Πώς γίνεται η επεξεργασία των αποτελεσμάτων των μετρήσεων στη φυσική. Η επεξεργασία των μετρήσεων έχει ως αποτέλεσμα τη φυσική πρακτική της μέτρησης και των σφαλμάτων μέτρησης. Υπολογισμός του σφάλματος στις άμεσες μετρήσεις μέση τιμή και μέσο απόλυτο σφάλμα

Οποιεσδήποτε μετρήσεις γίνονται πάντα με ορισμένα σφάλματα που σχετίζονται με την περιορισμένη ακρίβεια των οργάνων μέτρησης, λάθος επιλογήκαι το σφάλμα της μεθόδου μέτρησης, τη φυσιολογία του πειραματιστή, τα χαρακτηριστικά των μετρούμενων αντικειμένων, τις αλλαγές στις συνθήκες μέτρησης κ.λπ. Επομένως, η εργασία μέτρησης περιλαμβάνει την εύρεση όχι μόνο της ίδιας της ποσότητας, αλλά και του σφάλματος μέτρησης, δηλ. το διάστημα στο οποίο είναι πιο πιθανό να είναι πραγματική αξίαμετρούμενη τιμή. Για παράδειγμα, όταν μετράμε ένα χρονικό διάστημα t με ένα χρονόμετρο με τιμή διαίρεσης 0,2 s, μπορούμε να πούμε ότι η πραγματική του τιμή είναι στο διάστημα από s έως
με. Έτσι, η μετρούμενη τιμή περιέχει πάντα κάποιο σφάλμα
, που και X είναι, αντίστοιχα, οι αληθινές και οι μετρούμενες τιμές της υπό μελέτη ποσότητας. αξία
που ονομάζεται απόλυτο λάθος(σφάλμα) μετρήσεις, και την έκφραση
που χαρακτηρίζει την ακρίβεια μέτρησης ονομάζεται σχετικό σφάλμα.

Είναι πολύ φυσικό για τον πειραματιστή να προσπαθεί να κάνει κάθε μέτρηση με τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια, αλλά μια τέτοια προσέγγιση δεν είναι πάντα σκόπιμη. Όσο ακριβέστερα θέλουμε να μετρήσουμε αυτή ή εκείνη την ποσότητα, όσο πιο πολύπλοκα είναι τα όργανα που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε, τόσο περισσότερο χρόνο θα απαιτήσουν αυτές οι μετρήσεις. Επομένως, η ακρίβεια του τελικού αποτελέσματος θα πρέπει να αντιστοιχεί στον σκοπό του πειράματος. Η θεωρία των σφαλμάτων δίνει συστάσεις για το πώς πρέπει να λαμβάνονται οι μετρήσεις και πώς πρέπει να γίνεται η επεξεργασία των αποτελεσμάτων, ώστε το περιθώριο σφάλματος να είναι όσο το δυνατόν μικρότερο.

Όλα τα σφάλματα που προκύπτουν κατά τη διάρκεια των μετρήσεων χωρίζονται συνήθως σε τρεις τύπους - συστηματικά, τυχαία και αστοχίες ή ακαθάριστα σφάλματα.

Συστηματικά λάθηλόγω της περιορισμένης ακρίβειας της κατασκευής των συσκευών (λάθη οργάνων), των ελλείψεων της επιλεγμένης μεθόδου μέτρησης, της ανακρίβειας του τύπου υπολογισμού, της ακατάλληλης εγκατάστασης της συσκευής κ.λπ. Έτσι, τα συστηματικά σφάλματα προκαλούνται από παράγοντες που δρουν με τον ίδιο τρόπο όταν οι ίδιες μετρήσεις επαναλαμβάνονται πολλές φορές. Η τιμή αυτού του σφάλματος επαναλαμβάνεται συστηματικά ή αλλάζει σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο νόμο. Ορισμένα συστηματικά σφάλματα μπορούν να εξαλειφθούν (στην πράξη, αυτό είναι πάντα εύκολο να επιτευχθεί) αλλάζοντας τη μέθοδο μέτρησης, εισάγοντας διορθώσεις στις μετρήσεις του οργάνου και λαμβάνοντας υπόψη τη συνεχή επίδραση εξωτερικών παραγόντων.

Αν και το συστηματικό (οργανικό) σφάλμα κατά τις επαναλαμβανόμενες μετρήσεις δίνει μια απόκλιση της μετρούμενης τιμής από την πραγματική τιμή προς μία κατεύθυνση, ποτέ δεν γνωρίζουμε προς ποια κατεύθυνση. Επομένως, το σφάλμα οργάνου γράφεται με διπλό πρόσημο

Τυχαία σφάλματαπροκαλούνται από μεγάλο αριθμό τυχαίων αιτιών (μεταβολές θερμοκρασίας, πίεσης, δονήσεις κτιρίου κ.λπ.), η επίδραση των οποίων σε κάθε μέτρηση είναι διαφορετική και δεν μπορεί να ληφθεί εκ των προτέρων υπόψη. Τυχαία σφάλματα συμβαίνουν επίσης λόγω της ατέλειας των αισθητηρίων οργάνων του πειραματιστή. Τα τυχαία σφάλματα περιλαμβάνουν επίσης σφάλματα που οφείλονται στις ιδιότητες του μετρούμενου αντικειμένου.

Είναι αδύνατο να αποκλειστούν τυχαία σφάλματα μεμονωμένων μετρήσεων, αλλά είναι δυνατό να μειωθεί η επίδραση αυτών των σφαλμάτων στο τελικό αποτέλεσμα πραγματοποιώντας πολλαπλές μετρήσεις. Εάν το τυχαίο σφάλμα αποδειχθεί σημαντικά μικρότερο από το όργανο (συστηματικό) σφάλμα, τότε δεν υπάρχει λόγος να μειωθεί περαιτέρω το τυχαίο σφάλμα αυξάνοντας τον αριθμό των μετρήσεων. Εάν το τυχαίο σφάλμα είναι μεγαλύτερο από το σφάλμα οργάνου, τότε ο αριθμός των μετρήσεων θα πρέπει να αυξηθεί προκειμένου να μειωθεί η τιμή του τυχαίου σφάλματος και να γίνει μικρότερο ή μία τάξη μεγέθους με το σφάλμα οργάνου.

Λάθη ή λάθη- πρόκειται για λανθασμένες μετρήσεις στη συσκευή, λανθασμένη εγγραφή της ένδειξης κ.λπ. Κατά κανόνα, οι αστοχίες λόγω των αναφερόμενων λόγων είναι σαφώς ορατές, καθώς οι αναγνώσεις που αντιστοιχούν σε αυτές διαφέρουν έντονα από τις άλλες αναγνώσεις. Οι αστοχίες πρέπει να εξαλειφθούν με μετρήσεις ελέγχου. Έτσι, το πλάτος του διαστήματος στο οποίο βρίσκονται οι πραγματικές τιμές των μετρούμενων ποσοτήτων θα καθοριστεί μόνο από τυχαία και συστηματικά σφάλματα.

2 . Εκτίμηση συστηματικού (οργανικού) σφάλματος

Για άμεσες μετρήσειςη τιμή της μετρούμενης ποσότητας διαβάζεται απευθείας στην κλίμακα του οργάνου μέτρησης. Το σφάλμα ανάγνωσης μπορεί να φτάσει αρκετά δέκατα της διαίρεσης της κλίμακας. Συνήθως, σε τέτοιες μετρήσεις, το μέγεθος του συστηματικού σφάλματος θεωρείται ίσο με το ήμισυ της διαίρεσης κλίμακας του οργάνου μέτρησης. Για παράδειγμα, κατά τη μέτρηση με δαγκάνα με τιμή διαίρεσης 0,05 mm, η τιμή του σφάλματος μέτρησης οργάνων λαμβάνεται ίση με 0,025 mm.

Τα ψηφιακά όργανα μέτρησης δίνουν την τιμή των ποσοτήτων που μετρούν με σφάλμα ίσο με την τιμή μιας μονάδας του τελευταίου ψηφίου στην κλίμακα του οργάνου. Έτσι, εάν ένα ψηφιακό βολτόμετρο δείχνει τιμή 20,45 mV, τότε το απόλυτο σφάλμα στη μέτρηση είναι
mV.

Συστηματικά σφάλματα προκύπτουν επίσης όταν χρησιμοποιούνται σταθερές τιμές που καθορίζονται από πίνακες. Σε τέτοιες περιπτώσεις, το σφάλμα λαμβάνεται ίσο με το μισό του τελευταίου σημαντικού ψηφίου. Για παράδειγμα, εάν στον πίνακα η τιμή της πυκνότητας του χάλυβα δίνεται από μια τιμή ίση με 7,9∙10 3 kg / m 3, τότε το απόλυτο σφάλμα σε αυτή την περίπτωση είναι ίσο με
kg / m 3.

Μερικά χαρακτηριστικά στον υπολογισμό των σφαλμάτων οργάνων των ηλεκτρικών οργάνων μέτρησης θα συζητηθούν παρακάτω.

Κατά τον προσδιορισμό του συστηματικού (οργανικού) σφάλματος των έμμεσων μετρήσεωνλειτουργική αξία
χρησιμοποιείται ο τύπος

, (1)

που - σφάλματα οργάνων άμεσων μετρήσεων ποσότητας , - μερικές παράγωγοι της συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή .

Για παράδειγμα, θα λάβουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του συστηματικού σφάλματος κατά τη μέτρηση του όγκου ενός κυλίνδρου. Ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός κυλίνδρου είναι

Μερικά παράγωγα σε σχέση με μεταβλητές ρε και ηθα είναι ίσοι

,
.

Έτσι, ο τύπος για τον προσδιορισμό του απόλυτου συστηματικού σφάλματος στη μέτρηση του όγκου ενός κυλίνδρου σύμφωνα με το (2. ..) έχει την ακόλουθη μορφή

που
και
σφάλματα οργάνων στη μέτρηση της διαμέτρου και του ύψους του κυλίνδρου

3. Εκτίμηση τυχαίου σφάλματος.

Διάστημα εμπιστοσύνης και πιθανότητα εμπιστοσύνης

Για τη συντριπτική πλειοψηφία των απλών μετρήσεων, ο λεγόμενος κανονικός νόμος των τυχαίων σφαλμάτων ικανοποιείται αρκετά καλά ( νόμος του Gauss), που προκύπτει από τις ακόλουθες εμπειρικές διατάξεις.

μπορεί να χρειαστούν σφάλματα μέτρησης συνεχείς σειρέςαξίες;

με μεγάλο αριθμό μετρήσεων, σφάλματα ίδιου μεγέθους, αλλά διαφορετικού πρόσημου, συμβαίνουν εξίσου συχνά,

Όσο μεγαλύτερο είναι το τυχαίο σφάλμα, τόσο λιγότερο πιθανό είναι να συμβεί.

Πρόγραμμα κανονικός νόμοςη κατανομή Gauss φαίνεται στο Σχ.1. Η εξίσωση καμπύλης έχει τη μορφή

, (2)

που
- συνάρτηση κατανομής τυχαίων σφαλμάτων (λάθη), που χαρακτηρίζει την πιθανότητα σφάλματος
, σ είναι το ριζικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα.

Η τιμή σ δεν είναι τυχαία μεταβλητή και χαρακτηρίζει τη διαδικασία μέτρησης. Εάν οι συνθήκες μέτρησης δεν αλλάξουν, τότε το σ παραμένει σταθερό. Το τετράγωνο αυτής της ποσότητας ονομάζεται διασπορά των μετρήσεων.Όσο μικρότερη είναι η διασπορά, τόσο μικρότερη είναι η διασπορά των μεμονωμένων τιμών και τόσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια μέτρησης.

Η ακριβής τιμή του σφάλματος ρίζας-μέσος τετραγώνου σ, καθώς και η πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας, είναι άγνωστη. Υπάρχει μια λεγόμενη στατιστική εκτίμηση αυτής της παραμέτρου, σύμφωνα με την οποία το μέσο τετραγωνικό σφάλμα είναι ίσο με το μέσο τετραγωνικό σφάλμα του αριθμητικού μέσου όρου . Η τιμή του οποίου καθορίζεται από τον τύπο

, (3)

που - αποτέλεσμα Εγώ-η διάσταση; - αριθμητικός μέσος όρος των λαμβανόμενων τιμών. n είναι ο αριθμός των μετρήσεων.

Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των μετρήσεων, τόσο μικρότερος και όσο περισσότερο πλησιάζει το σ. Εάν η πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής μ, ο μέσος όρος της αριθμητική τιμή, που προέκυψε ως αποτέλεσμα μετρήσεων και τυχαίο απόλυτο σφάλμα , τότε το αποτέλεσμα των μετρήσεων θα γραφεί με τη μορφή
.

Διάστημα τιμών από
πριν
, στο οποίο εμπίπτει η πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας μ, ονομάζεται διάστημα εμπιστοσύνης.Δεδομένου ότι είναι μια τυχαία μεταβλητή, η πραγματική τιμή εμπίπτει στο διάστημα εμπιστοσύνης με μια πιθανότητα α, η οποία ονομάζεται πιθανότητα εμπιστοσύνης,ή αξιοπιστίαΜετρήσεις. Αυτή η τιμή είναι αριθμητικά ίση με την περιοχή του σκιασμένου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς. (δείτε εικόνα.)

Όλα αυτά ισχύουν για έναν αρκετά μεγάλο αριθμό μετρήσεων, όταν είναι κοντά στο σ. Για να βρούμε το διάστημα εμπιστοσύνης και το επίπεδο εμπιστοσύνης για ένα μικρό αριθμό μετρήσεων, με τις οποίες ασχολούμαστε κατά την εργαστηριακή εργασία, χρησιμοποιούμε Κατανομή πιθανοτήτων του μαθητή.Αυτή είναι η κατανομή πιθανοτήτων τυχαία μεταβλητή που ονομάζεται Συντελεστής μαθητή, δίνει την τιμή του διαστήματος εμπιστοσύνης σε κλάσματα του ριζικού μέσου τετραγώνου σφάλματος του αριθμητικού μέσου όρου.

. (4)

Η κατανομή πιθανοτήτων αυτής της ποσότητας δεν εξαρτάται από το σ 2, αλλά ουσιαστικά εξαρτάται από τον αριθμό των πειραμάτων n. Με αύξηση του αριθμού των πειραμάτων nΗ κατανομή του μαθητή τείνει σε μια κατανομή Gauss.

Η συνάρτηση κατανομής παρουσιάζεται σε πίνακα (Πίνακας 1). Η τιμή του συντελεστή Student είναι στη τομή της ευθείας που αντιστοιχεί στον αριθμό των μετρήσεων n, και τη στήλη που αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης α

Τραπέζι 1.

Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα στον πίνακα, μπορείτε:

προσδιορίστε το διάστημα εμπιστοσύνης, δεδομένης μιας ορισμένης πιθανότητας.

επιλέξτε ένα διάστημα εμπιστοσύνης και καθορίστε το επίπεδο εμπιστοσύνης.

Για έμμεσες μετρήσεις, το ριζικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα του αριθμητικού μέσου όρου της συνάρτησης υπολογίζεται από τον τύπο

. (5)

Το διάστημα εμπιστοσύνης και η πιθανότητα εμπιστοσύνης προσδιορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση των άμεσων μετρήσεων.

Εκτίμηση του συνολικού σφάλματος μέτρησης. Καταγραφή του τελικού αποτελέσματος.

Το συνολικό σφάλμα του αποτελέσματος μέτρησης του Χ θα οριστεί ως η μέση τετραγωνική τιμή των συστηματικών και τυχαίων σφαλμάτων

, (6)

που δx -οργανικό σφάλμα, Δ Χείναι ένα τυχαίο σφάλμα.

Το X μπορεί να είναι είτε άμεσα είτε έμμεσα μετρούμενο μέγεθος.

, α=…, Ε=… (7)

Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι οι ίδιοι οι τύποι της θεωρίας των σφαλμάτων ισχύουν για μεγάλο αριθμό μετρήσεων. Επομένως, η τιμή του τυχαίου, και κατά συνέπεια, του συνολικού σφάλματος προσδιορίζεται για ένα μικρό nμε ένα μεγάλο λάθος. Κατά τον υπολογισμό του Δ Χμε τον αριθμό των μετρήσεων
συνιστάται να περιορίζεται σε ένα σημαντικό αριθμό εάν είναι μεγαλύτερο από 3 και δύο εάν το πρώτο σημαντικό ψηφίο είναι μικρότερο από 3. Για παράδειγμα, εάν Δ Χ= 0,042, μετά απορρίψτε το 2 και γράψτε Δ Χ=0,04, και αν Δ Χ=0,123, τότε γράφουμε Δ Χ=0,12.

Ο αριθμός των ψηφίων του αποτελέσματος και το συνολικό σφάλμα πρέπει να είναι ίδιοι. Επομένως, ο αριθμητικός μέσος όρος του σφάλματος θα πρέπει να είναι ο ίδιος. Επομένως, ο αριθμητικός μέσος όρος υπολογίζεται πρώτα κατά ένα ψηφίο περισσότερο από τη μέτρηση και κατά την καταγραφή του αποτελέσματος, η τιμή του εξευγενίζεται στον αριθμό των ψηφίων του συνολικού σφάλματος.

4. Μεθοδολογία υπολογισμού σφαλμάτων μέτρησης.

Σφάλματα άμεσων μετρήσεων

Κατά την επεξεργασία των αποτελεσμάτων των άμεσων μετρήσεων, συνιστάται η υιοθέτηση της ακόλουθης σειράς λειτουργιών.

. (8)

Καθορίζεται το συνολικό σφάλμα

Εκτιμάται το σχετικό σφάλμα του αποτελέσματος της μέτρησης

Το τελικό αποτέλεσμα γράφεται ως

, με α=… E=…%.

5. Σφάλμα έμμεσων μετρήσεων

Κατά την αξιολόγηση της πραγματικής τιμής μιας έμμεσα μετρούμενης ποσότητας, η οποία είναι συνάρτηση άλλων ανεξάρτητων μεγεθών
, μπορούν να χρησιμοποιηθούν δύο μέθοδοι.

Πρώτος τρόποςχρησιμοποιείται εάν η τιμή yπροσδιορίζεται κάτω από διάφορες πειραματικές συνθήκες. Σε αυτήν την περίπτωση, για κάθε μία από τις τιμές,
, και στη συνέχεια καθορίζεται ο αριθμητικός μέσος όρος όλων των τιμών y Εγώ

. (9)

Το συστηματικό (οργανικό) σφάλμα βρίσκεται με βάση τα γνωστά σφάλματα οργάνων όλων των μετρήσεων σύμφωνα με τον τύπο. Το τυχαίο σφάλμα σε αυτή την περίπτωση ορίζεται ως το άμεσο σφάλμα μέτρησης.

Δεύτερος τρόποςισχύει εάν δεδομένη λειτουργία y προσδιορίζεται πολλές φορές με τις ίδιες μετρήσεις. Στην περίπτωση αυτή, η τιμή υπολογίζεται από τις μέσες τιμές. Στην εργαστηριακή μας πρακτική, χρησιμοποιείται συχνότερα η δεύτερη μέθοδος προσδιορισμού της έμμεσα μετρούμενης ποσότητας y. Το συστηματικό (οργανικό) σφάλμα, όπως και στην πρώτη μέθοδο, βρίσκεται με βάση τα γνωστά σφάλματα οργάνων όλων των μετρήσεων σύμφωνα με τον τύπο

Για να βρείτε ένα τυχαίο σφάλμα έμμεση μέτρησηΑρχικά, υπολογίζονται τα μέσα τετραγωνικά σφάλματα του αριθμητικού μέσου όρου των επιμέρους μετρήσεων. Τότε βρίσκεται το ριζικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα y. Η ρύθμιση της πιθανότητας εμπιστοσύνης α, η εύρεση του συντελεστή Student, ο προσδιορισμός των τυχαίων και των συνολικών σφαλμάτων πραγματοποιούνται με τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση των άμεσων μετρήσεων. Ομοίως, το αποτέλεσμα όλων των υπολογισμών παρουσιάζεται στη φόρμα

, με α=… E=…%.

6. Παράδειγμα σχεδιασμού εργαστηριακής εργασίας

Εργαστήριο #1

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΟΓΚΟΥ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

Αξεσουάρ:δαγκάνα βερνιέ με τιμή διαίρεσης 0,05 mm, μικρόμετρο με τιμή διαίρεσης 0,01 mm, σώμα κυλινδρικό.

Σκοπός:εξοικείωση με τις απλούστερες φυσικές μετρήσεις, προσδιορισμός όγκου κυλίνδρου, υπολογισμός σφαλμάτων άμεσων και έμμεσων μετρήσεων.

Εντολή εργασίας

Κάντε τουλάχιστον 5 μετρήσεις της διαμέτρου του κυλίνδρου με παχύμετρο και του ύψους του με ένα μικρόμετρο.

Τύπος υπολογισμού για τον υπολογισμό του όγκου ενός κυλίνδρου

όπου d είναι η διάμετρος του κυλίνδρου. h είναι το ύψος.

Αποτελέσματα μετρήσεων

Πίνακας 2.

;

Απόλυτο λάθος

;
.

5. Σχετικό σφάλμα ή ακρίβεια μέτρησης

; Ε = 0,5%.

6. Καταγραφή του τελικού αποτελέσματος

Το τελικό αποτέλεσμα για την υπό μελέτη ποσότητα γράφεται ως

, Ε = 0,5%.

Σημείωση. Στην τελική εγγραφή, ο αριθμός των ψηφίων του αποτελέσματος και το απόλυτο σφάλμα πρέπει να είναι το ίδιο.

6. Γραφική αναπαράσταση των αποτελεσμάτων των μετρήσεων

Τα αποτελέσματα των φυσικών μετρήσεων παρουσιάζονται πολύ συχνά σε γραφική μορφή. Τα γραφήματα έχουν μια σειρά από σημαντικά πλεονεκτήματα και πολύτιμες ιδιότητες:

α) καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό του τύπου της λειτουργικής εξάρτησης και των ορίων στα οποία ισχύει·

β) καθιστούν δυνατή την οπτική σύγκριση των πειραματικών δεδομένων με τη θεωρητική καμπύλη.

γ) κατά την κατασκευή ενός γραφήματος, εξομαλύνουν τα άλματα κατά τη διάρκεια μιας συνάρτησης που εμφανίζονται λόγω τυχαίων σφαλμάτων.

δ) καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό ορισμένων μεγεθών ή τη διεξαγωγή γραφικής διαφοροποίησης, ολοκλήρωσης, επίλυσης μιας εξίσωσης κ.λπ.

Τα Rafiki, κατά κανόνα, εκτελούνται σε ειδικό χαρτί (χιλιομετρικό, λογαριθμικό, ημι-λογαριθμικό). Συνηθίζεται να γράφουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή κατά μήκος του οριζόντιου άξονα, δηλ. η τιμή, η τιμή της οποίας ορίζεται από τον ίδιο τον πειραματιστή, και κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα, η τιμή που καθορίζει σε αυτήν την περίπτωση. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η τομή των αξόνων συντεταγμένων δεν χρειάζεται να συμπίπτει με τις μηδενικές τιμές των x και y. Κατά την επιλογή της προέλευσης των συντεταγμένων, θα πρέπει να καθοδηγείται από το γεγονός ότι ολόκληρη η περιοχή του σχεδίου χρησιμοποιείται πλήρως (Εικ. 2.).

Στους άξονες συντεταγμένων του γραφήματος δεν αναγράφονται μόνο τα ονόματα ή τα σύμβολα των μεγεθών, αλλά και οι μονάδες μέτρησής τους. Η κλίμακα κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε τα σημεία μέτρησης να βρίσκονται σε ολόκληρη την περιοχή του φύλλου. Ταυτόχρονα, η κλίμακα θα πρέπει να είναι απλή, ώστε όταν σχεδιάζει κανείς σημεία σε ένα γράφημα, να μην κάνει αριθμητικούς υπολογισμούς στο μυαλό.

Τα πειραματικά σημεία στο γράφημα πρέπει να εμφανίζονται με ακρίβεια και ευκρίνεια. Σημεία που λαμβάνονται υπό διαφορετικές πειραματικές συνθήκες (για παράδειγμα, όταν θερμαίνονται και ψύχονται) είναι χρήσιμα για εφαρμογή διαφορετικά χρώματαή διαφορετικά εικονίδια. Εάν το σφάλμα του πειράματος είναι γνωστό, τότε αντί για ένα σημείο είναι καλύτερο να απεικονίσετε έναν σταυρό ή ένα ορθογώνιο, οι διαστάσεις του οποίου κατά μήκος των αξόνων αντιστοιχούν σε αυτό το σφάλμα. Δεν συνιστάται η σύνδεση των πειραματικών σημείων μεταξύ τους με διακεκομμένη γραμμή. Η καμπύλη στο γράφημα θα πρέπει να σχεδιάζεται ομαλά, βεβαιώνοντας ότι τα πειραματικά σημεία βρίσκονται τόσο πάνω όσο και κάτω από την καμπύλη, όπως φαίνεται στο Σχ.3.

Κατά τη χάραξη γραφημάτων, εκτός από ένα σύστημα συντεταγμένων με ομοιόμορφη κλίμακα, χρησιμοποιούνται οι λεγόμενες συναρτησιακές κλίμακες. Επιλέγοντας τις κατάλληλες συναρτήσεις x και y, μπορείτε να πάρετε μια απλούστερη γραμμή στο γράφημα από ό,τι με τη συνηθισμένη κατασκευή. Αυτό είναι συχνά απαραίτητο κατά την επιλογή αυτό το πρόγραμματύπους για τον προσδιορισμό των παραμέτρων του. Οι λειτουργικές κλίμακες χρησιμοποιούνται επίσης σε περιπτώσεις όπου είναι απαραίτητο να τεντωθεί ή να βραχυνθεί οποιοδήποτε μέρος της καμπύλης στο γράφημα. Τις περισσότερες φορές, από τις συναρτησιακές κλίμακες, χρησιμοποιείται η λογαριθμική κλίμακα (Εικ. 4).

Εγγραφο

Από συγκεκριμένες συνθήκες, απαιτήσεις και ευκαιρίες υπολογίζειΣφάλματαΑποτελέσματαΜετρήσεις. Σύμφωνα με τις γενικές αρχές της θεωρίας της πληροφορίας...

Λάθη μέτρησης

Εγγραφο

V.I. Iveronova. M., Nauka, 1967. 4. P. V. Novitsky, I. A. Zograf. ΒαθμόςΣφάλματαΑποτελέσματαΜετρήσεις. L., Energoatomizdat, 1991. 5. Εργαστηριακές εργασίεςεπί...

Οδηγίες για τον προσδιορισμό σφαλμάτων στις μετρήσεις σε εργαστήριο φυσικής

Κατευθυντήριες γραμμές

... Μετρήσειςη επιθυμητή τιμή περιλαμβάνει χωρίς αποτυχία ΒαθμόςΣφάλματαέλαβε αποτέλεσμα. Χωρίς τέτοια υπολογίζειαποτέλεσμα... απόλυτη τιμή Σφάλματακαι τον εαυτό μου αποτέλεσμαΜετρήσεις. Συνήθως, η ακρίβεια υπολογίζειΣφάλματααποδεικνύεται πολύ...

Μέτρηση Αρ.

ΛΑΘΗ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΣΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΗΣ

με μέτρησηονομάζεται εύρεση των τιμών των φυσικών μεγεθών εμπειρικά με τη βοήθεια ειδικών τεχνικά μέσα. Οι μετρήσεις είναι είτε άμεσες είτε έμμεσες. Στο απευθείαςμέτρηση, η επιθυμητή τιμή μιας φυσικής ποσότητας βρίσκεται απευθείας με τη βοήθεια οργάνων μέτρησης (για παράδειγμα, μέτρηση των διαστάσεων των σωμάτων με τη χρήση παχύμετρου). Εμμεσοςονομάζεται μέτρηση στην οποία η επιθυμητή τιμή μιας φυσικής ποσότητας βρίσκεται με βάση μια γνωστή λειτουργική σχέση μεταξύ της μετρούμενης ποσότητας και των ποσοτήτων που υποβάλλονται σε άμεσες μετρήσεις. Για παράδειγμα, κατά τον προσδιορισμό του όγκου V ενός κυλίνδρου, μετράται η διάμετρος D και το ύψος του H και στη συνέχεια σύμφωνα με τον τύποΠ Δ 2 /4 υπολογίστε τον όγκο του.

Λόγω της ανακρίβειας των οργάνων μέτρησης και της δυσκολίας να ληφθούν υπόψη όλες οι παρενέργειες στις μετρήσεις, αναπόφευκτα προκύπτουν σφάλματα μέτρησης. λάθοςή λάθοςΗ μέτρηση αναφέρεται στην απόκλιση του αποτελέσματος της μέτρησης από την πραγματική τιμή της μετρούμενης φυσικής ποσότητας. Το σφάλμα μέτρησης είναι συνήθως άγνωστο, όπως και η πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας. Επομένως, το καθήκον της στοιχειώδους επεξεργασίας των αποτελεσμάτων των μετρήσεων είναι να καθορίσει το διάστημα εντός του οποίου βρίσκεται η πραγματική τιμή του μετρούμενου φυσικού μεγέθους με μια δεδομένη πιθανότητα.

Ταξινόμηση σφαλμάτων μέτρησης

Τα σφάλματα χωρίζονται σε τρεις τύπους:

1) ακαθάριστο ή αστοχία,

2) συστηματική,

3) τυχαία.

χονδροειδή λάθη- πρόκειται για λανθασμένες μετρήσεις που προκύπτουν από απρόσεκτη ανάγνωση στη συσκευή, δυσανάγνωστη καταγραφή μετρήσεων. Για παράδειγμα, γράφοντας ένα αποτέλεσμα 26,5 αντί για 2,65. ανάγνωση σε κλίμακα 18 αντί για 13 κ.λπ. Εάν εντοπιστεί ένα μεγάλο σφάλμα, το αποτέλεσμα αυτής της μέτρησης θα πρέπει να απορριφθεί αμέσως και η ίδια η μέτρηση θα πρέπει να επαναληφθεί.

Συστηματικά λάθη- σφάλματα που παραμένουν σταθερά κατά τις επαναλαμβανόμενες μετρήσεις ή αλλάζουν σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο νόμο. Αυτά τα σφάλματα μπορεί να οφείλονται σε λανθασμένη επιλογή μεθόδου μέτρησης, ατέλεια ή δυσλειτουργία των οργάνων (για παράδειγμα, μετρήσεις με χρήση οργάνου με μηδενική μετατόπιση). Για να εξαλειφθούν όσο το δυνατόν περισσότερο τα συστηματικά λάθη, θα πρέπει πάντα να αναλύονται προσεκτικά μέθοδος μέτρησης, συγκρίνετε συσκευές με πρότυπα. Στο μέλλον, θα υποθέσουμε ότι όλα τα συστηματικά σφάλματα έχουν εξαλειφθεί, εκτός από αυτά που προκαλούνται από ανακρίβειες στην κατασκευή συσκευών και λάθη ανάγνωσης. Θα ονομάσουμε αυτό το σφάλμα σκεύη, εξαρτήματα.

Τυχαία σφάλματα - Πρόκειται για σφάλματα, η αιτία των οποίων δεν μπορεί να ληφθεί εκ των προτέρων υπόψη. Τα τυχαία σφάλματα εξαρτώνται από την ατέλεια των αισθητήριων οργάνων μας, από τη συνεχή δράση των μεταβαλλόμενων εξωτερικών συνθηκών (μεταβολές θερμοκρασίας, πίεσης, υγρασίας, δόνησης αέρα κ.λπ.). Τα τυχαία σφάλματα είναι αναπόφευκτα, υπάρχουν αναπόφευκτα σε όλες τις μετρήσεις, αλλά μπορούν να εκτιμηθούν χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της θεωρίας πιθανοτήτων.

Επεξεργασία των αποτελεσμάτων των άμεσων μετρήσεων

Ας ληφθεί, ως αποτέλεσμα άμεσων μετρήσεων μιας φυσικής ποσότητας, μια σειρά από τις τιμές της:

x 1 , x 2 , ... x n .

Γνωρίζοντας αυτήν τη σειρά αριθμών, πρέπει να υποδείξετε την τιμή που βρίσκεται πλησιέστερα στην πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής και να βρείτε την τιμή του τυχαίου σφάλματος. Το πρόβλημα αυτό επιλύεται με βάση τη θεωρία πιθανοτήτων, η αναλυτική παρουσίαση της οποίας ξεφεύγει από το μάθημά μας.

Η πιο πιθανή τιμή του μετρούμενου φυσικού μεγέθους (κοντά στην πραγματική τιμή) είναι ο αριθμητικός μέσος όρος

. (1)

Εδώ το x i είναι το αποτέλεσμα της i-ης μέτρησης. n είναι ο αριθμός των μετρήσεων. Το τυχαίο σφάλμα μέτρησης μπορεί να εκτιμηθεί από το απόλυτο σφάλμαρε x, το οποίο υπολογίζεται από τον τύπο

, (2)

όπου t(a ,n) - Συντελεστής μαθητή, ανάλογα με τον αριθμό των μετρήσεων n και το επίπεδο εμπιστοσύνηςένα . Αξία εμπιστοσύνηςένα που ορίζεται από τον πειραματιστή.

Πιθανότητατυχαίο συμβάν είναι η αναλογία του αριθμού των περιπτώσεων ευνοϊκών για αυτό το συμβάν προς τον συνολικό αριθμό των εξίσου πιθανών περιπτώσεων. Η πιθανότητα ενός σίγουρου γεγονότος είναι 1 και ενός αδύνατου είναι 0.

Η τιμή του συντελεστή του Μαθητή που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνηςένα και ορισμένο αριθμό μετρήσεων n, βρείτε σύμφωνα με τον πίνακα. ένας.

Τραπέζι 1

Αριθμός μετρήσεις n	Πιθανότητα εμπιστοσύνηςένα
Αριθμός μετρήσεις n		0,95	0,98
	1,38	12,7	31,8
	1,06
	0,98
	0,94
	0,92
	0,90
	0,90
	0,90
	0,88
	0,84

Από τον πίνακα. 1 μπορεί να φανεί ότι η τιμή του συντελεστή του μαθητή και το τυχαίο σφάλμα μέτρησης είναι όσο μικρότερο, όσο μεγαλύτερο το n και το μικρότεροένα . Πρακτικά επιλέξτεένα =0,95. Ωστόσο, μια απλή αύξηση του αριθμού των μετρήσεων δεν μπορεί να μειώσει το συνολικό σφάλμα στο μηδέν, αφού οποιαδήποτε συσκευή μέτρησης δίνει σφάλμα.

Ας εξηγήσουμε την έννοια των όρων απόλυτο σφάλμαρε x και επίπεδο εμπιστοσύνηςένα χρησιμοποιώντας την αριθμητική γραμμή. Έστω η μέση τιμή της μετρούμενης ποσότητας (Εικ. 1), και το υπολογισμένο απόλυτο σφάλμα Dx. Αφήστε στην άκρη Δ x από δεξιά και αριστερά. Το αριθμητικό διάστημα που προκύπτει από ( - D x) έως ( + Δ x) καλείται διάστημα εμπιστοσύνης. Μέσα σε αυτό το διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκεται η πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας x.

Εικ.1

Εάν οι μετρήσεις της ίδιας ποσότητας επαναληφθούν από τα ίδια όργανα υπό τις ίδιες συνθήκες, τότε η πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας x ist θα πέσει στο ίδιο διάστημα εμπιστοσύνης, αλλά το χτύπημα δεν θα είναι αξιόπιστο, αλλά με πιθανότηταένα.

Υπολογισμός του μεγέθους του απόλυτου σφάλματοςρε x από τον τύπο (2), η πραγματική τιμή x της μετρούμενης φυσικής ποσότητας μπορεί να γραφτεί ως x= ±Dx.

Για να εκτιμήσετε την ακρίβεια της μέτρησης ενός φυσικού μεγέθους, υπολογίστε σχετικό σφάλμαπου συνήθως εκφράζεται ως ποσοστό

. (3)

Έτσι, κατά την επεξεργασία των αποτελεσμάτων των άμεσων μετρήσεων, είναι απαραίτητο να κάνετε τα εξής:

1. Κάντε μετρήσεις n φορές.

2. Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο όρο χρησιμοποιώντας τον τύπο (1).

3. Ορίστε ένα επίπεδο εμπιστοσύνης a (συνήθως λαμβάνετε a = 0,95).

4. Σύμφωνα με τον Πίνακα 1, βρείτε τον συντελεστή Μαθητή που αντιστοιχεί στο δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνηςένα και ο αριθμός των διαστάσεων n.

5. Υπολογίστε το απόλυτο σφάλμα χρησιμοποιώντας τον τύπο (2) και συγκρίνετε το με το ενόργανο. Για περαιτέρω υπολογισμούς, πάρτε αυτό που είναι μεγαλύτερο.

6. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (3), υπολογίστε το σχετικό σφάλμαμι.

7. Καταγράψτε το τελικό αποτέλεσμα

x= ±D Χ. με ένδειξη σχετικού σφάλματοςμι και επίπεδο εμπιστοσύνηςένα.

Επεξεργασία των αποτελεσμάτων έμμεσων μετρήσεων

Αφήστε το επιθυμητό φυσικό μέγεθος y να συσχετιστεί με άλλα μεγέθη x 1 , x 2 , ... x k από κάποια λειτουργική εξάρτηση

Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)

Μεταξύ των τιμών x 1 , x 2 , ... x k υπάρχουν τιμές που λαμβάνονται από άμεσες μετρήσεις και δεδομένα πίνακα. Απαιτείται ο προσδιορισμός του απόλυτουρε y και συγγενήςμι λάθη στην τιμή του y.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, είναι ευκολότερο να υπολογιστεί πρώτα το σχετικό σφάλμα και μετά το απόλυτο σφάλμα. Από τη θεωρία των πιθανοτήτων, το σχετικό σφάλμα της έμμεσης μέτρησης

. (5)

Εδώ , όπου είναι η μερική παράγωγος της συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή x i, στον υπολογισμό της οποίας όλες οι τιμές, εκτός από το x i, θεωρούνται σταθερές.ρε x i είναι το απόλυτο σφάλμα του x i . Αν το x i λαμβάνεται ως αποτέλεσμα άμεσων μετρήσεων, τότε η μέση τιμή του και απόλυτο λάθοςρε Το x υπολογίζεται με τους τύπους (1) και (2). Για όλες τις μετρούμενες τιμές x i δίνεται η ίδια πιθανότητα εμπιστοσύνηςένα . Εάν οποιοσδήποτε από τους όρους στο τετράγωνο της παράστασης (5) είναι μια τάξη μεγέθους (10 φορές) μικρότερος από άλλους όρους, τότε μπορεί να αγνοηθεί. Αυτό πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά την επιλογή τιμών πίνακα (Π , g, κ.λπ.) περιλαμβάνονται στον τύπο σχετικού σφάλματος. Η τιμή τους πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε το σχετικό τους σφάλμα να είναι μια τάξη μεγέθους μικρότερο από το μεγαλύτερο σχετικό σφάλμα.

Ας γράψουμε το τελικό αποτέλεσμα:

y= ±Δυ.

Εδώ - τη μέση τιμή της έμμεσης μέτρησης, που λαμβάνεται με τον τύπο (4) αντικαθιστώντας τις μέσες τιμές x i σε αυτήν. Dy= ε .

Συνήθως, τόσο τυχαία όσο και συστηματικά (οργανικά) σφάλματα υπάρχουν σε πραγματικές μετρήσεις. Εάν το υπολογισμένο τυχαίο σφάλμα των άμεσων μετρήσεων είναι ίσο με μηδέν ή μικρότερο από το σφάλμα υλικού κατά δύο ή περισσότερες φορές, τότε κατά τον υπολογισμό του σφάλματος έμμεσων μετρήσεων, θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη το σφάλμα υλικού. Εάν αυτά τα σφάλματα διαφέρουν λιγότερο από δύο φορές, τότε το απόλυτο σφάλμα υπολογίζεται από τον τύπο

Εξετάστε ένα παράδειγμα. Ας είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τον όγκο του κυλίνδρου:

. (6)

Εδώ D είναι η διάμετρος του κυλίνδρου, H είναι το ύψος του, μετρημένο με παχύμετρο βερνιέ με τιμή διαίρεσης 0,1 mm. Ως αποτέλεσμα επαναλαμβανόμενων μετρήσεων, βρίσκουμε τις μέσες τιμές =10,0 mm και =40,0 χλστ. Το σχετικό σφάλμα της έμμεσης μέτρησης του όγκου του κυλίνδρου προσδιορίζεται από τον τύπο

, (7)

όπου D D και D H είναι απόλυτα σφάλματα των άμεσων μετρήσεων διαμέτρου και ύψους. Οι τιμές τους υπολογίζονται με τον τύπο (2): D D=0,01 mm; ρε H=0,13 mm. Ας συγκρίνουμε τα υπολογισμένα σφάλματα με το υλικό, ίσο με την τιμή διαίρεσης του διαβήτη.ρε ρε<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо ρε Το D δεν είναι 0,01 mm, αλλά 0,1 mm.

τιμή p πρέπει να επιλεγεί έτσι ώστε το σχετικό σφάλμα Dp/p στον τύπο (7) θα μπορούσε να αγνοηθεί. Από ανάλυση μετρούμενων τιμών και υπολογισμένων απόλυτων σφαλμάτωνΔ Δ και Δ H, μπορεί να φανεί ότι το σφάλμα μέτρησης ύψους συμβάλλει περισσότερο στο σχετικό σφάλμα μέτρησης όγκου. Ο υπολογισμός του σχετικού ύψους σφάλματος δίνει e H =0,01. Ως εκ τούτου, η αξίαΠ πρέπει να πάρετε το 3.14. Σε αυτήν την περίπτωση Dp / p » 0,001 (Dp =3,142-3,14=0,002).

Ένα σημαντικό ποσοστό παραμένει στο απόλυτο σφάλμα.

Σημειώσεις.

1. Εάν οι μετρήσεις γίνονται μία φορά ή τα αποτελέσματα πολλαπλών μετρήσεων είναι τα ίδια, τότε το απόλυτο σφάλμα μέτρησης θα πρέπει να λαμβάνεται ως σφάλμα οργάνου, το οποίο για τα περισσότερα από τα όργανα που χρησιμοποιούνται είναι ίσο με την τιμή διαίρεσης του οργάνου (για περισσότερα λεπτομέρειες σχετικά με το σφάλμα οργάνου, δείτε την ενότητα «Όργανα μέτρησης»).

2. Εάν δίνονται πίνακες ή πειραματικά δεδομένα χωρίς να προσδιορίζεται το σφάλμα, τότε το απόλυτο σφάλμα τέτοιων αριθμών λαμβάνεται ίσο με το μισό της τάξης του τελευταίου σημαντικού ψηφίου.

Ενέργειες με κατά προσέγγιση αριθμούς

Το θέμα της διαφορετικής ακρίβειας υπολογισμού είναι πολύ σημαντικό, καθώς η υπερεκτίμηση της ακρίβειας υπολογισμού οδηγεί σε μεγάλο όγκο περιττών εργασιών. Οι μαθητές συχνά υπολογίζουν την τιμή που αναζητούν με ακρίβεια πέντε ή περισσότερων σημαντικών ψηφίων. Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι αυτή η ακρίβεια είναι υπερβολική. Δεν έχει νόημα να διεξάγουμε υπολογισμούς πέρα από το όριο ακρίβειας, το οποίο παρέχεται από την ακρίβεια του προσδιορισμού των άμεσα μετρούμενων μεγεθών. Μετά την επεξεργασία των μετρήσεων, συχνά δεν υπολογίζουν τα σφάλματα μεμονωμένων αποτελεσμάτων και κρίνουν το σφάλμα της κατά προσέγγιση τιμής της ποσότητας, υποδεικνύοντας τον αριθμό των σωστών σημαντικών ψηφίων σε αυτόν τον αριθμό.

Παραδειγματικές φυγούρεςΈνας κατά προσέγγιση αριθμός ονομάζεται όλα τα ψηφία εκτός από το μηδέν, καθώς και μηδέν σε δύο περιπτώσεις:

1) όταν βρίσκεται μεταξύ σημαντικών αριθμών (για παράδειγμα, στον αριθμό 1071 - τέσσερα σημαντικά στοιχεία).

2) όταν βρίσκεται στο τέλος του αριθμού και όταν είναι γνωστό ότι η μονάδα του αντίστοιχου ψηφίου δεν είναι διαθέσιμη στον συγκεκριμένο αριθμό. Παράδειγμα. Υπάρχουν τρία σημαντικά ψηφία στον αριθμό 5,20 και αυτό σημαίνει ότι κατά τη μέτρηση λάβαμε υπόψη όχι μόνο μονάδες, αλλά και δέκατα και εκατοστά, και στον αριθμό 5,2 - μόνο δύο σημαντικά ψηφία, που σημαίνει ότι λάβαμε υπόψη μόνο ακέραιους αριθμούς και δέκατα.

Οι κατά προσέγγιση υπολογισμοί πρέπει να γίνονται σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες.

1. Κατά την πρόσθεση και αφαίρεσηΩς αποτέλεσμα, διατηρήστε τόσα δεκαδικά ψηφία όσα υπάρχουν στον αριθμό με τον μικρότερο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Για παράδειγμα: 0,8934+3,24+1,188=5,3214» 5.32. Το ποσό πρέπει να στρογγυλοποιηθεί στα εκατοστά, δηλ. πάρτε ίσο με 5,32.

2. Κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεσηΩς αποτέλεσμα, διατηρούνται τόσα σημαντικά ψηφία όσα έχει ο κατά προσέγγιση αριθμός με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία. Για παράδειγμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 8,632''2,8'' 3.53. Αντίθετα, οι εκφράσεις θα πρέπει να αξιολογούνται

8,6 ´ 2,8 ´ 3,5 » 81.

Κατά τον υπολογισμό των ενδιάμεσων αποτελεσμάτων, αποθηκεύουν ένα ψηφίο περισσότερο από αυτό που συνιστούν οι κανόνες (το λεγόμενο εφεδρικό ψηφίο). Στο τελικό αποτέλεσμα, το εφεδρικό ψηφίο απορρίπτεται. Για να διευκρινίσετε την τιμή του τελευταίου σημαντικού ψηφίου του αποτελέσματος, πρέπει να υπολογίσετε το ψηφίο πίσω από αυτό. Εάν αποδειχθεί ότι είναι λιγότερο από πέντε, θα πρέπει απλώς να απορριφθεί, και εάν πέντε ή περισσότερα από πέντε, τότε, αφού το απορρίψετε, ο προηγούμενος αριθμός θα πρέπει να αυξηθεί κατά ένα. Συνήθως, ένα σημαντικό ψηφίο παραμένει στο απόλυτο σφάλμα και η μετρούμενη τιμή στρογγυλοποιείται στο ψηφίο στο οποίο βρίσκεται το σημαντικό ψηφίο του απόλυτου σφάλματος.

3. Το αποτέλεσμα του υπολογισμού των τιμών των συναρτήσεων x n , , lg( Χ) κάποιο κατά προσέγγιση αριθμό Χπρέπει να περιέχει τόσα σημαντικά ψηφία όσα υπάρχουν στον αριθμό Χ. Για παράδειγμα: .

Κατασκευή διαγράμματος

Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται κατά την εκτέλεση εργαστηριακών εργασιών είναι συχνά σημαντικά και πρέπει να παρουσιάζονται σε μια γραφική σχέση. Για να κατασκευαστεί ένα γράφημα, είναι απαραίτητο, με βάση τις μετρήσεις που έγιναν, να καταρτιστεί ένας πίνακας στον οποίο κάθε τιμή του ενός από τα μεγέθη αντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή του άλλου.

Οι γραφικές παραστάσεις γίνονται σε γραφικό χαρτί. Κατά την κατασκευή ενός γραφήματος, οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής πρέπει να απεικονίζονται στην τετμημένη και οι τιμές της συνάρτησης στην τεταγμένη. Κοντά σε κάθε άξονα, πρέπει να γράψετε τον προσδιορισμό της εμφανιζόμενης τιμής και να υποδείξετε σε ποιες μονάδες μετράται (Εικ. 2).

Εικ.2

Για τη σωστή κατασκευή του γραφήματος, η επιλογή της κλίμακας είναι σημαντική: η καμπύλη καταλαμβάνει ολόκληρο το φύλλο και οι διαστάσεις του γραφήματος σε μήκος και ύψος είναι περίπου οι ίδιες. Η κλίμακα πρέπει να είναι απλή. Ο ευκολότερος τρόπος είναι εάν η μονάδα της μετρούμενης τιμής (0,1; 10; 100, κ.λπ.) αντιστοιχεί σε 1, 2 ή 5 cm. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η τομή των αξόνων συντεταγμένων δεν χρειάζεται να συμπίπτει με το μηδενικές τιμές των τιμών που απεικονίζονται (Εικ. 2).

Κάθε πειραματική τιμή που λαμβάνεται απεικονίζεται στο γράφημα με αρκετά αξιοσημείωτο τρόπο: μια τελεία, ένας σταυρός κ.λπ.

Τα σφάλματα υποδεικνύονται για τις μετρούμενες τιμές με τη μορφή τμημάτων με μήκος διαστήματος εμπιστοσύνης, στο κέντρο των οποίων βρίσκονται τα πειραματικά σημεία. Δεδομένου ότι η ένδειξη των σφαλμάτων κατακλύζει το γράφημα, αυτό γίνεται μόνο όταν χρειάζονται πραγματικά πληροφορίες για τα σφάλματα: κατά την κατασκευή μιας καμπύλης από πειραματικά σημεία, κατά τον προσδιορισμό σφαλμάτων χρησιμοποιώντας ένα γράφημα, κατά τη σύγκριση των πειραματικών δεδομένων με μια θεωρητική καμπύλη (Εικόνα 2) . Συχνά αρκεί να προσδιορίσετε το σφάλμα για ένα ή περισσότερα σημεία.

Είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια ομαλή καμπύλη μέσα από τα πειραματικά σημεία. Συχνά, τα πειραματικά σημεία συνδέονται με μια απλή διακεκομμένη γραμμή. Έτσι, όπως λέμε, υποδεικνύεται ότι οι ποσότητες εξαρτώνται η μία από την άλλη με κάποιο αλματώδη τρόπο. Και αυτό είναι απίστευτο. Η καμπύλη πρέπει να είναι ομαλή και μπορεί να μην διέρχεται από τα σημειωμένα σημεία, αλλά κοντά σε αυτά, ώστε αυτά τα σημεία να βρίσκονται και στις δύο πλευρές της καμπύλης στην ίδια απόσταση από αυτήν. Εάν οποιοδήποτε σημείο πέσει έντονα έξω από το γράφημα, τότε αυτή η μέτρηση θα πρέπει να επαναληφθεί. Επομένως, είναι επιθυμητό να δημιουργηθεί ένα γράφημα απευθείας κατά τη διάρκεια του πειράματος. Το γράφημα μπορεί στη συνέχεια να χρησιμεύσει για τον έλεγχο και τη βελτίωση των παρατηρήσεων.

ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΛΑΘΩΝ ΤΟΥΣ

Τα όργανα μέτρησης χρησιμοποιούνται για άμεσες μετρήσεις φυσικών μεγεθών. Οποιαδήποτε όργανα μέτρησης δεν δίνουν την πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής. Αυτό οφείλεται, πρώτον, στο γεγονός ότι είναι αδύνατο να διαβαστεί με ακρίβεια η μετρούμενη τιμή στην κλίμακα του οργάνου και, δεύτερον, στην ανακρίβεια στην κατασκευή οργάνων μέτρησης. Για να ληφθεί υπόψη ο πρώτος παράγοντας, εισάγεται το σφάλμα ανάγνωσης Δx o, για το δεύτερο - το επιτρεπόμενο σφάλμαΔ XD. Το άθροισμα αυτών των σφαλμάτων αποτελεί το οργανικό ή απόλυτο σφάλμα της συσκευήςΔ Χ:

Το επιτρεπόμενο σφάλμα κανονικοποιείται από τα κρατικά πρότυπα και υποδεικνύεται στο διαβατήριο ή στην περιγραφή της συσκευής.

Το σφάλμα ανάγνωσης λαμβάνεται συνήθως ίσο με το ήμισυ της διαίρεσης του οργάνου, αλλά για ορισμένα όργανα (χρονόμετρο, βαρόμετρο ανεροειδούς) - ίσο με τη διαίρεση του οργάνου (καθώς η θέση του βέλους αυτών των οργάνων αλλάζει σε άλματα κατά μία διαίρεση) και ακόμη και πολλές διαιρέσεις της κλίμακας, εάν οι συνθήκες του πειράματος δεν επιτρέπουν την σίγουρη μέτρηση μέχρι μία διαίρεση (για παράδειγμα, με χοντρό δείκτη ή κακό φωτισμό). Έτσι, το σφάλμα μέτρησης ορίζεται από τον ίδιο τον πειραματιστή, αντικατοπτρίζοντας στην πραγματικότητα τις συνθήκες ενός συγκεκριμένου πειράματος.

Εάν το επιτρεπόμενο σφάλμα είναι πολύ μικρότερο από το σφάλμα ανάγνωσης, τότε μπορεί να αγνοηθεί. Συνήθως, το απόλυτο σφάλμα του οργάνου λαμβάνεται ίσο με τη διαίρεση κλίμακας του οργάνου.

Οι χάρακες μέτρησης έχουν συνήθως διαιρέσεις χιλιοστών. Για μέτρηση, συνιστάται η χρήση χάλυβα ή χάρακα σχεδίασης με λοξότμηση. Το επιτρεπόμενο σφάλμα τέτοιων χάρακα είναι 0,1 mm και μπορεί να αγνοηθεί, καθώς είναι πολύ μικρότερο από το σφάλμα ανάγνωσης ίσο με ± 0,5 χλστ. Επιτρεπτό σφάλμα ξύλινων και πλαστικών χάρακων± 1 mm.

Το επιτρεπόμενο σφάλμα μέτρησης ενός μικρομέτρου εξαρτάται από το ανώτερο όριο μέτρησης και μπορεί να είναι ± (3-4) μm (για μικρόμετρα με εύρος μέτρησης 0-25 mm). Το ήμισυ της τιμής διαίρεσης λαμβάνεται ως το σφάλμα ανάγνωσης. Έτσι, το απόλυτο σφάλμα του μικρομέτρου μπορεί να ληφθεί ίσο με την τιμή διαίρεσης, δηλ. 0,01 χλστ.

Κατά τη ζύγιση, το επιτρεπόμενο σφάλμα της τεχνικής ζυγαριάς εξαρτάται από το φορτίο και ανέρχεται σε 50 mg για φορτίο 20 έως 200 g και 25 mg για φορτίο μικρότερο από 20 g.

Το σφάλμα των ψηφιακών οργάνων καθορίζεται από την κατηγορία ακρίβειας.

Στη γενική περίπτωση, η διαδικασία επεξεργασίας των αποτελεσμάτων των άμεσων μετρήσεων έχει ως εξής (υποτίθεται ότι δεν υπάρχουν συστηματικά σφάλματα).

Περίπτωση 1Ο αριθμός των μετρήσεων είναι μικρότερος από πέντε.

Χ, ορίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος των αποτελεσμάτων όλων των μετρήσεων, δηλ.

2) Σύμφωνα με τον τύπο (12), υπολογίζονται τα απόλυτα σφάλματα των επιμέρους μετρήσεων

3) Σύμφωνα με τον τύπο (14), προσδιορίζεται το μέσο απόλυτο σφάλμα

4) Σύμφωνα με τον τύπο (15), υπολογίζεται το μέσο σχετικό σφάλμα του αποτελέσματος της μέτρησης

5) Καταγράψτε το τελικό αποτέλεσμα στην ακόλουθη μορφή:

Περίπτωση 2. Ο αριθμός των μετρήσεων είναι πάνω από πέντε.

1) Σύμφωνα με τον τύπο (6), βρίσκεται το μέσο αποτέλεσμα

2) Σύμφωνα με τον τύπο (12), προσδιορίζονται τα απόλυτα σφάλματα των επιμέρους μετρήσεων

3) Σύμφωνα με τον τύπο (7), υπολογίζεται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα μιας μόνο μέτρησης

4) Υπολογίστε την τυπική απόκλιση για τη μέση τιμή της μετρούμενης τιμής με τον τύπο (9).

5) Το τελικό αποτέλεσμα καταγράφεται στην παρακάτω φόρμα

Μερικές φορές τα τυχαία σφάλματα μέτρησης μπορεί να είναι μικρότερα από την τιμή που μπορεί να καταχωρήσει η συσκευή μέτρησης (όργανο). Σε αυτή την περίπτωση, για οποιονδήποτε αριθμό μετρήσεων, προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μισή τιμή διαίρεσης της κλίμακας της συσκευής (εργαλείου) λαμβάνεται ως μέσο απόλυτο σφάλμα. Αυτή η τιμή μερικές φορές ονομάζεται περιοριστικό ή οργανικό σφάλμα και υποδηλώνεται (για όργανα βερνιέρου και χρονόμετρο, ισούται με την ακρίβεια του οργάνου).

Εκτίμηση της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων των μετρήσεων

Σε κάθε πείραμα, ο αριθμός των μετρήσεων μιας φυσικής ποσότητας είναι πάντα περιορισμένος για τον ένα ή τον άλλο λόγο. Από αυτή την άποψη, μπορεί να τεθεί το καθήκον για την αξιολόγηση της αξιοπιστίας του αποτελέσματος. Με άλλα λόγια, προσδιορίστε την πιθανότητα με την οποία μπορεί να υποστηριχθεί ότι το σφάλμα που έγινε σε αυτή την περίπτωση δεν υπερβαίνει μια προκαθορισμένη τιμή ε. Αυτή η πιθανότητα ονομάζεται πιθανότητα εμπιστοσύνης. Ας το χαρακτηρίσουμε με ένα γράμμα.

Το αντίστροφο πρόβλημα μπορεί επίσης να τεθεί: να καθοριστούν τα όρια του διαστήματος έτσι ώστε με δεδομένη πιθανότηταθα μπορούσε να υποστηριχθεί ότι η πραγματική τιμή των μετρήσεων της ποσότητας δεν θα υπερέβαινε το καθορισμένο, το λεγόμενο διάστημα εμπιστοσύνης.

Το διάστημα εμπιστοσύνης χαρακτηρίζει την ακρίβεια του ληφθέντος αποτελέσματος και το διάστημα εμπιστοσύνης την αξιοπιστία του. Μέθοδοι για την επίλυση αυτών των δύο ομάδων προβλημάτων είναι διαθέσιμες και έχουν αναπτυχθεί με ιδιαίτερη λεπτομέρεια για την περίπτωση που τα σφάλματα μέτρησης κατανέμονται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο. Η θεωρία πιθανοτήτων παρέχει επίσης μεθόδους για τον προσδιορισμό του αριθμού των πειραμάτων (επαναλαμβανόμενες μετρήσεις) που παρέχουν μια δεδομένη ακρίβεια και αξιοπιστία του αναμενόμενου αποτελέσματος. Σε αυτήν την εργασία, αυτές οι μέθοδοι δεν λαμβάνονται υπόψη (θα περιοριστούμε να τις αναφέρουμε), καθώς τέτοιες εργασίες συνήθως δεν τίθενται κατά την εκτέλεση εργαστηριακών εργασιών.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον όμως παρουσιάζει η περίπτωση αξιολόγησης της αξιοπιστίας του αποτελέσματος μετρήσεων φυσικών μεγεθών με πολύ μικρό αριθμό επαναλαμβανόμενων μετρήσεων. Για παράδειγμα, . Αυτή ακριβώς είναι η περίπτωση που συναντάμε συχνά στην εκτέλεση εργαστηριακών εργασιών στη φυσική. Κατά την επίλυση αυτού του είδους προβλημάτων, συνιστάται η χρήση της μεθόδου που βασίζεται στην κατανομή του μαθητή (νόμος).

Για τη διευκόλυνση της πρακτικής εφαρμογής της υπό εξέταση μεθόδου, υπάρχουν πίνακες με τους οποίους μπορείτε να προσδιορίσετε το διάστημα εμπιστοσύνης που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη πιθανότητα εμπιστοσύνης ή να λύσετε το αντίστροφο πρόβλημα.

Παρακάτω είναι εκείνα τα μέρη των αναφερόμενων πινάκων που μπορεί να απαιτούνται κατά την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων των μετρήσεων σε εργαστηριακές ασκήσεις.

Ας γίνουν, για παράδειγμα, ίσες ακριβείς (υπό τις ίδιες συνθήκες) μετρήσεις ενός συγκεκριμένου φυσικού μεγέθους και ας υπολογιστεί η μέση τιμή του. Απαιτείται να βρεθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης. Το πρόβλημα γενικά λύνεται με τον ακόλουθο τρόπο.

Σύμφωνα με τον τύπο, λαμβάνοντας υπόψη το (7), υπολογίστε

Στη συνέχεια για δεδομένες τιμές nκαι βρείτε την τιμή σύμφωνα με τον πίνακα (Πίνακας 2). Η τιμή που αναζητάτε υπολογίζεται με βάση τον τύπο

Κατά την επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος, η παράμετρος υπολογίζεται πρώτα από τον τύπο (16). Η επιθυμητή τιμή της πιθανότητας εμπιστοσύνης λαμβάνεται από τον πίνακα (Πίνακας 3) για έναν δεδομένο αριθμό και μια υπολογισμένη παράμετρο.

Πίνακας 2.Τιμή παραμέτρου για δεδομένο αριθμό πειραμάτων

και επίπεδο εμπιστοσύνης

n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

Πίνακας 3Η τιμή της πιθανότητας εμπιστοσύνης για έναν δεδομένο αριθμό πειραμάτων nκαι παράμετρος ε

n		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
σι	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Επεξεργασία των αποτελεσμάτων έμμεσων μετρήσεων

Πολύ σπάνια, το περιεχόμενο μιας εργαστηριακής εργασίας ή ενός επιστημονικού πειράματος περιορίζεται στην απόκτηση του αποτελέσματος μιας άμεσης μέτρησης. Ως επί το πλείστον, η επιθυμητή ποσότητα είναι συνάρτηση πολλών άλλων ποσοτήτων.

Το καθήκον της επεξεργασίας πειραμάτων με έμμεσες μετρήσεις είναι ο υπολογισμός της πιο πιθανής τιμής της επιθυμητής τιμής και η εκτίμηση του σφάλματος των έμμεσων μετρήσεων με βάση τα αποτελέσματα των άμεσων μετρήσεων ορισμένων ποσοτήτων (επιχειρήματα) που σχετίζονται με την επιθυμητή τιμή από μια συγκεκριμένη λειτουργική εξάρτηση.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι χειρισμού έμμεσων μετρήσεων. Εξετάστε τις ακόλουθες δύο μεθόδους.

Ας προσδιοριστεί κάποιο φυσικό μέγεθος με τη μέθοδο των έμμεσων μετρήσεων.

Τα αποτελέσματα των άμεσων μετρήσεων των ορισμάτων του x, y, z δίνονται στον Πίνακα. 4.

Πίνακας 4

Αριθμός εμπειρίας	Χ	y	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
n				…

Ο πρώτος τρόπος επεξεργασίας των αποτελεσμάτων είναι ο εξής. Χρησιμοποιώντας τον υπολογισμένο τύπο (17), η επιθυμητή τιμή υπολογίζεται με βάση τα αποτελέσματα κάθε πειράματος

(17)

Η περιγραφόμενη μέθοδος επεξεργασίας των αποτελεσμάτων ισχύει, καταρχήν, σε όλες τις περιπτώσεις έμμεσων μετρήσεων χωρίς εξαίρεση. Ωστόσο, είναι πιο σκόπιμο να χρησιμοποιείται όταν ο αριθμός των επαναλαμβανόμενων μετρήσεων των ορισμάτων είναι μικρός και ο τύπος υπολογισμού για την έμμεσα μετρούμενη τιμή είναι σχετικά απλός.

Στη δεύτερη μέθοδο επεξεργασίας των αποτελεσμάτων των πειραμάτων, πρώτα, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα των άμεσων μετρήσεων (Πίνακας 4), υπολογίζονται πρώτα οι αριθμητικές μέσες τιμές καθενός από τα επιχειρήματα, καθώς και τα σφάλματα της μέτρησής τους. Αντικατάσταση , , ,... στον τύπο υπολογισμού (17), προσδιορίστε την πιο πιθανή τιμή της μετρούμενης ποσότητας

(17*)

και την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων των έμμεσων μετρήσεων της ποσότητας.

Ο δεύτερος τρόπος επεξεργασίας των αποτελεσμάτων ισχύει μόνο για τέτοιες έμμεσες μετρήσεις, στις οποίες οι πραγματικές τιμές των ορισμάτων από μέτρηση σε μέτρηση παραμένουν σταθερές.

Σφάλματα έμμεσων μετρήσεων ποσότητας εξαρτώνται από τα σφάλματα των άμεσων μετρήσεων των ορισμάτων του.

Εάν εξαιρεθούν τα συστηματικά σφάλματα στις μετρήσεις των ορισμάτων και τα τυχαία σφάλματα στη μέτρηση αυτών των ορισμάτων είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους (μη συσχετισμένα), τότε το σφάλμα της έμμεσης μέτρησης της ποσότητας καθορίζεται στη γενική περίπτωση από το τύπος:

, (18)

όπου , , - μερικά παράγωγα; , , είναι σφάλματα ρίζας μέσου τετραγώνου στη μέτρηση των ορισμάτων , , , …

Το σχετικό σφάλμα υπολογίζεται από τον τύπο

(19)

Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι πολύ πιο εύκολο (από την άποψη της επεξεργασίας των αποτελεσμάτων των μετρήσεων) να υπολογίσετε πρώτα το σχετικό σφάλμα και, στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον τύπο (19), το απόλυτο σφάλμα του έμμεσου αποτελέσματος μέτρησης:

Σε αυτήν την περίπτωση, οι τύποι για τον υπολογισμό του σχετικού σφάλματος του αποτελέσματος μεταγλωττίζονται σε κάθε μεμονωμένη περίπτωση, ανάλογα με το πώς η επιθυμητή τιμή σχετίζεται με τα ορίσματά της. Υπάρχουν πίνακες τύπων σχετικών σφαλμάτων για τους πιο συνηθισμένους τύπους (δομές) τύπων υπολογισμού (Πίνακας 5).

Πίνακας 5Προσδιορισμός του σχετικού σφάλματος που επιτρέπεται στον υπολογισμό της κατά προσέγγιση τιμής ανάλογα με την κατά προσέγγιση.

Η φύση της σχέσης της κύριας ποσότητας με τις κατά προσέγγιση τιμές	Τύπος για τον προσδιορισμό του σχετικού σφάλματος
Αθροισμα:
Διαφορά:
Εργασία:
Ιδιωτικός:
Βαθμός:

Εκμάθηση βερνιέρων

Οι μετρήσεις μήκους γίνονται χρησιμοποιώντας ράβδους κλίμακας. Για την αύξηση της ακρίβειας της μέτρησης χρησιμοποιούνται βοηθητικές κινητές ζυγαριές - βερνιέρες. Για παράδειγμα, εάν η ράβδος κλίμακας χωρίζεται σε χιλιοστά, δηλαδή η τιμή μιας διαίρεσης ράβδου είναι 1 mm, τότε με τη βοήθεια ενός βερνιέρου είναι δυνατό να αυξηθεί η ακρίβεια της μέτρησής του στο ένα δέκατο ή περισσότερο mm.

Οι Nonius είναι γραμμικοί και κυκλικοί. Ας αναλύσουμε τη γραμμική συσκευή βερνιέ. Στις διαιρέσεις βερνιέρου, που συνολικά ισούνται με 1 διαίρεση της κύριας κλίμακας. Εάν - η τιμή διαίρεσης του βερνιέρου, - η τιμή διαίρεσης της ράβδου κλίμακας, τότε μπορείτε να γράψετε

. (21)

Η αναλογία ονομάζεται ακρίβεια βερνιέρου. Αν, για παράδειγμα, σι=1 mm, ένα Μ=10, τότε η ακρίβεια του βερνιέρου είναι 0,1 mm.

Από το σχ. 3 φαίνεται ότι το επιθυμητό μήκος του σώματος είναι ίσο με:

που κ- ακέραιος αριθμός υποδιαιρέσεων της γραμμής κλίμακας. - ο αριθμός των διαιρέσεων ενός χιλιοστού, ο οποίος πρέπει να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον βερνιέρο.

Έστω n που σημαίνει τον αριθμό των διαιρέσεων του βερνιέρου, που συμπίπτει με οποιαδήποτε διαίρεση της γραμμής κλίμακας. Ως εκ τούτου:

Έτσι, το μήκος του μετρούμενου σώματος είναι ίσο με έναν ακέραιο k mmράβδος κλίμακας συν δέκατα χιλιοστών. Οι κυκλικοί βερνιέρες έχουν παρόμοια διάταξη.

Η κάτω κλίμακα του πιο συνηθισμένου μικρομέτρου είναι η συνήθης κλίμακα χιλιοστού (Εικ. 4).

Οι κίνδυνοι της ανώτερης κλίμακας μετατοπίζονται σε σχέση με τους κινδύνους της κατώτερης κλίμακας κατά 0,5 mm. Όταν περιστρέφετε τη βίδα μικρομέτρου 1 στροφή, το τύμπανο, μαζί με ολόκληρη τη βίδα, κινείται 0,5 mm, ανοίγοντας ή κλείνοντας εναλλάξ τους κινδύνους είτε της άνω είτε της κάτω κλίμακας. Η κλίμακα στο τύμπανο περιέχει 50 διαιρέσεις, άρα την ακρίβεια του μικρομέτρου .

Κατά την ανάγνωση σε ένα μικρόμετρο, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ο ακέραιος αριθμός των σημαδιών της άνω και κάτω κλίμακας (πολλαπλασιάζοντας αυτόν τον αριθμό με 0,5 mm) και αριθμός διαίρεσης τυμπάνου n, που τη στιγμή της μέτρησης συμπίπτει με τον άξονα κλίμακας στελέχους ρε, πολλαπλασιάζοντάς το με την ακρίβεια του μικρομέτρου. Με άλλα λόγια, η αριθμητική τιμή μεγάλοτο μήκος ενός αντικειμένου που μετριέται με ένα μικρόμετρο βρίσκεται με τον τύπο:

(23)

Για να μετρήσετε το μήκος ενός αντικειμένου ή τη διάμετρο μιας τρύπας με παχύμετρο (Εικ. 3), τοποθετήστε το αντικείμενο ανάμεσα στα σταθερά και "κινητά πόδια και ή απλώστε προεξοχές διάμετρος μέσα στη μετρημένη τρύπα. Η κίνηση της συσκευής κινούμενης δαγκάνας πραγματοποιείται χωρίς ισχυρή πίεση. Το μήκος υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο (23), λαμβάνοντας την ένδειξη στην κύρια κλίμακα και τον βερνιέρο.

Σε ένα μικρόμετρο για τη μέτρηση του μήκους, το αντικείμενο σφίγγεται μεταξύ του στοπ και μικρομετρική βίδα (Εικ. 5), περιστρέφοντας το τελευταίο μόνο με τη βοήθεια του κεφαλιού , μέχρι να ενεργοποιηθεί η καστάνια.

3. Υπολογίστε τη μέση τιμή της διαμέτρου , την τυπική απόκλιση σύμφωνα με τους τύπους της μεθόδου επεξεργασίας των αποτελεσμάτων των άμεσων μετρήσεων (περίπτωση 2).

4. Προσδιορίστε το όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης για ένα δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης (που ορίζεται από τον δάσκαλο) και τον αριθμό των πειραμάτων n.

Συγκρίνετε το σφάλμα οργάνου με το διάστημα εμπιστοσύνης. Γράψτε τη μεγαλύτερη τιμή στο τελικό αποτέλεσμα.

Εργασία 2. Προσδιορισμός του όγκου ενός κυλίνδρου χρησιμοποιώντας μικρόμετρο και παχύμετρο.

1. Μετρήστε τουλάχιστον 7 φορές τη διάμετρο του κυλίνδρου με ένα μικρόμετρο και το ύψος με ένα παχύμετρο. Καταγράψτε τα αποτελέσματα των μετρήσεων στον πίνακα (Πίνακας 7).

Πίνακας 7

. (27)

Εάν διαφέρουν τουλάχιστον κατά μια τάξη μεγέθους, τότε λαμβάνεται το μεγαλύτερο σφάλμα.

9. Γράψτε το τελικό αποτέλεσμα ως εξής:

. (28)

Σημείωση. Κατά τον υπολογισμό του σφάλματος οργάνου χρησιμοποιώντας τον τύπο (25), λαμβάνεται ταυτόχρονα υπόψη το σφάλμα που οφείλεται στη στρογγυλοποίηση των αριθμών, καθώς υπακούουν στον ίδιο νόμο κατανομής.

ερωτήσεις δοκιμής

1. Περιγράψτε τους τύπους μετρήσεων που γνωρίζετε.

2. Ορίστε συστηματικά και τυχαία σφάλματα. Ποια είναι η κύρια διαφορά τους;

3. Ποια είδη σφαλμάτων υπόκεινται σε ομοιόμορφη κατανομή;

4. Περιγράψτε τη διαδικασία επεξεργασίας των αποτελεσμάτων των άμεσων (έμμεσων) μετρήσεων.

5. Γιατί κατά τη μέτρηση του όγκου ενός κυλίνδρου, σας συνέστησαν να μετράτε τη διάμετρο με ένα μικρόμετρο και το ύψος με ένα παχύμετρο;

6. Το σχετικό σφάλμα στη μέτρηση του σωματικού βάρους είναι 1%, και η ταχύτητά του είναι 2%. Με ποιο σχετικό σφάλμα μπορεί να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος από τέτοια δεδομένα;

Εργαστήριο #2

Αριθμός μέτρησης

Για να μειωθεί η επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων, είναι απαραίτητο να μετρηθεί αυτή η τιμή αρκετές φορές. Ας υποθέσουμε ότι μετράμε κάποια τιμή x. Ως αποτέλεσμα των μετρήσεων, λάβαμε τις ακόλουθες τιμές:

x 1 , x 2 , x 3 , ... x n . (2)

Αυτή η σειρά τιμών x ονομάζεται δείγμα. Έχοντας ένα τέτοιο δείγμα, μπορούμε να αξιολογήσουμε το αποτέλεσμα της μέτρησης. Την τιμή που θα είναι μια τέτοια εκτίμηση, θα συμβολίσουμε . Επειδή όμως αυτή η τιμή αξιολόγησης των αποτελεσμάτων της μέτρησης δεν θα αντιπροσωπεύει την πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας, είναι απαραίτητο να εκτιμηθεί το σφάλμα της. Ας υποθέσουμε ότι μπορούμε να προσδιορίσουμε την εκτίμηση σφάλματος Δx . Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να γράψουμε το αποτέλεσμα της μέτρησης στη φόρμα

μ = ± Δx (3)

Δεδομένου ότι οι εκτιμώμενες τιμές του αποτελέσματος της μέτρησης και του σφάλματος Δx δεν είναι ακριβείς, η εγγραφή (3) του αποτελέσματος της μέτρησης πρέπει να συνοδεύεται από ένδειξη της αξιοπιστίας του P. Η αξιοπιστία ή η πιθανότητα εμπιστοσύνης νοείται ως η πιθανότητα ότι το αληθές Η τιμή της μετρούμενης τιμής βρίσκεται στο διάστημα που υποδεικνύεται από την εγγραφή (3). Αυτό το ίδιο το διάστημα ονομάζεται διάστημα εμπιστοσύνης.

Για παράδειγμα, όταν μετράμε το μήκος ενός συγκεκριμένου τμήματος, γράφαμε το τελικό αποτέλεσμα ως

l = (8,34 ± 0,02) mm,(P = 0,95)

Αυτό σημαίνει ότι από τις 100 πιθανότητες - 95 ότι η πραγματική τιμή του μήκους του τμήματος βρίσκεται στο διάστημα από 8,32 έως 8,36 mm.

Έτσι, το καθήκον είναι να βρεθεί μια εκτίμηση του αποτελέσματος της μέτρησης, του σφάλματος Δx και της αξιοπιστίας P, έχοντας ένα δείγμα (2).

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με τη βοήθεια της θεωρίας πιθανοτήτων και της μαθηματικής στατιστικής.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, τα τυχαία σφάλματα ακολουθούν τον νόμο κανονικής κατανομής που καθιέρωσε ο Gauss. Η κανονική κατανομή των σφαλμάτων εκφράζεται με τον τύπο

(4)

όπου Δx είναι η απόκλιση από την πραγματική τιμή.

σ είναι το πραγματικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα.

σ 2 - διασπορά, η τιμή της οποίας χαρακτηρίζει την εξάπλωση των τυχαίων μεταβλητών.

Όπως φαίνεται από το (4), η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή x = 0, επιπλέον, είναι άρτια.

Στο εικ.16εμφανίζεται το γράφημα αυτής της συνάρτησης. Η έννοια της συνάρτησης (4) είναι ότι η περιοχή του σχήματος που περικλείεται μεταξύ της καμπύλης, του άξονα Δx και δύο τεταγμένων από τα σημεία Δx 1 και Δx 2 (σκιασμένη περιοχή στο εικ.16) είναι αριθμητικά ίση με την πιθανότητα με την οποία οποιοδήποτε δείγμα εμπίπτει στο διάστημα (Δx 1 ,Δx 2) .

Δεδομένου ότι η καμπύλη κατανέμεται συμμετρικά γύρω από τον άξονα y, μπορεί να υποστηριχθεί ότι είναι εξίσου πιθανά σφάλματα ίσου μεγέθους αλλά αντίθετα σε πρόσημο. Και αυτό καθιστά δυνατή τη λήψη της μέσης τιμής όλων των στοιχείων του δείγματος ως εκτίμηση των αποτελεσμάτων της μέτρησης (2)

όπου – n είναι ο αριθμός των μετρήσεων.

Έτσι, αν γίνουν n μετρήσεις υπό τις ίδιες συνθήκες, τότε η πιο πιθανή τιμή του μετρούμενου μεγέθους θα είναι η μέση τιμή του (αριθμητική). Η ποσότητα τείνει στην πραγματική τιμή μ της μετρούμενης ποσότητας ως n → ∞.

Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα ενός μεμονωμένου αποτελέσματος μέτρησης είναι η τιμή

. (6)

Χαρακτηρίζει το σφάλμα κάθε επιμέρους μέτρησης. Καθώς το n → ∞ S τείνει σε σταθερό όριο σ

σ = lim S. (7)
n→∞

Καθώς το σ αυξάνεται, η διασπορά των ενδείξεων αυξάνεται, δηλ. η ακρίβεια μέτρησης γίνεται χαμηλότερη.

Το σφάλμα ρίζας-μέσο-τετράγωνο του αριθμητικού μέσου όρου είναι η τιμή

. (8)

Αυτός είναι ο θεμελιώδης νόμος της αύξησης της ακρίβειας καθώς αυξάνεται ο αριθμός των μετρήσεων.

Το σφάλμα χαρακτηρίζει την ακρίβεια με την οποία προκύπτει η μέση τιμή της μετρούμενης τιμής. Το αποτέλεσμα γράφεται ως:

Αυτή η τεχνική υπολογισμού σφάλματος δίνει καλά αποτελέσματα (με αξιοπιστία 0,68) μόνο όταν η ίδια τιμή μετρηθεί τουλάχιστον 30–50 φορές.

Το 1908, ο Student έδειξε ότι η στατιστική προσέγγιση ισχύει και για μικρό αριθμό μετρήσεων. Η κατανομή του Student για τον αριθμό των μετρήσεων n → ∞ γίνεται Gaussian κατανομή και για έναν μικρό αριθμό διαφέρει από αυτήν.

Για τον υπολογισμό του απόλυτου σφάλματος για μικρό αριθμό μετρήσεων, εισάγεται ένας ειδικός συντελεστής που εξαρτάται από την αξιοπιστία P και τον αριθμό των μετρήσεων n, που ονομάζεται συντελεστής
Μαθητής τ.

Παραλείποντας τις θεωρητικές αιτιολογήσεις για την εισαγωγή του, σημειώνουμε ότι

Δx = t. (δέκα)

όπου Δx είναι το απόλυτο σφάλμα για ένα δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης.
είναι το ριζικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα του αριθμητικού μέσου όρου.

Δίνονται οι συντελεστές μαθητή πίνακας 2.

Για να γίνει αυτό, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον Πίνακα 3, στον οποίο τα διαστήματα δίνονται σε κλάσματα της τιμής σ, η οποία είναι ένα μέτρο της ακρίβειας αυτού του πειράματος σε σχέση με τα τυχαία σφάλματα.

πίνακας 2

Συντελεστές μαθητή

n	Τιμές P
n	0.6	0.8	0.95	0.99	0.999
2	1.376	3.078	12.706	63.657	636.61
3	1.061	1.886	4.303	9.925	31.598
4	0.978	1.638	3.182	5.841	12.941
5	0.941	1.533	2.776	4.604	8.610
6	0.920	1.476	2.571	4.032	6.859
7	0.906	1.440	2.447	3.707	5.959
8	0.896	1.415	2.365	3.499	5.405
9	0.889	1.397	2.306	3.355	5.041
10	0.883	1.383	2.262	3.250	4.781
11	0.879	1.372	2.228	3.169	4.587
12	0.876	1.363	2.201	3.106	4.437
13	0.873	1.356	2.179	3.055	4.318
14	0.870	1.350	2.160	3.012	4.221
15	0.868	1.345	2.145	2.977	4.140
16	0.866	1.341	2.131	2.947	4.073
17	0.865	1.337	2.120	2.921	4.015
18	0.863	1.333	2.110	2.898	3.965
19	0.862	1.330	2.101	2.878	3.922
20	0.861	1.328	2.093	2.861	3.883
21	0.860	1.325	2.086	2.845	3.850
22	0.859	1.323	2.080	2.831	3.819
23	0.858	1.321	2.074	2.819	3.792
24	0.858	1.319	2.069	2.807	3.767
25	0.857	1.318	2.064	2.797	3.745
26	0.856	1.316	2.060	2.787	3.725
27	0.856	1.315	2.056	2.779	3.707
28	0.855	1.314	2.052	2.771	3.690
29	0.855	1.313	2.048	2.763	3.674
30	0.854	1.311	2.045	2.756	3.659
31	0.854	1.310	2.042	2.750	3.646
40	0.851	1.303	2.021	2.704	3.551
60	0.848	1.296	2.000	2.660	3.460
120	0.845	1.289	1.980	2.617	3.373
∞	0.842	1.282	1.960	2.576	3.291

Πίνακας 3

Ο απαιτούμενος αριθμός μετρήσεων για τη λήψη σφάλματος Δ με αξιοπιστία Р

Δ = Δx/σ	Τιμές P
Δ = Δx/σ	0.5	0.7	0.9	0.95	0.99	0.999
1.0	2	3	5	7	11	17
0.5	3	6	13	18	31	50
0.4	4	8	19	27	46	74
0.3	6	13	32	46	78	127
0.2	13	29	70	99	171	277
0.1	47	169	273	387	668	1089

Κατά την επεξεργασία των αποτελεσμάτων των άμεσων μετρήσεων, προτείνεται η ακόλουθη σειρά λειτουργιών:

Καταγράψτε το αποτέλεσμα κάθε μέτρησης σε πίνακα.
Υπολογίστε τον μέσο όρο των n μετρήσεων
Βρείτε το σφάλμα μιας μεμονωμένης μέτρησης

Περίπτωση 1Ο αριθμός των μετρήσεων είναι μικρότερος από πέντε.

1) Σύμφωνα με τον τύπο (6), βρίσκεται το μέσο αποτέλεσμα Χ, ορίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος των αποτελεσμάτων όλων των μετρήσεων, δηλ.

2) Σύμφωνα με τον τύπο (12), υπολογίζονται τα απόλυτα σφάλματα των επιμέρους μετρήσεων

3) Σύμφωνα με τον τύπο (14), προσδιορίζεται το μέσο απόλυτο σφάλμα

4) Σύμφωνα με τον τύπο (15), υπολογίζεται το μέσο σχετικό σφάλμα του αποτελέσματος της μέτρησης

5) Καταγράψτε το τελικό αποτέλεσμα στην ακόλουθη μορφή:

, στο
.

Περίπτωση 2. Ο αριθμός των μετρήσεων είναι πάνω από πέντε.

1) Σύμφωνα με τον τύπο (6), βρίσκεται το μέσο αποτέλεσμα

2) Σύμφωνα με τον τύπο (12), προσδιορίζονται τα απόλυτα σφάλματα των επιμέρους μετρήσεων

3) Σύμφωνα με τον τύπο (7), υπολογίζεται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα μιας μόνο μέτρησης

4) Υπολογίστε την τυπική απόκλιση για τη μέση τιμή της μετρούμενης τιμής με τον τύπο (9).

5) Το τελικό αποτέλεσμα καταγράφεται στην παρακάτω φόρμα

Μερικές φορές τα τυχαία σφάλματα μέτρησης μπορεί να είναι μικρότερα από την τιμή που μπορεί να καταχωρήσει η συσκευή μέτρησης (όργανο). Σε αυτή την περίπτωση, για οποιονδήποτε αριθμό μετρήσεων, προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ως το μέσο απόλυτο σφάλμα
πάρτε τη μισή διαίρεση της κλίμακας του οργάνου (εργαλείου). Αυτή η τιμή μερικές φορές ονομάζεται περιοριστικό ή όργανο σφάλμα και υποδηλώνεται
(για όργανα βερνιέρου και χρονόμετρο
ίση με την ακρίβεια του οργάνου).

Εκτίμηση της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων των μετρήσεων

Σε κάθε πείραμα, ο αριθμός των μετρήσεων μιας φυσικής ποσότητας είναι πάντα περιορισμένος για τον ένα ή τον άλλο λόγο. Λόγω μεΑυτό μπορεί να είναι το καθήκον της αξιολόγησης της αξιοπιστίας του αποτελέσματος. Με άλλα λόγια, προσδιορίστε την πιθανότητα με την οποία μπορεί να υποστηριχθεί ότι το σφάλμα που έγινε σε αυτή την περίπτωση δεν υπερβαίνει μια προκαθορισμένη τιμή ε. Αυτή η πιθανότητα ονομάζεται πιθανότητα εμπιστοσύνης. Ας το χαρακτηρίσουμε με ένα γράμμα.

Μπορεί επίσης να τεθεί ένα αντίστροφο πρόβλημα: να καθοριστούν τα όρια του διαστήματος
ώστε με δεδομένη πιθανότητα θα μπορούσε να υποστηριχθεί ότι η πραγματική τιμή των μετρήσεων της ποσότητας δεν θα υπερβαίνει το καθορισμένο, λεγόμενο διάστημα εμπιστοσύνης.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον όμως παρουσιάζει η περίπτωση αξιολόγησης της αξιοπιστίας του αποτελέσματος μετρήσεων φυσικών μεγεθών με πολύ μικρό αριθμό επαναλαμβανόμενων μετρήσεων. Για παράδειγμα,
. Αυτή ακριβώς είναι η περίπτωση που συναντάμε συχνά στην εκτέλεση εργαστηριακών εργασιών στη φυσική. Κατά την επίλυση αυτού του είδους προβλημάτων, συνιστάται η χρήση της μεθόδου που βασίζεται στην κατανομή του μαθητή (νόμος).

Για τη διευκόλυνση της πρακτικής εφαρμογής της υπό εξέταση μεθόδου, υπάρχουν πίνακες με τους οποίους μπορείτε να προσδιορίσετε το διάστημα εμπιστοσύνης
που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης ή να λύσει το αντίστροφο πρόβλημα.

Ας, για παράδειγμα, παράγονται ίσες (υπό τις ίδιες συνθήκες) μετρήσεις κάποιου φυσικού μεγέθους και υπολόγισε τη μέση τιμή του . Απαιτείται να βρεθεί το διάστημα εμπιστοσύνης που αντιστοιχεί στο δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης . Το πρόβλημα γενικά λύνεται με τον ακόλουθο τρόπο.

Σύμφωνα με τον τύπο, λαμβάνοντας υπόψη το (7), υπολογίστε

Στη συνέχεια για δεδομένες τιμές nκαι βρείτε σύμφωνα με τον πίνακα (Πίνακας 2) την τιμή . Η τιμή που αναζητάτε υπολογίζεται με βάση τον τύπο

(16)

Κατά την επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος, η παράμετρος υπολογίζεται πρώτα χρησιμοποιώντας τον τύπο (16). Η επιθυμητή τιμή της πιθανότητας εμπιστοσύνης λαμβάνεται από τον πίνακα (Πίνακας 3) για έναν δεδομένο αριθμό και υπολογισμένη παράμετρος .