1. Αναμενόμενη αξίασταθερή τιμή είναι ίση με την πιο σταθερή M(S)=S
.
2. Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ζώδιο της προσδοκίας: M(CX)=CM(X)
3. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους: Μ(ΧΥ)=Μ(Χ) Μ(Υ).
4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων: Μ(Χ+Υ)=Μ(Χ)+Μ(Υ).
Θεώρημα. Η μαθηματική προσδοκία M(x) του αριθμού των εμφανίσεων των γεγονότων A σε n ανεξάρτητες δοκιμές είναι ίση με το γινόμενο αυτών των δοκιμών με την πιθανότητα εμφάνισης γεγονότων σε κάθε δοκιμή: M(x) = np.
Αφήνω Χ είναι μια τυχαία μεταβλητή και M(X) είναι η μαθηματική προσδοκία του. Θεωρήστε ως καινούργιο τυχαία μεταβλητήδιαφορά Χ - Μ(Χ).
Η απόκλιση είναι η διαφορά μεταξύ μιας τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής της προσδοκίας.
Η απόκλιση έχει τον ακόλουθο νόμο κατανομής:
Λύση: Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Ας γράψουμε τον νόμο κατανομής της τετραγωνικής απόκλισης:
Λύση: Βρείτε την προσδοκία M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5
Ας γράψουμε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X 2
| x2 | |||
| Π | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Η επιθυμητή διασπορά D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05
Ιδιότητες διασποράς:
1. Διασπορά σταθερής τιμής ΑΠΟ
ισούται με μηδέν: D(C)=0
2. Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς το. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Η διακύμανση του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων αυτών των μεταβλητών. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Διασπορά διωνυμική κατανομήείναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών με την πιθανότητα εμφάνισης και μη εμφάνισης ενός συμβάντος σε μία δοκιμή D(X)=npq
Για την εκτίμηση της διασποράς των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μέση τιμή της, εκτός από τη διακύμανση, εξυπηρετούν και κάποια άλλα χαρακτηριστικά. Μεταξύ αυτών είναι η τυπική απόκλιση.
Η τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Χονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:
σ(X) = √D(X) (4)
Παράδειγμα. Η τυχαία μεταβλητή Χ δίνεται από τον νόμο κατανομής
| Χ | |||
| Π | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Βρείτε την τυπική απόκλιση σ(x)
Λύση: Να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία Χ: Μ(χ)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία του X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Βρείτε τη διασπορά: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Επιθυμητή τυπική απόκλιση σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61
Θεώρημα. Η μέση τετραγωνική απόκλιση ρίζας του αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι τετραγωνική ρίζααπό το άθροισμα των τετραγωνικών τυπικών αποκλίσεων αυτών των μεγεθών:
Παράδειγμα. Υπάρχουν 3 βιβλία για τα μαθηματικά και 3 για τη φυσική σε ένα ράφι 6 βιβλίων. Τρία βιβλία επιλέγονται τυχαία. Βρείτε τον νόμο κατανομής του αριθμού των βιβλίων στα μαθηματικά ανάμεσα στα επιλεγμένα βιβλία. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής.
D (X) \u003d M (X 2) - M (X) 2 \u003d 2,7 - 1,5 2 \u003d 0,45
Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της και των πιθανοτήτων τους.
Έστω ότι μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει μόνο οι πιθανότητες της οποίας είναι αντίστοιχα ίσες.Τότε η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής καθορίζεται από την ισότητα
Εάν μια διακριτή τυχαία μεταβλητή λάβει ένα μετρήσιμο σύνολο πιθανών τιμών, τότε
Επιπλέον, η μαθηματική προσδοκία υπάρχει εάν η σειρά στη δεξιά πλευρά της ισότητας συγκλίνει απόλυτα.
Σχόλιο. Από τον ορισμό προκύπτει ότι η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι μια μη τυχαία (σταθερή) μεταβλητή.
Ορισμός της μαθηματικής προσδοκίας στη γενική περίπτωση
Ας ορίσουμε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής της οποίας η κατανομή δεν είναι απαραίτητα διακριτή. Ας ξεκινήσουμε με την περίπτωση των μη αρνητικών τυχαίων μεταβλητών. Η ιδέα θα είναι να προσεγγίσουμε τέτοιες τυχαίες μεταβλητές με τη βοήθεια διακριτών, για τις οποίες η μαθηματική προσδοκία έχει ήδη καθοριστεί, και να ορίσουμε τη μαθηματική προσδοκία ίση με το όριο των μαθηματικών προσδοκιών των διακριτών τυχαίων μεταβλητών που την προσεγγίζουν. Παρεμπιπτόντως, αυτή είναι μια πολύ χρήσιμη γενική ιδέα, η οποία συνίσταται στο γεγονός ότι κάποιο χαρακτηριστικό προσδιορίζεται πρώτα για απλά αντικείμενα και στη συνέχεια για πιο σύνθετα αντικείμενα προσδιορίζεται προσεγγίζοντάς τα με πιο απλά.
Λήμμα 1. Έστω να υπάρχει μια αυθαίρετη μη αρνητική τυχαία μεταβλητή. Στη συνέχεια, υπάρχει μια ακολουθία διακριτών τυχαίων μεταβλητών έτσι ώστε
Απόδειξη. Ας χωρίσουμε τον ημιάξονα σε ίσα τμήματα μήκους και ας ορίσουμε
Στη συνέχεια, οι ιδιότητες 1 και 2 ακολουθούν εύκολα από τον ορισμό μιας τυχαίας μεταβλητής και
Λήμμα 2. Έστω μια μη αρνητική τυχαία μεταβλητή και δύο ακολουθίες διακριτών τυχαίων μεταβλητών με ιδιότητες 1-3 από το Λήμμα 1. Στη συνέχεια
Απόδειξη. Σημειώστε ότι για μη αρνητικές τυχαίες μεταβλητές επιτρέπουμε
Με την ιδιότητα 3, είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι υπάρχει μια ακολουθία θετικούς αριθμούς, τέτοιο που
Ως εκ τούτου προκύπτει ότι
Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μαθηματικών προσδοκιών για διακριτές τυχαίες μεταβλητές, λαμβάνουμε
Περνώντας στο όριο καθώς λαμβάνουμε τον ισχυρισμό του Λήμματος 2.
Ορισμός 1. Έστω μια μη αρνητική τυχαία μεταβλητή, είναι μια ακολουθία διακριτών τυχαίων μεταβλητών με ιδιότητες 1-3 από το Λήμμα 1. Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ο αριθμός
Το Lemma 2 εγγυάται ότι δεν εξαρτάται από την επιλογή της κατά προσέγγιση ακολουθίας.
Έστω τώρα μια αυθαίρετη τυχαία μεταβλητή. Ας ορίσουμε
Από τον ορισμό και εύκολα προκύπτει ότι
Ορισμός 2. Η μαθηματική προσδοκία μιας αυθαίρετης τυχαίας μεταβλητής είναι ο αριθμός
Αν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς στη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας είναι πεπερασμένος.
Ιδιότητες προσδοκίας
Ιδιότητα 1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με την ίδια τη σταθερά:
Απόδειξη. Θα θεωρήσουμε μια σταθερά ως μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που έχει μια πιθανή τιμή και την παίρνει με πιθανότητα, επομένως,
Παρατήρηση 1. Ορίζουμε το γινόμενο μιας σταθερής τιμής από μια διακριτή τυχαία μεταβλητή ως μια διακριτή τυχαία μεταβλητή της οποίας οι πιθανές τιμές είναι ίσες με τα γινόμενα μιας σταθεράς κατά πιθανές τιμές. οι πιθανότητες των πιθανών τιμών είναι ίσες με τις πιθανότητες των αντίστοιχων δυνατών τιμών. Για παράδειγμα, εάν η πιθανότητα μιας πιθανής τιμής είναι ίση, τότε η πιθανότητα ότι η τιμή θα λάβει μια τιμή είναι επίσης ίση με
Ιδιότητα 2. Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο προσδοκίας:
Απόδειξη. Έστω η τυχαία μεταβλητή που δίνεται από τον νόμο κατανομής πιθανότητας:
Λαμβάνοντας υπόψη την παρατήρηση 1, γράφουμε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής
Παρατήρηση 2. Πριν προχωρήσουμε στην επόμενη ιδιότητα, υποδεικνύουμε ότι δύο τυχαίες μεταβλητές ονομάζονται ανεξάρτητες εάν ο νόμος κατανομής μιας από αυτές δεν εξαρτάται από τις πιθανές τιμές που έχει λάβει η άλλη μεταβλητή. Διαφορετικά, οι τυχαίες μεταβλητές είναι εξαρτημένες. Πολλές τυχαίες μεταβλητές ονομάζονται αμοιβαία ανεξάρτητες εάν οι νόμοι κατανομής οποιουδήποτε αριθμού από αυτές δεν εξαρτώνται από τις πιθανές τιμές που έχουν λάβει οι άλλες μεταβλητές.
Παρατήρηση 3. Ορίζουμε το γινόμενο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών και ως τυχαία μεταβλητή οι πιθανές τιμές της οποίας είναι ίσες με τα γινόμενα κάθε πιθανής τιμής με κάθε πιθανή τιμή οι πιθανότητες των πιθανών τιμών του προϊόντος είναι ίσες στα γινόμενα των πιθανοτήτων των πιθανών τιμών των παραγόντων. Για παράδειγμα, εάν η πιθανότητα μιας πιθανής τιμής είναι, η πιθανότητα μιας πιθανής τιμής είναι τότε η πιθανότητα μιας πιθανής τιμής είναι
Ιδιότητα 3. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:
Απόδειξη. Έστω ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές και δίνονται από τους δικούς τους νόμους κατανομής πιθανοτήτων:
Ας σχηματίσουμε όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει μια τυχαία μεταβλητή. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε όλες τις πιθανές τιμές με κάθε πιθανή τιμή. ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε και, λαμβάνοντας υπόψη την παρατήρηση 3, γράφουμε τον νόμο διανομής υποθέτοντας για απλότητα ότι όλες οι πιθανές τιμές του προϊόντος είναι διαφορετικές (αν δεν συμβαίνει αυτό, τότε η απόδειξη πραγματοποιείται με παρόμοιο τρόπο):
Η μαθηματική προσδοκία είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών και των πιθανοτήτων τους:
Συνέπεια. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου πολλών αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.
Ιδιότητα 4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων:
Απόδειξη. Έστω τυχαίες μεταβλητές και δίνονται από τους ακόλουθους νόμους κατανομής:
Συνθέστε όλες τις πιθανές τιμές της ποσότητας Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε κάθε δυνατή τιμή σε κάθε πιθανή τιμή. λαμβάνουμε Ας υποθέσουμε για απλότητα ότι αυτές οι πιθανές τιμές είναι διαφορετικές (αν δεν συμβαίνει αυτό, τότε η απόδειξη πραγματοποιείται με παρόμοιο τρόπο) και υποδηλώνουμε τις πιθανότητες τους με και αντίστοιχα
Η μαθηματική προσδοκία μιας τιμής είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων των πιθανών τιμών από τις πιθανότητες τους:
Ας αποδείξουμε ότι ένα Γεγονός που συνίσταται στη λήψη μιας τιμής (η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι ίση) συνεπάγεται ένα γεγονός που συνίσταται στη λήψη της τιμής ή (η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι ίση με το θεώρημα πρόσθεσης) και αντίστροφα. Ως εκ τούτου προκύπτει ότι Οι ισότητες
Αντικαθιστώντας τα σωστά μέρη αυτών των ισοτήτων σε σχέση (*), λαμβάνουμε
ή τέλος
Διασπορά και τυπική απόκλιση
Στην πράξη, συχνά απαιτείται να εκτιμηθεί η διασπορά των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μέση τιμή της. Για παράδειγμα, στο πυροβολικό είναι σημαντικό να γνωρίζουμε πόσο κοντά θα πέσουν οι οβίδες κοντά στον στόχο που πρέπει να χτυπηθεί.
Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι ο ευκολότερος τρόπος για να εκτιμήσετε τη σκέδαση είναι να υπολογίσετε όλες τις πιθανές τιμές της απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής και στη συνέχεια να βρείτε τη μέση τιμή τους. Ωστόσο, αυτή η διαδρομή δεν θα δώσει τίποτα, αφού η μέση τιμή της απόκλισης, δηλ. για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή είναι μηδέν. Αυτή η ιδιότητα εξηγείται από το γεγονός ότι ορισμένες πιθανές αποκλίσεις είναι θετικές, ενώ άλλες είναι αρνητικές. ως αποτέλεσμα της αμοιβαίας ακύρωσής τους, η μέση τιμή της απόκλισης είναι μηδέν. Αυτές οι εκτιμήσεις υποδεικνύουν τη σκοπιμότητα αντικατάστασης πιθανών αποκλίσεων τους απόλυτες τιμέςή τα τετράγωνά τους. Έτσι το κάνουν στην πράξη. Είναι αλήθεια ότι στην περίπτωση που οι πιθανές αποκλίσεις αντικατασταθούν από τις απόλυτες τιμές τους, πρέπει κανείς να λειτουργήσει με απόλυτες τιμές, κάτι που μερικές φορές οδηγεί σε σοβαρές δυσκολίες. Ως εκ τούτου, τις περισσότερες φορές πηγαίνουν προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλ. να υπολογίσετε τη μέση τιμή της τετραγωνικής απόκλισης, η οποία ονομάζεται διακύμανση.
Η μαθηματική προσδοκία είναι η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής.Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της και των πιθανοτήτων τους:
Παράδειγμα.
X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5
Λύση: Η μαθηματική προσδοκία είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών του X και των πιθανοτήτων τους:
M (X) \u003d 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.
Για να υπολογίσετε τη μαθηματική προσδοκία, είναι βολικό να πραγματοποιείτε υπολογισμούς στο Excel (ειδικά όταν υπάρχουν πολλά δεδομένα), προτείνουμε να χρησιμοποιήσετε ένα έτοιμο πρότυπο ().
Παράδειγμα για ανεξάρτητη λύση(μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή).
Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X που δίνεται από τον νόμο κατανομής:
Χ 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4
Η μαθηματική προσδοκία έχει τις ακόλουθες ιδιότητες.
Ιδιότητα 1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με την ίδια τη σταθερά: М(С)=С.
Ιδιότητα 2. Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο προσδοκίας: М(СХ)=СМ(Х).
Ιδιότητα 3. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών των παραγόντων: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)
Ιδιότητα 4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών ισούται με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Χn).
Πρόβλημα 189. Να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Z αν οι μαθηματικές προσδοκίες X και Y είναι γνωστές: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Λύση: Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας (η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων· ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο προσδοκίας), παίρνουμε M(Z)=M (X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας, να αποδείξετε ότι: α) M(X - Y) = M(X)-M (Y); β) η μαθηματική προσδοκία της απόκλισης Χ-Μ(Χ) είναι μηδέν.
191. Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X παίρνει τρεις πιθανές τιμές: x1= 4 Με πιθανότητα p1 = 0,5; x3 = 6 Με πιθανότητα P2 = 0,3 και x3 με πιθανότητα p3. Βρείτε: x3 και p3, γνωρίζοντας ότι M(X)=8.
192. Δίνεται μια λίστα με πιθανές τιμές μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, οι μαθηματικές προσδοκίες αυτής της ποσότητας και του τετραγώνου της είναι επίσης γνωστές: M (X ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0 ,9. Βρείτε τις πιθανότητες p1, p2, p3 που αντιστοιχούν σε πιθανές τιμές xi
194. Μια παρτίδα 10 εξαρτημάτων περιέχει τρία μη τυποποιημένα εξαρτήματα. Δύο στοιχεία επιλέχθηκαν τυχαία. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X - τον αριθμό των μη τυπικών τμημάτων μεταξύ δύο επιλεγμένων.
196. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ-αριθμός τέτοιων ρίψεων πέντε ζαριών, σε καθένα από τα οποία θα εμφανίζεται ένας σημείο σε δύο ζάρια, αν ο συνολικός αριθμός των ρίψεων είναι είκοσι.
Η μαθηματική προσδοκία της διωνυμικής κατανομής είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών και της πιθανότητας να συμβεί ένα συμβάν σε μία δοκιμή:
Τυχαία μεταβλητήκαλείται μια μεταβλητή η οποία, ως αποτέλεσμα κάθε δοκιμής, παίρνει μια προηγουμένως άγνωστη τιμή, ανάλογα με τυχαίες αιτίες. Οι τυχαίες μεταβλητές συμβολίζονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Με τον τύπο τους, οι τυχαίες μεταβλητές μπορούν να είναι διακεκριμένοςκαι συνεχής.
Διακριτή τυχαία μεταβλητή- αυτή είναι μια τόσο τυχαία μεταβλητή, οι τιμές της οποίας δεν μπορούν να είναι περισσότερες από μετρήσιμες, δηλαδή είτε πεπερασμένες είτε μετρήσιμες. Καταμετρησιμότητα σημαίνει ότι μπορούν να απαριθμηθούν οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής.
Παράδειγμα 1 . Ας δώσουμε παραδείγματα διακριτών τυχαίων μεταβλητών:
α) ο αριθμός των χτυπημάτων στο στόχο με $n$ βολές, εδώ οι πιθανές τιμές είναι $0,\ 1,\ \dots,\ n$.
β) ο αριθμός των εθνόσημων που έπεσαν έξω κατά την ρίψη ενός κέρματος, εδώ οι πιθανές τιμές είναι $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
γ) τον αριθμό των πλοίων που έφθασαν επί του πλοίου (ένα μετρήσιμο σύνολο τιμών).
δ) τον αριθμό των κλήσεων που φτάνουν στο κέντρο (ένα μετρήσιμο σύνολο τιμών).
1. Νόμος κατανομής πιθανοτήτων μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.
Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή $X$ μπορεί να πάρει τις τιμές $x_1,\dots ,\ x_n$ με πιθανότητες $p\left(x_1\right),\ \dots,\ p\left(x_n\right)$. Η αντιστοιχία μεταξύ αυτών των τιμών και των πιθανοτήτων τους ονομάζεται νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Κατά κανόνα, αυτή η αντιστοιχία καθορίζεται χρησιμοποιώντας έναν πίνακα, στην πρώτη γραμμή του οποίου υποδεικνύονται οι τιμές $x_1,\dots,\ x_n$ και στη δεύτερη γραμμή οι πιθανότητες που αντιστοιχούν σε αυτές τις τιμές είναι $ p_1,\dots,\ p_n$.
$\begin(πίνακας)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(πίνακας)$
Παράδειγμα 2 . Έστω η τυχαία μεταβλητή $X$ ο αριθμός των πόντων που ρίχνονται όταν ρίχνονται ένα ζάρι. Μια τέτοια τυχαία μεταβλητή $X$ μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Οι πιθανότητες όλων αυτών των τιμών είναι ίσες με $1/6$. Στη συνέχεια, ο νόμος κατανομής πιθανότητας για την τυχαία μεταβλητή $X$:
$\begin(πίνακας)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(πίνακας)$
Σχόλιο. Εφόσον τα συμβάντα $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα γεγονότων στον νόμο κατανομής της διακριτής τυχαίας μεταβλητής $X$, το άθροισμα των πιθανοτήτων πρέπει να είναι ίσο με ένα, δηλ. $\sum( p_i)=1$.
2. Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.
Μαθηματική προσδοκία τυχαίας μεταβλητήςκαθορίζει την «κεντρική» του τιμή. Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, η μαθηματική προσδοκία υπολογίζεται ως το άθροισμα των γινομένων των τιμών $x_1,\dots ,\ x_n$ και των πιθανοτήτων $p_1,\dots,\ p_n$ που αντιστοιχούν σε αυτές τις τιμές, δηλ.: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Στην αγγλική βιβλιογραφία, χρησιμοποιείται ένας άλλος συμβολισμός $E\left(X\right)$.
Ιδιότητες προσδοκίας$M\αριστερά(X\δεξιά)$:
- Το $M\left(X\right)$ είναι μεταξύ του μικρότερου και υψηλότερες αξίεςτυχαία μεταβλητή $X$.
- Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθεράς είναι ίση με την ίδια τη σταθερά, δηλ. $M\left(C\right)=C$.
- Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο προσδοκίας: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Παράδειγμα 3 . Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $X$ από το παράδειγμα $2$.
$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\πάνω (6))+2\cdot ((1)\πάνω (6) )+3\cdot ((1)\πάνω (6))+4\cdot ((1)\πάνω (6))+5\cdot ((1)\πάνω (6))+6\cdot ((1 )\πάνω (6))=3,5.$$
Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το $M\left(X\right)$ βρίσκεται μεταξύ της μικρότερης ($1$) και της μεγαλύτερης ($6$) τιμών της τυχαίας μεταβλητής $X$.
Παράδειγμα 4 . Είναι γνωστό ότι η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $M\left(X\right)=2$. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $3X+5$.
Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, παίρνουμε $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.
Παράδειγμα 5 . Είναι γνωστό ότι η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $M\left(X\right)=4$. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $2X-9$.
Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, παίρνουμε $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.
Πιθανές τιμές τυχαίων μεταβλητών με ίσες μαθηματικές προσδοκίες μπορεί να διασκορπιστούν διαφορετικά γύρω από τις μέσες τιμές τους. Για παράδειγμα, σε δύο μαθητικές ομάδες ΣΔΣγια την εξέταση στη θεωρία πιθανοτήτων αποδείχθηκε ίσο με 4, αλλά σε μια ομάδα όλοι αποδείχθηκαν καλοί μαθητές και στην άλλη ομάδα - μόνο τρεις και άριστοι μαθητές. Επομένως, υπάρχει ανάγκη για ένα τέτοιο αριθμητικό χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής, το οποίο θα δείχνει την εξάπλωση των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τις μαθηματικές προσδοκίες της. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι η διασπορά.
Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής$X$ είναι:
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$
Στην αγγλική βιβλιογραφία, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Πολύ συχνά η διακύμανση $D\left(X\right)$ υπολογίζεται με τον τύπο $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ αριστερά(Χ \δεξιά)\δεξιά))^2$.
Ιδιότητες διασποράς$D\αριστερά(X\δεξιά)$:
- Η διασπορά είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν, δηλ. $D\αριστερά(X\δεξιά)\ge 0$.
- Η διασπορά από μια σταθερά είναι ίση με μηδέν, δηλ. $D\left(C\right)=0$.
- Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της διασποράς, με την προϋπόθεση ότι είναι τετραγωνισμένο, δηλ. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
- Η διακύμανση του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων τους, δηλ. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
- Η διακύμανση της διαφοράς των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων τους, δηλ. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
Παράδειγμα 6 . Ας υπολογίσουμε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $X$ από το παράδειγμα $2$.
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\πάνω (6))\cdot (\αριστερά(6-3,5\δεξιά))^2=((35)\πάνω (12))\περίπου 2,92.$$
Παράδειγμα 7 . Είναι γνωστό ότι η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $D\left(X\right)=2$. Βρείτε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $4X+1$.
Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, βρίσκουμε $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ αριστερά(Χ\δεξιά)=16\cdot 2=32$.
Παράδειγμα 8 . Είναι γνωστό ότι η διακύμανση του $X$ είναι ίση με $D\left(X\right)=3$. Βρείτε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $3-2X$.
Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, βρίσκουμε $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ αριστερά(Χ\δεξιά)=4\cdot 3=12$.
4. Συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.
Η μέθοδος αναπαράστασης μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής με τη μορφή μιας σειράς διανομής δεν είναι η μόνη και το πιο σημαντικό, δεν είναι καθολική, αφού μια συνεχής τυχαία μεταβλητή δεν μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας μια σειρά διανομής. Υπάρχει ένας άλλος τρόπος να αναπαραστήσουμε μια τυχαία μεταβλητή - τη συνάρτηση κατανομής.
συνάρτηση διανομήςΗ τυχαία μεταβλητή $X$ είναι μια συνάρτηση $F\left(x\right)$, η οποία καθορίζει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή $X$ να λάβει τιμή μικρότερη από κάποια σταθερή τιμή $x$, δηλαδή $F\left(x\ δεξιά)$ )=P\αριστερά(Χ< x\right)$
Ιδιότητες συνάρτησης διανομής:
- $0\le F\αριστερά(x\δεξιά)\le 1$.
- Η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή $X$ παίρνει τιμές από το διάστημα $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των τιμών της συνάρτησης κατανομής στα άκρα αυτού του διαστήματος : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $F\left(x\right)$ - μη φθίνουσα.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \δεξιά)=1\ )$.
Παράδειγμα 9 . Ας βρούμε τη συνάρτηση κατανομής $F\left(x\right)$ για τον νόμο κατανομής της διακριτής τυχαίας μεταβλητής $X$ από το παράδειγμα $2$.
$\begin(πίνακας)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(πίνακας)$
Αν $x\le 1$, τότε προφανώς $F\left(x\right)=0$ (συμπεριλαμβανομένων $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).
Αν $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
Αν $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
Αν $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
Αν $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
Αν $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
Αν $x > 6$ τότε $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.
Άρα $F(x)=\αριστερά\(\αρχή(μήτρα)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, στο \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, στο \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ στο \ 4< x\le 5,\\
1,\ για \ x > 6.
\end(matrix)\right.$
Η μαθηματική προσδοκία είναι, ο ορισμός
Ματ η αναμονή είναιμια από τις πιο σημαντικές έννοιες στη μαθηματική στατιστική και τη θεωρία πιθανοτήτων, που χαρακτηρίζει την κατανομή των τιμών ή πιθανότητεςτυχαία μεταβλητή. Συνήθως εκφράζεται ως σταθμισμένος μέσος όρος όλων των πιθανών παραμέτρων μιας τυχαίας μεταβλητής. Χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνική ανάλυση, την έρευνα σειρά αριθμών, η μελέτη συνεχών και μακρών διαδικασιών. Είναι σημαντικό για την αξιολόγηση των κινδύνων, την πρόβλεψη δεικτών τιμών κατά τη διαπραγμάτευση σε χρηματοπιστωτικές αγορές και χρησιμοποιείται στην ανάπτυξη στρατηγικών και μεθόδων τακτικής παιχνιδιών σε θεωρίες ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ .
Αναμονή ματ- αυτό είναιμέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής, κατανομή πιθανότητεςΗ τυχαία μεταβλητή θεωρείται στη θεωρία πιθανοτήτων.
Ματ η αναμονή είναιμέτρο της μέσης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής στη θεωρία πιθανοτήτων. Μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χσυμβολίζεται M(x).
Η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος πληθυσμού) είναι
Ματ η αναμονή είναι
Ματ η αναμονή είναιστη θεωρία πιθανοτήτων, ο σταθμισμένος μέσος όρος όλων των πιθανών τιμών που μπορεί να λάβει αυτή η τυχαία μεταβλητή.
Ματ η αναμονή είναιτο άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής από τις πιθανότητες αυτών των τιμών.
Η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος πληθυσμού) είναι
Ματ η αναμονή είναιτο μέσο όφελος από μια συγκεκριμένη απόφαση, υπό την προϋπόθεση ότι μια τέτοια απόφαση μπορεί να εξεταστεί στο πλαίσιο της θεωρίας των μεγάλων αριθμών και της μεγάλης απόστασης.
Ματ η αναμονή είναιστη θεωρία του τζόγου, το ποσό των κερδών που μπορεί να κερδίσει ή να χάσει ένας κερδοσκόπος, κατά μέσο όρο, για κάθε στοίχημα. Στη γλώσσα του τζόγου κερδοσκόπωναυτό μερικές φορές ονομάζεται «πλεονέκτημα κερδοσκόπος» (αν είναι θετικό για τον κερδοσκόπο) ή «ακρη του σπιτιού» (αν είναι αρνητικό για τον κερδοσκόπο).
Η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος πληθυσμού) είναι
