Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!
O egalitate care conține o necunoscută sub semnul unei funcții trigonometrice (`sin x, cos x, tg x` sau `ctg x`) se numește ecuație trigonometrică și vom lua în considerare formulele lor în continuare.
Cele mai simple ecuații sunt `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, unde `x` este unghiul care trebuie găsit, `a` este orice număr. Să scriem formulele rădăcină pentru fiecare dintre ele.
1. Ecuația `sin x=a`.
Pentru `|a|>1` nu are soluții.
Cu `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.
Formula rădăcină: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Ecuația `cos x=a`
Când `|a|>1` - ca în cazul sinusului, soluții între numere reale nu are.
Cu `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.
Formula rădăcină: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Cazuri speciale pentru sinus și cosinus în grafice. 
3. Ecuația `tg x=a`
Are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.
Formula rădăcină: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Ecuația `ctg x=a`
De asemenea, are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.
Formula rădăcină: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formule pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice din tabel
Pentru sinusuri: 
Pentru cosinus: 
Pentru tangentă și cotangentă: 
Formule pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin funcții trigonometrice inverse:
Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice
Rezolvarea oricărei ecuații trigonometrice constă în două etape:
- folosind pentru a-l converti în cel mai simplu;
- rezolvați ecuația simplă rezultată folosind formulele de mai sus pentru rădăcini și tabele.
Să luăm în considerare principalele metode de soluție folosind exemple.
metoda algebrică.
În această metodă, se face înlocuirea unei variabile și înlocuirea acesteia în egalitate.
Exemplu. Rezolvați ecuația: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
faceți o înlocuire: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, apoi `2y^2-3y+1=0`,
găsim rădăcinile: `y_1=1, y_2=1/2`, din care urmează două cazuri:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Răspuns: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Factorizarea.
Exemplu. Rezolvați ecuația: `sin x+cos x=1`.
Decizie. Mutați la stânga toți termenii de egalitate: `sin x+cos x-1=0`. Folosind , transformăm și factorizăm partea stângă:
`sin x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Răspuns: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Reducerea la o ecuație omogenă
Mai întâi, trebuie să aduceți această ecuație trigonometrică într-una dintre cele două forme:
`a sin x+b cos x=0` (ecuația omogenă de gradul I) sau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ecuația omogenă de gradul II).
Apoi împărțiți ambele părți prin `cos x \ne 0` pentru primul caz și cu `cos^2 x \ne 0` pentru al doilea. Obținem ecuații pentru `tg x`: `a tg x+b=0` și `a tg^2 x + b tg x +c =0`, care trebuie rezolvate folosind metode cunoscute.
Exemplu. Rezolvați ecuația: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Decizie. Să scriem partea dreaptă ca `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.
Aceasta este o ecuație trigonometrică omogenă de gradul doi, împărțind părțile din stânga și din dreapta la `cos^2 x \ne 0`, obținem:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x - 2=0`. Să introducem înlocuirea `tg x=t`, ca rezultat `t^2 + t - 2=0`. Rădăcinile acestei ecuații sunt `t_1=-2` și `t_2=1`. Apoi:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Răspuns. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Du-te la Half Corner
Exemplu. Rezolvați ecuația: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Decizie. Aplicând formulele unghiului dublu, rezultatul este: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`
Aplicând metoda algebrică descrisă mai sus, obținem:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Răspuns. `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Introducerea unui unghi auxiliar
În ecuația trigonometrică `a sin x + b cos x =c`, unde a,b,c sunt coeficienți și x este o variabilă, împărțim ambele părți la `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.
Coeficienții din stânga au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume, suma pătratelor lor este 1 și modulul lor este cel mult 1. Să-i notăm astfel: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , apoi:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Să aruncăm o privire mai atentă la următorul exemplu:
Exemplu. Rezolvați ecuația: `3 sin x+4 cos x=2`.
Decizie. Împărțind ambele părți ale ecuației la `sqrt (3^2+4^2)`, obținem:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Se notează `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Deoarece `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, luăm `\varphi=arcsin 4/5` ca unghi auxiliar. Apoi scriem egalitatea noastră sub forma:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Aplicând formula pentru suma unghiurilor pentru sinus, scriem egalitatea noastră în următoarea formă:
`sin(x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Răspuns. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Ecuații trigonometrice fracționale-raționale
Acestea sunt egalități cu fracții, în numărătorii și numitorii cărora există funcții trigonometrice.
Exemplu. Rezolvați ecuația. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Decizie. Înmulțiți și împărțiți partea dreaptă a ecuației cu `(1+cos x)`. Ca rezultat, obținem:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Având în vedere că numitorul nu poate fi zero, obținem `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Echivalează numărătorul fracției cu zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Apoi `sin x=0` sau `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Având în vedere că ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, soluțiile sunt `x=2\pi n, n \in Z` și `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Răspuns. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometria, și în special ecuațiile trigonometrice, sunt utilizate în aproape toate domeniile geometriei, fizicii și ingineriei. Studiul începe în clasa a X-a, există întotdeauna sarcini pentru examen, așa că încercați să vă amintiți toate formulele ecuații trigonometrice- cu siguranță vor fi de folos!
Cu toate acestea, nici nu trebuie să le memorați, principalul lucru este să înțelegeți esența și să puteți deduce. Nu este atât de dificil pe cât pare. Vedeți singuri vizionand videoclipul.
Formulele de bază ale trigonometriei sunt formule care stabilesc relații între funcțiile trigonometrice de bază. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt interconectate prin multe relații. Mai jos sunt principalele formule trigonometrice, iar pentru comoditate, le grupăm în funcție de scopul lor. Folosind aceste formule, puteți rezolva aproape orice problemă de la cursul standard de trigonometrie. Remarcăm imediat că mai jos sunt date doar formulele în sine, și nu derivarea lor, cărora le vor fi consacrate articole separate.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Identități de bază ale trigonometriei
Identitățile trigonometrice dau o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi, permițând unei funcții să fie exprimată în termenii altuia.
Identități trigonometrice
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α
Aceste identități rezultă direct din definițiile cercului unitar, sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg) și cotangente (ctg).
Formule turnate
Formulele de turnare vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare și arbitrar mari la lucrul cu unghiuri cuprinse între 0 și 90 de grade.
Formule turnate
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
Formulele de reducere sunt o consecință a periodicității funcții trigonometrice.
Formule trigonometrice de adunare
Formulele de adunare din trigonometrie vă permit să exprimați funcția trigonometrică a sumei sau diferenței unghiurilor în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri.
Formule trigonometrice de adunare
sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
Pe baza formulelor de adunare, sunt derivate formule trigonometrice pentru un unghi multiplu.
Formule cu mai multe unghiuri: dublu, triplu etc.
Formule cu unghi dublu și triplusin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α cu t g 2 α \u003d cu t g 2 α - 1 2 cu t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1
Formule cu jumătate de unghi
Formulele de semiunghi în trigonometrie sunt o consecință a formulelor de unghi dublu și exprimă relația dintre funcțiile de bază ale semiunghiului și cosinusul întregului unghi.
Formule cu jumătate de unghi
sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
Formule de reducere
Formule de reduceresin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Adesea, în calcule, este incomod să operezi cu puteri greoaie. Formulele de reducere a gradului vă permit să reduceți gradul unei funcții trigonometrice de la arbitrar mare la prima. Iată viziunea lor generală:
Forma generală a formulelor de reducere
pentru chiar n
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)
pentru n. impar
sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)
Suma și diferența funcțiilor trigonometrice
Diferența și suma funcțiilor trigonometrice pot fi reprezentate ca un produs. Factorizarea diferențelor de sinusuri și cosinus este foarte convenabilă de utilizat atunci când rezolvați ecuații trigonometrice și simplificați expresii.
Suma și diferența funcțiilor trigonometrice
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2
Produsul funcțiilor trigonometrice
Dacă formulele pentru suma și diferența funcțiilor vă permit să mergeți la produsul lor, atunci formulele pentru produsul funcțiilor trigonometrice efectuează tranziția inversă - de la produs la sumă. Sunt luate în considerare formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.
Formule pentru produsul funcțiilor trigonometrice
sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))
Substituție trigonometrică universală
Toate funcțiile trigonometrice de bază - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă - pot fi exprimate în termenii tangentei unui jumătate de unghi.
Substituție trigonometrică universală
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Sunt date rapoartele dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și din moment ce există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică și abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcțiile trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcțiile unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.
În acest articol, enumeram în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa în funcție de scopul lor și le vom introduce în tabele.
Navigare în pagină.
Identități trigonometrice de bază
Identități trigonometrice de bază stabiliți relația dintre sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Vă permit să exprimați o funcție trigonometrică prin oricare alta.
Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.
Formule turnate
Formule turnate rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea simetriei și, de asemenea, proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.
Rațiunea acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a lor pot fi studiate în articol.
Formule de adunare
Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.
Formule pentru dublu, triplu etc. unghi
Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată cum funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.
Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi .
Formule cu jumătate de unghi
Formule cu jumătate de unghi arătați cum funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.
Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.
Formule de reducere
Formule trigonometrice pentru grade descrescătoare sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele permit reducerea puterilor funcțiilor trigonometrice la prima.
Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice
Scopul principal formule de sumă și diferență pentru funcțiile trigonometrice constă în trecerea la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util la simplificarea expresiilor trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece permit factorizarea sumei și diferențelor sinusurilor și cosinusurilor.
Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus
Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează prin formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.
Substituție trigonometrică universală
Terminăm trecerea în revistă a formulelor de bază ale trigonometriei cu formule care exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui semiunghi. Acest înlocuitor se numește substituție trigonometrică universală. Comoditatea sa constă în faptul că toate funcțiile trigonometrice sunt exprimate în termeni de tangente a unui jumătate de unghi rațional fără rădăcini.
Bibliografie.
- Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.
Drepturi de autor de către studenți inteligenți
Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.
Cele mai simple identități trigonometrice
Coeficientul de împărțire a sinusului unghiului alfa la cosinusul aceluiași unghi este egal cu tangentei acestui unghi (Formula 1). Vezi și dovada corectitudinii transformării celor mai simple identități trigonometrice.
Coeficientul de împărțire a cosinusului unghiului alfa la sinusul aceluiași unghi este egal cu cotangentei aceluiași unghi (Formula 2)
Secanta unui unghi este egală cu una împărțită la cosinusul aceluiași unghi (Formula 3)
Suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este egală cu unu (Formula 4). vezi și demonstrația sumei pătratelor cosinusului și sinusului.
Suma unității și tangentei unghiului este egală cu raportul unității la pătratul cosinusului acestui unghi (Formula 5)
Unitatea plus cotangenta unghiului este egal cu câtul împărțirii unității la pătratul sinus al acestui unghi (Formula 6)
Produsul tangentei și cotangentei aceluiași unghi este egal cu unu (Formula 7).
Conversia unghiurilor negative ale funcțiilor trigonometrice (pare și impare)
Pentru a scăpa de valoarea negativă a gradului de măsură a unghiului la calcularea sinusului, cosinusului sau tangentei, puteți utiliza următoarele transformări trigonometrice (identități) bazate pe principiile funcțiilor trigonometrice pare sau impare.
Așa cum se vede, cosinus iar secanta este chiar funcția, sinus, tangentă și cotangentă sunt funcții impare.
Sinusul unui unghi negativ este egal cu valoarea negativă a sinusului aceluiași unghi pozitiv (minus sinusul alfa).
Cosinusul „minus alfa” va da aceeași valoare ca și cosinusul unghiului alfa.
Tangenta minus alfa este egală cu minus tangenta alfa.
Formule de reducere a unghiului dublu (sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi dublu)
Dacă trebuie să împărțiți unghiul la jumătate sau invers, treceți de la un unghi dublu la un singur unghi, puteți utiliza următoarele identități trigonometrice:
Conversie cu unghi dublu (unghi dublu sinus, unghi dublu cosinus și unghi dublu tangente) într-unul singur are loc după următoarele reguli:
Sinusul unui unghi dublu este egal cu dublul produsului dintre sinus și cosinus al unui singur unghi
Cosinusul unui unghi dublu este egală cu diferența dintre pătratul cosinusului unui singur unghi și pătratul sinusului acestui unghi
Cosinusul unui unghi dublu egal cu dublul pătratului cosinusului unui singur unghi minus unu
Cosinusul unui unghi dublu este egal cu unu minus pătratul dublu sinus al unui singur unghi
Tangenta cu unghi dublu este egal cu o fracție al cărei numărător este de două ori tangenta unui singur unghi și al cărei numitor este egal cu unu minus tangentei pătratului unui singur unghi.
Cotangentă cu unghi dublu este egal cu o fracție al cărei numărător este pătratul cotangentei unui singur unghi minus unu, iar numitorul este egal cu dublul cotangentei unui singur unghi
Formule universale de substituție trigonometrică
Formulele de conversie de mai jos pot fi utile atunci când trebuie să împărțiți argumentul funcției trigonometrice (sin α, cos α, tg α) la două și să aduceți expresia la valoarea jumătate a unghiului. Din valoarea lui α obținem α/2 .Aceste formule sunt numite formule ale substituției trigonometrice universale. Valoarea lor constă în faptul că expresia trigonometrică cu ajutorul lor se reduce la expresia tangentei unei jumătăți de unghi, indiferent de ce funcții trigonometrice ( sin cos tg ctg) au fost inițial în expresia. După aceea, ecuația cu tangenta unei jumătăți de unghi este mult mai ușor de rezolvat.
Identități trigonometrice de transformare semiunghi
Următoarele sunt formulele pentru conversia trigonometrică a jumătate din valoarea unui unghi în valoarea sa întreagă.Valoarea argumentului funcției trigonometrice α/2 se reduce la valoarea argumentului funcției trigonometrice α.
Formule trigonometrice pentru adăugarea unghiurilor
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Tangenta și cotangenta sumei unghiurilor alfa și beta pot fi convertite conform următoarelor reguli pentru conversia funcțiilor trigonometrice:
Tangenta sumei unghiurilor este egal cu o fracție al cărei numărător este suma tangentei primului unghi și tangentei celui de-al doilea unghi, iar numitorul este unu minus produsul tangentei primului unghi și tangentei celui de-al doilea unghi.
Diferența de unghi tangentă este egal cu o fracție, al cărei numărător este egal cu diferența dintre tangentei unghiului redus și tangentei unghiului de scăzut, iar numitorul este unu plus produsul tangentelor acestor unghiuri.
Cotangenta sumei unghiurilor este egal cu o fracție al cărei numărător este egal cu produsul cotangentelor acestor unghiuri plus unu, iar numitorul este egal cu diferența dintre cotangentei celui de-al doilea unghi și cotangentei primului unghi.
Cotangente a diferenței de unghi este egal cu o fracție al cărei numărător este produsul cotangentelor acestor unghiuri minus unu, iar numitorul este egal cu suma cotangentelor acestor unghiuri.
Aceste identități trigonometrice sunt convenabile de utilizat atunci când trebuie să calculați, de exemplu, tangenta de 105 grade (tg 105). Dacă este reprezentat ca tg (45 + 60), atunci puteți utiliza următoarele transformări identice tangenta sumei unghiurilor și apoi pur și simplu înlocuiți valorile tabelare ale tangentei de 45 și tangentei de 60 de grade.
Formule pentru conversia sumei sau diferențelor funcțiilor trigonometrice
Expresiile reprezentând suma formei sin α + sin β pot fi convertite folosind următoarele formule:
Formule cu unghi triplu - convertiți sin3α cos3α tg3α în sinα cosα tgα
Uneori este necesar să convertiți valoarea triplă a unghiului astfel încât unghiul α să devină argumentul funcției trigonometrice în loc de 3α.În acest caz, puteți utiliza formulele (identitățile) pentru transformarea unghiului triplu:
Formule pentru transformarea produsului funcțiilor trigonometrice
Dacă devine necesar să convertiți produsul sinusurilor diferitelor unghiuri ale cosinusurilor diferitelor unghiuri sau chiar produsul dintre sinus și cosinus, atunci puteți utiliza următoarele identități trigonometrice:
În acest caz, produsul funcțiilor sinus, cosinus sau tangentă ale diferitelor unghiuri va fi convertit într-o sumă sau diferență.
Formule de reducere a funcţiilor trigonometrice
Trebuie să utilizați tabelul de distribuție după cum urmează. În linie, selectați funcția care ne interesează. Coloana este un unghi. De exemplu, sinusul unghiului (α+90) la intersecția primului rând și a primei coloane, aflăm că sin (α+90) = cos α .
