Παραδείγματα παραγώγων μιγαδικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης. Παραδείγματα λύσεων. Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων

Οι συναρτήσεις μιας σύνθετης μορφής δεν είναι απόλυτα σωστό να ονομάσουμε τον όρο "σύνθετη συνάρτηση". Για παράδειγμα, φαίνεται πολύ εντυπωσιακό, αλλά αυτή η λειτουργία δεν είναι περίπλοκη, σε αντίθεση με.

Σε αυτό το άρθρο, θα κατανοήσουμε την έννοια σύνθετη λειτουργία, θα μάθουμε πώς να το προσδιορίζουμε ως μέρος στοιχειωδών συναρτήσεων, να δώσουμε έναν τύπο για την εύρεση της παραγώγου του και να εξετάσουμε λεπτομερώς τη λύση τυπικών παραδειγμάτων.

Κατά την επίλυση παραδειγμάτων, θα χρησιμοποιούμε συνεχώς τον πίνακα των παραγώγων και τους κανόνες διαφοροποίησης, γι' αυτό κρατήστε τους μπροστά στα μάτια σας.

Σύνθετη λειτουργίαείναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι επίσης συνάρτηση.

Από την άποψή μας, αυτός ο ορισμός είναι ο πιο κατανοητός. Συμβατικά, μπορεί να συμβολιστεί ως f(g(x)) . Δηλαδή, το g(x) είναι, σαν να λέγαμε, ένα όρισμα της συνάρτησης f(g(x)) .

Για παράδειγμα, εάν f είναι η συνάρτηση του τόξου και η g(x) = lnx είναι η φυσική συνάρτηση λογάριθμου, τότε η μιγαδική συνάρτηση f(g(x)) είναι arctg(lnx) . Ένα άλλο παράδειγμα: η f είναι συνάρτηση ανύψωσης στην τέταρτη δύναμη, και είναι μια ολόκληρη ορθολογική συνάρτηση (βλ. ), τότε .

Με τη σειρά της, η g(x) μπορεί επίσης να είναι μια σύνθετη συνάρτηση. Για παράδειγμα, . Συμβατικά, μια τέτοια έκφραση μπορεί να χαρακτηριστεί ως . Εδώ το f είναι η συνάρτηση ημιτόνου, είναι η συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας, είναι μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση. Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι ο βαθμός ένθεσης των συναρτήσεων μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πεπερασμένος φυσικός αριθμός.

Μπορείτε συχνά να ακούσετε ότι καλείται μια σύνθετη συνάρτηση σύνθεση λειτουργίας.

Ο τύπος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Παράδειγμα.

Να βρείτε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Λύση.

ΣΤΟ αυτό το παράδειγμα f είναι η συνάρτηση τετραγωνισμού και g(x) = 2x+1 είναι γραμμική συνάρτηση.

Ακολουθεί μια λεπτομερής λύση που χρησιμοποιεί τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης:

Ας βρούμε αυτήν την παράγωγο, αφού απλοποιήσουμε τη μορφή της αρχικής συνάρτησης.

Συνεπώς,

Όπως μπορείτε να δείτε, τα αποτελέσματα ταιριάζουν.

Προσπαθήστε να μην συγχέετε ποια συνάρτηση είναι f και ποια g(x) .

Ας το εξηγήσουμε αυτό με ένα παράδειγμα για προσοχή.

Παράδειγμα.

Να βρείτε παραγώγους μιγαδικών συναρτήσεων και .

Λύση.

Στην πρώτη περίπτωση, η f είναι η συνάρτηση τετραγωνισμού και η g(x) η ημιτονική συνάρτηση, άρα
.

Στη δεύτερη περίπτωση, η f είναι συνάρτηση ημιτονοειδούς και είναι συνάρτηση ισχύος. Επομένως, από τον τύπο για το γινόμενο μιας μιγαδικής συνάρτησης, έχουμε

Ο τύπος παραγώγου για μια συνάρτηση έχει τη μορφή

Παράδειγμα.

Λειτουργία διαφοροποίησης .

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα, η σύνθετη συνάρτηση μπορεί να γραφτεί υπό όρους ως , όπου είναι η ημιτονοειδής συνάρτηση, η συνάρτηση ανύψωσης στην τρίτη δύναμη, η λογαριθμική συνάρτηση στη βάση e, η συνάρτηση λήψης της εφαπτομένης του τόξου και η γραμμική συνάρτηση, αντίστοιχα.

Σύμφωνα με τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης

Τώρα βρίσκουμε

Συγκεντρώνοντας τα ληφθέντα ενδιάμεσα αποτελέσματα:

Δεν υπάρχει τίποτα τρομερό, αποσυναρμολογήστε πολύπλοκες λειτουργίες όπως οι κούκλες που φωλιάζουν.

Αυτό θα μπορούσε να είχε τελειώσει το άρθρο, αν όχι για ένα αλλά...

Είναι επιθυμητό να κατανοήσουμε ξεκάθαρα πότε πρέπει να εφαρμόζονται οι κανόνες διαφοροποίησης και ο πίνακας παραγώγων και πότε ο τύπος για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης.

ΝΑ ΕΙΣΑΙ ΠΟΛΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΤΩΡΑ. Θα μιλήσουμε για τη διαφορά μεταξύ μιγαδικών συναρτήσεων και μιγαδικών συναρτήσεων. Από το πόσο βλέπετε αυτή τη διαφορά, θα εξαρτηθεί η επιτυχία στην εύρεση παραγώγων.

Ας ξεκινήσουμε με απλά παραδείγματα. Λειτουργία μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθετο: g(x) = tgx, . Επομένως, μπορείτε να εφαρμόσετε αμέσως τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης

Και εδώ είναι η λειτουργία δεν μπορεί πλέον να χαρακτηριστεί δύσκολο.

Αυτή η συνάρτηση είναι το άθροισμα τριών συναρτήσεων, 3tgx και 1. Αν και - είναι μια σύνθετη συνάρτηση: - είναι μια συνάρτηση ισχύος (μια τετραγωνική παραβολή), και η f είναι μια εφαπτομένη συνάρτηση. Επομένως, εφαρμόζουμε πρώτα τον τύπο για τη διαφοροποίηση του αθροίσματος:

Απομένει να βρούμε την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης:

Να γιατί .

Ελπίζουμε να καταλάβετε την ουσία.

Εάν κοιτάξετε ευρύτερα, μπορεί να υποστηριχθεί ότι οι συναρτήσεις ενός μιγαδικού τύπου μπορούν να αποτελούν μέρος σύνθετων συναρτήσεων και οι σύνθετες συναρτήσεις μπορεί να είναι συστατικά συναρτήσεων μιγαδικού τύπου.

Για παράδειγμα, ας αναλύσουμε τα συστατικά μέρη της συνάρτησης .

Πρώτα, είναι μια σύνθετη συνάρτηση που μπορεί να αναπαρασταθεί ως , όπου f είναι η συνάρτηση λογαρίθμου βάσης 3, και g(x) είναι το άθροισμα των δύο συναρτήσεων και . Αυτό είναι, .

κατα δευτερον, ας ασχοληθούμε με τη συνάρτηση h(x) . Σχετίζεται με .

Αυτό είναι το άθροισμα δύο συναρτήσεων και , όπου - μιγαδική συνάρτηση με αριθμητικό συντελεστή 3 . - συνάρτηση κύβου, - συνημίτονο, - γραμμική συνάρτηση.

Αυτό είναι το άθροισμα δύο συναρτήσεων και , όπου - σύνθετη συνάρτηση, - εκθετική συνάρτηση, - εκθετική συνάρτηση.

Με αυτόν τον τρόπο, .

Τρίτον, μεταβείτε στο , που είναι το γινόμενο μιας σύνθετης συνάρτησης και μια ολόκληρη ορθολογική λειτουργία

Η συνάρτηση τετραγωνισμού είναι η λογαριθμική συνάρτηση στη βάση e.

Συνεπώς, .

Να συνοψίσουμε:

Τώρα η δομή της συνάρτησης είναι ξεκάθαρη και έγινε σαφές ποιοι τύποι και με ποια σειρά πρέπει να εφαρμόζονται κατά τη διαφοροποίησή της.

Στην ενότητα διαφοροποίηση συνάρτησης (εύρεση παραγώγου) μπορείτε να βρείτε τη λύση τέτοιων προβλημάτων.

Είναι πολύ εύκολο να το θυμάστε.

Λοιπόν, δεν θα πάμε μακριά, θα εξετάσουμε αμέσως την αντίστροφη συνάρτηση. Ποια συνάρτηση είναι το αντίστροφο της εκθετικη συναρτηση? Λογάριθμος:

Στην περίπτωσή μας, η βάση είναι ένας αριθμός:

Ένας τέτοιος λογάριθμος (δηλαδή ένας λογάριθμος με βάση) ονομάζεται "φυσικός" και χρησιμοποιούμε μια ειδική σημείωση γι 'αυτό: γράφουμε αντ 'αυτού.

Με τι ισούται; Φυσικά, .

Η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου είναι επίσης πολύ απλή:

Παραδείγματα:

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
2. Ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης;

Απαντήσεις: Εκθέτης και φυσικός λογάριθμος- οι συναρτήσεις είναι μοναδικά απλές ως προς την παράγωγο. Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις με οποιαδήποτε άλλη βάση θα έχουν διαφορετική παράγωγο, την οποία θα αναλύσουμε αργότερα, αφού περάσουμε από τους κανόνες διαφοροποίησης.

Κανόνες διαφοροποίησης

Τι κανόνες; Άλλη μια νέα θητεία, πάλι;!...

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηείναι η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου.

Μόνο και όλα. Ποια είναι άλλη λέξη για αυτή τη διαδικασία; Όχι proizvodnovanie... Το διαφορικό των μαθηματικών ονομάζεται η ίδια η αύξηση της συνάρτησης στο. Ο όρος αυτός προέρχεται από το λατινικό differentia - διαφορά. Εδώ.

Κατά την εξαγωγή όλων αυτών των κανόνων, θα χρησιμοποιήσουμε δύο συναρτήσεις, για παράδειγμα, και. Θα χρειαστούμε επίσης τύπους για τις προσαυξήσεις τους:

Υπάρχουν 5 κανόνες συνολικά.

Η σταθερά αφαιρείται από το πρόσημο της παραγώγου.

Αν - κάποιος σταθερός αριθμός (σταθερός), τότε.

Προφανώς, αυτός ο κανόνας λειτουργεί και για τη διαφορά: .

Ας το αποδείξουμε. Αφήστε, ή ευκολότερα.

Παραδείγματα.

Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων:

1. στο σημείο;
2. στο σημείο;
3. στο σημείο;
4. στο σημείο.

Λύσεις:

1. (η παράγωγος είναι η ίδια σε όλα τα σημεία, αφού είναι γραμμική συνάρτηση, θυμάστε;);

Παράγωγο προϊόντος

Όλα είναι παρόμοια εδώ: εισάγουμε μια νέα συνάρτηση και βρίσκουμε την προσαύξησή της:

Παράγωγο:

Παραδείγματα:

1. Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων και?
2. Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.

Λύσεις:

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Τώρα οι γνώσεις σας είναι αρκετές για να μάθετε πώς να βρίσκετε την παράγωγο οποιασδήποτε εκθετικής συνάρτησης, και όχι μόνο τον εκθέτη (έχετε ξεχάσει τι είναι ακόμα;).

Πού είναι λοιπόν κάποιος αριθμός.

Γνωρίζουμε ήδη την παράγωγο της συνάρτησης, οπότε ας προσπαθήσουμε να φέρουμε τη συνάρτησή μας σε μια νέα βάση:

Για αυτό χρησιμοποιούμε απλός κανόνας: . Επειτα:

Λοιπόν, λειτούργησε. Τώρα προσπαθήστε να βρείτε την παράγωγο και μην ξεχνάτε ότι αυτή η συνάρτηση είναι σύνθετη.

Συνέβη;

Εδώ, ελέγξτε τον εαυτό σας:

Ο τύπος αποδείχθηκε πολύ παρόμοιος με την παράγωγο του εκθέτη: όπως ήταν, παραμένει, εμφανίστηκε μόνο ένας παράγοντας, ο οποίος είναι απλώς ένας αριθμός, αλλά όχι μια μεταβλητή.

Παραδείγματα:
Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων:

Απαντήσεις:

Αυτός είναι απλώς ένας αριθμός που δεν μπορεί να υπολογιστεί χωρίς αριθμομηχανή, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί σε πιο απλή μορφή. Επομένως, στην απάντηση μένει με αυτή τη μορφή.

Σημειώστε ότι εδώ είναι το πηλίκο δύο συναρτήσεων, επομένως εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα διαφοροποίησης:

Σε αυτό το παράδειγμα, το γινόμενο δύο συναρτήσεων:

Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης

Εδώ είναι παρόμοιο: γνωρίζετε ήδη την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:

Επομένως, για να βρείτε ένα αυθαίρετο από τον λογάριθμο με διαφορετική βάση, για παράδειγμα, :

Πρέπει να φέρουμε αυτόν τον λογάριθμο στη βάση. Πώς αλλάζετε τη βάση ενός λογάριθμου; Ελπίζω να θυμάστε αυτόν τον τύπο:

Μόνο τώρα αντί για θα γράψουμε:

Ο παρονομαστής αποδείχθηκε ότι ήταν απλώς μια σταθερά (σταθερός αριθμός, χωρίς μεταβλητή). Η παράγωγος είναι πολύ απλή:

Οι παράγωγοι των εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων δεν βρίσκονται σχεδόν ποτέ στην εξέταση, αλλά δεν θα είναι περιττό να τις γνωρίζουμε.

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.

Τι είναι μια "σύνθετη συνάρτηση"; Όχι, δεν πρόκειται για λογάριθμο, ούτε για εφαπτομένη τόξου. Αυτές οι συναρτήσεις μπορεί να είναι δύσκολο να τις καταλάβετε (αν και αν ο λογάριθμος σας φαίνεται δύσκολος, διαβάστε το θέμα "Λογάριθμοι" και όλα θα πάνε καλά), αλλά όσον αφορά τα μαθηματικά, η λέξη "σύνθετη" δεν σημαίνει "δύσκολο".

Φανταστείτε έναν μικρό μεταφορέα: δύο άτομα κάθονται και κάνουν κάποιες ενέργειες με κάποια αντικείμενα. Για παράδειγμα, η πρώτη τυλίγει μια σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και η δεύτερη την δένει με μια κορδέλα. Αποδεικνύεται ένα τέτοιο σύνθετο αντικείμενο: μια μπάρα σοκολάτας τυλιγμένη και δεμένη με μια κορδέλα. Για να φάτε μια μπάρα σοκολάτας, πρέπει να κάνετε τα αντίθετα βήματα με αντίστροφη σειρά.

Ας δημιουργήσουμε έναν παρόμοιο μαθηματικό αγωγό: πρώτα θα βρούμε το συνημίτονο ενός αριθμού και μετά θα τετραγωνίσουμε τον αριθμό που προκύπτει. Έτσι, μας δίνουν έναν αριθμό (σοκολάτα), βρίσκω το συνημίτονό του (περιτύλιγμα) και μετά τετραγωνίζεις αυτό που πήρα (το δένεις με μια κορδέλα). Τι συνέβη? Λειτουργία. Αυτό είναι ένα παράδειγμα σύνθετης συνάρτησης: όταν, για να βρούμε την τιμή της, εκτελούμε την πρώτη ενέργεια απευθείας με τη μεταβλητή και, στη συνέχεια, μια άλλη δεύτερη ενέργεια με αυτό που συνέβη ως αποτέλεσμα της πρώτης.

Με άλλα λόγια, Μια σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι μια άλλη συνάρτηση: .

Για το παράδειγμά μας, .

Μπορεί κάλλιστα να κάνουμε τις ίδιες ενέργειες με αντίστροφη σειρά: πρώτα τετραγωνίζετε και μετά αναζητώ το συνημίτονο του αριθμού που προκύπτει:. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι το αποτέλεσμα θα είναι σχεδόν πάντα διαφορετικό. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των πολύπλοκων συναρτήσεων: όταν αλλάζει η σειρά των ενεργειών, αλλάζει και η συνάρτηση.

Δεύτερο παράδειγμα: (ίδιο). .

Η τελευταία ενέργεια που κάνουμε θα ονομάζεται "εξωτερική" λειτουργία, και η ενέργεια που εκτελέστηκε πρώτη - αντίστοιχα "εσωτερική" λειτουργία(αυτά είναι άτυπα ονόματα, τα χρησιμοποιώ μόνο για να εξηγήσω το υλικό σε απλή γλώσσα).

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποια συνάρτηση είναι εξωτερική και ποια εσωτερική:

Απαντήσεις:Ο διαχωρισμός των εσωτερικών και εξωτερικών συναρτήσεων μοιάζει πολύ με την αλλαγή μεταβλητών: για παράδειγμα, στη συνάρτηση

1. Τι ενέργειες θα κάνουμε πρώτα; Πρώτα υπολογίζουμε το ημίτονο και μόνο μετά το ανεβάζουμε σε κύβο. Άρα είναι μια εσωτερική λειτουργία, όχι μια εξωτερική.
   Και η αρχική λειτουργία είναι η σύνθεσή τους: .
2. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
3. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
4. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
5. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .

αλλάζουμε μεταβλητές και παίρνουμε μια συνάρτηση.

Λοιπόν, τώρα θα βγάλουμε τη σοκολάτα μας - ψάξτε για το παράγωγο. Η διαδικασία είναι πάντα αντίστροφη: πρώτα αναζητούμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, μετά πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης. Για το αρχικό παράδειγμα, μοιάζει με αυτό:

Ενα άλλο παράδειγμα:

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε επιτέλους τον επίσημο κανόνα:

Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

Φαίνεται να είναι απλό, σωστά;

Ας ελέγξουμε με παραδείγματα:

Λύσεις:

1) Εσωτερικό: ;

Εξωτερικό: ;

2) Εσωτερικό: ;

(απλώς μην προσπαθήσετε να μειώσετε μέχρι τώρα! Δεν έχει αφαιρεθεί τίποτα κάτω από το συνημίτονο, θυμάστε;)

3) Εσωτερικό: ;

Εξωτερικό: ;

Είναι αμέσως σαφές ότι υπάρχει μια σύνθετη συνάρτηση τριών επιπέδων εδώ: τελικά, αυτή είναι ήδη μια σύνθετη συνάρτηση από μόνη της, και εξακολουθούμε να εξάγουμε τη ρίζα από αυτήν, δηλαδή εκτελούμε την τρίτη ενέργεια (βάλτε τη σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και με κορδέλα σε χαρτοφύλακα). Αλλά δεν υπάρχει λόγος να φοβόμαστε: ούτως ή άλλως, θα "ξεσυσκευάσουμε" αυτή τη λειτουργία με την ίδια σειρά όπως συνήθως: από το τέλος.

Δηλαδή, πρώτα διαφοροποιούμε τη ρίζα, μετά το συνημίτονο και μόνο μετά την έκφραση σε αγκύλες. Και μετά τα πολλαπλασιάζουμε όλα.

Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι βολικό να αριθμήσετε τις ενέργειες. Δηλαδή ας φανταστούμε τι ξέρουμε. Με ποια σειρά θα εκτελέσουμε ενέργειες για να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης; Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Όσο αργότερα εκτελείται η ενέργεια, τόσο πιο «εξωτερική» θα είναι η αντίστοιχη λειτουργία. Η σειρά των ενεργειών - όπως πριν:

Εδώ η φωλιά είναι γενικά 4 επιπέδων. Ας καθορίσουμε την πορεία δράσης.

1. Ριζοσπαστική έκφραση. .

2. Ρίζα. .

3. Κόλπος. .

4. Τετράγωνο. .

5. Συνδυάζοντας τα όλα μαζί:

ΠΑΡΑΓΩΓΟ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Παράγωγος συνάρτησης- ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος με μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος:

Βασικά παράγωγα:

Κανόνες διαφοροποίησης:

Η σταθερά αφαιρείται από το πρόσημο της παραγώγου:

Παράγωγο αθροίσματος:

Παράγωγο προϊόν:

Παράγωγος του πηλίκου:

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης:

Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

1. Ορίζουμε την «εσωτερική» συνάρτηση, βρίσκουμε την παράγωγό της.
2. Ορίζουμε την "εξωτερική" συνάρτηση, βρίσκουμε την παράγωγό της.
3. Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα του πρώτου και του δεύτερου σημείου.

Δίνονται παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων χρησιμοποιώντας τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Περιεχόμενο

Δείτε επίσης: Απόδειξη του τύπου για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης

Βασικοί τύποι

Εδώ δίνουμε παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων των παρακάτω συναρτήσεων:
; ; ; ; .

Εάν μια συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως σύνθετη συνάρτηση με την ακόλουθη μορφή:
,
τότε η παράγωγός της προσδιορίζεται από τον τύπο:
.
Στα παρακάτω παραδείγματα, θα γράψουμε αυτόν τον τύπο με την ακόλουθη μορφή:
.
όπου .
Εδώ, οι δείκτες ή , που βρίσκονται κάτω από το πρόσημο της παραγώγου, δηλώνουν τη μεταβλητή ως προς την οποία εκτελείται η διαφοροποίηση.

Συνήθως, σε πίνακες παραγώγων δίνονται οι παράγωγοι συναρτήσεων από τη μεταβλητή x. Ωστόσο, το x είναι μια τυπική παράμετρος. Η μεταβλητή x μπορεί να αντικατασταθεί από οποιαδήποτε άλλη μεταβλητή. Επομένως, όταν διαφοροποιούμε μια συνάρτηση από μια μεταβλητή, απλώς αλλάζουμε, στον πίνακα των παραγώγων, τη μεταβλητή x στη μεταβλητή u .

Απλά παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Να βρείτε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης
.

Ας γράψουμε δεδομένη λειτουργίασε ισοδύναμη μορφή:
.
Στον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
;
.

Σύμφωνα με τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, έχουμε:
.
Εδώ .

Παράδειγμα 2

Βρείτε παράγωγο
.

Βγάζουμε τη σταθερά 5 πέρα ​​από το πρόσημο της παραγώγου και από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
.

.
Εδώ .

Παράδειγμα 3

Βρείτε την παράγωγο
.

Βγάζουμε το σταθερό -1 για το πρόσημο της παραγώγου και από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
;
Από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
.

Εφαρμόζουμε τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης:
.
Εδώ .

Πιο σύνθετα παραδείγματα

Σε περισσότερα δύσκολα παραδείγματαεφαρμόζουμε πολλές φορές τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης. Κάνοντας αυτό, υπολογίζουμε την παράγωγο από το τέλος. Δηλαδή, χωρίζουμε τη συνάρτηση στα συστατικά μέρη της και βρίσκουμε τις παραγώγους των απλούστερων μερών χρησιμοποιώντας πίνακας παραγώγων. Εφαρμόζουμε και εμείς κανόνες διαφοροποίησης αθροίσματος, προϊόντα και κλάσματα . Στη συνέχεια κάνουμε αντικαταστάσεις και εφαρμόζουμε τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Παράδειγμα 4

Βρείτε την παράγωγο
.

Επιλέγουμε το απλούστερο μέρος του τύπου και βρίσκουμε την παράγωγό του. .

.
Εδώ χρησιμοποιήσαμε τη σημειογραφία
.

Βρίσκουμε την παράγωγο του επόμενου μέρους της αρχικής συνάρτησης, εφαρμόζοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν. Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης του αθροίσματος:
.

Για άλλη μια φορά, εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης.

.
Εδώ .

Παράδειγμα 5

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
.

Επιλέγουμε το απλούστερο μέρος του τύπου και βρίσκουμε την παράγωγό του από τον πίνακα των παραγώγων. .

Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης.
.
Εδώ
.

Διαφοροποιούμε το επόμενο μέρος, εφαρμόζοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν.
.
Εδώ
.

Ας διαφοροποιήσουμε το επόμενο μέρος.

.
Εδώ
.

Τώρα βρίσκουμε την παράγωγο της επιθυμητής συνάρτησης.

.
Εδώ
.

Δείτε επίσης:

Αν ένα σολ(Χ) και φά(u) είναι διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις των ορισμάτων τους, αντίστοιχα, στα σημεία Χκαι u= σολ(Χ), τότε η μιγαδική συνάρτηση είναι επίσης διαφοροποιήσιμη στο σημείο Χκαι βρίσκεται από τον τύπο

Ένα τυπικό λάθος στην επίλυση προβλημάτων σε παραγώγους είναι η αυτόματη μεταφορά των κανόνων για τη διαφοροποίηση απλών συναρτήσεων σε σύνθετες συναρτήσεις. Θα μάθουμε να αποφεύγουμε αυτό το λάθος.

Παράδειγμα 2Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λάθος λύση:να υπολογίσετε τον φυσικό λογάριθμο κάθε όρου σε αγκύλες και να βρείτε το άθροισμα των παραγώγων:

Η σωστή απόφαση:πάλι καθορίζουμε πού είναι το «μήλο» και πού ο «κιμάς». Εδώ, ο φυσικός λογάριθμος της έκφρασης σε αγκύλες είναι το "μήλο", δηλαδή η συνάρτηση στο ενδιάμεσο όρισμα u, και η έκφραση σε παρένθεση είναι «κιμάς», δηλαδή ενδιάμεσο επιχείρημα uαπό ανεξάρτητη μεταβλητή Χ.

Στη συνέχεια (χρησιμοποιώντας τον τύπο 14 από τον πίνακα παραγώγων)

Σε πολλά πραγματικά προβλήματα, η έκφραση με τον λογάριθμο είναι κάπως πιο περίπλοκη, γι' αυτό υπάρχει ένα μάθημα

Παράδειγμα 3Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λάθος λύση:

Η σωστή απόφαση.Για άλλη μια φορά καθορίζουμε πού το «μήλο» και πού ο «κιμάς». Εδώ, το συνημίτονο της έκφρασης σε αγκύλες (τύπος 7 στον πίνακα παραγώγων) είναι "μήλο", μαγειρεύεται στον τρόπο 1, επηρεάζοντας μόνο αυτό, και η έκφραση σε αγκύλες (η παράγωγος του βαθμού - αριθμός 3 στο πίνακας παραγώγων) είναι "κιμάς", μαγειρεύεται στον τρόπο 2, επηρεάζοντας μόνο αυτόν. Και όπως πάντα, συνδέουμε δύο παράγωγα με σήμα προϊόντος. Αποτέλεσμα:

Παράγωγο συμπλέγματος λογαριθμική συνάρτηση- μια συχνή εργασία σε δοκιμές, γι' αυτό σας συνιστούμε ανεπιφύλακτα να επισκεφτείτε το μάθημα "Η παράγωγος μιας λογαριθμικής συνάρτησης".

Τα πρώτα παραδείγματα ήταν για σύνθετες συναρτήσεις, στις οποίες το ενδιάμεσο όρισμα πάνω από την ανεξάρτητη μεταβλητή ήταν μια απλή συνάρτηση. Αλλά σε πρακτικές εργασίες απαιτείται συχνά να βρεθεί η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης, όπου το ενδιάμεσο όρισμα είτε είναι από μόνο του μια σύνθετη συνάρτηση είτε περιέχει μια τέτοια συνάρτηση. Τι να κάνετε σε τέτοιες περιπτώσεις; Βρείτε παραγώγους τέτοιων συναρτήσεων χρησιμοποιώντας πίνακες και κανόνες διαφοροποίησης. Όταν βρεθεί η παράγωγος του ενδιάμεσου ορίσματος, απλώς αντικαθίσταται στη σωστή θέση στον τύπο. Ακολουθούν δύο παραδείγματα για το πώς γίνεται αυτό.

Επιπλέον, είναι χρήσιμο να γνωρίζετε τα ακόλουθα. Αν μια σύνθετη συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως αλυσίδα τριών συναρτήσεων

τότε η παράγωγός της θα πρέπει να βρεθεί ως το γινόμενο των παραγώγων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις:

Πολλές από τις εργασίες για το σπίτι σας μπορεί να απαιτούν να ανοίξετε μαθήματα σε νέα παράθυρα. Δράσεις με δυνάμεις και ρίζεςκαι Ενέργειες με κλάσματα .

Παράδειγμα 4Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης, χωρίς να ξεχνάμε ότι στο προκύπτον γινόμενο των παραγώγων, το ενδιάμεσο όρισμα ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή Χδεν αλλάζει:

Ετοιμάζουμε τον δεύτερο παράγοντα του προϊόντος και εφαρμόζουμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση του αθροίσματος:

Ο δεύτερος όρος είναι η ρίζα, άρα

Έτσι, προέκυψε ότι το ενδιάμεσο όρισμα, που είναι το άθροισμα, περιέχει μια μιγαδική συνάρτηση ως έναν από τους όρους: η εκθετικότητα είναι μια σύνθετη συνάρτηση και ό,τι αυξάνεται σε μια ισχύ είναι ένα ενδιάμεσο όρισμα από μια ανεξάρτητη μεταβλητή Χ.

Επομένως, εφαρμόζουμε ξανά τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:

Μετατρέπουμε τον βαθμό του πρώτου παράγοντα σε ρίζα και διαφοροποιώντας τον δεύτερο παράγοντα, δεν ξεχνάμε ότι η παράγωγος της σταθεράς είναι ίση με μηδέν:

Τώρα μπορούμε να βρούμε την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος που απαιτείται για τον υπολογισμό της παραγώγου της μιγαδικής συνάρτησης που απαιτείται στην συνθήκη του προβλήματος y:

Παράδειγμα 5Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αρχικά, χρησιμοποιούμε τον κανόνα της διαφοροποίησης του αθροίσματος:

Πάρτε το άθροισμα των παραγώγων δύο μιγαδικών συναρτήσεων. Βρείτε το πρώτο:

Εδώ, η αύξηση του ημιτόνου σε ισχύ είναι μια σύνθετη συνάρτηση και το ίδιο το ημίτονο είναι ένα ενδιάμεσο όρισμα στην ανεξάρτητη μεταβλητή Χ. Επομένως, στην πορεία χρησιμοποιούμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης βγάζοντας τον πολλαπλασιαστή από αγκύλες :

Τώρα βρίσκουμε τον δεύτερο όρο από αυτούς που σχηματίζουν την παράγωγο της συνάρτησης y:

Εδώ, η αύξηση του συνημιτόνου σε ισχύ είναι μια σύνθετη συνάρτηση φά, και το ίδιο το συνημίτονο είναι ένα ενδιάμεσο όρισμα σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή Χ. Και πάλι, χρησιμοποιούμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:

Το αποτέλεσμα είναι η απαιτούμενη παράγωγος:

Πίνακας παραγώγων ορισμένων μιγαδικών συναρτήσεων

Για σύνθετες συναρτήσεις, με βάση τον κανόνα διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης, ο τύπος για την παράγωγο μιας απλής συνάρτησης παίρνει διαφορετική μορφή.

1. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης ισχύος, όπου u Χ
2. Παράγωγο της ρίζας της έκφρασης
3. Παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης
4. Ειδική περίπτωση της εκθετικής συνάρτησης
5. Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης με αυθαίρετη θετική βάση ένα
6. Παράγωγος μιγαδικής λογαριθμικής συνάρτησης, όπου uείναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση του επιχειρήματος Χ
7. Ημιτονοειδής παράγωγος
8. Παράγωγο συνημιτόνου
9. Εφαπτομένη παράγωγος
10. Παράγωγο συνεφαπτομένης
11. Παράγωγο του τόξου
12. Παράγωγο συνημιτόνου τόξου
13. Παράγωγος εφαπτομένης τόξου
14. Παράγωγος της αντίστροφης εφαπτομένης

Και το θεώρημα για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, η διατύπωση της οποίας έχει ως εξής:

Έστω 1) η συνάρτηση $u=\varphi (x)$ έχει παράγωγο $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ κάποια στιγμή $x_0$, 2) η συνάρτηση $y=f(u)$ έχει στο αντίστοιχο σημείο $u_0=\varphi (x_0)$ την παράγωγο $y_(u)"=f"(u)$. Τότε η σύνθετη συνάρτηση $y=f\left(\varphi (x) \right)$ στο αναφερόμενο σημείο θα έχει επίσης μια παράγωγο ίση με το γινόμενο των παραγώγων των συναρτήσεων $f(u)$ και $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

ή, με συντομότερο συμβολισμό: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Στα παραδείγματα αυτής της ενότητας, όλες οι συναρτήσεις έχουν τη μορφή $y=f(x)$ (δηλαδή, θεωρούμε μόνο συναρτήσεις μιας μεταβλητής $x$). Αντίστοιχα, σε όλα τα παραδείγματα, η παράγωγος $y"$ λαμβάνεται σε σχέση με τη μεταβλητή $x$. Για να τονίσουμε ότι η παράγωγος λαμβάνεται σε σχέση με τη μεταβλητή $x$, συχνά γράφει $y"_x$ αντί για $ y"$.

Τα παραδείγματα #1, #2 και #3 παρέχουν μια λεπτομερή διαδικασία για την εύρεση της παραγώγου μιγαδικών συναρτήσεων. Το Παράδειγμα Νο. 4 προορίζεται για την πληρέστερη κατανόηση του πίνακα παραγώγων και είναι λογικό να εξοικειωθείτε με αυτόν.

Συνιστάται, αφού μελετήσετε την ύλη στα παραδείγματα Νο. 1-3, να μεταβείτε στο ανεξάρτητη απόφασηπαραδείγματα #5, #6 και #7. Τα παραδείγματα #5, #6 και #7 περιέχουν σύντομη λύσηώστε ο αναγνώστης να επαληθεύσει την ορθότητα του αποτελέσματός του.

Παράδειγμα #1

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $y=e^(\cos x)$.

Πρέπει να βρούμε την παράγωγο της μιγαδικής συνάρτησης $y"$. Αφού $y=e^(\cos x)$, τότε $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Προς βρείτε την παράγωγο $ \left(e^(\cos x)\right)"$ χρησιμοποιήστε τον τύπο #6 από τον πίνακα των παραγώγων. Για να χρησιμοποιήσετε τον τύπο Νο. 6, πρέπει να λάβετε υπόψη ότι στην περίπτωσή μας $u=\cos x$. Η περαιτέρω λύση συνίσταται σε μια απλή αντικατάσταση της έκφρασης $\cos x$ αντί για $u$ στον τύπο Νο. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Τώρα πρέπει να βρούμε την τιμή της έκφρασης $(\cos x)"$. Και πάλι στραφούμε στον πίνακα των παραγώγων, επιλέγοντας τον τύπο Νο. 10 από αυτόν. Αντικαθιστώντας το $u=x$ στον τύπο Νο. 10, έχουμε : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Τώρα συνεχίζουμε την ισότητα (1.1), συμπληρώνοντάς την με το αποτέλεσμα που βρέθηκε:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Αφού $x"=1$, συνεχίζουμε την ισότητα (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Άρα, από την ισότητα (1.3) έχουμε: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ Φυσικά, οι εξηγήσεις και οι ενδιάμεσες ισότητες συνήθως παραλείπονται, γράφοντας την παράγωγο σε μία γραμμή, όπως στην ισότητα ( 1.3) Έτσι, βρέθηκε η παράγωγος της μιγαδικής συνάρτησης, μένει μόνο να γράψουμε την απάντηση.

Απάντηση: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Παράδειγμα #2

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Πρέπει να υπολογίσουμε την παράγωγο $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Αρχικά, σημειώνουμε ότι η σταθερά (δηλαδή ο αριθμός 9) μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Τώρα ας στραφούμε στην έκφραση $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Για να διευκολυνθεί η επιλογή του επιθυμητού τύπου από τον πίνακα των παραγώγων, θα παρουσιάσω την έκφραση στην ερώτηση με αυτήν τη μορφή: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Τώρα είναι σαφές ότι είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ο τύπος Νο. 2, δηλ. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Αντικαταστήστε τα $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ και $\alpha=12$ σε αυτόν τον τύπο:

Συμπληρώνοντας την ισότητα (2.1) με το ληφθέν αποτέλεσμα, έχουμε:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Σε αυτήν την περίπτωση, συχνά γίνεται ένα λάθος όταν ο λύτης στο πρώτο βήμα επιλέγει τον τύπο $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ αντί για τον τύπο $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Το θέμα είναι ότι πρέπει πρώτα να βρεθεί η παράγωγος της εξωτερικής συνάρτησης. Για να κατανοήσετε ποια συνάρτηση θα είναι εξωτερική της έκφρασης $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, φανταστείτε ότι μετράτε την τιμή της έκφρασης $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ για κάποια τιμή $x$. Πρώτα υπολογίζετε την τιμή των $5^x$ και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάζετε το αποτέλεσμα επί 4 για να πάρετε $4\cdot 5^x$. Τώρα παίρνουμε την εφαπτομένη από αυτό το αποτέλεσμα, παίρνοντας $\arctg(4\cdot 5^x)$. Στη συνέχεια ανεβάζουμε τον αριθμό που προκύπτει στη δωδέκατη δύναμη, παίρνοντας $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Η τελευταία ενέργεια, δηλ. αύξηση στην ισχύ του 12, - και θα είναι μια εξωτερική συνάρτηση. Και από αυτό πρέπει να αρχίσει κανείς να βρίσκει το παράγωγο, το οποίο έγινε με ισότητα (2.2).

Τώρα πρέπει να βρούμε το $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Χρησιμοποιούμε τον τύπο Νο. 19 του πίνακα παραγώγων, αντικαθιστώντας το $u=4\cdot \ln x$ σε αυτόν:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Ας απλοποιήσουμε ελαφρώς την έκφραση που προκύπτει, λαμβάνοντας υπόψη $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Η ισότητα (2.2) θα γίνει τώρα:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Απομένει να βρούμε $(4\cdot \ln x)"$. Βγάζουμε τη σταθερά (δηλαδή 4) από το πρόσημο της παραγώγου: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Για Για να βρούμε το $(\ln x)"$, χρησιμοποιούμε τον τύπο Νο. 8, αντικαθιστώντας το $u=x$ σε αυτόν: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Αφού $x"=1$, τότε $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα που προέκυψε στον τύπο (2.3), λαμβάνουμε:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Να σας υπενθυμίσω ότι η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι τις περισσότερες φορές σε μία γραμμή, όπως γράφεται στην τελευταία ισότητα. Επομένως, όταν κάνετε τυπικούς υπολογισμούς ή εργασίες ελέγχουδεν είναι απαραίτητο να περιγράψουμε τη λύση με τόση λεπτομέρεια.

Απάντηση: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Παράδειγμα #3

Βρείτε το $y"$ της συνάρτησης $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Αρχικά, ας μετατρέψουμε ελαφρώς τη συνάρτηση $y$ εκφράζοντας τη ρίζα (ρίζα) ως δύναμη: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \δεξιά)^(\frac(3)(7))$. Τώρα ας αρχίσουμε να βρίσκουμε την παράγωγο. Αφού $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, τότε:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Χρησιμοποιούμε τον τύπο Νο. 2 από τον πίνακα των παραγώγων, αντικαθιστώντας τα $u=\sin(5\cdot 9^x)$ και $\alpha=\frac(3)(7)$ σε αυτόν:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Συνεχίζουμε την ισότητα (3.1) χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα που προκύπτει:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Τώρα πρέπει να βρούμε το $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Για αυτό, χρησιμοποιούμε τον τύπο Νο. 9 από τον πίνακα των παραγώγων, αντικαθιστώντας το $u=5\cdot 9^x$ σε αυτόν:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Συμπληρώνοντας την ισότητα (3.2) με το ληφθέν αποτέλεσμα, έχουμε:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Απομένει να βρούμε το $(5\cdot 9^x)"$. Αρχικά, αφαιρούμε τη σταθερά (τον αριθμό $5$) από το πρόσημο της παραγώγου, δηλ. $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Για να βρούμε την παράγωγο $(9^x)"$, εφαρμόζουμε τον τύπο Νο. 5 του πίνακα παραγώγων, αντικαθιστώντας τα $a=9$ και $u=x$ σε αυτόν: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Αφού $x"=1$, τότε $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Τώρα μπορούμε να συνεχίσουμε την ισότητα (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Μπορείτε να επιστρέψετε από powers σε ριζικές (δηλαδή ρίζες) ξανά γράφοντας $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ ως $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^ x))) $. Τότε η παράγωγος θα γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

Απάντηση: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Παράδειγμα #4

Δείξτε ότι οι τύποι Νο. 3 και Νο. 4 του πίνακα παραγώγων αποτελούν ειδική περίπτωση του τύπου Νο. 2 αυτού του πίνακα.

Στον τύπο Νο 2 του πίνακα των παραγώγων γράφεται η παράγωγος της συνάρτησης $u^\alpha$. Αντικαθιστώντας το $\alpha=-1$ στον τύπο #2, παίρνουμε:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Εφόσον $u^(-1)=\frac(1)(u)$ και $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, η ισότητα (4.1) μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Αυτός είναι ο τύπος αριθμός 3 του πίνακα παραγώγων.

Ας στραφούμε ξανά στον τύπο Νο. 2 του πίνακα παραγώγων. Αντικαταστήστε το $\alpha=\frac(1)(2)$ σε αυτό:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Αφού $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ και $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, τότε η ισότητα (4.2) μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Η προκύπτουσα ισότητα $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ είναι ο τύπος Νο. 4 του πίνακα παραγώγων. Όπως μπορείτε να δείτε, οι τύποι Νο. 3 και Νο. 4 του πίνακα παραγώγων λαμβάνονται από τον τύπο Νο. 2 αντικαθιστώντας την αντίστοιχη τιμή $\alpha$.