Πριν προχωρήσουμε στο θέμα του άρθρου, υπενθυμίζουμε τις βασικές έννοιες.
Ορισμός 1
Διάνυσμα- ευθύγραμμο τμήμα που χαρακτηρίζεται από αριθμητική τιμή και κατεύθυνση. Ένα διάνυσμα συμβολίζεται με ένα πεζό λατινικό γράμμα με ένα βέλος στην κορυφή. Εάν υπάρχουν συγκεκριμένα οριακά σημεία, ο προσδιορισμός του διανύσματος μοιάζει με δύο κεφαλαία λατινικά γράμματα (σημαδεύουν τα όρια του διανύσματος) επίσης με ένα βέλος στην κορυφή.
Ορισμός 2
Μηδενικό διάνυσμα- οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου, που συμβολίζεται ως μηδέν με ένα βέλος πάνω.
Ορισμός 3
Διάνυσμα μήκος- μια τιμή ίση ή μεγαλύτερη από το μηδέν, η οποία καθορίζει το μήκος του τμήματος που αποτελεί το διάνυσμα.
Ορισμός 4
Συγγραμμικά διανύσματα- ξαπλωμένος σε μία γραμμή ή σε παράλληλες γραμμές. Τα διανύσματα που δεν πληρούν αυτή την προϋπόθεση ονομάζονται μη συγγραμμικά.
Ορισμός 5Εισαγωγή: Διανύσματα α →και β →. Για να εκτελέσετε τη λειτουργία πρόσθεσης σε αυτά, είναι απαραίτητο να αναβάλετε το διάνυσμα από ένα αυθαίρετο σημείο Α Β →, ίσο με το διάνυσμα α →; από το ληφθέν σημείο απροσδιόριστο - διάνυσμα Στο C →, ίσο με το διάνυσμα β →. Συνδέοντας τα ακαθόριστα σημεία και το C , παίρνουμε ένα τμήμα (διάνυσμα) A C →, που θα είναι το άθροισμα των αρχικών δεδομένων. Διαφορετικά, καλείται το περιγραφόμενο σχήμα προσθήκης διανύσματος κανόνας τριγώνου.
Γεωμετρικά, η προσθήκη διανυσμάτων μοιάζει με αυτό:
Για μη γραμμικά διανύσματα:
Για συγγραμμικά (συμκατευθυντικά ή αντίθετα) διανύσματα:
Λαμβάνοντας ως βάση το σχήμα που περιγράφηκε παραπάνω, έχουμε την ευκαιρία να εκτελέσουμε τη λειτουργία της προσθήκης περισσότερων από 2 διανυσμάτων: προσθέτοντας κάθε επόμενο διάνυσμα με τη σειρά.
Ορισμός 6
Εισαγωγή: Διανύσματα α → , β → , γ →, δ → . Από ένα αυθαίρετο σημείο Α στο επίπεδο, είναι απαραίτητο να παραμερίσουμε ένα τμήμα (διάνυσμα) ίσο με το διάνυσμα α →; τότε, από το τέλος του διανύσματος που προκύπτει, ένα διάνυσμα ίσο με το διάνυσμα β →; περαιτέρω - τα επόμενα διανύσματα αναβάλλονται σύμφωνα με την ίδια αρχή. Το τελικό σημείο του τελευταίου αναβαλλόμενου διανύσματος θα είναι το σημείο B και το προκύπτον τμήμα (διάνυσμα) Α Β →- το άθροισμα όλων των αρχικών δεδομένων. Το περιγραφόμενο σχήμα για την προσθήκη πολλών διανυσμάτων ονομάζεται επίσης κανόνας πολυγώνου .
Γεωμετρικά, μοιάζει με αυτό:
Ορισμός 7
Ένα ξεχωριστό σχέδιο δράσης για διανυσματική αφαίρεσηόχι επειδή στην πραγματικότητα η διαφορά των διανυσμάτων α →και β →είναι το άθροισμα των διανυσμάτων α →και - β → .
Ορισμός 8Για να εκτελέσετε την ενέργεια του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν ορισμένο αριθμό k, πρέπει να ληφθούν υπόψη οι ακόλουθοι κανόνες:
- αν k > 1, τότε αυτός ο αριθμός θα τεντώσει το διάνυσμα κατά k φορές.
- αν 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в
1k φορές?
- εάν κ< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- αν k = 1 , τότε το διάνυσμα παραμένει το ίδιο.
- εάν ένας από τους παράγοντες είναι μηδενικό διάνυσμα ή αριθμός ίσος με μηδέν, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα είναι μηδενικό διάνυσμα.
Αρχικά δεδομένα:
1) διάνυσμα α →και ο αριθμός k = 2;
2) διάνυσμα β →και αριθμός k = - 1 3 .
Γεωμετρικά, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες θα μοιάζει με αυτό:
Οι πράξεις σε διανύσματα που περιγράφονται παραπάνω έχουν ιδιότητες, μερικές από τις οποίες είναι προφανείς, ενώ άλλες μπορούν να αιτιολογηθούν γεωμετρικά.
Εισαγωγή: Διανύσματα α → , β → , γ →και αυθαίρετα πραγματικούς αριθμούςλ και μ.
Οι ιδιότητες της ανταλλαξιμότητας και της συσχέτισης καθιστούν δυνατή την προσθήκη διανυσμάτων με αυθαίρετη σειρά.
Οι παρατιθέμενες ιδιότητες των πράξεων επιτρέπουν την πραγματοποίηση των απαραίτητων μετασχηματισμών διανυσματικών-αριθμητικών εκφράσεων παρόμοια με τις συνηθισμένες αριθμητικές. Ας το δούμε αυτό με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 1
Μια εργασία:απλοποιήστε την έκφραση a → - 2 (b → + 3 a →)
Λύση
- χρησιμοποιώντας τη δεύτερη ιδιότητα διανομής, παίρνουμε: a → - 2 (b → + 3 a →) = a → - 2 b → - 2 (3 a →)
- χρησιμοποιήστε τη συσχετιστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, η παράσταση θα πάρει την ακόλουθη μορφή: a → - 2 b → - 2 (3 a →) = a → - 2 b → - (2 3) a → = a → - 2 b → - 6 α →
- χρησιμοποιώντας την ιδιότητα commutativity, ανταλλάσσουμε τους όρους: a → - 2 b → - 6 a → = a → - 6 a → - 2 b →
- τότε, σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα κατανομής, παίρνουμε: a → - 6 a → - 2 b → = (1 - 6) a → - 2 b → = - 5 a → - 2 b → Μια σύντομη καταγραφή της λύσης θα μοιάζει με αυτό: a → - 2 (b → + 3 a →) = a → - 2 b → - 2 3 a → = 5 a → - 2 b →
Απάντηση: a → - 2 (b → + 3 a →) = - 5 a → - 2 b →
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Σελίδα 1 από 2
Ερώτηση 1.Τι είναι ένας φορέας; Πώς ορίζονται τα διανύσματα;
Απάντηση.Ένα κατευθυνόμενο τμήμα θα ονομάσουμε διάνυσμα (Εικ. 211). Η κατεύθυνση ενός διανύσματος καθορίζεται προσδιορίζοντας την αρχή και το τέλος του. Στο σχέδιο, η κατεύθυνση του διανύσματος σημειώνεται με ένα βέλος. Για να ορίσουμε διανύσματα, θα χρησιμοποιήσουμε πεζά λατινικά γράμματα a, b, c, ... . Μπορείτε επίσης να ορίσετε ένα διάνυσμα προσδιορίζοντας την αρχή και το τέλος του. Σε αυτή την περίπτωση, η αρχή του διανύσματος τοποθετείται στην πρώτη θέση. Αντί για τη λέξη "διάνυσμα", ένα βέλος ή μια παύλα τοποθετείται μερικές φορές πάνω από τον χαρακτηρισμό του γράμματος του διανύσματος. Το διάνυσμα στο σχήμα 211 μπορεί να συμβολιστεί ως εξής:
\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) ή \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).
Ερώτηση 2.Ποια διανύσματα ονομάζονται εξίσου κατευθυνόμενα (αντίθετα κατευθυνόμενα);
Απάντηση.Τα διανύσματα \(\overline(AB)\) και \(\overline(CD)\) λέγονται ότι είναι ίσα κατευθυνόμενα εάν οι ημιευθείες AB και CD είναι εξίσου κατευθυνόμενες.
Τα διανύσματα \(\overline(AB)\) και \(\overline(CD)\) ονομάζονται αντίθετα κατευθυνόμενα εάν οι ημιευθείες AB και CD έχουν αντίθετη κατεύθυνση.
Στο σχήμα 212, τα διανύσματα \(\overline(a)\) και \(\overline(b)\) έχουν την ίδια κατεύθυνση, ενώ τα διανύσματα \(\overline(a)\) και \(\overline(c) \) έχουν αντίθετες κατευθύνσεις.
Ερώτηση 3.Ποια είναι η απόλυτη τιμή ενός διανύσματος;
Απάντηση.Η απόλυτη τιμή (ή συντελεστής) ενός διανύσματος είναι το μήκος του τμήματος που αντιπροσωπεύει το διάνυσμα. Η απόλυτη τιμή του διανύσματος \(\overline(a)\) συμβολίζεται με |\(\overline(a)\)|.
Ερώτηση 4.Τι είναι ένα μηδενικό διάνυσμα;
Απάντηση.Η αρχή ενός διανύσματος μπορεί να συμπίπτει με το τέλος του. Ένα τέτοιο διάνυσμα θα ονομάζεται μηδενικό διάνυσμα. Το μηδενικό διάνυσμα συμβολίζεται με μηδέν με μια παύλα (\(\overline(0)\)). Κανείς δεν μιλάει για την κατεύθυνση του μηδενικού διανύσματος. Η απόλυτη τιμή του μηδενικού διανύσματος θεωρείται ίση με το μηδέν.
Ερώτηση 5.Ποια διανύσματα ονομάζονται ίσα;
Απάντηση.Δύο διανύσματα λέγονται ίσα εάν συνδυάζονται με παράλληλη μετάφραση. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια παράλληλη μετάφραση που μετακινεί την αρχή και το τέλος ενός διανύσματος στην αρχή και στο τέλος ενός άλλου διανύσματος, αντίστοιχα.
Ερώτηση 6.Να αποδείξετε ότι τα ίσα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση και είναι ίσα σε απόλυτη τιμή. Και αντίστροφα: ίσα κατευθυνόμενα διανύσματα που είναι ίσα σε απόλυτη τιμή είναι ίσα.
Απάντηση.Με την παράλληλη μετάφραση, το διάνυσμα διατηρεί την κατεύθυνσή του, καθώς και την απόλυτη τιμή του. Αυτό σημαίνει ότι τα ίσα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση και είναι ίσα σε απόλυτη τιμή.
Έστω τα \(\overline(AB)\) και \(\overline(CD)\) να είναι ισοκατευθυνόμενα διανύσματα ίσα σε απόλυτη τιμή (Εικ. 213). Μια παράλληλη μετάφραση που μεταφέρει το σημείο C στο σημείο Α συνδυάζει ημιευθεία CD με μισή ευθεία ΑΒ, αφού κατευθύνονται εξίσου. Και εφόσον τα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι ίσα, τότε το σημείο Δ συμπίπτει με το σημείο Β, δηλ. η παράλληλη μετάφραση μεταφράζει το διάνυσμα \(\overline(CD)\) στο διάνυσμα \(\overline(AB)\). Επομένως, τα διανύσματα \(\overline(AB)\) και \(\overline(CD)\) είναι ίσα, όπως απαιτείται.
Ερώτηση 7.Να αποδείξετε ότι από οποιοδήποτε σημείο μπορεί κανείς να σχεδιάσει ένα διάνυσμα ίσο με το δεδομένο διάνυσμα, και μόνο ένα.
Απάντηση.Έστω το CD μια γραμμή και το διάνυσμα \(\overline(CD)\) μέρος της γραμμής CD. Έστω AB η γραμμή στην οποία πηγαίνει η γραμμή CD κατά την παράλληλη μετάφραση, \(\overline(AB)\) είναι το διάνυσμα στο οποίο μπαίνει το διάνυσμα \(\overline(CD)\) κατά την παράλληλη μετάφραση, και επομένως τα διανύσματα Τα \(\ overline(AB)\) και \(\overline(CD)\) είναι ίσα και οι γραμμές AB και CD είναι παράλληλες (βλ. Εικ. 213). Όπως γνωρίζουμε, μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, είναι δυνατό να σχεδιάσουμε στο επίπεδο το πολύ μία ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη (το αξίωμα των παράλληλων ευθειών). Ως εκ τούτου, μέσω του σημείου Α μπορεί κανείς να σχεδιάσει μία ευθεία παράλληλη στην ευθεία CD. Εφόσον το διάνυσμα \(\overline(AB)\) είναι μέρος της ευθείας AB, είναι δυνατό να σχεδιάσουμε ένα διάνυσμα \(\overline(AB)\) μέσω του σημείου A, το οποίο είναι ίσο με το διάνυσμα \(\overline (CD)\).
Ερώτηση 8.Τι είναι οι διανυσματικές συντεταγμένες; Ποια είναι η απόλυτη τιμή του διανύσματος με συντεταγμένες a 1 , a 2 ;
Απάντηση.Έστω το διάνυσμα \(\overline(a)\) να ξεκινά από το σημείο A 1 (x 1 ; y 1) και να τελειώνει στο σημείο A 2 (x 2 ; y 2). Οι συντεταγμένες του διανύσματος \(\overline(a)\) θα είναι οι αριθμοί a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Θα βάλουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος δίπλα στον χαρακτηρισμό του γράμματος του διανύσματος, σε αυτήν την περίπτωση \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) ή απλώς \((\overline(a 1 ; a 2 ))\ ). Οι συντεταγμένες μηδενικών διανυσμάτων είναι ίσες με μηδέν.
Από τον τύπο που εκφράζει την απόσταση μεταξύ δύο σημείων ως προς τις συντεταγμένες τους, προκύπτει ότι η απόλυτη τιμή του διανύσματος με συντεταγμένες a 1 , a 2 είναι \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\).
Ερώτηση 9.Να αποδείξετε ότι τα ίσα διανύσματα έχουν αντίστοιχα ίσες συντεταγμένες και τα διανύσματα με αντίστοιχα ίσες συντεταγμένες είναι ίσα.
Απάντηση.Έστω A 1 (x 1 ; y 1) και A 2 (x 2 ; y 2) η αρχή και το τέλος του διανύσματος \(\overline(a)\). Εφόσον το διάνυσμα \(\overline(a")\) ίσο με αυτό λαμβάνεται από το διάνυσμα \(\overline(a)\) με παράλληλη μετάφραση, τότε η αρχή και το τέλος του θα είναι αντίστοιχα A" 1 (x 1 + c ; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 + d). Αυτό δείχνει ότι και τα δύο διανύσματα \(\overline(a)\) και \(\overline(a")\) έχουν οι ίδιες συντεταγμένες: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
Ας αποδείξουμε τώρα τον αντίστροφο ισχυρισμό. Έστω ίσες οι αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων \(\overline(A 1 A 2 )\) και \(\overline(A" 1 A" 2 )\). Αποδεικνύουμε ότι τα διανύσματα είναι ίσα.
Έστω x" 1 και y" 1 οι συντεταγμένες του σημείου A" 1 και x" 2, y" 2 οι συντεταγμένες του σημείου A" 2. Με την συνθήκη του θεωρήματος x 2 - x 1 \u003d x "2 - x" 1, y 2 - y 1 \u003d y "2 - y" 1. Επομένως x "2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Παράλληλη μετάφραση που δίνεται από τύπους
x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,
μεταφέρει το σημείο A 1 στο σημείο A" 1 , και το σημείο A 2 στο σημείο A" 2 , δηλ. τα διανύσματα \(\overline(A 1 A 2 )\) και \(\overline(A" 1 A" 2)\) είναι ίσα, όπως απαιτείται.
Ερώτηση 10.Ορίστε το άθροισμα των διανυσμάτων.
Απάντηση.Το άθροισμα των διανυσμάτων \(\overline(a)\) και \(\overline(b)\) με συντεταγμένες a 1 , a 2 και b 1 , b 2 είναι το διάνυσμα \(\overline(c)\) με συντεταγμένες a 1 + b 1 , a 2 + b a 2 , δηλ.
\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).
Το διάνυσμα \(\overrightarrow(AB)\) μπορεί να θεωρηθεί ότι μετακινεί ένα σημείο από τη θέση \(A\) (έναρξη κίνησης) στη θέση \(B\) (τέλος κίνησης). Δηλαδή η τροχιά της κίνησης σε αυτή την περίπτωση δεν έχει σημασία, σημασία έχει μόνο η αρχή και το τέλος!
\(\μαύρο τρίγωνο\) Δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά αν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε δύο παράλληλες ευθείες.
Διαφορετικά, τα διανύσματα ονομάζονται μη συγγραμμικά.
\(\blacktriangleright\) Δύο συγγραμμικά διανύσματα λέγονται ότι είναι ομοκατευθυντικά εάν οι κατευθύνσεις τους είναι ίδιες.
Αν οι κατευθύνσεις τους είναι αντίθετες, τότε ονομάζονται αντίθετα κατευθυνόμενες.
Κανόνες για την προσθήκη συγγραμμικών διανυσμάτων:
συνκατευθυντική τέλοςπρώτα. Τότε το άθροισμά τους είναι ένα διάνυσμα, η αρχή του οποίου συμπίπτει με την αρχή του πρώτου διανύσματος και το τέλος συμπίπτει με το τέλος του δεύτερου (Εικ. 1).
\(\blacktriangleright\) Για να προσθέσετε δύο αντίθετες κατευθύνσειςδιάνυσμα, μπορείτε να αναβάλετε το δεύτερο διάνυσμα από αρχήπρώτα. Τότε το άθροισμά τους είναι ένα διάνυσμα, η αρχή του οποίου συμπίπτει με την αρχή και των δύο διανυσμάτων, το μήκος είναι ίσο με τη διαφορά στα μήκη των διανυσμάτων, η κατεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση του μεγαλύτερου διανύσματος (Εικ. 2).
Κανόνες για την προσθήκη μη γραμμικών διανυσμάτων \(\overrightarrow (a)\) και \(\overrightarrow(b)\) :
\(\blacktriangleright\) Κανόνας τριγώνου (Εικ. 3).
Είναι απαραίτητο να αναβληθεί το διάνυσμα \(\overrightarrow (b)\) από το τέλος του διανύσματος \(\overrightarrow (a)\) . Τότε το άθροισμα είναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή συμπίπτει με την αρχή του διανύσματος \(\overrightarrow (a)\) , και του οποίου το τέλος συμπίπτει με το τέλος του διανύσματος \(\overrightarrow (b)\) .
\(\blacktriangleright\) Κανόνας παραλληλογράμμου (Εικ. 4).
Είναι απαραίτητο να αναβληθεί το διάνυσμα \(\overrightarrow (b)\) από την αρχή του διανύσματος \(\overrightarrow (a)\) . Μετά το άθροισμα \(\overright arrow (a)+\overright arrow (b)\)είναι ένα διάνυσμα που συμπίπτει με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο στα διανύσματα \(\overrightarrow (a)\) και \(\overrightarrow (b)\) (η αρχή του οποίου συμπίπτει με την αρχή και των δύο διανυσμάτων).
\(\blacktriangleright\) Να βρείτε τη διαφορά δύο διανυσμάτων \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\), πρέπει να βρείτε το άθροισμα των διανυσμάτων \(\overrightarrow (a)\) και \(-\overrightarrow(b)\): \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\)(Εικ. 5).
Εργασία 1 #2638
Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση
Dan ορθογώνιο τρίγωνο\(ABC\) με ορθή γωνία \(A\) , το σημείο \(O\) είναι το κέντρο του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το δεδομένο τρίγωνο. Διανυσματικές συντεταγμένες \(\overrightarrow(AB)=\(1;1\)\), \(\overrightarrow(AC)=\(-1;1\)\). Βρείτε το άθροισμα των συντεταγμένων του διανύσματος \(\overrightarrow(OC)\) .
Επειδή το τρίγωνο \(ABC\) είναι ορθογώνιο, τότε το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται στο μέσο της υποτείνουσας, δηλ. Το \(O\) είναι το μέσο του \(BC\) .
σημειώσε ότι \(\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)\), Συνεπώς, \(\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).
Επειδή \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\), έπειτα \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).
Επομένως, το άθροισμα των συντεταγμένων του διανύσματος \(\overrightarrow(OC)\) είναι ίσο με \(-1+0=-1\) .
Απάντηση: -1
Εργασία 2 #674
Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση
Το \(ABCD\) είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι πλευρές περιέχουν τα διανύσματα \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow(DA) \) . Βρείτε το μήκος του διανύσματος \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC)\), \(\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\), έπειτα
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)= \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
Το μηδενικό διάνυσμα έχει μήκος ίσο με \(0\) .
Επομένως, ένα διάνυσμα μπορεί να θεωρηθεί ως μετατόπιση \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)- μετακίνηση από το \(A\) στο \(B\) , και στη συνέχεια από το \(B\) στο \(C\) - στο τέλος είναι μια κίνηση από το \(A\) στο \(C\) .
Με αυτή την ερμηνεία γίνεται σαφές ότι \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\), γιατί ως αποτέλεσμα, εδώ μετακινηθήκαμε από το σημείο \(A\) στο σημείο \(A\) , δηλαδή το μήκος μιας τέτοιας κίνησης είναι ίσο με \(0\) , που σημαίνει ότι το διάνυσμα του μια τέτοια κίνηση είναι η \(\vec(0)\) .
Απάντηση: 0
Εργασία 3 #1805
Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση
Δίνεται παραλληλόγραμμο \(ABCD\) . Οι διαγώνιοι \(AC\) και \(BD\) τέμνονται στο σημείο \(O\) . Ας, λοιπόν \(\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)
\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (α) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\Δεξί βέλος\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\Δεξί βέλος\) \(x + y = - ένας\) .
Απάντηση: -1
Εργασία 4 #1806
Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση
Δίνεται παραλληλόγραμμο \(ABCD\) . Τα σημεία \(K\) και \(L\) βρίσκονται στις πλευρές \(BC\) και \(CD\), αντίστοιχα, και \(BK:KC = 3:1\) , και \(L\) είναι το μέσο \ (CD\) . Αφήνω \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), έπειτα \(\overrightarrow(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), όπου \(x\) και \(y\) είναι κάποιοι αριθμοί. Βρείτε τον αριθμό ίσο με \(x + y\) .
\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD) = \frac (1)(4)\overrightarrow(AD) + \frac(1)(2)\overrightarrow(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (ένα)\]\(\Δεξί βέλος\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Δεξί βέλος\) \(x + y = -0 ,25\) .
Απάντηση: -0,25
Εργασία 5 #1807
Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση
Δίνεται παραλληλόγραμμο \(ABCD\) . Τα σημεία \(M\) και \(N\) βρίσκονται στις πλευρές \(AD\) και \(BC\) αντίστοιχα, όπου \(AM:MD = 2:3\) και \(BN:NC = 3 ): ένα\) . Αφήνω \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), έπειτα \(\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)
\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3 )(4)\overrightarrow(BC) = - \frac(2)(5)\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = -\frac(2 )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\Δεξί βέλος\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Δεξί βέλος\) \(x\cdot y = 0,35\) .
Απάντηση: 0,35
Εργασία 6 #1808
Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από την εξέταση
Δίνεται παραλληλόγραμμο \(ABCD\) . Το σημείο \(P\) βρίσκεται στη διαγώνιο \(BD\) , το σημείο \(Q\) βρίσκεται στην πλευρά \(CD\) , όπου \(BP:PD = 4:1\) , και \( CQ:QD = 1:9 \) . Αφήνω \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), έπειτα \(\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), όπου \(x\) και \(y\) είναι κάποιοι αριθμοί. Βρείτε τον αριθμό ίσο με \(x\cdot y\) .
\[\begin(gathered) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)\overrightarrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(συγκεντρώθηκαν)\]
\(\Δεξί βέλος\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Δεξί βέλος\) \(x\cdot y = 0, δεκατέσσερα\) . και το \(ABCO\) είναι παραλληλόγραμμο. \(AF \παράλληλο BE\) και \(ABOF\) – παραλληλόγραμμο \(\Δεξί βέλος\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Δεξί βέλος\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Δεξί βέλος\) \(x + y = 2\) .
Απάντηση: 2
Μαθητές Λυκείου προετοιμάζονται για περνώντας τις εξετάσειςστα μαθηματικά και ταυτόχρονα να περιμένουν να λάβουν αξιοπρεπείς βαθμούς, πρέπει οπωσδήποτε να επαναλάβουν το θέμα «Κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης πολλών διανυσμάτων». Όπως φαίνεται από πολλά χρόνια πρακτικής, τέτοιες εργασίες περιλαμβάνονται στο τεστ πιστοποίησης κάθε χρόνο. Εάν ένας απόφοιτος έχει δυσκολίες με εργασίες από την ενότητα «Γεωμετρία σε επίπεδο», για παράδειγμα, στις οποίες απαιτείται να εφαρμόσει τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης διανυσμάτων, θα πρέπει οπωσδήποτε να επαναλάβει ή να ξανακατανοήσει την ύλη για να περάσει τις εξετάσεις.
Το εκπαιδευτικό έργο "Shkolkovo" προσφέρει μια νέα προσέγγιση στην προετοιμασία για τη δοκιμή πιστοποίησης. Ο πόρος μας είναι χτισμένος με τέτοιο τρόπο ώστε οι μαθητές να μπορούν να εντοπίσουν τις πιο δύσκολες ενότητες για τον εαυτό τους και να καλύψουν τα κενά γνώσης. Οι ειδικοί της Shkolkovo έχουν προετοιμάσει και συστηματοποιήσει όλο το απαραίτητο υλικό για την προετοιμασία για τη δοκιμή πιστοποίησης.
Προς την ΧΡΗΣΗ Εργασιών, στο οποίο είναι απαραίτητο να εφαρμοστούν οι κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης δύο διανυσμάτων, δεν προκάλεσε δυσκολίες, συνιστούμε πρώτα απ 'όλα να αναλύσουμε τις βασικές έννοιες. Οι μαθητές μπορούν να βρουν αυτό το υλικό στην ενότητα «Θεωρητική αναφορά».
Εάν έχετε ήδη θυμηθεί τον κανόνα της αφαίρεσης διανυσμάτων και τους βασικούς ορισμούς σε αυτό το θέμα, σας προτείνουμε να εμπεδώσετε τις γνώσεις σας συμπληρώνοντας τις κατάλληλες ασκήσεις που επιλέχθηκαν από ειδικούς εκπαιδευτική πύλη«Σκολκόβο». Για κάθε πρόβλημα, ο ιστότοπος παρουσιάζει έναν αλγόριθμο λύσης και δίνει τη σωστή απάντηση. Το θέμα Κανόνες πρόσθεσης διανυσμάτων περιέχει διάφορες ασκήσεις. αφού ολοκληρώσουν δύο ή τρεις σχετικά εύκολες εργασίες, οι μαθητές μπορούν διαδοχικά να προχωρήσουν σε πιο δύσκολες.
Για να βελτιώσουν τις δεξιότητές τους σε τέτοιες εργασίες, για παράδειγμα, καθώς οι μαθητές έχουν την ευκαιρία στο διαδίκτυο, να βρίσκονται στη Μόσχα ή σε οποιαδήποτε άλλη πόλη της Ρωσίας. Εάν είναι απαραίτητο, η εργασία μπορεί να αποθηκευτεί στην ενότητα "Αγαπημένα". Χάρη σε αυτό, μπορείτε να βρείτε γρήγορα παραδείγματα ενδιαφέροντος και να συζητήσετε τους αλγόριθμους για την εύρεση της σωστής απάντησης με τον δάσκαλο.
Ορισμένα φυσικά μεγέθη, για παράδειγμα, δύναμη ή ταχύτητα, χαρακτηρίζονται όχι μόνο από μια αριθμητική τιμή, αλλά και από την κατεύθυνση. Τέτοια μεγέθη ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη: φά⃗ - δύναμη, v⃗ - ταχύτητα.
Ας δώσουμε γεωμετρικός ορισμόςδιάνυσμα.
Διάνυσμα
καλείται ένα τμήμα, για το οποίο υποδεικνύεται ποιο από τα οριακά του σημεία θεωρείται αρχή και ποιο τέλος.
Στα σχέδια, ένα διάνυσμα απεικονίζεται ως τμήμα γραμμής με ένα βέλος που δείχνει το τέλος του διανύσματος. Ένα διάνυσμα συμβολίζεται με δύο κεφαλαία λατινικά γράμματα με ένα βέλος από πάνω τους. Το πρώτο γράμμα δείχνει την αρχή του διανύσματος, το δεύτερο - το τέλος.
Ένα διάνυσμα μπορεί επίσης να υποδηλωθεί με ένα μόνο πεζό λατινικό γράμμα με ένα βέλος από πάνω του.
Το μήκος ενός διανύσματος είναι το μήκος του τμήματος που αντιπροσωπεύει αυτό το διάνυσμα. Οι κάθετες αγκύλες χρησιμοποιούνται για να υποδείξουν το μήκος ενός διανύσματος.
Ένα διάνυσμα του οποίου το τέλος είναι ίδιο με την αρχή του ονομάζεται μηδέν
διάνυσμα. Το μηδενικό διάνυσμα αντιπροσωπεύεται με μια τελεία και συμβολίζεται με δύο πανομοιότυπα γράμματα ή μηδέν με ένα βέλος πάνω από αυτό. Το μήκος του μηδενικού διανύσματος είναι ίσο με μηδέν: |0 ⃗|= 0.
Ας εισαγάγουμε την έννοια συγγραμμική φορείς. Τα μη μηδενικά διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά εάν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα.
Εάν τα μη μηδενικά συγγραμμικά διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση, τότε τέτοια διανύσματα θα είναι ομοκατευθυντικά. Αν οι κατευθύνσεις τους είναι αντίθετες, ονομάζονται αντίθετα κατευθυνόμενες.
Υπάρχουν ειδικοί συμβολισμοί για τον προσδιορισμό των διανυσμάτων συνκατευθυνόμενων και αντίθετα κατευθυνόμενων:
- Μ ⃗ R⃗ αν τα διανύσματα Μ⃗ και R⃗ συν-σκηνοθεσία.
- Μ ⃗ ↓ n⃗ αν τα διανύσματα Μ⃗ και n⃗ Αντίθετα σκηνοθετημένη.
Σκεφτείτε την κίνηση ενός αυτοκινήτου. Η ταχύτητα καθενός από τα σημεία του είναι διανυσματική ποσότητα και αντιπροσωπεύεται από ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Δεδομένου ότι όλα τα σημεία του αυτοκινήτου κινούνται με την ίδια ταχύτητα, όλα τα κατευθυνόμενα τμήματα που αντιπροσωπεύουν τις ταχύτητες διαφορετικών σημείων έχουν την ίδια κατεύθυνση και τα μήκη τους είναι ίσα. Αυτό το παράδειγμα μας δίνει μια υπόδειξη για το πώς να προσδιορίσουμε εάν τα διανύσματα είναι ίσα.
Δύο διανύσματα λέγονται ίσα αν είναι στην ίδια κατεύθυνση και τα μήκη τους είναι ίσα. Η ισότητα των διανυσμάτων μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας το πρόσημο ίσου: ένα ⃗ = σι ⃗, KH ⃗ = Ο.Ε ⃗
Αν σημείο Rδιανυσματική έναρξη R⃗, τότε θεωρούμε ότι το διάνυσμα R⃗ αναβλήθηκε από το σημείο R.
Ας το αποδείξουμε από οποιοδήποτε σημείο Ομπορείτε να παραμερίσετε ένα διάνυσμα ίσο με ένα δεδομένο διάνυσμα R⃗ και μόνο ένα.
Απόδειξη:
1) Αν R⃗ είναι το μηδενικό διάνυσμα, λοιπόν OO ⃗ = R ⃗.
2) Αν το διάνυσμα R⃗ μη μηδενικό, σημείο Rείναι η αρχή αυτού του διανύσματος και το σημείο Τ- το τέλος.
Περάστε από την τελεία Οευθεία, παράλληλη RT. Στην κατασκευασμένη ευθεία, παραμερίζουμε τα τμήματα ΟΑ 1 και ΟΑ 2 ίσο με το τμήμα RT.
Επιλέξτε από διανύσματα ΟΑ 1 και ΟΑ 2 διάνυσμα που είναι συνκατευθυντικό με το διάνυσμα R⃗. Στο σχέδιό μας, αυτό είναι ένα διάνυσμα ΟΑένας . Αυτό το διάνυσμα θα είναι ίσο με το διάνυσμα R⃗. Από την κατασκευή προκύπτει ότι ένα τέτοιο διάνυσμα είναι μοναδικό.
Οι γνώσεις και οι δεξιότητες που αποκτήθηκαν σε αυτό το μάθημα θα είναι χρήσιμες στους μαθητές όχι μόνο στα μαθήματα γεωμετρίας, αλλά και σε τάξεις άλλων επιστημών. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, οι μαθητές θα μάθουν πώς να σχεδιάζουν ένα διάνυσμα από ένα δεδομένο σημείο. Μπορεί να είναι ένα κανονικό μάθημα γεωμετρίας, καθώς και ένα εξωσχολικό ή εξωσχολικό μάθημα μαθηματικών. Αυτή η εξέλιξη θα βοηθήσει τον δάσκαλο να εξοικονομήσει χρόνο προετοιμασίας για το μάθημα με θέμα «Καθυστέρηση ενός διανύσματος από ένα δεδομένο σημείο». Θα είναι αρκετό για αυτόν να παίξει το βίντεο μάθημα στην τάξη και στη συνέχεια να εμπεδώσει το υλικό με τη δική του επιλογή ασκήσεων.
Η διάρκεια του μαθήματος διαρκεί μόνο 1:44 λεπτά. Αλλά αυτό είναι αρκετό για να διδάξουμε στους μαθητές να αναβάλουν το διάνυσμα από ένα δεδομένο σημείο.
Το μάθημα ξεκινά με μια επίδειξη ενός διανύσματος του οποίου η αρχή είναι κάποια στιγμή. Λένε ότι το διάνυσμα αναβάλλεται από αυτό. Στη συνέχεια, ο συγγραφέας προτείνει να αποδείξει μαζί του τη δήλωση σύμφωνα με την οποία ένα διάνυσμα ίσο με το δεδομένο και, επιπλέον, μοναδικό μπορεί να σχεδιαστεί από οποιοδήποτε σημείο. Στην πορεία της απόδειξης, ο συγγραφέας εξετάζει κάθε περίπτωση λεπτομερώς. Πρώτον, παίρνει την κατάσταση όταν το δεδομένο διάνυσμα είναι μηδέν, και δεύτερον, όταν το διάνυσμα είναι μη μηδενικό. Κατά τη διάρκεια της απόδειξης, χρησιμοποιούνται εικονογραφήσεις με τη μορφή σχεδίων και κατασκευών, μαθηματικών σημειώσεων, που σχηματίζουν μαθηματικό γραμματισμό μεταξύ των μαθητών. Ο συγγραφέας μιλάει αργά, γεγονός που επιτρέπει στους μαθητές να κρατούν σημειώσεις παράλληλα ενώ σχολιάζουν. Η κατασκευή που πραγματοποιήθηκε από τον συγγραφέα κατά την απόδειξη της προηγουμένως διατυπωμένης δήλωσης δείχνει πώς μπορεί να κατασκευαστεί από κάποιο σημείο ένα διάνυσμα ίσο με το δεδομένο.
Εάν οι μαθητές παρακολουθήσουν προσεκτικά το μάθημα και κρατήσουν σημειώσεις ταυτόχρονα, θα μάθουν εύκολα την ύλη. Επιπλέον, ο συγγραφέας αφηγείται λεπτομερώς, μετρημένα και πλήρως. Εάν για κάποιο λόγο δεν ακούσατε κάτι, μπορείτε να επιστρέψετε και να παρακολουθήσετε ξανά το μάθημα.
Αφού παρακολουθήσετε το εκπαιδευτικό βίντεο, συνιστάται να ξεκινήσετε τη διόρθωση του υλικού. Συνιστάται στον δάσκαλο να επιλέξει εργασίες σε αυτό το θέμα για να επεξεργαστεί την ικανότητα της αναβολής του διανύσματος από ένα δεδομένο σημείο.
Αυτό το μάθημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αυτοδιδασκαλίαςθέματα για μαθητές. Αλλά για να ενοποιήσετε, πρέπει να επικοινωνήσετε με τον δάσκαλο, ώστε να επιλέξει τις κατάλληλες εργασίες. Πράγματι, χωρίς εμπέδωση του υλικού, είναι δύσκολο να επιτευχθεί ένα θετικό αποτέλεσμα στην προπόνηση.
