|
Formulare în formă extremă
Cometariu. Dacă Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): R=1, atunci testul Raabe nu răspunde la întrebarea despre convergența seriei.
Dovada
Dovada se bazează pe utilizarea unui criteriu de comparație generalizată atunci când se compară cu o serie armonică generalizată
Vezi si
- Testul de convergență al lui D'Alembert este un test similar bazat pe raportul dintre termenii vecini.
Scrieți o recenzie despre articolul „Semnul lui Raabe”
Literatură
- Arkhipov, G. I., Sadovnichy, V. A., Chubarikov, V. N. Prelegeri de analiză matematică: Manual pentru universități și profesori. universități / Ed. V. A. Sadovnichy. - M.: Şcoala superioară, 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4..
- - articol din Enciclopedia Matematică
Legături
- Weisstein, Eric W.(engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld.
| |||
Luați în considerare o serie de numere pozitive.
Dacă există o limită, atunci:
a) Când rând diverge. Mai mult, valoarea rezultată poate fi zero sau negativă
b) Când rând converge. În special, seria converge la .
c) Când Semnul lui Raabe nu dă un răspuns.
Tragem o limită și simplificăm cu atenție și cu grijă fracția:
Da, poza este, ca să spun ușor, neplăcută, dar nu mai sunt surprins. Astfel de limite sunt rupte cu ajutorul Regulile lui L'Hopital, iar primul gând, după cum sa dovedit mai târziu, s-a dovedit a fi corect. Dar la început am petrecut aproximativ o oră răsucind și rotind limita folosind metode „obișnuite”, dar incertitudinea nu a vrut să fie eliminată. Iar mersul în cerc, după cum sugerează experiența, este un semn tipic că a fost aleasă o soluție greșită.
A trebuit să apelez la înțelepciunea populară rusă: „Dacă totul nu reușește, citiți instrucțiunile”. Și când am deschis volumul al 2-lea din Fichtenholtz, spre marea mea bucurie am descoperit un studiu dintr-o serie identică. Și apoi soluția a urmat exemplul:
Deoarece succesiune de numere este considerat un caz special al unei functii, atunci in limita vom face inlocuirea: . Daca atunci.
Ca urmare:
Acum am limita unei funcțiiși aplicabil Regula lui L'Hopital. În procesul de diferențiere va trebui să luăm derivata unei functii putere-exponentiala, care este convenabil din punct de vedere tehnic de găsit separat de soluția principală:
Ai răbdare, pentru că ai urcat deja aici - a avertizat Barmaley la începutul articolului =) =)
Folosesc regula lui L'Hopital de două ori:
diverge.
A durat mult, dar poarta mea a stat!
Doar pentru distracție, am calculat 142 de termeni ai seriei în Excel (nu era suficientă putere de calcul pentru mai mult) și se pare (dar nu garantat strict teoretic!) că pt. această serie Nici măcar testul de convergență necesar nu este îndeplinit. Puteți vedea rezultatul epic aici >>> După asemenea nenorociri, nu am putut rezista tentației de a testa limita în același mod amator.
Folosește-l pentru sănătatea ta, soluția este legală!
Și acesta este puiul tău de elefant:
Exemplul 20
Investigați convergența seriei
Dacă ai o idee bună această lecție, atunci te poți descurca cu acest exemplu! Este mult mai simplu decat precedentul ;-)
Călătoria noastră s-a încheiat într-o notă strălucitoare și sperăm că a lăsat o experiență de neuitat pentru toată lumea. Cei care doresc să continue banchetul pot merge pe pagină Probleme gata făcute la matematică superioarăși descărcați arhiva de pe sarcini suplimentare pe această temă.
Vă doresc succes!
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 2: Soluţie: comparați această serie cu o serie convergentă. Pentru toate numerele naturale, inegalitatea este adevărată, ceea ce înseamnă că, prin comparație, seria studiată convergeîmpreună cu lângă .
Exemplul 4: Soluţie: comparați această serie cu o serie armonică divergentă. Folosim criteriul de comparare limitativ:
(produsul unui infinitezimal și unul limitat este o succesiune infinitezimală)
divergeîmpreună cu seria armonică.
Exemplul 5: Soluţie: să luăm factorul constant al termenului general în afara sumei; convergența sau divergența seriei nu depinde de aceasta:
Să comparăm această serie cu o progresie geometrică convergentă infinit descrescătoare. Sirul este limitat: , deci pentru toate numerele naturale inegalitatea . Și, prin urmare, pe baza comparației, seria în studiu convergeîmpreună cu lângă .
Exemplul 8: Soluţie: comparați această serie cu o serie divergentă (factorul constant al termenului comun nu afectează convergența sau divergența seriei). Folosim criteriul limitativ pentru comparație și limita remarcabilă:
Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu lângă .
Exemplul 13: Soluţie
Astfel, seria în studiu converge.
Exemplul 14: Soluţie: folosim semnul lui d’Alembert:
Să înlocuim infinitezimale cu unele echivalente: pentru .
Să folosim a doua limită minunată: .
Prin urmare, seria în studiu diverge.
Înmulțiți și împărțiți cu expresia conjugată:
Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu lângă .
Exemplul 20: Soluţie: Să verificăm condiția necesară pentru convergența seriei. În cursul calculelor, folosind o tehnică standard, organizăm a doua limită remarcabilă:
Astfel, seria în studiu diverge.
Matematică superioară pentru studenții prin corespondență și mai multe >>>
(Mergeți la pagina principală)
În testul lui Kummer, să luăm seria armonică ca o serie divergentă (12.1)
În acest caz avem
Testul de convergență rezultat poate fi formulat după cum urmează.
Teoremă (testul de convergență Raabe). Rând
converge dacă există astfel încât
Această serie diverge dacă, pornind de la unii
Forma limitativă a testului lui Raabe este următoarea:
atunci seria (12.9) converge, iar dacă
apoi diverge.
Testul de convergență al lui Raabe este semnificativ mai sensibil decât testul similar de convergență D'Alembert. Într-adevăr, unde testul lui d'Alembert, luat în forma sa limitativă, stabilește convergența seriei (12.9):
acolo Raabe dă un semn.
În mod similar, pentru o serie a cărei divergență este indicată de testul lui d’Alembert, conform testului lui Raabe va fi
1. Luați în considerare seria
Iată deci pentru fiecare x specific
iar aplicarea testului lui d'Alembert este ineficientă aici. Raabe dă semnul
De aici rezultă clar că atunci când seria luată în considerare converge și când diverge. Să remarcăm în treacăt că atunci când seria (12.10) se transformă într-una armonică, care, după cum se știe, diverge. Faptul că criteriul lui Raabe în forma sa originală (nelimitată) stabilește divergența seriei armonice nu poate fi considerat un rezultat independent, întrucât enunțul în sine care constituie caracteristica lui Raabe se bazează tocmai pe această divergență.
Să compunem raportul dintre termenii învecinați din această serie:
Vom extinde Logaritmii din dreapta și rădăcini pătrate conform formulei puterii lui Taylor. În acest exemplu și în următoarele, vom folosi teste de limitare pentru convergență. Aceasta înseamnă că va trebui să creștem fără limită valorile variabilei.De aceea, fiecare grad ulterior va fi, cu o creștere, infinitezimal de ordin superior față de cele precedente. Renunțând la toate puterile, pornind de la unele, vom face o eroare care va fi mică nu numai în mod absolut, ci și în comparație cu ultimul dintre termenii reținuți. Această eroare relativă va fi mai mică cu cât valoarea este mai mare și dispare în limită cu creștere nelimitată. În funcție de precizia necesară a raționamentului, vom păstra unul sau altul număr de termeni în formulele Taylor pentru funcțiile corespunzătoare. Mai departe, vom conecta prin semne expresii care diferă unele de altele în cantități mici în comparație cu acuratețea pe care o oferă termenii reținuți și cei scrisi.
În primul rând, ne limităm la termeni de logaritmi și rădăcini care conțin puteri nu mai mari decât primul. Noi vom avea
În consecință, testul de convergență al lui d’Alembert nu ne poate oferi niciun răspuns aici.
Folosind metode standard, dar am ajuns într-o fundătură cu un alt exemplu.
Care este dificultatea și unde ar putea fi o problemă? Să lăsăm frânghia cu săpun deoparte, să analizăm cu calm motivele și să ne familiarizăm cu soluții practice.
Primul și cel mai important: în majoritatea covârșitoare a cazurilor, pentru a studia convergența unei serii, este necesar să folosiți o metodă familiară, dar termenul general al seriei este plin de umplutură atât de complicată încât nu este deloc evident ce să faceți cu ea . Și mergi în cercuri: primul semn nu funcționează, al doilea nu funcționează, a treia, a patra, a cincea metodă nu funcționează, apoi curenții sunt aruncați deoparte și totul începe din nou. Acest lucru se datorează, de obicei, lipsei de experiență sau lipsurilor în alte secțiuni analiză matematică. În special, dacă alergi limitele secvențeiși dezasamblat superficial limitele funcției, atunci va fi dificil.
Cu alte cuvinte, o persoană pur și simplu nu vede metoda de decizie necesară din cauza lipsei de cunoștințe sau experiență.
Uneori, de vină este și „eclipsa”, atunci când, de exemplu, nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența unei serii, dar din cauza ignoranței, neatenției sau neglijenței, acest lucru scapă din vedere. Și se dovedește ca în acea poveste în care un profesor de matematică a rezolvat o problemă a copiilor folosind secvențe recurente sălbatice și serii de numere =)
ÎN cele mai bune tradiții exemple vii imediate: rânduri 
și rudele lor - nu sunt de acord, deoarece a fost dovedit în teorie limitele secvenței. Cel mai probabil, în primul semestru vă vor scutura sufletul pentru o dovadă de 1-2-3 pagini, dar acum este suficient să arătați eșecul conditie necesara convergența seriei, referindu-se la fapte cunoscute. Faimos? Dacă elevul nu știe că a n-a rădăcină este un lucru extrem de puternic, atunci, să zicem, seria 
îl va pune într-o fundătură. Deși soluția este de două ori două: , i.e. din motive evidente, ambele serii diferă. Un comentariu modest „aceste limite au fost dovedite în teorie” (sau chiar absența lui) este suficient pentru test, la urma urmei, calculele sunt destul de grele și cu siguranță nu aparțin secțiunii seriei de numere.
Și după ce ai studiat următoarele exemple, vei fi doar surprins de concizia și transparența multor soluții:
Exemplul 1
Investigați convergența seriei
Soluţie: în primul rând, verificăm execuția criteriul necesar pentru convergenţă. Aceasta nu este o formalitate, ci o șansă excelentă de a trata exemplul cu „vărsare de sânge”.
„Inspecția scenei” sugerează o serie divergentă (cazul unei serii armonice generalizate), dar din nou se pune întrebarea, cum să luăm în considerare logaritmul în numărător?
Exemple aproximative de sarcini la sfârșitul lecției.
Nu este neobișnuit când trebuie să efectuați un raționament în doi pași (sau chiar în trei pași):
Exemplul 6
Investigați convergența seriei 
Soluţie: În primul rând, să ne ocupăm cu atenție de galimatia numărătorului. Secvență – limitată: . Apoi: 
Să comparăm seria noastră cu seria. Datorită dublei inegalități tocmai obținute, pentru toate „en” următoarele vor fi adevărate: 
Acum comparați seria cu o serie armonică divergentă.
Numitorul fracției Mai puțin numitorul fracției, prin urmare fracția în sine – Mai mult fracții (notați primii termeni dacă nu este clar). Astfel, pentru orice „ro”: 
Aceasta înseamnă că, pe baza comparației, seria 
divergeîmpreună cu seria armonică.
Dacă modificăm ușor numitorul: 
, atunci prima parte a raționamentului va fi similară: 
. Dar pentru a demonstra divergența unei serii, putem aplica doar testul limitativ de comparație, deoarece inegalitatea este falsă.
Situația cu seriile convergente este „oglindită”, adică, de exemplu, pentru o serie se pot folosi ambele criterii de comparație (inegalitatea este adevărată), dar pentru o serie doar criteriul limitativ (inegalitatea este falsă).
Continuăm safariul nostru în natură sălbatică, unde o turmă de antilope grațioase și luxuriante se profilează la orizont:
Exemplul 7
Investigați convergența seriei
Soluţie: criteriul necesar pentru convergență este îndeplinit și ne punem din nou întrebarea clasică: ce să facem? În fața noastră este ceva care amintește de o serie convergentă, cu toate acestea, nu există o regulă clară aici - astfel de asociații sunt adesea înșelătoare.
Deseori, dar nu de data asta. Prin utilizarea criteriu limitativ de comparare Să comparăm seria noastră cu o serie convergentă. Când calculăm limita pe care o folosim limita minunata 
, unde ca infinitezimal standuri: 
convergeîmpreună cu lângă .
În loc să se folosească tehnica artificială standard de înmulțire și împărțire cu „trei”, a fost posibil să se facă inițial o comparație cu o serie convergentă.
Dar aici este indicat să facem o rezervă că factorul constant al termenului general nu afectează convergența seriei. Și soluția pentru următorul exemplu este concepută exact în acest stil:
Exemplul 8
Investigați convergența seriei
Exemplu la sfârșitul lecției.
Exemplul 9
Investigați convergența seriei
Soluţie: în exemplele anterioare am folosit mărginirea sinusului, dar acum această proprietate este în afara jocului. Numitorul de fracție mai mare ordinea de crestere, decât numărătorul, deci, când argumentul sinusului și întregul termen comun infinitezimal. Condiția necesară pentru convergență, după cum înțelegeți, a fost îndeplinită, ceea ce nu ne permite să ne sustragem munca.
Să efectuăm recunoașterea: în conformitate cu echivalență remarcabilă 
, aruncați mental sinusul și obțineți seria. Ei bine, așa și așa...
Să luăm o decizie:
Să comparăm seria studiată cu o serie divergentă. Folosim criteriul de comparare limitativ: 
Să înlocuim infinitezimalul cu unul echivalent: la 
.
Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu seria armonică.
Exemplul 10
Investigați convergența seriei
Acesta este un exemplu de rezolvat singur.
Pentru a planifica acțiuni suplimentare în astfel de exemple, eliminarea mentală a sinusului, arcsinusului, tangentei și arctangentei ajută foarte mult. Dar amintiți-vă, această oportunitate există doar dacă infinitezimal argument, nu de mult am dat peste o serie provocatoare:
Exemplul 11
Investigați convergența seriei 
.
Soluţie: Nu are rost să folosiți limitarea arctangente aici și nici echivalența nu funcționează. Soluția este surprinzător de simplă: 
Seria in studiu diverge, întrucât nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei.
Al doilea motiv„Problema cu sarcina” este că membrul comun este destul de sofisticat, ceea ce provoacă dificultăți de natură tehnică. În linii mari, dacă seriale discutate mai sus aparțin categoriei „cine știe”, atunci acestea se încadrează în categoria „cine știe”. De fapt, aceasta se numește complexitate în sensul „obișnuit”. Nu toată lumea poate rezolva corect mai multe factoriale, grade, rădăcini și alți locuitori ai savanei. Cele mai mari probleme sunt, desigur, factorii:
Exemplul 12
Investigați convergența seriei
Cum să ridici factorial la putere? Uşor. Conform regulii operațiunilor cu puteri, este necesar să se ridice fiecare factor al produsului la o putere:
Și, desigur, atenție și atenție din nou; semnul lui d’Alembert în sine funcționează în mod tradițional: 
Astfel, seria în studiu converge.
Vă reamintesc de o tehnică rațională de eliminare a incertitudinii: când este clar ordinea de crestere numărător și numitor - nu este nevoie să suferiți și să deschideți parantezele.
Exemplul 13
Investigați convergența seriei
Bestia este foarte rară, dar apare și ar fi nedrept să o ignorăm cu un obiectiv de cameră.
Ce este factorial cu semn dublu de exclamare? Factorialul „termină” produsul pozitiv numere pare:
În mod similar, factorialul „închide” produsul numerelor impare pozitive: 
Analizați care este diferența față de și
Exemplul 14
Investigați convergența seriei
Și în această sarcină, încercați să nu vă confundați cu grade, echivalențe remarcabileȘi limite minunate.
Exemple de soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.
Dar elevul este hrănit nu numai de tigri, ci și leoparzii vicleni își urmăresc prada:
Exemplul 15
Investigați convergența seriei 
Soluţie: criteriul necesar pentru convergență, criteriul limitativ și testele D’Alembert și Cauchy dispar aproape instantaneu. Dar cel mai rău lucru este că semnul inegalităților care ne-a ajutat în mod repetat este neputincios. Într-adevăr, compararea cu o serie divergentă este imposibilă, deoarece inegalitatea 
incorect - multiplicatorul logaritmului crește doar numitorul, scăzând fracția în sine 
în raport cu o fracţiune. Și o altă întrebare globală: de ce suntem inițial încrezători că seria noastră 
trebuie neapărat să diverge și să fie comparat cu unele serii divergente? Dacă se înțelege deloc?
Caracteristica integrală? Integrală necorespunzătoare 
trezește o stare de jale. Acum, dacă am avea un rând 
… atunci da. Stop! Așa se nasc ideile. Formulăm o soluție în doi pași:
1) Mai întâi examinăm convergența seriei 
. Folosim caracteristică integrală:
Integrand continuu pe
Astfel, serialul 
diverge împreună cu integrala improprie corespunzătoare.
2) Să comparăm seria noastră cu seria divergentă 
. Folosim criteriul de comparare limitativ:
Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu un număr 
.
Și nu există nimic neobișnuit sau creativ într-o astfel de decizie - așa ar trebui să fie decisă!
Vă propun să elaborați singur următoarea procedură în doi pași:
Exemplul 16
Investigați convergența seriei 
Un student cu ceva experiență în majoritatea cazurilor vede imediat dacă o serie converge sau diverge, dar se întâmplă ca un prădător să se camufleze inteligent în tufișuri:
Exemplul 17
Investigați convergența seriei 
Soluţie: la prima vedere, nu este deloc clar cum se comportă această serie. Și dacă în fața noastră este ceață, atunci este logic să începem cu o verificare brută a condiției necesare pentru convergența seriei. Pentru a elimina incertitudinea, folosim un nescufundabil metodă de înmulțire și împărțire prin expresia sa conjugată:
Semnul necesar de convergență nu a funcționat, dar l-a scos la lumină pe tovarășul nostru de Tambov. În urma transformărilor efectuate s-a obţinut o serie echivalentă 
, care la rândul său seamănă puternic cu o serie convergentă.
Scriem soluția finală:
Să comparăm această serie cu o serie convergentă. Folosim criteriul de comparare limitativ:
Înmulțiți și împărțiți cu expresia conjugată:
Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu convergeîmpreună cu lângă .
Unii s-ar fi întrebat, de unde au venit lupii în safariul nostru african? Nu stiu. Probabil că l-au adus. Următoarea piele de trofeu vă puteți obține:
Exemplul 18
Investigați convergența seriei 
Probă aproximativă soluții la sfârșitul lecției
Și, în sfârșit, încă un gând pe care mulți studenți îl au în disperare: Nu ar trebui să folosim un test mai rar pentru convergența seriei?? Testul lui Raabe, testul lui Abel, testul lui Gauss, testul lui Dirichlet și alte animale necunoscute. Ideea funcționează, dar în exemple reale este implementată foarte rar. Personal, în toți anii de practică la care am apelat doar semnul lui Raabe, când nimic din arsenalul standard nu a ajutat cu adevărat. Voi reproduce pe deplin cursul căutării mele extreme:
Exemplul 19
Investigați convergența seriei
Soluţie: Fără îndoială un semn al lui d'Alembert. În timpul calculelor, folosesc în mod activ proprietățile gradelor, precum și a doua limită minunată:
Atât pentru tine. Semnul lui D'Alembert nu a dat un răspuns, deși nimic nu prefigura un asemenea rezultat.
După ce am scotocit prin cartea de referință, am găsit o limită puțin cunoscută dovedită în teorie și am aplicat testul Cauchy radical mai puternic:
Iată două pentru tine. Și, cel mai important, este complet neclar dacă seria converge sau diverge (o situație extrem de rară pentru mine). Semn necesar de comparație? Fără prea multe speranțe - chiar dacă îmi dau seama de neconceput ordinea creșterii numărătorului și numitorului, acest lucru nu garantează încă o recompensă.
Este un damember complet, dar cel mai rău lucru este că rândul trebuie rezolvat. Trebuie sa. La urma urmei, aceasta va fi prima dată când renunț. Și apoi mi-am amintit că păreau să fie și alte semne mai puternice. În fața mea nu mai era un lup, un leopard sau un tigru. Era un elefant uriaș care își flutura trunchiul mare. A trebuit să iau un lansator de grenade:
semnul lui Raabe
Luați în considerare o serie de numere pozitive.
Dacă există o limită 
, Acea:
a) Când rând diverge. Mai mult, valoarea rezultată poate fi zero sau negativă
b) Când rând converge. În special, seria converge la .
c) Când Semnul lui Raabe nu dă un răspuns.
Tragem o limită și simplificăm cu atenție și cu grijă fracția: 
Da, poza este, ca să spun ușor, neplăcută, dar nu mai sunt surprins. Astfel de limite sunt rupte cu ajutorul Regulile lui L'Hopital, iar primul gând, după cum sa dovedit mai târziu, s-a dovedit a fi corect. Dar la început am răsucit și am răsucit limita timp de aproximativ o oră folosind metode „obișnuite”, dar incertitudinea nu a vrut să fie eliminată. Iar mersul în cerc, după cum sugerează experiența, este un semn tipic că a fost aleasă o soluție greșită.
A trebuit să apelez la înțelepciunea populară rusă: „Dacă totul nu reușește, citiți instrucțiunile”. Și când am deschis volumul al 2-lea din Fichtenholtz, spre marea mea bucurie am descoperit un studiu dintr-o serie identică. Și apoi soluția a urmat exemplul.
În cazurile în care testele lui d’Alembert și Cauchy nu dau rezultate, uneori semnele bazate pe comparație cu alte serii care converg sau diverg „mai lent” decât seria pot da un răspuns afirmativ progresie geometrică.
Prezentăm, fără dovezi, formulările a patru teste mai greoaie pentru convergența seriilor. Demonstrațiile acestor semne se bazează și pe teoremele de comparație 1–3 (Teoremele 2.2 și 2.3) ale seriei studiate cu unele serii a căror convergență sau divergență a fost deja stabilită. Aceste dovezi pot fi găsite, de exemplu, în manualul fundamental al lui G. M. Fikhtengolts (, vol. 2).
Teorema 2.6. semnul lui Raabe. Dacă pentru membrii unei serii de numere pozitive, pornind de la un anumit număr M, inegalitatea
(Rn £ 1), "n ³ M, (2,10)
apoi seria converge (diverge).
Semnul lui Raabe în forma sa extremă. Dacă membrii seriei de mai sus îndeplinesc condiţia
Observația 6. Dacă comparăm semnele lui D'Alembert și Raabe, putem arăta că al doilea este mult mai puternic decât primul.
Dacă există o limită pentru o serie
atunci succesiunea Raabe are o limită
Astfel, dacă testul lui d'Alembert oferă un răspuns la întrebarea convergenței sau divergenței seriei, atunci testul lui Raabe îl oferă și el, iar aceste cazuri sunt acoperite doar de două dintre valorile posibile ale lui R: +¥ și – ¥. Toate celelalte cazuri de R¹ 1 finit, când testul lui Raabe dă un răspuns afirmativ la întrebarea despre convergența sau divergența unei serii, corespund cazului D = 1, adică cazul în care testul lui D'Alembert nu dă un răspuns afirmativ. răspuns la întrebarea despre convergenţa sau divergenţa unei serii.
Teorema 2.7. semnul lui Kummer. Fie (сn) o succesiune arbitrară de numere pozitive. Dacă pentru membrii unei serii de numere pozitive, pornind de la un anumit număr M, inegalitatea
(Qn £ 0), "n ³ M, (2.11)
apoi seria converge 
.
Semnul lui Kummer în forma sa extremă. Dacă există o limită pentru seria de mai sus
apoi seria converge .
Prin urmare, din testul lui Kummer este ușor de obținut dovezi ale testelor lui D'Alembert, Raabe și Bertrand. Acesta din urmă se obține dacă luăm ca șirul (сn)
сn=nln n, "n О N,
pentru care seria
diverge (divergența acestei serii va fi prezentată în exemplele acestei secțiuni).
Teorema 2.8. Testul lui Bertrand în forma sa extremă. Dacă pentru termenii unei serii numerice pozitive șirul lui Bertrand
(2.12)
(Rn este secvența Raabe) are o limită
apoi seria converge (diverge).
Mai jos formulăm testul Gaussian - cel mai puternic din succesiunea testelor de convergență în serie dispuse în ordine crescătoare de aplicabilitate: D'Alembert, Raabe și Bertrand. Testul Gauss generalizează întreaga putere a semnelor anterioare și vă permite să studiați serii mult mai complexe, dar, pe de altă parte, aplicarea lui necesită studii mai subtile pentru a obține o expansiune asimptotică a raportului termenilor vecini ai seriei până la al doilea ordin de micime în raport cu valoarea .
Teorema 2.9. testul gaussian. Dacă pentru membrii unei serii de numere pozitive, pornind de la un anumit număr M, egalitatea
, "n ³ M, (2,13)
unde l și p sunt constante, iar tn este o valoare limitată.
a) pentru l > 1 sau l = 1 și p > 1, seria converge;
b) la l< 1 или l = 1 и р £ 1 ряд расходится.
2.5. testul integral Cauchy-Maclaurin,
semnul „telescopic” Cauchy și semnul Ermakov
Semnele de convergență ale seriilor considerate mai sus se bazează pe teoreme de comparație și sunt suficiente, adică dacă sunt îndeplinite condițiile semnului pentru o serie dată, se pot face anumite afirmații despre comportamentul acesteia, dar dacă sunt îndeplinite condițiile semnului pentru aceasta. nu sunt îndeplinite, atunci nu se poate afirma nimic despre convergența seriei, aceasta poate fie converge, fie diverge.
Testul integralei Cauchy–Maclaurin se deosebește de cele studiate mai sus prin conținut, fiind necesar și suficient, precum și ca formă, bazat pe compararea unei sume (serie) infinite cu o integrală infinită (improprie), și demonstrează relația firească dintre teoria seriilor și teoria integralelor. Această relație poate fi, de asemenea, urmărită cu ușurință folosind exemplul testelor de comparație, analogi ale cărora există pentru integralele necorespunzătoare și formulările lor coincid aproape cuvânt cu cuvânt cu formulările pentru serii. O analogie completă se observă, de asemenea, în formularea unor teste suficiente pentru convergența seriilor de numere arbitrare, care vor fi studiate în secțiunea următoare, și teste pentru convergența integralelor improprii - cum ar fi testele pentru convergența lui Abel și Dirichlet.
Mai jos vom prezenta și testul „telescopic” Cauchy și testul original de convergență a seriilor, obținut de matematicianul rus V.P. Ermakov; Testul lui Ermakov are aproximativ același domeniu de aplicare ca și testul integral Cauchy-Maclaurin, dar nu conține termenii și conceptele calculului integral în formularea sa.
Teorema 2.10. Testul Cauchy-Maclaurin. Fie membrii unei serii de numere pozitive, pornind de la un număr M, să satisfacă egalitatea
unde funcția f(x) este nenegativă și necrescătoare pe semi-linia (x ³ M). O serie de numere converge dacă și numai dacă integrala improprie converge
Adică seria converge dacă există o limită
, (2.15)
iar seria diverge dacă limita I = +¥.
Dovada. În virtutea Remarcii 3 (vezi § 1), este evident că fără pierderea generalității putem presupune M = 1, deoarece, eliminând (M – 1) termeni ai seriei și făcând înlocuirea k = (n – M + 1). ), ajungem să luăm în considerare seria , pentru care
, 
,
și, în consecință, să ia în considerare integrala.
În continuare, observăm că o funcție nenegativă și necrescătoare f(x) pe semi-linia (x ³ 1) satisface condițiile de integrabilitate Riemann pe orice interval finit și, prin urmare, luarea în considerare a integralei improprie corespunzătoare are sens.
Să trecem la dovadă. Pe orice segment de unitate de lungime m £ x £ m + 1, datorită faptului că f(x) este necrescător, inegalitatea
Prin integrarea acestuia peste segment și folosind proprietatea corespunzătoare integrala definita, obținem inegalitatea
, . (2.16)
Însumând aceste inegalități termen cu termen de la m = 1 la m = n, obținem
Deoarece f (x) este o funcție nenegativă, atunci integrala
este o funcţie continuă nedescrescătoare a argumentului A. Atunci
, .
Din aceasta și inegalitatea (15) rezultă că:
1) dacă eu< +¥
(т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая
последовательность частичных сумм 
este mărginită, adică seria converge;
2) dacă I = +¥ (adică integrala improprie diverge),
atunci și succesiunea nedescrescătoare a sumelor parțiale este de asemenea nemărginită, adică seria diverge.
Pe de altă parte, notând , din inegalitatea (16) obținem:
1) dacă S< +¥
(т. е. ряд сходится), то для неубывающей functie continua I(A), „A ³ 1 există un număr n astfel încât n + 1 ³ A și I(A) £ I(n + 1) £ Sn £ S și, prin urmare 
, adică integrala converge;
2) dacă S = +¥ (adică seria diverge), atunci pentru orice A suficient de mare există n £ A astfel încât I(A) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥ ), adică integrala diverge. Q.E.D.
Prezentăm încă două semne interesante de convergență fără dovezi.
Teorema 2.11. Semnul Cauchy „telescopic”. O serie de numere pozitive ai cărei termeni sunt monoton descrescători converge dacă și numai dacă seria converge.
Teorema 2.12. semnul lui Ermakov. Fie termenii unei serii de numere pozitive astfel încât, pornind de la un număr M0, egalitățile să fie satisfăcute
an = ¦(n), "n ³ М0,
unde funcția ¦(x) este continuă pe bucăți, pozitivă și descrește monoton ca x ³ M0.
Atunci dacă există un număr M ³ M0 astfel încât pentru toate x ³ M inegalitatea
,
apoi seria converge (diverge).
2.6. Exemple de utilizare a testelor de convergență
Folosind teorema 2, este ușor să examinăm următoarele serii pentru convergență
(a > 0, b ³ 0; "a, b О R).
Dacă un £ 1, atunci criteriul necesar pentru convergență (proprietatea 2) este încălcat (vezi § 1).
,
prin urmare, seria diverge.
Dacă a > 1, atunci pentru cn există o estimare, din care, datorită convergenței seriei progresiei geometrice, urmează convergența seriei luate în considerare.
converge datorită testului de comparație 1 (Teorema 2.2), deoarece avem inegalitatea
,
iar seria converge ca o serie a unei progresii geometrice.
Să arătăm divergența mai multor serii, care rezultă din criteriul de comparație 2 (Corolarul 1 al Teoremei 2.2). Rând
diverge deoarece
.
diverge deoarece
.
diverge deoarece
.
(p>0)
diverge deoarece
.
converge după criteriul lui d'Alembert (Teorema 2.4). Într-adevăr
.
converge conform testului lui d'Alembert. Într-adevăr
.
.
converge după criteriul Cauchy (Teorema 2.5). Într-adevăr
.
Să dăm un exemplu de aplicare a testului lui Raabe. Luați în considerare serialul
,
unde este denumirea (k)!! înseamnă produsul tuturor numerelor pare (impare) de la 2 la k (1 la k), dacă k este par (impar). Folosind testul lui d'Alembert, obținem
Astfel, criteriul lui D'Alembert nu ne permite să facem o afirmaţie certă despre convergenţa seriei. Să aplicăm criteriul lui Raabe:
prin urmare, seria converge.
Să dăm exemple de aplicare a testului integral Cauchy–Maclaurin.
Serii armonice generalizate
converge sau diverge simultan cu integrala improprie
Este evident că eu< +¥ при p >1 (integrala converge) și I = +¥ pentru p £ 1 (diverge). Astfel, seria originală converge și pentru p > 1 și diverge pentru p £ 1.
diverge simultan cu integrala improprie
astfel integrala diverge.
|
|
§ 3. Serii de numere alternante
3.1. Convergența absolută și condiționată a seriei
În această secțiune vom studia proprietățile seriilor ai căror membri sunt numere reale cu semn arbitrar.
Definiție 1. Seria numerică
se spune că este absolut convergent dacă seria converge
Definiția 2. O serie de numere (3.1) se numește convergentă condiționat sau neabsolut convergentă dacă seria (3.1) converge și seria (3.2) diverge.
Teorema 3.1. Dacă o serie converge absolut, atunci converge.
Dovada. În conformitate cu criteriul Cauchy (Teorema 1.1), convergența absolută a seriei (3.1) este echivalentă cu îndeplinirea relațiilor
" e > 0, $ M > 0 astfel încât " n > M, " p ³ 1 Þ
(3.3)
Deoarece se știe că modulul sumei mai multor numere nu depășește suma modulelor lor („inegalitatea triunghiulară”), atunci din (3.3) urmează inegalitatea (validă pentru aceleași numere ca în (3.3), e, M, n, p)
Îndeplinirea ultimei inegalități înseamnă îndeplinirea condițiilor criteriului Cauchy pentru seria (3.1), prin urmare, această serie converge.
Corolar 1. Fie seria (3.1) să convergă absolut. Din termenii pozitivi ai seriei (3.1), numerotându-i în ordine (cum apar în procesul de creștere a indicelui), compunem o serie de numere pozitive
, (UK = ). (3,4)
În mod similar, din modulele termenilor negativi ai seriei (3.1), numerotându-i în ordine, compunem următoarele serii numerice pozitive:
, (vm = ). (3,5)
Apoi seria (3.3) și (3.4) converg.
Dacă notăm sumele seriilor (3.1), (3.3), (3.4) cu literele A, U, V, atunci formula este valabilă
A = U – V. (3,6)
Dovada. Să notăm cu A* suma seriei (3.2). Prin Teorema 2.1 avem că toate sumele parțiale ale seriei (3.2) sunt limitate de numărul A*, iar sumele parțiale ale seriei (3.4) și (3.5) se obțin prin însumarea unora dintre termenii sumelor parțiale. din seria (3.2), este evident că acestea sunt mai limitate de numărul de A*. Apoi, introducând notația corespunzătoare, obținem inegalitățile
;
din care, în virtutea teoremei 2.1, rezultă convergența seriei (3.4) și (3.5).
(3.7)
Deoarece numerele k și m depind de n, este evident că pentru n ® ¥ atât k ® ¥, cât și m ® ¥. Apoi, trecând în egalitate (3.7) la limită (toate limitele există în virtutea Teoremei 3.1 și a ceea ce s-a dovedit mai sus), obținem
adică egalitatea (3.6) este dovedită.
Corolarul 2. Fie seria (3.1) convergând condiționat. Atunci seriile (3.4) și (3.5) diverg și formula (3.6) pentru seriile convergente condiționat nu este adevărată.
Dovada. Dacă luăm în considerare a n-a sumă parțială a seriei (3.1), atunci, ca și în demonstrația anterioară, se poate scrie
(3.8)
Pe de altă parte, pentru a n-a parțială suma seriei (3.2) poate fi scrisă în mod similar ca
(3.9)
Să presupunem contrariul, adică să converge cel puțin una dintre seriile (3.3) sau (3.4). Apoi din formula (3.8), având în vedere convergența seriei (3.1), rezultă că a doua a seriei (respectiv (3.5) sau (3.4)) converge ca diferență a două serii convergente. Și apoi din formula (3.9) rezultă că seria (3.2) converge, adică seria (3.1) converge absolut, ceea ce contrazice condițiile teoremei asupra convergenței sale condiționate.
Astfel, din (3.8) și (3.9) rezultă că din moment ce
Q.E.D.
Observație 1. Proprietatea combinației pentru serii. Suma unei serii infinite diferă semnificativ de suma unui număr finit de elemente prin faptul că implică trecerea la limită. Prin urmare, proprietățile obișnuite ale sumelor finite sunt adesea încălcate pentru serii sau sunt păstrate numai atunci când sunt îndeplinite anumite condiții.
Astfel, pentru sumele finite există o lege combinațională (asociativă), și anume: suma nu se modifică dacă elementele sumei sunt grupate în orice ordine.
Să considerăm o grupare arbitrară (fără rearanjare) a membrilor seriei numerice (3.1). Să notăm succesiunea crescătoare de numere
și introduceți notația
Apoi seria obținută prin metoda de mai sus poate fi scrisă sub formă
Teorema de mai jos, fără dovezi, conține câteva afirmații importante legate de proprietatea combinatorie a seriei.
Teorema 3.2.
1. Dacă seria (3.1) converge și are suma A (convergența condiționată este suficientă), atunci o serie arbitrară de forma (3.10) converge și are aceeași sumă A. Adică o serie convergentă are proprietatea combinațională.
2. Convergența oricărei serii de forma (3.10) nu implică convergența seriei (3.1).
3. Dacă seria (3.10) se obține printr-o grupare specială, astfel încât în interiorul fiecăreia dintre paranteze să fie termeni de un singur semn, atunci convergența acestei serii (3.10) implică convergența seriei (3.1).
4. Dacă seria (3.1) este pozitivă și orice serie de forma (3.10) converge pentru aceasta, atunci seria (3.1) converge.
5. Dacă succesiunea de termeni ai seriei (3.1) este infinitezimală (adică an) și numărul de termeni din fiecare grup - un membru al seriei (3.10) - este limitat la o constantă M (adică nk –nk–1 £ М, "k = 1, 2,…), apoi din convergența seriei (3.10) urmează convergența seriei (3.1).
6. Dacă seria (3.1) converge condiționat, atunci fără rearanjare este întotdeauna posibilă gruparea termenilor seriei astfel încât seria rezultată (3.10) să fie absolut convergentă.
Observație 2. Proprietate comutativă pentru serii. Pentru sumele numerice finite se aplică o lege comutativă și anume: suma nu se modifică cu nicio rearanjare a termenilor
unde (k1, k2, …, kn) este o permutare arbitrară din mulțimea numerelor naturale (1, 2,…, n).
Se dovedește că o proprietate similară este valabilă pentru seriile absolut convergente și nu este valabilă pentru seriile convergente condiționat.
Să existe o mapare unu-la-unu a mulțimii de numere naturale pe sine: N ® N, adică fiecărui număr natural k corespunde unui unic numar natural pk, iar setul reproduce întreaga serie naturală de numere fără lacune. Să notăm seria obținută din seria (3.1) folosind o permutare arbitrară corespunzătoare mapării de mai sus, după cum urmează:
Regulile de aplicare a proprietăților comutative ale seriei sunt reflectate în teoremele 3.3 și 3.4 prezentate mai jos fără dovezi.
Teorema 3.3. Dacă seria (3.1) converge absolut, atunci seria (3.11), obținută prin rearanjarea arbitrară a termenilor seriei (3.1), converge și ea absolut și are aceeași sumă ca și seria originală.
Teorema 3.4. teorema lui Riemann. Dacă seria (3.1) converge condiționat, atunci termenii acestei serii pot fi rearanjați astfel încât suma ei să fie egală cu orice număr predeterminat D (finit sau infinit: ±¥) sau să fie nedefinită.
Pe baza teoremelor 3.3 și 3.4, este ușor de stabilit că convergența condiționată a seriei se obține ca urmare a anulării reciproce. a n-a creștere sumă parțială pentru n ® ¥ prin adăugarea de termeni pozitivi sau negativi la sumă și, prin urmare, convergența condiționată a seriei depinde în mod semnificativ de ordinea termenilor seriei. Convergența absolută a seriei este rezultatul unei scăderi rapide a valorilor absolute ale termenilor seriei
și nu depinde de ordinea în care apar.
3.2. Rând alternativ. testul lui Leibniz
Dintre seriile alternante, se remarcă o clasă specială importantă de serii - seriale alternante.
Definiția 3. Fie o succesiune de numere pozitive bp > 0, "n О N. Apoi o serie de forma
se numește serie alternantă. Pentru serii de forma (3.12) este valabilă următoarea afirmație.
Teorema 5. Testul Leibniz. Dacă o secvență compusă din valorile absolute ale termenilor seriei alternante (3.8) scade monoton la zero
bn > bn+1, "n О N; (3.13)
atunci o astfel de serie alternativă (3.12) se numește serie Leibniz. Seria Leibniz converge mereu. Pentru restul seriei Leibniz
exista o evaluare
rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) „nОN. (3.14)
Dovada. Să scriem o sumă parțială arbitrară a seriei (3.12) cu un număr par de termeni sub forma
Prin condiția (3.13), fiecare dintre parantezele din partea dreaptă a acestei expresii este număr pozitiv, prin urmare, pe măsură ce k crește, șirul crește monoton. Pe de altă parte, orice membru al secvenței B2k poate fi scris sub formă
B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2 – b2k–1) – b2k,
și întrucât prin condiția (3.13) există un număr pozitiv în fiecare dintre parantezele ultimei egalități, atunci evident că inegalitatea este valabilă.
B2k< b1, "k ³ 1.
Astfel, avem o secvență care este monoton crescătoare și mărginită de sus, iar o astfel de secvență, conform binecunoscutei teoreme din teoria limitelor, are o limită finită.
B2k–1 = B2k + b2k,
si tinand cont ca termenul general al seriei (dupa conditiile teoremei) tinde spre zero ca n ® ¥, obtinem
Astfel, se demonstrează că seria (3.12) în condiția (3.13) converge și suma ei este egală cu B.
Să demonstrăm estimarea (3.14). S-a arătat mai sus că sumele parțiale de ordin par B2k, crescând monoton, tind spre limita B - suma seriei.
Luați în considerare sumele parțiale de ordin impar
B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2 – b2k–1).
Din această expresie, este evident (deoarece condiția (3.13) este îndeplinită) că șirul scade și, prin urmare, conform celor dovedite mai sus, tinde spre limita sa B de sus. Astfel, inegalitatea este dovedită
0 < B2k < B < B2k–1 < b1. (3.15)
Dacă luăm acum în considerare restul seriei (3.12)
ca noua serie alternanta cu primul termen bp+1, apoi pentru aceasta serie, bazata pe inegalitatea (3.15), se poate scrie pentru indici pari, respectiv impari.
r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0< r2k < b2k+1,
r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …, r2k< 0, | r2k–1 | < b2k.
Astfel, s-a dovedit că restul seriei Leibniz are întotdeauna semnul primului său termen și este mai mic decât acesta în valoare absolută, adică estimarea (3.14) este satisfăcută pentru aceasta. Teorema a fost demonstrată.
3.3. Semne de convergență a serii de numere arbitrare
În această subsecțiune prezentăm, fără dovezi, suficiente teste de convergență pentru serii de numere cu termeni care sunt numere reale arbitrare (de orice semn); în plus, aceste teste sunt potrivite și pentru serii cu termeni complexi.
2) secvența este o secvență care converge la zero (bp ® 0 pentru n ® ¥) cu modificare limitată.
Apoi seria (3.16) converge.
Teorema 3.9. Testul Dirichlet. Fie membrii seriei numerice (3.16) să îndeplinească condițiile:
succesiunea sumelor parțiale ale seriei este mărginită (inegalități (3.17));
2) secvența este o secvență monotonă care converge spre zero (bп ® 0 ca n ®¥).
Apoi seria (3.16) converge.
Teorema 3.10. Al doilea semn generalizat al lui Abel. Fie membrii seriei numerice (3.16) să îndeplinească condițiile:
1) seria converge;
2) secvența este o secvență arbitrară cu modificare limitată.
Apoi seria (3.16) converge.
Teorema 3.11. semnul lui Abel. Fie membrii seriei numerice (3.16) să îndeplinească condițiile:
1) seria converge;
2) secvența este o secvență mărginită monotonă.
Apoi seria (3.16) converge.
Teorema 3.12. teorema lui Cauchy. Dacă seria și converg în mod absolut, iar sumele lor sunt egale cu A și, respectiv, B, atunci o serie compusă din toate produsele de forma aibj (i = 1,2,…, ¥; j = 1,2,…,¥) , numerotat în orice ordine , converge și el absolut și suma sa este egală cu AB.
3.4. Exemple
Să luăm mai întâi în considerare câteva exemple de convergență absolută a seriei. Mai jos presupunem că variabila x poate fi orice număr real.
2) diverge la |x| > e după același criteriu D'Alembert;
3) diverge la |x| = e după criteriul lui d’Alembert în formă nelimitată, deoarece
datorită faptului că secvența exponențială din numitor tinde spre limită, crescând monoton,
(un ¹ 0 este un număr real)
1) converge absolut pentru |x/a|< 1, т. е. при |x| < |a|, так как в данном случае имеем ряд, составленный из членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = x/a, либо по радикальному признаку Коши (теорема 2.5);
2) diverge la |x/a| ³ 1, adică pentru |x| ³ |a|, deoarece în acest caz este încălcat criteriul necesar pentru convergență (proprietatea 2 (a se vedea § 1))
