Funcțiile unei forme complexe nu sunt în întregime corecte pentru a numi termenul „funcție complexă”. De exemplu, pare foarte impresionant, dar această funcție nu este complicată, spre deosebire de.
În acest articol, vom înțelege conceptul functie complexa, vom învăța cum să-l identificăm ca parte a funcțiilor elementare, vom oferi o formulă pentru găsirea derivatei sale și vom analiza în detaliu soluția exemplelor tipice.
Când rezolvăm exemple, vom folosi constant tabelul de derivate și regulile de diferențiere, așa că ține-le în fața ochilor tăi.
Funcție complexă este o funcție al cărei argument este și o funcție.
Din punctul nostru de vedere, această definiție este cea mai de înțeles. În mod convențional, poate fi notat ca f(g(x)). Adică, g(x) este, așa cum ar fi, un argument al funcției f(g(x)) .
De exemplu, dacă f este funcția arctangentă și g(x) = lnx este funcția logaritm natural, atunci funcția complexă f(g(x)) este arctg(lnx) . Un alt exemplu: f este o funcție de ridicare la puterea a patra și 
este o întreagă funcție rațională (vezi ), atunci 
.
La rândul său, g(x) poate fi și o funcție complexă. De exemplu, 
. În mod convențional, o astfel de expresie poate fi notată ca 
. Aici f este funcția sinus, este funcția rădăcină pătrată, 
este o funcție rațională fracțională. Este logic să presupunem că gradul de imbricare al funcțiilor poate fi orice finit numar natural.
Puteți auzi adesea că este numită o funcție complexă compoziția funcției.
Formula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe.
Exemplu.
Aflați derivata unei funcții complexe.
Decizie.
LA acest exemplu f este funcția de pătrat, iar g(x) = 2x+1 este funcție liniară.
Iată o soluție detaliată folosind formula pentru derivata unei funcții complexe: 
Să găsim această derivată, după simplificarea formei funcției originale.
Prin urmare,
După cum puteți vedea, rezultatele se potrivesc.
Încercați să nu confundați care funcție este f și care este g(x) .
Să explicăm acest lucru cu un exemplu pentru atenție.
Exemplu.
Găsiți derivate ale funcțiilor complexe și .
Decizie.
În primul caz, f este funcția de pătrat și g(x) este funcția sinus, deci
.
În al doilea caz, f este o funcție sinus și este o funcție de putere. Prin urmare, prin formula pentru produsul unei funcții complexe, avem
Formula derivată pentru o funcție are forma 
Exemplu.
Funcția de diferențiere 
.
Decizie.
În acest exemplu, funcția complexă poate fi scrisă condiționat ca 
, unde este funcția sinus, funcția de ridicare la a treia putere, funcția de logaritm la baza e, funcția de luare a arc-tangentei și respectiv funcția liniară.
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe 
Acum găsim
Adunând rezultatele intermediare obținute: 
Nu este nimic groaznic, dezasamblați funcții complexe precum păpușile de cuib.
Acest lucru ar fi putut încheia articolul, dacă nu unul, dar...
Este de dorit să înțelegeți clar când să aplicați regulile de diferențiere și tabelul derivatelor și când formula pentru derivata unei funcții complexe.
FI FOARTE ATENȚIE ACUM. Vom vorbi despre diferența dintre funcțiile complexe și funcțiile complexe. Din cât de mult vezi această diferență, succesul în găsirea derivatelor va depinde.
Să începem cu exemple simple. Funcţie 
poate fi considerat complex: g(x) = tgx , 
. Prin urmare, puteți aplica imediat formula pentru derivata unei funcții complexe 
Și aici este funcția 
nu mai poate fi numit dificil.
Această funcție este suma a trei funcții, 3tgx și 1. Deși - este o funcție complexă: - este o funcție de putere (o parabolă pătratică), iar f este o funcție tangentă. Prin urmare, aplicăm mai întâi formula de diferențiere a sumei: 
Rămâne de găsit derivata unei funcții complexe: 
Asa de .
Sperăm că înțelegeți esențialul.
Dacă priviți mai larg, se poate argumenta că funcțiile de tip complex pot face parte din funcții complexe, iar funcțiile complexe pot fi componente ale funcțiilor de tip complex.
De exemplu, să analizăm părțile componente ale funcției 
.
În primul rând, este o funcție complexă care poate fi reprezentată ca , unde f este funcția logaritmică de bază 3 și g(x) este suma celor două funcții 
și 
. adica 
.
În al doilea rând, să ne ocupăm de funcția h(x) . Este legat de 
.
Aceasta este suma a două funcții și 
, Unde 
este o funcție complexă cu un coeficient numeric de 3 . - funcţie cub, - funcţie cosinus, - funcţie liniară.
Aceasta este suma a două funcții și , unde 
- funcţie complexă, - funcţie exponenţială, - funcţie exponenţială.
Prin urmare, .
În al treilea rând, mergeți la , care este produsul unei funcții complexe 
și o întreagă funcție rațională
Funcția de pătrat este funcția de logaritm la baza e.
Prin urmare, .
A rezuma: 
Acum structura funcției este clară și a devenit clar ce formule și în ce secvență să se aplice la diferențierea acesteia.
În secțiunea diferențierea unei funcții (găsirea unei derivate) puteți găsi soluția unor astfel de probleme.
Este foarte ușor de reținut.
Ei bine, nu vom merge departe, vom lua în considerare imediat funcția inversă. Care functie este inversa functie exponentiala? Logaritm:
În cazul nostru, baza este un număr:
Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu o bază) se numește unul „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.
Cu ce este egal? Desigur, .
Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:
Exemple:
- Aflați derivata funcției.
- Care este derivata functiei?
Raspunsuri: Expozant și logaritmul natural- funcțiile sunt unic simple în ceea ce privește derivata. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.
Reguli de diferențiere
Ce reguli? Un alt termen nou, din nou?!...
Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.
Numai și totul. Care este un alt cuvânt pentru acest proces? Nu proizvodnovanie... Diferenţialul de matematică se numeşte însăşi incrementul funcţiei la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.
Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. Vom avea nevoie și de formule pentru incrementele lor:
Sunt 5 reguli în total.
Constanta este scoasă din semnul derivatei.
Dacă - un număr constant (constant), atunci.
Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .
Să demonstrăm. Lasă, sau mai ușor.
Exemple.
Găsiți derivate ale funcțiilor:
- la punct;
- la punct;
- la punct;
- la punct.
Solutii:
- (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece este o funcție liniară, vă amintiți?);
Derivat al unui produs
Totul este similar aici: introducem o nouă funcție și găsim incrementul acesteia:
Derivat:
Exemple:
- Găsiți derivate ale funcțiilor și;
- Aflați derivata unei funcții într-un punct.
Solutii:
Derivată a funcției exponențiale
Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponentul (ai uitat încă ce este?).
Deci unde este un număr.
Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să aducem funcția noastră la o nouă bază:
Pentru asta folosim regula simpla: . Apoi:
Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.
S-a întâmplat?
Iată, verifică-te:
Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata exponentului: așa cum a fost, rămâne, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.
Exemple:
Găsiți derivate ale funcțiilor:
Raspunsuri:
Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu poate fi scris într-o formă mai simplă. Prin urmare, în răspuns este lăsat în această formă.
Rețineți că aici este câtul a două funcții, așa că aplicăm regula de diferențiere corespunzătoare:
În acest exemplu, produsul a două funcții:
Derivată a unei funcții logaritmice
Aici este similar: știți deja derivata logaritmului natural:
Prin urmare, pentru a găsi un arbitrar din logaritm cu o bază diferită, de exemplu:
Trebuie să aducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:
Abia acum în loc de noi vom scrie:
Numitorul s-a dovedit a fi doar o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivatul este foarte simplu:
Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examen, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.
Derivată a unei funcții complexe.
Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arc tangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă logaritmul ți se pare dificil, citește subiectul „Logaritmi” și totul va funcționa), dar în materie de matematică, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.
Imaginați-vă un transportor mic: doi oameni stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul înfășoară un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Se dovedește un astfel de obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii opuși în ordine inversă.
Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătra numărul rezultat. Așadar, ne dau un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, facem prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce s-a întâmplat ca urmare a primei.
Cu alte cuvinte, O funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .
Pentru exemplul nostru, .
S-ar putea să facem aceiași pași în ordine inversă: mai întâi pătrați, apoi caut cosinusul numărului rezultat:. Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.
Al doilea exemplu: (la fel). .
Ultima acțiune pe care o facem va fi numită funcția „externă”., și acțiunea efectuată prima - respectiv funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).
Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:
Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, în funcție
- Ce măsuri vom lua mai întâi? Mai întâi calculăm sinusul și abia apoi îl ridicăm la un cub. Deci este o funcție internă, nu una externă.
Iar funcția inițială este compoziția lor: . - Intern: ; extern: .
Examinare: . - Intern: ; extern: .
Examinare: . - Intern: ; extern: .
Examinare: . - Intern: ; extern: .
Examinare: .
schimbăm variabile și obținem o funcție.
Ei bine, acum ne vom extrage ciocolata - căutați derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. Pentru exemplul original, arată astfel:
Alt exemplu:
Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:
Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:
Pare a fi simplu, nu?
Să verificăm cu exemple:
Solutii:
1) Intern: ;
Extern: ;
2) Intern: ;
(doar nu încercați să reduceți până acum! Nu se scoate nimic de sub cosinus, vă amintiți?)
3) Intern: ;
Extern: ;
Este imediat clar că aici există o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și încă extragem rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolată într-un ambalaj iar cu o panglică într-o servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: oricum, vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.
Adică mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.
În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:
Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența de acțiuni - ca și înainte:
Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.
1. Exprimarea radicală. .
2. Rădăcină. .
3. Sinusul. .
4. Pătrat. .
5. Punând totul împreună:
DERIVAT. SCURT DESPRE PRINCIPALA
Derivată de funcție- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului cu o creștere infinitezimală a argumentului:
Derivate de bază:
Reguli de diferențiere:
Constanta este scoasă din semnul derivatei:
Derivată a sumei:
Produs derivat:
Derivată a coeficientului:
Derivata unei functii complexe:
Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:
- Definim funcția „internă”, găsim derivata ei.
- Definim funcția „externă”, găsim derivata ei.
- Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.
Sunt date exemple de calculare a derivatelor folosind formula pentru derivata unei funcții complexe.
ConţinutVezi si: Dovada formulei pentru derivata unei funcții complexe
Formule de bază
Aici oferim exemple de calculare a derivatelor următoarelor funcții:
;
;
;
;
.
Dacă o funcție poate fi reprezentată ca o funcție complexă în următoarea formă:
,
atunci derivata sa este determinată de formula:
.
În exemplele de mai jos, vom scrie această formulă în următoarea formă:
.
Unde .
Aici, indicele sau , situate sub semnul derivatei, denotă variabila în raport cu care se realizează diferențierea.
De obicei, în tabelele de derivate sunt date derivatele funcțiilor din variabila x. Cu toate acestea, x este un parametru formal. Variabila x poate fi înlocuită cu orice altă variabilă. Prin urmare, la diferențierea unei funcții de o variabilă , pur și simplu schimbăm, în tabelul derivatelor, variabila x în variabila u .
Exemple simple
Exemplul 1
Aflați derivata unei funcții complexe
.
Să scriem funcţie dată in forma echivalenta:
.
În tabelul derivatelor găsim:
;
.
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem:
.
Aici .
Exemplul 2
Găsiți derivată
.
Scoatem constanta 5 dincolo de semnul derivatei și din tabelul derivatelor găsim:
.
.
Aici .
Exemplul 3
Găsiți derivata
.
Scoatem constanta -1
pentru semnul derivatei și din tabelul derivatelor găsim:
;
Din tabelul derivatelor găsim:
.
Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe:
.
Aici .
Exemple mai complexe
În mai mult exemple dificile aplicăm de mai multe ori regula de diferențiere a unei funcții complexe. Făcând acest lucru, calculăm derivata de la final. Adică, împărțim funcția în părțile sale componente și găsim derivatele celor mai simple părți folosind tabel de derivate. Aplicam si noi reguli de diferențiere a sumei, produse si fractii . Apoi facem substituții și aplicăm formula pentru derivata unei funcții complexe.
Exemplul 4
Găsiți derivata
.
Selectăm cea mai simplă parte a formulei și găsim derivata acesteia. .
.
Aici am folosit notația
.
Găsim derivata următoarei părți a funcției originale, aplicând rezultatele obținute. Aplicam regula de diferentiere a sumei:
.
Încă o dată, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.
.
Aici .
Exemplul 5
Aflați derivata unei funcții
.
Să selectăm cea mai simplă parte a formulei și să găsim derivata acesteia din tabelul cu derivate. .
Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe.
.
Aici
.
Diferențiem partea următoare, aplicând rezultatele obținute.
.
Aici
.
Să diferențiem următoarea parte.
.
Aici
.
Acum găsim derivata funcției dorite.
.
Aici
.
În cazul în care un g(X) și f(u) sunt funcții diferențiabile ale argumentelor lor, respectiv, la puncte Xși u= g(X), atunci funcția complexă este și ea diferențiabilă la punct X si se gaseste prin formula
O greșeală tipică în rezolvarea problemelor pe derivate este transferul automat al regulilor de diferențiere a funcțiilor simple de funcții complexe. Vom învăța să evităm această greșeală.
Exemplul 2 Aflați derivata unei funcții
Solutie gresita: calculați logaritmul natural al fiecărui termen dintre paranteze și găsiți suma derivatelor:
Solutia corecta: iarăși stabilim unde este „mărul” și unde este „carnea tocată”. Aici, logaritmul natural al expresiei dintre paranteze este „mărul”, adică funcția de pe argumentul intermediar u, iar expresia dintre paranteze este „carne tocată”, adică un argument intermediar u prin variabila independenta X.
Apoi (folosind formula 14 din tabelul derivatelor)
În multe probleme reale, expresia cu logaritmul este ceva mai complicată, motiv pentru care există o lecție
Exemplul 3 Aflați derivata unei funcții
Solutie gresita:
Soluție corectă.Încă o dată, stabilim unde este „mărul” și unde este „carnea tocată”. Aici, cosinusul expresiei dintre paranteze (formula 7 din tabelul derivatelor) este „măr”, se gătește în modul 1, afectându-l doar, iar expresia dintre paranteze (derivata gradului - numărul 3 în tabelul derivatelor) este „carne tocată”, se gătește în modul 2, afectându-l doar pe acesta. Și, ca întotdeauna, conectăm două derivate cu un semn de produs. Rezultat:
Derivat de complex funcţie logaritmică- o sarcină frecventă pe teste, așa că vă recomandăm insistent să vizitați lecția „Derivata unei funcții logaritmice”.
Primele exemple au fost pentru funcții complexe, în care argumentul intermediar asupra variabilei independente era o funcție simplă. Dar în sarcinile practice este adesea necesar să se găsească derivata unei funcții complexe, unde argumentul intermediar este fie el însuși o funcție complexă, fie conține o astfel de funcție. Ce să faci în astfel de cazuri? Găsiți derivate ale unor astfel de funcții folosind tabele și reguli de diferențiere. Când se găsește derivata argumentului intermediar, aceasta este pur și simplu substituită în locul potrivit în formulă. Mai jos sunt două exemple despre cum se face acest lucru.
În plus, este util să știți următoarele. Dacă o funcţie complexă poate fi reprezentată ca un lanţ de trei funcţii
atunci derivata sa ar trebui găsită ca produsul derivatelor fiecăreia dintre aceste funcții:
Multe dintre temele dvs. ar putea necesita să deschideți tutoriale în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniși Acțiuni cu fracții .
Exemplul 4 Aflați derivata unei funcții
Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe, fara a uita ca in produsul rezultat al derivatelor, argumentul intermediar fata de variabila independenta X nu se schimba:
Pregătim al doilea factor al produsului și aplicăm regula de diferențiere a sumei:
Al doilea termen este rădăcina, deci
Astfel, s-a obținut că argumentul intermediar, care este suma, conține o funcție complexă ca unul dintre termeni: exponențiația este o funcție complexă, iar ceea ce este ridicat la o putere este un argument intermediar printr-o variabilă independentă. X.
Prin urmare, aplicăm din nou regula de diferențiere a unei funcții complexe:
Transformăm gradul primului factor într-o rădăcină și diferențiind al doilea factor, nu uităm că derivata constantei este egală cu zero:
Acum putem găsi derivata argumentului intermediar necesară pentru a calcula derivata funcției complexe cerute în starea problemei y:
Exemplul 5 Aflați derivata unei funcții
În primul rând, folosim regula diferențierii sumei:
Obțineți suma derivatelor a două funcții complexe. Găsiți primul:
Aici, ridicarea sinusului la o putere este o funcție complexă, iar sinusul însuși este un argument intermediar în variabila independentă X. Prin urmare, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe, pe parcurs scotând multiplicatorul din paranteze :
Acum găsim al doilea termen dintre cei care formează derivata funcției y:
Aici, ridicarea cosinusului la o putere este o funcție complexă f, iar cosinusul însuși este un argument intermediar față de variabila independentă X. Din nou, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe:
Rezultatul este derivata necesară:
Tabel de derivate ale unor funcții complexe
Pentru funcțiile complexe, bazate pe regula de diferențiere a unei funcții complexe, formula pentru derivata unei funcții simple ia o formă diferită.
| 1. Derivată a unei funcții de putere complexe, unde u X |  |
| 2. Derivat al rădăcinii expresiei | |
| 3. Derivata functiei exponentiale |  |
| 4. Caz special al funcției exponențiale | |
| 5. Derivată a unei funcții logaritmice cu o bază pozitivă arbitrară A |  |
| 6. Derivata unei functii logaritmice complexe, unde u este o funcție diferențiabilă a argumentului X | |
| 7. Derivat sinus |  |
| 8. Derivat de cosinus |  |
| 9. Derivată tangentă |  |
| 10. Derivat de cotangente |  |
| 11. Derivată a arcsinusului |  |
| 12. Derivată a arccosinusului |  |
| 13. Derivată de arc tangente |  |
| 14. Derivată a tangentei inverse |  |
Și teorema asupra derivatei unei funcții complexe, a cărei formulare este următoarea:
Fie 1) funcția $u=\varphi (x)$ are o derivată $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ la un moment dat $x_0$, 2) funcția $y=f(u)$ are în punctul corespunzător $u_0=\varphi (x_0)$ derivata $y_(u)"=f"(u)$. Atunci funcția complexă $y=f\left(\varphi (x) \right)$ la punctul menționat va avea și o derivată egală cu produsul derivatelor funcțiilor $f(u)$ și $\varphi ( x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
sau, într-o notație mai scurtă: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
În exemplele din această secțiune, toate funcțiile au forma $y=f(x)$ (adică, considerăm doar funcțiile unei variabile $x$). În consecință, în toate exemplele, derivata $y"$ este luată în raport cu variabila $x$. Pentru a sublinia faptul că derivata este luată în raport cu variabila $x$, se scrie adesea $y"_x$ în loc de $ y"$.
Exemplele #1, #2 și #3 oferă un proces detaliat pentru găsirea derivatei funcțiilor complexe. Exemplul nr. 4 este destinat unei înțelegeri mai complete a tabelului derivatelor și este logic să vă familiarizați cu acesta.
Este recomandabil, după studierea materialului din exemplele nr. 1-3, să mergeți la decizie independentă exemplele #5, #6 și #7. Exemplele #5, #6 și #7 conțin solutie scurta astfel încât cititorul să poată verifica corectitudinea rezultatului său.
Exemplul #1
Aflați derivata funcției $y=e^(\cos x)$.
Trebuie să găsim derivata funcției complexe $y"$. Deoarece $y=e^(\cos x)$, atunci $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Pentru găsiți derivata $ \left(e^(\cos x)\right)"$ utilizați formula #6 din tabelul derivatelor. Pentru a utiliza formula nr. 6, trebuie să țineți cont de faptul că în cazul nostru $u=\cos x$. Soluția ulterioară constă într-o înlocuire banală a expresiei $\cos x$ în loc de $u$ în formula nr. 6:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Acum trebuie să găsim valoarea expresiei $(\cos x)"$. Ne întoarcem din nou la tabelul derivatelor, alegând formula nr. 10 din el. Înlocuind $u=x$ în formula nr. 10, avem : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Acum continuăm egalitatea (1.1), completând-o cu rezultatul găsit:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
Deoarece $x"=1$, continuăm egalitatea (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
Deci, din egalitatea (1.3) avem: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Desigur, explicațiile și egalitățile intermediare sunt de obicei sărite, scriind derivata pe o singură linie, ca în egalitate. ( 1.3) Deci, derivata funcției complexe a fost găsită, rămâne doar să notăm răspunsul.
Răspuns: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Exemplul #2
Aflați derivata funcției $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.
Trebuie să calculăm derivata $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pentru început, observăm că constanta (adică numărul 9) poate fi scoasă din semnul derivatei:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
Acum să trecem la expresia $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pentru a facilita selectarea formulei dorite din tabelul de derivate, voi prezenta expresia în cauză în această formă: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Acum este clar că este necesar să se folosească formula nr. 2, adică. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Înlocuiți $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ și $\alpha=12$ în această formulă:
Completând egalitatea (2.1) cu rezultatul obținut, avem:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
În această situație, se face adesea o greșeală atunci când rezolvatorul de la primul pas alege formula $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ în locul formulei $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Ideea este că derivata funcției externe trebuie găsită mai întâi. Pentru a înțelege ce funcție va fi externă expresiei $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, imaginați-vă că numărați valoarea expresiei $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ pentru o valoare de $x$. Mai întâi calculați valoarea de $5^x$, apoi înmulțiți rezultatul cu 4 pentru a obține $4\cdot 5^x$. Acum luăm arctangenta din acest rezultat, obținând $\arctg(4\cdot 5^x)$. Apoi ridicăm numărul rezultat la puterea a douăsprezecea, obținând $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Ultima acțiune, adică ridicarea la puterea de 12, - și va fi o funcție externă. Și de aici ar trebui să începem să găsim derivata, care a fost făcută în egalitate (2.2).
Acum trebuie să găsim $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Folosim formula nr. 19 din tabelul derivatelor, înlocuind $u=4\cdot \ln x$ în ea:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Să simplificăm puțin expresia rezultată, ținând cont de $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Egalitatea (2.2) va deveni acum:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
Rămâne să găsim $(4\cdot \ln x)"$. Luăm constanta (adică 4) din semnul derivatei: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Pentru a găsi $(\ln x)"$, folosim formula nr. 8, substituind $u=x$ în ea: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Deoarece $x"=1$, atunci $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Inlocuind rezultatul obtinut in formula (2.3), obtinem:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $
Permiteți-mi să vă reamintesc că derivata unei funcții complexe este cel mai adesea într-o singură linie, așa cum este scrisă în ultima egalitate. Prin urmare, la efectuarea calculelor standard sau lucrări de control nu este necesar să descriem soluția atât de detaliat.
Răspuns: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Exemplul #3
Găsiți $y"$ a funcției $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Mai întâi, să transformăm ușor funcția $y$ exprimând radicalul (rădăcină) ca putere: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Acum să începem să găsim derivata. Deoarece $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, atunci:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
Folosim formula nr. 2 din tabelul derivatelor, substituind $u=\sin(5\cdot 9^x)$ și $\alpha=\frac(3)(7)$ în ea:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Continuăm egalitatea (3.1) folosind rezultatul obținut:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Acum trebuie să găsim $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Pentru aceasta, folosim formula nr. 9 din tabelul de derivate, înlocuind $u=5\cdot 9^x$ în ea:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Completând egalitatea (3.2) cu rezultatul obținut, avem:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
Rămâne să găsim $(5\cdot 9^x)"$. În primul rând, luăm constanta (numărul $5$) din semnul derivatei, adică $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Pentru a găsi derivata $(9^x)"$, aplicăm formula nr. 5 din tabelul de derivate, înlocuind în ea $a=9$ și $u=x$: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Deoarece $x"=1$, atunci $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Acum putem continua egalitatea (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Puteți reveni de la puteri la radicali (adică rădăcini) din nou scriind $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ ca $\frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$. Apoi derivata va fi scrisă sub următoarea formă:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$
Răspuns: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.
Exemplul #4
Arătați că formulele nr. 3 și nr. 4 din tabelul derivatelor sunt un caz special al formulei nr. 2 din acest tabel.
In formula nr.2 din tabelul derivatelor se scrie derivata functiei $u^\alpha$. Înlocuind $\alpha=-1$ în formula #2, obținem:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
Deoarece $u^(-1)=\frac(1)(u)$ și $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, egalitatea (4.1) poate fi rescrisă după cum urmează: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Aceasta este formula numărul 3 din tabelul derivatelor.
Să revenim din nou la formula nr. 2 din tabelul derivatelor. Înlocuiți $\alpha=\frac(1)(2)$ în el:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
Deoarece $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ și $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, atunci egalitatea (4.2) poate fi rescrisă după cum urmează:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Egalitatea rezultată $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ este formula nr. 4 din tabelul derivatelor. După cum puteți vedea, formulele nr. 3 și nr. 4 din tabelul derivatelor sunt obținute din formula nr. 2 prin înlocuirea valorii corespunzătoare a $\alpha$.
