σύνθετα παράγωγα. Λογαριθμική παράγωγος.
Παράγωγο δύναμης- εκθετικη συναρτηση

Συνεχίζουμε να βελτιώνουμε την τεχνική μας διαφοροποίησης. Σε αυτό το μάθημα, θα ενοποιήσουμε το υλικό που καλύπτεται, θα εξετάσουμε πιο σύνθετες παραγώγους και επίσης θα εξοικειωθούμε με νέα κόλπα και κόλπα για την εύρεση της παραγώγου, ειδικότερα, με τη λογαριθμική παράγωγο.

Για όσους αναγνώστες χαμηλό επίπεδοπροετοιμασία, ανατρέξτε στο άρθρο Πώς να βρείτε το παράγωγο; Παραδείγματα λύσεωνπου θα σας επιτρέψει να αυξήσετε τις δεξιότητές σας σχεδόν από την αρχή. Στη συνέχεια, πρέπει να μελετήσετε προσεκτικά τη σελίδα Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης, κατανοήστε και επιλύστε όλατα παραδείγματα που έδωσα. Αυτό το μάθημαλογικά τρίτο στη σειρά, και αφού το κατακτήσετε, θα διαφοροποιήσετε με σιγουριά αρκετά περίπλοκες συναρτήσεις. Δεν είναι επιθυμητό να παραμείνουμε στη θέση «Πού αλλού; Και φτάνει!», αφού όλα τα παραδείγματα και οι λύσεις προέρχονται από το real εργασίες ελέγχουκαι συναντάται συχνά στην πράξη.

Ας ξεκινήσουμε με την επανάληψη. Στο μάθημα Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησηςέχουμε εξετάσει μια σειρά από παραδείγματα με λεπτομερή σχόλια. Κατά τη μελέτη του διαφορικού λογισμού και άλλων τομών μαθηματική ανάλυση- θα πρέπει να διαφοροποιείτε πολύ συχνά και δεν είναι πάντα βολικό (και όχι πάντα απαραίτητο) να ζωγραφίζετε παραδείγματα με μεγάλη λεπτομέρεια. Επομένως, θα εξασκηθούμε στην προφορική εύρεση παραγώγων. Οι πιο κατάλληλοι "υποψήφιοι" για αυτό είναι οι παράγωγοι των απλούστερων πολύπλοκων συναρτήσεων, για παράδειγμα:

Σύμφωνα με τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης :

Κατά τη μελέτη άλλων θεμάτων του matan στο μέλλον, μια τέτοια λεπτομερής καταγραφή τις περισσότερες φορές δεν απαιτείται, θεωρείται ότι ο μαθητής μπορεί να βρει παρόμοια παράγωγα στον αυτόματο πιλότο. Ας φανταστούμε ότι στις 3 η ώρα το πρωί χτύπησε το τηλέφωνο, και μια ευχάριστη φωνή ρώτησε: «Ποια είναι η παράγωγος της εφαπτομένης του δύο x;». Αυτό θα πρέπει να ακολουθείται από μια σχεδόν στιγμιαία και ευγενική απάντηση: .

Το πρώτο παράδειγμα θα προορίζεται αμέσως για ανεξάρτητη λύση.

Παράδειγμα 1

Βρείτε τα παρακάτω παράγωγα προφορικά, σε ένα βήμα, για παράδειγμα: . Για να ολοκληρώσετε την εργασία, χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιήσετε πίνακας παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων(αν δεν το θυμάται ήδη). Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες, σας συνιστώ να διαβάσετε ξανά το μάθημα Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος

Σύνθετα παράγωγα

Μετά την προκαταρκτική προετοιμασία του πυροβολικού, τα παραδείγματα με 3-4-5 προσαρτήσεις λειτουργιών θα είναι λιγότερο τρομακτικά. Ίσως τα ακόλουθα δύο παραδείγματα να φαίνονται περίπλοκα σε κάποιους, αλλά αν γίνουν κατανοητά (κάποιος υποφέρει), τότε σχεδόν όλα τα άλλα στον διαφορικό λογισμό θα φαίνονται σαν παιδικό αστείο.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, κατά την εύρεση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο σωστάΚΑΤΑΝΟΗΣΕ ΤΙΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ. Σε περιπτώσεις που υπάρχει αμφιβολία, σας υπενθυμίζω ένα χρήσιμο κόλπο: παίρνουμε την πειραματική τιμή "x", για παράδειγμα, και προσπαθούμε (διανοητικά ή σε σχέδιο) να αντικαταστήσουμε δεδομένη αξίασε μια τρομερή έκφραση.

1) Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε την έκφραση, οπότε το άθροισμα είναι η βαθύτερη ένθεση.

2) Στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε τον λογάριθμο:

4) Έπειτα κύβω το συνημίτονο:

5) Στο πέμπτο βήμα, η διαφορά:

6) Και τέλος, η πιο εξωτερική συνάρτηση είναι η τετραγωνική ρίζα:

Τύπος διαφοροποίησης σύνθετης συνάρτησης εφαρμόζονται με αντίστροφη σειρά, από την πιο εξωτερική συνάρτηση στην πιο εσωτερική. Εμείς αποφασίζουμε:

Δεν φαίνεται να είναι λάθος...

(1) Παίρνουμε την παράγωγο της τετραγωνικής ρίζας.

(2) Παίρνουμε την παράγωγο της διαφοράς χρησιμοποιώντας τον κανόνα

(3) Η παράγωγος του τριπλού ισούται με μηδέν. Στον δεύτερο όρο, παίρνουμε την παράγωγο του βαθμού (κύβος).

(4) Παίρνουμε την παράγωγο του συνημιτόνου.

(5) Παίρνουμε την παράγωγο του λογάριθμου.

(6) Τέλος, παίρνουμε την παράγωγο της βαθύτερης ένθεσης .

Μπορεί να φαίνεται πολύ δύσκολο, αλλά αυτό δεν είναι το πιο βάναυσο παράδειγμα. Πάρτε, για παράδειγμα, τη συλλογή του Kuznetsov και θα εκτιμήσετε όλη τη γοητεία και την απλότητα του αναλυόμενου παραγώγου. Παρατήρησα ότι τους αρέσει να δίνουν κάτι παρόμοιο στην εξέταση για να ελέγξουν αν ο μαθητής καταλαβαίνει πώς να βρει την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ή δεν καταλαβαίνει.

Το ακόλουθο παράδειγμα αφορά μια αυτόνομη λύση.

Παράδειγμα 3

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Υπόδειξη: Αρχικά εφαρμόζουμε τους κανόνες της γραμμικότητας και τον κανόνα της διαφοροποίησης του προϊόντος

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ήρθε η ώρα να προχωρήσετε σε κάτι πιο συμπαγές και όμορφο.
Δεν είναι ασυνήθιστο για μια κατάσταση όπου το γινόμενο όχι δύο, αλλά τριών συναρτήσεων δίνεται σε ένα παράδειγμα. Πώς να βρείτε την παράγωγο του γινομένου τριών παραγόντων;

Παράδειγμα 4

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αρχικά, εξετάζουμε, αλλά είναι δυνατόν να μετατρέψουμε το γινόμενο τριών συναρτήσεων σε γινόμενο δύο συναρτήσεων; Για παράδειγμα, αν είχαμε δύο πολυώνυμα στο γινόμενο, τότε θα μπορούσαμε να ανοίξουμε τις αγκύλες. Αλλά σε αυτό το παράδειγμα, όλες οι συναρτήσεις είναι διαφορετικές: βαθμός, εκθέτης και λογάριθμος.

Σε τέτοιες περιπτώσεις είναι απαραίτητο διαδοχικώςεφαρμόστε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων εις διπλούν

Το κόλπο είναι ότι για το "y" συμβολίζουμε το γινόμενο δύο συναρτήσεων: , και για το "ve" - τον λογάριθμο:. Γιατί μπορεί να γίνει αυτό; Είναι - αυτό δεν είναι προϊόν δύο παραγόντων και ο κανόνας δεν λειτουργεί;! Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο:

Τώρα μένει να εφαρμοστεί ο κανόνας για δεύτερη φορά σε παρένθεση:

Μπορείτε ακόμα να διαστρεβλώσετε και να βγάλετε κάτι από τις αγκύλες, αλλά σε αυτήν την περίπτωση είναι καλύτερο να αφήσετε την απάντηση σε αυτήν τη μορφή - θα είναι ευκολότερο να ελέγξετε.

Το παραπάνω παράδειγμα μπορεί να λυθεί με τον δεύτερο τρόπο:

Και οι δύο λύσεις είναι απολύτως ισοδύναμες.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, στο δείγμα λύνεται με τον πρώτο τρόπο.

Εξετάστε παρόμοια παραδείγματα με κλάσματα.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ μπορείτε να πάτε με διάφορους τρόπους:

Ή όπως αυτό:

Αλλά η λύση μπορεί να γραφτεί πιο συμπαγή αν, πρώτα απ 'όλα, χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης του πηλίκου , λαμβάνοντας για ολόκληρο τον αριθμητή:

Καταρχήν, το παράδειγμα λύνεται και αν μείνει σε αυτή τη μορφή, δεν θα είναι λάθος. Αλλά αν έχετε χρόνο, είναι πάντα σκόπιμο να ελέγχετε ένα προσχέδιο, αλλά είναι δυνατόν να απλοποιήσετε την απάντηση; Φέρνουμε την έκφραση του αριθμητή στο κοινό παρονομαστήκαι απαλλαγείτε από το τριώροφο κλάσμα:

Το μειονέκτημα των πρόσθετων απλουστεύσεων είναι ότι υπάρχει κίνδυνος να γίνει λάθος όχι κατά την εύρεση ενός παραγώγου, αλλά κατά τους απλούς σχολικούς μετασχηματισμούς. Από την άλλη πλευρά, οι δάσκαλοι συχνά απορρίπτουν την εργασία και ζητούν να «το φέρουν στο μυαλό» το παράγωγο.

Ένα απλούστερο παράδειγμα για μια λύση "φτιάξ' το μόνος σου":

Παράδειγμα 7

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Συνεχίζουμε να κατακτούμε τις τεχνικές για την εύρεση της παραγώγου και τώρα θα εξετάσουμε μια τυπική περίπτωση όταν ένας «τρομερός» λογάριθμος προτείνεται για διαφοροποίηση

Παράδειγμα 8

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ μπορείτε να προχωρήσετε πολύ, χρησιμοποιώντας τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:

Αλλά το πρώτο βήμα σας βυθίζει αμέσως σε απόγνωση - πρέπει να πάρετε μια δυσάρεστη παράγωγο κλασματικού βαθμού, και στη συνέχεια επίσης από ένα κλάσμα.

Να γιατί πρινπώς να πάρουμε την παράγωγο του «φανταχτερού» λογάριθμου, προηγουμένως απλοποιήθηκε χρησιμοποιώντας γνωστές σχολικές ιδιότητες:

! Εάν έχετε ένα πρακτικό σημειωματάριο, αντιγράψτε αυτούς τους τύπους ακριβώς εκεί. Εάν δεν έχετε σημειωματάριο, σχεδιάστε το ξανά σε ένα κομμάτι χαρτί, καθώς τα υπόλοιπα παραδείγματα του μαθήματος θα περιστρέφονται γύρω από αυτούς τους τύπους.

Η ίδια η λύση μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Ας μετατρέψουμε τη συνάρτηση:

Βρίσκουμε την παράγωγο:

Ο προκαταρκτικός μετασχηματισμός της ίδιας της συνάρτησης απλοποίησε πολύ τη λύση. Έτσι, όταν ένας παρόμοιος λογάριθμος προτείνεται για διαφοροποίηση, είναι πάντα σκόπιμο να «καταρριφθεί».

Και τώρα μερικά απλά παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 9

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Παράδειγμα 10

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Όλες οι μεταμορφώσεις και οι απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

λογαριθμική παράγωγος

Αν το παράγωγο των λογαρίθμων είναι τόσο γλυκιά μουσική, τότε τίθεται το ερώτημα, είναι δυνατόν σε ορισμένες περιπτώσεις να οργανωθεί τεχνητά ο λογάριθμος; Μπορώ! Και μάλιστα απαραίτητο.

Παράδειγμα 11

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Παρόμοια παραδείγματα εξετάσαμε πρόσφατα. Τι να κάνω? Μπορείτε να εφαρμόσετε διαδοχικά τον κανόνα της διαφοροποίησης του πηλίκου και στη συνέχεια τον κανόνα της διαφοροποίησης του προϊόντος. Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι λαμβάνετε ένα τεράστιο κλάσμα τριών ορόφων, το οποίο δεν θέλετε να αντιμετωπίσετε καθόλου.

Αλλά στη θεωρία και την πράξη υπάρχει ένα τόσο υπέροχο πράγμα όπως η λογαριθμική παράγωγος. Οι λογάριθμοι μπορούν να οργανωθούν τεχνητά «κρεμώντας» τους και στις δύο πλευρές:

Σημείωση : επειδή Η συνάρτηση μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές, τότε, γενικά, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ενότητες: , που εξαφανίζονται ως αποτέλεσμα διαφοροποίησης. Ωστόσο, ο τρέχων σχεδιασμός είναι επίσης αποδεκτός, όπου από προεπιλογή το συγκρότημααξίες. Αλλά αν με κάθε αυστηρότητα, τότε και στις δύο περιπτώσεις είναι απαραίτητο να κάνετε μια κράτηση.

Τώρα πρέπει να «σπάσετε» τον λογάριθμο της δεξιάς πλευράς όσο το δυνατόν περισσότερο (τύποι μπροστά στα μάτια σας;). Θα περιγράψω αυτή τη διαδικασία με μεγάλη λεπτομέρεια:

Ας ξεκινήσουμε με τη διαφοροποίηση.
Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέρη με μια πινελιά:

Το παράγωγο της δεξιάς πλευράς είναι αρκετά απλό, δεν θα το σχολιάσω, γιατί αν διαβάζετε αυτό το κείμενο, θα πρέπει να μπορείτε να το χειριστείτε με σιγουριά.

Τι γίνεται με την αριστερή πλευρά;

Στην αριστερή πλευρά έχουμε σύνθετη λειτουργία . Προβλέπω την ερώτηση: «Γιατί, υπάρχει ένα γράμμα «Υ» κάτω από τον λογάριθμο;».

Το γεγονός είναι ότι αυτό το "ένα γράμμα y" - ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΑΠΟ ΜΟΝΗ ΜΟΝΗ(αν δεν είναι πολύ σαφές, ανατρέξτε στο άρθρο Παράγωγος μιας συνάρτησης που καθορίζεται σιωπηρά). Επομένως, ο λογάριθμος είναι μια εξωτερική συνάρτηση και το "y" είναι μια εσωτερική συνάρτηση. Και χρησιμοποιούμε τον κανόνα διαφοροποίησης σύνθετης συνάρτησης :

Στην αριστερή πλευρά, ως δια μαγείας, έχουμε παράγωγο. Περαιτέρω, σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας, ρίχνουμε το "y" από τον παρονομαστή της αριστερής πλευράς στην κορυφή της δεξιάς πλευράς:

Και τώρα θυμόμαστε για τι είδους "παιχνίδι"-λειτουργία μιλήσαμε κατά τη διαφοροποίηση; Ας δούμε την συνθήκη:

Τελική απάντηση:

Παράδειγμα 12

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Δείγμα σχεδίασης ενός παραδείγματος αυτού του τύπου στο τέλος του μαθήματος.

Με τη βοήθεια της λογαριθμικής παραγώγου, ήταν δυνατό να λυθεί οποιοδήποτε από τα παραδείγματα Νο. 4-7, ένα άλλο πράγμα είναι ότι οι συναρτήσεις εκεί είναι απλούστερες και, ίσως, η χρήση της λογαριθμικής παραγώγου δεν είναι πολύ δικαιολογημένη.

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Δεν έχουμε εξετάσει ακόμα αυτή τη λειτουργία. Εκθετική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που έχει και ο βαθμός και η βάση εξαρτώνται από το "x". Ένα κλασικό παράδειγμα που θα σας δοθεί σε οποιοδήποτε σχολικό βιβλίο ή σε οποιαδήποτε διάλεξη:

Πώς να βρείτε την παράγωγο μιας εκθετικής συνάρτησης;

Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε την τεχνική που μόλις εξετάσαμε - τη λογαριθμική παράγωγο. Κρεμάμε λογάριθμους και στις δύο πλευρές:

Κατά κανόνα, ο βαθμός αφαιρείται κάτω από τον λογάριθμο στη δεξιά πλευρά:

Ως αποτέλεσμα, στη δεξιά πλευρά έχουμε ένα γινόμενο δύο συναρτήσεων, οι οποίες θα διαφοροποιηθούν σύμφωνα με τον τυπικό τύπο .

Βρίσκουμε την παράγωγο, για αυτό περικλείουμε και τα δύο μέρη κάτω από πινελιές:

Τα επόμενα βήματα είναι εύκολα:

Τελικά:

Εάν κάποιος μετασχηματισμός δεν είναι απολύτως σαφής, διαβάστε ξανά προσεκτικά τις επεξηγήσεις του Παραδείγματος 11.

Σε πρακτικές εργασίες, η εκθετική συνάρτηση θα είναι πάντα πιο περίπλοκη από το εξεταζόμενο παράδειγμα διάλεξης.

Παράδειγμα 13

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Χρησιμοποιούμε τη λογαριθμική παράγωγο.

Στη δεξιά πλευρά έχουμε μια σταθερά και το γινόμενο δύο παραγόντων - "x" και "λογάριθμος του λογάριθμου του x" (ένας άλλος λογάριθμος είναι ένθετος κάτω από τον λογάριθμο). Όταν διαφοροποιούμε μια σταθερά, όπως θυμόμαστε, είναι καλύτερα να την βγάλουμε αμέσως από το πρόσημο της παραγώγου για να μην μπει εμπόδιο. και, φυσικά, εφαρμόστε τον γνωστό κανόνα :

Στην οποία αναλύσαμε τις απλούστερες παραγώγους, και επίσης γνωρίσαμε τους κανόνες διαφοροποίησης και μερικά τεχνικέςεύρεση παραγώγων. Έτσι, εάν δεν είστε πολύ καλοί με τις παραγώγους συναρτήσεων ή κάποια σημεία αυτού του άρθρου δεν είναι απολύτως ξεκάθαρα, τότε διαβάστε πρώτα το παραπάνω μάθημα. Συντονιστείτε σε μια σοβαρή διάθεση - το υλικό δεν είναι εύκολο, αλλά θα προσπαθήσω να το παρουσιάσω απλά και καθαρά.

Στην πράξη, πρέπει να ασχολείσαι με την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης πολύ συχνά, θα έλεγα μάλιστα σχεδόν πάντα, όταν σου ανατίθενται εργασίες να βρεις παραγώγους.

Εξετάζουμε στον πίνακα τον κανόνα (Νο. 5) για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης:

Καταλαβαίνουμε. Πρώτα απ 'όλα, ας ρίξουμε μια ματιά στη σημειογραφία. Εδώ έχουμε δύο συναρτήσεις - και , και η συνάρτηση, μεταφορικά μιλώντας, είναι ένθετη στη συνάρτηση . Μια συνάρτηση αυτού του είδους (όταν μια συνάρτηση είναι ένθετη μέσα σε μια άλλη) ονομάζεται σύνθετη συνάρτηση.

Θα καλέσω τη συνάρτηση εξωτερική λειτουργίακαι τη συνάρτηση – εσωτερική (ή ένθετη) λειτουργία.

! Αυτοί οι ορισμοί δεν είναι θεωρητικοί και δεν πρέπει να εμφανίζονται στον τελικό σχεδιασμό των εργασιών. Χρησιμοποιώ τις άτυπες εκφράσεις "εξωτερική λειτουργία", "εσωτερική" λειτουργία μόνο για να σας διευκολύνω να κατανοήσετε το υλικό.

Για να διευκρινίσετε την κατάσταση, σκεφτείτε:

Παράδειγμα 1

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Κάτω από το ημίτονο, δεν έχουμε μόνο το γράμμα "x", αλλά ολόκληρη την έκφραση, οπότε η εύρεση της παραγώγου αμέσως από τον πίνακα δεν θα λειτουργήσει. Παρατηρούμε επίσης ότι είναι αδύνατο να εφαρμοστούν οι τέσσερις πρώτοι κανόνες εδώ, φαίνεται να υπάρχει διαφορά, αλλά το γεγονός είναι ότι είναι αδύνατο να "σκίσει" το ημίτονο:

ΣΤΟ αυτό το παράδειγμαήδη από τις εξηγήσεις μου είναι διαισθητικά σαφές ότι μια συνάρτηση είναι μια σύνθετη συνάρτηση και το πολυώνυμο είναι μια εσωτερική συνάρτηση (ενσωμάτωση) και μια εξωτερική συνάρτηση.

Το πρώτο βήμα, που πρέπει να εκτελεστεί κατά την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι να να κατανοήσουν ποια συνάρτηση είναι εσωτερική και ποια εξωτερική.

Στην περίπτωση απλών παραδειγμάτων, φαίνεται ξεκάθαρο ότι ένα πολυώνυμο είναι ένθετο κάτω από το ημίτονο. Τι γίνεται όμως αν δεν είναι προφανές; Πώς να προσδιορίσετε ακριβώς ποια συνάρτηση είναι εξωτερική και ποια εσωτερική; Για να γίνει αυτό, προτείνω να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη τεχνική, η οποία μπορεί να πραγματοποιηθεί διανοητικά ή σε σχέδιο.

Ας φανταστούμε ότι πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης με μια αριθμομηχανή (αντί για ένα, μπορεί να υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός).

Τι υπολογίζουμε πρώτα; Πρωτα απο ολαθα χρειαστεί να εκτελέσετε την ακόλουθη ενέργεια: , οπότε το πολυώνυμο θα είναι μια εσωτερική συνάρτηση:

κατα δευτερονθα χρειαστεί να βρείτε, οπότε το ημίτονο - θα είναι μια εξωτερική συνάρτηση:

Μετά εμείς ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΟΥΝμε εσωτερικές και εξωτερικές συναρτήσεις, ήρθε η ώρα να εφαρμόσουμε τον κανόνα διαφοροποίησης σύνθετων συναρτήσεων .

Αρχίζουμε να αποφασίζουμε. Από το μάθημα Πώς να βρείτε το παράγωγο;θυμόμαστε ότι η σχεδίαση της λύσης οποιασδήποτε παραγώγου ξεκινά πάντα έτσι - περικλείουμε την έκφραση σε αγκύλες και βάζουμε μια πινελιά πάνω δεξιά:

Πρώταβρείτε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης (ημιτονοειδές), κοιτάξτε τον πίνακα των παραγώγων στοιχειώδεις λειτουργίεςκαι παρατηρήστε ότι. Όλοι οι τύποι πινάκων είναι εφαρμόσιμοι ακόμα και αν το "x" αντικατασταθεί από μια σύνθετη έκφραση, σε αυτήν την περίπτωση:

Σημειώστε ότι η εσωτερική λειτουργία δεν έχει αλλάξει, δεν το αγγίζουμε.

Λοιπόν, είναι προφανές ότι

Το αποτέλεσμα της εφαρμογής του τύπου καθαρό μοιάζει με αυτό:

Ο σταθερός παράγοντας τοποθετείται συνήθως στην αρχή της έκφρασης:

Εάν υπάρχει κάποια παρεξήγηση, γράψτε την απόφαση σε χαρτί και διαβάστε ξανά τις εξηγήσεις.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Παράδειγμα 3

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Όπως πάντα γράφουμε:

Καταλαβαίνουμε πού έχουμε μια εξωτερική λειτουργία και πού μια εσωτερική. Για να γίνει αυτό, προσπαθούμε (διανοητικά ή σε προσχέδιο) να υπολογίσουμε την τιμή της έκφρασης για . Τι πρέπει να γίνει πρώτα; Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να υπολογίσετε με τι ισούται η βάση:, που σημαίνει ότι το πολυώνυμο είναι η εσωτερική συνάρτηση:

Και, μόνο τότε εκτελείται η εκθετικότητα, επομένως, η συνάρτηση ισχύος είναι μια εξωτερική συνάρτηση:

Σύμφωνα με τον τύπο , πρώτα πρέπει να βρείτε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, σε αυτήν την περίπτωση, τον βαθμό. Αναζητούμε τον επιθυμητό τύπο στον πίνακα:. Επαναλαμβάνουμε ξανά: οποιοσδήποτε τύπος πίνακα ισχύει όχι μόνο για το "x", αλλά και για μια σύνθετη έκφραση. Έτσι, το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης Επόμενο:

Τονίζω ξανά ότι όταν παίρνουμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, η εσωτερική συνάρτηση δεν αλλάζει:

Τώρα μένει να βρούμε μια πολύ απλή παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης και να "χτενίσουμε" λίγο το αποτέλεσμα:

Παράδειγμα 4

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Για να εμπεδώσω την κατανόηση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης, θα δώσω ένα παράδειγμα χωρίς σχόλια, προσπαθήστε να το καταλάβετε μόνοι σας, λόγο, πού είναι η εξωτερική και πού η εσωτερική συνάρτηση, γιατί οι εργασίες λύνονται με αυτόν τον τρόπο;

Παράδειγμα 5

α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

β) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Παράδειγμα 6

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ έχουμε μια ρίζα, και για να διαφοροποιηθεί η ρίζα, πρέπει να αναπαρασταθεί ως βαθμός. Έτσι, φέρνουμε πρώτα τη συνάρτηση στην κατάλληλη μορφή για διαφοροποίηση:

Αναλύοντας τη συνάρτηση, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το άθροισμα τριών όρων είναι εσωτερική συνάρτηση και η εκθετικότητα είναι εξωτερική συνάρτηση. Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης :

Ο βαθμός αναπαρίσταται πάλι ως ρίζα (ρίζα) και για την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης, εφαρμόζουμε έναν απλό κανόνα για τη διαφοροποίηση του αθροίσματος:

Ετοιμος. Μπορείτε επίσης να φέρετε την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή σε αγκύλες και να γράψετε τα πάντα ως ένα κλάσμα. Είναι όμορφο, φυσικά, αλλά όταν λαμβάνονται δυσκίνητα μακροπρόθεσμα παράγωγα, είναι καλύτερα να μην το κάνετε αυτό (είναι εύκολο να μπερδευτείτε, να κάνετε ένα περιττό λάθος και θα είναι άβολο για τον δάσκαλο να ελέγξει).

Παράδειγμα 7

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι μερικές φορές, αντί για τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας μιγαδικής συνάρτησης, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τον κανόνα για τη διαφοροποίηση ενός πηλίκου , αλλά μια τέτοια λύση θα μοιάζει με ασυνήθιστη διαστροφή. Ακολουθεί ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα:

Παράδειγμα 8

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα της διαφοροποίησης του πηλίκου , αλλά είναι πολύ πιο κερδοφόρο να βρεθεί η παράγωγος μέσω του κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:

Προετοιμάζουμε τη συνάρτηση για διαφοροποίηση - βγάζουμε το σύμβολο μείον της παραγώγου και ανεβάζουμε το συνημίτονο στον αριθμητή:

Το συνημίτονο είναι μια εσωτερική συνάρτηση, η εκθετικότητα είναι μια εξωτερική συνάρτηση.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα μας :

Βρίσκουμε την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης, επαναφέρουμε το συνημίτονο προς τα κάτω:

Ετοιμος. Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, είναι σημαντικό να μην μπερδεύεστε στα ζώδια. Παρεμπιπτόντως, προσπαθήστε να το λύσετε με τον κανόνα , οι απαντήσεις πρέπει να ταιριάζουν.

Παράδειγμα 9

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Μέχρι στιγμής, έχουμε εξετάσει περιπτώσεις όπου είχαμε μόνο μία φωλιά σε σύνθετη λειτουργία. Σε πρακτικές εργασίες, μπορείτε συχνά να βρείτε παράγωγα, όπου, όπως οι κούκλες που φωλιάζουν, η μία μέσα στην άλλη, 3 ή ακόμα και 4-5 συναρτήσεις είναι φωλιασμένες ταυτόχρονα.

Παράδειγμα 10

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Κατανοούμε τα συνημμένα αυτής της συνάρτησης. Προσπαθούμε να αξιολογήσουμε την έκφραση χρησιμοποιώντας την πειραματική τιμή . Πώς θα υπολογίζαμε σε μια αριθμομηχανή;

Πρώτα πρέπει να βρείτε, που σημαίνει ότι το τόξο είναι η βαθύτερη φωλιά:

Αυτό το τόξο της ενότητας θα πρέπει στη συνέχεια να τετραγωνιστεί:

Και τέλος, ανεβάζουμε τα επτά στην ισχύ:

Δηλαδή, σε αυτό το παράδειγμα έχουμε τρεις διαφορετικές συναρτήσεις και δύο φωλιές, ενώ η πιο εσωτερική συνάρτηση είναι το τόξο και η πιο εξωτερική συνάρτηση είναι η εκθετική συνάρτηση.

Αρχίζουμε να αποφασίζουμε

Σύμφωνα με τον κανόνα πρώτα πρέπει να πάρετε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης. Κοιτάμε τον πίνακα των παραγώγων και βρίσκουμε την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης: Η μόνη διαφορά είναι ότι αντί για "Χ" έχουμε σύνθετη έκφραση, το οποίο δεν ακυρώνει την εγκυρότητα αυτού του τύπου. Άρα, το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης Επόμενο.

Είναι απολύτως αδύνατο να λυθούν φυσικά προβλήματα ή παραδείγματα στα μαθηματικά χωρίς γνώση της παραγώγου και των μεθόδων υπολογισμού της. Η παράγωγος είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Αυτό θεμελιώδες θέμααποφασίσαμε να αφιερώσουμε το σημερινό άρθρο. Τι είναι η παράγωγος, ποια η φυσική και γεωμετρική της σημασία, πώς υπολογίζεται η παράγωγος μιας συνάρτησης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μία: πώς να κατανοήσουμε την παράγωγο;

Γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου

Ας υπάρχει μια συνάρτηση f(x) , δίνεται σε κάποιο διάστημα (α, β) . Τα σημεία x και x0 ανήκουν σε αυτό το διάστημα. Όταν το x αλλάζει, αλλάζει και η ίδια η συνάρτηση. Αλλαγή επιχειρημάτων - διαφορά των τιμών του x-x0 . Αυτή η διαφορά γράφεται ως δέλτα χ και ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος. Η αλλαγή ή η αύξηση μιας συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών της συνάρτησης σε δύο σημεία. Ορισμός παραγώγου:

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο προς την αύξηση του ορίσματος όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν.

Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Τι νόημα έχει να βρεις ένα τέτοιο όριο; Ποιο όμως:

η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα OX και της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.

φυσική έννοιαπαράγωγο: η χρονική παράγωγος της διαδρομής είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης.

Πράγματι, από τα σχολικά χρόνια, όλοι γνωρίζουν ότι η ταχύτητα είναι ένα ιδιωτικό μονοπάτι. x=f(t) και του χρόνου t . Μέση ταχύτητα για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο:

Για να μάθετε την ταχύτητα κίνησης κάθε φορά t0 πρέπει να υπολογίσετε το όριο:

Κανόνας πρώτος: βγάλτε τη σταθερά

Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου. Επιπλέον, πρέπει να γίνει. Όταν λύνετε παραδείγματα στα μαθηματικά, λάβετε κατά κανόνα - αν μπορείτε να απλοποιήσετε την έκφραση, φροντίστε να απλοποιήσετε .

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:

Κανόνας δεύτερος: παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων

Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο της διαφοράς των συναρτήσεων.

Δεν θα δώσουμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά θα εξετάσουμε μάλλον ένα πρακτικό παράδειγμα.

Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Κανόνας τρίτος: η παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων

Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Λύση:

Εδώ είναι σημαντικό να πούμε για τον υπολογισμό των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα από την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Στο παραπάνω παράδειγμα, συναντάμε την έκφραση:

Σε αυτήν την περίπτωση, το ενδιάμεσο όρισμα είναι 8x στην πέμπτη δύναμη. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας τέτοιας έκφρασης, εξετάζουμε πρώτα την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Κανόνας Τέταρτος: Η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων

Τύπος για τον προσδιορισμό της παραγώγου ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων:

Προσπαθήσαμε να μιλήσουμε για παράγωγα για ομοιώματα από την αρχή. Αυτό το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο ακούγεται, γι' αυτό προειδοποιήστε: υπάρχουν συχνά παγίδες στα παραδείγματα, επομένως να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό των παραγώγων.

Για οποιαδήποτε ερώτηση σχετικά με αυτό και άλλα θέματα, μπορείτε να επικοινωνήσετε με τη φοιτητική υπηρεσία. Σε σύντομο χρονικό διάστημα, θα σας βοηθήσουμε να λύσετε τον πιο δύσκολο έλεγχο και να αντιμετωπίσετε εργασίες, ακόμα κι αν δεν έχετε ασχοληθεί ποτέ με τον υπολογισμό των παραγώγων στο παρελθόν.

Αν ένα σολ(Χ) και φά(u) είναι διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις των ορισμάτων τους, αντίστοιχα, στα σημεία Χκαι u= σολ(Χ), τότε η μιγαδική συνάρτηση είναι επίσης διαφοροποιήσιμη στο σημείο Χκαι βρίσκεται από τον τύπο

Ένα τυπικό λάθος στην επίλυση προβλημάτων σε παραγώγους είναι η αυτόματη μεταφορά των κανόνων για τη διαφοροποίηση απλών συναρτήσεων σε σύνθετες συναρτήσεις. Θα μάθουμε να αποφεύγουμε αυτό το λάθος.

Παράδειγμα 2Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λάθος απόφαση:υπολογίζω φυσικός λογάριθμοςκάθε όρος σε αγκύλες και αναζητήστε το άθροισμα των παραγώγων:

Η σωστή απόφαση:πάλι καθορίζουμε πού είναι το «μήλο» και πού ο «κιμάς». Εδώ, ο φυσικός λογάριθμος της έκφρασης σε αγκύλες είναι το "μήλο", δηλαδή η συνάρτηση στο ενδιάμεσο όρισμα u, και η έκφραση σε παρένθεση είναι «κιμάς», δηλαδή ενδιάμεσο επιχείρημα uαπό ανεξάρτητη μεταβλητή Χ.

Στη συνέχεια (χρησιμοποιώντας τον τύπο 14 από τον πίνακα παραγώγων)

Σε πολλά πραγματικά προβλήματα, η έκφραση με τον λογάριθμο είναι κάπως πιο περίπλοκη, γι' αυτό υπάρχει ένα μάθημα

Παράδειγμα 3Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λάθος απόφαση:

Η σωστή απόφαση.Για άλλη μια φορά καθορίζουμε πού το «μήλο» και πού ο «κιμάς». Εδώ, το συνημίτονο της έκφρασης σε αγκύλες (τύπος 7 στον πίνακα των παραγώγων) είναι "μήλο", μαγειρεύεται στον τρόπο 1, που επηρεάζει μόνο αυτό, και η έκφραση σε αγκύλες (η παράγωγος του βαθμού - αριθμός 3 σε ο πίνακας των παραγώγων) είναι "κιμάς", μαγειρεύεται στον τρόπο 2, επηρεάζοντας μόνο αυτόν. Και όπως πάντα, συνδέουμε δύο παράγωγα με σήμα προϊόντος. Αποτέλεσμα:

Παράγωγο συμπλέγματος λογαριθμική συνάρτηση- μια συχνή εργασία σε δοκιμές, γι' αυτό σας συνιστούμε ανεπιφύλακτα να επισκεφτείτε το μάθημα "Η παράγωγος μιας λογαριθμικής συνάρτησης".

Τα πρώτα παραδείγματα ήταν για σύνθετες συναρτήσεις, στις οποίες το ενδιάμεσο όρισμα πάνω από την ανεξάρτητη μεταβλητή ήταν μια απλή συνάρτηση. Αλλά σε πρακτικές εργασίες απαιτείται συχνά να βρεθεί η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης, όπου το ενδιάμεσο όρισμα είτε είναι το ίδιο μια σύνθετη συνάρτηση είτε περιέχει μια τέτοια συνάρτηση. Τι να κάνετε σε τέτοιες περιπτώσεις; Βρείτε παραγώγους τέτοιων συναρτήσεων χρησιμοποιώντας πίνακες και κανόνες διαφοροποίησης. Όταν βρεθεί η παράγωγος του ενδιάμεσου ορίσματος, απλώς αντικαθίσταται στη σωστή θέση στον τύπο. Παρακάτω είναι δύο παραδείγματα για το πώς γίνεται αυτό.

Επιπλέον, είναι χρήσιμο να γνωρίζετε τα ακόλουθα. Αν μια σύνθετη συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως αλυσίδα τριών συναρτήσεων

τότε η παράγωγός της θα πρέπει να βρεθεί ως το γινόμενο των παραγώγων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις:

Πολλές από τις εργασίες για το σπίτι σας μπορεί να απαιτούν να ανοίξετε μαθήματα σε νέα παράθυρα. Δράσεις με δυνάμεις και ρίζεςκαι Ενέργειες με κλάσματα .

Παράδειγμα 4Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης, χωρίς να ξεχνάμε ότι στο προκύπτον γινόμενο των παραγώγων, το ενδιάμεσο όρισμα ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή Χδεν αλλάζει:

Ετοιμάζουμε τον δεύτερο παράγοντα του προϊόντος και εφαρμόζουμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση του αθροίσματος:

Ο δεύτερος όρος είναι η ρίζα, άρα

Έτσι, προέκυψε ότι το ενδιάμεσο όρισμα, που είναι το άθροισμα, περιέχει μια μιγαδική συνάρτηση ως έναν από τους όρους: η εκθετικότητα είναι μια σύνθετη συνάρτηση και αυτό που ανάγεται σε μια ισχύ είναι ένα ενδιάμεσο όρισμα από μια ανεξάρτητη μεταβλητή Χ.

Επομένως, εφαρμόζουμε ξανά τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:

Μετατρέπουμε το βαθμό του πρώτου παράγοντα σε ρίζα και διαφοροποιώντας τον δεύτερο παράγοντα, δεν ξεχνάμε ότι η παράγωγος της σταθεράς είναι ίση με μηδέν:

Τώρα μπορούμε να βρούμε την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος που απαιτείται για τον υπολογισμό της παραγώγου της μιγαδικής συνάρτησης που απαιτείται στην συνθήκη του προβλήματος y:

Παράδειγμα 5Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αρχικά, χρησιμοποιούμε τον κανόνα της διαφοροποίησης του αθροίσματος:

Πάρτε το άθροισμα των παραγώγων δύο μιγαδικών συναρτήσεων. Βρείτε το πρώτο:

Εδώ, η αύξηση του ημιτόνου σε ισχύ είναι μια σύνθετη συνάρτηση και το ίδιο το ημίτονο είναι ένα ενδιάμεσο όρισμα στην ανεξάρτητη μεταβλητή Χ. Επομένως, στην πορεία χρησιμοποιούμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης βγάζοντας τον πολλαπλασιαστή από αγκύλες :

Τώρα βρίσκουμε τον δεύτερο όρο από αυτούς που σχηματίζουν την παράγωγο της συνάρτησης y:

Εδώ, η αύξηση του συνημιτόνου σε ισχύ είναι μια σύνθετη συνάρτηση φά, και το ίδιο το συνημίτονο είναι ένα ενδιάμεσο όρισμα σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή Χ. Και πάλι, χρησιμοποιούμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:

Το αποτέλεσμα είναι η απαιτούμενη παράγωγος:

Πίνακας παραγώγων ορισμένων μιγαδικών συναρτήσεων

Για σύνθετες συναρτήσεις, με βάση τον κανόνα διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης, ο τύπος για την παράγωγο μιας απλής συνάρτησης παίρνει διαφορετική μορφή.

1. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης ισχύος, όπου u Χ
2. Παράγωγο της ρίζας της έκφρασης
3. Παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης
4. Ειδική περίπτωση της εκθετικής συνάρτησης
5. Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης με αυθαίρετη θετική βάση ένα
6. Παράγωγος μιγαδικής λογαριθμικής συνάρτησης, όπου uείναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση του επιχειρήματος Χ
7. Ημιτονοειδής παράγωγος
8. Παράγωγο συνημιτόνου
9. Εφαπτομένη παράγωγος
10. Παράγωγο συνεφαπτομένης
11. Παράγωγο του τόξου
12. Παράγωγο συνημιτόνου τόξου
13. Παράγωγος εφαπτομένης τόξου
14. Παράγωγος αντίστροφης εφαπτομένης

Παράδειγμα 2

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, κατά την εύρεση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο σωστάΚΑΤΑΝΟΗΣΕ ΤΙΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ. Σε εκείνες τις περιπτώσεις που υπάρχουν αμφιβολίες, σας υπενθυμίζω ένα χρήσιμο κόλπο: παίρνουμε την πειραματική τιμή "x", για παράδειγμα, και προσπαθούμε (διανοητικά ή σε σχέδιο) να αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή με την "τρομερή έκφραση".

1) Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε την έκφραση, οπότε το άθροισμα είναι η βαθύτερη ένθεση.

2) Στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε τον λογάριθμο:

4) Έπειτα κύβω το συνημίτονο:

5) Στο πέμπτο βήμα, η διαφορά:

6) Και τέλος, η πιο εξωτερική συνάρτηση είναι η τετραγωνική ρίζα: