile din stânga și din dreapta acestor egalități:
Sin(x+y) + sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx
Termenii similari se anulează, deci:
sin(x+y) + sin(x-y) = 2sinxcozy(*)
a) când citim (*) de la dreapta la stânga, obținem:
Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)
Produsul sinusurilor a două unghiuri este jumătate din suma sinusurilor sumei și diferenței acestor unghiuri.
b) la citirea (*) de la stânga la dreapta, este convenabil să notăm:
x-y = s. De aici găsim Xși la prin Rși cu, adunând și scăzând părțile stânga și dreaptă ale acestor două egalități:
x \u003d (p + c) / 2, y \u003d (p-c) / 2, înlocuind cu (*) în loc de (x + y) și (x-y) noile variabile derivate Rși cu, reprezintă suma sinusurilor prin produsul:
sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)
Deci, o consecință directă a formulei de bază pentru sinusul sumei și diferenței unghiurilor sunt două relații noi (4) și (5).
c) acum, în loc să adunăm părțile stânga și dreaptă ale egalităților (1) și (2), le vom scădea una de la alta:
sin(x+y) - sin(x-y) = 2sinycosx(6)
Citirea acestei identități de la dreapta la stânga duce la o formulă similară cu (4), care se dovedește a fi neinteresantă, deoarece știm deja cum să descompunăm produsele sinusului și cosinusului într-o sumă de sinuri (vezi (4)). Citirea (6) de la stânga la dreapta oferă o formulă care pliază diferența de sinusuri într-un produs:
sinp - sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)
Deci, dintr-o singură identitate fundamentală sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx, am obținut până la trei noi (4), (5), (7).
Lucrări similare efectuate cu o altă identitate fundamentală cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny conduce deja la patru noi:
Cosxcosy = ½(cos(x+y) + cos(x-y)); cosp + cosc = 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);
Sinxsiny = ½ (cos(x-y) - cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)
Sarcină: convertiți suma sinusului și cosinusului într-un produs:
sinx +cosy = ? Soluție: dacă încercați să nu derivați formula, dar să aruncați imediat răspunsul într-un tabel de formule trigonometrice, atunci este posibil să nu găsiți rezultatul final. Elevii ar trebui să înțeleagă că nu este nevoie să memoreze și să introducă în tabel încă o formulă pentru sinx + cozy \u003d ..., deoarece orice cosinus poate fi reprezentat ca sinus și, invers, folosind formule de reducere, de exemplu: sinx \u003d cos (π / 2 - x), confortabil \u003d sin (π / 2 - y). Prin urmare: sinx + confortabil \u003d sinx + sin (π / 2 - y) \u003d 2sin ((x + π / 2 - y) / 2) cos ((x - π / 2 + y) / 2.
