ia adesea un număr e = 2,718281828 . Logaritmii din această bază se numesc natural. Când se efectuează calcule cu logaritmi naturali, este obișnuit să se opereze cu semnul ln, dar nu Buturuga; în timp ce numărul 2,718281828 , definind baza, nu indica.
Cu alte cuvinte, formularea va arăta astfel: logaritmul natural numere X este exponentul la care se ridică numărul e, A obtine X.
Asa de, ln(7.389...)= 2 pentru că e 2 =7,389... . Logaritmul natural al numărului însuși e= 1 deoarece e 1 =e, iar logaritmul natural al unității este egal cu zero, deoarece e 0 = 1.
Numărul în sine e definește limita unei secvențe mărginite monotone
calculat că e = 2,7182818284... .
Destul de des, pentru a fixa un număr în memorie, cifrele numărului necesar sunt asociate cu o dată restantă. Viteza de memorare a primelor nouă cifre ale unui număr e după punctul zecimal va crește dacă observați că 1828 este anul nașterii lui Lev Tolstoi!
Până în prezent, există tabele destul de complete de logaritmi naturali.
grafic log natural(funcții y=ln x) este o consecință a graficului exponentului ca imagine în oglindă în raport cu linia dreaptă y = x si arata ca:
Logaritmul natural poate fi găsit pentru fiecare număr real pozitiv A ca aria de sub curbă y = 1/X din 1 inainte de A.
Caracterul elementar al acestei formulări, care se potrivește cu multe alte formule în care este implicat logaritmul natural, a fost motivul formării denumirii „naturale”.
Dacă analizăm logaritmul natural, ca functie reala a unei variabile reale, atunci actioneaza funcție inversă la o funcție exponențială, care se reduce la identitățile:
ln(a)=a (a>0)
ln(e a)=a
Prin analogie cu toți logaritmii, logaritmul natural transformă înmulțirea în adunare, împărțirea în scădere:
ln(X y) = ln(X) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
Logaritmul poate fi găsit pentru fiecare bază pozitivă care nu este egală cu unu, nu doar pentru e, dar logaritmii pentru alte baze diferă de logaritmul natural doar printr-un factor constant și sunt de obicei definiți în termeni de logaritmul natural.
După ce a analizat grafic log natural, obținem că există pentru valori pozitive ale variabilei X. Ea crește monoton pe domeniul său de definire.
La X → 0 limita logaritmului natural este minus infinitul ( -∞ ).La x → +∞ limita logaritmului natural este plus infinitul ( + ∞ ). În mare X logaritmul crește destul de lent. Orice funcție de putere x a cu exponent pozitiv A crește mai repede decât logaritmul. Logaritmul natural este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme.
Utilizare logaritmi naturali foarte raţional în trecerea la matematică superioară. Astfel, utilizarea logaritmului este convenabilă pentru găsirea răspunsului la ecuațiile în care necunoscutele apar ca exponent. Utilizarea logaritmilor naturali în calcule face posibilă facilitarea mult un numar mare de formule matematice. logaritmi de bază e sunt prezente în rezolvarea unui număr semnificativ de probleme fizice și sunt incluse în mod natural în descrierea matematică a proceselor chimice, biologice și de altă natură individuale. Astfel, logaritmii sunt utilizați pentru a calcula constanta de dezintegrare pentru un timp de înjumătățire cunoscut sau pentru a calcula timpul de dezintegrare în rezolvarea problemelor de radioactivitate. Ei performează în rol principalîn multe ramuri ale matematicii şi stiinte practice, se recurge la acestea in domeniul finantelor pentru rezolvarea unui numar mare de probleme, inclusiv in calculul dobanzii compuse.
Înainte de a vă familiariza cu conceptul de logaritm natural, luați în considerare conceptul de număr constant $e$.
Numărul $e$
Definiția 1
Numărul $e$ este o constantă matematică care este un număr transcendental și este egal cu $e \aproximativ 2,718281828459045\ldots$.
Definiția 2
transcendent este un număr care nu este o rădăcină a unui polinom cu coeficienți întregi.
Observație 1
Ultima formulă descrie a doua limită minunată.
Numărul e se mai numește numerele lui Euler, si cateodata Numerele Napier.
Observația 2
Pentru a reține primele caractere ale numărului $e$, este adesea folosită următoarea expresie: „2$, 7$, de două ori Lev Tolstoi”. Desigur, pentru a-l putea folosi, trebuie să vă amintiți că Lev Tolstoi s-a născut în $ 1828 $. Aceste numere sunt repetate de două ori în valoarea numărului $e$ după partea întreagă $2$ și zecimală. $7$.
Când am studiat logaritmul natural, am început să luăm în considerare conceptul de număr $e$ tocmai pentru că acesta se află la baza logaritmului $\log_(e)a$, care se numește în mod obișnuit naturalși scrieți ca $\ln a$.
logaritmul natural
Adesea în calcule se folosesc logaritmi, care se bazează pe numărul $e$.
Definiția 4
Se numește logaritmul cu baza $e$ natural.
Acestea. logaritmul natural poate fi notat cu $\log_(e)a$, dar în matematică se folosește notația $\ln a$.
Proprietățile logaritmului natural
pentru că logaritmul oricărei baze din unitate este egal cu $0$, apoi logaritmul natural al unității este egal cu $0$:
Logaritmul natural al numărului $e$ este egal cu unu:
Logaritmul natural al produsului a două numere este egală cu suma logaritmii naturali ai acestor numere:
$\ln (ab)=\ln a+\ln b$.
Logaritmul natural al unui coeficient de două numere este egal cu diferența logaritmilor naturali ai acestor numere:
$\ln\frac(a)(b)=\ln a-\ln b$.
Logaritmul natural al puterii unui număr poate fi reprezentat ca produsul dintre exponent și logaritmul natural al numărului sublogaritmic:
$\ln a^s=s \cdot \ln a$.
Exemplul 1
Simplificați expresia $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)$.
Soluţie.
Se aplică primului logaritm din numărător și numitor proprietatea logaritmului produsului, iar celui de-al doilea logaritm al numărătorului și numitorului - proprietatea logaritmului gradului:
$\frac(2 \ln 4e-\ln16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=\frac(2(\ln 4+\ln e) -\ln 4^2)(\ln 5+\ln e-\frac(1)(2) \ln 5^2)=$
deschideți parantezele și dați termeni similari și, de asemenea, aplicați proprietatea $\ln e=1$:
$=\frac(2 \ln 4+2-2 \ln 4)(\ln 5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln 5)=\frac(2)( \ln 5+1-\ln 5)=2$.
Răspuns: $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=2$.
Exemplul 2
Aflați valoarea expresiei $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.
Soluţie.
Aplicam formula pentru suma logaritmilor:
$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln e=1$.
Răspuns: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.
Exemplul 3
Calculați valoarea expresiei logaritmice $2 \lg 0.1+3 \ln e^5$.
Soluţie.
Aplicați proprietatea logaritmului gradului:
$2 \lg 0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln e=-2 \lg 10+15 \ln e=-2+ 15=13$.
Răspuns: $2 \lg 0,1+3 \ln e^5=13$.
Exemplul 4
Simplificați expresia logaritmică $\ln \frac(1)(8)-3 \ln 4$.
$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln 3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln 3=$
se aplică primului logaritm proprietatea logaritmului coeficientului:
$=6(\ln 3-\ln e)-6 \ln 3=$
deschideți parantezele și dați termeni similari:
$=6 \ln 3-6 \ln e-6 \ln 3=-6$.
Răspuns: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=-6$.
Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a (a>0, a nu este egal cu 1) este un număr c astfel încât a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Rețineți că logaritmul unui număr nepozitiv nu este definit. De asemenea, baza logaritmului trebuie să fie un număr pozitiv, nu egal cu 1. De exemplu, dacă pătratăm -2, obținem numărul 4, dar asta nu înseamnă că baza -2 logaritmului lui 4 este 2.
Identitatea logaritmică de bază
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Este important ca domeniile de definire ale părților din dreapta și din stânga acestei formule să fie diferite. Partea stângă este definită numai pentru b>0, a>0 și a ≠ 1. Partea dreaptă este definită pentru orice b și nu depinde deloc de a. Astfel, aplicarea „identității” logaritmice de bază în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților poate duce la o modificare a DPV.
Două consecințe evidente ale definiției logaritmului
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Într-adevăr, când ridicăm numărul a la prima putere, obținem același număr, iar când îl ridicăm la puterea zero, obținem unul.
Logaritmul produsului și logaritmul coeficientului
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Aș dori să îi avertizez pe școlari împotriva aplicării necugetate a acestor formule la rezolvare ecuații logaritmiceși inegalități. Când sunt folosite „de la stânga la dreapta”, ODZ se îngustează, iar când se trece de la suma sau diferența de logaritmi la logaritmul produsului sau al coeficientului, ODZ se extinde.
Într-adevăr, expresia log a (f (x) g (x)) este definită în două cazuri: când ambele funcții sunt strict pozitive sau când f(x) și g(x) sunt ambele mai mici decât zero.
Transformând această expresie în suma log a f (x) + log a g (x) , suntem forțați să ne restrângem doar la cazul în care f(x)>0 și g(x)>0. Există o restrângere a intervalului de valori admisibile, iar acest lucru este categoric inacceptabil, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor. O problemă similară există pentru formula (6).
Gradul poate fi scos din semnul logaritmului
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Și din nou aș dori să fac apel la acuratețe. Luați în considerare următorul exemplu:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Partea stângă a egalității este în mod evident definită pentru toate valorile lui f(x), cu excepția zero. Partea dreaptă este doar pentru f(x)>0! Luând puterea din logaritm, restrângem din nou ODZ. Procedura inversă duce la o extindere a intervalului de valori admisibile. Toate aceste observații se aplică nu numai puterii lui 2, ci și oricărei puteri par.
Formula pentru mutarea la o nouă bază
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Acel caz rar în care ODZ nu se schimbă în timpul conversiei. Dacă ați ales cu înțelepciune baza c (pozitivă și nu egală cu 1), formula pentru trecerea la o nouă bază este perfect sigură.
Dacă alegem numărul b ca bază nouă c, obținem un caz particular important de formula (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Câteva exemple simple cu logaritmi
Exemplul 1 Calculați: lg2 + lg50.
Soluţie. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Am folosit formula pentru suma logaritmilor (5) și definiția logaritmului zecimal.
Exemplul 2 Calculați: lg125/lg5.
Soluţie. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Am folosit noua formulă de tranziție de bază (8).
Tabel de formule legate de logaritmi
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Înainte de a vă familiariza cu conceptul de logaritm natural, luați în considerare conceptul de număr constant $e$.
Numărul $e$
Definiția 1
Numărul $e$ este o constantă matematică care este un număr transcendental și este egal cu $e \aproximativ 2,718281828459045\ldots$.
Definiția 2
transcendent este un număr care nu este o rădăcină a unui polinom cu coeficienți întregi.
Observație 1
Ultima formulă descrie a doua limită minunată.
Numărul e se mai numește numerele lui Euler, si cateodata Numerele Napier.
Observația 2
Pentru a reține primele caractere ale numărului $e$, este adesea folosită următoarea expresie: „2$, 7$, de două ori Lev Tolstoi”. Desigur, pentru a-l putea folosi, trebuie să vă amintiți că Lev Tolstoi s-a născut în $ 1828 $. Aceste numere sunt repetate de două ori în valoarea numărului $e$ după partea întreagă $2$ și zecimală. $7$.
Când am studiat logaritmul natural, am început să luăm în considerare conceptul de număr $e$ tocmai pentru că acesta se află la baza logaritmului $\log_(e)a$, care se numește în mod obișnuit naturalși scrieți ca $\ln a$.
logaritmul natural
Adesea în calcule se folosesc logaritmi, care se bazează pe numărul $e$.
Definiția 4
Se numește logaritmul cu baza $e$ natural.
Acestea. logaritmul natural poate fi notat cu $\log_(e)a$, dar în matematică se folosește notația $\ln a$.
Proprietățile logaritmului natural
pentru că logaritmul oricărei baze din unitate este egal cu $0$, apoi logaritmul natural al unității este egal cu $0$:
Logaritmul natural al numărului $e$ este egal cu unu:
Logaritmul natural al produsului a două numere este egal cu suma logaritmilor naturali ale acestor numere:
$\ln (ab)=\ln a+\ln b$.
Logaritmul natural al unui coeficient de două numere este egal cu diferența logaritmilor naturali ai acestor numere:
$\ln\frac(a)(b)=\ln a-\ln b$.
Logaritmul natural al puterii unui număr poate fi reprezentat ca produsul dintre exponent și logaritmul natural al numărului sublogaritmic:
$\ln a^s=s \cdot \ln a$.
Exemplul 1
Simplificați expresia $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)$.
Soluţie.
Se aplică primului logaritm din numărător și numitor proprietatea logaritmului produsului, iar celui de-al doilea logaritm al numărătorului și numitorului - proprietatea logaritmului gradului:
$\frac(2 \ln 4e-\ln16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=\frac(2(\ln 4+\ln e) -\ln 4^2)(\ln 5+\ln e-\frac(1)(2) \ln 5^2)=$
deschideți parantezele și dați termeni similari și, de asemenea, aplicați proprietatea $\ln e=1$:
$=\frac(2 \ln 4+2-2 \ln 4)(\ln 5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln 5)=\frac(2)( \ln 5+1-\ln 5)=2$.
Răspuns: $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=2$.
Exemplul 2
Aflați valoarea expresiei $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.
Soluţie.
Aplicam formula pentru suma logaritmilor:
$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln e=1$.
Răspuns: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.
Exemplul 3
Calculați valoarea expresiei logaritmice $2 \lg 0.1+3 \ln e^5$.
Soluţie.
Aplicați proprietatea logaritmului gradului:
$2 \lg 0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln e=-2 \lg 10+15 \ln e=-2+ 15=13$.
Răspuns: $2 \lg 0,1+3 \ln e^5=13$.
Exemplul 4
Simplificați expresia logaritmică $\ln \frac(1)(8)-3 \ln 4$.
$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln 3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln 3=$
se aplică primului logaritm proprietatea logaritmului coeficientului:
$=6(\ln 3-\ln e)-6 \ln 3=$
deschideți parantezele și dați termeni similari:
$=6 \ln 3-6 \ln e-6 \ln 3=-6$.
Răspuns: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=-6$.
Logaritmul numărului b la baza a este exponentul la care trebuie să ridicați numărul a pentru a obține numărul b.
Daca atunci .
Logaritmul este extrem de important valoare matematică , deoarece calculul logaritmic permite nu numai rezolvarea ecuații exponențiale, dar și să opereze cu indicatori, să diferențieze exponențiale și funcții logaritmice, integrați-le și aduceți-le într-o formă mai acceptabilă pentru a fi calculate.
In contact cu
Toate proprietățile logaritmilor sunt direct legate de proprietăți funcții exponențiale. De exemplu, faptul că 
înseamnă că:
Trebuie remarcat faptul că atunci când se rezolvă probleme specifice, proprietățile logaritmilor pot fi mai importante și mai utile decât regulile de lucru cu puteri.
Iată câteva identități:
Iată principalele expresii algebrice:
;
.
Atenţie! poate exista doar pentru x>0, x≠1, y>0.
Să încercăm să înțelegem întrebarea ce sunt logaritmii naturali. Interes separat pentru matematică reprezintă două tipuri- primul are la bază numărul „10” și se numește „logaritm zecimal”. Al doilea se numește natural. Baza logaritmului natural este numărul e. Despre el vom vorbi în detaliu în acest articol.
Denumiri:
- lg x - zecimală;
- ln x - natural.
Folosind identitatea, putem vedea că ln e = 1, precum și că lg 10=1.
grafic log natural
Construim un grafic al logaritmului natural în modul clasic standard pe puncte. Dacă doriți, puteți verifica dacă construim corect o funcție examinând funcția. Cu toate acestea, are sens să înveți cum să-l construiești „manual” pentru a ști cum să calculezi corect logaritmul.
Funcția: y = log x. Să scriem un tabel de puncte prin care va trece graficul:
Să explicăm de ce am ales astfel de valori ale argumentului x. Totul tine de identitate: Pentru un logaritm natural, această identitate va arăta astfel:
Pentru comoditate, putem lua cinci puncte de referință:
;
;
.
;
.
Astfel, numărarea logaritmilor naturali este o sarcină destul de simplă, în plus, simplifică calculul operațiilor cu puteri, transformându-le în înmulțire normală.
După ce am construit un grafic pe puncte, obținem un grafic aproximativ:
Domeniul logaritmului natural (adică toate valorile valide ale argumentului X) sunt toate numerele mai mari decât zero.
Atenţie! Domeniul logaritmului natural include doar numere pozitive! Domeniul de aplicare nu include x=0. Acest lucru este imposibil pe baza condițiilor de existență a logaritmului.
Gama de valori (adică toate valorile valide ale funcției y = ln x) sunt toate numerele din intervalul .
limita logului natural
Studiind graficul, apare întrebarea - cum se comportă funcția când y<0.
În mod evident, graficul funcției tinde să traverseze axa y, dar nu va putea face acest lucru, deoarece logaritmul natural al lui x<0 не существует.
Limită naturală Buturuga se poate scrie asa:
Formula pentru schimbarea bazei unui logaritm
A face față unui logaritm natural este mult mai ușor decât a face față unui logaritm care are o bază arbitrară. De aceea vom încerca să învățăm cum să reducem orice logaritm la unul natural sau să-l exprimăm într-o bază arbitrară prin logaritmi naturali.
Să începem cu identitatea logaritmică:
Atunci orice număr sau variabilă y poate fi reprezentată ca:
unde x este orice număr (pozitiv conform proprietăților logaritmului).
Această expresie poate fi logaritmizată pe ambele părți. Să facem asta cu o bază arbitrară z:
Să folosim proprietatea (doar în loc de „cu” avem o expresie):
De aici obținem formula universală:
.
În special, dacă z=e, atunci:
.
Am reușit să reprezentăm logaritmul la o bază arbitrară prin raportul a doi logaritmi naturali.
Rezolvăm probleme
Pentru a naviga mai bine în logaritmi naturali, luați în considerare exemple de mai multe probleme.
Sarcina 1. Este necesar să se rezolve ecuația ln x = 3.
Soluţie: Folosind definiția logaritmului: dacă , atunci , obținem:
Sarcina 2. Rezolvați ecuația (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.
Soluție: Folosind definiția logaritmului: dacă , atunci , obținem:
.
Încă o dată, aplicăm definiția logaritmului:
.
În acest fel:
.
Puteți calcula răspunsul aproximativ, sau îl puteți lăsa în acest formular.
Sarcina 3. Rezolvați ecuația.
Soluţie: Să facem o înlocuire: t = ln x. Atunci ecuația va lua următoarea formă:
.
Avem o ecuație pătratică. Să-i găsim discriminantul:
În statistică și teoria probabilității, mărimile logaritmice sunt foarte frecvente. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece numărul e - reflectă adesea rata de creștere a valorilor exponențiale.
În informatică, programare și teoria calculatoarelor, logaritmii sunt destul de comune, de exemplu, pentru a stoca N biți în memorie.
În teoriile fractalilor și dimensiunilor, logaritmii sunt utilizați în mod constant, deoarece dimensiunile fractalilor sunt determinate numai cu ajutorul lor.
În mecanică și fizică nu există nicio secțiune în care să nu fie folosiți logaritmii. Distribuția barometrică, toate principiile termodinamicii statistice, ecuația Tsiolkovsky și așa mai departe sunt procese care pot fi descrise numai matematic folosind logaritmi.
În chimie, logaritmul este folosit în ecuațiile Nernst, descrieri ale proceselor redox.
În mod uimitor, chiar și în muzică, pentru a afla numărul de părți ale unei octave, se folosesc logaritmi.
Logaritmul natural Funcția y=ln x proprietățile sale
Dovada proprietății principale a logaritmului natural
