1. Valorea estimata valoarea constantă este egală cu cea mai constantă M(S)=C
.
2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării matematice: M(CX)=CM(X)
3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Teorema. Așteptarea matematică M(x) a numărului de apariții ale evenimentelor A în n încercări independente este egală cu produsul acestor încercări cu probabilitatea de apariție a evenimentelor în fiecare încercare: M(x) = np.
Lăsa X - variabilă aleatoare și M(X) – așteptările sale matematice. Considerați ca noi variabilă aleatorie diferență X - M(X).
Abaterea este diferența dintre o variabilă aleatoare și așteptarea ei matematică.
Abaterea are următoarea lege de distribuție:
Soluție: Să găsim așteptările matematice:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Să scriem legea distribuției abaterii pătratului:
Rezolvare: Să aflăm așteptarea matematică a lui M(x): M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5
Să scriem legea distribuției variabilei aleatoare X 2
| X 2 | |||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Să găsim așteptările matematice M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Varianța necesară este D(x)=M(x 2)- 2 =13,3-(3,5) 2 =1,05
Proprietăți de dispersie:
1. Varianta unei valori constante CU
egal cu zero: D(C)=0
2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul acestuia. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Varianta sumei variabilelor aleatoare independente este egala cu suma variantelor acestor variabile. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Varianta distribuție binomială egal cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea de apariție și neapariție a unui eveniment într-o singură încercare D(X)=npq
Pentru a estima dispersia valorilor posibile ale unei variabile aleatoare în jurul valorii sale medii, pe lângă dispersie, sunt utilizate și alte caracteristici. Acestea includ abaterea standard.
Abaterea standard a unei variabile aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței:
σ(X) = √D(X) (4)
Exemplu. Variabila aleatoare X este dată de legea distribuției
| X | |||
| P | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Găsiți abaterea standard σ(x)
Rezolvare: Să aflăm așteptarea matematică a lui X: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
Să aflăm așteptarea matematică a lui X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Să găsim varianța: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
Abaterea standard necesară σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61
Teorema. Abaterea standard a sumei unui număr finit de variabile aleatoare reciproc independente este egală cu rădăcină pătrată din suma pătratelor abaterilor standard ale acestor mărimi:
Exemplu. Pe un raft cu 6 carti, 3 carti de matematica si 3 de fizica. Trei cărți sunt alese la întâmplare. Găsiți legea de distribuție a numărului de cărți de matematică între cărțile selectate. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.
D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora.
Fie ca o variabilă aleatorie să ia numai valori de probabilitate care sunt, respectiv, egale. Atunci așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este determinată de egalitate
Dacă o variabilă aleatorie discretă ia un set numărabil de valori posibile, atunci
Mai mult, așteptarea matematică există dacă seria din partea dreaptă a egalității converge absolut.
Cometariu. Din definiție rezultă că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este o mărime non-aleatoare (constantă).
Definirea așteptării matematice în cazul general
Să determinăm așteptarea matematică a unei variabile aleatoare a cărei distribuție nu este neapărat discretă. Să începem cu cazul variabilelor aleatoare nenegative. Ideea va fi de a aproxima astfel de variabile aleatoare folosind unele discrete pentru care așteptarea matematică a fost deja determinată și de a stabili așteptările matematice egale cu limita așteptărilor matematice ale variabilelor aleatoare discrete care o aproximează. Apropo, aceasta este o idee generală foarte utilă, și anume că o anumită caracteristică este mai întâi determinată pentru obiecte simple, iar apoi pentru obiecte mai complexe este determinată prin aproximarea lor cu altele mai simple.
Lema 1. Fie o variabilă aleatorie nenegativă arbitrară. Apoi există o secvență de variabile aleatoare discrete astfel încât
Dovada. Să împărțim semiaxa în segmente de lungime egală și să determinăm
Apoi proprietățile 1 și 2 urmează cu ușurință din definiția unei variabile aleatoare și
Lema 2. Fie o variabilă aleatoare nenegativă și două secvențe de variabile aleatoare discrete care posedă proprietățile 1-3 din lema 1. Atunci
Dovada. Rețineți că pentru variabile aleatoare nenegative permitem
Datorită proprietății 3, este ușor de observat că există o secvență numere pozitive, astfel încât
Rezultă că
Folosind proprietățile așteptărilor matematice pentru variabile aleatoare discrete, obținem
Trecând la limita de la obținem afirmația Lemei 2.
Definiție 1. Fie o variabilă aleatoare nenegativă, - o secvență de variabile aleatoare discrete care au proprietăți 1-3 din Lema 1. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este numărul
Lema 2 garantează că nu depinde de alegerea secvenței de aproximare.
Să fie acum o variabilă aleatorie arbitrară. Să definim
Din definiție și rezultă ușor că
Definiţia 2. Aşteptarea matematică a unei variabile aleatoare arbitrare este numărul
Dacă cel puțin unul dintre numerele din partea dreaptă a acestei egalități este finit.
Proprietățile așteptărilor matematice
Proprietatea 1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăși:
Dovada. Vom considera o constantă ca o variabilă aleatoare discretă care are o valoare posibilă și o ia cu probabilitate, prin urmare,
Observație 1. Să definim produsul unei variabile constante cu o variabilă aleatoare discretă ca o aleatoare discretă ale cărei valori posibile sunt egale cu produsele constantei prin valorile posibile; probabilitățile valorilor posibile sunt egale cu probabilitățile valorilor posibile corespunzătoare. De exemplu, dacă probabilitatea unei valori posibile este egală, atunci probabilitatea ca valoarea să ia valoarea este, de asemenea, egală
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării matematice:
Dovada. Fie variabila aleatoare dată de legea distribuției probabilităților:
Ținând cont de Observația 1, scriem legea de distribuție a variabilei aleatoare
Observația 2. Înainte de a trece la următoarea proprietate, subliniem că două variabile aleatoare sunt numite independente dacă legea de distribuție a uneia dintre ele nu depinde de ce valori posibile a luat cealaltă variabilă. În caz contrar, variabilele aleatoare sunt dependente. Mai multe variabile aleatoare sunt numite independent reciproc dacă legile de distribuție a oricărui număr dintre ele nu depind de ce valori posibile au luat variabilele rămase.
Observația 3. Să definim produsul variabilelor aleatoare independente și ca o variabilă aleatoare ale cărei valori posibile sunt egale cu produsele fiecărei valori posibile cu fiecare valoare posibilă, probabilitățile valorilor posibile ale produsului sunt egale cu produsele probabilităților valorilor posibile ale factorilor. De exemplu, dacă probabilitatea unei valori posibile este, probabilitatea unei valori posibile este atunci probabilitatea unei valori posibile este
Proprietatea 3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:
Dovada. Fie specificate variabile aleatoare independente prin propriile lor legi de distribuție a probabilității:
Să compilam toate valorile pe care le poate lua o variabilă aleatorie. Pentru a face acest lucru, să înmulțim toate valorile posibile cu fiecare valoare posibilă; Ca urmare, obținem și, ținând cont de Observația 3, scriem legea distribuției, presupunând, pentru simplitate, că toate valorile posibile ale produsului sunt diferite (dacă nu este cazul, atunci demonstrația se realizează într-un mod similar):
Așteptările matematice sunt egale cu suma produselor tuturor valorilor posibile și probabilitățile acestora:
Consecinţă. Așteptările matematice ale produsului mai multor variabile aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
Proprietatea 4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:
Dovada. Fie variabile aleatoare și specificate de următoarele legi de distribuție:
Să compilam toate valorile posibile ale unei cantități. Pentru a face acest lucru, adăugăm fiecare valoare posibilă la fiecare valoare posibilă; obținem. Să presupunem, pentru simplitate, că aceste valori posibile sunt diferite (dacă nu este cazul, atunci demonstrația este efectuată într-un mod similar) și notăm probabilitățile lor, respectiv, prin și
Așteptările matematice ale unei valori este egală cu suma produselor valorilor posibile și probabilitățile acestora:
Să demonstrăm că un Eveniment care va lua valoarea (probabilitatea acestui eveniment este egală) implică un eveniment care va lua valoarea sau (probabilitatea acestui eveniment prin teorema adunării este egală) și invers. Prin urmare, rezultă că egalitățile sunt dovedite în mod similar
Înlocuind părțile din dreapta acestor egalități în relație (*), obținem
sau in sfarsit
Varianta si abaterea standard
În practică, este adesea necesar să se estimeze dispersia valorilor posibile ale unei variabile aleatorii în jurul valorii sale medii. De exemplu, în artilerie este important să știți cât de aproape vor cădea obuzele lângă ținta care urmează să fie lovită.
La prima vedere, poate părea că cel mai simplu mod de a estima dispersia este de a calcula toate abaterile posibile ale unei variabile aleatoare și apoi de a găsi valoarea medie a acestora. Cu toate acestea, această cale nu va da nimic, deoarece valoarea medie a abaterii, i.e. pentru orice variabilă aleatoare este egală cu zero. Această proprietate se explică prin faptul că unele posibile abateri sunt pozitive, în timp ce altele sunt negative; ca urmare a anulării lor reciproce, valoarea medie a abaterii este zero. Aceste considerații indică oportunitatea înlocuirii eventualelor abateri valori absolute sau pătratele lor. Asta fac ei în practică. Adevărat, în cazul în care posibilele abateri sunt înlocuite cu valori absolute, trebuie să se opereze cu valori absolute, ceea ce duce uneori la dificultăți serioase. Prin urmare, cel mai adesea ei iau o cale diferită, de exemplu. calculați valoarea medie a abaterii pătrate, care se numește dispersie.
Așteptarea matematică este valoarea medie a unei variabile aleatoare.Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora:
Exemplu.
X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5
Rezolvare: așteptarea matematică este egală cu suma produselor tuturor valorilor posibile ale lui X și probabilitățile acestora:
M (X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6.
Pentru a calcula așteptările matematice, este convenabil să efectuați calcule în Excel (mai ales când există multe date), vă sugerăm să utilizați un șablon gata făcut ().
Exemplu pentru decizie independentă(puteți folosi un calculator).
Găsiți așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete X specificate de legea distribuției:
X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4
Aşteptarea matematică are următoarele proprietăţi.
Proprietatea 1. Aşteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăşi: M(C)=C.
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos ca semn al așteptării matematice: M(CX)=CM(X).
Proprietatea 3. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor matematice ale factorilor: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)
Proprietatea 4. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).
Problema 189. Aflați așteptările matematice ale variabilei aleatoare Z dacă sunt cunoscute așteptările matematice ale lui X și Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Rezolvare: Folosind proprietățile așteptării matematice (așteptările matematice ale sumei este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor; factorul constant poate fi scos din semnul așteptării matematice), obținem M(Z )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Folosind proprietățile așteptării matematice, demonstrați că: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) așteptarea matematică a abaterii X-M(X) este egală cu zero.
191. O variabilă aleatoare discretă X ia trei valori posibile: x1= 4 Cu probabilitatea p1 = 0,5; xЗ = 6 Cu probabilitatea P2 = 0,3 și x3 cu probabilitatea p3. Aflați: x3 și p3, știind că M(X)=8.
192. Se oferă o listă de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete X: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1; așteptările matematice ale acestei valori și pătratul ei sunt de asemenea cunoscute: M(X) = 0,1 , M(X^2) = 0 ,9. Aflați probabilitățile p1, p2, p3 corespunzătoare valorilor posibile ale lui xi
194. Un lot de 10 părți conține trei părți nestandard. Două părți au fost selectate la întâmplare. Găsiți așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete X - numărul de părți non-standard dintre două dintre cele selectate.
196. Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete X-număr de astfel de aruncări de cinci zaruri, în fiecare dintre acestea un punct va apărea pe două zaruri, dacă numărul total de aruncări este douăzeci.
Așteptările matematice ale unei distribuții binomiale este egală cu numărul de încercări înmulțit cu probabilitatea ca un eveniment să se producă într-o singură încercare:
Variabilă aleatorie O variabilă se numește o variabilă care, în urma fiecărui test, ia o valoare necunoscută anterior, în funcție de motive aleatorii. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ După tipul lor, variabilele aleatoare pot fi discretȘi continuu.
Variabilă aleatorie discretă- aceasta este o variabilă aleatoare ale cărei valori nu pot fi mai mult decât numărabile, adică fie finite, fie numărabile. Prin numărabilitate înțelegem că valorile unei variabile aleatoare pot fi numerotate.
Exemplul 1 . Iată exemple de variabile aleatoare discrete:
a) numărul de lovituri pe țintă cu $n$ lovituri, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
b) numărul de embleme scăpat la aruncarea unei monede, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
c) numărul de nave care sosesc la bord (un set numărabil de valori).
d) numărul de apeluri care sosesc la PBX (set numărabil de valori).
1. Legea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete.
O variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua valori $x_1,\dots ,\ x_n$ cu probabilități $p\left(x_1\right),\\dots ,\p\left(x_n\right)$. Corespondența dintre aceste valori și probabilitățile lor se numește legea distribuției unei variabile aleatoare discrete. De regulă, această corespondență este specificată folosind un tabel, a cărui primă linie indică valorile $x_1,\dots ,\ x_n$, iar a doua linie conține probabilitățile $p_1,\dots ,\ p_n$ corespunzătoare aceste valori.
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(matrice)$
Exemplul 2 . Fie variabila aleatoare $X$ numărul de puncte aruncate la aruncarea unui zar. O astfel de variabilă aleatorie $X$ poate lua următoarele valori: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitățile tuturor acestor valori sunt egale cu $1/6$. Atunci legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare $X$:
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(matrice)$
cometariu. Deoarece în legea distribuției unei variabile aleatoare discrete $X$ evenimentele $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formează un grup complet de evenimente, atunci suma probabilităților trebuie să fie egală cu unu, adică $ \sum(p_i)=1$.
2. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete.
Așteptarea unei variabile aleatoareîși stabilește sensul „central”. Pentru o variabilă aleatorie discretă, așteptarea matematică se calculează ca suma produselor valorilor $x_1,\dots ,\ x_n$ și a probabilităților $p_1,\dots ,\p_n$ corespunzătoare acestor valori, adică : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. În literatura de limba engleză, este folosită o altă notație $E\left(X\right)$.
Proprietățile așteptărilor matematice$M\stânga(X\dreapta)$:
- $M\left(X\right)$ este cuprins între cel mai mic și cele mai mari valori variabilă aleatoare $X$.
- Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta în sine, adică. $M\left(C\right)=C$.
- Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării matematice: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Exemplul 3 . Să găsim așteptările matematice ale variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.
$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\peste (6))+2\cdot ((1)\peste (6) )+3\cdot ((1)\peste (6))+4\cdot ((1)\peste (6))+5\cdot ((1)\peste (6))+6\cdot ((1 )\peste (6))=3.5.$$
Putem observa că $M\left(X\right)$ se află între cea mai mică ($1$) și cea mai mare ($6$) valori ale variabilei aleatoare $X$.
Exemplul 4 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=2$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $3X+5$.
Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.
Exemplul 5 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=4$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $2X-9$.
Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Dispersia unei variabile aleatoare discrete.
Valorile posibile ale variabilelor aleatoare cu așteptări matematice egale se pot dispersa diferit în jurul valorilor lor medii. De exemplu, în două grupuri de elevi GPA pentru examenul de teoria probabilităților s-a dovedit a fi egal cu 4, dar într-o grupă toți s-au dovedit a fi studenți buni, iar în celălalt grup - doar studenți C și studenți excelenți. Prin urmare, este nevoie de o caracteristică numerică a unei variabile aleatoare care să arate răspândirea valorilor variabilei aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice. Această caracteristică este dispersia.
Varianta unei variabile aleatoare discrete$X$ este egal cu:
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\dreapta)\right))^2).\ $$
În literatura engleză este folosită notația $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Foarte des, varianța $D\left(X\right)$ este calculată folosind formula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) stânga(X \dreapta)\dreapta))^2$.
Proprietăți de dispersie$D\stânga(X\dreapta)$:
- Varianta este întotdeauna mai mare sau egală cu zero, adică. $D\stanga(X\dreapta)\ge 0$.
- Varianta constantei este zero, i.e. $D\stanga(C\dreapta)=0$.
- Factorul constant poate fi scos din semnul dispersiei cu condiția ca acesta să fie pătrat, adică $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\dreapta)$.
- Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.
- Varianta diferenței dintre variabilele aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, adică. $D\left(X-Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.
Exemplul 6 . Să calculăm varianța variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\dreapta)\right))^2)=((1)\peste (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\peste (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\peste (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\peste (12))\aproximativ 2,92.$$
Exemplul 7 . Se știe că varianța variabilei aleatoare $X$ este egală cu $D\left(X\right)=2$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $4X+1$.
Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ stânga(X\dreapta)=16\cdot 2=32$.
Exemplul 8 . Se știe că varianța variabilei aleatoare $X$ este egală cu $D\left(X\right)=3$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $3-2X$.
Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ stânga(X\dreapta)=4\cdot 3=12$.
4. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.
Metoda de reprezentare a unei variabile aleatoare discrete sub forma unei serii de distribuție nu este singura și, cel mai important, nu este universală, deoarece o variabilă aleatoare continuă nu poate fi specificată folosind o serie de distribuție. Există o altă modalitate de a reprezenta o variabilă aleatoare - funcția de distribuție.
Funcția de distribuție variabila aleatoare $X$ se numește o funcție $F\left(x\right)$, care determină probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia o valoare mai mică decât o valoare fixă $x$, adică $F\ stânga(x\right )=P\left(X< x\right)$
Proprietățile funcției de distribuție:
- $0\le F\left(x\right)\le 1$.
- Probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia valori din intervalul $\left(\alpha ;\\beta \right)$ este egală cu diferența dintre valorile funcției de distribuție la sfârșitul acestei interval: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $F\left(x\right)$ - nedescrescătoare.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \dreapta)=1\ )$.
Exemplul 9 . Să găsim funcția de distribuție $F\left(x\right)$ pentru legea de distribuție a variabilei aleatoare discrete $X$ din exemplul $2$.
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matrice)$
Dacă $x\le 1$, atunci, evident, $F\left(x\right)=0$ (inclusiv pentru $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).
Dacă 1 USD< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
Dacă 2 dolari< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
Dacă 3 dolari< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
Dacă 4 dolari< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
Dacă 5 dolari< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
Dacă $x > 6$, atunci $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\stanga(X=4\dreapta)+P\stanga(X=5\dreapta)+P\stanga(X=6\dreapta)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.
Deci $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ la\ x\le 1,\\
1/6, la\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ la\ 2< x\le 3,\\
1/2, la\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ la\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ la\ 4< x\le 5,\\
1,\ pentru\ x > 6.
\end(matrice)\dreapta.$
Așteptările matematice sunt definiția
Așteptarea șahmat este unul dintre cele mai importante concepte din statistica matematică și teoria probabilității, care caracterizează distribuția valorilor sau probabilități variabilă aleatorie. Exprimat de obicei ca o medie ponderată a tuturor parametrilor posibili ai unei variabile aleatorii. Utilizat pe scară largă în analiza tehnică, cercetare serie de numere, studiul proceselor continue și pe termen lung. Este important în evaluarea riscurilor, prezicerea indicatorilor de preț atunci când tranzacționați pe piețele financiare și este utilizat în dezvoltarea strategiilor și metodelor de tactici de joc în teorii jocuri de noroc .
șahmat în așteptare- Acest valoarea medie a unei variabile aleatoare, distribuție probabilități variabila aleatoare este considerata in teoria probabilitatii.
Așteptarea șahmat este o măsură a valorii medii a unei variabile aleatoare în teoria probabilității. Șahmat așteptarea unei variabile aleatoare X notat cu M(x).
Așteptările matematice (Media populației) este
Așteptarea șahmat este
Așteptarea șahmat esteîn teoria probabilității, o medie ponderată a tuturor valorilor posibile pe care le poate lua o variabilă aleatorie.
Așteptarea șahmat este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestor valori.
Așteptările matematice (Media populației) este
Așteptarea șahmat este beneficiul mediu dintr-o anumită decizie, cu condiția ca o astfel de decizie să poată fi luată în considerare în cadrul teoriei numerelor mari și distanțelor lungi.
Așteptarea șahmat esteîn teoria jocurilor de noroc, suma de câștiguri pe care un speculator le poate câștiga sau pierde, în medie, la fiecare pariu. În limbajul jocurilor de noroc speculatorii aceasta se numește uneori „avantaj” speculant„ (dacă este pozitivă pentru speculator) sau „marginea casei” (dacă este negativă pentru speculator).
Așteptările matematice (Media populației) este
