SERIE DE PUTERI Teorema lui Abel. Intervalul și raza de convergență a unei serii de puteri Convergența uniformă a unei serii de puteri și continuitatea sumei acesteia Integrarea serii de puteri Diferențierea serii de puteri Seria Taylor Condiții de descompunere a unei funcții într-o serie Taylor de funcții elementare Tabelul expansiunilor într-o putere serie (seria Maclaurin) de funcții elementare de bază.
teorema lui Abel. Intervalul și raza de convergență a unei serii de puteri O serie de puteri este o serie funcțională de forma (o sau tipul (2) în care coeficienții sunt constante. Seria (2) prin înlocuirea formală x - x<> pe x se reduce la serie (1). Seria de puteri (1) converge întotdeauna în punctul x = 0, iar seria (2) în punctul x0, iar suma lor în aceste puncte este egală cu ω. Exemplu. Rândurile sunt rânduri așezate. Să aflăm forma regiunii de convergență a seriei de puteri. Teorema 1 (Abel). Dacă o serie de puteri converge la, atunci ea converge absolut pentru tot x astfel încât dacă o serie de puteri diverge la x = xi, atunci ea diverge la orice x pentru care Fie seria de puteri CONVERGĂ la. seria de numere converge SERIA DE PUTERI Teorema lui Abel. Intervalul și raza de convergență a unei serii de puteri Convergența uniformă a unei serii de puteri și continuitatea sumei acesteia Integrarea serii de puteri Diferențierea serii de puteri Seria Taylor Condiții de descompunere a unei funcții într-o serie Taylor de funcții elementare Tabelul expansiunilor într-o putere serie (seria Maclaurin) de funcții elementare de bază. Rezultă că a înseamnă că există un număr astfel încât M pentru toate n. Luați în considerare seria unde și estimați termenul său comun. Avem unded= . Dar seria este compusă din termeni ai unei progresii geometrice cu un numitor q, unde înseamnă că converge. Pe baza criteriului de comparare, rândul 2 |с„:гп| converge în orice punct x pentru care. În consecință, seria de puteri este absolut convergentă PENTRU Fie acum seria de puteri punctele O), care separă intervalele de divergență de intervalul de convergență. Următoarea teoremă este valabilă. Teorema 2. Fie că o serie de puteri converge într-un punct x Φ 0. Atunci fie această serie converge absolut în fiecare punct al dreptei numerice, fie există un număr R > O astfel încât seria converge absolut la și diverge la Diverge. Abs. converge diverge d Fig. 1 Definiție. Intervalul de convergență al unei serii de puteri este intervalul (-R, R), unde R > 0, astfel încât în fiecare punct x € (-R, R) seria converge absolut, iar în punctele x astfel încât |i| > R, seria diverge. Numărul R se numește raza de convergență a seriei de puteri. Cometariu. În ceea ce privește capetele intervalului de convergență (-R, R), sunt posibile următoarele trei cazuri: i) seria de puteri converge atât în punctul x = -R, cât și în punctul x = R, 2) seria de puteri diverge în ambele puncte, 3) o serie de puteri converge la un capăt al intervalului de convergență și diverge la celălalt. Cometariu. Seria de puteri în care hof 0 are aceeași rază de convergență ca și seria. Pentru a demonstra formula (3), considerăm o serie compusă din valorile absolute ale termenilor acestei serii. Aplicând testul D'Alembert acestei serii, găsim. Rezultă că seria (4) va converge , dacă și va diverge, dacă. Seria de puteri converge absolut pentru tot x astfel încât diverge la. Prin determinarea razei de convergență, constatăm că raza de convergență a unei serii de puteri poate fi găsită și folosind formula dacă există o limită finită.Formula (5) poate fi obținută cu ușurință folosind criteriul Cauchy. Dacă o serie de puteri converge numai în punctul x = 0, atunci spunem că raza ei de convergență este R = 0 (acest lucru este posibil, de exemplu, când lim L^D = oo sau Dacă seria de puteri converge în toate punctele axa reală, atunci presupunem R = + oo (acest lucru se întâmplă, de exemplu, când lim n^p = 0 sau Regiunea de convergență a seriei de puteri poate fi fie intervalul (, fie segmentul [, fie unul din jumătate -intervale (x0 - R, x0 + D) sau [. Dacă R = + oo, atunci regiunea de convergență a seriei va fi întreaga axă numerică, adică intervalul (-oo, +oo). regiunea de convergență a unei serii de puteri, trebuie să calculați mai întâi raza de convergență R (de exemplu, folosind una dintre formulele de mai sus) și, prin urmare, să găsiți intervalul de convergență al punctului O), care separă intervalele de divergență din interval. de convergență. Următoarea teoremă este valabilă. Teorema 2. Fie seria de puteri converge în punctul x Ф 0. Atunci fie această serie converge absolut în fiecare punct al dreptei numerice, fie există un număr R > O astfel încât seria converge absolut at și diverges at | Diverges. Abs. converge diverge Definiţie. Intervalul de convergență al unei serii de puteri este intervalul (-R, R), unde R > 0, astfel încât în fiecare punct x € (-R, R) seria converge absolut, iar în punctele x astfel încât |i| > R, seria diverge. Numărul R se numește raza de convergență a seriei de puteri. Cometariu. În ceea ce privește capetele intervalului de convergență (-R, R), sunt posibile următoarele trei cazuri: i) seria de puteri converge atât în punctul x = -R, cât și în punctul x = R, 2) seria de puteri diverge în ambele puncte, 3) o serie de puteri converge la un capăt al intervalului de convergență și diverge la celălalt. Cometariu. Seria de puteri în care hof 0 are aceeași rază de convergență ca și seria. Pentru a demonstra formula (3), considerăm o serie compusă din valorile absolute ale termenilor acestei serii. Aplicând testul D'Alembert acestei serii, Rezultă că seria (4) va converge , dacă \, și va diverge dacă, adică seria de puteri converge absolut pentru tot x astfel încât să diverge pentru \. Prin definirea razei de convergență, obținem că R = £, adică SERIA DE PUTERI Teorema lui Abel. Intervalul și raza de convergență a unei serii de puteri Convergența uniformă a unei serii de puteri și continuitatea sumei acesteia Integrarea serii de puteri Diferențierea serii de puteri Seria Taylor Condiții de descompunere a unei funcții într-o serie Taylor de funcții elementare Tabelul expansiunilor într-o putere serie (seria Maclaurin) de funcții elementare de bază. Raza de convergență a unei serii de puteri poate fi găsită și folosind formula dacă există o limită finită.Formula (5) poate fi obținută cu ușurință folosind testul Cauchy. Dacă seria de puteri converge numai în punctul x = 0, atunci spunem că raza sa de convergență este R = 0 (acest lucru este posibil, de exemplu, când lim b^D = oo sau. Dacă seria de puteri converge în toate punctele a axei reale, atunci presupunem R = +oo (acest lucru se întâmplă, de exemplu, când regiunea de convergență a unei serii de puteri poate fi fie intervalul (, fie segmentul ], fie unul dintre semiintervalele (x0 - R,x0 + D) sau [. Dacă R = +oo, atunci regiunea de convergență a seriei va fi întreaga axă numerică, adică intervalul (-oo, +oo).Pentru a găsi regiunea de convergență a unei puteri serie, trebuie să calculați mai întâi raza de convergență R (de exemplu, folosind una dintre formulele de mai sus) și astfel să găsiți intervalul de convergență în care seria converge absolut, apoi să investigați convergența seriei la capetele intervalului de convergență. - în punctele x = xo - R, x = xq + R. Exemplul 1. Aflați regiunea de convergență a seriei de puteri M 1) Pentru a afla raza de convergență R a acestei serii, este convenabil să aplicați formula ( 3).Deci cumva vom avea Seria converge absolut asupra intervalului 2) Să studiem convergența seriei (6) la capetele intervalului de convergență. Punând x = -1, obținem o serie de numere a cărei divergență este evidentă (criteriul necesar pentru convergență nu este îndeplinit: . Pentru x - 1, obținem o serie de numere pentru care nu există, ceea ce înseamnă că această serie diverge. Deci, regiunea de convergență a seriei (6) este un interval Exemplul 2. Aflați aria de convergență a seriei M 1) Găsim raza de convergență folosind formula (3). Avem Seria (7) converge absolut asupra intervalului, de unde Când obținem o serie numerică care diverge (serie armonică). La x = 0 vom avea o serie de numere care este convergentă condiționat. Astfel, seria (7) converge în regiunea Exemplul 3. Aflați intervalul de convergență al seriei Deoarece = , atunci pentru a afla raza de convergență aplicăm formula Aceasta înseamnă că această serie converge pentru toate valorile lui x, adică regiunea de convergență este intervalul Exemplul 4. Aflați intervalul de convergență al seriei, apoi obținem Egalitatea R = 0 înseamnă că seria (8) converge doar într-un punct. Adică regiunea de convergență a unei serii de puteri date constă dintr-un punct §2. Convergenţa uniformă a unei serii de puteri şi continuitatea sumei acesteia Teorema 1. O serie de puteri converge absolut şi uniform pe orice segment cuprins în intervalul de convergenţă al seriei Let. Atunci pentru toate w care satisfac condiția și pentru orice n =. vom avea. Dar, deoarece seria de numere converge, atunci, după criteriul lui Weierstrass, această serie de puteri converge absolut și uniform pe segment. Teorema 2. Suma unei serii de puteri este continuă în fiecare punct x al intervalului său de convergență (4) Orice punct x din intervalul de convergență (-D, R) poate fi închis într-un anumit segment pe care seria dată converge uniform. Întrucât termenii seriei sunt continui, atunci suma sa S(x) va fi continuă pe intervalul [-a, a] și, prin urmare, în punctul x. Integrarea serii de puteri Teorema 3 (la integrarea termen cu termen a unei serii de puteri).O serie de puteri poate fi integrată termen cu termen în intervalul său de convergență (-R, R ), R > O, iar raza de convergență a seriei obținute prin integrarea termen cu termen este de asemenea egal cu R. În special, pentru orice x din intervalul (-R, R) se aplică următoarea formulă: Orice punct x din intervalul de convergență (-D, R) poate fi închis într-un anumit segment [-a, a], unde Pe acest segment această serie va converge uniform, iar din moment ce termenii seriei sunt continui, ea poate fi integrată termen cu termen, de exemplu, în intervalul de la 0 la x. Atunci, conform teoremei 4 din capitolul XVIII, Fie găsim raza de convergență R" a seriei rezultate SERIE DE PUTERI Teorema lui Abel. Intervalul și raza de convergență a unei serii de puteri Convergența uniformă a unei serii de puteri și continuitatea sumei acesteia Integrarea serii de puteri Diferențierea serii de puteri Seria Taylor Condiții de descompunere a unei funcții într-o serie Taylor de funcții elementare Tabelul expansiunilor într-o putere serie (seria Maclaurin) de funcții elementare de bază. sub condiţia suplimentară a existenţei unei limite finite R. Ime Deci, raza de convergenţă a seriei de puteri nu se modifică în timpul integrării. Cometariu. Enunțul teoremei rămâne valabil pentru R = +oo. §4. Diferențierea serii de puteri Teorema 4 (cu privire la diferențierea termen cu termen a serii de puteri). O serie de puteri poate fi diferențiată termen cu termen în orice punct x al intervalului său de convergență. 4 Fie R raza de convergență a seriei și R" fie raza de convergență a seriei. Să presupunem că există a (finită sau infinită ) limită.Găsiți raza B! serie unde Avem Astfel, razele de convergență ale seriei (1) și (2) sunt egale. Să notăm suma seriei (2) prin seria (1) și (2) converg uniform pe orice segment [-a, a|, unde. Mai mult, toți termenii seriei (2) sunt continui și sunt derivați ai termenilor corespunzători seriei (1). Prin urmare, conform teoremei 5 din capitolul XVIII, egalitatea este valabilă pentru intervalul [-a, a). Datorită arbitrarului lui a, ultima egalitate este valabilă și pentru intervalul Sledspie. Definiție serie de putere. Vom spune că funcția /(x) se extinde într-o serie de puteri ]G) SpXn pe un interval dacă pe acest interval seria indicată converge și suma ei este egală cu /(x): Să demonstrăm mai întâi că funcția /( x) nu poate avea două expansiuni diferite într-o serie de puteri de forma Teorema 5. Dacă funcția /(x) pe intervalul (-R, R) este extinsă într-o serie de puteri (1), atunci această expansiune este unică, adică. , coeficienții seriei (1) sunt determinați în mod unic din suma acesteia. Fie ca funcția din interval să fie extinsă într-o serie de puteri convergentă Diferențiând această serie pe termen lung de n ori, aflăm Când x = 0 obținem de unde Astfel, coeficienții seriei de puteri (1) prin formula (2) sunt determinați în mod unic. Cometariu. Dacă funcția /(x) este extinsă într-o serie de puteri în puteri ale diferenței x-zq, atunci coeficienții c„ ai acestei serii sunt determinați prin formule. Fie ca funcția / să aibă derivate de toate ordinele, i.e. este infinit diferențiabilă în punctul w. Să compunem o serie formală de puteri pentru această funcție calculând coeficienții ei folosind formula (3). §5. Definiție. Seria Taylor a funcției /(x) față de punctul x0 se numește o serie de puteri de forma (aici. Coeficienții acestei serii... se numesc coeficienții Taylor ai funcției. Pentru xo = 0, Seria Taylor se numește seria Maclaurin Din teorema 5 rezultă următoarea afirmație. Teorema b. Dacă pe interval funcția /(x) se extinde într-o serie de puteri, atunci această serie este seria Taylor a funcției /(x). Exemplul 1. Luați în considerare o funcție și găsiți derivatele ei.Pentru z O, această funcție are derivate de toate ordinele, care se găsesc conform regulilor uzuale și, în general, unde Pjn (i) este un polinom de gradul 3n față de j. Acum arătăm că la punctul 2 = 0 această funcție are și derivate de orice ordin, iar toate sunt egale cu zero. Pe baza definiției derivatei, avem (la calcularea limitei am aplicat regula Rhopital). ) .În mod similar, putem demonstra că Astfel, funcția dată are derivate de toate ordinele pe axa numerelor.Să construim o serie formală Taylor a funcției inițiale față de punctul z0 = Avem, evident, suma acestei serii este identic egală cu zero, în timp ce funcția în sine f(x) nu este identic egală cu zero. ^ Acest exemplu merită reținut atunci când discutăm despre analize complexe (analiticitate): o funcție, în exterior complet decentă, prezintă un caracter capricios pe axa reală, care este o consecință a problemelor pe axa imaginară. Seria construită în mod formal în exemplu pentru o funcție infinit derivabilă dată converge, dar suma acesteia nu coincide cu valorile acestei funcții pentru x Φ 0. În acest sens, se ridică o întrebare firească: ce condiții ar trebui să funcționeze f( x) satisface pe intervalul (xo - R, xo + R) astfel încât să poată fi extins într-o serie Taylor care converge către acesta? Condiții pentru descompunerea unei funcții dintr-o serie Taylor Pentru simplitate, vom considera o serie de puteri de formă, adică seria Maclaurin. Teorema 7. Pentru ca funcția f(x) să fie extinsă într-o serie de puteri pe intervalul (-R, R), este necesar și suficient ca pe acest interval funcția f(x) să aibă derivate de toate ordinele și că în formula lui Taylor rezidualul termenul Rn(x) a ținut spre zero pentru toate m Necesitate. Fie pe interval (funcția f(x) să fie extinsă într-o serie de puteri, adică seria (2) converge și suma sa este egală cu f(x). Apoi, prin Teorema 4 și corolarul ei, funcția f(x) are pe intervalul (-R , R) derivate /(n^(x) de toate ordinele. Prin teorema 5 (formula (2)), coeficienții seriei (2) au forma adică putem scrie egalitatea Datorită convergența acestei serii pe intervalul (-R, R ) restul său 0 tinde spre zero ca oo pentru toate x Suficiență: Fie funcția f(r) de pe intervalul (-R, R) să aibă derivate de toate ordinele și în formula lui Taylor termenul rămas Rn(x) 0 la oo pentru orice x € (-D, R). Deoarece pentru n -» oo. Deoarece în paranteze drepte se scrie a n-a parțială suma seriei Taylor, atunci formula (4) înseamnă că seria Taylor a funcției f(x) converge pe intervalul (-D, R) și suma sa este funcția f(x). Condiții suficiente pentru extinderea unei funcții într-o serie de puteri, convenabile pentru aplicație practică, sunt descrise de următoarea teoremă. Teorema 8. Pentru ca funcția f(x) pe intervalul (-R, R) să fie extinsă într-o serie de puteri, este suficient ca funcția f(x) să aibă derivate de toate ordinele pe acest interval și să existe există o constantă M > O astfel încât Ce. Fie funcția f(x) să aibă derivate de toate ordinele pe intervalul (-D, R). Apoi putem scrie formal o serie Taylor pentru ea. Să demonstrăm că converge către funcția f(x). Pentru a face acest lucru, este suficient să arătăm că restul termenului din formula lui Taylor (1) tinde spre zero ca n oo pentru toți x € (-Δ, R). Într-adevăr, având în vedere că). O serie de numere converge în virtutea criteriului lui D'Alembert: în virtutea criteriului necesar de convergenţă. Din inegalitatea (3) se obţine!Deşi funcţia lui M, din § b. Seria Taylor de funcții elementare Să considerăm extinderile în serie ale funcțiilor elementare de bază. 6 Această funcție are derivate de toate ordinele de pe interval (- orice număr și, prin urmare, functie exponentiala ex poate fi extins într-o serie Taylor pe orice interval (-a, a) și, astfel, pe toată axa Ox. Deoarece, obținem seria Dacă în expansiunea (1) înlocuim w cu -a*, atunci vom avea Această funcție are derivate de orice ordin și. Astfel, prin Teorema 8, funcția sin x este extinsă într-o serie Taylor care converge către aceasta pe intervalul (-oo, +oo). Deoarece această serie are următoarea formă: Raza de convergență a seriei Obținem în mod similar că - orice număr real Această funcție satisface relația și condiția Vom căuta o serie de puteri a cărei sumă 5(x) satisface relația (4) și condiția 5(0) = 1. Să punem De aici găsim Înlocuirea relațiilor (5) și (6) în formula (4), vom avea Echivalarea coeficienților pentru aceleași puteri ale lui x în părțile stânga și dreapta ale egalității , obținem de unde găsim SERIA DE PUTERI teorema lui Abel. Intervalul și raza de convergență a unei serii de puteri Convergența uniformă a unei serii de puteri și continuitatea sumei acesteia Integrarea serii de puteri Diferențierea serii de puteri Seria Taylor Condiții de descompunere a unei funcții într-o serie Taylor de funcții elementare Tabelul expansiunilor într-o putere serie (seria Maclaurin) de funcții elementare de bază. Înlocuind aceste valori ale coeficienților în relația (5), obținem seria Aflați raza de convergență a seriei (7) în cazul în care a nu este un număr natural. Avem Deci, seria (7) converge la. e. asupra intervalului Să demonstrăm că suma 5(g) din seria (7) pe intervalul (-1,1) este egală cu (1 + g)°. Pentru a face acest lucru, luați în considerare relația Deoarece 5(x) satisface relația (atunci pentru derivata funcției φ(x) obținem: pentru. Rezultă că. În special, pentru x = 0 avem și, prin urmare, sau The seria rezultată se numește binom, iar coeficienții săi - coeficienți binomii.Notă: În cazul a - numar natural(o = z"), funcția (1 + z)a va fi polinom nth grad, iar Dn(x) = 0 pentru toate n > a. Să remarcăm încă două extinderi. Pentru a = -1 vom avea.Inlocuind w cu -z in ultima egalitate, obtinem extinderea acestei functii intr-o serie Taylor in puteri ale lui w. Vom integra egalitatea (9) in o Egalitatea (11) este valabila în interval. Înlocuind în el x cu -z, obținem o serie.Se poate dovedi că egalitatea (11) este valabilă și pentru x = 1: Tabelul extinderilor serii de puteri (seria Maclaurin) a funcțiilor elementare de bază. Folosind acest tabel, puteți obține extinderi de serie de puteri ale funcțiilor mai complexe. Să arătăm cu exemple cum se face acest lucru. Exemplul 1. Extindeți funcția lui 4 într-o serie de puteri în vecinătatea punctului xq = 2, adică în puterile diferenței z -2. Să ne transformăm această funcție astfel încât să putem folosi seria (10) pentru funcția Avem. Înlocuirea lui x în formula (10) cu ^. obținem I I Această expansiune este valabilă atunci când oricare dintre inegalitățile echivalente este satisfăcută.Exemplu 2. Extindeți funcția în puteri ale lui x folosind formula (10). 4 Expandând numitorul în factori, prezentăm această funcție rațională ca diferența a două fracții simple. După transformări simple obținem 1 Fiecărui termen din partea dreaptă a egalității (13) aplicăm formula (10), ca rezultat obținem serii de puteri Seria (14) converge pentru \ și seria (15) converge pentru 2. Ambele serii (14) și (15) vor converge simultan pentru \. Deoarece seriile (14) și (15) converg în intervalul (-1,1), ele pot fi scăzute termen cu termen. Ca rezultat, obținem seria de puteri dorită a cărei rază de convergență este egală cu R = 1. Această serie converge absolut pentru Exemplul 3. Extindeți funcția arcsin x într-o serie Taylor în vecinătatea punctului xo = 0. 4 Se știe că Aplicați funcției (formula (8), înlocuind x în ea cu -x2. Ca rezultat, pentru obținem Integrarea ambelor părți ale ultimei egalități de la zero la x (integrarea termen cu termen este legală). , deoarece seria de puteri converge uniform pe orice segment cu punctele finale în punctele 0 și x, situate în intervalul (-1,1)), găsim sau Astfel, obținem în sfârșit că Observație: Expansiunea în serie de puteri poate fi utilizată pentru a calcula integrale care nu pot fi exprimate in forma finala prin functii elementare.Sa dam mai multe exemple Exemplul 4. Calculati integrala (sinusul integral), Se stie ca antiderivata pentru functia ^ nu se exprima in termeni de functii elementare.Sa extindem integrandul într-o serie de puteri, folosind faptul că Din egalitatea (16) găsim. Rețineți că împărțirea seriei (16) la t pentru t φ O este legală. Egalitatea (17) se păstrează și dacă presupunem că pentru t = O relația este - = 1. Astfel, seria (17) converge pentru toate valorile.Integrând-o termen cu termen, obținem Seria rezultată este alternantă în semn, astfel încât eroarea la înlocuirea sumei sale cu o sumă parțială este ușor de apreciat. Exemplul 5. Calculați integrala Aici nici antiderivată pentru integrandul e nu este functie elementara. Pentru a calcula integrala, înlocuim în formula Obținem Integram ambele părți ale acestei egalități în intervalul de la 0 la x: Această serie converge pentru orice r (raza sa de convergență R = +oo) și este alternativă în semn pentru exerciții Aflați regiunea de convergență a seriei de puteri: Extindeți următoarele funcții într-o serie Macloreia și indicați ariile de convergență ale seriei obținute: Instrucțiune. Folosește masa. Folosind masa, rezolvați funcții specificateîntr-o serie Taylor în puteri de x - x0 și indicați intervalele de convergență ale seriei rezultate.
Elemente de structură semantică
Structura semantică a unei propoziții.
(această întrebare este activată auto-studiu!)
Acest tip de analiză leagă organizarea semantică a unei propoziții de organizarea sa formală. Această direcție a prezentat conceptul de structură semantică a unei propoziții (în primul rând N.Yu. Shvedova).
O diagramă structurală are propria sa semantică, care este creată de semnificațiile formale ale componentelor, regulile conținutului lor lexical și relația componentelor între ele (în schemele fără o singură componentă).
Sensul lingvistic al unei propoziții specifice construite după unul sau altul tipar este format din acțiunea reciprocă a semanticii acestui tipar și a semanticii lexicale a acelor cuvinte care au luat pozițiile componentelor sale: Elevul scrie; copilul se bucură de semantica generală a MSS („relația dintre subiect și atributul său predicativ - o acțiune sau stare procedurală”) în primul caz sensul este „relația dintre subiect și acțiunea lui specifică”, în al doilea. caz - „relația dintre subiect și starea lui emoțională” .
Serii funcționale de forma în care (coeficienții seriei) și (centrul seriei) sunt constante, o variabilă, se numesc serie de puteri. Este clar că dacă învățăm să calculăm regiunea de convergență a unei serii de puteri (cu centru), atunci putem găsi cu ușurință regiunea de convergență a seriei originale.De aceea, de acum înainte, dacă nu se precizează altfel, vom lua în considerare seria de puteri. a formei.
teorema lui Abel.Dacă o serie de puteri converge într-un punct, atunci converge absolut și în interval.Pe orice segment, seria specificată converge uniform.
Dovada. Deoarece seria converge, termenul său comun este deci mărginit, adică. există o constantă astfel încât
Să fie acum. Atunci vom avea
Deoarece progresie geometrică converge (), apoi prin prima teoremă de comparație converge și seria.Se dovedește prima parte a teoremei.
Deoarece, conform celor dovedite, seria converge și se majorează ca și serie, atunci prin teorema lui Weierstrass ultima serie converge uniform la Teorema este complet demonstrată.
Din teorema lui Abel rezultă că putem extinde intervalul până când vine momentul în care seria diverge într-un punct (sau un astfel de moment nu vine deloc, adică). Atunci intervalul indicat va fi regiunea de convergență a seriei.Astfel, orice serie de puteri are ca regiune de convergență nu o mulțime arbitrară, ci tocmai un interval. Să dăm o definiție mai precisă a intervalului de convergență.
Definiția 2. Numărul este sunat raza de convergenta serie, dacă în cadrul intervalului această serie converge absolut, iar în afara segmentului diverge. În acest caz se numește intervalul interval de convergenta rând.
Rețineți că la puterea indicată seria converge numai în punctul și la ea converge la toate reale. Următoarele exemple arată că aceste cazuri nu sunt excluse: Un exemplu de serie cu o rază de convergență finită diferită de zero poate fi o progresie geometrică. Rețineți, de asemenea, că la limita intervalului de convergență o serie de puteri poate atât să converge, cât și să diverge. De exemplu, o serie converge condiționat într-un punct și diverge într-un punct
Din proprietățile serii funcționale uniform convergente (Teoremele 1-3), următoarele proprietăți ale seriei de puteri sunt ușor de derivate.
Teorema 4.Fie raza de convergență a seriei de puteri. Apoi sunt valabile următoarele afirmații:
1. Suma unei serii de puteri date este continuă în intervalul de convergență;
2. Dacă este raza de convergență a unei serii de puteri, atunci seria de derivate va avea aceeași rază de convergență. Rezultă că seria de puteri poate fi diferențiată de câte ori se dorește (adică, suma sa este infinit diferențiabilă în interval de convergență), iar egalitatea este valabilă
3. O serie de puteri poate fi integrată pe orice segment aflat în intervalul său de convergență, adică
Dovada, de exemplu, prima proprietate va fi astfel. Fie un punct arbitrar al intervalului de convergență . Să înconjurăm acest punct cu un segment simetric.Conform teoremei lui Abel, seria converge uniform pe segment, deci suma sa este continuă pe segmentul indicat, și deci continuă, în special, la punct.Proprietatea 1 este dovedită. Restul proprietăților teoremei noastre sunt demonstrate în mod similar.
Acum să calculăm raza de convergență a unei serii de puteri din coeficienții săi.
Teorema 4 . Să fie îndeplinită cel puțin una dintre următoarele condiții:
a) există o limită (finită sau infinită).
b) există o limită (finită sau infinită) (se presupune că există un număr astfel încât).
Atunci numărul este raza de convergență a seriei.
Dovada Să o facem pentru cazul a). Să aplicăm testul Cauchy la seria modulară: Conform testului specificat, seria converge absolut dacă numărul i.e. dacă Dacă i.e. dacă atunci seria indicată diverge. Prin urmare, raza de convergență a seriei. Teorema a fost demonstrată.
Nota 1. Teorema 1-4 poate fi transferată practic fără schimbarea formulării în serie de puteri a formei (cu ușoară modificare că în acest caz domeniul de convergență este intervalul).
Exemplul 1. Găsiți aria de convergență a seriei ( sarcina 10, T.R., Kuznetsov L.A.)
Soluţie. Să aplicăm un analog al a) teorema lui Cauchy: raza de convergenţă a unei serii date. Aceasta înseamnă că seria converge absolut în regiune
Să studiem convergența seriei la capetele intervalului. Avem
diverge, deoarece
diverge, deoarece
În consecință, aria de convergență a seriei originale este intervalul.
Luați în considerare seria funcțională$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+u_(3) (x) ) +...$, ai căror membri sunt funcții ale unei variabile independente x. Suma primilor n termeni ai seriei $S_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+...+u_(n) (x)$ este parțial suma acestei serii funcționale. Termenul general $u_(n) (x)$ este o funcție a lui x definită într-un anumit domeniu. Să considerăm seria funcțională în punctul $x=x_(0) $. Dacă seria de numere corespunzătoare $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x_(0))$converge, i.e. există o limită a sumelor parțiale ale acestei serii$\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) (x_(0))=S(x_(0))$(unde $S( x_(0) )
Definiția 2
Zona de convergență a unei serii funcționale $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ este mulțimea tuturor valorilor lui x pentru care seria funcțională converge. Regiunea de convergență, constând din toate punctele de convergență, se notează cu $D(x)$. Rețineți că $D(x)\subset $R.
O serie de funcții converge în domeniul $D(x)$ dacă pentru orice $x\în D(x)$ converge ca o serie de numere, iar suma sa este o funcție $S(x)$. Aceasta este așa-numita funcție limită a secvenței $\left\(S()_(n) (x)\right\)$: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_( n) (x) =S(x)$.
Cum se află regiunea de convergență a seriei funcționale $D(x)$? Puteți folosi un semn similar cu semnul lui d'Alembert. Pentru seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ compunem $u_(n+1) (x)$ și considerăm limita pentru un x fix: $ \mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right|=\left|l(x )\dreapta| $. Atunci $D(x)$ este o soluție a inegalității $\left|l(x)\right|
Exemplul 1
Aflați aria de convergență a seriei $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $.
Soluţie. Să notăm $u_(n) (x)=\frac(x^(n) )(n) $, $u_(n+1) (x)=\frac(x^(n+1) )(n +1) $. Să compunem și să calculăm limita $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right| =\ mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(x^(n+1) \cdot n)(x^(n) \cdot (n+1)) \right| =\ stânga|x\right|$, atunci regiunea de convergență a seriei este determinată de inegalitatea $\left|x\right|
dacă $x=1$, $u_(n) (1)=\frac(1)(n) $, atunci obținem o serie divergentă $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac (1)(n) \, $;
dacă $x=-1$, $u_(n) (-1)=\frac((-1)^(n) )(n) $, atunci seria $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\frac((-1)^(n) )(n) \, \, $ converge condiționat (folosind criteriul Leibniz).
Astfel, regiunea de convergență $D(x)$ a seriei $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $are forma:$- 1\le x
Proprietățile seriei de putere
Se consideră seria de puteri $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $, al cărei interval de convergență este $(-R;\, R)$, apoi suma lui seria de puteri $ S(x)$ este definită pentru toți $x\in (-R;R)$ și putem scrie egalitatea $S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^ (n)$.
Proprietatea 1. Seria de puteri $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $ converge absolut în orice interval $\, \, \subset \, (-R;R)$ , situată în intervalul de convergență, iar suma seriei de puteri $S(x)$ este o funcție continuă pentru toți $x\în $.
Proprietatea 2. Dacă segmentul este $\, \, \subset \, (-R;R)$, atunci seria de puteri poate fi integrată în termeni de la a la b, adică. Dacă
$S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) =a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2) ) +...$, atunci
$\int \limits _(a)^(b)S(x)\, (\rm d)x =\sum \limits _(n=0)^(\infty )\int \limits _(a)^ (b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x=\int \limits _(a)^(b)a_(0) (\rm d)x +\int \limits _( a)^(b)a_(1) x\, (\rm d)x +...+\int \limits _(a)^(b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x +...$.
În acest caz, raza de convergență nu se modifică:
unde $a"_(n) =\frac(a_(n) )(n+1) $ sunt coeficienții seriei integrate.
Proprietatea 3. Suma unei serii de puteri este o funcție care are derivate de orice ordin în intervalul de convergență. Derivatele sumei unei serii de puteri vor fi sumele serii obținute dintr-o serie de puteri dată prin diferențiere termen cu termen de un număr adecvat de ori, iar razele de convergență ale unei astfel de serii vor fi aceleași cu cele ale serie originală.
Dacă $S(x)=a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2) +...+a_(n) x^(n) +...=\sum \limits _(n=0)^(\infty )\, a_(n) \cdot x^(n) $,apoi $S"(x)=a_(1) +2a_(2) x+...+na_( n) x^(n-1) +...=\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, n\cdot a_(n) \cdot x^(n-1) $,$ S""(x)=2a_(2) +6a_(3) x+...+n(n-1)a_(n) x^(n-2) +...=\sum \limits _(n =2)^(\infty )\, n\cdot (n-1)\cdot a_(n) \cdot x^(n-2) $, ... , etc.
Exemple
Seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )n!\; x^(n) $ converge numai în punctul $x=0$; seria diverge în toate celelalte puncte. $V:\stânga\(0\dreapta\).$
Seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(x^(n) )(n $ сходится во всех точках оси, $V=R$.!}
Seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) x^(n) )(n) $ converge în regiunea $V=(-1, \, 1]$.
Seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n+\cos x) $ diverge în toate punctele axei $V=$$\emptyset$.
Rânduri.
Definiții de bază.
Definiție. Se numește suma termenilor unei șiruri infinite de numere serie de numere.
În acest caz, vom numi numerele membri ai seriei și u n– un membru comun al seriei.
Definiție. sume, n = 1, 2, … sunt numite sume private (parțiale). rând.
Astfel, este posibil să se ia în considerare șiruri de sume parțiale ale seriei S 1, S 2, …, S n, …
Definiție. Serialul se numește convergent, dacă șirul sumelor sale parțiale converge. Suma seriilor convergente este limita succesiunii sumelor sale parțiale.
Definiție. Dacă succesiunea sumelor parțiale ale unei serii diverge, i.e. nu are limită, sau are o limită infinită, atunci seria se numește divergenteși nu i se atribuie nicio sumă.
Proprietățile rândurilor.
1) Convergența sau divergența seriei nu va fi încălcată dacă modificați, renunțați sau adăugați un număr finit de termeni ai seriei.
2) Se consideră două serii și , unde C este un număr constant.
Teorema. Dacă o serie converge și suma ei este egală cu S, atunci seria converge și suma sa este egală cu CS. (C#0)
3) Luați în considerare două rânduri și . Cantitate sau diferență aceste serii se vor numi serie, unde elementele sunt obținute ca urmare a adunării (scăderii) elementelor originale cu aceleași numere.
Teorema. Dacă seria și converg și sumele lor sunt egale cu S și, respectiv, s, atunci seria converge și ea, iar suma sa este egală cu S + s.
Diferența dintre două serii convergente va fi, de asemenea, o serie convergentă.
Suma unei serii convergente și a unei serii divergente este o serie divergentă.
Pe suma a două serii divergente afirmație generală nu se poate face.
Când studiază seriale, ele rezolvă în principal două probleme: studierea convergenței și găsirea sumei seriei.
Criteriul Cauchy.
(necesar și conditii suficiente convergență în serie)
Pentru ca o secvență să fie convergentă, este necesar și suficient ca pentru oricare să existe un număr N astfel încât pentru n > N și orice p > 0, unde p este un număr întreg, inegalitatea ar fi valabilă:
Dovada. (necesitate)
Fie , atunci pentru orice număr există un număr N astfel încât inegalitatea
Se execută când n>N. Pentru n>N și orice număr întreg p>0 inegalitatea este de asemenea valabilă. Ținând cont de ambele inegalități, obținem:
Necesitatea a fost dovedită. Nu vom lua în considerare dovada suficienței.
Să formulăm criteriul Cauchy pentru serie.
Pentru ca o serie să fie convergentă, este necesar și suficient ca pentru oricare să existe un număr N astfel încât pentru n>N și orice p>0 inegalitatea să fie valabilă.
Cu toate acestea, în practică, utilizarea directă a criteriului Cauchy nu este foarte convenabilă. Prin urmare, de regulă, mai mult semne simple convergenţă:
1) Dacă rândul converge, atunci este necesar ca termenul comun u n tinde spre zero. Cu toate acestea, această condiție nu este suficientă. Putem spune doar că dacă termenul comun nu tinde spre zero, atunci seria diverge cu siguranță. De exemplu, așa-numita serie armonică este divergentă, deși termenul său comun tinde spre zero.
Exemplu. Investigați convergența seriei
Să aflăm - nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergență, ceea ce înseamnă că seria diverge.
2) Dacă o serie converge, atunci șirul sumelor sale parțiale este mărginită.
Cu toate acestea, acest semn nu este suficient.
De exemplu, seria 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n+1 +... diverge, deoarece succesiunea sumelor sale parţiale diverge datorită faptului că
Cu toate acestea, succesiunea sumelor parțiale este limitată, deoarece la orice n.
Serii cu termeni nenegativi.
Când studiem serii de semn constant, ne vom limita la a considera serii cu termeni nenegativi, deoarece pur și simplu înmulțirea cu –1 din aceste serii poate da serii cu termeni negativi.
Teorema. Pentru ca o serie cu termeni nenegativi să convergă, este necesar și suficient ca sumele parțiale ale seriei să fie mărginite.
Un semn pentru compararea serii cu termeni nenegativi.
Să fie date două rânduri iar la u n , v n ³ 0.
Teorema. Dacă u n£ vn la orice n, apoi din convergența seriei rezultă că seria converge , și din divergența seriei seria diverge.
Dovada. Să notăm prin S nȘi s n sume parțiale de serie Și . Deoarece Conform condițiilor teoremei, seria converge, apoi sumele sale parțiale sunt limitate, adică. în fața tuturor n s n< M, где М – некоторое число. Но т.к. u n£ vn, Acea S n£ s n apoi sumele parțiale ale seriei sunt, de asemenea, limitate, iar acest lucru este suficient pentru convergență.
Exemplu.
Deoarece , iar seria armonică diverge, apoi seria diverge.
Exemplu. Examinați seria pentru convergență
Deoarece , iar seria converge (ca o progresie geometrică descrescătoare), apoi și seria converge.
Se folosește și următorul semn de convergență:
Teorema. Dacă există o limită , unde h este un număr diferit de zero, atunci seria se comportă identic în sensul convergenței.
semnul lui D'Alembert.
(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - matematician francez)
Dacă pentru o serie cu termeni pozitivi există un astfel de număr q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
atunci seria converge dacă condiția este îndeplinită pentru toate n suficient de mari
apoi seria diverge.
Semnul limitativ al lui D'Alembert.
Criteriul limitativ al lui D'Alembert este o consecință a criteriului D'Alembert de mai sus.
< 1 ряд сходится, а при r >1 – diverge. Dacă r = 1, atunci nu se poate răspunde la întrebarea convergenței.
Exemplu. Determinați convergența seriei.
Concluzie: seria converge.
Exemplu. Determinați convergența seriei
Concluzie: seria converge.
semnul lui Cauchy. (semn radical)
Dacă pentru o serie cu termeni nenegativi există un astfel de număr q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
atunci seria converge dacă pentru toate n suficient de mari inegalitatea
apoi seria diverge.
Consecinţă. Dacă există o limită, atunci pentru r<1 ряд сходится, а при r>Rândul 1 diverge.
Exemplu. Determinați convergența seriei.
Concluzie: seria converge.
Exemplu. Determinați convergența seriei.
Acestea. Testul Cauchy nu răspunde la întrebarea convergenței seriei. Să verificăm dacă sunt îndeplinite condițiile de convergență necesare. După cum am menționat mai sus, dacă o serie converge, atunci termenul comun al seriei tinde spre zero.
Astfel, condiția necesară pentru convergență nu este îndeplinită, ceea ce înseamnă că seria diverge.
Testul Cauchy integral.
Dacă j(x) este o funcție pozitivă continuă descrescătoare pe interval iar atunci integralele se comportă identic în sensul convergenţei.
Serii alternante.
Alternând rânduri.
O serie alternativă poate fi scrisă astfel:
semnul lui Leibniz.
Dacă valorile absolute ale lui u i pentru o serie alternativă scad și termenul comun tinde spre zero, atunci seria converge.
Convergența absolută și condiționată a seriei.
Să luăm în considerare câteva serii alternative (cu termeni de semne arbitrare).
și o serie compusă din valorile absolute ale membrilor seriei (1):
Teorema. Din convergența seriei (2) urmează convergența seriei (1).
Dovada. Seria (2) este o serie cu termeni nenegativi. Dacă seria (2) converge, atunci după criteriul Cauchy pentru orice e>0 există un număr N astfel încât pentru n>N și orice număr întreg p>0 următoarea inegalitate este adevărată:
După proprietatea valorilor absolute:
Adică, după criteriul Cauchy, din convergența seriei (2) rezultă convergența seriei (1).
Definiție. Serialul se numește absolut convergente, dacă seria converge.
Este evident că pentru serii de semn constant conceptele de convergență și de convergență absolută coincid.
Definiție. Serialul se numește convergent condiționat, dacă converge și seria diverge.
Testele lui D'Alembert și Cauchy pentru serii alternante.
Să fie o serie alternativă.
semnul lui D'Alembert. Dacă există o limită, atunci pentru r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>
semnul lui Cauchy. Dacă există o limită, atunci pentru r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>Rândul 1 va fi divergent. Când r=1, testul nu dă un răspuns despre convergența seriei.
Proprietățile serii absolut convergente.
1) Teorema. Pentru convergența absolută a unei serii, este necesar și suficient ca aceasta să poată fi reprezentată ca diferența a două serii convergente cu termeni nenegativi.
Consecinţă. O serie convergentă condiționat este diferența dintre două serii divergente cu termeni nenegativi care tind spre zero.
2) Într-o serie convergentă, orice grupare a termenilor seriei care nu își schimbă ordinea păstrează convergența și mărimea seriei.
3) Dacă o serie converge absolut, atunci seria obținută din ea prin orice permutare a termenilor converge și ea absolut și are aceeași sumă.
Prin rearanjarea termenilor unei serii convergente condiționat, se poate obține o serie convergentă condiționat având orice sumă predeterminată și chiar o serie divergentă.
4) Teorema. Pentru orice grupare de membri ai unei serii absolut convergente (în acest caz, numărul de grupuri poate fi fie finit, fie infinit, iar numărul de membri dintr-un grup poate fi finit sau infinit), se obține o serie convergentă, suma dintre care este egală cu suma seriei originale.
5) Dacă seria și converg în mod absolut și, respectiv, sumele lor sunt egale Sși s, atunci seria compusă din toate produsele de tipul luate în orice ordine converge de asemenea în mod absolut și suma ei este egală cu S×s- produsul sumelor seriei înmulțite.
Dacă înmulțiți serii convergente condiționat, puteți obține o serie divergentă ca rezultat.
Secvențe funcționale.
Definiție. Dacă membrii seriei nu sunt numere, ci funcții ale X, atunci seria se numește funcţional.
Studiul convergenței seriilor funcționale este mai complicat decât studiul seriilor numerice. Aceeași serie funcțională poate, cu aceleași valori variabile X converg, iar cu alții - diverge. Prin urmare, problema convergenței seriilor funcționale se rezumă la determinarea acelor valori ale variabilei X, la care converge seria.
Setul de astfel de valori este numit zona de convergenta.
Deoarece limita fiecărei funcții incluse în regiunea de convergență a seriei este un anumit număr, limita secvenței funcționale va fi o anumită funcție:
Definiție. Urmărire ( fn(x)} converge a functiona f(x) pe segment dacă pentru orice număr e>0 și orice punct X din segmentul luat în considerare există un număr N = N(e, x) astfel încât inegalitatea
este îndeplinită când n>N.
Pentru valoarea aleasă e>0, fiecare punct de pe segment are propriul său număr și, prin urmare, va exista un număr infinit de numere corespunzătoare tuturor punctelor de pe segment. Dacă alegeți cel mai mare dintre toate aceste numere, atunci acest număr va fi potrivit pentru toate punctele segmentului, adică. vor fi comune tuturor punctelor.
Definiție. Urmărire ( fn(x)} converge uniform a functiona f(x) pe segmentul , dacă pentru orice număr e>0 există un număr N = N(e), astfel încât inegalitatea
este îndeplinită pentru n>N pentru toate punctele segmentului.
Exemplu. Luați în considerare succesiunea
Această secvență converge pe întreaga linie numerică către funcție f(x)=0, deoarece
Să construim grafice ale acestei secvențe:
După cum se vede, cu numărul tot mai mare n graficul secvenței se apropie de axă X.
Serii funcționale.
Definiție. Sume private (parțiale). serii funcționale se numesc funcții
Definiție. Seria funcțională se numește convergent la un moment dat ( x=x 0), dacă succesiunea sumelor sale parțiale converge în acest punct. Limita secvenței este numită Cantitate rând într-un punct x 0.
Definiție. Set de toate valorile X, pentru care seria converge se numește zona de convergenta rând.
Definiție. Serialul se numește uniform convergente pe intervalul dacă șirul sumelor parțiale ale acestei serii converge uniform pe acest interval.
Teorema. (Criteriul Cauchy pentru convergența uniformă a seriei)
Pentru ca seria să converge uniform, este necesar și suficient ca pentru orice număr e>0 să existe un număr N(e) astfel încât pentru n>N și orice număr întreg p>0 inegalitatea
ar fi valabil pentru tot x din intervalul .
Teorema. (Testul Weierstrass pentru convergență uniformă)
(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) – matematician german)
O serie converge uniform si, in plus, absolut pe un interval daca modulele membrilor sai pe acelasi interval nu depasesc termenii corespunzatori ai convergentului. serie de numere cu termeni pozitivi:
acestea. exista o inegalitate:
Ei mai spun că în acest caz seria funcțională este majorat serie de numere.
2) Teorema privind integrarea termen cu termen a unei serii.
O serie cu termeni continui care converg uniform pe un interval poate fi integrata termen cu termen pe acest interval, i.e. o serie compusă din integrale ale termenilor săi peste segment converge către integrala sumei seriei peste acest segment.
3) Teorema privind diferențierea termen cu termen a unei serii.
Dacă termenii unei serii care converg pe un segment sunt funcții continue, având derivate continue, iar seria compusă din aceste derivate converge uniform pe acest segment, apoi această serie converge uniform și poate fi diferențiată termen cu termen.
Pe baza faptului că suma seriei este o funcție a variabilei X, puteți efectua operația de reprezentare a unei funcții sub formă de serie (extinderea unei funcții într-o serie), care este utilizată pe scară largă în integrare, diferențiere și alte operații cu funcții.
(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – matematician norvegian)
Teorema. Dacă o serie de puteri converge la x = x 1, atunci converge și, în plus, absolut pentru toată lumea.
Dovada. Conform condițiilor teoremei, deoarece termenii seriei sunt limitați, atunci
Unde k- un număr constant. Următoarea inegalitate este adevărată:
Din această inegalitate este clar că atunci când X
Prin urmare, pe baza criteriului de comparație, concluzionăm că seria converge, adică seria
