Ce este o serie convergentă. Semne de convergență a seriilor numerice. Convergența seriilor cu termeni pozitivi

INTRODUCERE

Manualul este destinat profesorilor de matematică din școlile tehnice, precum și studenților din anul II de toate specialitățile.

În această lucrare, prezentăm conceptele de bază ale teoriei seriilor. Materialul teoretic îndeplinește cerințele Standardului Educațional de Stat al Învățământului Secundar Profesional (Ministerul Educației Federația Rusă. M., 2002).

Prezentarea materialului teoretic pe întreaga temă este însoțită de luarea în considerare a unui număr mare de exemple și sarcini, desfășurate într-un mod accesibil, dacă este posibil. limbaj strict. La sfârșitul manualului sunt exemple și sarcini pe care elevii le pot îndeplini în modul de autocontrol.

Manualul este destinat studenților de corespondență și forme de studiu cu normă întreagă.

Având în vedere nivelul de pregătire al elevilor de la școala tehnică, precum și numărul extrem de limitat de ore (12 ore + 4 lbs.) alocat prin programul de promovare la matematică superioară în școlile tehnice, concluzii stricte, care prezintă mari dificultăți de asimilare, sunt omis, limitat la luarea în considerare a exemplelor.

NOȚIUNI DE BAZĂ

Rezolvarea unei probleme prezentate în termeni matematici, de exemplu, sub forma unei combinații de diferite funcții, derivatele și integralele lor, trebuie să poată „aduce la un număr”, care servește cel mai adesea drept răspuns final. Pentru aceasta, au fost dezvoltate diverse metode în diverse ramuri ale matematicii.

Secțiunea de matematică care permite rezolvarea oricărei probleme bine puse cu suficientă precizie pentru utilizare practică se numește teoria seriilor.

Chiar dacă unele concepte subtile analiză matematică au apărut deconectate de teoria seriei, au fost imediat aplicate seriilor, care au servit ca un fel de instrument de testare a semnificației acestor concepte. Această situație continuă și astăzi.

Exprimarea formei

unde ;;;…;;… sunt membrii seriei; - al n-lea sau un membru comun al unei serii, se numește serie (număr) infinită.

Dacă membrii seriei:

I. Seria de numere

1.1. Concepte de bază ale seriei de numere.

Serii numerice se numește sumă a formei

, (1.1)

unde ,,,…,,…, numiți membri ai seriei, formează o succesiune infinită; un membru este numit membru comun al seriei.

compuse din primii termeni ai seriei (1.1) se numesc sume parțiale ale acestei serii.

Fiecare rând poate fi asociat cu o succesiune de sume parțiale .

Dacă cu o creștere infinită a numărului n suma parțială a seriei tinde spre limită, apoi seria se numește convergentă, iar numărul se numește suma seriei convergente, adică.

Această intrare este echivalentă cu intrarea

.

Dacă suma parțială a seriei (1.1) cu o creștere nelimitată n nu are o limită finită ( tinde spre sau ), atunci se numește o astfel de serie divergente .

Dacă rândul convergent , apoi valoarea pentru suficient de mare n este o expresie aproximativă pentru suma seriei S.

Diferența se numește restul seriei. Dacă seria converge, atunci restul ei tinde spre zero, adică și invers, dacă restul tinde către zero, atunci seria converge.

1.2. Exemple de serii de numere.

Exemplul 1. O serie de formă

(1.2)

numit geometric .

Seria geometrică este formată din membrii unei progresii geometrice.

Se știe că suma primului său n membrii. Evident, asta este n- a-a sumă parțială a seriei (1.2).

Cazuri posibile:

Seria (1.2) ia forma:

, seria diverge;

Seria (1.2) ia forma:

Nu are limită, seria diverge.

este un număr finit, seria converge.

- seria diverge.

Asa de, acest rând converge la si diverge la .

Exemplul 2. O serie de formă

(1.3)

numit armonic .

Să scriem suma parțială a acestei serii:

Suma este mai mare decât suma prezentată după cum urmează:

sau .

Daca atunci , sau .

Prin urmare, dacă , atunci , i.e. seria armonică diverge.

Exemplul 3. O serie de formă

(1.4)

numit armonică generalizată .

Dacă , atunci această serie se transformă într-o serie armonică, care este divergentă.

Dacă , atunci termenii acestei serii sunt mai mari decât termenii corespunzători ai seriei armonice și, prin urmare, diverge. Când avem o serie geometrică în care ; este convergent.

Deci, seria armonică generalizată converge la și diverge la .

1.3. Criterii necesare și suficiente pentru convergență.

Un criteriu necesar pentru convergența unei serii.

Seria poate converge numai dacă termenul său comun tinde spre zero pe măsură ce numărul crește fără limită: .

Dacă , atunci seria diverge - acesta este un criteriu suficient pentru divergența seriei.

Condiții suficiente pentru convergența unei serii cu termeni pozitivi.

Semn de comparare a seriei cu termeni pozitivi.

Seria studiată converge dacă membrii ei nu depășesc membrii corespunzători ai altei serii, evident convergente; seria studiată diverge dacă termenii ei depășesc termenii corespunzători unei alte serii, evident divergente.

Semnul lui d'Alembert.

Dacă pentru o serie cu termeni pozitivi

condiția este îndeplinită, apoi seria converge la și diverge la .

semnul lui d'Alembert nu dă un răspuns dacă . În acest caz, se folosesc alte metode pentru a studia seria.

Exerciții.

Scrieți o serie după termenul comun dat:

Presupunând ,,,…, avem o succesiune infinită de numere:

Adăugând termenii săi, obținem seria

.

Făcând același lucru, obținem seria

.

Dând valorile 1,2,3,... și ținând cont de faptul că,,,..., obținem seria

.

Găsi n- al treilea termen al seriei conform primilor termeni dați:

Numitorii membrilor seriei, începând de la primul, sunt numere pare; Prin urmare, n- Al treilea termen al seriei are forma .

Număratorii membrilor seriei formează o serie naturală de numere, iar numitorii corespunzători formează o serie naturală de numere, iar numitorii corespunzători formează o serie naturală de numere, începând de la 3. Semnele alternează conform legii sau conform legii. la lege. Mijloace, n- Al treilea termen al seriei are forma . sau .

Investigați convergența seriei folosind testul de convergență necesar și testul de comparație:

;

.

Găsim .

Este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei, dar pentru a rezolva problema convergenței trebuie aplicat unul dintre criteriile suficiente de convergență. Comparați această serie cu seria geometrică

,

care converge din moment ce.

Comparând termenii acestei serii, începând de la a doua, cu termenii corespunzători ai seriei geometrice, se obțin inegalitățile

acestea. termenii acestei serii, începând din a doua, sunt în mod corespunzător mai mici decât termenii seriei geometrice, din care rezultă că seria dată converge.

.

Aici este satisfăcut un criteriu suficient pentru divergența seriei; deci seria diverge.

Găsim .

Este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei. Să comparăm această serie cu seria armonică generalizată

,

care converge, întrucât, deci, converge şi seria dată.

Investigați convergența seriei folosind testul d'Alembert:

;

.

Înlocuind în termenul comun al seriei în loc de n număr n+ 1, obținem. Să găsim limita raportului dintre termenul --lea la n- membru mu la:

Prin urmare, această serie converge.

Deci această serie diverge.

Acestea. rândul diverge.

II. serii alternante

2.1 Conceptul de serie alternantă.

Seria de numere

numit alternativ dacă membrii săi includ atât numere pozitive, cât și numere negative.

Linia numerică este numită alternativ dacă oricare doi termeni alăturați au semne opuse.

unde pentru toți (adică, o serie ai cărei termeni pozitivi și negativi se succed pe rând). De exemplu,

;

;

.

Pentru serii alternante, există un criteriu suficient de convergență (stabilit în 1714 de Leibniz într-o scrisoare către I. Bernoulli).

2.2 Semnul lui Leibniz. Convergența absolută și condiționată a seriei.

Teoremă (testul Leibniz).

O serie alternativă converge dacă:

Secvența valorilor absolute a termenilor seriei scade monoton, adică ;

Termenul comun al seriei tinde spre zero:.

Mai mult, suma S a seriei satisface inegalitățile

Remarci.

Studiul unei serii alternante a formei

(cu un prim termen negativ) se reduce prin înmulțirea tuturor termenilor săi cu la studiul seriei .

Se numesc seriile pentru care sunt îndeplinite condiţiile teoremei lui Leibniz Leibnizian (sau seria Leibniz).

Relația ne permite să obținem o estimare simplă și convenabilă a erorii pe care o facem prin înlocuirea sumei S din această serie prin suma sa parțială .

Seria aruncată (restul) este, de asemenea, o serie alternativă , a cărui sumă este mai mică decât primul termen din această serie, adică prin urmare, eroarea este mai mică decât modulul primului dintre termenii aruncați.

Exemplu. Calculați aproximativ suma seriei.

Rezolvare: serie dată de tip Leibniz. El converge. Poti sa scrii:

.

Luând cinci termeni, i.e. înlocuibil

Să facem o greșeală mai mică

Cum . Asa de,.

Pentru serii alternante, are loc următorul criteriu general suficient de convergență.

Teorema. Să fie dată o serie alternativă

Dacă seria converge

compus din modulele membrilor seriei date, apoi seria alternantă în sine converge.

Criteriul de convergență Leibniz pentru serii alternante este un criteriu suficient pentru convergența serii alternative.

Seria alternantă se numește absolut convergente , dacă o serie compusă din valorile absolute ale membrilor săi converge, i.e. fiecare serie absolut convergentă este convergentă.

Dacă o serie alternativă converge și o serie compusă din valorile absolute ale membrilor săi diverge, atunci această serie se numește conditionat (nu absolut) convergente.

2.3. Exerciții.

Examinați pentru convergență (absolută sau condiționată) o serie alternativă:

și

Prin urmare, conform testului Leibniz, seria converge. Să aflăm dacă această serie converge absolut sau condiționat.

Rând , compus din valorile absolute ale seriei date, este o serie armonică care diverge. Prin urmare, această serie converge condiționat.

Termenii acestei serii scad monoton în valoare absolută:

, dar

.

Seria diverge deoarece testul Leibniz nu este valabil.

Folosind testul Leibniz, obținem

;,

acestea. seria converge.

.

Aceasta este o serie geometrică a formei unde, care converge. Prin urmare, această serie converge absolut.

Folosind testul Leibniz, avem

;

, adică seria converge.

Luați în considerare o serie compusă din valorile absolute ale termenilor acestei serii:

, sau

.

Aceasta este o serie armonică generalizată care diverge, deoarece. Prin urmare, această serie converge condiționat.

III. Gama funcțională

3.1. Conceptul de serie funcțională.

Se numește o serie ai cărei membri sunt funcții funcţional :

Dând o anumită valoare, obținem o serie de numere

care pot fi fie convergente, fie divergente.

Dacă seria de numere rezultată converge, atunci punctul este numit punct de convergență rând funcțional; dacă seria diverge punct de divergenta rând funcțional.

Setul de valori numerice ale argumentului, la care converge seria funcțională, se numește ei regiune de convergenţă .

În regiunea de convergență a unei serii funcționale, suma acesteia este o anumită funcție a :.

Este definită în regiunea de convergență prin egalitate

, Unde

Suma parțială a unei serii.

Exemplu. Găsiți aria de convergență a seriei.

Soluţie. Această serie este o serie de progresie geometrică cu numitor. Prin urmare, această serie converge pentru , adică pentru toți ; suma seriei este ;

, la .

3.2. Serie de puteri.

O serie de putere este o serie a formei

,

unde sunt numerele numit coeficienți de serie , iar termenul este un termen comun al seriei.

Regiunea de convergență a unei serii de puteri este mulțimea tuturor valorilor pentru care seria converge.

Numărul este sunat raza de convergenta serie de putere, dacă pentru , seria converge și, în plus, absolut, iar pentru , seria diverge.

Găsim raza de convergență folosind testul d'Alembert:

(nu depinde de),

acestea. dacă seria de puteri converge pentru orice satisfacție această condițieși diverge la .

Rezultă că dacă există o limită

,

atunci raza de convergență a seriei este egală cu această limită și seria de putere converge la , adică, intre care se numeste interval (interval) de convergenţă.

Dacă , atunci seria de puteri converge într - un singur punct .

La sfârșitul intervalului, seria poate converge (absolut sau condiționat), dar poate și diverge.

Convergența seriei de puteri pentru și este investigată folosind unul dintre criteriile de convergență.

3.3. Exerciții.

Găsiți aria de convergență a seriei:

Soluţie. Aflați raza de convergență a acestei serii:

.

Prin urmare, această serie converge absolut pe întreaga axa numerelor.

Soluţie. Să folosim semnul lui d'Alembert. Pentru aceasta serie avem:

.

Seria converge absolut dacă sau . Să studiem comportamentul seriei la capetele intervalului de convergență.

Căci avem o serie

Căci avem o serie este, de asemenea, o serie Leibniz convergentă. Prin urmare, regiunea de convergență a seriei originale este un segment.

Soluţie. Aflați raza de convergență a seriei:

Prin urmare, seria converge la, adică, la.

Să luăm o serie , care converge conform testului Leibniz.

Luăm o serie divergentă

.

Prin urmare, regiunea de convergență a seriei originale este intervalul.

IV. Descompunere functii elementareîn seria Maclaurin.

Pentru aplicații, este important să poți această funcție extinde într-o serie de puteri, adică reprezintă funcția ca sumă a unei serii de puteri.

O serie Taylor pentru o funcție se numește o serie de puteri de forma

Dacă , atunci obținem un caz special al seriei Taylor

Care e numit lângă Maclaurin .

O serie de puteri din intervalul său de convergență poate fi diferențiată și integrată termen cu termen de câte ori se dorește, iar seria rezultată are același interval de convergență ca și seria originală.

Două serii de puteri pot fi adăugate și înmulțite termen cu termen conform regulilor de adunare și înmulțire a polinoamelor. În acest caz, intervalul de convergență al seriei noi rezultate coincide cu partea comună a intervalelor de convergență a seriei originale.

Pentru a extinde o funcție într-o serie Maclaurin, este necesar:

Calculați valorile funcției și derivatele sale succesive în punctul , adică,,,…,;

Compuneți o serie Maclaurin prin înlocuirea valorilor unei funcții și a derivatelor sale succesive în formula seriei Maclaurin;

Aflați intervalul de convergență al seriei rezultate prin formula

, .

Exemplul 1. Extindeți o funcție dintr-o serie Maclaurin.

Soluţie. pentru că , apoi, înlocuind cu în expansiune, obținem:

Exemplul 2. Scrieți seria Maclaurin a funcției .

Soluţie. Deoarece , folosind formula în care înlocuim cu , obținem:

,

Exemplul 3. Extindeți funcția într-o serie Maclaurin.

Soluţie. Să folosim formula. pentru că

, apoi înlocuind cu obținem:

, sau

unde, adică .

V. Sarcini practice pentru autocontrolul elevilor.

Stabiliți convergența utilizând testul de comparare a seriei

sau divergența seriei:

converge condiționat;

converge condiționat;

se potriveste absolut.

;

;

VII. Referință istorică.

Rezolvarea multor probleme se reduce la calculul valorilor funcțiilor și integralelor sau la rezolvarea ecuațiilor diferențiale care conțin derivate sau diferențiale de funcții necunoscute.

Cu toate acestea, executarea exactă a acestor operații matematice se dovedește în multe cazuri a fi foarte dificilă sau imposibilă. În aceste cazuri, este posibil să se obțină o soluție aproximativă a multor probleme cu orice precizie dorită folosind seriale.

Seriile sunt un instrument simplu și perfect de analiză matematică pentru calculul aproximativ al funcțiilor, integralelor și soluțiilor ecuațiilor diferențiale.

Și stând în partea dreaptă a funcționalului.

Pentru a pune un semn egal în locul semnului „”, este necesar să se efectueze unele raționamente suplimentare legate tocmai de infinitatea numărului de termeni din partea dreaptă a egalității și cu privire la regiunea de convergență a seriei.

Când formula Taylor ia forma în care se numește formula Maclaurin:

Colin Maclaurin (1698 - 1746), un student al lui Newton, în Treatise on Fluxions (1742) a stabilit că există o singură serie de puteri care exprimă o funcție analitică și aceasta va fi seria Taylor generată de o astfel de funcție. În formula binomială Newton, coeficienții la puteri sunt valorile, unde .

Deci, rândurile au apărut în secolul al XVIII-lea. ca modalitate de reprezentare a funcţiilor care permit diferenţierea infinită. Cu toate acestea, funcția reprezentată de serie nu a fost numită suma ei și, în general, la acea vreme nu era încă determinată care este suma unei serii numerice sau funcționale, au existat doar încercări de a introduce acest concept.

De exemplu, L. Euler (1707-1783), după ce a scris o serie de puteri corespunzătoare unei funcții, a dat variabilei o valoare specifică. Am o linie numerică. Euler a considerat că valoarea funcției inițiale în acest punct este suma acestei serii. Dar acest lucru nu este întotdeauna adevărat.

Faptul că seria divergentă nu are o sumă, oamenii de știință au început să ghicească abia în secolul al XIX-lea, deși în secolul al XVIII-lea. mulți, și mai ales L. Euler, au lucrat din greu la conceptele de convergență și divergență. Euler a numit o serie convergentă dacă termenul său comun tinde spre zero ca .

În teoria seriilor divergente, Euler a obținut multe rezultate semnificative, dar aceste rezultate nu și-au găsit aplicație mult timp. În 1826 N.G. Abel (1802 - 1829) a numit rândurile divergente „fabricație diavolească”. Rezultatele lui Euler au găsit justificare doar în sfârşitul XIX-leaîn.

În formarea conceptului de suma unei serii convergente, savantul francez O.L. Cauchy (1789 - 1857); a făcut extrem de multe nu numai în teoria serielor, ci și în teoria limitelor, în dezvoltarea însuși conceptului de limită. În 1826 Cauchy a afirmat că o serie divergentă nu are sumă.

În 1768 Matematicianul și filozoful francez J.L. D'Alembert a studiat raportul dintre termenul următor și cel anterior din seria binomială și a arătat că dacă acest raport este mai mic decât unul în valoare absolută, atunci seria converge. Cauchy în 1821 a demonstrat o teoremă care precizează în vedere generala un semn de convergență a seriei semn-pozitive, numit acum semnul d'Alembert.

Pentru a studia convergența seriilor alternante se folosește testul Leibniz.

G.V. Leibniz (1646 - 1716), marele matematician și filozof german, împreună cu I. Newton, este fondatorul calculului diferențial și integral.

Bibliografie:

Principal:

1. Bogomolov N.V., Lecții practice de matematică. M., „ facultate”, 1990 – 495 p.;
2. Tarasov N.P., Curs de matematica superioara pentru scolile tehnice. M., „Nauka”, 1971 - 448 p.;
3. Zaitsev I.L., Un curs de matematică superioară pentru școlile tehnice. M., editura de stat a scolilor tehnice - literatura teoretica, 1957 - 339 p.;
4. Pismenny D.T., Un curs de prelegeri despre matematică superioară. M., „Iris Press”, 2005, partea 2 – 256 p.;
5. Vygodsky M.Ya., Manual de matematică superioară. M., „Nauka”, 1975 - 872 p.;

Adiţional:

1. Gusak A.A., Matematică superioară. În 2 vol., Vol. 2: Manual pentru studenți. Mos., „TetraSystems”, 1988 - 448 p.;
2. Griguletsky V.G., Lukyanova I.V., Petunina I.A., Matematică pentru studenții specialităților economice. Partea 2. Krasnodar, 2002 - 348 p.;
3. Griguletsky V.G. etc. Caiet de sarcini la matematică. Krasnodar. KSAU, 2003 - 170 p.;
4. Griguletsky V.G., Stepantsova K.G., Getman V.N., Sarcini și exerciții pentru studenții facultății de contabilitate și finanțe. Krasnodar. 2001 - 173 p.;
5. Griguletsky V.G., Yaschenko Z.V., Matematică superioară. Krasnodar, 1998 - 186 p.;
6. Malykhin V.I., Matematică în economie. M., „Infra-M”, 1999 - 356s.

Definiție 1.1. Un numere de lângă un membru comun este o succesiune de numere conectate printr-un semn de adunare, adică o expresie de forma:

Această serie este scrisă și ca

Exemplul 1.1. Daca atunci seria arata asa:

Uneori, atunci când scrieți o serie, doar câțiva dintre primii săi membri sunt scrisi. Acest lucru se face numai atunci când modelul caracteristic membrilor seriei este ușor de văzut. Strict vorbind, acest mod de a specifica o serie nu este corect din punct de vedere matematic, deoarece obținerea unei formule a unui termen comun pentru mai mulți primii termeni ai unei serii este o problemă care nu are o soluție unică.

Exemplul 1.2. Să scriem una dintre formulele posibile pentru termenul comun al seriei, cunoscându-i primii 4 termeni:

Soluţie. Luați în considerare mai întâi șirul numărătorilor 2, 5, 8, 11. Aceștia formează o progresie aritmetică, primul termen al căruia este 2, iar diferența este 3. Acest lucru permite ca expresie generală pentru numărător, luați formula termenului general progresie aritmetică: Numitorii 2, 6, 18, 54 formează o progresie geometrică cu

primul membru este 2, iar numitorul este 3. Ca expresie generală a acestora, putem lua formula termenului comun al unei progresii geometrice.Deci, termenul comun al seriei va avea următoarea formă:

Trebuie remarcat faptul că o expresie mai complexă ar putea fi luată ca termen general

Puteți calcula suma unei serii numai dacă seria converge. Dacă seria diverge, atunci suma seriei este infinită și nu are rost să calculezi ceva. Mai jos sunt exemple din practica de a găsi suma unei serii care au fost solicitate la Lviv universitate Națională numit după Ivan Franko. Sarcinile pentru serie sunt alese astfel încât condiția de convergență să fie întotdeauna satisfăcută, dar vom efectua un test de convergență. Acesta și următoarele articole constituie soluția munca de control prin analiza rândurilor.

Exemplul 1.4 Calculați suma rândurilor:
A)
Calcule: Deoarece limita termenului comun al seriei la numărul de lângă infinit este 0

apoi seria converge. Să calculăm suma seriei. Pentru a face acest lucru, transformăm termenul comun extinzându-l în cele mai simple fracții de tip I și II. Metoda de expansiune în fracții simple nu va fi dată aici (este bine descrisă la integrarea fracțiilor), dar vom nota doar forma finală de expansiune

În conformitate cu aceasta, putem picta suma prin suma unei serii formate din fracții simple și apoi din diferența dintre sumele seriei

Apoi, pictăm fiecare rând într-o sumă explicită și evidențiază termenii (subliniere), care vor deveni 0 după adăugare. Astfel, suma seriei va fi simplificată la suma a 3 termeni (indicați cu negru), ceea ce va rezulta în 33/40.

Întreaga parte practică a găsirii sumei pentru serii simple se bazează pe aceasta.
Exemplele pentru serii complexe sunt reduse la suma progresiilor și seriilor infinit descrescătoare, care se găsesc prin formulele corespunzătoare, dar nu vom lua în considerare astfel de exemple aici.
b)
Calcule: Aflarea limitei celui de-al n-lea termen al sumei

Este egal cu zero, prin urmare seria dată converge și are sens să-i căutați suma. Dacă granița este diferită de zero, atunci suma seriei este egală cu infinitul cu semnul plus sau minus.
Să găsim suma seriei. Pentru a face acest lucru, termenul comun al seriei, care este o fracție, este convertit prin metoda coeficienților nedeterminați la suma fracțiilor simple de tip I.

În plus, conform instrucțiunilor date mai devreme, scriem suma seriei prin sumele corespunzătoare ale fracțiilor simple

Pictăm sumele și selectăm termenii care vor deveni egali cu 0 atunci când sunt însumați.

Ca rezultat, obținem suma mai multor termeni (evidențiați cu negru) care este egală cu 17/6.

Exemplul 1.9 Aflați suma unei serii:
A)
Calcul: Limită calculabilă

Ne asigurăm că seria dată converge și putem găsi suma. În plus, numitorul funcției numărului n este descompus în factori primi, iar întreaga fracție este convertită în suma fracțiilor simple de tip I.

În continuare, scriem suma seriei în conformitate cu graficul prin două simple

Scriem seria în formă explicită și selectăm termenii, care, după adăugare, se vor adăuga la zero. Restul termenilor (evidențiați cu negru) și reprezintă suma finală a seriei

Astfel, pentru a găsi suma seriei, este necesar în practică să se reducă sub numitor comun 3 fracții simple.
b)
Calcule: Limita termenului seriei tinde spre zero la valori mari ale numărului

De aici rezultă că seria converge, iar suma sa este finită. Să găsim suma seriei, pentru aceasta, mai întâi, folosind metoda coeficienților nedeterminați, extindem termenul comun al seriei în trei tipuri simple

În consecință, suma seriei poate fi transformată în suma a trei serii simple

În continuare, căutăm termenii din toate cele trei sume, care, după însumare, se transformă în zero. În serii care conțin trei fracții simple, una dintre ele devine egală cu zero atunci când este însumată (evidențiată cu roșu). Acesta servește ca un fel de indiciu în calcule.

Suma seriei este egală cu suma a 3 termeni și este egală cu unu.

Exemplul 1.15 Calculați suma seriei:
A)

Calcule: Cu termenul general al seriei tinde spre zero

această serie converge. Transformăm termenul comun în așa fel încât să avem suma fracțiilor simple

În plus, seria dată, conform formulelor de orar, este scrisă prin suma a două serii

După ce scrieți într-o formă explicită, majoritatea termenilor seriei vor deveni egali cu zero ca urmare a însumării. Rămâne de calculat suma a trei termeni.

Suma seriei numerice este -1/30.
b)
Calcule: Deoarece limita termenului comun al seriei este zero,

apoi seria converge. Pentru a găsi suma seriei, extindem termenul comun în fracții de cel mai simplu tip.

În descompunere s-a folosit metoda coeficienților nedeterminați. Notam suma seriei din orarul gasit

Următorul pas este selectarea termenilor care nu contribuie la suma finală și restul rămas

Suma seriei este 4,5.

Exemplul 1.25 Calculați suma rândurilor:
A)


Deoarece este egal cu zero, seria converge. Putem afla suma seriei. Pentru a face acest lucru, conform schemei exemplelor anterioare, extindem termenul comun al seriei prin fracții simple

Acest lucru vă permite să scrieți o serie prin suma unor serii simple și, prin evidențierea termenilor din ea, simplificând însumarea.

În acest caz, va exista un termen care este egal cu unul.
b)
Calcule: Aflați limita termenului comun al seriei

și asigurați-vă că seria converge. Mai mult, termenul comun al seriei de numere este descompus prin metoda coeficienților nedeterminați în fracții de cel mai simplu tip.

Prin aceleași fracții, pictăm suma seriei

Scriem seria în formă explicită și simplificăm la suma a 3 termeni

Suma seriei este 1/4.
Aceasta completează introducerea la schemele de sumare în serie. Aici nu au fost încă luate în considerare serii, care sunt reduse la suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, conținând factoriali, dependențe de putere și altele asemenea. Cu toate acestea, materialul prezentat va fi util elevilor la control și teste.

Liniile numerice. Convergenţa şi divergenţa seriilor numerice. criteriul de convergenţă d'Alembert. Rânduri variabile. Convergența absolută și condiționată a seriei. rânduri funcționale. Serie de puteri. Extinderea funcțiilor elementare din seria Maclaurin.

Instrucțiuni la subiectul 1.4:

Număr rânduri:

O serie de numere este o sumă a formei

unde sunt numerele u 1 , u 2 , u 3 , n n , numiți membri ai seriei, formează o succesiune infinită; termenul un este numit termenul comun al seriei.

. . . . . . . . .

compuse din primii termeni ai seriei (27.1) se numesc sume parțiale ale acestei serii.

Fiecare rând poate fi asociat cu o succesiune de sume parțiale S1, S2, S3. Dacă, pe măsură ce numărul n crește la infinit, suma parțială a seriei S n tinde spre limită S, atunci seria se numește convergentă, iar numărul S- suma unei serii convergente, i.e.

Această intrare este echivalentă cu intrarea

Dacă o sumă parțială S n seria (27.1) cu o creștere nelimitată n nu are o limită finită (în special, tinde spre + ¥ sau spre - ¥), atunci o astfel de serie se numește divergentă

Dacă seria converge, atunci valoarea S n căci n suficient de mare este o expresie aproximativă pentru suma seriei S.

Diferență r n = S - S n se numește restul seriei. Dacă seria converge, atunci restul ei tinde spre zero, adică. r n = 0, și invers, dacă restul tinde spre zero, atunci seria converge.

Seria unei specii se numește linie geometrică.

numit armonic.

dacă N®¥, atunci S n®¥, adică seria armonică diverge.

Exemplul 1. Scrieți o serie după termenul comun dat:

1) presupunând n = 1, n = 2, n = 3, avem o succesiune infinită de numere: , , , Adunând termenii săi, obținem seria

2) Făcând același lucru, obținem seria

3) Dând n valorile 1, 2, 3 și ținând cont de faptul că 1! = 1, 2! = 1 × 2, 3! = 1 × 2 × 3, obținem seria

Exemplul 2. Găsiți n-al-lea termen al seriei prin primele sale numere date:

1) ; 2) ; 3) .

Exemplul 3. Aflați suma termenilor seriei:

1) Aflați sumele parțiale ale termenilor seriei:

Să notăm succesiunea sumelor parțiale: …, , … .

Termenul comun al acestei secvențe este . Prin urmare,

Secvența de sume parțiale are o limită egală cu . Deci seria converge și suma ei este .

2) Aceasta este o scădere infinită progresie geometrică, unde a 1 = , q= . Folosind formula, obținem Deci, seria converge și suma sa este egală cu 1.

Convergenţa şi divergenţa seriilor numerice. Semnul de convergență d'Alembert :

Un criteriu necesar pentru convergența unei serii. O serie poate converge numai dacă termenul său comun este u n cu creștere nelimitată a numărului n merge la zero:

Dacă , atunci seria diverge - acesta este un semn suficient al solubilității seriei.

Condiții suficiente pentru convergența unei serii cu termeni pozitivi.

Semn de comparare a seriei cu termeni pozitivi. Seria studiată converge dacă membrii ei nu depășesc membrii corespunzători ai altei serii, evident convergente; seria studiată diverge dacă termenii ei depășesc termenii corespunzători unei alte serii evident divergente.

În studiul seriilor pentru convergență și solubilitate pe această bază, seria geometrică este adesea folosită

care converge pentru |q|

fiind divergente.

În studiul seriilor se folosește și seria armonică generalizată

În cazul în care un p= 1, atunci această serie se transformă într-o serie armonică, care este divergentă.

În cazul în care un p< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p> 1 avem o serie geometrică în care | q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p> 1 și diverge la p£1.

Semnul lui d'Alembert. Dacă pentru o serie cu termeni pozitivi

(u n>0)

condiția este îndeplinită, atunci seria converge la l l > 1.

semnul lui d'Alembert nu dă un răspuns dacă l= 1. În acest caz, se folosesc alte metode pentru a studia seria.

Rânduri variabile.

Convergența absolută și condiționată a seriei:

Seria de numere

u 1 + u 2 + u 3 + u n

se numește alternant dacă printre membrii săi sunt atât numere pozitive cât și numere negative.

O serie de numere se numește alternant de semne dacă oricare doi membri adiacente au semne opuse. Această serie este un caz special al unei serii alternative.

Criteriul de convergență pentru serii alternante. Dacă termenii seriei alternante scad monoton în valoare absolută iar termenul comun u n tinde spre zero ca n® , apoi seria converge.

O serie se numește absolut convergentă dacă și seria converge. Dacă o serie converge absolut, atunci este convergentă (în sensul obișnuit). Reversul nu este adevărat. Se spune că o serie este convergentă condiționat dacă ea însăși converge și seria compusă din modulele membrilor săi diverge. Exemplul 4. Examinați seria pentru convergență.

Să aplicăm testul Leibniz suficient pentru serii alternative. Primim pentru că . Prin urmare, această serie converge. Exemplul 5. Examinați seria pentru convergență.

Să încercăm să aplicăm semnul Leibniz: Se poate observa că modulul termenului comun nu tinde spre zero atunci când n→∞. Prin urmare, această serie diverge. Exemplul 6. Determinați dacă seria este absolut convergentă, convergentă condiționat sau divergentă.

Aplicând testul d'Alembert unei serii compuse din modulele termenilor corespunzători, găsim Prin urmare, această serie converge absolut.

Exemplul 7. Examinați pentru convergență (absolută sau condiționată) o serie alternativă:

1) Termenii acestei serii scad monoton în valoare absolută și . Prin urmare, conform testului Leibniz, seria converge. Să aflăm dacă această serie converge absolut sau condiționat.

2) Termenii acestei serii scad monoton în valoare absolută: , dar

Seria funcțională:

Seria de numere obișnuită este formată din numere:

Toți membrii seriei sunt numere.

Linia funcțională este formată din caracteristici:

În termenul general al seriei, pe lângă polinoame, factoriali etc. cu siguranță include litera „x”. Arata cam asa, de exemplu: La fel ca o serie de numere, orice serie funcțională poate fi scrisă în formă extinsă:

După cum puteți vedea, toți membrii seriei funcționale sunt funcții.

Cel mai popular tip de serie funcțională este serie de puteri.

Serie de puteri:

puterea în continuare se numește serie

unde sunt numerele a 0, a 1, a 2, a n se numesc coeficienții seriei, iar termenul un n x n este un membru comun al seriei.

Regiunea de convergență a unei serii de puteri este mulțimea tuturor valorilor X pentru care seria converge.

Număr R se numește raza de convergență a seriei dacă, pentru | x| seria converge.

Exemplul 8. Dat un rând

Investigați convergența acesteia în puncte X= 1 și X= 3, X= -2.

Când x = 1, această serie se transformă într-o serie de numere

Să investigăm convergența acestei serii prin testul d'Alembert. Avem

Acestea. seria converge.

Pentru x = 3 obținem seria

Ceea ce diverge, întrucât nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei

Pentru x = -2 obținem

Aceasta este o serie alternativă, care, conform testului Leibniz, converge.

Deci la puncte X= 1 și X= -2. seria converge, iar la punct X= 3 diverge.

Extinderea funcțiilor elementare din seria Maclaurin:

Lângă Taylor pentru functie f(x) se numește o serie de puteri a formei

În cazul în care un, a = 0, apoi obținem un caz special al seriei Taylor

Care e numit lângă Maclaurin.

O serie de puteri din intervalul său de convergență poate fi diferențiată și integrată termen cu termen de câte ori se dorește, iar seria rezultată are același interval de convergență ca și seria originală.

Două serii de puteri pot fi adăugate și înmulțite termen cu termen conform regulilor de adunare și înmulțire a polinoamelor. În acest caz, intervalul de convergență al seriei noi rezultate coincide cu partea comună a intervalelor de convergență a seriei originale.

Pentru a extinde o funcție într-o serie Maclaurin, este necesar:

1) calculați valorile funcției și derivatele sale succesive la punctul x= 0, adică , , .

8. Extindeți seria Maclaurin de funcții.

Faceți o verificare preliminară. Există o teoremă simplă care spune că dacă suma infinită a unei funcții f converge, atunci limita funcției f este egală cu 0. Astfel, dacă avem o funcție x^2, atunci aceasta nu are limită, iar suma ei. diverge la infinit; pe de altă parte, limita funcției 1/x este 0, deci suma acesteia poate converge. Dacă limita este diferită de zero, știm că seria diverge. ATENȚIE: inversul nu este adevărat, adică faptul că limita este zero nu înseamnă deloc că seria converge neapărat. În acest caz, este necesară o verificare suplimentară.

rânduri geometrice. Există o regulă foarte simplă pentru aceste serii, așa că mai întâi determinați dacă seria dvs. nu este o serie geometrică. O serie geometrică este o succesiune de numere, fiecare termen poate fi reprezentat ca r^k, unde k este o variabilă și r este un număr între -1 și 1. Serii geometrice converg întotdeauna. Mai mult, puteți determina cu ușurință suma unei astfel de serii, care este egală cu 1/(1-r).

Seria armonică generalizată sau seria Dirichlet. O astfel de serie este suma funcțiilor de forma 1/(x^p), unde x este orice număr. Teorema acestor serii spune că dacă p este mai mare decât unu, seria converge; dacă p este mai mic sau egal cu unu, seria diverge. Aceasta înseamnă că seria 1/x menționată mai sus diverge deoarece poate fi reprezentată ca 1/(x^1), unde p=1. Această serie se numește armonică. Seria 1/(X^2) converge deoarece 2 este mai mare decât 1.

Alte rânduri. Dacă seria nu aparține unuia dintre tipurile de mai sus, aplicați-i metodele de mai jos. Dacă o metodă nu ajută, încercați următoarea, deoarece nu este întotdeauna clar pe care să o alegeți. Deși nu există reguli clare, în timp vei putea naviga mai bine în alegerea metodei dorite.

• metoda de comparare. Să presupunem că aveți două serii pozitive, a(n) și b(n). Atunci: 1) dacă suma infinită b(n) converge, iar a(n) este mai mică decât b(n) (pentru orice n suficient de mare), atunci converge și suma a(n); 2) dacă b(n) diverge și a(n)>b(n), atunci și a(n) diverge. De exemplu, aveți un rând 2/x; îl putem compara cu seria 1/x. Deoarece știm deja că seria 1/x diverge și 2/x > 1/x, rezultă că și seria 2/x diverge. Astfel, ideea metodei este de a determina dacă seria studiată converge sau nu, folosind o serie deja cunoscută.
• Metoda de comparare a limitelor. Dacă a(n) și b(n) sunt serii de numere pozitive și dacă există o limită a(n)/b(n) care este mai mare decât 0, atunci ambele serii fie converg, fie diverg. În acest caz, seria studiată este comparată și cu cea cunoscută; metoda este de a selecta o serie cunoscută al cărei grad maxim corespunde gradului seriei studiate. De exemplu, dacă luați în considerare seria 1/(x^3+2x+1), este logic să o comparați cu seria 1/(x^3).
• Verificare integrală. Dacă funcția este mai mare decât zero, continuă și descrescătoare pentru valorile lui x mai mari sau egale cu 1, atunci seria infinită f(n) converge dacă integrala definita de la 1 la infinit din funcția f(x) există și are o valoare finită; în caz contrar, seria diverge. Astfel, este suficient să integrăm funcția și să găsim limita pe măsură ce x tinde spre infinit: dacă limita este finită, seria converge; dacă limita este infinită, seria diverge.
• Rânduri variabile. Dacă a(k)>a(k+1)>0 pentru k suficient de mare, iar limita lui a(n) este 0, atunci seria alternativă (-1)^n a(n) converge. Mai simplu spus, să presupunem că seria dvs. este alternativă (adică termenii săi sunt alternativ pozitivi și negativi); în acest caz, aruncați partea alternativă a funcției și găsiți limita a ceea ce a mai rămas -- dacă limita este finită, seria converge.
• metoda relatiei. Având în vedere o serie infinită a(n), găsiți următorul termen al seriei a(n+1). Apoi calculați raportul dintre termenul următor și cel anterior a(n+1)/a(n), luându-l dacă este necesar valoare absolută. Aflați limita acestui raport pe măsură ce n tinde spre infinit; dacă această limită există și este finită, înseamnă următoarele: 1) dacă limita este mai mică de unu, seria converge; 2) dacă limita este mai mare de unu, seria diverge; 3) dacă limita este egală cu unu, această metodă este insuficientă (seria poate atât converge, cât și diverge).
• Acestea sunt metodele de bază pentru determinarea convergenței seriilor și sunt extrem de utile. Dacă niciunul dintre ei nu a ajutat, este posibil ca problema să nu aibă soluție sau ați greșit undeva. Aceste metode pot fi folosite și pentru alte serii, cum ar fi serie de puteri, seria Taylor etc. Este dificil să supraestimezi cunoștințele acestor metode, deoarece altele moduri simple pentru a determina convergenţa seriei nu există.