Αριθμομηχανή κλασμάτωνσχεδιασμένο για γρήγορο υπολογισμό πράξεων με κλάσματα, θα σας βοηθήσει εύκολα να προσθέσετε, να πολλαπλασιάσετε, να διαιρέσετε ή να αφαιρέσετε κλάσματα.
Οι σύγχρονοι μαθητές αρχίζουν να μελετούν κλάσματα ήδη στην 5η τάξη και κάθε χρόνο οι ασκήσεις μαζί τους γίνονται πιο περίπλοκες. Οι μαθηματικοί όροι και οι ποσότητες που μαθαίνουμε στο σχολείο σπάνια μας είναι χρήσιμοι στην ενήλικη ζωή. Ωστόσο, τα κλάσματα, σε αντίθεση με τους λογάριθμους και τις μοίρες, είναι αρκετά συνηθισμένα στην καθημερινή ζωή (μέτρηση απόστασης, ζύγιση αγαθών κ.λπ.). Η αριθμομηχανή μας έχει σχεδιαστεί για γρήγορες λειτουργίες με κλάσματα.
Αρχικά, ας ορίσουμε τι είναι και τι είναι τα κλάσματα. Τα κλάσματα είναι η αναλογία ενός αριθμού προς έναν άλλο· αυτός είναι ένας αριθμός που αποτελείται από έναν ακέραιο αριθμό κλασμάτων μιας μονάδας.
Τύποι κλασμάτων:
- Συνήθης
- Δεκαδικά
- μικτός
Παράδειγμα συνηθισμένα κλάσματα:
Η πάνω τιμή είναι ο αριθμητής, η κάτω είναι ο παρονομαστής. Η παύλα μας δείχνει ότι ο επάνω αριθμός διαιρείται με τον κάτω. Αντί για παρόμοια μορφή γραφής, όταν η παύλα είναι οριζόντια, μπορείτε να γράψετε διαφορετικά. Μπορείτε να βάλετε μια λοξή γραμμή, για παράδειγμα:
1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1
Δεκαδικάείναι ο πιο δημοφιλής τύπος κλασμάτων. Αποτελούνται από ένα ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος, που χωρίζονται με κόμμα.
Δεκαδικό παράδειγμα:
0,2 ή 6,71 ή 0,125
Αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος. Για να μάθετε την τιμή αυτού του κλάσματος, πρέπει να προσθέσετε ολόκληρο τον αριθμό και το κλάσμα.
Παράδειγμα μικτών κλασμάτων:
Η αριθμομηχανή κλασμάτων στον ιστότοπό μας είναι σε θέση να εκτελεί γρήγορα οποιεσδήποτε μαθηματικές πράξεις με κλάσματα ηλεκτρονικά:
- Πρόσθεση
- Αφαίρεση
- Πολλαπλασιασμός
- Διαίρεση
Για να πραγματοποιήσετε τον υπολογισμό, πρέπει να εισαγάγετε τους αριθμούς στα πεδία και να επιλέξετε την ενέργεια. Για τα κλάσματα, πρέπει να συμπληρώσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή, ένας ακέραιος μπορεί να μην γραφτεί (αν το κλάσμα είναι συνηθισμένο). Μην ξεχάσετε να κάνετε κλικ στο κουμπί "ίσο".
Είναι βολικό η αριθμομηχανή να παρέχει αμέσως μια διαδικασία για την επίλυση ενός παραδείγματος με κλάσματα και όχι απλώς μια έτοιμη απάντηση. Χάρη στη λεπτομερή λύση που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτό το υλικό για την επίλυση σχολικών προβλημάτων και για την καλύτερη κατανόηση του υλικού που καλύπτεται.
Πρέπει να υπολογίσετε το παράδειγμα:
Αφού εισάγουμε τους δείκτες στα πεδία της φόρμας, παίρνουμε:
Για να κάνετε έναν ανεξάρτητο υπολογισμό, εισαγάγετε τα δεδομένα στη φόρμα.
Τώρα που μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να πολλαπλασιάζουμε μεμονωμένα κλάσματα, μπορούμε να εξετάσουμε περισσότερα πολύπλοκες δομές. Για παράδειγμα, τι γίνεται αν η πρόσθεση, η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων προκύψουν σε ένα πρόβλημα;
Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μετατρέψετε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα. Στη συνέχεια εκτελούμε διαδοχικά τις απαιτούμενες ενέργειες - με την ίδια σειρά όπως για τους συνηθισμένους αριθμούς. Και συγκεκριμένα:
- Πρώτον, εκτελείται η εκθεσιμότητα - απαλλαγείτε από όλες τις εκφράσεις που περιέχουν εκθέτες.
- Στη συνέχεια - διαίρεση και πολλαπλασιασμός.
- Το τελευταίο βήμα είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση.
Φυσικά, εάν υπάρχουν αγκύλες στην έκφραση, η σειρά των ενεργειών αλλάζει - ό,τι βρίσκεται μέσα στις αγκύλες πρέπει πρώτα να ληφθεί υπόψη. Και θυμηθείτε τα ακατάλληλα κλάσματα: πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα μόνο όταν έχουν ήδη ολοκληρωθεί όλες οι άλλες ενέργειες.
Ας μεταφράσουμε όλα τα κλάσματα από την πρώτη έκφραση σε ακατάλληλα και, στη συνέχεια, εκτελέστε τις ακόλουθες ενέργειες:
Τώρα ας βρούμε την τιμή της δεύτερης έκφρασης. Δεν υπάρχουν κλάσματα με ακέραιο μέρος, αλλά υπάρχουν αγκύλες, οπότε πρώτα κάνουμε πρόσθεση και μόνο μετά διαίρεση. Σημειώστε ότι 14 = 7 2 . Επειτα:
Τέλος, εξετάστε το τρίτο παράδειγμα. Εδώ υπάρχουν αγκύλες και πτυχίο - καλύτερα να τα μετρήσετε χωριστά. Δεδομένου ότι 9 = 3 3, έχουμε:
Δώστε προσοχή στο τελευταίο παράδειγμα. Για να αυξήσετε ένα κλάσμα σε δύναμη, πρέπει να αυξήσετε χωριστά τον αριθμητή σε αυτή τη δύναμη και χωριστά τον παρονομαστή.
Μπορείτε να αποφασίσετε διαφορετικά. Αν θυμηθούμε τον ορισμό του βαθμού, το πρόβλημα θα περιοριστεί στον συνηθισμένο πολλαπλασιασμό των κλασμάτων:
Πολυώροφα κλάσματα
Μέχρι στιγμής, έχουμε εξετάσει μόνο «καθαρά» κλάσματα, όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι συνηθισμένοι αριθμοί. Αυτό είναι σύμφωνο με τον ορισμό ενός αριθμητικού κλάσματος που δόθηκε στο πρώτο μάθημα.
Τι γίνεται όμως αν ένα πιο σύνθετο αντικείμενο τοποθετηθεί στον αριθμητή ή στον παρονομαστή; Για παράδειγμα, ένα άλλο αριθμητικό κλάσμα; Τέτοιες κατασκευές εμφανίζονται αρκετά συχνά, ειδικά όταν εργάζεστε με μακριές εκφράσεις. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:
Υπάρχει μόνο ένας κανόνας για την εργασία με πολυώροφα κλάσματα: πρέπει να τα ξεφορτωθείτε αμέσως. Η αφαίρεση "επιπλέον" δαπέδων είναι αρκετά απλή, αν θυμάστε ότι η κλασματική ράβδος σημαίνει την τυπική λειτουργία διαίρεσης. Επομένως, οποιοδήποτε κλάσμα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
Χρησιμοποιώντας αυτό το γεγονός και ακολουθώντας τη διαδικασία, μπορούμε εύκολα να μειώσουμε οποιοδήποτε πολυώροφο κλάσμα σε κανονικό. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:
Μια εργασία. Μετατρέψτε τα πολυώροφα κλάσματα σε κοινά:
Σε κάθε περίπτωση, ξαναγράφουμε το κύριο κλάσμα, αντικαθιστώντας τη διαχωριστική γραμμή με ένα σύμβολο διαίρεσης. Θυμηθείτε επίσης ότι οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα με παρονομαστή 1. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Παίρνουμε:
Στο τελευταίο παράδειγμα, τα κλάσματα μειώθηκαν πριν από τον τελικό πολλαπλασιασμό.
Οι ιδιαιτερότητες της εργασίας με πολυώροφα κλάσματα
Υπάρχει μια λεπτότητα στα κλάσματα πολλών ορόφων που πρέπει πάντα να θυμόμαστε, διαφορετικά μπορείτε να πάρετε τη λάθος απάντηση, ακόμα κι αν όλοι οι υπολογισμοί ήταν σωστοί. Ρίξε μια ματιά:
- Στον αριθμητή είναι ξεχωριστός αριθμός 7, και στον παρονομαστή - ένα κλάσμα 12/5.
- Ο αριθμητής είναι το κλάσμα 7/12 και ο παρονομαστής είναι ο απλός αριθμός 5.
Έτσι, για έναν δίσκο, πήραμε δύο εντελώς διαφορετικές ερμηνείες. Εάν μετρήσετε, οι απαντήσεις θα είναι επίσης διαφορετικές:
Για να διασφαλίσετε ότι η εγγραφή διαβάζεται πάντα χωρίς αμφιβολία, χρησιμοποιήστε έναν απλό κανόνα: η διαχωριστική γραμμή του κύριου κλάσματος πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την ένθετη γραμμή. Κατά προτίμηση πολλές φορές.
Εάν ακολουθείτε αυτόν τον κανόνα, τότε τα παραπάνω κλάσματα θα πρέπει να γράφονται ως εξής:
Ναι, μάλλον είναι άσχημο και πιάνει πολύ χώρο. Θα μετρήσεις όμως σωστά. Τέλος, μερικά παραδείγματα όπου τα κλάσματα πολλαπλών επιπέδων εμφανίζονται πραγματικά:
Μια εργασία. Βρείτε τιμές έκφρασης:
Λοιπόν, ας δουλέψουμε με το πρώτο παράδειγμα. Ας μετατρέψουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και μετά κάνουμε τις πράξεις πρόσθεσης και διαίρεσης:
Ας κάνουμε το ίδιο με το δεύτερο παράδειγμα. Μετατρέψτε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και εκτελέστε τις απαιτούμενες λειτουργίες. Για να μην κουράσω τον αναγνώστη, θα παραλείψω κάποιους προφανείς υπολογισμούς. Εχουμε:
Λόγω του γεγονότος ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής των κύριων κλασμάτων είναι αθροίσματα, ο κανόνας σημειογραφίας πολυώροφα κλάσματαακολουθείται αυτόματα. Επίσης, στο τελευταίο παράδειγμα, αφήσαμε επίτηδες τον αριθμό 46/1 σε μορφή κλάσματος για να γίνει η διαίρεση.
Σημειώνω επίσης ότι και στα δύο παραδείγματα, η κλασματική γραμμή αντικαθιστά πραγματικά τις αγκύλες: πρώτα απ 'όλα, βρήκαμε το άθροισμα και μόνο τότε - το πηλίκο.
Κάποιος θα πει ότι η μετάβαση σε ακατάλληλα κλάσματα στο δεύτερο παράδειγμα ήταν σαφώς περιττή. Ίσως είναι έτσι. Αλλά έτσι ασφαλιζόμαστε από λάθη, γιατί την επόμενη φορά το παράδειγμα μπορεί να αποδειχθεί πολύ πιο περίπλοκο. Επιλέξτε μόνοι σας τι είναι πιο σημαντικό: ταχύτητα ή αξιοπιστία.
Αυτό το άρθρο ασχολείται με πράξεις σε κλάσματα. Θα σχηματιστούν και θα αιτιολογηθούν κανόνες πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης ή εκθέσεως κλασμάτων της μορφής Α Β, όπου τα Α και Β μπορεί να είναι αριθμοί, αριθμητικές εκφράσεις ή εκφράσεις με μεταβλητές. Συμπερασματικά, θα εξεταστούν παραδείγματα λύσεων με λεπτομερή περιγραφή.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Κανόνες για την εκτέλεση πράξεων με αριθμητικά κλάσματα γενικής μορφής
Αριθμητικά κλάσματα γενική εικόναέχουν έναν αριθμητή και έναν παρονομαστή που περιέχουν ακέραιοι αριθμοίή αριθμητικές εκφράσεις. Αν θεωρήσουμε τέτοια κλάσματα όπως 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , τότε είναι σαφές ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να έχουν όχι μόνο αριθμούς, αλλά και εκφράσεις διαφορετικού σχεδίου.
Ορισμός 1
Υπάρχουν κανόνες με τους οποίους εκτελούνται ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα. Είναι επίσης κατάλληλο για κλάσματα γενικής μορφής:
- Κατά την αφαίρεση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, προστίθενται μόνο οι αριθμητές και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος, δηλαδή: a d ± c d \u003d a ± c d, οι τιμές a, c και d ≠ 0 είναι κάποιοι αριθμοί ή αριθμητικές εκφράσεις.
- Κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, είναι απαραίτητο να μειωθούν σε έναν κοινό και στη συνέχεια να προστεθούν ή να αφαιρεθούν τα κλάσματα που προκύπτουν με τους ίδιους δείκτες. Κυριολεκτικά, μοιάζει με αυτό a b ± c d = a p ± c r s , όπου οι τιμές a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 είναι πραγματικοί αριθμοί και b p = d r = s. Όταν p = d και r = b, τότε a b ± c d = a d ± c d b d.
- Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, εκτελείται μια ενέργεια με αριθμητές, μετά την οποία με παρονομαστές, τότε παίρνουμε b c d \u003d a c b d, όπου a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 ενεργούν ως πραγματικοί αριθμοί.
- Όταν διαιρούμε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε το πρώτο με το δεύτερο αντίστροφο, δηλαδή, ανταλλάσσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή: a b: c d \u003d a b d c.
Το σκεπτικό των κανόνων
Ορισμός 2Υπάρχουν τα ακόλουθα μαθηματικά σημεία στα οποία πρέπει να βασιστείτε κατά τον υπολογισμό:
- μια κλασματική ράβδος σημαίνει ένα σύμβολο διαίρεσης.
- Η διαίρεση με έναν αριθμό αντιμετωπίζεται ως πολλαπλασιασμός με την αμοιβαία του.
- εφαρμογή της ιδιότητας των ενεργειών με πραγματικούς αριθμούς.
- εφαρμογή της βασικής ιδιότητας ενός κλάσματος και αριθμητικές ανισώσεις.
Με τη βοήθειά τους, μπορείτε να κάνετε μετασχηματισμούς της φόρμας:
a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d
Παραδείγματα
Στην προηγούμενη παράγραφο ειπώθηκε για ενέργειες με κλάσματα. Μετά από αυτό, το κλάσμα πρέπει να απλοποιηθεί. Αυτό το θέμα συζητήθηκε λεπτομερώς στην ενότητα για τη μετατροπή κλασμάτων.
Αρχικά, εξετάστε το παράδειγμα της πρόσθεσης και της αφαίρεσης κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή.
Παράδειγμα 1
Δίνονται τα κλάσματα 8 2 , 7 και 1 2 , 7 , τότε σύμφωνα με τον κανόνα είναι απαραίτητο να προσθέσετε τον αριθμητή και να ξαναγράψετε τον παρονομαστή.
Λύση
Τότε παίρνουμε ένα κλάσμα της μορφής 8 + 1 2 , 7 . Αφού εκτελέσουμε την πρόσθεση, παίρνουμε ένα κλάσμα της μορφής 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Άρα 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .
Απάντηση: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3
Υπάρχει άλλος τρόπος επίλυσης. Αρχικά, γίνεται μια μετάβαση στη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος, μετά την οποία εκτελούμε μια απλοποίηση. Μοιάζει με αυτό:
8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3
Παράδειγμα 2
Ας αφαιρέσουμε από το 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 κλάσματα της μορφής 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .
Εφόσον δίνονται ίσοι παρονομαστές, σημαίνει ότι υπολογίζουμε ένα κλάσμα με τον ίδιο παρονομαστή. Το καταλαβαίνουμε
1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1
Υπάρχουν παραδείγματα υπολογισμού κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Σημαντικό σημείο είναι η αναγωγή σε κοινό παρονομαστή. Χωρίς αυτό, δεν θα μπορούμε να εκτελέσουμε περαιτέρω ενέργειες με κλάσματα.
Η διαδικασία θυμίζει εξ αποστάσεως αναγωγή σε κοινό παρονομαστή. Δηλαδή, γίνεται αναζήτηση για τον λιγότερο κοινό διαιρέτη στον παρονομαστή, μετά τον οποίο οι συντελεστές που λείπουν προστίθενται στα κλάσματα.
Εάν τα προστιθέμενα κλάσματα δεν έχουν κοινούς παράγοντες, τότε το γινόμενο τους μπορεί να γίνει ένα.
Παράδειγμα 3
Εξετάστε το παράδειγμα της προσθήκης κλασμάτων 2 3 5 + 1 και 1 2 .
Λύση
Στην περίπτωση αυτή, ο κοινός παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών. Τότε παίρνουμε ότι 2 · 3 5 + 1 . Στη συνέχεια, όταν ορίζουμε πρόσθετους παράγοντες, έχουμε ότι στο πρώτο κλάσμα είναι ίσο με 2 και στο δεύτερο 3 5 + 1. Μετά τον πολλαπλασιασμό, τα κλάσματα μειώνονται στη μορφή 4 2 3 5 + 1. Το γενικό καστ 1 2 θα είναι 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Προσθέτουμε τις κλασματικές εκφράσεις που προκύπτουν και το παίρνουμε
2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1
Απάντηση: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1
Όταν έχουμε να κάνουμε με κλάσματα γενικής μορφής, τότε συνήθως δεν ισχύει ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής. Είναι ασύμφορο να παίρνουμε το γινόμενο των αριθμητών ως παρονομαστή. Πρώτα πρέπει να ελέγξετε αν υπάρχει αριθμός που είναι μικρότερος σε αξία από το προϊόν τους.
Παράδειγμα 4
Εξετάστε το παράδειγμα 1 6 2 1 5 και 1 4 2 3 5 όταν το γινόμενο τους είναι ίσο με 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Στη συνέχεια παίρνουμε το 12 · 2 3 5 ως κοινό παρονομαστή.
Εξετάστε παραδείγματα πολλαπλασιασμών κλασμάτων γενικής μορφής.
Παράδειγμα 5
Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε 2 + 1 6 και 2 · 5 3 · 2 + 1.
Λύση
Ακολουθώντας τον κανόνα, είναι απαραίτητο να ξαναγράψουμε και να γράψουμε το γινόμενο των αριθμητών ως παρονομαστή. Παίρνουμε ότι 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Όταν το κλάσμα πολλαπλασιάζεται, μπορούν να γίνουν μειώσεις για να απλοποιηθεί. Στη συνέχεια 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της μετάβασης από τη διαίρεση στον πολλαπλασιασμό με ένα αντίστροφο, παίρνουμε το αντίστροφο του δεδομένου. Για να γίνει αυτό, ο αριθμητής και ο παρονομαστής αντιστρέφονται. Ας δούμε ένα παράδειγμα:
5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10
Μετά από αυτό, πρέπει να εκτελέσουν πολλαπλασιασμό και να απλοποιήσουν το κλάσμα που προκύπτει. Αν χρειαστεί, απαλλαγείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή. Το καταλαβαίνουμε
5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2
Απάντηση: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2
Αυτή η παράγραφος ισχύει όταν ένας αριθμός ή μια αριθμητική παράσταση μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα με παρονομαστή ίσο με 1, τότε η πράξη με ένα τέτοιο κλάσμα θεωρείται ξεχωριστή παράγραφος. Για παράδειγμα, η έκφραση 1 6 7 4 - 1 3 δείχνει ότι η ρίζα του 3 μπορεί να αντικατασταθεί από μια άλλη έκφραση 3 1. Τότε αυτή η εγγραφή θα μοιάζει με πολλαπλασιασμό δύο κλασμάτων της μορφής 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .
Εκτέλεση ενέργειας με κλάσματα που περιέχουν μεταβλητές
Οι κανόνες που συζητήθηκαν στο πρώτο άρθρο ισχύουν για πράξεις με κλάσματα που περιέχουν μεταβλητές. Θεωρήστε τον κανόνα της αφαίρεσης όταν οι παρονομαστές είναι ίδιοι.
Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι οι A , C και D (D όχι ίσο με μηδέν) μπορούν να είναι οποιεσδήποτε εκφράσεις και η ισότητα A D ± C D = A ± C D είναι ισοδύναμη με το εύρος των έγκυρων τιμών της.
Είναι απαραίτητο να λάβετε ένα σύνολο μεταβλητών ODZ. Τότε τα A, C, D πρέπει να λάβουν τις αντίστοιχες τιμές a 0 , c 0 και d0. Μια αντικατάσταση της μορφής A D ± C D οδηγεί σε μια διαφορά της μορφής a 0 d 0 ± c 0 d 0 , όπου, σύμφωνα με τον κανόνα προσθήκης, λαμβάνουμε έναν τύπο της μορφής a 0 ± c 0 d 0 . Αν αντικαταστήσουμε την έκφραση A ± C D , τότε παίρνουμε το ίδιο κλάσμα της μορφής a 0 ± c 0 d 0 . Από αυτό συμπεραίνουμε ότι η επιλεγμένη τιμή που ικανοποιεί τα ODZ, A ± C D και A D ± C D θεωρούνται ίσες.
Για οποιαδήποτε τιμή των μεταβλητών, αυτές οι εκφράσεις θα είναι ίσες, δηλαδή ονομάζονται ταυτόσημα ίσες. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η έκφραση θεωρείται αποδείξιμη ισότητα της μορφής A D ± C D = A ± C D .
Παραδείγματα πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων με μεταβλητές
Όταν υπάρχουν οι ίδιοι παρονομαστές, χρειάζεται μόνο να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τους αριθμητές. Αυτό το κλάσμα μπορεί να απλοποιηθεί. Μερικές φορές πρέπει να εργαστείτε με κλάσματα που είναι πανομοιότυπα ίσα, αλλά με την πρώτη ματιά αυτό δεν γίνεται αντιληπτό, καθώς πρέπει να πραγματοποιηθούν ορισμένοι μετασχηματισμοί. Για παράδειγμα, x 2 3 x 1 3 + 1 και x 1 3 + 1 2 ή 1 2 sin 2 α και sin a cos a. Τις περισσότερες φορές, απαιτείται απλοποίηση της αρχικής έκφρασης για να δείτε τους ίδιους παρονομαστές.
Παράδειγμα 6
Υπολογίστε: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .
Λύση
- Για να κάνετε έναν υπολογισμό, πρέπει να αφαιρέσετε τα κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Τότε παίρνουμε ότι x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Μετά από αυτό, μπορείτε να ανοίξετε τις αγκύλες με τη μείωση παρόμοιων όρων. Παίρνουμε ότι x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
- Επειδή οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, μένει μόνο να προσθέσουμε τους αριθμητές, αφήνοντας τον παρονομαστή: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
Η προσθήκη ολοκληρώθηκε. Μπορεί να φανεί ότι το κλάσμα μπορεί να μειωθεί. Ο αριθμητής του μπορεί να διπλωθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο αθροίσματος τετραγώνου, τότε παίρνουμε (l g x + 2) 2 από τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού. Τότε το καταλαβαίνουμε
l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x - Δίνονται κλάσματα της μορφής x - 1 x - 1 + x x + 1 με διαφορετικούς παρονομαστές. Μετά τη μετατροπή, μπορείτε να προχωρήσετε στην προσθήκη.
Ας εξετάσουμε μια αμφίδρομη λύση.
Η πρώτη μέθοδος είναι ότι ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος υποβάλλεται σε παραγοντοποίηση χρησιμοποιώντας τετράγωνα και με την επακόλουθη αναγωγή του. Παίρνουμε ένα κλάσμα της φόρμας
x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1
Άρα x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .
Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.
1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1
Ο δεύτερος τρόπος είναι να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος επί x - 1 . Έτσι, απαλλαγούμε από τον παραλογισμό και προχωράμε στην προσθήκη ενός κλάσματος με τον ίδιο παρονομαστή. Επειτα
x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1
Απάντηση: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.
Στο τελευταίο παράδειγμα, διαπιστώσαμε ότι η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή είναι αναπόφευκτη. Για να γίνει αυτό, πρέπει να απλοποιήσετε τα κλάσματα. Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε, πρέπει πάντα να αναζητάτε έναν κοινό παρονομαστή, ο οποίος μοιάζει με το γινόμενο των παρονομαστών με την προσθήκη πρόσθετων παραγόντων στους αριθμητές.
Παράδειγμα 7
Υπολογίστε τις τιμές των κλασμάτων: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x
Λύση
- Κανένας σύνθετους υπολογισμούςο παρονομαστής δεν απαιτεί, επομένως πρέπει να επιλέξετε το γινόμενο τους της μορφής 3 x 7 + 2 2, στη συνέχεια στο πρώτο κλάσμα επιλέγεται το x 7 + 2 2 ως πρόσθετος παράγοντας και το 3 στο δεύτερο. Κατά τον πολλαπλασιασμό, παίρνουμε ένα κλάσμα της μορφής x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
- Μπορεί να φανεί ότι οι παρονομαστές παρουσιάζονται ως προϊόν, πράγμα που σημαίνει ότι οι πρόσθετοι μετασχηματισμοί είναι περιττοί. Ο κοινός παρονομαστής θα είναι το γινόμενο της μορφής x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Από εδώ x 4
είναι ένας πρόσθετος παράγοντας στο πρώτο κλάσμα και ln (x + 1)
στο δεύτερο. Στη συνέχεια αφαιρούμε και παίρνουμε:
x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) ) - Αυτό το παράδειγμα έχει νόημα όταν εργάζεστε με παρονομαστές κλασμάτων. Είναι απαραίτητο να εφαρμοστούν οι τύποι της διαφοράς των τετραγώνων και του τετραγώνου του αθροίσματος, καθώς θα επιτρέψουν τη μετάβαση σε μια έκφραση της μορφής 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Φαίνεται ότι τα κλάσματα ανάγονται σε κοινό παρονομαστή. Παίρνουμε ότι cos x - x cos x + x 2 .
Τότε το καταλαβαίνουμε
1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2
Απάντηση:
1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .
Παραδείγματα πολλαπλασιασμού κλασμάτων με μεταβλητές
Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, ο αριθμητής πολλαπλασιάζεται με τον αριθμητή και ο παρονομαστής με τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, μπορείτε να εφαρμόσετε την ιδιότητα μείωσης.
Παράδειγμα 8
Πολλαπλασιάστε τα κλάσματα x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 και 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.
Λύση
Πρέπει να κάνετε τον πολλαπλασιασμό. Το καταλαβαίνουμε
x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 αμαρτία (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 αμαρτία (2 x - x)
Ο αριθμός 3 μεταφέρεται στην πρώτη θέση για την ευκολία των υπολογισμών και μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα κατά x 2, τότε παίρνουμε μια έκφραση της φόρμας
3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)
Απάντηση: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 αμαρτία (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 αμαρτία (2 x - x) .
Διαίρεση
Η διαίρεση των κλασμάτων είναι παρόμοια με τον πολλαπλασιασμό, αφού το πρώτο κλάσμα πολλαπλασιάζεται με το δεύτερο αντίστροφο. Αν πάρουμε, για παράδειγμα, το κλάσμα x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 και διαιρέσουμε με το 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, τότε αυτό μπορεί να γραφτεί ως
x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , μετά αντικαταστήστε με ένα γινόμενο της μορφής x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 αμαρτία (2 x - x)
Εκθεσιμότητα
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση της δράσης με κλάσματα γενικής μορφής με εκθετικό. Εάν υπάρχει βαθμός με φυσικό εκθέτη, τότε η ενέργεια θεωρείται ως πολλαπλασιασμός όμοιων κλασμάτων. Αλλά συνιστάται η χρήση μιας γενικής προσέγγισης που βασίζεται στις ιδιότητες των εξουσιών. Οποιεσδήποτε εκφράσεις A και C, όπου το C δεν είναι πανομοιότυπα ίσο με μηδέν, και οποιοδήποτε πραγματικό r στο ODZ για μια έκφραση της μορφής A Cr, η ισότητα A Cr = A r Cr είναι αληθής. Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα αυξημένο σε ισχύ. Για παράδειγμα, σκεφτείτε:
x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5
Η σειρά των πράξεων με τα κλάσματα
Οι ενέργειες στα κλάσματα εκτελούνται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Στην πράξη, παρατηρούμε ότι μια έκφραση μπορεί να περιέχει πολλά κλάσματα ή κλασματικές εκφράσεις. Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε όλες τις ενέργειες με αυστηρή σειρά: αύξηση σε δύναμη, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, μετά προσθήκη και αφαίρεση. Εάν υπάρχουν αγκύλες, η πρώτη ενέργεια εκτελείται σε αυτές.
Παράδειγμα 9
Υπολογίστε 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .
Λύση
Δεδομένου ότι έχουμε τον ίδιο παρονομαστή, τότε 1 - x cos x και 1 c o s x, αλλά είναι αδύνατο να αφαιρεθεί σύμφωνα με τον κανόνα, πρώτα εκτελούνται οι ενέργειες σε αγκύλες, μετά ο πολλαπλασιασμός και μετά η πρόσθεση. Στη συνέχεια, κατά τον υπολογισμό, το παίρνουμε αυτό
1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x
Όταν αντικαθιστούμε την έκφραση στην αρχική, παίρνουμε ότι 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, έχουμε: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Έχοντας κάνει όλες τις αντικαταστάσεις, παίρνουμε 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Τώρα πρέπει να δουλέψετε με κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Παίρνουμε:
x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x
Απάντηση: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Περιεχόμενο μαθήματοςΠρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Η προσθήκη κλασμάτων είναι δύο τύπων:
- Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
- Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε τα κλάσματα και . Προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Αν προσθέσετε πίτσα στην πίτσα, παίρνετε πίτσα:
Παράδειγμα 2Προσθέστε κλάσματα και .
Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Εάν έρθει το τέλος της εργασίας, τότε είναι συνηθισμένο να απαλλαγείτε από ακατάλληλα κλάσματα. Για να απαλλαγείτε από ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό. Στην περίπτωσή μας, το ακέραιο μέρος κατανέμεται εύκολα - δύο διαιρούμενο με δύο ισούται με ένα:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε δύο μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερες πίτσες στην πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα:
Παράδειγμα 3. Προσθέστε κλάσματα και .
Και πάλι, προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερες πίτσες στην πίτσα, θα λάβετε πίτσες:
Παράδειγμα 4Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Οι αριθμητές πρέπει να προστεθούν και ο παρονομαστής να παραμείνει αμετάβλητος:
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα και προσθέσετε περισσότερες πίτσες, θα λάβετε 1 ολόκληρη πίτσα και περισσότερες πίτσες.
Όπως μπορείτε να δείτε, η προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές δεν είναι δύσκολη. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:
- Για να προσθέσετε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Τώρα θα μάθουμε πώς να προσθέτουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Όταν προσθέτουμε κλάσματα, οι παρονομαστές αυτών των κλασμάτων πρέπει να είναι οι ίδιοι. Δεν είναι όμως πάντα τα ίδια.
Για παράδειγμα, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν επειδή έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
Αλλά τα κλάσματα δεν μπορούν να προστεθούν ταυτόχρονα, επειδή αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αναγωγής κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή. Σήμερα θα εξετάσουμε μόνο ένα από αυτά, καθώς οι υπόλοιπες μέθοδοι μπορεί να φαίνονται περίπλοκες για έναν αρχάριο.
Η ουσία αυτής της μεθόδου έγκειται στο γεγονός ότι αναζητείται πρώτα (LCM) από τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Κάνουν το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα - το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ο δεύτερος πρόσθετος παράγοντας.
Τότε οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα.
Παράδειγμα 1. Προσθέστε κλάσματα και
Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 6
LCM (2 και 3) = 6
Τώρα πίσω στα κλάσματα και . Αρχικά, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 6 με το 3, παίρνουμε 2.
Ο αριθμός 2 που προκύπτει είναι ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το κλάσμα και σημειώνουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρέθηκε πάνω από αυτό:
Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρέστε το 6 με το 2, παίρνουμε 3.
Ο αριθμός 3 που προκύπτει είναι ο δεύτερος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο δεύτερο κλάσμα. Και πάλι, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το δεύτερο κλάσμα και γράφουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρέθηκε πάνω από αυτό:
Τώρα είμαστε έτοιμοι να προσθέσουμε. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Κοιτάξτε προσεκτικά σε τι έχουμε καταλήξει. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα. Ας συμπληρώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:
Έτσι τελειώνει το παράδειγμα. Για να προσθέσω αποδεικνύεται.
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα και ένα άλλο έκτο της πίτσας:
Η αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Φέρνοντας τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τα κλάσματα και . Αυτά τα δύο κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας. Η μόνη διαφορά θα είναι ότι αυτή τη φορά θα διαιρεθούν σε ίσα μερίδια (μειωμένα στον ίδιο παρονομαστή).
Το πρώτο σχέδιο δείχνει ένα κλάσμα (τέσσερα κομμάτια από τα έξι) και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα έξι). Συνδυάζοντας αυτά τα κομμάτια παίρνουμε (επτά κομμάτια στα έξι). Αυτό το κλάσμα είναι λανθασμένο, επομένως έχουμε επισημάνει το ακέραιο μέρος σε αυτό. Το αποτέλεσμα ήταν (μία ολόκληρη πίτσα και άλλη έκτη πίτσα).
Σημειώστε ότι έχουμε βάψει δεδομένο παράδειγμαπολύ λεπτομερής. ΣΤΟ Εκπαιδευτικά ιδρύματαδεν συνηθίζεται να γράφουμε με τόσο λεπτομερή τρόπο. Πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε γρήγορα το LCM τόσο των παρονομαστών όσο και των πρόσθετων παραγόντων σε αυτούς, καθώς και να πολλαπλασιάσετε γρήγορα τους πρόσθετους παράγοντες που βρέθηκαν από τους αριθμητές και τους παρονομαστές σας. Στο σχολείο, θα έπρεπε να γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως εξής:
Αλλά υπάρχει επίσης πίσω πλευράμετάλλια. Εάν δεν γίνονται αναλυτικές σημειώσεις στα πρώτα στάδια της μελέτης των μαθηματικών, τότε ερωτήσεις του είδους «Από πού προέρχεται αυτός ο αριθμός;», «Γιατί τα κλάσματα μετατρέπονται ξαφνικά σε εντελώς διαφορετικά κλάσματα; «.
Για να διευκολύνετε την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις παρακάτω οδηγίες βήμα προς βήμα:
- Να βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων.
- Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον πολλαπλασιαστή για κάθε κλάσμα.
- Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους.
- Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
- Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος του.
Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
.
Ας χρησιμοποιήσουμε τις παραπάνω οδηγίες.
Βήμα 1. Βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων
Βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 2, 3 και 4
Βήμα 2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον πολλαπλασιαστή για κάθε κλάσμα
Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρούμε το 12 με το 2, παίρνουμε 6. Πήραμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω στο πρώτο κλάσμα:
Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Πήραμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 4. Το γράφουμε πάνω στο δεύτερο κλάσμα:
Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρούμε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Πήραμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 3. Το γράφουμε πάνω στο τρίτο κλάσμα:
Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές σας
Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους πρόσθετους συντελεστές μας:
Βήμα 4. Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Απομένει να προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα. Προσθέτω:
Η προσθήκη δεν χωρούσε σε μία γραμμή, οπότε μετακινήσαμε την υπόλοιπη έκφραση στην επόμενη γραμμή. Αυτό επιτρέπεται στα μαθηματικά. Όταν μια έκφραση δεν ταιριάζει σε μια γραμμή, μεταφέρεται στην επόμενη γραμμή και είναι απαραίτητο να βάλετε ένα σύμβολο ίσου (=) στο τέλος της πρώτης γραμμής και στην αρχή μιας νέας γραμμής. Το σύμβολο ίσου στη δεύτερη γραμμή υποδηλώνει ότι πρόκειται για συνέχεια της έκφρασης που υπήρχε στην πρώτη γραμμή.
Βήμα 5. Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος σε αυτό
Η απάντησή μας είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Πρέπει να ξεχωρίσουμε ολόκληρο το κομμάτι του. Τονίζουμε:
Πήρε μια απάντηση
Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Υπάρχουν δύο τύποι αφαίρεσης κλασμάτων:
- Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
- Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Αρχικά, ας μάθουμε πώς να αφαιρούμε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.
Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή της έκφρασης . Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Ας το κάνουμε:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:
Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της έκφρασης.
Και πάλι, από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:
Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές των υπόλοιπων κλασμάτων:
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:
- Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
- Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ακατάλληλο κλάσμα, τότε πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.
Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Για παράδειγμα, ένα κλάσμα μπορεί να αφαιρεθεί από ένα κλάσμα, αφού αυτά τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Αλλά ένα κλάσμα δεν μπορεί να αφαιρεθεί από ένα κλάσμα, γιατί αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Ο κοινός παρονομαστής βρίσκεται σύμφωνα με την ίδια αρχή που χρησιμοποιήσαμε όταν προσθέταμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Πρώτα απ 'όλα, βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω στο πρώτο κλάσμα. Ομοίως, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω στο δεύτερο κλάσμα.
Τα κλάσματα στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των πράξεων, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα.
Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης:
Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Αρχικά, βρίσκουμε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 12
LCM (3 και 4) = 12
Τώρα πίσω στα κλάσματα και
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Γράφουμε τα τέσσερα στο πρώτο κλάσμα:
Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρέστε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Γράψτε ένα τριπλό στο δεύτερο κλάσμα:
Τώρα είμαστε όλοι έτοιμοι για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας συμπληρώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:
Πήρε μια απάντηση
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Αν κόψεις πίτσες από πίτσα, παίρνεις πίτσες.
Αυτή είναι η λεπτομερής έκδοση της λύσης. Όντας στο σχολείο, θα έπρεπε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα με πιο σύντομο τρόπο. Μια τέτοια λύση θα μοιάζει με αυτό:
Η αναγωγή των κλασμάτων και σε έναν κοινό παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Φέρνοντας αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τα κλάσματα και . Αυτά τα κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας, αλλά αυτή τη φορά θα χωριστούν στα ίδια κλάσματα (ανάγεται στον ίδιο παρονομαστή):
Το πρώτο σχέδιο δείχνει ένα κλάσμα (οκτώ κομμάτια από τα δώδεκα) και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα δώδεκα). Κόβοντας τρία κομμάτια από οκτώ, παίρνουμε πέντε από τα δώδεκα. Το κλάσμα περιγράφει αυτά τα πέντε κομμάτια.
Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει πρώτα να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Βρείτε το LCM των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.
Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 10, 3 και 5. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Τώρα βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 10. Διαιρούμε το 30 με το 10, παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω στο πρώτο κλάσμα:
Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 30 με το 3, παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 10. Το γράφουμε πάνω στο δεύτερο κλάσμα:
Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το τρίτο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 5. Διαιρούμε το 30 με το 5, παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 6. Το γράφουμε πάνω στο τρίτο κλάσμα:
Τώρα όλα είναι έτοιμα για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας τελειώσουμε αυτό το παράδειγμα.
Η συνέχεια του παραδείγματος δεν χωράει σε μια γραμμή, οπότε μεταφέρουμε τη συνέχεια στην επόμενη γραμμή. Μην ξεχνάτε το σύμβολο ίσου (=) στη νέα γραμμή:
Η απάντηση αποδείχθηκε σωστό κλάσμα και όλα φαίνονται να μας ταιριάζουν, αλλά είναι πολύ δυσκίνητη και άσχημη. Θα πρέπει να το κάνουμε πιο εύκολο. Τί μπορεί να γίνει? Μπορείτε να μειώσετε αυτό το κλάσμα.
Για να μειώσετε ένα κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με (gcd) τους αριθμούς 20 και 30.
Έτσι, βρίσκουμε το GCD των αριθμών 20 και 30:
Τώρα επιστρέφουμε στο παράδειγμά μας και διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το GCD που βρέθηκε, δηλαδή με το 10
Πήρε μια απάντηση
Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Παράδειγμα 1. Πολλαπλασιάστε το κλάσμα με τον αριθμό 1.
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με τον αριθμό 1
Η είσοδος μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη μισού 1 χρόνου. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσα 1 φορά, θα πάρετε πίτσα
Από τους νόμους του πολλαπλασιασμού, γνωρίζουμε ότι εάν ο πολλαπλασιαστής και ο πολλαπλασιαστής ανταλλάσσονται, τότε το γινόμενο δεν θα αλλάξει. Εάν η έκφραση γραφτεί ως , τότε το γινόμενο θα εξακολουθεί να είναι ίσο με . Και πάλι, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου και ενός κλάσματος λειτουργεί:
Αυτή η καταχώρηση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη του μισού της μονάδας. Για παράδειγμα, αν υπάρχει 1 ολόκληρη πίτσα και πάρουμε τη μισή, τότε θα έχουμε πίτσα:
Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με το 4
Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας πάρουμε ένα ολόκληρο μέρος του:
Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο τετάρτων 4 φορές. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσες 4 φορές, θα πάρετε δύο ολόκληρες πίτσες.
Και αν ανταλλάξουμε τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή σε θέσεις, παίρνουμε την έκφραση. Θα είναι επίσης ίσο με 2. Αυτή η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο πίτσες από τέσσερις ολόκληρες πίτσες:
Ένας αριθμός που πολλαπλασιάζεται με ένα κλάσμα και ο παρονομαστής του κλάσματος επιλύονται αν έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο του ενός.
Για παράδειγμα, μια έκφραση μπορεί να αξιολογηθεί με δύο τρόπους.
Πρώτος τρόπος. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό 4 με τον αριθμητή του κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή του κλάσματος αμετάβλητος:
Δεύτερος τρόπος. Ο τετραπλασιασμός που πολλαπλασιάζεται και ο τετραπλασιασμός στον παρονομαστή του κλάσματος μπορούν να μειωθούν. Μπορείτε να μειώσετε αυτά τα τέσσερα κατά 4, αφού ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης για δύο τέσσερα είναι το ίδιο το τέσσερα:
Πήραμε το ίδιο αποτέλεσμα 3. Μετά τη μείωση των τεσσάρων, στη θέση τους σχηματίζονται νέοι αριθμοί: δύο ένας. Αλλά ο πολλαπλασιασμός ενός με ένα τριπλό και μετά η διαίρεση με ένα δεν αλλάζει τίποτα. Επομένως, η λύση μπορεί να γραφτεί πιο σύντομα:
Η μείωση μπορεί να πραγματοποιηθεί ακόμη και όταν αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε την πρώτη μέθοδο, αλλά στο στάδιο του πολλαπλασιασμού του αριθμού 4 και του αριθμητή 3, αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη μείωση:
Αλλά για παράδειγμα, η έκφραση μπορεί να υπολογιστεί μόνο με τον πρώτο τρόπο - πολλαπλασιάστε το 7 με τον παρονομαστή του κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο αριθμός 7 και ο παρονομαστής του κλάσματος δεν έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο από ένα και, κατά συνέπεια, δεν μειώνονται.
Μερικοί μαθητές συντομεύουν κατά λάθος τον αριθμό που πολλαπλασιάζεται και τον αριθμητή του κλάσματος. Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό. Για παράδειγμα, η ακόλουθη καταχώριση δεν είναι σωστή:
Η αναγωγή του κλάσματος συνεπάγεται ότι και αριθμητής και παρονομαστήςθα διαιρεθεί με τον ίδιο αριθμό. Στην κατάσταση με την έκφραση, η διαίρεση εκτελείται μόνο στον αριθμητή, αφού η γραφή αυτού είναι ίδια με τη σύνταξη . Βλέπουμε ότι η διαίρεση εκτελείται μόνο στον αριθμητή και δεν γίνεται διαίρεση στον παρονομαστή.
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Εάν η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.
Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή της έκφρασης.
Πήρε μια απάντηση. Είναι επιθυμητό να μειωθεί αυτό το κλάσμα. Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 2. Τότε το τελικό διάλυμα θα πάρει την ακόλουθη μορφή:
Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή σαν να παίρνεις μια πίτσα από μισή πίτσα. Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:
Πώς να πάρετε τα δύο τρίτα από αυτό το μισό; Πρώτα πρέπει να χωρίσετε αυτό το μισό σε τρία ίσα μέρη:
Και πάρτε δύο από αυτά τα τρία κομμάτια:
Θα πάρουμε πίτσα. Θυμηθείτε πώς μοιάζει μια πίτσα χωρισμένη σε τρία μέρη:
Μια φέτα από αυτή την πίτσα και οι δύο φέτες που πήραμε θα έχουν τις ίδιες διαστάσεις:
Μιλάμε δηλαδή για το ίδιο μέγεθος πίτσας. Επομένως, η αξία της έκφρασης είναι
Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:
Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας πάρουμε ένα ολόκληρο μέρος του:
Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:
Η απάντηση αποδείχθηκε σωστό κλάσμα, αλλά θα είναι καλό αν μειωθεί. Για να μειώσετε αυτό το κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των αριθμών 105 και 450.
Ας βρούμε λοιπόν το GCD των αριθμών 105 και 450:
Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της απάντησής μας στο GCD που βρήκαμε τώρα, δηλαδή, με το 15
Αναπαράσταση ακέραιου ως κλάσματος
Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως . Από αυτό, το πέντε δεν θα αλλάξει το νόημά του, αφού η έκφραση σημαίνει "ο αριθμός πέντε διαιρούμενος με ένα", και αυτό, όπως γνωρίζετε, είναι ίσο με πέντε:
Αντίστροφοι αριθμοί
Τώρα θα εξοικειωθούμε με ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα στα μαθηματικά. Ονομάζεται «αντίστροφοι αριθμοί».
Ορισμός. Αντίστροφη στον αριθμόένα είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί μεένα δίνει μια μονάδα.
Ας αντικαταστήσουμε σε αυτόν τον ορισμό αντί για μια μεταβλητή ένανούμερο 5 και προσπαθήστε να διαβάσετε τον ορισμό:
Αντίστροφη στον αριθμό 5 είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με 5 δίνει μια μονάδα.
Είναι δυνατόν να βρεθεί ένας αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με το 5 να δίνει ένα; Αποδεικνύεται ότι μπορείτε. Ας αντιπροσωπεύσουμε το πέντε ως κλάσμα:
Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε αυτό το κλάσμα από μόνο του, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, ας πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα από μόνο του, μόνο ανεστραμμένο:
Ποιο θα είναι το αποτέλεσμα από αυτό; Αν συνεχίσουμε να λύνουμε αυτό το παράδειγμα, θα έχουμε ένα:
Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του αριθμού 5 είναι ο αριθμός, αφού όταν το 5 πολλαπλασιαστεί με ένα, προκύπτει ένα.
Το αντίστροφο μπορεί επίσης να βρεθεί για οποιονδήποτε άλλο ακέραιο.
Μπορείτε επίσης να βρείτε το αντίστροφο για οποιοδήποτε άλλο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να το αναποδογυρίσετε.
Διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό
Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:
Ας το χωρίσουμε εξίσου στα δύο. Πόσες πίτσες θα πάρει ο καθένας;
Μπορεί να φανεί ότι μετά το χωρισμό της μισής πίτσας, προέκυψαν δύο ίσα κομμάτια, καθένα από τα οποία αποτελεί μια πίτσα. Έτσι όλοι παίρνουν μια πίτσα.
1. Ο κανόνας για την πρόσθεση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές:
Παράδειγμα 1:
Παράδειγμα 2:
Κανόνας για την πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές:
Παράδειγμα 1:
Παράδειγμα 2:
Εδώ οι παρονομαστές δεν πολλαπλασιάστηκαν, αλλά λήφθηκε ο λιγότερο κοινός παράγοντας a2.
(Ο παρονομαστής είναι η υψηλότερη δύναμη του 2.)
Πρόσθετος πολλαπλασιαστής για το πρώτο κλάσμα 1, για το δεύτερο α.
2. Ο κανόνας για την αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές:
Κανόνας αφαίρεσης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές:
3. Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων:
4. Ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων:
Παράδειγμα:
Κανονικό (απλό) κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος.
Σωστό και ακατάλληλο κλάσμα. Μικτός αριθμός.
Ατελές πηλίκο. Ακέραιο και κλασματικό μέρος. Αντίστροφα κλάσματα.Ένα μέρος μιας μονάδας ή πολλά από τα μέρη της ονομάζεται συνηθισμένο ή απλό κλάσμα. Ο αριθμός των ίσων μερών στα οποία χωρίζεται η μονάδα ονομάζεται παρονομαστής και ο αριθμός των μερών που λαμβάνονται ονομάζεται αριθμητής. Το κλάσμα γράφεται ως:
Εδώ 3 είναι ο αριθμητής, 7 είναι ο παρονομαστής.
Αν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μικρότερο του 1 και καλείται κατάλληλο κλάσμα. Αν ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι 1. Αν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο του 1. Και στις δύο τελευταίες περιπτώσεις, το κλάσμα ονομάζεται ακατάλληλο. Εάν ο αριθμητής διαιρείται με τον παρονομαστή, τότε αυτό το κλάσμα είναι ίσο με το πηλίκο: 63 / 7 = 9. Εάν η διαίρεση εκτελείται με υπόλοιπο, τότε αυτό το ακατάλληλο κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί μικτός αριθμός:
Εδώ 9 - ατελές πηλίκο(το ακέραιο μέρος του μικτού αριθμού), το 2 είναι το υπόλοιπο (ο αριθμητής του κλασματικού μέρους), το 7 είναι ο παρονομαστής.
Συχνά είναι απαραίτητο να λυθεί το αντίστροφο πρόβλημα - αντιστρέψτε έναν μικτό αριθμόσε κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε το ακέραιο μέρος του μικτού αριθμού με τον παρονομαστή και προσθέστε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Αυτός θα είναι ο αριθμητής ενός συνηθισμένου κλάσματος και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος. 
Τα αντίστροφα είναι δύο κλάσματα των οποίων το γινόμενο είναι 1. Για παράδειγμα, 3/7 και 7/3. 15/1 και 1/15 κ.λπ.
Διαστολή κλάσματος. Αναγωγή κλασμάτων. Σύγκριση κλασμάτων.
Αναγωγή σε κοινό παρονομαστή. Πρόσθεση και αφαίρεσηκλάσματα.
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων. Διαίρεση κλασμάτων
Διαστολή κλάσματος.Η τιμή ενός κλάσματος δεν αλλάζει εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό με επέκταση του κλάσματος.
Αναγωγή κλασμάτων. Η τιμή ενός κλάσματος δεν αλλάζει αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του διαιρεθούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.. Αυτός ο μετασχηματισμός ονομάζεταιμείωση του κλάσματος. Για παράδειγμα, 
Σύγκριση κλασμάτων.Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή, το μεγαλύτερο είναι αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή:
Από δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο:
Για να συγκρίνετε κλάσματα που έχουν διαφορετικούς αριθμητές και παρονομαστές, πρέπει να τα επεκτείνετε για να τα φέρετε σε έναν κοινό παρονομαστή.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Συγκρίνετε δύο κλάσματα:
Ο μετασχηματισμός που χρησιμοποιείται εδώ ονομάζεται αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή.
Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων.Εάν οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι ίδιοι, τότε για να προσθέσετε κλάσματα, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και για να αφαιρέσετε τα κλάσματα, πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές τους (με την ίδια σειρά). Το άθροισμα ή η διαφορά που προκύπτει θα είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος. ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος. Εάν οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι διαφορετικοί, θα πρέπει πρώτα να μειώσετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Κατά την προσθήκη μικτών αριθμών, τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη τους προστίθενται χωριστά. Κατά την αφαίρεση μικτών αριθμών, σας συνιστούμε να τους μετατρέψετε πρώτα στη μορφή ακατάλληλων κλασμάτων, στη συνέχεια να αφαιρέσετε το ένα από το άλλο και στη συνέχεια να μειώσετε ξανά το αποτέλεσμα, εάν είναι απαραίτητο, στη μορφή μικτού αριθμού.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων.Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με ένα κλάσμα σημαίνει να τον πολλαπλασιάσουμε με τον αριθμητή και να διαιρέσουμε το γινόμενο με τον παρονομαστή. Επομένως, έχουμε έναν γενικό κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων:για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε χωριστά τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους και να διαιρέσετε το πρώτο γινόμενο με το δεύτερο.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 
Διαίρεση κλασμάτων. Για να διαιρέσουμε έναν συγκεκριμένο αριθμό με ένα κλάσμα, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε αυτόν τον αριθμό με τον αντίστροφο. Αυτός ο κανόνας προκύπτει από τον ορισμό της διαίρεσης (βλ. ενότητα «Αριθμητικές πράξεις»).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 
Δεκαδικός. Ολόκληρο μέρος. Δεκαδικό σημείο.
Δεκαδικά. Ιδιότητες δεκαδικών κλασμάτων.
Περιοδικό δεκαδικό. Περίοδος
Δεκαδικόςείναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός προς δέκα, εκατό, χίλια κ.λπ. εξαρτήματα. Αυτά τα κλάσματα είναι πολύ βολικά για υπολογισμούς, καθώς βασίζονται στο ίδιο σύστημα θέσης στο οποίο βασίζεται η μέτρηση και η σημειογραφία των ακεραίων. Εξαιτίας αυτού, η σημείωση και οι κανόνες για τους δεκαδικούς αριθμούς είναι στην πραγματικότητα οι ίδιοι με τους ακέραιους αριθμούς. Όταν γράφετε δεκαδικά κλάσματα, δεν χρειάζεται να σημειώσετε τον παρονομαστή, αυτό καθορίζεται από τη θέση που καταλαμβάνει το αντίστοιχο σχήμα. Πρώτη ορθογραφίαολόκληρο μέρος αριθμούς και μετά βάλτε στα δεξιάδεκαδικό σημείο. Το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή σημαίνει τον αριθμό των δέκατων, το δεύτερο - τον αριθμό των εκατοστών, το τρίτο - τον αριθμό των χιλιοστών κ.λπ. Καλούνται οι αριθμοί μετά την υποδιαστολήδεκαδικά ψηφία.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 
Ένα από τα πλεονεκτήματα των δεκαδικών κλασμάτων είναι ότι μετατρέπονται εύκολα σε συνηθισμένα κλάσματα: ο αριθμός μετά την υποδιαστολή (στην περίπτωσή μας 5047) είναι ο αριθμητής. ο παρονομαστής είναι ίσος n -ο βαθμός 10, όπου n - τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων (στην περίπτωσή μας n = 4): 
Εάν το δεκαδικό κλάσμα δεν περιέχει ακέραιο μέρος, τότε ένα μηδέν τοποθετείται πριν από την υποδιαστολή:
Ιδιότητες δεκαδικών κλασμάτων.
1. Το δεκαδικό δεν αλλάζει αν προστεθούν μηδενικά στα δεξιά:
2.
Το δεκαδικό κλάσμα δεν αλλάζει εάν αφαιρέσετε τα μηδενικά που βρίσκονται
στο τέλος του δεκαδικού:
0.00123000 = 0.00123 .
Προσοχή! Δεν μπορείτε να διαγράψετε μηδενικά που δεν βρίσκονται στο τέλος δεκαδικό!br />
Αυτές οι ιδιότητες σάς επιτρέπουν να πολλαπλασιάσετε και να διαιρέσετε γρήγορα τα δεκαδικά με το 10, το 100, το 1000 και ούτω καθεξής.
Περιοδικό δεκαδικόπεριέχει μια άπειρα επαναλαμβανόμενη ομάδα ψηφίων που ονομάζεται τελεία. Η περίοδος γράφεται σε αγκύλες. Για παράδειγμα, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν διαιρέσουμε το 47 με το 11, θα έχουμε 4,27272727… = 4.(27).
Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών.
Διαίρεση δεκαδικών.
Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων.Αυτές οι πράξεις εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως η πρόσθεση και η αφαίρεση ακεραίων. Είναι απαραίτητο μόνο να γράψετε τα αντίστοιχα δεκαδικά ψηφία το ένα κάτω από το άλλο.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών.Στο πρώτο βήμα, πολλαπλασιάζουμε τα δεκαδικά κλάσματα ως ακέραιους, χωρίς να λάβουμε υπόψη την υποδιαστολή. Στη συνέχεια εφαρμόζεται ο ακόλουθος κανόνας: ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων στο γινόμενο είναι ίσος με το άθροισμα των δεκαδικών ψηφίων σε όλους τους παράγοντες.
Παρατήρηση: πριν βάλετε την υποδιαστολήΔεν μπορείτε να ρίξετε μηδενικά στο τέλος του προϊόντος!
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Το άθροισμα των αριθμών των δεκαδικών ψηφίων στους συντελεστές είναι: 3 + 4 = 7. Το άθροισμα των ψηφίων στο γινόμενο είναι 6. Επομένως, πρέπει να προσθέσετε ένα μηδέν στα αριστερά: 0197056 και να βάλετε μια υποδιαστολή μπροστά από αυτό: 0,0197056.
Δεκαδική διαίρεση
Διαιρέστε ένα δεκαδικό με έναν ακέραιο
Αν ένα το μέρισμα είναι μικρότερο από το διαιρέτη, γράφουμε μηδέν στο ακέραιο μέρος του πηλίκου και μετά βάζουμε υποδιαστολή. Στη συνέχεια, μη λαμβάνοντας υπόψη την υποδιαστολή του μερίσματος, προσθέτουμε το επόμενο ψηφίο του κλασματικού μέρους στο ακέραιο μέρος του και συγκρίνουμε πάλι το ακέραιο μέρος του μερίσματος που προκύπτει με τον διαιρέτη. Εάν ο νέος αριθμός είναι και πάλι μικρότερος από τον διαιρέτη, βάλτε ένα ακόμη μηδέν μετά την υποδιαστολή στο πηλίκο και προσθέστε το επόμενο ψηφίο του κλασματικού μέρους του στο ακέραιο μέρος του μερίσματος. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου το προκύπτον μέρισμα γίνει μεγαλύτερο από το διαιρέτη. Μετά από αυτό, η διαίρεση εκτελείται όπως για τους ακέραιους αριθμούς. Αν ένα το μέρισμα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του διαιρέτη, πρώτα διαιρούμε το ακέραιο μέρος του, γράφουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης ιδιωτικά και βάζουμε υποδιαστολή. Μετά από αυτό, η διαίρεση συνεχίζεται, όπως στην περίπτωση των ακεραίων.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Διαιρέστε το 1.328 με το 64.
Λύση: 
Διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με ένα άλλο.
Αρχικά μεταφέρουμε τα δεκαδικά ψηφία στο μέρισμα και τον διαιρέτη με τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων στον διαιρέτη, δηλαδή κάνουμε τον διαιρέτη ακέραιο. Τώρα εκτελούμε τη διαίρεση, όπως στην προηγούμενη περίπτωση.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Διαιρέστε το 0,04569 με το 0,0006.
Λύση: Μετακινήστε τα δεκαδικά ψηφία 4 θέσεις προς τα δεξιά και διαιρέστε το 456,9 με το 6:
Για να μετατρέψετε ένα δεκαδικό σε κοινό κλάσμα, πρέπει να πάρετε τον αριθμό μετά την υποδιαστολή ως αριθμητή και να πάρετε την nη δύναμη του δέκα ως παρονομαστή (εδώ n είναι ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων). Το μη μηδενικό ακέραιο μέρος διατηρείται στο κοινό κλάσμα. το μηδενικό ακέραιο μέρος παραλείπεται. Για παράδειγμα: 
Για να μετατρέψετε ένα κοινό κλάσμα σε δεκαδικό, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή σύμφωνα με τους κανόνες διαίρεσης..
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μετατρέψτε το 5/8 σε δεκαδικό.
Λύση: Διαιρώντας το 5 με το 8 προκύπτει το 0,625. (Ελέγξτε παρακαλώ!).
Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ 'αόριστον. Τότε είναι αδύνατο να μετατραπεί με ακρίβεια ένα συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό. Αλλά στην πράξη αυτό δεν απαιτείται ποτέ. Η διαίρεση ματαιώνεται εάν έχουν ήδη ληφθεί τα δεκαδικά ψηφία ενδιαφέροντος.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μετατρέψτε το 1/3 σε δεκαδικό.
Λύση: Η διαίρεση 1 με 3 θα είναι άπειρη: 1:3 = 0,3333… .
Ελέγξτε το παρακαλώ!
