Επαρκής συνθήκη για γραμμική εξάρτηση. Απαραίτητη προϋπόθεση για γραμμική εξάρτηση n συναρτήσεων. Ven. συνθήκη γραμμικής εξάρτησης

Σημειώστε ότι σε όσα ακολουθούν, χωρίς απώλεια γενικότητας, θα εξετάσουμε την περίπτωση των διανυσμάτων in τρισδιάστατο χώρο. Στο επίπεδο, η θεώρηση των διανυσμάτων πραγματοποιείται με παρόμοιο τρόπο. Όπως σημειώθηκε παραπάνω, όλα τα γνωστά αποτελέσματα από την πορεία της γραμμικής άλγεβρας για αλγεβρικά διανύσματα μπορούν να μεταφερθούν στη συγκεκριμένη περίπτωση των γεωμετρικών διανυσμάτων. Αρα ας το κάνουμε.

Αφήστε τα διανύσματα να είναι σταθερά.

Ορισμός.Το άθροισμα, όπου υπάρχουν ορισμένοι αριθμοί, ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων. Στην περίπτωση αυτή, αυτοί οι αριθμοί θα ονομάζονται συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού.

Θα μας ενδιαφέρει το ζήτημα της δυνατότητας ισότητας ενός γραμμικού συνδυασμού με ένα μηδενικό διάνυσμα. Σύμφωνα με τις ιδιότητες και τα αξιώματα των διανυσματικών χώρων, γίνεται προφανές ότι για οποιοδήποτε σύστημα διανυσμάτων υπάρχει ένα τετριμμένο (μηδενικό) σύνολο συντελεστών , για το οποίο ισχύει αυτή η ισότητα:

Τίθεται το ερώτημα της ύπαρξης για ένα δεδομένο σύστημα διανυσμάτων ενός μη τετριμμένου συνόλου συντελεστών (μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένας μη μηδενικός συντελεστής), για τον οποίο ισχύει η αναφερόμενη ισότητα. Σύμφωνα με αυτό, θα κάνουμε διάκριση μεταξύ γραμμικά εξαρτημένων και ανεξάρτητων συστημάτων.

Ορισμός.Ένα σύστημα διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητο εάν υπάρχει ένα τέτοιο σύνολο αριθμών, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένας μη μηδενικός, έτσι ώστε ο αντίστοιχος γραμμικός συνδυασμός να είναι ίσος με το μηδενικό διάνυσμα:

Ένα σύστημα διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητο εάν η ισότητα

είναι δυνατή μόνο στην περίπτωση ενός ασήμαντου συνόλου συντελεστών:

Ας απαριθμήσουμε τις κύριες ιδιότητες των γραμμικά εξαρτημένων και ανεξάρτητων συστημάτων που αποδείχθηκαν κατά τη διάρκεια της γραμμικής άλγεβρας.

1. Οποιοδήποτε σύστημα διανυσμάτων που περιέχει μηδενικό διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά.

2. Έστω ένα γραμμικά εξαρτημένο υποσύστημα στο σύστημα των διανυσμάτων. Τότε ολόκληρο το σύστημα εξαρτάται επίσης γραμμικά.

3. Εάν ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε οποιοδήποτε υποσύστημά του είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητο.

4. Εάν υπάρχουν δύο διανύσματα σε ένα σύστημα διανυσμάτων, το ένα από τα οποία προκύπτει από το άλλο πολλαπλασιάζοντας με έναν ορισμένο αριθμό, τότε ολόκληρο το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

Θεώρημα (κριτήριο γραμμικής εξάρτησης).Ένα σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά εάν και μόνο εάν ένα από τα διανύσματα αυτού του συστήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων διανυσμάτων του συστήματος.

Λαμβάνοντας υπόψη το κριτήριο της συγγραμμικότητας δύο διανυσμάτων, μπορεί να υποστηριχθεί ότι το κριτήριο για τη γραμμική τους εξάρτηση είναι η συγγραμμικότητά τους. Για τρία διανύσματα στο χώρο, ισχύει η ακόλουθη πρόταση.

Θεώρημα (κριτήριο γραμμικής εξάρτησης τριών γεωμετρικών διανυσμάτων).Τρία διανύσματα , και εξαρτώνται γραμμικά αν και μόνο αν είναι συνεπίπεδα.

Απόδειξη.

Χρειάζομαι.Έστω τα διανύσματα και εξαρτώνται γραμμικά. Ας αποδείξουμε τη συγγένειά τους. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το γενικό κριτήριο της γραμμικής εξάρτησης των αλγεβρικών διανυσμάτων, υποστηρίζουμε ότι ένα από αυτά τα διανύσματα μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός άλλων διανυσμάτων. Ας, για παράδειγμα,

Εάν και τα τρία διανύσματα , και εφαρμοστούν σε μια κοινή αρχή , τότε το διάνυσμα θα συμπίπτει με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο στα διανύσματα και . Αλλά αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα , και βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, δηλ. ομοεπίπεδη.

Επάρκεια.Έστω τα διανύσματα και είναι ομοεπίπεδα. Ας δείξουμε ότι εξαρτώνται γραμμικά. Πρώτα απ 'όλα, εξετάστε την περίπτωση όταν οποιοδήποτε ζεύγος από τα υποδεικνυόμενα διανύσματα είναι συγγραμμικό. Στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, το σύστημα διανυσμάτων , , περιέχει ένα γραμμικά εξαρτώμενο υποσύστημα και, επομένως, είναι το ίδιο γραμμικά εξαρτώμενο σύμφωνα με την ιδιότητα 2 των γραμμικά εξαρτημένων και ανεξάρτητων συστημάτων διανυσμάτων. Ας μην είναι πλέον συγγραμμικό κανένα ζεύγος διανυσμάτων που εξετάζουμε. Μεταφέρουμε και τα τρία διανύσματα σε ένα επίπεδο και τα φέρνουμε σε μια κοινή αρχή. Σχεδιάστε το άκρο των διανυσματικών γραμμών παράλληλων στα διανύσματα και . Έστω το γράμμα το σημείο τομής της παράλληλης προς το διάνυσμα ευθείας με την ευθεία στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα και με το γράμμα το σημείο τομής της ευθείας παράλληλης προς το διάνυσμα με την ευθεία στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα. Με τον ορισμό του αθροίσματος των διανυσμάτων, παίρνουμε:

.

Εφόσον το διάνυσμα είναι συγγραμμικό με ένα μη μηδενικό διάνυσμα, υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε

Παρόμοιες εκτιμήσεις συνεπάγονται την ύπαρξη πραγματικού αριθμού τέτοιου ώστε

Ως αποτέλεσμα, θα έχουμε:

Στη συνέχεια, από το γενικό κριτήριο για τη γραμμική εξάρτηση των αλγεβρικών διανυσμάτων, προκύπτει ότι τα διανύσματα , , εξαρτώνται γραμμικά. ■

Θεώρημα (γραμμική εξάρτηση τεσσάρων διανυσμάτων).Οποιαδήποτε τέσσερα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

Απόδειξη. Πρώτα απ 'όλα, εξετάστε την περίπτωση όπου οποιοδήποτε τριπλό από τα υποδεικνυόμενα τέσσερα διανύσματα είναι συνεπίπεδο. Στην περίπτωση αυτή, αυτό το τριπλό εξαρτάται γραμμικά σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα. Επομένως, σύμφωνα με την ιδιότητα 2 γραμμικά εξαρτώμενων και ανεξάρτητων συστημάτων διανυσμάτων, και ολόκληρο το τετραπλό είναι γραμμικά εξαρτώμενο.

Ας τώρα, μεταξύ των διανυσμάτων που εξετάζουμε, κανένα τριπλό διανυσμάτων δεν είναι συνεπίπεδο. Ας φέρουμε και τα τέσσερα διανύσματα , , σε μια κοινή αρχή και ας σχεδιάσουμε επίπεδα μέχρι το τέλος του διανύσματος παράλληλα με τα επίπεδα που ορίζονται από ζεύγη διανυσμάτων , ; , ; , . Τα σημεία τομής των υποδεικνυόμενων επιπέδων με τις ευθείες στις οποίες βρίσκονται τα διανύσματα , και βρίσκονται συμβολίζονται με τα γράμματα , και , αντίστοιχα. Από τον ορισμό του αθροίσματος των διανυσμάτων προκύπτει ότι

το οποίο, λαμβάνοντας υπόψη το γενικό κριτήριο της γραμμικής εξάρτησης των αλγεβρικών διανυσμάτων, λέει ότι και τα τέσσερα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. ■

Έστω οι συναρτήσεις , έχουν παραγώγους του ορίου (n-1).

Εξετάστε την ορίζουσα: (1)

Το W(x) ονομάζεται ορίζουσα Wronsky για συναρτήσεις.

Θεώρημα 1.Εάν οι συναρτήσεις εξαρτώνται γραμμικά στο διάστημα (a, b), τότε το Wronskian W(x) τους είναι πανομοιότυπα ίσο με μηδέν σε αυτό το διάστημα.

Απόδειξη.Με την προϋπόθεση του θεωρήματος, η σχέση

, (2) όπου δεν είναι όλα ίσα με μηδέν. Αφήστε . Επειτα

(3). Διαφοροποιήστε αυτήν την ταυτότητα n-1 φορές και,

Αντικαθιστώντας αντί των λαμβανόμενων τιμών τους στην ορίζουσα Vronsky,

παίρνουμε:

(4).

Στην ορίζουσα Wronsky, η τελευταία στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των προηγούμενων n-1 στηλών και επομένως είναι μηδέν σε όλα τα σημεία του διαστήματος (a, b).

Θεώρημα 2.Αν οι συναρτήσεις y1,…, yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης L[y] = 0, της οποίας όλοι οι συντελεστές είναι συνεχείς στο διάστημα (a, b), τότε το Wronskian αυτών των λύσεων είναι μη μηδενικό σε κάθε σημείο του διάστημα (α, β).

Απόδειξη.Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Υπάρχει X0, όπου W(X0)=0. Συνθέτουμε ένα σύστημα n εξισώσεων

(5).

Προφανώς, το σύστημα (5) έχει μια μη μηδενική λύση. Έστω (6).

Ας συνθέσουμε έναν γραμμικό συνδυασμό λύσεων y1,…, yn.

Το Y(x) είναι λύση της εξίσωσης L[y] = 0. Επιπλέον, . Δυνάμει του θεωρήματος της μοναδικότητας, η λύση της εξίσωσης L[y] = 0 με μηδενικές αρχικές συνθήκες μπορεί να είναι μόνο μηδέν, δηλ.

Παίρνουμε την ταυτότητα , όπου δεν είναι όλα ίσα με μηδέν, που σημαίνει ότι τα y1,…, yn εξαρτώνται γραμμικά, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη του θεωρήματος. Επομένως, δεν υπάρχει τέτοιο σημείο όπου W(X0)=0.

Με βάση το Θεώρημα 1 και το Θεώρημα 2, μπορούμε να διατυπώσουμε τον ακόλουθο ισχυρισμό. Για n λύσεις της εξίσωσης L[y] = 0 να είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο διάστημα (a, b), είναι απαραίτητο και αρκετό το Wronskian τους να μην εξαφανίζεται σε κανένα σημείο αυτού του διαστήματος.

Οι ακόλουθες προφανείς ιδιότητες του Wronskian προκύπτουν επίσης από τα αποδεδειγμένα θεωρήματα.

1. Αν το Wronskian n λύσεων της εξίσωσης L[y] = 0 ισούται με μηδέν σε ένα σημείο x = x0 από το διάστημα (a, b) στο οποίο όλοι οι συντελεστές pi(x) είναι συνεχείς, τότε είναι ίσο με μηδέν σε όλα τα σημεία αυτού του διαστήματος.
2. Αν το Wronskian n λύσεων της εξίσωσης L[y] = 0 είναι μη μηδενικό σε ένα σημείο x = x0 από το διάστημα (a, b), τότε είναι μη μηδενικό σε όλα τα σημεία αυτού του διαστήματος.

Έτσι, για τη γραμμικότητα n ανεξάρτητων λύσεων της εξίσωσης L[y] = 0 στο διάστημα (a, b), στο οποίο οι συντελεστές της εξίσωσης pi(x) είναι συνεχείς, είναι απαραίτητο και αρκετό το Wronskian τους να είναι μη μηδενικό τουλάχιστον σε ένα σημείο αυτού του διαστήματος.

Παρουσιάστηκε από εμάς γραμμικές πράξεις σε διανύσματακαθιστούν δυνατή τη δημιουργία διαφορετικών εκφράσεων για διανυσματικές ποσότητεςκαι να τα μετατρέψετε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες που έχουν οριστεί για αυτές τις πράξεις.

Με βάση ένα δεδομένο σύνολο διανυσμάτων a 1 , ..., και n , μπορείτε να συνθέσετε μια έκφραση της μορφής

όπου τα 1 , ... και n είναι αυθαίρετα πραγματικούς αριθμούς. Αυτή η έκφραση ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων a 1 , ..., a n . Οι αριθμοί α i , i = 1, n , είναι συντελεστές γραμμικού συνδυασμού. Το σύνολο των διανυσμάτων ονομάζεται επίσης διανυσματικό σύστημα.

Σε σχέση με την εισαγόμενη έννοια ενός γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων, προκύπτει το πρόβλημα της περιγραφής του συνόλου των διανυσμάτων που μπορούν να γραφτούν ως γραμμικός συνδυασμός ενός δεδομένου συστήματος διανυσμάτων a 1 , ..., a n . Επιπλέον, οι ερωτήσεις σχετικά με τις συνθήκες υπό τις οποίες υπάρχει μια αναπαράσταση ενός διανύσματος με τη μορφή γραμμικού συνδυασμού και σχετικά με τη μοναδικότητα μιας τέτοιας αναπαράστασης είναι φυσικές.

Ορισμός 2.1.Τα διανύσματα a 1 , ..., και n ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενη, αν υπάρχει τέτοιο σύνολο συντελεστών α 1 , ... , α n που

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

και τουλάχιστον ένας από αυτούς τους συντελεστές είναι μη μηδενικός. Εάν το καθορισμένο σύνολο συντελεστών δεν υπάρχει, τότε καλούνται τα διανύσματα γραμμικά ανεξάρτητη.

Αν α 1 = ... = α n = 0, τότε, προφανώς, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Έχοντας αυτό υπόψη, μπορούμε να πούμε το εξής: διανύσματα a 1 , ..., και Τα n είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν από την ισότητα (2.2) προκύπτει ότι όλοι οι συντελεστές α 1 , ... , α n είναι ίσοι με μηδέν.

Το παρακάτω θεώρημα εξηγεί γιατί η νέα έννοια ονομάζεται όρος «εξάρτηση» (ή «ανεξαρτησία») και δίνει ένα απλό κριτήριο για τη γραμμική εξάρτηση.

Θεώρημα 2.1.Για να είναι γραμμικά εξαρτώμενα τα διανύσματα a 1 , ..., και n , n > 1, είναι απαραίτητο και αρκετό ένα από αυτά να είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

◄ Αναγκαιότητα. Ας υποθέσουμε ότι τα διανύσματα a 1 , ..., και n εξαρτώνται γραμμικά. Σύμφωνα με τον ορισμό 2.1 της γραμμικής εξάρτησης, στην ισότητα (2.2) υπάρχει τουλάχιστον ένας μη μηδενικός συντελεστής στα αριστερά, για παράδειγμα α 1 . Αφήνοντας τον πρώτο όρο στην αριστερή πλευρά της ισότητας, μετακινούμε τους υπόλοιπους στη δεξιά πλευρά, αλλάζοντας τα σημάδια τους ως συνήθως. Διαιρώντας την προκύπτουσα ισότητα με α 1, παίρνουμε

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

εκείνοι. αναπαράσταση του διανύσματος a 1 ως γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων διανυσμάτων a 2 , ..., και n .

Επάρκεια. Έστω, για παράδειγμα, το πρώτο διάνυσμα a 1 μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων διανυσμάτων: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Μεταφέροντας όλους τους όρους από τη δεξιά πλευρά προς τα αριστερά, παίρνουμε ένα 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, δηλ. γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων a 1 , ..., και n με συντελεστές α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , ίσοι με μηδενικό διάνυσμα.Σε αυτόν τον γραμμικό συνδυασμό, δεν είναι όλοι οι συντελεστές ίσοι με μηδέν. Σύμφωνα με τον ορισμό 2.1, τα διανύσματα a 1 , ... και n εξαρτώνται γραμμικά.

Ο ορισμός και το κριτήριο της γραμμικής εξάρτησης διατυπώνονται με τέτοιο τρόπο ώστε να υποδηλώνουν την παρουσία δύο ή περισσότερων διανυσμάτων. Ωστόσο, μπορεί κανείς να μιλήσει και για γραμμική εξάρτηση ενός διανύσματος. Για να πραγματοποιήσουμε αυτή τη δυνατότητα, αντί για "τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά" πρέπει να πούμε "το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά". Είναι εύκολο να δούμε ότι η έκφραση "ένα σύστημα ενός διανύσματος εξαρτάται γραμμικά" σημαίνει ότι αυτό το μεμονωμένο διάνυσμα είναι μηδέν (υπάρχει μόνο ένας συντελεστής σε έναν γραμμικό συνδυασμό και δεν πρέπει να είναι ίσος με μηδέν).

Η έννοια της γραμμικής εξάρτησης έχει μια απλή γεωμετρική ερμηνεία. Αυτή η ερμηνεία διευκρινίζεται από τις ακόλουθες τρεις δηλώσεις.

Θεώρημα 2.2.Δύο διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά αν και μόνο αν εξαρτώνται συγγραμμική.

◄ Αν τα διανύσματα a και b είναι γραμμικά εξαρτημένα, τότε το ένα από αυτά, για παράδειγμα το a, εκφράζεται μέσω του άλλου, δηλ. a = λb για κάποιο πραγματικό αριθμό λ. Σύμφωνα με τον ορισμό 1.7 έργαδιανύσματα κατά αριθμό, τα διανύσματα a και b είναι συγγραμμικά.

Τώρα ας είναι συγγραμμικά τα διανύσματα a και b. Αν και τα δύο είναι μηδέν, τότε είναι προφανές ότι είναι γραμμικά εξαρτώμενα, αφού οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τους είναι ίσος με το μηδενικό διάνυσμα. Έστω ένα από αυτά τα διανύσματα να μην είναι ίσο με 0, για παράδειγμα το διάνυσμα b. Να συμβολίσετε με λ τον λόγο των μηκών των διανυσμάτων: λ = |а|/|b|. Τα συγγραμμικά διανύσματα μπορούν να είναι μονής κατεύθυνσηςή αντίθετες κατευθύνσεις. Στην τελευταία περίπτωση, αλλάζουμε το πρόσημο του λ. Στη συνέχεια, ελέγχοντας τον Ορισμό 1.7, βλέπουμε ότι a = λb. Σύμφωνα με το Θεώρημα 2.1, τα διανύσματα a και b εξαρτώνται γραμμικά.

Παρατήρηση 2.1.Στην περίπτωση δύο διανυσμάτων, λαμβάνοντας υπόψη το κριτήριο της γραμμικής εξάρτησης, το αποδεδειγμένο θεώρημα μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά εάν και μόνο εάν το ένα από αυτά παριστάνεται ως γινόμενο του άλλου με έναν αριθμό. Αυτό είναι ένα βολικό κριτήριο για τη συγγραμμικότητα δύο διανυσμάτων.

Θεώρημα 2.3.Τρία διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά αν και μόνο αν εξαρτώνται ομοεπίπεδη.

◄ Αν τρία διανύσματα a, b, c εξαρτώνται γραμμικά, τότε, σύμφωνα με το Θεώρημα 2.1, ένα από αυτά, για παράδειγμα a, είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων: a = βb + γс. Ας συνδυάσουμε τις απαρχές των διανυσμάτων b και c στο σημείο Α. Τότε τα διανύσματα βb, γc θα έχουν κοινή αρχή στο σημείο Α και κανόνας παραλληλογράμμου το άθροισμά τους,εκείνοι. διάνυσμα α, θα είναι διάνυσμα με αρχή Α και τέλος, που είναι η κορυφή ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε αθροιστικά διανύσματα. Έτσι, όλα τα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, δηλαδή είναι ομοεπίπεδα.

Έστω τα διανύσματα a, b, c συνεπίπεδα. Εάν ένα από αυτά τα διανύσματα είναι μηδέν, τότε είναι προφανές ότι θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Αρκεί να ληφθούν όλοι οι συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού ίσοι με μηδέν. Επομένως, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και τα τρία διανύσματα δεν είναι μηδενικά. Σύμφωνος αρχήαυτά τα διανύσματα σε ένα κοινό σημείο Ο. Έστω τα άκρα τους, αντίστοιχα, τα σημεία Α, Β, Γ (Εικ. 2.1). Σχεδιάστε ευθείες από το σημείο Γ παράλληλες με ευθείες που διέρχονται από ζεύγη σημείων Ο, Α και Ο, Β. Δηλώνοντας τα σημεία τομής ως Α" και Β", παίρνουμε ένα παραλληλόγραμμο ΟΑ"CB", επομένως, OC" = ΟΑ" + ΟΒ " . Διάνυσμα OA" και το μη μηδενικό διάνυσμα a= OA είναι συγγραμμικά, και επομένως το πρώτο από αυτά μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας το δεύτερο με έναν πραγματικό αριθμό α:OA" = αOA. Ομοίως, OB" = βOB , β ∈ R. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ότι OC" = α OA + βOB , δηλαδή το διάνυσμα c είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων a και b. Σύμφωνα με το Θεώρημα 2.1, τα διανύσματα a, b, c εξαρτώνται γραμμικά.

Θεώρημα 2.4.Οποιαδήποτε τέσσερα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

◄ Η απόδειξη ακολουθεί το ίδιο σχήμα όπως στο Θεώρημα 2.3. Θεωρήστε αυθαίρετα τέσσερα διανύσματα a, b, c και d. Εάν ένα από τα τέσσερα διανύσματα είναι μηδέν, ή υπάρχουν δύο συγγραμμικά διανύσματα μεταξύ τους, ή τρία από τα τέσσερα διανύσματα είναι συνεπίπεδα, τότε αυτά τα τέσσερα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά. Για παράδειγμα, εάν τα διανύσματα a και b είναι συγγραμμικά, τότε μπορούμε να συνθέσουμε τον γραμμικό συνδυασμό τους αa + βb = 0 με μη μηδενικούς συντελεστές και στη συνέχεια να προσθέσουμε τα υπόλοιπα δύο διανύσματα σε αυτόν τον συνδυασμό, λαμβάνοντας μηδενικά ως συντελεστές. Παίρνουμε έναν γραμμικό συνδυασμό τεσσάρων διανυσμάτων ίσο με 0, στα οποία υπάρχουν μη μηδενικοί συντελεστές.

Έτσι, μπορούμε να υποθέσουμε ότι μεταξύ των τεσσάρων επιλεγμένων διανυσμάτων δεν υπάρχουν μηδενικά, κανένα δεν είναι συγγραμμικό και κανένα τρία είναι συνεπίπεδα. Επιλέγουμε ως κοινή αρχή τους το σημείο Ο. Τότε τα άκρα των διανυσμάτων a, b, c, d θα είναι κάποια σημεία A, B, C, D (Εικ. 2.2). Μέσω του σημείου Δ σχεδιάζουμε τρία επίπεδα παράλληλα με τα επίπεδα ОВС, OCA, OAB και έστω A", B", С" τα σημεία τομής αυτών των επιπέδων με τις ευθείες OA, OB, OS αντίστοιχα. Παίρνουμε ένα παραλληλεπίπεδο OA"C"B"C" B"DA", και τα διανύσματα a, b, c βρίσκονται στις άκρες του που βγαίνουν από την κορυφή O. Εφόσον το τετράπλευρο OC"DC" είναι παραλληλόγραμμο, τότε OD = OC" + OC " . Με τη σειρά του, το τμήμα OS" είναι ένα διαγώνιο παραλληλόγραμμο OA"C"B", άρα OC" = OA" + OB" , και OD = OA" + OB" + OC" .

Μένει να σημειωθεί ότι τα ζεύγη των διανυσμάτων OA ≠ 0 και OA" , OB ≠ 0 και OB" , OC ≠ 0 και OC" είναι συγγραμμικά και, επομένως, μπορούμε να επιλέξουμε τους συντελεστές α, β, γ έτσι ώστε το OA" = αOA , OB" = βOB και OC" = γOC . Τέλος, παίρνουμε OD = αOA + βOB + γOC . Συνεπώς, το διάνυσμα OD εκφράζεται ως προς τα υπόλοιπα τρία διανύσματα και και τα τέσσερα διανύσματα, σύμφωνα με το Θεώρημα 2.1, εξαρτώνται γραμμικά.

Τα ακόλουθα δίνουν αρκετά κριτήρια για γραμμική εξάρτηση και, κατά συνέπεια, γραμμική ανεξαρτησία συστημάτων διανυσμάτων.

Θεώρημα. (Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη γραμμική εξάρτηση των διανυσμάτων.)

Ένα σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται εάν και μόνο εάν ένα από τα διανύσματα του συστήματος εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα αυτού του συστήματος.

Απόδειξη. Χρειάζομαι. Αφήστε το σύστημα να είναι γραμμικά εξαρτημένο. Στη συνέχεια, εξ ορισμού, αναπαριστά το μηδενικό διάνυσμα με έναν μη τετριμμένο τρόπο, δηλ. υπάρχει ένας μη τετριμμένος συνδυασμός αυτού του συστήματος διανυσμάτων ίσος με το μηδενικό διάνυσμα:

όπου τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές αυτού του γραμμικού συνδυασμού δεν είναι ίσος με μηδέν. Αφήστε , .

Διαιρέστε και τα δύο μέρη της προηγούμενης ισότητας με αυτόν τον μη μηδενικό συντελεστή (δηλαδή πολλαπλασιάστε με:

Σημειώστε: , όπου .

εκείνοι. ένα από τα διανύσματα του συστήματος εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα αυτού του συστήματος κ.λπ.

Επάρκεια. Ας εκφραστεί γραμμικά ένα από τα διανύσματα του συστήματος ως προς άλλα διανύσματα αυτού του συστήματος:

Ας μετακινήσουμε το διάνυσμα στα δεξιά αυτής της ισότητας:

Εφόσον ο συντελεστής του διανύσματος είναι , τότε έχουμε μια μη τετριμμένη αναπαράσταση του μηδενός από το σύστημα των διανυσμάτων, που σημαίνει ότι αυτό το σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά κ.λπ.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Συνέπεια.

1. Ένα σύστημα διανυσμάτων σε ένα διανυσματικό χώρο είναι γραμμικά ανεξάρτητο εάν και μόνο εάν κανένα από τα διανύσματα του συστήματος δεν εκφράζεται γραμμικά ως προς άλλα διανύσματα αυτού του συστήματος.

2. Ένα σύστημα διανυσμάτων που περιέχει ένα μηδενικό διάνυσμα ή δύο ίσα διανύσματα εξαρτάται γραμμικά.

Απόδειξη.

1) Αναγκαιότητα. Αφήστε το σύστημα να είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Υποθέστε το αντίθετο και υπάρχει ένα διάνυσμα συστήματος που εκφράζεται γραμμικά μέσω άλλων διανυσμάτων αυτού του συστήματος. Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα, το σύστημα εξαρτάται γραμμικά και καταλήγουμε σε μια αντίφαση.

Επάρκεια. Ας μην εκφραστεί κανένα από τα διανύσματα του συστήματος με όρους άλλων. Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Έστω το σύστημα γραμμικά εξαρτημένο, αλλά από το θεώρημα προκύπτει ότι υπάρχει ένα διάνυσμα συστήματος που εκφράζεται γραμμικά μέσω άλλων διανυσμάτων αυτού του συστήματος, και ερχόμαστε πάλι σε μια αντίφαση.

2α) Έστω το σύστημα να περιέχει μηδενικό διάνυσμα. Ας υποθέσουμε για βεβαιότητα ότι το διάνυσμα :. Μετά η ισότητα

εκείνοι. ένα από τα διανύσματα του συστήματος εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα διανύσματα αυτού του συστήματος. Από το θεώρημα προκύπτει ότι ένα τέτοιο σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, ούτω καθεξής.

Σημειώστε ότι αυτό το γεγονός μπορεί να αποδειχθεί απευθείας από ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα διανυσμάτων.

Εφόσον , η ακόλουθη ισότητα είναι προφανής

Αυτή είναι μια μη τετριμμένη αναπαράσταση του μηδενικού διανύσματος, που σημαίνει ότι το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

2β) Έστω το σύστημα δύο ίσα διανύσματα. Αφήστε για . Μετά η ισότητα

Εκείνοι. το πρώτο διάνυσμα εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα διανύσματα του ίδιου συστήματος. Από το θεώρημα προκύπτει ότι αυτό το σύστημαγραμμικά εξαρτώμενο κ.λπ.

Ομοίως με τον προηγούμενο, αυτός ο ισχυρισμός μπορεί επίσης να αποδειχθεί άμεσα από τον ορισμό ενός γραμμικά εξαρτημένου συστήματος.

Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη γραμμική εξάρτηση δύο

διανύσματα είναι η συγγραμμικότητά τους.

2. Scalar προϊόν- μια πράξη σε δύο διανύσματα, το αποτέλεσμα της οποίας είναι ένας βαθμωτός (αριθμός) που δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων και χαρακτηρίζει τα μήκη των διανυσμάτων πολλαπλασιαστή και τη γωνία μεταξύ τους. Αυτή η πράξη αντιστοιχεί στον πολλαπλασιασμό μήκοςδεδομένο διάνυσμα x on προβολήένα άλλο διάνυσμα y στο δεδομένο διάνυσμα x. Αυτή η λειτουργία συνήθως θεωρείται ως αντικαταστατική και γραμμική σε κάθε παράγοντα.

Ιδιότητες προϊόντος με κουκκίδες:

3. Τρία διανύσματα (ή περισσότερα) λέγονται ομοεπίπεδηαν, αν αναχθούν σε μια κοινή προέλευση, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη γραμμική εξάρτηση τριών διανυσμάτων είναι η ομοεπίπεδή τους.Τα τέσσερα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. βάση στο χώρο ονομάζεται κάθε διατεταγμένο τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων. Μια βάση στο χώρο επιτρέπει σε κάποιον να συσχετίσει μοναδικά με κάθε διάνυσμα μια διατεταγμένη τριάδα αριθμών - τους συντελεστές της αναπαράστασης αυτού του διανύσματος σε έναν γραμμικό συνδυασμό διανυσμάτων της βάσης. Αντίθετα, με τη βοήθεια μιας βάσης, θα συσχετίσουμε ένα διάνυσμα με κάθε διατεταγμένη τριάδα αριθμών αν κάνουμε έναν γραμμικό συνδυασμό.Ορθογώνια βάση ονομάζεται ορθοκανονική , αν τα διανύσματά του είναι ίσα με ένα σε μήκος. Για μια ορθοκανονική βάση στο χώρο, η σημείωση χρησιμοποιείται συχνά. Θεώρημα:Σε ορθοκανονική βάση, οι συντεταγμένες των διανυσμάτων είναι οι αντίστοιχες ορθογώνιες προβολές αυτού του διανύσματος στις κατευθύνσεις των διανυσμάτων συντεταγμένων. Ένα τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων α, β, γπου ονομάζεται σωστά, αν ο παρατηρητής από την κοινή τους προέλευση παρακάμψει τα άκρα των διανυσμάτων α, β, γμε αυτή τη σειρά φαίνεται να προχωρά δεξιόστροφα. Σε διαφορετική περίπτωση α, β, γ - αριστερά τριπλό. Όλα τα δεξιά (ή τα αριστερά) τριπλάσια διανυσμάτων ονομάζονται εξίσου προσανατολισμένοι.Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο σχηματίζεται από δύο αμοιβαία κάθετους άξονες συντεταγμένων ΒΟΔΙκαι OY. Οι άξονες συντεταγμένων τέμνονται σε ένα σημείο Ο, που ονομάζεται αρχή, κάθε άξονας έχει θετική κατεύθυνση. ΣΤΟ δεξί χέρισύστημα συντεταγμένων, η θετική φορά των αξόνων επιλέγεται έτσι ώστε με την κατεύθυνση του άξονα OYεπάνω, άξονας ΒΟΔΙκοίταξε προς τα δεξιά.

Τέσσερις γωνίες (I, II, III, IV) που σχηματίζονται από τους άξονες συντεταγμένων Χ"Χκαι Υ"Υ, ονομάζονται γωνίες συντεταγμένων ή τεταρτημόρια(βλ. εικ. 1).

εάν τα διανύσματα και σε σχέση με μια ορθοκανονική βάση στο επίπεδο έχουν συντεταγμένες και, αντίστοιχα, τότε κλιμακωτό προϊόναπό αυτά τα διανύσματα υπολογίζεται με τον τύπο

4. Διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α και βείναι μια πράξη πάνω τους, που ορίζεται μόνο σε τρισδιάστατο χώρο, το αποτέλεσμα της οποίας είναι διάνυσμαμε τα ακόλουθα

ιδιότητες:

Η γεωμετρική έννοια του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων είναι η περιοχή ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα. Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη συγγραμμικότητα ενός μη μηδενικού διανύσματος και ενός διανύσματος είναι η ύπαρξη ενός αριθμού που να ικανοποιεί την ισότητα .

Εάν δύο διανύσματα και ορίζονται από τις ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες τους, ή ακριβέστερα, αναπαρίστανται σε μια κανονικοποιημένη βάση

και το σύστημα συντεταγμένων είναι σωστό, τότε το διανυσματικό γινόμενο τους έχει τη μορφή

Για να θυμάστε αυτόν τον τύπο, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε την ορίζουσα:

5. Μικτό προϊόνδιανύσματα - το βαθμωτό γινόμενο ενός διανύσματος και το διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων και :

Μερικές φορές ονομάζεται τριπλό βαθμωτό προϊόνδιανύσματα, προφανώς λόγω του γεγονότος ότι το αποτέλεσμα είναι βαθμωτό (ακριβέστερα, ψευδοκλιμακωτή).

Γεωμετρική αίσθηση:Το δομοστοιχείο του μικτού προϊόντος είναι αριθμητικά ίσο με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που σχηματίζεται από τα διανύσματα.

Όταν ανταλλάσσονται δύο παράγοντες, το μικτό προϊόν αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο:

Με μια κυκλική (κυκλική) μετάθεση παραγόντων, το μικτό προϊόν δεν αλλάζει:

Το μεικτό προϊόν είναι γραμμικό σε οποιονδήποτε παράγοντα.

Το μικτό γινόμενο είναι μηδέν εάν και μόνο εάν τα διανύσματα είναι συνεπίπεδα.

1. Συνθήκη συμβατότητας για διανύσματα: τρία διανύσματα είναι συνεπίπεδα αν και μόνο αν το μικτό γινόμενο τους είναι μηδέν.

§ Τριπλό διανυσμάτων που περιέχει ένα ζεύγος συγγραμμικά διανύσματα, ομοεπίπεδη.

§ Μικτό γινόμενο ομοεπίπεδων διανυσμάτων. Αυτό είναι ένα κριτήριο για την ομοεπίπεδη τριών διανυσμάτων.

§ Τα συνεπίπεδα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά. Αυτό είναι επίσης ένα κριτήριο για την ομοεπίπεδη.

§ Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε για συνεπίπεδους , εκτός από το ή . Πρόκειται για αναδιατύπωση της προηγούμενης ιδιότητας και αποτελεί και κριτήριο συνεπίπεδης.

§ Σε έναν τρισδιάστατο χώρο, 3 μη ομοεπίπεδα διανύσματα αποτελούν τη βάση. Δηλαδή, οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως: . Τότε θα είναι οι συντεταγμένες στη δεδομένη βάση.

Το μικτό γινόμενο στο σωστό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (στην ορθοκανονική βάση) είναι ίσο με την ορίζουσα του πίνακα που αποτελείται από τα διανύσματα και :

§6. Γενική εξίσωση (πλήρης) του επιπέδου

όπου και είναι σταθερές, επιπλέον, και δεν είναι ίσες με μηδέν ταυτόχρονα. σε διανυσματική μορφή:

όπου είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου , το διάνυσμα είναι κάθετο στο επίπεδο (κανονικό διάνυσμα). Συνημίτονα κατεύθυνσηςδιάνυσμα:

Εάν ένας από τους συντελεστές στην εξίσωση του επιπέδου είναι μηδέν, καλείται η εξίσωση ατελής. Όταν το επίπεδο διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων, όταν (ή , ) το P. είναι παράλληλο προς τον άξονα (αντίστοιχα ή ). Για ( , ή ), το επίπεδο είναι παράλληλο στο επίπεδο (ή , αντίστοιχα).

§ Εξίσωση επιπέδου σε τμήματα:

όπου , , είναι τα τμήματα που κόβονται από το επίπεδο στους άξονες και .

§ Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο στο κανονικό διάνυσμα :

σε διανυσματική μορφή:

(μεικτό γινόμενο διανυσμάτων), διαφορετικά

§ Κανονική (κανονικοποιημένη) εξίσωση επιπέδου

§ Γωνία μεταξύ δύο επιπέδων.Αν οι εξισώσεις Π. δίνονται με τη μορφή (1), τότε

Αν σε διανυσματική μορφή, τότε

§ Τα επίπεδα είναι παράλληλα, αν

Ή (Διανυσματικό προϊόν)

§ Τα επίπεδα είναι κάθετα, αν

Ή . (Scalar προϊόν)

7. Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία , όχι ξαπλωμένος στην ίδια γραμμή:

8. Η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο είναι η μικρότερη από τις αποστάσεις μεταξύ αυτού του σημείου και των σημείων του επιπέδου. Είναι γνωστό ότι η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο είναι ίση με το μήκος της καθέτου που πέφτει από αυτό το σημείο στο επίπεδο.

§ Απόκλιση σημείουαπό το επίπεδο που δίνεται από την κανονικοποιημένη εξίσωση

Εάν και η προέλευση βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του αεροπλάνου, διαφορετικά . Η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο είναι

§ Η απόσταση από το σημείο στο επίπεδο που δίνεται από την εξίσωση υπολογίζεται από τον τύπο:

9. Δέσμη αεροπλάνου- η εξίσωση οποιουδήποτε Π. διέρχεται από την ευθεία τομής δύο επιπέδων

όπου α και β είναι οποιοιδήποτε αριθμοί που δεν ισούνται ταυτόχρονα με το μηδέν.

Για τα τρία επίπεδα που ορίζονται από τις γενικές τους εξισώσεις A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 ως προς το PDSC ανήκε σε μία δοκό, σωστή ή ακατάλληλη, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα να είναι ίση είτε με δύο είτε με μία.
Θεώρημα 2. Έστω δύο επίπεδα π 1 και π 2 ως προς το PDSC από τις γενικές τους εξισώσεις: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z +D 2 = 0. Προκειμένου το επίπεδο π 3, που δίνεται σε σχέση με το PDSC από τη γενική του εξίσωση A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0, να ανήκει στη δέσμη που σχηματίζεται από τα επίπεδα π 1 και π 2, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι η αριστερή πλευρά της εξίσωσης του επιπέδου π 3 παριστάνεται ως γραμμικός συνδυασμός των αριστερών τμημάτων των εξισώσεων των επιπέδων π 1 και π 2 .

10.Διάνυσμα παραμετρική εξίσωση ευθείας γραμμήςστο διάστημα:

όπου είναι το διάνυσμα ακτίνας κάποιου σταθερού σημείου ΜΤο 0 που βρίσκεται σε μια ευθεία γραμμή είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα συγγραμμικό σε αυτήν την ευθεία γραμμή, είναι το διάνυσμα ακτίνας ενός αυθαίρετου σημείου στην ευθεία γραμμή.

Παραμετρική εξίσωση ευθείας γραμμήςστο διάστημα:

Μ

Κανονική εξίσωση ευθείας γραμμήςστο διάστημα:

όπου είναι οι συντεταγμένες κάποιου σταθερού σημείου Μ 0 ξαπλωμένος σε ευθεία γραμμή. - συντεταγμένες ενός διανύσματος συγγραμμικού με αυτή τη γραμμή.

Γενικός διανυσματική εξίσωσηευθείαστο διάστημα:

Δεδομένου ότι η ευθεία είναι η τομή δύο διαφορετικών μη παράλληλων επιπέδων, που δίνονται αντίστοιχα από τις γενικές εξισώσεις:

τότε η εξίσωση μιας ευθείας μπορεί να δοθεί από ένα σύστημα από αυτές τις εξισώσεις:

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης και θα είναι ίσο με τη γωνίαανάμεσα σε ευθείες γραμμές. Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων βρίσκεται χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο. cosA=(ab)/IaI*IbI

Η γωνία μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου βρίσκεται με τον τύπο:

όπου (A; B; C;) είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου
(l;m;n;) κατευθυντικές διανυσματικές συντεταγμένες της ευθείας

Προϋποθέσεις για παραλληλισμό δύο ευθειών:

α) Αν οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με κλίση, τότε απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι η ισότητα των κλίσεων τους:

κ 1 = κ 2 . (8)

β) Για την περίπτωση που οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις στο γενική εικόνα(6), η απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι οι συντελεστές στις αντίστοιχες τρέχουσες συντεταγμένες στις εξισώσεις τους να είναι ανάλογοι, δηλ.

Προϋποθέσεις για την καθετότητα δύο ευθειών:

α) Στην περίπτωση που οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με κλίση, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την καθετότητά τους είναι οι κλίσεις τους να είναι αντίστροφες σε μέγεθος και αντίθετες σε πρόσημο, δηλ.

β) Αν οι εξισώσεις των ευθειών δίνονται σε γενική μορφή (6), τότε προϋπόθεση για την καθετότητά τους (απαραίτητη και επαρκή) είναι να πληρούται η ισότητα

ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 + σι 1 σι 2 = 0. (12)

Μια ευθεία λέγεται ότι είναι κάθετη σε ένα επίπεδο εάν είναι κάθετη σε οποιαδήποτε ευθεία σε αυτό το επίπεδο. Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε καθεμία από τις δύο τεμνόμενες ευθείες ενός επιπέδου, τότε είναι κάθετη σε αυτό το επίπεδο. Για να είναι μια ευθεία και ένα επίπεδο παράλληλα, είναι απαραίτητο και αρκετό το κανονικό διάνυσμα προς το επίπεδο και το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας να είναι κάθετα. Για αυτό, είναι απαραίτητο το κλιμακωτό γινόμενο τους να είναι ίσο με μηδέν.

Για να είναι μια ευθεία και ένα επίπεδο κάθετα, είναι απαραίτητο και αρκετό το κανονικό διάνυσμα προς το επίπεδο και το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας να είναι συγγραμμικά. Αυτή η συνθήκη ικανοποιείται εάν το διασταυρούμενο γινόμενο αυτών των διανυσμάτων ήταν ίσο με μηδέν.

12. Στο διάστημα, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία που δίνεται από μια παραμετρική εξίσωση

μπορεί να βρεθεί ως η ελάχιστη απόσταση από ένα δεδομένο σημείο σε ένα αυθαίρετο σημείο σε μια ευθεία γραμμή. Συντελεστής tαυτό το σημείο μπορεί να βρεθεί από τον τύπο

Απόσταση μεταξύ τεμνόμενων γραμμώνείναι το μήκος της κοινής τους καθέτου. Είναι ίση με την απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων που διέρχονται από αυτές τις ευθείες.