Να ορίσετε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

1. Η έννοια των ασύμπτωτων

Ένα από τα σημαντικά βήματα στην κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων είναι η αναζήτηση ασυμπτωτών. Συναντηθήκαμε με ασύμπτωτες περισσότερες από μία φορές: κατά τη σχεδίαση συναρτήσεων , y=tgx, y=ctgx. Τις έχουμε ορίσει ως γραμμές στις οποίες το γράφημα μιας συνάρτησης «τείνει» αλλά δεν τις διασχίζει ποτέ. Είναι καιρός να δώσουμε έναν ακριβή ορισμό των ασυμπτωμάτων.

Υπάρχουν τρεις τύποι ασυμπτωμάτων: κάθετες, οριζόντιες και λοξές. Στο σχέδιο, οι ασύμπτωτες συνήθως σημειώνονται με διακεκομμένες γραμμές.

Εξετάστε το ακόλουθο τεχνητά σχεδιασμένο γράφημα συνάρτησης (Εικ. 16.1), ένα παράδειγμα του οποίου δείχνει καθαρά όλους τους τύπους ασυμπτωτών:

Δίνουμε έναν ορισμό για κάθε τύπο ασυμπτώματος:

1. Απευθείας x=aπου ονομάζεται κάθετη ασύμπτωτη λειτουργίες εάν .

2. Απευθείας y=sπου ονομάζεται οριζόντια ασύμπτωτη λειτουργίες εάν .

3. Απευθείας y=kx+bπου ονομάζεται πλάγιος ασύμπτωτος λειτουργίες εάν .

Γεωμετρικά, ο ορισμός μιας λοξής ασύμπτωτης σημαίνει ότι καθώς →∞, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης προσεγγίζει μια ευθεία γραμμή που κλείνει αυθαίρετα y=kx+b, δηλ. είναι πρακτικά τα ίδια. Η διαφορά σχεδόν πανομοιότυπων εκφράσεων τείνει στο μηδέν.

Σημειώστε ότι η οριζόντια και η λοξή ασύμπτωτη θεωρούνται μόνο υπό την προϋπόθεση →∞. Μερικές φορές διακρίνονται σε οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες ως →+∞ και →-∞.

1. Αλγόριθμος Ασύμπτωτης Αναζήτησης

Ο ακόλουθος αλγόριθμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση ασυμπτωμάτων:

Μπορεί να υπάρχει μία κάθετη ασύμπτωτη, πολλές ή καθόλου.

• Αν το c είναι αριθμός, τότε y=sείναι η οριζόντια ασύμπτωτη?
• Αν το c είναι άπειρο, τότε δεν υπάρχουν οριζόντιες ασύμπτωτες.

Αν μια συνάρτηση είναι λόγος δύο πολυωνύμων, τότε αν η συνάρτηση έχει οριζόντιες ασύμπτωτες, δεν θα αναζητήσουμε πλάγιες ασύμπτωτες - δεν υπάρχουν.

Εξετάστε παραδείγματα εύρεσης ασυμπτωμάτων μιας συνάρτησης:

Παράδειγμα 16.1.Βρείτε τις ασύμπτωτες της καμπύλης.

Απόφαση Χ-1≠0; Χ≠1.

Ας ελέγξουμε αν η γραμμή είναι x= 1 κατακόρυφη ασύμπτωτη. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε το όριο της συνάρτησης στο σημείο x= 1: .

x= 1 - κάθετη ασύμπτωτη.

με= .

με= = . Επειδή με=2 (αριθμός), τότε y=2είναι η οριζόντια ασύμπτωτη.

Δεδομένου ότι η συνάρτηση είναι ένας λόγος πολυωνύμων, παρουσία οριζόντιων ασυμπτωτών βεβαιώνουμε ότι δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

x= 1 και η οριζόντια ασύμπτωτη y=2.Για λόγους σαφήνειας, το γράφημα αυτής της συνάρτησης φαίνεται στο Σχ. 16.2.

Παράδειγμα 16.2. Βρείτε τις ασύμπτωτες της καμπύλης.

Απόφαση. 1. Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης: Χ-2≠0; Χ≠2.

Ας ελέγξουμε αν η γραμμή είναι x= 2 κατακόρυφη ασύμπτωτη. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε το όριο της συνάρτησης στο σημείο x= 2: .

Καταλάβαμε, λοιπόν, x= 2 - κατακόρυφη ασύμπτωτη.

2. Για να αναζητήσουμε οριζόντιες ασύμπτωτες, βρίσκουμε: με= .

Επειδή υπάρχει αβεβαιότητα στο όριο, χρησιμοποιούμε τον κανόνα L'Hopital: με= = . Επειδή μεείναι άπειρο, τότε δεν υπάρχουν οριζόντιες ασύμπτωτες.

3. Για να αναζητήσουμε πλάγιες ασύμπτωτες, βρίσκουμε:

Έχουμε μια αβεβαιότητα της μορφής , χρησιμοποιούμε τον κανόνα L'Hopital: = =1. σισύμφωνα με τον τύπο: .

b= = =

Το κατάλαβα b= 2. Στη συνέχεια y=kx+b –λοξή ασύμπτωτη. Στην περίπτωσή μας, μοιάζει με: y=x+2.

Ρύζι. 16.3

Ετσι, δεδομένη λειτουργίαέχει κατακόρυφη ασύμπτωτη x= 2 και πλάγιο ασύμπτωτο y=x+2.Για λόγους σαφήνειας, το γράφημα της συνάρτησης φαίνεται στο Σχ. 16.3.

ερωτήσεις δοκιμής:

Διάλεξη 17

Σε αυτή τη διάλεξη, θα συνοψίσουμε όλο το υλικό που μελετήθηκε προηγουμένως. Ο απώτερος στόχος του μακροχρόνιου ταξιδιού μας είναι να μπορέσουμε να διερευνήσουμε οποιαδήποτε αναλυτική δεδομένη λειτουργίακαι να φτιάξει το πρόγραμμά του. Σημαντικά μέρη της μελέτης μας θα είναι η μελέτη της συνάρτησης για τα άκρα, ο προσδιορισμός των διαστημάτων μονοτονίας, κυρτότητας και κοιλότητας της γραφικής παράστασης, η αναζήτηση σημείων καμπής, ασυμπτωμάτων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

Λαμβάνοντας υπόψη όλες τις παραπάνω πτυχές, παρουσιάζουμε σχήμα για τη μελέτη της συνάρτησης και τη γραφική παράσταση .

1. Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης.

2. Διερευνήστε τη συνάρτηση για άρτιο-μονό:

αν , τότε η συνάρτηση είναι άρτια (η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα OU);

αν , τότε η συνάρτηση είναι περιττή (η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή).

Διαφορετικά, η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

3. Διερευνήστε τη συνάρτηση για περιοδικότητα (από τις συναρτήσεις που μελετάμε, μόνο οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να είναι περιοδικές).

4. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων:

· Ω: στο=0 (λύνουμε την εξίσωση μόνο αν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις γνωστές σε εμάς μεθόδους).

· OU: Χ=0.

5. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης και τα κρίσιμα σημεία του πρώτου είδους.

6. Να βρείτε διαστήματα μονοτονίας και άκρα της συνάρτησης.

7. Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης και κρίσιμα σημεία του δεύτερου είδους.

8. Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας-κοιλότητας της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και των σημείων καμπής.

9. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

10. Γράφημα τη συνάρτηση. Κατά την κατασκευή, σκεφτείτε περιπτώσεις πιθανής θέσης του γραφήματος κοντά στις ασύμπτωτες :

11. Εάν χρειάζεται, επιλέξτε σημεία ελέγχου για πιο ακριβή κατασκευή.

Εξετάστε ένα σχήμα για τη μελέτη μιας συνάρτησης και την κατασκευή της γραφικής της παράστασης συγκεκριμένα παραδείγματα:

Παράδειγμα 17.1. Σχεδιάστε τη συνάρτηση.

Απόφαση. 1. Αυτή η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή εκτός από το Χ=3, γιατί σε αυτό το σημείο ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν.

2. Για τον προσδιορισμό της ομοιότητας και της περιττότητας της συνάρτησης, βρίσκουμε:

Το βλέπουμε και, επομένως, η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

3. Η συνάρτηση είναι μη περιοδική.

4. Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων. Να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα Ωαποδέχομαι στο=0. Παίρνουμε την εξίσωση: . Άρα, το σημείο (0; 0) είναι το σημείο τομής με τους άξονες συντεταγμένων.

5. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης ενός κλάσματος: = = = = .

Για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία, βρίσκουμε τα σημεία στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με 0 ή δεν υπάρχει.

Αν =0, επομένως, . Το γινόμενο είναι τότε 0 όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι 0: ή .

Χ-3) Το 2 ισούται με 0, δηλ. δεν υπάρχει στο Χ=3.

Άρα, η συνάρτηση έχει τρία κρίσιμα σημεία του πρώτου είδους: ; ; .

6. Στον πραγματικό άξονα, σημειώνουμε τα κρίσιμα σημεία του πρώτου είδους, και σημειώνουμε το σημείο με μια τρυπημένη κουκκίδα, επειδή δεν ορίζει συνάρτηση.

Τακτοποιήστε τα πρόσημα της παραγώγου = σε κάθε διάστημα:

t.min

t.max

Σε διαστήματα όπου , η αρχική συνάρτηση αυξάνεται (στο (-∞;0] ), όπου - μειώνεται (στο ).

Τελεία Χ=0 είναι το μέγιστο σημείο της συνάρτησης. Για να βρούμε το μέγιστο της συνάρτησης, ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο 0: .

Τελεία Χ=6 είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης. Για να βρούμε το ελάχιστο της συνάρτησης, ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο 6: .

Τα αποτελέσματα της έρευνας μπορούν να καταχωρηθούν στον πίνακα. Ο αριθμός των γραμμών στον πίνακα είναι σταθερός και ίσος με τέσσερις και ο αριθμός των στηλών εξαρτάται από τη συνάρτηση που μελετάται. Στα κελιά της πρώτης σειράς, εισάγονται διαδοχικά τα διαστήματα στα οποία τα κρίσιμα σημεία διαιρούν τον τομέα του ορισμού της συνάρτησης, συμπεριλαμβανομένων των ίδιων των κρίσιμων σημείων. Προκειμένου να αποφευχθούν σφάλματα κατά την κατασκευή σημείων που δεν ανήκουν στην περιοχή ορισμού, είναι δυνατόν να μην συμπεριληφθούν στον πίνακα.

Η δεύτερη γραμμή του πίνακα περιέχει τα πρόσημα της παραγώγου σε καθένα από τα εξεταζόμενα διαστήματα και την τιμή της παραγώγου στα κρίσιμα σημεία. Σύμφωνα με τα πρόσημα της παραγώγου της συνάρτησης, τα διαστήματα αύξησης, μείωσης και άκρων της συνάρτησης σημειώνονται στην τρίτη γραμμή.

Η τελευταία γραμμή χρησιμοποιείται για να δηλώσει το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης.

Χ	(-∞;0)		(0;3)		(3;6)		(6;+ ∞)
	+		-		-		+
f(x)
ευρήματα		Μέγιστη				ελάχ

7. Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης ως παράγωγο της πρώτης παραγώγου: = =

Βγάλε στον αριθμητή Χ-3 έξω από τις αγκύλες και κάντε τη μείωση:

Παρουσιάζουμε στον αριθμητή όμοιους όρους: .

Ας βρούμε κρίσιμα σημεία του δεύτερου είδους: σημεία στα οποία η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει.

0 εάν =0. Αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να είναι ίσο με μηδέν, επομένως, δεν υπάρχουν σημεία στα οποία η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν.

Δεν υπάρχει αν ο παρονομαστής ( Χ-3) Το 3 είναι 0, δηλ. δεν υπάρχει στο Χ=3. : Α, OU, προέλευση, μονάδες μέτρησης για κάθε άξονα.

Πριν σχεδιάσετε μια συνάρτηση, πρέπει:

σχεδιάστε ασύμπτωτες με διακεκομμένες γραμμές.

σημειώστε τα σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων.

Ρύζι. 17.1

Σημειώστε το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης και συνιστάται να ορίσετε το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης απευθείας στο σχέδιο με τόξα: k ή ;

· Χρησιμοποιώντας τα ληφθέντα δεδομένα για τα διαστήματα αύξησης, μείωσης, κυρτότητας και κοιλότητας, να κατασκευάσετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης. Οι κλάδοι του γραφήματος πρέπει να «τείνουν» προς τις ασύμπτωτες, αλλά να μην τις διασταυρώνουν.

Ελέγξτε εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης αντιστοιχεί στη μελέτη: εάν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή, τότε αν παρατηρείται η συμμετρία. εάν τα θεωρητικά διαστήματα αύξησης και μείωσης, κυρτότητας και κοιλότητας, σημεία καμπής.

11. Για πιο ακριβή κατασκευή, μπορείτε να επιλέξετε πολλά σημεία ελέγχου. Για παράδειγμα, ας βρούμε τις τιμές συνάρτησης στα σημεία -2 και 7:

Προσαρμόζουμε το γράφημα λαμβάνοντας υπόψη τα σημεία ελέγχου.

Ερωτήσεις τεστ:

1. Ποιος είναι ο αλγόριθμος για τη γραφική παράσταση ενός γραφήματος συνάρτησης;
2. Μπορεί μια συνάρτηση να έχει άκρο σε σημεία που δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. 3. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Έτσι διατυπώνεται τυπική εργασία, και περιλαμβάνει την εύρεση ΟΛΩΝ των ασυμπτωμάτων του γραφήματος (κάθετα, πλάγια/οριζόντια). Αν και για να είμαστε πιο ακριβείς στη διατύπωση της ερώτησης, μιλάμε για μελέτη για την παρουσία ασυμπτωτών (εξάλλου, μπορεί να μην υπάρχουν καθόλου).

Ας ξεκινήσουμε με κάτι απλό:

Παράδειγμα 1

Απόφαση Είναι βολικό να το χωρίσουμε σε δύο σημεία:

1) Αρχικά ελέγχουμε αν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες. Ο παρονομαστής εξαφανίζεται στο , και είναι αμέσως σαφές ότι σε αυτό το σημείο η συνάρτηση υποφέρει ατελείωτο κενό, και η ευθεία που δίνεται από την εξίσωση είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης . Αλλά πριν καταλήξουμε σε ένα τέτοιο συμπέρασμα, είναι απαραίτητο να βρούμε μονόπλευρα όρια:

Σας υπενθυμίζω την τεχνική υπολογισμού, στην οποία στάθηκα επίσης στο άρθρο συνέχεια λειτουργίας. ορια ΑΝΤΟΧΗΣ. Στην έκφραση κάτω από το οριακό πρόσημο, αντί για "x" αντικαθιστούμε το . Δεν υπάρχει τίποτα ενδιαφέρον στον αριθμητή:
.

Αλλά στον παρονομαστή αποδεικνύεται απειροελάχιστος αρνητικός αριθμός:
, καθορίζει την τύχη του ορίου.

Το αριστερό όριο είναι άπειρο και, καταρχήν, είναι ήδη δυνατό να εκδοθεί μια ετυμηγορία σχετικά με την παρουσία μιας κατακόρυφης ασύμπτωτης. Αλλά μονόπλευρα όρια χρειάζονται όχι μόνο για αυτό - ΒΟΗΘΟΥΝ ΝΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΟΥΜΕ ΟΠΩΣ ΚΑΙβρίσκεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης και σχεδιάστε την ΣΩΣΤΑ. Επομένως, πρέπει επίσης να υπολογίσουμε το δεξί όριο:

συμπέρασμα: τα μονόπλευρα όρια είναι άπειρα, πράγμα που σημαίνει ότι η ευθεία είναι κάθετη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο .

Πρώτο όριο πεπερασμένος, πράγμα που σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να "συνεχίσετε τη συνομιλία" και να βρείτε το δεύτερο όριο:

Το δεύτερο όριο επίσης πεπερασμένος.

Άρα η ασύμπτωσή μας είναι:

συμπέρασμα: η ευθεία που δίνεται από την εξίσωση είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο .

Για να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον απλοποιημένο τύπο:

Εάν υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο, τότε η ευθεία είναι μια οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο .

Είναι εύκολο να δούμε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής της συνάρτησης μία τάξη ανάπτυξης, που σημαίνει ότι το επιθυμητό όριο θα είναι πεπερασμένο:

Απάντηση:

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, δεν είναι απαραίτητο να ολοκληρωθεί το σχέδιο, αλλά εάν βρίσκεται σε πλήρη εξέλιξη έρευνα λειτουργίας, τότε στο προσχέδιο κάνουμε αμέσως ένα σκίτσο:

Με βάση τα τρία όρια που βρέθηκαν, προσπαθήστε να καταλάβετε ανεξάρτητα πώς μπορεί να εντοπιστεί το γράφημα της συνάρτησης. Καπως δυσκολο? Βρείτε 5-6-7-8 πόντους και σημειώστε τους στο σχέδιο. Ωστόσο, το γράφημα αυτής της συνάρτησης κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας μετασχηματισμοί γραφημάτων στοιχειώδης λειτουργία , και οι αναγνώστες που έχουν εξετάσει προσεκτικά το Παράδειγμα 21 αυτού του άρθρου θα μαντέψουν εύκολα τι είδους καμπύλη είναι.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για ανεξάρτητη λύση. Η διαδικασία, σας υπενθυμίζω, χωρίζεται βολικά σε δύο σημεία - κάθετες ασύμπτωτες και λοξές ασύμπτωτες. Στο διάλυμα του δείγματος, η οριζόντια ασύμπτωτη βρίσκεται χρησιμοποιώντας ένα απλοποιημένο σχήμα.

Στην πράξη, οι κλασματικές-ορθολογικές συναρτήσεις συναντώνται συχνότερα και μετά την εκπαίδευση σε υπερβολές, θα περιπλέκουμε την εργασία:

Παράδειγμα 3

Να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

Απόφαση: Ένα, δύο και τελειώσαμε:

1) Βρίσκονται οι κάθετες ασύμπτωτες στα σημεία της άπειρης ασυνέχειας, οπότε πρέπει να ελέγξετε αν ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν. Εμείς θα αποφασίσουμε τετραγωνική εξίσωση :

Η διάκριση είναι θετική, επομένως η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες και η εργασία προστίθεται σημαντικά =)

Προκειμένου να βρεθούν περαιτέρω μονόπλευρα όρια, είναι βολικό να παραγοντοποιήσουμε το τετράγωνο τριώνυμο:
(για συμπαγή συμβολισμό, το "μείον" εισήχθη στην πρώτη αγκύλη). Για δίχτυ ασφαλείας, θα κάνουμε έναν έλεγχο, νοερά ή σε βύθισμα, ανοίγοντας τις αγκύλες.

Ας ξαναγράψουμε τη συνάρτηση στη φόρμα

Βρείτε μονόπλευρα όρια στο σημείο:

Και στο σημείο:

Έτσι, οι ευθείες γραμμές είναι οι κάθετες ασύμπτωτες του γραφήματος της υπό εξέταση συνάρτησης.

2) Αν κοιτάξετε τη συνάρτηση , τότε είναι αρκετά προφανές ότι το όριο θα είναι πεπερασμένο και έχουμε μια οριζόντια ασύμπτωτη. Ας το δείξουμε συνοπτικά:

Έτσι, η ευθεία γραμμή (τετμημένη) είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης αυτής της συνάρτησης.

Απάντηση:

Τα όρια και οι ασύμπτωτες που βρέθηκαν δίνουν πολλές πληροφορίες για το γράφημα της συνάρτησης. Προσπαθήστε να φανταστείτε νοερά το σχέδιο, λαμβάνοντας υπόψη τα ακόλουθα γεγονότα:

Σκιαγραφήστε την έκδοση του γραφήματος σε ένα προσχέδιο.

Φυσικά, τα όρια που βρέθηκαν δεν καθορίζουν αδιαμφισβήτητα τον τύπο του γραφήματος και μπορεί να κάνετε λάθος, αλλά η ίδια η άσκηση θα σας βοηθήσει ανεκτίμητη κατά τη διάρκεια πλήρης μελέτη λειτουργίας. Η σωστή εικόνα βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 4

Να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

Παράδειγμα 5

Να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

Αυτά είναι καθήκοντα για ανεξάρτητη απόφαση. Και τα δύο γραφήματα έχουν πάλι οριζόντιες ασύμπτωτες, οι οποίες εντοπίζονται αμέσως από τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: στο Παράδειγμα 4 σειρά ανάπτυξηςο παρονομαστής είναι μεγαλύτερος από τη σειρά αύξησης του αριθμητή και στο Παράδειγμα 5 ο αριθμητής και ο παρονομαστής μία τάξη ανάπτυξης. Στη λύση του δείγματος, η πρώτη συνάρτηση διερευνάται για την παρουσία λοξών ασυμπτωμάτων με πλήρη τρόπο και η δεύτερη - μέσω του ορίου.

Οι οριζόντιες ασύμπτωτες, κατά την υποκειμενική μου εντύπωση, είναι αισθητά πιο συχνές από αυτές που έχουν «πραγματικά κλίση». Πολυαναμενόμενη γενική υπόθεση:

Παράδειγμα 6

Να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

Απόφαση: κλασικά του είδους:

1) Εφόσον ο παρονομαστής είναι θετικός, η συνάρτηση συνεχήςσε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή και δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες. …Είναι καλό? Δεν είναι η σωστή λέξη - εξαιρετικό! Το στοιχείο #1 είναι κλειστό.

2) Ελέγξτε την παρουσία λοξών ασυμπτωμάτων:

Πρώτο όριο πεπερασμένος, ας προχωρήσουμε λοιπόν. Κατά τον υπολογισμό του δεύτερου ορίου για την εξάλειψη αβεβαιότητα "άπειρο μείον άπειρο"φέρνουμε την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή:

Το δεύτερο όριο επίσης πεπερασμένοςΕπομένως, η γραφική παράσταση της υπό εξέταση συνάρτησης έχει μια πλάγια ασύμπτωτη:

συμπέρασμα:

Έτσι, για το γράφημα της συνάρτησης απείρως κοντάπροσεγγίζει την ευθεία:

Σημειώστε ότι τέμνει την λοξή ασύμπτωσή του στην αρχή και τέτοια σημεία τομής είναι αρκετά αποδεκτά - είναι σημαντικό ότι "όλα είναι φυσιολογικά" στο άπειρο (στην πραγματικότητα, εκεί μιλάμε για ασύμπτωτες).

Παράδειγμα 7

Να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

Απόφαση: δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο να σχολιάσω, οπότε θα εκδόσω υποδειγματικό δείγμακαθαρό διάλυμα:

1) Κάθετες ασύμπτωτες. Ας εξερευνήσουμε το σημείο.

Η ευθεία γραμμή είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη για την πλοκή στο .

2) Πλάγιες ασύμπτωτες:

Η ευθεία είναι η πλάγια ασύμπτωτη για το γράφημα στο .

Απάντηση:

Τα μονόπλευρα όρια και οι ασύμπτωτες που βρέθηκαν μας επιτρέπουν να υποθέσουμε με μεγάλη βεβαιότητα πώς μοιάζει το γράφημα αυτής της συνάρτησης. Σωστό σχέδιο στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 8

Να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, για την ευκολία του υπολογισμού ορισμένων ορίων, μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο. Και πάλι, αναλύοντας τα αποτελέσματα, προσπαθήστε να σχεδιάσετε ένα γράφημα αυτής της συνάρτησης.

Προφανώς, οι κάτοχοι των «πραγματικών» λοξών ασυμπτωμάτων είναι οι γραφικές παραστάσεις εκείνων των κλασματικών-ορθολογικών συναρτήσεων για τις οποίες ο υψηλότερος βαθμός του αριθμητή ένα ακόμαο υψηλότερος βαθμός του παρονομαστή. Εάν περισσότερες, δεν θα υπάρχει λοξή ασύμπτωτη (για παράδειγμα, ).

Αλλά άλλα θαύματα συμβαίνουν στη ζωή:

Παράδειγμα 9

Απόφαση: λειτουργία συνεχήςσε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες. Αλλά μπορεί κάλλιστα να υπάρχουν πλαγιές. Ελέγχουμε:

Θυμάμαι πώς συνάντησα μια παρόμοια λειτουργία στο πανεπιστήμιο και απλά δεν μπορούσα να πιστέψω ότι είχε μια λοξή ασύμπτωτη. Μέχρι που υπολόγισα το δεύτερο όριο:

Αυστηρά μιλώντας, υπάρχουν δύο αβεβαιότητες εδώ: και , αλλά με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο λύσης, η οποία συζητείται στα Παραδείγματα 5-6 του άρθρου σχετικά με τα όρια της αυξημένης πολυπλοκότητας. Πολλαπλασιάστε και διαιρέστε με τη συζυγή έκφραση για να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:

Απάντηση:

Ίσως η πιο δημοφιλής λοξή ασύμπτωτη.

Μέχρι τώρα το άπειρο είχε καταφέρει να «κοπεί με το ίδιο πινέλο», αλλά συμβαίνει το γράφημα της συνάρτησης δύο διαφορετικάπλάγιες ασύμπτωτες για και για :

Παράδειγμα 10

Εξετάστε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης για ασύμπτωτες

Απόφαση: η έκφραση ρίζας είναι θετική, που σημαίνει τομέα- οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, και δεν μπορεί να υπάρχουν κάθετα ραβδιά.

Ας ελέγξουμε αν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

Εάν το "x" τείνει στο "μείον το άπειρο", τότε:
(όταν εισάγετε το "x" κάτω από την τετραγωνική ρίζα, πρέπει να προσθέσετε ένα σύμβολο "μείον" για να μην χάσετε τον αρνητικό παρονομαστή)

Φαίνεται ασυνήθιστο, αλλά εδώ η αβεβαιότητα είναι «άπειρο μείον άπειρο». Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την παρακείμενη παράσταση:

Έτσι, η ευθεία είναι η λοξή ασύμπτωτη του γραφήματος στο .

Με το "συν άπειρο" όλα είναι πιο ασήμαντα:

Και η ευθεία - στο .

Απάντηση:

Αν ένα ;
, αν .

Δεν μπορώ να αντισταθώ στη γραφική εικόνα:


Αυτό είναι ένα από τα υποκαταστήματα υπερβολή .

Δεν είναι ασυνήθιστο όταν η πιθανή παρουσία ασυμπτωμάτων είναι αρχικά περιορισμένη εύρος λειτουργίας:

Παράδειγμα 11

Εξετάστε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης για ασύμπτωτες

Απόφαση: είναι προφανές ότι , λοιπόν, θεωρούμε μόνο το δεξιό ημιεπίπεδο, όπου υπάρχει γραφική παράσταση της συνάρτησης.

1) Λειτουργία συνεχήςστο διάστημα , που σημαίνει ότι αν υπάρχει η κατακόρυφη ασύμπτωτη, τότε μπορεί να είναι μόνο ο άξονας y. Μελετάμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο σημείο στα δεξιά:

Σημείωση, ΔΕΝ υπάρχει ασάφεια εδώ(σε τέτοιες περιπτώσεις, η προσοχή επικεντρώθηκε στην αρχή του άρθρου Μέθοδοι οριακής λύσης).

Έτσι, η ευθεία γραμμή (άξονας y) είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο .

2) Η μελέτη της λοξής ασυμπτώτου μπορεί να πραγματοποιηθεί σύμφωνα με το πλήρες σχήμα, αλλά στο άρθρο Κανόνες Lopitalτο ανακαλύψαμε γραμμική συνάρτησηυψηλότερη τάξη ανάπτυξης από τη λογαριθμική, επομένως: (βλ. παράδειγμα 1 του ίδιου μαθήματος).

Συμπέρασμα: ο άξονας της τετμημένης είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο .

Απάντηση:

Αν ένα ;
, αν .

Σχέδιο για σαφήνεια:

Είναι ενδιαφέρον ότι μια φαινομενικά παρόμοια συνάρτηση δεν έχει καθόλου ασύμπτωτες (όσοι επιθυμούν μπορούν να το ελέγξουν).

Δύο τελευταία παραδείγματα αυτο-μελέτης:

Παράδειγμα 12

Εξετάστε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης για ασύμπτωτες

Για να ελέγξουμε για κάθετες ασύμπτωτες, πρέπει πρώτα να βρούμε εύρος λειτουργίας, και στη συνέχεια υπολογίστε ένα ζεύγος μονόπλευρων ορίων σε "ύποπτα" σημεία. Οι πλάγιες ασύμπτωτες επίσης δεν αποκλείονται, αφού η συνάρτηση ορίζεται σε "συν" και "πλην" άπειρο.

Παράδειγμα 13

Εξετάστε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης για ασύμπτωτες

Και εδώ μπορούν να υπάρχουν μόνο λοξές ασύμπτωτες και οι κατευθύνσεις , θα πρέπει να εξετάζονται χωριστά.

Ελπίζω να βρήκατε τη σωστή ασύμπτωτη =)

Σου εύχομαι καλή τύχη!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2:Απόφαση :
. Ας βρούμε μονόπλευρα όρια:

Ευθεία είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο .
2) Πλάγια ασύμπτωτα.

Ευθεία .
Απάντηση:

Σχέδιο στο Παράδειγμα 3:

Παράδειγμα 4:Απόφαση :
1) Κάθετες ασύμπτωτες. Η συνάρτηση υφίσταται άπειρη διακοπή σε ένα σημείο . Ας υπολογίσουμε μονόπλευρα όρια:

Σημείωση: ένας απειροελάχιστος αρνητικός αριθμός σε άρτιο αριθμό ισούται με έναν απειροελάχιστο θετικό αριθμό: .

Ευθεία είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
2) Πλάγια ασύμπτωτα.


Ευθεία (τετμημένη) είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο .
Απάντηση:

Θα υπάρχουν επίσης εργασίες για μια ανεξάρτητη λύση, στις οποίες μπορείτε να δείτε τις απαντήσεις.

Η έννοια της ασύμπτωτης

Αν κατασκευάσετε πρώτα τις ασύμπτωτες της καμπύλης, τότε σε πολλές περιπτώσεις διευκολύνεται η κατασκευή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

Η μοίρα της ασύμπτωτης είναι γεμάτη τραγωδία. Φανταστείτε πώς είναι να κινείσαι σε ευθεία γραμμή αγαπητός στόχοςπλησιάστε το όσο πιο κοντά γίνεται, αλλά ποτέ μην το φτάσετε. Για παράδειγμα, προσπαθείτε να συνδέσετε το δικό σας μονοπάτι ζωήςμε το μονοπάτι του επιθυμητού, κάποια στιγμή να τον πλησιάσει σχεδόν από κοντά, αλλά ούτε καν να τον αγγίξει. Ή να προσπαθήσει να κερδίσει ένα δισεκατομμύριο, αλλά πριν φτάσει σε αυτόν τον στόχο και μπει στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες για την περίπτωσή του, του λείπουν τα εκατοστά του σεντ. Και τα λοιπά. Έτσι είναι και με την ασύμπτωτη: προσπαθεί συνεχώς να φτάσει στην καμπύλη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, την πλησιάζει στην ελάχιστη δυνατή απόσταση, αλλά δεν την αγγίζει.

Ορισμός 1. Ασύμπτωτες ονομάζονται τέτοιες γραμμές, στις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης πλησιάζει όσο πιο κοντά είναι επιθυμητό όταν η μεταβλητή τείνει στο συν άπειρο ή μείον το άπειρο.

Ορισμός 2. Μια ευθεία γραμμή ονομάζεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης εάν η απόσταση από το μεταβλητό σημείο Μη γραφική παράσταση της συνάρτησης μέχρι αυτή τη γραμμή τείνει στο μηδέν καθώς το σημείο απομακρύνεται επ' αόριστον Μαπό την αρχή των συντεταγμένων κατά μήκος οποιουδήποτε κλάδου της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

Υπάρχουν τρεις τύποι ασυμπτωμάτων: κάθετη, οριζόντια και λοξή.

Κάθετες ασύμπτωτες

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να γνωρίζετε για τις κάθετες ασύμπτωτες: είναι παράλληλες με τον άξονα Oy .

Ορισμός. Ευθεία Χ = έναείναι ένα κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης αν σημείο Χ = έναείναι ένα οριακό σημείο του δεύτερου είδουςγια αυτό το χαρακτηριστικό.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι η γραμμή Χ = έναείναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φά(Χ) εάν πληρούται τουλάχιστον μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

Ταυτόχρονα, η λειτουργία φά(Χ) μπορεί να μην ορίζεται καθόλου, αντίστοιχα, για Χ ≥ ένακαι Χ ≤ ένα .

Σχόλιο:

Παράδειγμα 1Γράφημα συνάρτησης y=ln Χέχει κατακόρυφη ασύμπτωτη Χ= 0 (δηλαδή, συμπίπτει με τον άξονα Oy) στο όριο του πεδίου ορισμού, αφού το όριο της συνάρτησης καθώς το x τείνει στο μηδέν στα δεξιά είναι ίσο με μείον το άπειρο:

(εικ. παραπάνω).

μόνος σου και μετά δες τις λύσεις

Παράδειγμα 2Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης .

Παράδειγμα 3Να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

Οριζόντιες ασύμπτωτες

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να γνωρίζετε για τις οριζόντιες ασύμπτωτες: είναι παράλληλες με τον άξονα Βόδι .

Αν (το όριο της συνάρτησης όταν το όρισμα τείνει στο συν ή πλην άπειρο είναι ίσο με κάποια τιμή σι), τότε y = σι – οριζόντια ασύμπτωτη ανέντιμος y = φά(Χ ) (δεξιά όταν το x τείνει στο συν άπειρο, αριστερά όταν το x τείνει στο μείον το άπειρο και διπλής όψης αν τα όρια όταν το x τείνει στο συν ή πλην άπειρο είναι ίσα).

Παράδειγμα 5Γράφημα συνάρτησης

στο ένα> 1 έχει αριστερή οριζόντια ασύμπτωτη y= 0 (δηλαδή, συμπίπτει με τον άξονα Βόδι), αφού το όριο της συνάρτησης όταν το "x" τείνει στο μείον το άπειρο είναι ίσο με μηδέν:

Η καμπύλη δεν έχει ορθή οριζόντια ασύμπτωτη, αφού το όριο της συνάρτησης καθώς το x τείνει στο συν άπειρο είναι ίσο με το άπειρο:

Πλάγια ασύμπτωτα

Οι κάθετες και οριζόντιες ασύμπτωτες που εξετάσαμε παραπάνω είναι παράλληλες με τους άξονες συντεταγμένων, επομένως, για να τις κατασκευάσουμε, χρειαζόμασταν μόνο έναν ορισμένο αριθμό - ένα σημείο στην τετμημένη ή στον άξονα τεταγμένων μέσω του οποίου διέρχεται η ασύμπτωτη. Χρειάζονται περισσότερα για λοξή ασύμπτωτη - κλίση κ, που δείχνει τη γωνία κλίσης της ευθείας γραμμής, και την τομή σι, το οποίο δείχνει πόσο η γραμμή βρίσκεται πάνω ή κάτω από την αρχή. Όσοι δεν είχαν χρόνο να ξεχάσουν την αναλυτική γεωμετρία, και από αυτήν - τις εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής, θα παρατηρήσουν ότι για μια λοξή ασύμπτωτη βρίσκουν εξίσωση κλίσης. Η ύπαρξη λοξής ασυμπτώτου προσδιορίζεται από το παρακάτω θεώρημα, βάσει του οποίου βρίσκονται οι συντελεστές που μόλις ονομάστηκαν.

Θεώρημα.Να κάνει μια καμπύλη y = φά(Χ) είχε ασύμπτωτο y = kx + σι , είναι απαραίτητο και αρκετό να υπάρχουν πεπερασμένα όρια κκαι σιτης υπό εξέταση συνάρτησης καθώς τείνει η μεταβλητή Χστο συν άπειρο και μείον το άπειρο:

(1)

(2)

Οι αριθμοί που βρέθηκαν έτσι κκαι σικαι είναι οι συντελεστές της λοξής ασύμπτωτης.

Στην πρώτη περίπτωση (όταν το x τείνει στο συν άπειρο), λαμβάνεται η δεξιά λοξή ασύμπτωτη, στη δεύτερη (όταν το x τείνει στο μείον το άπειρο), λαμβάνεται η αριστερή ασύμπτωτη. Η δεξιά λοξή ασύμπτωτη φαίνεται στο Σχ. από κάτω.

Κατά την εύρεση της εξίσωσης της λοξής ασύμπτωτης, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η τάση του x και προς το συν άπειρο και μείον το άπειρο. Για ορισμένες συναρτήσεις, για παράδειγμα, για κλασματικά ορθολογικά, αυτά τα όρια συμπίπτουν, αλλά για πολλές συναρτήσεις αυτά τα όρια είναι διαφορετικά και μόνο ένα από αυτά μπορεί να υπάρχει.

Όταν τα όρια συμπίπτουν με το x που τείνει στο συν άπειρο και μείον το άπειρο, η ευθεία γραμμή y = kx + σι είναι μια αμφίπλευρη ασύμπτωτη της καμπύλης.

Εάν τουλάχιστον ένα από τα όρια που ορίζουν την ασύμπτωτη y = kx + σι , δεν υπάρχει, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη (αλλά μπορεί να έχει κάθετη).

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι η οριζόντια ασύμπτωτη y = σιείναι ειδική περίπτωση λοξού y = kx + σιστο κ = 0 .

Επομένως, εάν μια καμπύλη έχει οριζόντια ασύμπτωτη προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, τότε δεν υπάρχει λοξή ασύμπτωτη προς αυτή την κατεύθυνση και αντίστροφα.

Παράδειγμα 6Να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

Απόφαση. Η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή εκτός Χ= 0, δηλ.

Επομένως, στο οριακό σημείο Χ= 0 η καμπύλη μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Πράγματι, το όριο της συνάρτησης καθώς το x τείνει στο μηδέν από τα αριστερά είναι συν άπειρο:

Ως εκ τούτου, Χ= 0 είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης αυτής της συνάρτησης.

Το γράφημα αυτής της συνάρτησης δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη, αφού το όριο της συνάρτησης όταν το x τείνει στο συν άπειρο είναι ίσο με συν άπειρο:

Ας μάθουμε την παρουσία μιας λοξής ασύμπτωτης:

Έχει πεπερασμένα όρια κ= 2 και σι= 0 . Ευθεία y = 2Χείναι δίπλευρη λοξή ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης αυτής της συνάρτησης (εικ. μέσα στο παράδειγμα).

Παράδειγμα 7Να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

Απόφαση. Η συνάρτηση έχει ένα σημείο διακοπής Χ= −1. Ας υπολογίσουμε μονόπλευρα όρια και ας προσδιορίσουμε τον τύπο της ασυνέχειας:

Συμπέρασμα: Χ= −1 είναι ένα σημείο ασυνέχειας του δεύτερου είδους, άρα η ευθεία Χ= −1 είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης αυτής της συνάρτησης.

Αναζητώντας λοξές ασύμπτωτες. Εφόσον αυτή η συνάρτηση είναι κλασματικά ορθολογική, τα όρια για και για συμπίπτουν. Έτσι, βρίσκουμε τους συντελεστές για την αντικατάσταση της ευθείας γραμμής - λοξής ασύμπτωτης στην εξίσωση:

Αντικαθιστώντας τους συντελεστές που βρέθηκαν στην εξίσωση ευθείας με κλίση, λαμβάνουμε την εξίσωση της λοξής ασύμπτωτης:

y = −3Χ + 5 .

Στο σχήμα, το γράφημα της συνάρτησης σημειώνεται με μπορντό και οι ασύμπτωτες είναι με μαύρο.

Παράδειγμα 8Να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

Απόφαση. Εφόσον αυτή η συνάρτηση είναι συνεχής, το γράφημά της δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Αναζητούμε πλάγιες ασύμπτωτες:

.

Έτσι, το γράφημα αυτής της συνάρτησης έχει μια ασύμπτωτη y= 0 στο και δεν έχει ασύμπτωτο στο .

Παράδειγμα 9Να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

Απόφαση. Αρχικά, αναζητούμε κάθετες ασύμπτωτες. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τον τομέα της συνάρτησης. Η συνάρτηση ορίζεται όταν ισχύει η ανισότητα και . μεταβλητό σημάδι Χταιριάζει με το σημάδι. Επομένως, θεωρήστε την ισοδύναμη ανισότητα . Από αυτό παίρνουμε το εύρος της συνάρτησης: . Η κατακόρυφη ασύμπτωτη μπορεί να βρίσκεται μόνο στο όριο του τομέα της συνάρτησης. Αλλά ΧΤο = 0 δεν μπορεί να είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη, αφού η συνάρτηση ορίζεται για Χ = 0 .

Εξετάστε το δεξί όριο στο (το αριστερό όριο δεν υπάρχει):

.

Τελεία Χ= 2 είναι ένα σημείο ασυνέχειας του δεύτερου είδους, άρα η ευθεία Χ= 2 - κατακόρυφη ασύμπτωτη του γραφήματος αυτής της συνάρτησης.

Αναζητούμε πλάγιες ασύμπτωτες:

Ετσι, y = Χ+ 1 - λοξή ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης αυτής της συνάρτησης στο . Αναζητούμε μια λοξή ασύμπτωτη για:

Ετσι, y = −Χ − 1 - λοξή ασύμπτωτη στο .

Παράδειγμα 10Να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

Απόφαση. Η λειτουργία έχει πεδίο εφαρμογής . Εφόσον η κατακόρυφη ασύμπτωτη του γραφήματος αυτής της συνάρτησης μπορεί να βρίσκεται μόνο στο όριο του πεδίου ορισμού, θα βρούμε τα μονόπλευρα όρια της συνάρτησης στο .

Ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης y \u003d f (x) ονομάζεται μια γραμμή που έχει την ιδιότητα ότι η απόσταση από το σημείο (x, f (x)) σε αυτή τη γραμμή τείνει στο μηδέν με απεριόριστη αφαίρεση του σημείου του γραφήματος από την αρχή.

Εικόνα 3.10. δίνονται γραφικά παραδείγματα κατακόρυφος, οριζόντιοςκαι λοξόςασύμπτωτο.

Η εύρεση των ασυμπτωτών του γραφήματος βασίζεται στα ακόλουθα τρία θεωρήματα.

Το θεώρημα της κάθετης ασυμπτώτου. Ας οριστεί η συνάρτηση y \u003d f (x) σε κάποια γειτονιά του σημείου x 0 (ενδεχομένως εξαιρώντας αυτό το ίδιο το σημείο) και τουλάχιστον ένα από τα μονόπλευρα όρια της συνάρτησης είναι ίσο με το άπειρο, δηλ. Τότε η γραμμή x \u003d x 0 είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη του γραφήματος της συνάρτησης y \u003d f (x).

Προφανώς, η ευθεία x \u003d x 0 δεν μπορεί να είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη εάν η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο x 0, αφού σε αυτήν την περίπτωση . Ως εκ τούτου, οι κατακόρυφες ασύμπτωτες θα πρέπει να αναζητηθούν στα σημεία ασυνέχειας μιας συνάρτησης ή στα άκρα του τομέα της.

Θεώρημα για την οριζόντια ασύμπτωτη. Έστω η συνάρτηση y \u003d f (x) να οριστεί για αρκετά μεγάλο x και να υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο της συνάρτησης . Τότε η ευθεία y = b είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

Σχόλιο. Αν μόνο ένα από τα όρια είναι πεπερασμένο, τότε η συνάρτηση έχει, αντίστοιχα, αριστερόςή δεξιόπλευροςοριζόντια ασύμπτωτη.

Στην περίπτωση που η συνάρτηση μπορεί να έχει λοξή ασύμπτωτη.

Θεώρημα λοξής ασυμπτώτου. Έστω η συνάρτηση y = f(x) να οριστεί για αρκετά μεγάλο x και να υπάρχουν πεπερασμένα όρια . Τότε η ευθεία y = kx + b είναι λοξή ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

Χωρίς απόδειξη.

Η πλάγια ασύμπτωτη, όπως και η οριζόντια, μπορεί να είναι δεξιόστροφη ή αριστερόστροφη αν η βάση των αντίστοιχων ορίων είναι το άπειρο ενός συγκεκριμένου ζωδίου.

Η μελέτη των συναρτήσεων και η κατασκευή των γραφημάτων τους συνήθως περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:

1. Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης.

2. Διερευνήστε τη συνάρτηση για άρτιο-περιττό.

3. Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες εξετάζοντας τα σημεία ασυνέχειας και τη συμπεριφορά της συνάρτησης στα όρια του πεδίου ορισμού, αν είναι πεπερασμένα.

4. Βρείτε οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες εξετάζοντας τη συμπεριφορά της συνάρτησης στο άπειρο.

5. Να βρείτε άκρα και διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης.

6. Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας της συνάρτησης και τα σημεία καμπής.

7. Βρείτε σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων και, πιθανώς, μερικά επιπλέον σημεία που βελτιώνουν τη γραφική παράσταση.

Διαφορικό λειτουργίας

Μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν μια συνάρτηση έχει ένα όριο ίσο με έναν πεπερασμένο αριθμό για κάποια βάση, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα αυτού του αριθμού και άπειρα μικρό μέγεθοςμε την ίδια βάση (και αντίστροφα): .

Ας εφαρμόσουμε αυτό το θεώρημα σε μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση: .

Έτσι, η αύξηση της συνάρτησης Dy αποτελείται από δύο όρους: 1) γραμμικό ως προς το Dx, δηλ. f`(x)Dx; 2) μη γραμμικό ως προς το Dx, δηλ. α(Δχ)Δχ. Παράλληλα, αφού , αυτός ο δεύτερος όρος είναι απειροελάχιστος υψηλότερης τάξης από το Dx (καθώς το Dx τείνει στο μηδέν, τείνει στο μηδέν ακόμη πιο γρήγορα).

Διαφορικόςσυνάρτηση ονομάζεται το κύριο μέρος της συνάρτησης προσαύξηση, γραμμικό ως προς το Dx, ίσο με το γινόμενο της παραγώγου και την αύξηση της ανεξάρτητης μεταβλητής dy = f `(x)Dx.

Να βρείτε το διαφορικό της συνάρτησης y = x.

Αφού dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx, τότε dx = Dx, δηλ. το διαφορικό μιας ανεξάρτητης μεταβλητής είναι ίσο με την αύξηση αυτής της μεταβλητής.

Επομένως, ο τύπος για το διαφορικό μιας συνάρτησης μπορεί να γραφεί ως dy = f `(x)dх. Γι' αυτό ένα από τα σύμβολα για την παράγωγο είναι το κλάσμα dy/dх.

Η γεωμετρική σημασία του διαφορικού απεικονίζεται
εικόνα 3.11. Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y) στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x). Ας δώσουμε στο όρισμα x μια αύξηση Dx. Τότε η συνάρτηση y = f(x) θα λάβει μια αύξηση Dy = f(x + Dх) - f(x). Ας σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο Μ, η οποία σχηματίζει γωνία α με τη θετική φορά του άξονα x, δηλ. f `(x) = tg α. Από ορθογώνιο τρίγωνο MKN
KN \u003d MN * tg a \u003d Dx * tg a \u003d f `(x) Dx \u003d dy.

Έτσι, το διαφορικό μιας συνάρτησης είναι η αύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο όταν το x αυξάνεται κατά Dx.

Οι ιδιότητες ενός διαφορικού είναι βασικά ίδιες με εκείνες μιας παραγώγου:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .

Ωστόσο, υπάρχει μια σημαντική ιδιότητα του διαφορικού μιας συνάρτησης που δεν έχει η παράγωγός της - αυτή είναι διαφορική αναλλοίωτη μορφή.

Από τον ορισμό του διαφορικού για τη συνάρτηση y = f(x), το διαφορικό είναι dy = f`(x)dх. Αν αυτή η συνάρτηση y είναι σύνθετη, δηλ. y = f(u), όπου u = j(x), τότε y = f και f `(x) = f `(u)*u`. Τότε dy = f`(u)*u`dx. Αλλά για τη λειτουργία
u = j(x) διαφορικό du = u`dx. Ως εκ τούτου dy = f `(u)*du.

Συγκρίνοντας τις ισότητες dy = f `(x)dх και dy = f `(u)*du, βεβαιωνόμαστε ότι ο διαφορικός τύπος δεν αλλάζει εάν αντί για μια συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής x θεωρήσουμε μια συνάρτηση της εξαρτημένη μεταβλητή u. Αυτή η ιδιότητα του διαφορικού ονομάζεται αμετάβλητο (δηλαδή, αμετάβλητο) της μορφής (ή του τύπου) του διαφορικού.

Ωστόσο, εξακολουθεί να υπάρχει διαφορά σε αυτούς τους δύο τύπους: στον πρώτο από αυτούς, η διαφορά της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι ίση με την αύξηση αυτής της μεταβλητής, δηλ. dx = Dx, και στη δεύτερη, το διαφορικό της συνάρτησης du είναι μόνο το γραμμικό μέρος της αύξησης αυτής της συνάρτησης Du, και μόνο για το μικρό Dх du » Du.