Sinus, cosinus, tangentă - atunci când pronunțați aceste cuvinte în prezența elevilor de liceu, puteți fi sigur că două treimi dintre ei își vor pierde interesul pentru conversația ulterioară. Motivul constă în faptul că elementele de bază ale trigonometriei la școală sunt predate complet izolat de realitate și, prin urmare, elevii nu văd rostul studierii formulelor și teoremelor.
De fapt, acest domeniu de cunoaștere, la o examinare mai atentă, se dovedește a fi foarte interesant, precum și aplicat - trigonometria este folosită în astronomie, construcții, fizică, muzică și multe alte domenii.
Să ne familiarizăm cu conceptele de bază și să numim mai multe motive pentru a studia această ramură a științei matematice.
Poveste
Nu se știe în ce moment a început omenirea să creeze trigonometrie viitoare de la zero. Cu toate acestea, este documentat că deja în al doilea mileniu î.Hr., egiptenii erau familiarizați cu elementele de bază ale acestei științe: arheologii au găsit un papirus cu o sarcină în care este necesar să se găsească unghiul de înclinare al piramidei pe două laturi cunoscute.
Oamenii de știință din Babilonul Antic au obținut succese mai serioase. Fiind angajați în astronomie de secole, au stăpânit o serie de teoreme, introduse moduri speciale măsurători ale unghiurilor, pe care, de altfel, le folosim astăzi: grade, minute și secunde au fost împrumutate de știința europeană în cultura greco-romană, în care aceste unități proveneau de la babilonieni.
Se presupune că celebra teoremă a lui Pitagora, legată de elementele de bază ale trigonometriei, era cunoscută babilonienilor în urmă cu aproape patru mii de ani.
Nume
Literal, termenul „trigonometrie” poate fi tradus ca „măsurarea triunghiurilor”. Obiectul principal de studiu în cadrul acestei secțiuni a științei a fost timp de multe secole un triunghi dreptunghic, sau mai degrabă, relația dintre mărimile unghiurilor și lungimile laturilor sale (astazi, studiul trigonometriei începe din această secțiune de la zgârietură). În viață, situațiile nu sunt neobișnuite când este imposibil să măsori practic toți parametrii necesari unui obiect (sau distanța până la obiect), iar atunci devine necesară obținerea datelor lipsă prin calcule.
De exemplu, în trecut, o persoană nu putea măsura distanța față de obiectele spațiale, dar încercările de a calcula aceste distanțe apar cu mult înaintea erei noastre. Trigonometria a jucat, de asemenea, un rol important în navigație: cu anumite cunoștințe, căpitanul putea întotdeauna să navigheze pe lângă stele noaptea și să corecteze cursul.
Noțiuni de bază
Pentru a stăpâni trigonometria de la zero, trebuie să înțelegeți și să vă amintiți câțiva termeni de bază.
Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus și ipotenuză. Să clarificăm că piciorul opus este partea care se află opusă unghiului pe care îl luăm în considerare. Astfel, dacă unghiul este de 30 de grade, sinusul acestui unghi va fi întotdeauna, pentru orice dimensiune a triunghiului, egal cu ½. Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
Tangenta este raportul dintre catelul opus față de cel adiacent (sau, echivalent, raportul dintre sinus și cosinus). Cotangenta este unitatea împărțită la tangentă.
Merită menționat celebrul număr Pi (3,14 ...), care are jumătate din lungimea unui cerc cu raza de o unitate.
Greșeli populare
Oamenii care învață trigonometria de la zero fac o serie de greșeli – mai ales din cauza neatenției.
În primul rând, atunci când rezolvați probleme de geometrie, trebuie amintit că utilizarea sinusurilor și cosinusurilor este posibilă numai în triunghi dreptunghic. Se întâmplă ca elevul „pe mașină” să ia cea mai lungă latură a triunghiului ca ipotenuză și să primească rezultate de calcul incorecte.
În al doilea rând, la început este ușor să confundați valorile sinusului și cosinusului pentru unghiul ales: amintiți-vă că sinusul de 30 de grade este numeric egal cu cosinusul lui 60 și invers. Dacă înlocuiți un număr greșit, toate calculele ulterioare vor fi greșite.
În al treilea rând, până la rezolvarea completă a problemei, nu merită să rotunjiți valorile, să extrageți rădăcini, să scrieți fracție comună ca zecimală. Adesea, elevii se străduiesc să obțină un număr „frumos” într-o problemă de trigonometrie și să extragă imediat rădăcina lui trei, deși după exact o acțiune această rădăcină poate fi redusă.
Etimologia cuvântului „sinus”
Istoria cuvântului „sinus” este cu adevărat neobișnuită. Faptul este că traducerea literală a acestui cuvânt din latină înseamnă „gol”. Acest lucru se datorează faptului că înțelegerea corectă a cuvântului s-a pierdut la traducerea dintr-o limbă în alta.
Numele funcțiilor trigonometrice de bază au provenit din India, unde conceptul de sinus a fost notat cu cuvântul „șir” în sanscrită - adevărul este că segmentul, împreună cu arcul de cerc pe care se sprijinea, arăta ca un arc. . În perioada de glorie a civilizației arabe, realizările indiene în domeniul trigonometriei au fost împrumutate, iar termenul a trecut în limba araba sub formă de transcriere. S-a întâmplat că această limbă avea deja un cuvânt similar pentru o depresie, iar dacă arabii au înțeles diferența fonetică dintre un cuvânt nativ și un cuvânt împrumutat, atunci europenii, traducând tratate științifice în latină, din greșeală au tradus literal cuvântul arab, care nu avea nimic de-a face cu conceptul de sinus . Le folosim până astăzi.
Tabele de valori
Există tabele care conțin valori numerice pentru sinusuri, cosinusuri și tangente ale tuturor unghiurilor posibile. Mai jos vă prezentăm date pentru unghiuri de 0, 30, 45, 60 și 90 de grade, care trebuie învățate ca secțiune obligatorie de trigonometrie pentru „manichini”, deoarece este destul de ușor să le amintiți.
Dacă s-a întâmplat ca valoarea numerică a sinusului sau a cosinusului unghiului să „zboare din capul meu”, există o modalitate de a o deriva singur.
Reprezentare geometrică
Să desenăm un cerc, să desenăm abscisa și axele ordonate prin centrul său. Axa absciselor este orizontală, axa ordonatelor este verticală. Ele sunt de obicei semnate ca „X” și, respectiv, „Y”. Acum trasăm o linie dreaptă din centrul cercului astfel încât să obținem unghiul de care avem nevoie între ea și axa X. În cele din urmă, din punctul în care dreapta intersectează cercul, coborâm perpendiculara pe axa X. Lungimea segmentului rezultat va fi egală cu valoarea numerică a sinusului unghiului nostru.
Această metodă este foarte relevantă dacă ați uitat valoarea dorită, de exemplu, la un examen, și nu există un manual de trigonometrie la îndemână. Nu veți obține cifra exactă în acest fel, dar veți vedea cu siguranță diferența dintre ½ și 1,73 / 2 (sinus și cosinus al unui unghi de 30 de grade).
Aplicație
Unul dintre primii specialiști care a folosit trigonometria au fost marinarii care nu aveau alt punct de referință în marea liberă decât cerul deasupra capului lor. Astăzi, căpitanii de nave (aeronave și alte moduri de transport) nu caută calea cea mai scurtă prin stele, ci recurg în mod activ la ajutorul navigației GPS, ceea ce ar fi imposibil fără utilizarea trigonometriei.
În aproape fiecare secțiune a fizicii, veți găsi calcule folosind sinusuri și cosinus: fie că este vorba de aplicarea forței în mecanică, calcule ale traseului obiectelor în cinematică, vibrații, propagarea undelor, refracția luminii - pur și simplu nu puteți face fără trigonometria de bază. în formule.
O altă profesie care este de neconceput fără trigonometrie este topograful. Folosind un teodolit și un nivel, sau un dispozitiv mai sofisticat - un turometru, acești oameni măsoară diferența de înălțime dintre diferite puncte de pe suprafața pământului.
Repetabilitate
Trigonometria se ocupă nu numai de unghiurile și laturile unui triunghi, deși aici și-a început existența. În toate domeniile în care ciclicitatea este prezentă (biologie, medicină, fizică, muzică etc.), veți întâlni un grafic al cărui nume vă este probabil familiar - acesta este un sinusoid.
Un astfel de grafic este un cerc desfășurat de-a lungul axei timpului și arată ca o undă. Dacă ai lucrat vreodată cu un osciloscop la o oră de fizică, știi despre ce vorbesc. Atât egalizatorul muzical, cât și monitorul de ritm cardiac folosesc formule de trigonometrie în munca lor.
In cele din urma
Când se gândesc la cum să învețe trigonometria, majoritatea elevilor de gimnaziu și liceu încep să o considere o știință dificilă și nepractică, deoarece se familiarizează doar cu informații plictisitoare din manuale.
În ceea ce privește impracticabilitatea, am văzut deja că, într-o măsură sau alta, capacitatea de a manipula sinusurile și tangentele este necesară în aproape orice domeniu de activitate. Și în ceea ce privește complexitatea... Gândiți-vă: dacă oamenii au folosit aceste cunoștințe în urmă cu mai mult de două mii de ani, când un adult avea mai puține cunoștințe decât elevul de liceu de astăzi, este realist să studiem acest domeniu al științei pe nivel de bază la tine personal? Câteva ore de practică atentă cu rezolvarea problemelor - și îți vei atinge scopul studiind cursul de bază, așa-numita trigonometrie pentru „manichi”.
În această lecție, vom vorbi despre cum apare necesitatea introducerii funcțiilor trigonometrice și de ce sunt studiate, ce trebuie să înțelegeți în acest subiect și unde trebuie doar să vă umpleți mâna (care este o tehnică). Rețineți că tehnica și înțelegerea sunt două lucruri diferite. De acord, există o diferență: să înveți să mergi pe bicicletă, adică să înțelegi cum să faci, sau să devii ciclist profesionist. Vom vorbi despre înțelegere, despre de ce avem nevoie de funcții trigonometrice.
Există patru funcții trigonometrice, dar toate pot fi exprimate în termeni de una folosind identități (egalități care le conectează).
Definiții formale ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiuri ascuțite în triunghiuri dreptunghiulare (Fig. 1).
sinusurilor Unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic se numește raportul catetului opus față de ipotenuză.
cosinus Unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic se numește raportul catetei adiacente la ipotenuză.
tangentă Unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic se numește raportul dintre catetul opus și catetul adiacent.
Cotangentă Unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic se numește raportul dintre catetul adiacent și catetul opus.
Orez. 1. Definirea funcțiilor trigonometrice ale unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic
Aceste definiții sunt formale. Este mai corect să spunem că există o singură funcție, de exemplu, sinus. Dacă nu ar fi atât de necesare (nu atât de des folosite) în tehnologie, atât de multe funcții trigonometrice diferite nu ar fi introduse.
De exemplu, cosinusul unui unghi este egal cu sinusul aceluiași unghi cu adăugarea lui (). În plus, cosinusul unui unghi poate fi întotdeauna exprimat în termeni de sinusul aceluiași unghi, până la un semn, folosind identitate trigonometrică(). Tangenta unui unghi este raportul dintre sinus și cosinus sau cotangenta inversată (Fig. 2). Unii nu folosesc deloc cotangenta, înlocuindu-l cu . Prin urmare, este important să înțelegeți și să puteți lucra cu o singură funcție trigonometrică.
Orez. 2. Conectarea diferitelor funcții trigonometrice
Dar de ce aveți nevoie de astfel de funcții? Pentru ce probleme practice sunt folosite? Să ne uităm la câteva exemple.
Doi oameni ( DARși LA) împingeți mașina afară din băltoacă (Fig. 3). Uman LA poate împinge mașina în lateral, în timp ce este puțin probabil să ajute DAR. Pe de altă parte, direcția eforturilor sale se poate schimba treptat (Fig. 4).
Orez. 3. LAîmpinge mașina în lateral
Orez. patru. LAîncepe să schimbe direcția
Este clar că eforturile lor vor fi cele mai eficiente atunci când împinge mașina într-o direcție (Fig. 5).
Orez. 5. Cea mai eficientă direcție comună a eforturilor
Cât costă LA ajută la împingerea mașinii, în măsura în care direcția forței acesteia este apropiată de direcția forței cu care acționează DAR, este o funcție a unghiului și se exprimă în termenii cosinusului acestuia (Fig. 6).
Orez. 6. Cosinus ca caracteristică a eficacității eforturilor LA
Dacă înmulțim mărimea forței cu care LA, pe cosinusul unghiului, obținem proiecția forței sale pe direcția forței cu care acționează DAR. Cu cât unghiul dintre direcțiile forțelor este mai aproape de , cu atât rezultatul acțiunilor comune va fi mai eficient DARși LA(Fig. 7). Dacă aceștia împing mașina cu aceeași forță în direcții opuse, mașina va rămâne pe loc (Fig. 8).
Orez. 7. Eficacitatea eforturilor comune DARși LA
Orez. 8. Direcția opusă a forțelor DARși LA
Este important să înțelegem de ce putem înlocui unghiul (contribuția sa la rezultatul final) cu cosinusul (sau altă funcție trigonometrică a unghiului). De fapt, aceasta rezultă dintr-o astfel de proprietate a triunghiurilor similare. Întrucât de fapt spunem următoarele: unghiul poate fi înlocuit cu raportul a două numere (picior-hipotenuză sau picior-picior). Acest lucru ar fi imposibil dacă, de exemplu, pentru același unghi de diferite triunghiuri dreptunghiulare, aceste rapoarte ar fi diferite (Fig. 9).
Orez. 9. Raporturi egale ale laturilor în triunghiuri similare
De exemplu, dacă raportul și raportul ar fi diferite, atunci nu am putea introduce funcția tangentă, deoarece pentru același unghi în diferite triunghiuri dreptunghice tangenta ar fi diferită. Dar datorită faptului că rapoartele lungimii picioarelor triunghiurilor dreptunghiulare similare sunt aceleași, valoarea funcției nu va depinde de triunghi, ceea ce înseamnă că unghiul ascuțit și valorile trigonometrice ale acestuia funcțiile sunt unu-la-unu.
Să presupunem că știm înălțimea unui anumit copac (Fig. 10). Cum se măsoară înălțimea unei clădiri din apropiere?
Orez. 10. Ilustrarea condiției din exemplul 2
Găsim un punct astfel încât linia trasată prin acest punct și vârful casei va trece prin vârful copacului (Fig. 11).
Orez. 11. Ilustrarea soluției problemei din exemplul 2
Putem măsura distanța de la acest punct până la copac, distanța de la acesta până la casă și știm înălțimea copacului. Din proportie gasiti inaltimea casei:.
Proporţie este raportul dintre două numere. În acest caz, egalitatea raportului dintre lungimile catetelor triunghiurilor dreptunghice similare. Mai mult, aceste rapoarte sunt egale cu o anumită măsură a unghiului, care este exprimată în termeni de funcție trigonometrică (prin definiție, aceasta este o tangentă). Obținem că pentru fiecare unghi ascuțit valoarea funcției sale trigonometrice este unică. Adică sinus, cosinus, tangentă, cotangentă sunt cu adevărat funcții, deoarece fiecărui unghi ascuțit îi corespunde exact o valoare a fiecăruia dintre ele. Prin urmare, ele pot fi explorate în continuare și proprietățile lor pot fi utilizate. Valorile funcțiilor trigonometrice pentru toate unghiurile au fost deja calculate, pot fi utilizate (pot fi găsite din tabelele Bradis sau folosind orice calculator de inginerie). Dar pentru a rezolva problema inversă (de exemplu, prin valoarea sinusului pentru a restabili măsura unghiului care îi corespunde), nu putem întotdeauna.
Fie sinusul unui unghi să fie egal sau aproximativ (Fig. 12). Care unghi se va potrivi valoare dată sinus? Desigur, putem folosi din nou tabelul Bradis și găsim o valoare, dar se dovedește că nu va fi singurul (Fig. 13).
Orez. 12. Aflarea unui unghi după valoarea sinusului său
Orez. 13. Polivalența funcțiilor trigonometrice inverse
Prin urmare, la restabilirea valorii funcției trigonometrice a unghiului, există o polisemie de funcții trigonometrice inverse. Poate părea complicat, dar de fapt ne confruntăm cu situații similare în fiecare zi.
Dacă draperii ferestrele și nu știi dacă afară este lumină sau întuneric sau dacă te trezești într-o peșteră, atunci, la trezire, este greu de spus dacă acum este ora zilei, a nopții sau a doua zi (Fig. 14). De fapt, dacă ne întrebați „Ce ora este?”, ar trebui să răspundem sincer: „Ora plus înmulțiți cu unde”
Orez. 14. Ilustrație a polisemiei pe exemplul unui ceas
Putem concluziona că - aceasta este perioada (intervalul după care ceasul va afișa aceeași oră ca acum). Funcțiile trigonometrice au și perioade: sinus, cosinus etc. Adică, valorile lor se repetă după o schimbare a argumentului.
Dacă planeta nu ar avea o schimbare a zilei și a nopții sau o schimbare a anotimpurilor, atunci nu am putea folosi timpul periodic. La urma urmei, numărăm anii doar în ordine crescătoare și există ore în zi, iar în fiecare nouă zi numărătoarea începe din nou. Situația este aceeași cu lunile: dacă acum este ianuarie, atunci peste luni ianuarie va veni din nou și așa mai departe. Punctele de referință externe ne ajută să folosim numărătoarea periodică a timpului (ore, luni), de exemplu, rotația Pământului în jurul axei sale și schimbarea poziției Soarelui și Lunii pe cer. Dacă Soarele ar fi atârnat întotdeauna în aceeași poziție, atunci pentru a calcula timpul am număra numărul de secunde (minute) de la apariția acestui calcul. Data și ora ar putea suna astfel: un miliard de secunde.
Concluzie: nu există dificultăți în ceea ce privește ambiguitatea funcțiilor inverse. Într-adevăr, pot exista opțiuni atunci când pentru același sinus există valori diferite de unghi (Fig. 15).
Orez. 15. Refacerea unui unghi prin valoarea sinusului său
De obicei, atunci când rezolvăm probleme practice, lucrăm întotdeauna în intervalul standard de la până la . În acest interval, pentru fiecare valoare a funcției trigonometrice, există doar două valori corespunzătoare ale măsurii unghiului.
Luați în considerare o centură în mișcare și un pendul sub forma unei găleți cu o gaură din care se toarnă nisip. Pendulul se balansează, banda se mișcă (Fig. 16). Ca rezultat, nisipul va lăsa o urmă sub forma unui grafic al funcției sinus (sau cosinus), care se numește undă sinusoidală.
De fapt, graficele sinusului și cosinusului diferă între ele doar în punctul de referință (dacă desenați unul dintre ele și apoi ștergeți axele de coordonate, atunci nu veți putea determina ce grafic a fost desenat). Prin urmare, nu are sens să numiți graficul cosinus (de ce să veniți cu un nume separat pentru același grafic)?
Orez. 16. Ilustrarea enunțului problemei din exemplul 4
Din graficul funcției, puteți înțelege și de ce funcțiile inverse vor avea multe valori. Dacă valoarea sinusului este fixă, i.e. trageți o dreaptă paralelă cu axa x, apoi la intersecție obținem toate punctele în care sinusul unghiului este egal cu cel dat. Este clar că vor exista o infinitate de astfel de puncte. La fel ca în exemplul cu ceasul, unde valoarea timpului diferă cu , doar aici valoarea unghiului va diferi cu o sumă (Fig. 17).
Orez. 17. Ilustrarea polisemiei pentru sinus
Dacă luăm în considerare exemplul ceasului, atunci punctul (sfârșitul acelui orei) se mișcă în jurul cercului. În același mod, pot fi definite funcții trigonometrice - luați în considerare nu unghiurile dintr-un triunghi dreptunghic, ci unghiul dintre raza cercului și direcția pozitivă a axei. Numărul de cercuri pe care le va trece punctul (am convenit să numărăm mișcarea în sensul acelor de ceasornic cu semnul minus și în sens invers acelor de ceasornic cu semnul plus), aceasta este perioada (Fig. 18).
Orez. 18. Valoarea sinusului pe cerc
Deci, funcția inversă este definită în mod unic pe un anumit interval. Pentru acest interval, putem calcula valorile acestuia și obținem restul din valorile găsite prin adăugarea și scăderea perioadei funcției.
Luați în considerare un alt exemplu de perioadă. Mașina se deplasează de-a lungul drumului. Imaginează-ți că roata ei a intrat în vopsea sau într-o băltoacă. Puteți vedea ocazional urme de vopsea sau bălți pe drum (Figura 19).
Orez. 19. Ilustrație de perioadă
Formule trigonometrice în curs şcolar destul de multe, dar în general este suficient să ne amintim doar una (Fig. 20).
Orez. 20. Formule trigonometrice
Formula unghiului dublu este la fel de ușor de obținut din sinusul sumei prin înlocuirea (în mod similar pentru cosinus). De asemenea, puteți obține formule de produse.
De fapt, trebuie să vă amintiți foarte puțin, deoarece odată cu rezolvarea problemelor, aceste formule vor fi amintite de la sine. Desigur, cineva va fi prea lene să decidă multe, dar atunci nu va avea nevoie de această tehnică și, de aici, de formulele în sine.
Și din moment ce formulele nu sunt necesare, atunci nu este nevoie să le memorați. Trebuie doar să înțelegeți ideea că funcțiile trigonometrice sunt funcții cu care, de exemplu, se calculează punți. Aproape niciun mecanism nu poate face fără utilizarea și calculul lor.
1. Se pune adesea întrebarea dacă firele pot fi absolut paralele cu pământul. Răspuns: nu, nu pot, deoarece o forță acționează în jos, în timp ce celelalte acționează în paralel - nu se vor echilibra niciodată (Fig. 21).
2. Lebada, raci si stiuca trag caruta in acelasi plan. Lebada zboară într-o direcție, racul trage în cealaltă, iar știuca în a treia (Fig. 22). Puterile lor se pot echilibra. Puteți calcula această echilibrare doar cu ajutorul funcțiilor trigonometrice.
3. Pod cu armatura (Fig. 23). Funcții trigonometrice ajută la calcularea numărului de giulgi, cum ar trebui să fie direcționate și tensionate.
Orez. 23. Pod cu tirant
Orez. 24. „Podul de coarde”
Orez. 25. Podul mare Obukhovsky
Link-uri către site-ul ma-te-ri-a-lyInternetUrok
Matematica clasa a VI-a:
Geometrie Clasa 8:
Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru un succes promovarea examenului la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 examen de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen. Probleme de textși teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.
Odată ajuns la școală, a fost alocat un curs separat pentru studiul trigonometriei. Certificatul a primit note la trei discipline matematice: algebră, geometrie și trigonometrie.
Apoi, ca parte a reformei învățământului școlar, trigonometria a încetat să mai existe ca materie separată. LA scoala moderna prima cunoaștere cu trigonometria are loc la cursul de geometrie din clasa a VIII-a. Un studiu mai profund al subiectului continuă la cursul de algebră de clasa a X-a.
Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt mai întâi date în geometrie prin relația laturilor unui triunghi dreptunghic.
Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză.
cosinus unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
tangentă unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel alăturat.
Cotangentă unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic se numește raportul dintre catetul adiacent și opusul.
Aceste definiții se aplică numai unghiurilor ascuțite (de la 0° la 90°).
De exemplu,
în triunghiul ABC, unde ∠C=90°, BC este catetul opus unghiului A, AC este catetul adiacent unghiului A, AB este ipotenuza.
La cursul de algebră de clasa a X-a sunt introduse definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru orice unghi (inclusiv negativ).
Considerăm un cerc de rază R centrat la origine, punctul O(0;0). Punctul de intersecție al cercului cu direcția pozitivă a axei x va fi notat cu P 0 .
În geometrie, un unghi este considerat ca o parte a unui plan mărginit de două raze. Cu această definiție, valoarea unghiului variază de la 0° la 180°.
În trigonometrie, unghiul este considerat ca rezultat al rotației razei OP 0 în jurul punctului de plecare O.
În același timp, au convenit să considere rotația fasciculului în sens invers acelor de ceasornic drept direcție pozitivă a ocolirii și în sensul acelor de ceasornic drept negativ (acest acord este asociat cu adevărata mișcare a Soarelui în jurul Pământului).
De exemplu, când fasciculul OP 0 se rotește în jurul punctului O la un unghi α în sens invers acelor de ceasornic, punctul P 0 va merge în punctul P α ,
la întoarcerea prin unghiul α în sensul acelor de ceasornic - până la punctul F.
Cu această definiție, unghiul poate lua orice valoare.
Dacă continuăm să rotim fasciculul OP 0 în sens invers acelor de ceasornic, când ne întoarcem prin unghiul α°+360°, α°+360° 2,…,α°+360° n, unde n este un număr întreg (n∈Ζ), din nou ajungem la punctul P α:
Unghiurile se măsoară în grade și radiani.
1° este un unghi egal cu 1/180 din gradul de măsurare a unui unghi drept.
1 radian este un unghi central a cărui lungime a arcului este egală cu raza cercului:
∠AOB=1 rad.
Notația radianului nu este de obicei scrisă. Nu trebuie omisă desemnarea gradului în evidență.
De exemplu,
Punctul P α , obţinut din punctul P 0 prin rotirea fasciculului OP 0 în jurul punctului O sub un unghi α în sens invers acelor de ceasornic, are coordonatele P α (x;y).
Să lăsăm perpendiculara P α A din punctul P α către axa x.
Într-un triunghi dreptunghic OP α A:
P α A este catetul opus unghiului α,
OA este piciorul adiacent unghiului α,
OP α este ipotenuza.
P α A=y, OA=x, OP α =R.
Prin definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei într-un triunghi dreptunghic avem:
Astfel, în cazul unui cerc centrat la originea razei arbitrare sinusurilor unghiul α este raportul dintre ordonata punctului P α și lungimea razei.
cosinus unghiul α este raportul dintre abscisa punctului P α și lungimea razei.
tangentă unghiul α este raportul dintre ordonata punctului P α și abscisa acestuia.
Cotangentă unghiul α este raportul dintre abscisa punctului P α și ordonata sa.
Valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind doar de valoarea lui α și nu depind de lungimea razei R (asta rezultă din similitudinea cercurilor).
Prin urmare, este convenabil să alegeți R=1.
Un cerc centrat la origine și cu raza R=1 se numește cerc unitar.
Definiții
1) sinusurilor unghiul α este ordonata punctului P α (x; y) al cercului unitar:
2) cosinus unghiul α se numește abscisa punctului P α (x; y) al cercului unitar:
3) tangentă unghiul α este raportul dintre ordonata punctului P α (x; y) și abscisa acestuia, adică raportul dintre sin α și cos α (unde cos α≠ 0):
4) Cotangentă unghiul α este raportul dintre abscisa punctului P α (x; y) și ordonata sa, adică raportul dintre cosα și sinα (unde sinα≠0):
Definițiile introduse astfel ne permit să luăm în considerare nu numai funcțiile trigonometrice ale unghiurilor, ci și funcțiile trigonometrice ale argumentelor numerice (dacă considerăm sinα, cosα, tgα și ctgα drept funcții trigonometrice corespunzătoare ale unui unghi în α radiani, că este, sinusul numărului α este sinusul unghiului în α radiani, cosinusul lui α este cosinusul unghiului în α radiani etc.).
Proprietățile funcțiilor trigonometrice sunt studiate în cursul algebrei în clasa a X-a sau a XI-a ca subiect separat. Funcțiile trigonometrice sunt utilizate pe scară largă în fizică.
Rubrica: |Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi informatii personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Menținerea confidențialității la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
