Κανόνας των τριώνσίγμα

Αντικατάσταση τιμής; στον τύπο (*), παίρνουμε:

Έτσι, με πιθανότητα αυθαίρετα κοντά στο ένα, μπορεί να υποστηριχθεί ότι ο συντελεστής απόκλισης μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής από τις μαθηματικές προσδοκίες της δεν υπερβαίνει το τριπλάσιο της τυπικής απόκλισης.

Κεντρικό οριακό θεώρημα.

Το κεντρικό οριακό θεώρημα είναι μια ομάδα θεωρημάτων που είναι αφιερωμένα στον καθορισμό των συνθηκών υπό τις οποίες α κανονικός νόμοςδιανομή. Μεταξύ αυτών των θεωρημάτων, η πιο σημαντική θέση ανήκει στο θεώρημα του Lyapunov.

Αν η τυχαία μεταβλητή Χείναι το άθροισμα ενός μεγάλου αριθμού αμοιβαία; ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή η επιρροή καθεμιάς από τις οποίες σε ολόκληρο το ποσό είναι αμελητέα, στη συνέχεια η τυχαία μεταβλητή Χέχει κατανομή που πλησιάζει απεριόριστα μια κανονική κατανομή.

Αρχικές και κεντρικές ροπές συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, ασυμμετρία και κύρτωση. Λειτουργία και διάμεσος.

Σε εφαρμοσμένα προβλήματα, για παράδειγμα, στη μαθηματική στατιστική, στη θεωρητική μελέτη εμπειρικών κατανομών που διαφέρουν από κανονική κατανομή, καθίσταται απαραίτητο να ποσοτικοποιηθούν αυτές οι διαφορές. Για το σκοπό αυτό εισάγονται ειδικά αδιάστατα χαρακτηριστικά.

Ορισμός. Ο τρόπος μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής (Mo (Χ)) είναι η πιο πιθανή τιμή του, για την οποία η πιθανότητα p Εγώή η πυκνότητα πιθανότητας f(x) φτάνει στο μέγιστο.

Ορισμός. Διάμεσος μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ (Μου(Χ)) είναι η τιμή του για την οποία ισχύει η ισότητα:

Γεωμετρικά, η κάθετη γραμμή x = Me (X) διαιρεί την περιοχή του σχήματος κάτω από την καμπύλη σε δύο ίσα μέρη.

Στο σημείο X = Me(X), η συνάρτηση κατανομής F(Me(X)) =

Βρείτε τον τρόπο Mo, τη διάμεσο Me και τη μαθηματική προσδοκία M μιας τυχαίας μεταβλητής X με πυκνότητα πιθανότητας f(x) = 3x 2 , για x I [ 0; ένας ].

Η πυκνότητα πιθανότητας f(x) είναι μέγιστη στο x = 1, δηλ. f (1) = 3, άρα Mo (X) = 1 στο διάστημα [ 0; ένας ].

Για να βρείτε τη διάμεσο, συμβολίστε Me (X) = b.

Αφού το Me (X) ικανοποιεί τη συνθήκη P (X 3 = .

b 3 = ; b = » 0,79

Μ(Χ) ==+ =

Σημειώστε τις προκύπτουσες 3 τιμές Mo (x), Me (X), M (X) στον άξονα Ox:

Ορισμός. ασυμμετρίαΗ θεωρητική κατανομή είναι ο λόγος της κεντρικής ροπής της τρίτης τάξης προς τον κύβο της τυπικής απόκλισης:

Ορισμός. κύρτωσηθεωρητική κατανομή ονομάζεται η τιμή που καθορίζεται από την ισότητα:

όπου ? κεντρική στιγμή της τέταρτης τάξης.

Για κανονική κατανομή. Όταν αποκλίνουμε από μια κανονική κατανομή, η ασυμμετρία είναι θετική εάν το "μακρύ" και πιο επίπεδο τμήμα της καμπύλης κατανομής βρίσκεται στα δεξιά του σημείου στον άξονα x που αντιστοιχεί στον τρόπο λειτουργίας. εάν αυτό το τμήμα της καμπύλης βρίσκεται στα αριστερά του τρόπου λειτουργίας, τότε η ασυμμετρία είναι αρνητική (Εικ. 1, α, β).

Η Kurtosis χαρακτηρίζει την «απότομη» ανόδου της καμπύλης κατανομής σε σύγκριση με την κανονική καμπύλη: εάν η κύρτωση είναι θετική, τότε η καμπύλη έχει υψηλότερη και πιο έντονη κορυφή. Στην περίπτωση αρνητικής κύρτωσης, η συγκριτική καμπύλη έχει χαμηλότερη και πιο επίπεδη κορυφή.

Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι κατά τη χρήση καθορισμένα χαρακτηριστικάΟι συγκρίσεις βασίζονται στις υποθέσεις σχετικά με τις ίδιες τιμές της μαθηματικής προσδοκίας και της διακύμανσης για την κανονική και τη θεωρητική κατανομή.

Παράδειγμα.Έστω μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χδίνεται από τον νόμο διανομής:

Βρείτε: λοξότητα και κύρτωση της θεωρητικής κατανομής.

Ας βρούμε πρώτα τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής:

Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις αρχικές και κεντρικές στιγμές της 2ης, 3ης και 4ης τάξης και:

Τώρα, χρησιμοποιώντας τους τύπους, βρίσκουμε τις απαιτούμενες τιμές:

Σε αυτήν την περίπτωση, το "μακρύ" τμήμα της καμπύλης κατανομής βρίσκεται στα δεξιά του τρόπου λειτουργίας και η ίδια η καμπύλη είναι κάπως πιο κορυφαία από την κανονική καμπύλη με τις ίδιες τιμές μαθηματικής προσδοκίας και διακύμανσης.

Θεώρημα.Για μια αυθαίρετη τυχαία μεταβλητή Χκαι οποιονδήποτε αριθμό

?>0 ισχύουν οι ακόλουθες ανισότητες:

Πιθανότητα αντίθετης ανισότητας.

Η μέση κατανάλωση νερού σε μια κτηνοτροφική μονάδα είναι 1000 λίτρα την ημέρα και η τυπική απόκλιση αυτής της τυχαίας μεταβλητής δεν υπερβαίνει τα 200 λίτρα. Υπολογίστε την πιθανότητα η κατανάλωση νερού στο αγρόκτημα οποιαδήποτε δεδομένη ημέρα να μην υπερβαίνει τα 2000 λίτρα χρησιμοποιώντας την ανισότητα Chebyshev.

Αφήνω Χ– κατανάλωση νερού στην κτηνοτροφική μονάδα (l).

Διασπορά ρε(Χ) = . Δεδομένου ότι τα όρια του διαστήματος 0 ΧΤα 2000 είναι συμμετρικά ως προς τη μαθηματική προσδοκία Μ(Χ) = 1000, τότε για να υπολογίσουμε την πιθανότητα του επιθυμητού συμβάντος, μπορούμε να εφαρμόσουμε την ανισότητα Chebyshev:

Δηλαδή όχι λιγότερο από 0,96.

Για τη διωνυμική κατανομή, η ανισότητα Chebyshev παίρνει τη μορφή:

ΝΟΜΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΝΟΜΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ - ενότητα Μαθηματικά, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι πιο κοινοί νόμοι είναι ομοιόμορφοι, κανονικοί και εκθετικοί.

Οι νόμοι της ομοιόμορφης, κανονικής και εκθετικής κατανομής των πιθανοτήτων συνεχών τυχαίων μεταβλητών συναντώνται συχνότερα.

Η κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X ονομάζεται ομοιόμορφη εάν στο διάστημα (a, b) στο οποίο ανήκουν όλες οι πιθανές τιμές του X, η πυκνότητα κατανομής παραμένει σταθερή (6.1).

Η συνάρτηση διανομής έχει τη μορφή:

Κανονική είναι η κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, η πυκνότητα της οποίας έχει τη μορφή:

Η πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή X θα λάβει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (?; ?):

πού είναι η συνάρτηση Laplace και,

Ποια είναι η πιθανότητα η απόλυτη τιμή της απόκλισης να είναι μικρότερη από έναν θετικό αριθμό;:

Συγκεκριμένα, για a = 0, . (6.7)

Η εκθετική (εκθετική) είναι η κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, η οποία περιγράφεται από την πυκνότητα:

όπου? είναι σταθερή θετική τιμή.

Η συνάρτηση κατανομής του εκθετικού νόμου:

Η πιθανότητα να χτυπηθεί μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X στο διάστημα (a, c), κατανεμημένο σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο:

1. Τυχαία τιμήΤο Χ κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα (-2, N). Να βρείτε: α) τη διαφορική συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής Χ. β) ολοκληρωτική συνάρτηση. γ) την πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής να πέσει στο διάστημα (-1;); δ) μαθηματική προσδοκία, διακύμανση και τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.

2. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής ομοιόμορφα κατανεμημένης στο διάστημα: α) (5; 11); β) (-3, 5). Σχεδιάστε γραφήματα αυτών των συναρτήσεων.

3. Η τυχαία μεταβλητή X κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα (2; 6) και D(x) = 12. Βρείτε τις συναρτήσεις κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X. Σχεδιάστε γραφήματα των συναρτήσεων.

4. Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο ορθογώνιο τρίγωνο(Εικ. 1) στο διάστημα (0; α). Να βρείτε: α) τη διαφορική συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής Χ. β) ολοκληρωτική συνάρτηση. γ) πιθανώς

πιθανότητα να χτυπήσετε μια τυχαία μεταβλητή

to interval(); δ) μαθηματική

προσδοκία, διακύμανση και μέσο τετράγωνο

τυχαία απόκλιση

5. Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Simpson ("νόμος ισοσκελές τρίγωνο”) (Εικ. 2) στο διάστημα (-a; a). Να βρείτε: α) τη συνάρτηση κατανομής διαφορικής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ.

β) μια ολοκληρωτική συνάρτηση και σχεδιάστε το γράφημά της. γ) την πιθανότητα να πέσει μια τυχαία μεταβλητή στο διάστημα (-). δ) μαθηματική προσδοκία, διακύμανση και τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.

6. Για τη μελέτη της παραγωγικότητας μιας συγκεκριμένης ράτσας πουλερικών, μετράται η διάμετρος των αυγών. Η μεγαλύτερη εγκάρσια διάμετρος αυγών είναι μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο με μέση τιμή 5 cm και τυπική απόκλιση 0,3 cm. Βρείτε την πιθανότητα ότι: α) η διάμετρος ενός αυγού που λαμβάνεται τυχαία θα είναι μεταξύ 4,7 και 6, 2 cm? β) η απόκλιση της διαμέτρου από τον μέσο όρο δεν υπερβαίνει τα 0,6 cm σε απόλυτη τιμή.

7. Το βάρος του ψαριού που πιάνεται στη λίμνη υπακούει στον νόμο κανονικής κατανομής με τυπική απόκλιση 150 g και μαθηματική προσδοκία a \u003d 1000 g. Βρείτε την πιθανότητα ότι το βάρος του ψαριού θα είναι: α) από 900 έως 1300 g. β) όχι περισσότερο από 1500 g. γ) τουλάχιστον 800 g. δ) διαφέρουν από το μέσο συντελεστή βάρους όχι περισσότερο από 200 g. ε) σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της διαφορικής συνάρτησης της τυχαίας μεταβλητής X.

8. Η απόδοση του χειμερινού σιταριού για το σύνολο των αγροτεμαχίων κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο με τις εξής παραμέτρους: a = 50 c/ha, = 10 c/ha. Προσδιορίστε: α) ποιο ποσοστό των αγροτεμαχίων θα έχει απόδοση μεγαλύτερη από 40 c/ha. β) το ποσοστό των αγροτεμαχίων με απόδοση 45 έως 60 c/ha.

9. Επιλεκτική μέθοδοςμετράται η ζιζάνια των κόκκων, τα τυχαία σφάλματα μέτρησης υπόκεινται σε νόμο κανονικής κατανομής με τυπική απόκλιση 0,2 g και μαθηματική προσδοκία a = 0. Βρείτε την πιθανότητα ότι, από τέσσερις ανεξάρτητες μετρήσεις, το σφάλμα τουλάχιστον μίας από αυτές δεν θα υπερβαίνει τα 0,3 g σε απόλυτη τιμή.

10. Η ποσότητα του κόκκου που συγκομίζεται από κάθε οικόπεδο του πειραματικού χωραφιού είναι μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή Χ, η οποία έχει τη μαθηματική προσδοκία a = 60 kg και η τυπική απόκλιση είναι 1,5 kg. Να βρείτε το διάστημα στο οποίο θα περικλείεται η ποσότητα Χ με πιθανότητα 0,9906. Γράψτε τη διαφορική συνάρτηση αυτής της τυχαίας μεταβλητής.

11. Με πιθανότητα 0,9973, διαπιστώθηκε ότι η απόλυτη απόκλιση του ζωντανού βάρους ενός τυχαίως ληφθέντος κεφαλιού βοοειδούς από το μέσο βάρος του ζώου σε όλο το κοπάδι δεν υπερβαίνει τα 30 kg. Βρείτε την τυπική απόκλιση του ζώντος βάρους των ζώων, υποθέτοντας ότι η κατανομή των ζώων σύμφωνα με το ζωντανό βάρος υπακούει στον κανονικό νόμο.

12. Η απόδοση των λαχανικών ανά αγροτεμάχια είναι μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή με μαθηματική προσδοκία 300 c/ha και τυπική απόκλιση 30 c/ha. Με πιθανότητα 0,9545 προσδιορίστε τα όρια μέσα στα οποία θα βρίσκεται η μέση απόδοση των λαχανικών στα αγροτεμάχια.

13. Η κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή X δίνεται από μια διαφορική συνάρτηση:

Να προσδιορίσετε: α) την πιθανότητα να πέσει μια τυχαία μεταβλητή στο διάστημα

(3; 9); β) ο τρόπος και η διάμεσος της τυχαίας μεταβλητής X.

14. Μια εμπορική εταιρεία πουλά τον ίδιο τύπο προϊόντων από δύο κατασκευαστές. Η διάρκεια ζωής των προϊόντων υπόκειται στη συνήθη νομοθεσία. Η μέση διάρκεια ζωής των προϊόντων του πρώτου κατασκευαστή είναι 5,5 χιλιάδες ώρες και του δεύτερου - 6 χιλιάδες ώρες. Ο πρώτος κατασκευαστής ισχυρίζεται ότι με πιθανότητα 0,95 η διάρκεια ζωής του πρώτου κατασκευαστή κυμαίνεται από 5 έως 6 χιλιάδες ώρες και ο δεύτερος, με πιθανότητα 0,9, κυμαίνεται από 5 έως 7 χιλιάδες ώρες. Ποιος κατασκευαστής έχει τη μεγαλύτερη μεταβλητότητα στη διάρκεια ζωής του προϊόντος.

15. Οι μηνιαίοι μισθοί των εργαζομένων της επιχείρησης κατανέμονται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο με τη μαθηματική προσδοκία a = 10 χιλιάδες ρούβλια. Είναι γνωστό ότι το 50% των εργαζομένων της εταιρείας λαμβάνουν μισθούς από 8 έως 12 χιλιάδες ρούβλια. Προσδιορίστε ποιο ποσοστό των εργαζομένων της εταιρείας έχει μηνιαίο μισθό από 9 έως 18 χιλιάδες ρούβλια.

16. Γράψτε τη συνάρτηση πυκνότητας και κατανομής του εκθετικού νόμου εάν: α) μια παράμετρος. β) ; σε) . Σχεδιάστε γραφήματα συναρτήσεων.

17. Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται επίσης σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο. Βρείτε την πιθανότητα να χτυπήσετε μια τυχαία μεταβλητή Χ στο διάστημα: α) (0; 1); β) (2; 4). Μ(Χ), Δ(Χ), (Χ).

18. Να βρείτε τα Μ(Χ), Δ(Χ), (Χ) του εκθετικού νόμου κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ με δεδομένη συνάρτηση:

19. Δοκιμάζονται δύο ανεξάρτητα στοιχεία λειτουργίας. Το uptime του πρώτου έχει πιο ενδεικτική κατανομή από το δεύτερο. Βρείτε την πιθανότητα ότι κατά τη διάρκεια 20 ωρών: α) θα λειτουργήσουν και τα δύο στοιχεία. β) μόνο ένα στοιχείο θα αποτύχει. γ) τουλάχιστον ένα στοιχείο αποτυγχάνει. δ) και τα δύο στοιχεία θα αποτύχουν.

20. Η πιθανότητα να λειτουργήσουν και τα δύο ανεξάρτητα στοιχεία για 10 ημέρες είναι 0,64. Προσδιορίστε τη συνάρτηση αξιοπιστίας για κάθε στοιχείο εάν οι συναρτήσεις είναι ίδιες.

21. Ο μέσος αριθμός σφαλμάτων που κάνει ο χειριστής κατά τη διάρκεια μιας ώρας εργασίας είναι 2. Βρείτε την πιθανότητα σε 3 ώρες εργασίας ο χειριστής να κάνει: α) 4 λάθη. β) τουλάχιστον δύο λάθη. γ) τουλάχιστον ένα λάθος.

22. Ο μέσος αριθμός κλήσεων που φτάνουν στο PBX σε ένα λεπτό είναι τρεις. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε 2 λεπτά θα γίνουν: α) 4 κλήσεις. β) τουλάχιστον τρεις κλήσεις.

23. Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Cauchy

Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

6. Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

6.1. Αριθμητικά χαρακτηριστικά συνεχών τυχαίων μεταβλητών

Μια συνεχής μεταβλητή είναι μια τυχαία μεταβλητή που μπορεί να λάβει όλες τις τιμές από κάποιο πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα.

Η συνάρτηση κατανομής ονομάζεται συνάρτηση F (x) ; προσδιορίζοντας την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή Χ ως αποτέλεσμα της δοκιμής θα λάβει τιμή μικρότερη από x, δηλ.

Ιδιότητες συνάρτησης διανομής:

1. Οι τιμές της συνάρτησης κατανομής ανήκουν στο τμήμα, δηλ.

2. Η F (x) είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση, δηλ. αν τότε .

Η πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή X θα λάβει μια τιμή που περιέχεται στο διάστημα είναι ίση με:

· Η πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ να πάρει μια καθορισμένη τιμή είναι ίση με μηδέν.

Η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ ονομάζεται συνάρτηση - η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης κατανομής.

Πιθανότητα να χτυπήσετε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή σε ένα δεδομένο διάστημα:

Εύρεση της συνάρτησης κατανομής από μια γνωστή πυκνότητα κατανομής:

Ιδιότητες Πυκνότητας Κατανομής

1. Η πυκνότητα κατανομής είναι μια μη αρνητική συνάρτηση:

2. Συνθήκη κανονικοποίησης:

Τυπική απόκλιση

6.2. Ομοιόμορφη κατανομή

Μια κατανομή πιθανότητας ονομάζεται ομοιόμορφη εάν, στο διάστημα στο οποίο ανήκουν όλες οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής, η πυκνότητα κατανομής παραμένει σταθερή.

Πυκνότητα πιθανότητας μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής

Τυπική απόκλιση

6.3. Κανονική κατανομή

Κανονική είναι η κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής, η οποία περιγράφεται από την πυκνότητα κατανομής

α - μαθηματική προσδοκία

τυπική απόκλιση

διασπορά

Πιθανότητα να χτυπήσει το διάστημα

Πού είναι η συνάρτηση Laplace. Αυτή η λειτουργίαπινακοποιημένα, δηλ. το ολοκλήρωμα δεν χρειάζεται να υπολογιστεί, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα.

Πιθανότητα απόκλισης τυχαίας μεταβλητής x από τη μαθηματική προσδοκία

Κανόνας τριών σίγμα

Εάν μια τυχαία μεταβλητή κατανέμεται κανονικά, τότε η απόλυτη τιμή της απόκλισής της από τη μαθηματική προσδοκία δεν υπερβαίνει το τριπλάσιο της τυπικής απόκλισης.

Για την ακρίβεια, η πιθανότητα να ξεπεράσουμε το καθορισμένο διάστημα είναι 0,27%

Πιθανότητα Κανονικής Διανομής Online Υπολογιστής

6.4. εκθετική κατανομή

Μια τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο εάν η πυκνότητα κατανομής έχει τη μορφή

Τυπική απόκλιση

Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα αυτής της κατανομής είναι ότι η μαθηματική προσδοκία είναι ίση με την τυπική απόκλιση.

Θεωρία Πιθανοτήτων. Τυχαία συμβάντα (σελίδα 6)

12. Τυχαίες μεταβλητές Χ , αν , , , .

13. Η πιθανότητα κατασκευής ελαττωματικού προϊόντος είναι 0,0002. Υπολογίστε την πιθανότητα ένας επιθεωρητής που ελέγχει την ποιότητα 5000 ειδών να βρει 4 ελαττωματικά αντικείμενα ανάμεσά τους.

Χ Χθα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα . Σχεδιάστε τις συναρτήσεις και .

15. Η πιθανότητα λειτουργίας του στοιχείου χωρίς αστοχία κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο (). Βρείτε την πιθανότητα ότι το στοιχείο θα λειτουργήσει άψογα για 50 ώρες.

16. Η συσκευή αποτελείται από 10 ανεξάρτητα λειτουργικά στοιχεία. Πιθανότητα αστοχίας κάθε στοιχείου στο χρόνο Τισούται με 0,05. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Chebyshev, υπολογίστε την πιθανότητα ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ του αριθμού των αποτυχημένων στοιχείων και του μέσου αριθμού (προσδοκία) αστοχιών με την πάροδο του χρόνου Τθα είναι λιγότερο από δύο.

17. Τρεις ανεξάρτητες βολές εκτελέστηκαν στον στόχο (στο Σχ. 4.1 m, m) χωρίς συστηματικό σφάλμα () με την αναμενόμενη εξάπλωση του χτυπήματος m. Βρείτε την πιθανότητα τουλάχιστον ενός χτυπήματος στο στόχο.

1. Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 0,1,2,3,4,5;

2. Η χορωδία αποτελείται από 10 μέλη. Με πόσους τρόπους μπορούν να επιλεγούν 6 συμμετέχοντες για 3 ημέρες ώστε κάθε μέρα να υπάρχει διαφορετική σύνθεση της χορωδίας;

3. Με πόσους τρόπους μπορεί να χωριστεί στη μέση μια τράπουλα με 52 ανακατεμένα φύλλα, ώστε να υπάρχουν τρεις άσοι στο ένα μισό;

4. Από ένα κουτί που περιέχει μάρκες με αριθμούς από το 1 έως το 40, οι συμμετέχοντες στην κλήρωση τραβούν μάρκες. Προσδιορίστε την πιθανότητα ο αριθμός του πρώτου διακριτικού που κληρώθηκε τυχαία να μην περιέχει τον αριθμό 2.

5. Στον πάγκο δοκιμών, δοκιμάζονται 250 συσκευές υπό ορισμένες συνθήκες. Βρείτε την πιθανότητα τουλάχιστον μία από τις υπό δοκιμή συσκευές να αποτύχει μέσα σε μία ώρα, εάν είναι γνωστό ότι η πιθανότητα αστοχίας μέσα σε μία ώρα μιας από αυτές τις συσκευές είναι ίση με 0,04 και είναι ίδια για όλες τις συσκευές.

6. Υπάρχουν 10 τουφέκια στην πυραμίδα, 4 από τα οποία είναι εξοπλισμένα με οπτικό σκόπευτρο. Η πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο όταν εκτοξευθεί από τουφέκι με τηλεσκοπικό σκόπευτρο είναι 0,95. για τουφέκια χωρίς τηλεσκοπικό σκοπευτικό, αυτή η πιθανότητα είναι 0,8. Ο σκοπευτής χτύπησε τον στόχο με ένα τουφέκι που τραβήχτηκε τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα ο σκοπευτής να πυροβόλησε από τουφέκι με οπτικό σκόπευτρο.

7. Η συσκευή αποτελείται από 10 κόμβους. Αξιοπιστία (πιθανότητα λειτουργίας χωρίς αστοχία με την πάροδο του χρόνου tγια κάθε κόμβο ισούται με . Οι κόμβοι αποτυγχάνουν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο. Βρείτε την πιθανότητα ότι στο χρόνο t: α) τουλάχιστον ένας κόμβος θα αποτύχει. β) ακριβώς δύο κόμβοι θα αποτύχουν. γ) ακριβώς ένας κόμβος θα αποτύχει. δ) τουλάχιστον δύο κόμβοι θα αποτύχουν.

8. Κάθε ένα από τα 16 στοιχεία κάποιας συσκευής ελέγχεται. Η πιθανότητα ένα στοιχείο να περάσει τη δοκιμή είναι 0,8. Βρείτε τον πιο πιθανό αριθμό στοιχείων που θα περάσουν το τεστ.

9. Βρείτε την πιθανότητα ότι το γεγονός ΑΛΛΑ(αλλαγή ταχύτητας) θα συμβεί 70 φορές σε μια διαδρομή 243 χιλιομέτρων εάν η πιθανότητα αλλαγής ταχύτητας ανά χιλιόμετρο αυτής της διαδρομής είναι 0,25.

10. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Βρείτε την πιθανότητα ότι με 100 βολές ο στόχος θα χτυπηθεί τουλάχιστον 75 φορές και το πολύ 90 φορές.

Χ.

12. Τυχαίες μεταβλητές Χκαι ανεξάρτητη. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής , αν , , , .

13. Χειρόγραφο 1000 σελίδων δακτυλόγραφου κειμένου περιέχει 100 κακοτυπίες. Βρείτε την πιθανότητα μια τυχαία επιλεγμένη σελίδα να περιέχει ακριβώς 2 λανθασμένα τυπώματα.

14. Συνεχής τυχαία μεταβλητή Χκατανέμεται ομοιόμορφα με σταθερή πυκνότητα πιθανότητας , όπου Βρείτε 1) την παράμετρο και σημειώστε τον νόμο κατανομής. 2) Βρείτε , ; 3) Βρείτε την πιθανότητα ότι Χθα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα .

15. Ο χρόνος λειτουργίας ενός στοιχείου έχει εκθετική κατανομή (). Βρείτε την πιθανότητα ότι t= 24 ώρες το στοιχείο δεν θα αποτύχει.

16. Συνεχής τυχαία μεταβλητή Χκατανέμονται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο . Εύρημα , . Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής Χθα λάβει την τιμή που περικλείεται στο διάστημα .

17. Δίνεται η κατανομή πιθανότητας μιας διακριτής δισδιάστατης τυχαίας μεταβλητής:

Βρείτε τον νόμο κατανομής των συστατικών Χκαι ; τις μαθηματικές προσδοκίες τους και ? διακυμάνσεις και ? συντελεστής συσχέτισης .

1. Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 1,2, 3, 4, 5 εάν καθένας από αυτούς τους αριθμούς χρησιμοποιείται όχι περισσότερο από μία φορά;

2. Δόθηκε nσημεία, από τα οποία κανένα 3 δεν βρίσκεται στην ίδια ευθεία. Πόσες γραμμές μπορούν να τραβηχτούν συνδέοντας τα σημεία σε ζεύγη;

Πόσα ντόμινο μπορούν να γίνουν χρησιμοποιώντας αριθμούς από το 0 έως το 9;

3. Ποια είναι η πιθανότητα ένα τυχαία σκισμένο φύλλο από το νέο ημερολόγιο να αντιστοιχεί στην πρώτη ημέρα του μήνα; (Το έτος δεν θεωρείται δίσεκτο.)

4. Υπάρχουν 3 τηλέφωνα στο συνεργείο που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο.

5. Οι πιθανότητες απασχόλησης καθενός εξ αυτών είναι αντίστοιχα οι εξής: ; ; . Βρείτε την πιθανότητα τουλάχιστον ένα τηλέφωνο να είναι δωρεάν.

6. Υπάρχουν τρία πανομοιότυπα δοχεία. Το πρώτο δοχείο περιέχει 20 άσπρες μπάλες, το δεύτερο δοχείο περιέχει 10 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες και το τρίτο δοχείο περιέχει 20 μαύρες μπάλες. Μια λευκή μπάλα τραβιέται από μια λάρνακα που επιλέγεται τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα να τραβηχτεί η μπάλα από την πρώτη λάρνακα.

7. Σε ορισμένες περιοχές το καλοκαίρι, κατά μέσο όρο, το 20% των ημερών είναι βροχερές. Ποια είναι η πιθανότητα ότι σε μία εβδομάδα: α) θα υπάρξει τουλάχιστον μία βροχερή μέρα; β) θα υπάρξει ακριβώς μια βροχερή μέρα. γ) ο αριθμός των βροχερών ημερών δεν θα είναι μεγαλύτερος από τέσσερις. δ) δεν θα υπάρχουν βροχερές μέρες.

8. Η πιθανότητα παραβίασης της ακρίβειας στη συναρμολόγηση της συσκευής είναι 0,32. Προσδιορίστε τον πιο πιθανό αριθμό οργάνων ακριβείας σε μια παρτίδα 9 τεμαχίων.

9. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι με 150 βολές από ένα τουφέκι ο στόχος θα χτυπηθεί 70 φορές εάν η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,4.

10. Προσδιορίστε την πιθανότητα στα 1000 γεννημένα παιδιά ο αριθμός των αγοριών να είναι τουλάχιστον 455 και το πολύ 555, αν η πιθανότητα γέννησης αγοριών είναι 0,515.

11. Δίνεται ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ:

Βρείτε: 1) την τιμή πιθανότητας που αντιστοιχεί στην τιμή ; 2) , , ; 3) συνάρτηση διανομής? φτιάξε το γράφημά της. Κατασκευάστε ένα πολύγωνο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.

12. Τυχαίες μεταβλητές Χκαι ανεξάρτητη. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής , αν , , , .

13. Η πιθανότητα κατασκευής ενός μη τυποποιημένου ανταλλακτικού είναι 0,004. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 1000 εξαρτημάτων να υπάρχουν 5 μη τυποποιημένα.

14. Συνεχής τυχαία μεταβλητή Χδίνεται από τη συνάρτηση κατανομής Βρείτε: 1) συνάρτηση πυκνότητας ; 2) , , ; 3) η πιθανότητα ότι, ως αποτέλεσμα του πειράματος, η τυχαία μεταβλητή Χθα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα . Δημιουργήστε γραφήματα συναρτήσεων και .km, km. Προσδιορίστε την πιθανότητα δύο χτυπημάτων στο στόχο.

1. Οι ομιλητές πρέπει να μιλήσουν στη συνεδρίαση ΑΛΛΑ, ΣΤΟ, ΑΠΟ, ρε. Με πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν στη λίστα των ομιλητών έτσι ώστε ΣΤΟμίλησε μετά τον ομιλητή ΑΛΛΑ?

2. Με πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν 14 ίδιες μπάλες σε 8 κουτιά;

3. Πόσοι πενταψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 1 έως 9;

4. Ο μαθητής ήρθε στις εξετάσεις γνωρίζοντας μόνο 24 από τις 32 ερωτήσεις του προγράμματος. Ο εξεταστής του έκανε 3 ερωτήσεις. Βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να απάντησε σε όλες τις ερωτήσεις.

5. Στο τέλος της ημέρας είχαν μείνει στο μαγαζί 60 καρπούζια, μεταξύ των οποίων 50 ώριμα. Ο πελάτης επιλέγει 2 καρπούζια. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι ώριμα και τα δύο καρπούζια;

6. Στο γκρουπ των αθλητών υπάρχουν 20 δρομείς, 6 άλτες και 4 σφυροβολητές. Η πιθανότητα να εκπληρωθεί ο κανόνας του κύριου των σπορ από έναν δρομέα είναι 0,9. άλτης - 0,8 και ρίπτης - 0,75. Προσδιορίστε την πιθανότητα ένας αθλητής που καλείται τυχαία να πληροί τα πρότυπα του κύριου των σπορ.

7. Η πιθανότητα να επιστραφεί ένα ενοικιασμένο αντικείμενο σε καλή κατάσταση είναι 0,8. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι από τα πέντε πράγματα που λαμβάνονται: α) τρία θα επιστραφούν σε καλή κατάσταση. β) και τα πέντε αντικείμενα θα επιστραφούν άθικτα. γ) τουλάχιστον δύο είδη θα επιστραφούν άθικτα.

8. Η πιθανότητα ελαττώματος σε μια παρτίδα 500 εξαρτημάτων είναι 0,035. Προσδιορίστε τον πιο πιθανό αριθμό ελαττωματικών εξαρτημάτων σε αυτήν την παρτίδα.

9. Στην παραγωγή ηλεκτρικών λαμπτήρων, η πιθανότητα κατασκευής ενός λαμπτήρα πρώτης κατηγορίας θεωρείται ότι είναι 0,64. Προσδιορίστε την πιθανότητα από τους 100 τυχαία επιλεγμένους ηλεκτρικούς λαμπτήρες, οι 70 να είναι πρώτης τάξης.

10. 400 δείγματα μεταλλεύματος υπόκεινται σε εξέταση. Η πιθανότητα περιεκτικότητας σε βιομηχανικό μέταλλο σε κάθε δείγμα είναι η ίδια και ισούται με 0,8. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο αριθμός των δειγμάτων με περιεκτικότητα σε βιομηχανικό μέταλλο θα είναι μεταξύ 290 και 340.

11. Δίνεται ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ αν Χ Χκαι ; 4) Μάθετε εάν αυτές οι ποσότητες εξαρτώνται.

1. Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 8 καλεσμένοι σε ένα στρογγυλό τραπέζι ώστε δύο διάσημοι καλεσμένοι να κάθονται δίπλα δίπλα;

2. Πόσες διαφορετικές «λέξεις» μπορούν να σχηματιστούν με την αναδιάταξη των γραμμάτων της λέξης «συνδυαστική»;

3. Πόσα τρίγωνα υπάρχουν των οποίων τα μήκη πλευρών παίρνουν μία από τις παρακάτω τιμές: 4, 5, 6, 7 cm;

4. Τα γράμματα του χωρισμένου αλφαβήτου βρίσκονται στον φάκελο: Ο, Π, R, ΑΠΟ, Τ. Τα γράμματα αναμειγνύονται προσεκτικά. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι βγάζοντας αυτά τα γράμματα και βάζοντάς τα δίπλα-δίπλα, να πάρετε τη λέξη " ΑΘΛΗΜΑ‘.

5. Από το πρώτο μηχάνημα, το 20% πηγαίνει στη συναρμολόγηση, από το δεύτερο το 30%, από το τρίτο - το 50% των εξαρτημάτων. Το πρώτο μηχάνημα δίνει κατά μέσο όρο το 0,2% των ελαττωμάτων, το δεύτερο - 0,3%, το τρίτο - 1%. Βρείτε την πιθανότητα ότι το εξάρτημα που παραλήφθηκε για συναρμολόγηση είναι ελαττωματικό.

6. Ένας από τους τρεις σκοπευτές καλείται στη γραμμή του πυρός και πυροβολεί. Ο στόχος χτυπιέται. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή για τον πρώτο σκοπευτή είναι 0,3, για τον δεύτερο - 0,5, για τον τρίτο - 0,8. Βρείτε την πιθανότητα ότι η βολή έγινε από τον δεύτερο σκοπευτή.

7. Υπάρχουν 6 μοτέρ στο συνεργείο. Για κάθε κινητήρα, η πιθανότητα να είναι ενεργοποιημένος είναι 0,8. Βρείτε την πιθανότητα ότι αυτή τη στιγμή: α) 4 κινητήρες είναι αναμμένοι. β) τουλάχιστον ένας κινητήρας είναι αναμμένος. γ) όλοι οι κινητήρες είναι αναμμένοι.

8. Η τηλεόραση έχει 12 λάμπες. Κάθε ένα από αυτά με πιθανότητα 0,4 μπορεί να αποτύχει κατά τη διάρκεια της περιόδου εγγύησης. Βρείτε τον πιο πιθανό αριθμό λαμπτήρων που απέτυχαν κατά τη διάρκεια της περιόδου εγγύησης.

9. Η πιθανότητα να αποκτήσετε αγόρι είναι 0,515. Βρείτε την πιθανότητα στα 200 παιδιά που γεννήθηκαν αγόρια και κορίτσια να διαιρεθούν ισομερώς.

10. Η πιθανότητα το εξάρτημα να μην πέρασε τον έλεγχο του Τμήματος Ποιοτικού Ελέγχου θα είναι . Βρείτε την πιθανότητα 70 έως 100 εξαρτήματα να μην επιλεγούν ανάμεσα σε 400 τυχαία επιλεγμένα μέρη.

11. Δίνεται ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ:

• Οι κύριοι νόμοι της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Εκπαιδευτικό ίδρυμα "Belarusian State Department of Higher Mathematics" για τη μελέτη του θέματος "Βασικοί νόμοι της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής" από φοιτητές της σχολής λογιστικής έντυπο απουσίαςλήψη εκπαίδευσης (NISPO) Οι κύριοι νόμοι της κατανομής τυχαίας […]
• Πρόστιμα τροχαίας leninogorsk Αργά το κράτος θα αναλάβει δράση για την είσπραξη των προστίμων σας, εάν δεν έχετε ασκήσει έφεση πρόστιμα της τροχαίας leninogorsk χρειάζεστε Σύμβολα. Χωρίς έγγραφα εγγραφής και χωρίς πολιτική OSAGO, μια υπερ-σύνδεση σε αυτό το άρθρο θα κοστίσει 500 θέσεις. Επίσημες κυρώσεις της τροχαίας leninogorsk […]
• Αποζημίωση απόλυσης για το Τσερνόμπιλ: (3 + 1) ή μόνο 3; Για τους πολίτες που επηρεάζονται από Η καταστροφή του Τσερνομπίλ(εφεξής - θύματα του Τσερνομπίλ), ο νόμος αριθ. 796 * θεσπίζει ορισμένα οφέλη και εγγυήσεις. Έτσι, οι επιζώντες του Τσερνομπίλ που κατατάσσονται στην κατηγορία 1, μεταξύ άλλων, ορίζονται από τον εν λόγω νόμο ότι έχουν προνομιακό δικαίωμα […]
• Φόρος Dacha. Θα έπρεπε να το ξέρεις. Ο άντρας μου και εγώ σκεφτόμαστε ένα εξοχικό όπου θα μπορούσαμε να έρθουμε, να σκάψουμε λίγο στα κρεβάτια και το βράδυ να καθίσουμε σε μια κουνιστή καρέκλα δίπλα στη φωτιά και να μην σκεφτόμαστε τίποτα. Απλά χαλάρωσε. Γνωρίζουμε από πρώτο χέρι ότι η κηπουρική και η κηπουρική είναι ακριβή (κοπριά, λιπάσματα, σπορόφυτα), φόροι… Τι […]
• Συμβουλή 1: Πώς να προσδιορίσετε το νόμο της κατανομής Πώς να προσδιορίσετε το νόμο της κατανομής Πώς να δημιουργήσετε ένα διάγραμμα Pareto Πώς να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία εάν η διακύμανση είναι γνωστή - μια μαθηματική αναφορά. - ένα απλό μολύβι - σημειωματάριο; - ένα στυλό. Κανονικός νόμος διανομής το 2018 Συμβουλή 2: Πώς να […]
• 3. ΤΥΧΑΙΕΣ ΤΙΜΕΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Μια τυχαία μεταβλητή είναι μια μεταβλητή που, ως αποτέλεσμα δοκιμών που πραγματοποιούνται υπό τις ίδιες συνθήκες, λαμβάνει διαφορετικές, γενικά μιλώντας, τιμές που εξαρτώνται από τυχαίους παράγοντες που δεν λαμβάνονται υπόψη. Παραδείγματα τυχαίων μεταβλητών: ο αριθμός των πόντων που μειώθηκαν στο […]
• Διάβαση εκκαθάρισης Stot-συνολική έκταση του αντικειμένου, km 2. N τότε - ο αριθμός των επηρεαζόμενων στοιχείων του αντικειμένου (κτίρια, εργαστήρια, κατασκευές, συστήματα). Ntotal - ο συνολικός αριθμός των στοιχείων του αντικειμένου. Η ακόλουθη έκφραση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του αριθμού των θυμάτων: όπου Spor είναι ο αριθμός των θυμάτων σε μια ξαφνική έκρηξη. Lc είναι ο αριθμός των εργαζομένων αυτού του […]
• Οι νόμοι της ακτινοβολίας του Stefan Boltzmann Για τα πραγματικά σώματα, ο νόμος Stefan-Boltzmann εκπληρώνεται μόνο ποιοτικά, δηλαδή, με την αύξηση της θερμοκρασίας, οι ενεργειακές φωτεινότητες όλων των σωμάτων αυξάνονται. Ωστόσο, για τα πραγματικά σώματα, η εξάρτηση της ενεργειακής φωτεινότητας από τη θερμοκρασία δεν περιγράφεται πλέον με μια απλή σχέση (16,7), αλλά […]

Εξετάστε τις διακριτές διανομές που χρησιμοποιούνται συχνά στη μοντελοποίηση συστημάτων υπηρεσιών.

Κατανομή Bernoulli. Το σχήμα Bernoulli είναι μια ακολουθία ανεξάρτητων δοκιμών, σε καθεμία από τις οποίες είναι πιθανές μόνο δύο εκβάσεις - "επιτυχία" και "αποτυχία" με πιθανότητες Rκαι q = 1 - R.Αφήστε την τυχαία μεταβλητή Χμπορεί να πάρει δύο τιμές με αντίστοιχες πιθανότητες:

Η συνάρτηση κατανομής Bernoulli έχει τη μορφή

Το γράφημα του φαίνεται στο Σχ. 11.1.

Μια τυχαία μεταβλητή με τέτοια κατανομή ισούται με τον αριθμό των επιτυχιών σε μια δοκιμή του σχήματος Bernoulli.

Η συνάρτηση παραγωγής, σύμφωνα με τις (11.1) και (11.15), υπολογίζεται ως

Ρύζι. 11.1.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (11.6), βρίσκουμε τη μαθηματική προσδοκία της κατανομής:

Υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης παραγωγής σύμφωνα με την (11.17)

Με το (11.7) λαμβάνουμε τη διακύμανση κατανομής

Η διανομή Bernoulli παίζει μεγάλο ρόλοστη θεωρία της μαζικής υπηρεσίας, είναι ένα μοντέλο οποιουδήποτε τυχαίου πειράματος, τα αποτελέσματα του οποίου ανήκουν σε δύο αμοιβαία αποκλειόμενες κατηγορίες.

Γεωμετρική κατανομή. Ας υποθέσουμε ότι τα γεγονότα διαδραματίζονται σε διακριτικές στιγμέςχρόνο ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός είναι R,και η πιθανότητα να μην συμβεί είναι q = 1-p,Για παράδειγμα, ένας πελάτης που έχει έρθει για να κάνει μια παραγγελία.

Σημειώστε με r νατην πιθανότητα ότι ένα γεγονός θα συμβεί 1η φορά τη φορά προς την,εκείνοι. προς την-ο πελάτης έκανε μια παραγγελία και η προηγούμενη προς την- 1 χωρίς πελάτες. Τότε η πιθανότητα αυτού του σύνθετου γεγονότος μπορεί να προσδιοριστεί από το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων

Οι πιθανότητες γεγονότων με γεωμετρική κατανομή φαίνονται στο σχ. 11.2.

Το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των πιθανών γεγονότων

είναι μια γεωμετρική πρόοδος, επομένως η κατανομή ονομάζεται γεωμετρικός.Από (1 - R)

Τυχαία τιμή XsΗ γεωμετρική κατανομή έχει την έννοια του αριθμού της πρώτης επιτυχημένης δοκιμής στο σχήμα Bernoulli.

Ρύζι. 11.2.

Προσδιορίστε την πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός Χ>κ

και τη συνάρτηση γεωμετρικής κατανομής

Ας υπολογίσουμε τη συνάρτηση παραγωγής της γεωμετρικής κατανομής σύμφωνα με τις (11.1) και (11.20)

μαθηματική προσδοκία της γεωμετρικής κατανομής σύμφωνα με την (11.6)

και η διασπορά σύμφωνα με το (11.7)

Η γεωμετρική κατανομή θεωρείται ότι είναι μια διακριτή εκδοχή της συνεχούς εκθετικής κατανομής και έχει επίσης μια σειρά από ιδιότητες χρήσιμες για τη μοντελοποίηση συστημάτων υπηρεσιών. Συγκεκριμένα, όπως η εκθετική κατανομή, η γεωμετρική κατανομή δεν έχει μνήμη:

εκείνοι. εάν / απέτυχαν πειράματα, τότε η πιθανότητα ότι για την πρώτη επιτυχία είναι απαραίτητο να διεξαχθούν περισσότερα ιτων νέων δοκιμών είναι η ίδια με την πιθανότητα ότι μια νέα σειρά δοκιμών απαιτεί μια πρώτη επιτυχία. /" δοκιμές. Με άλλα λόγια, οι προηγούμενες δοκιμές δεν έχουν καμία επίδραση στις μελλοντικές δοκιμές και οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες. Συχνά αυτό ισχύει. τυχαία.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα συστήματος του οποίου οι παράμετροι λειτουργίας υπόκεινται σε γεωμετρική κατανομή.

Ο πλοίαρχος έχει στη διάθεσή του Ππανομοιότυπα ανταλλακτικά. Κάθε λεπτομέρεια είναι πιθανή qέχει ελάττωμα. Κατά την επισκευή, το εξάρτημα τοποθετείται στη συσκευή, η οποία ελέγχεται για λειτουργικότητα. Εάν η συσκευή δεν λειτουργεί, τότε το εξάρτημα αντικαθίσταται με άλλο. Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή Χ- τον αριθμό των προς έλεγχο εξαρτημάτων.

Οι πιθανότητες του αριθμού των ελεγμένων εξαρτημάτων θα έχουν τις τιμές που φαίνονται στον πίνακα:

					rya"~ x

Εδώ q = 1 - R.

Η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των ελεγμένων τμημάτων ορίζεται ως

Διωνυμική κατανομή. Θεωρήστε μια τυχαία μεταβλητή

όπου Xjυπακούει στην κατανομή Bernoulli με την παράμετρο Rκαι τυχαίες μεταβλητές Xjανεξάρτητος.

Τυχαία τιμή Χθα είναι ίσος με τον αριθμό των εμφανίσεων των μονάδων στο Πδοκιμές, δηλ. μια τυχαία μεταβλητή με διωνυμική κατανομή έχει την έννοια του αριθμού των επιτυχιών σε Πανεξάρτητα τεστ.

Σύμφωνα με την (11.9), η συνάρτηση δημιουργίας του αθροίσματος των αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, καθεμία από τις οποίες έχει κατανομή Bernoulli, είναι ίση με το γινόμενο των συναρτήσεων παραγωγής τους (11.17):

Επεκτείνοντας τη συνάρτηση παραγωγής (11.26) σε μια σειρά, λαμβάνουμε

Σύμφωνα με τον ορισμό της συνάρτησης παραγωγής (11.1), η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Χθα πάρει το νόημα προς την:

όπου είναι διωνυμικοί συντελεστές.

11από & μονάδες ανά ΠΟι θέσεις μπορούν να ταξινομηθούν με C* τρόπους, και στη συνέχεια ο αριθμός των δειγμάτων που περιέχει προς τηνπροφανώς οι μονάδες θα είναι ίδιες.

Η συνάρτηση κατανομής για τον διωνυμικό νόμο υπολογίζεται από τον τύπο

Η κατανομή ονομάζεται διωνυμικόςλόγω του γεγονότος ότι οι πιθανότητες σε μορφή είναι όροι της επέκτασης του διωνύμου:

Είναι σαφές ότι η συνολική πιθανότητα όλων των πιθανών αποτελεσμάτων είναι ίση με 1:

Από το (11.29) μπορεί κανείς να αποκτήσει μια σειρά από χρήσιμες ιδιότητες διωνυμικών συντελεστών. Για παράδειγμα, όταν R =1, q=1 παίρνουμε

Αν βάλουμε R =1, q= - 1, λοιπόν

Για οποιοδήποτε 1k, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

Οι πιθανότητες ότι σε Πδοκιμές, το συμβάν θα συμβεί: 1) λιγότερο από × 2) περισσότερα προς τηνμια φορά; 3) τουλάχιστον × 4) όχι περισσότερο από & φορές, βρείτε, αντίστοιχα, σύμφωνα με τους τύπους:

Χρησιμοποιώντας το (11.6), ορίζουμε την προσδοκία της διωνυμικής κατανομής

και σύμφωνα με (11.7) - διασπορά:

Ας εξετάσουμε αρκετά παραδείγματα συστημάτων των οποίων οι παράμετροι λειτουργίας περιγράφονται από τη διωνυμική κατανομή.

1. Μια παρτίδα 10 προϊόντων περιέχει ένα μη τυποποιημένο. Ας βρούμε την πιθανότητα ότι με ένα τυχαίο δείγμα 5 προϊόντων, όλα θα είναι τυπικά (γεγονός ΑΛΛΑ).

Αριθμός όλων των τυχαίων δειγμάτων ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ, e 0 , και ο αριθμός των δειγμάτων που ευνοούν το συμβάν είναι Π= C 9 5 . Έτσι, η επιθυμητή πιθανότητα είναι ίση με

2. Στην είσοδο ενός νέου διαμερίσματος, 2 προς τηννέες ηλεκτρικές λάμπες. Κάθε ηλεκτρική λάμπα καίγεται κατά τη διάρκεια του έτους με μια πιθανότητα R.Ας βρούμε την πιθανότητα ότι κατά τη διάρκεια του έτους τουλάχιστον οι μισοί από τους αρχικά αναμμένους λαμπτήρες θα πρέπει να αντικατασταθούν με νέους (το συμβάν ΑΛΛΑ):

3. Ένα άτομο που ανήκει σε μια συγκεκριμένη ομάδα καταναλωτών προτιμά το προϊόν 1 με πιθανότητα 0,2, το προϊόν 2 με πιθανότητα 0,3, το προϊόν 3 με πιθανότητα 0,4, το προϊόν 4 με πιθανότητα 0,1. Μια ομάδα 6 καταναλωτών. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων: ΑΛΛΑ -η ομάδα περιλαμβάνει τουλάχιστον 4 καταναλωτές που προτιμούν το προϊόν 3. ΣΤΟ-υπάρχει τουλάχιστον ένας καταναλωτής στην ομάδα που προτιμά το προϊόν 4.

Αυτές οι πιθανότητες είναι:

Για μεγάλα /? Οι υπολογισμοί πιθανοτήτων γίνονται περίπλοκοι, επομένως χρησιμοποιούνται οριακά θεωρήματα.

Τοπικό θεώρημα Laplace, σύμφωνα με την οποία η πιθανότητα R p (k)καθορίζεται από τον τύπο

όπου - Γκαουσιανή συνάρτηση.

Ολοκληρωτικό θεώρημα Laplaceχρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της πιθανότητας ότι Πανεξάρτητες δοκιμές, το συμβάν θα συμβεί τουλάχιστον προς την (μια φορά και όχι άλλη έως 2μια φορά:

Ας εξετάσουμε παραδείγματα χρήσης αυτών των θεωρημάτων.

1. Το εργαστήριο ραπτικής παράγει ρούχα στα μέτρα σας, μεταξύ των οποίων το 90% είναι της υψηλότερης ποιότητας. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 200 προϊόντων να υπάρχουν τουλάχιστον 160 και το πολύ 170 της υψηλότερης ποιότητας.

Λύση:

2. Μια ασφαλιστική εταιρεία έχει 12.000 πελάτες. Καθένας από αυτούς, ασφαλίζοντας τον εαυτό του από ατύχημα, συνεισφέρει 10 χιλιάδες ρούβλια. Πιθανότητα ατυχήματος R - 0,006 και η πληρωμή στο θύμα 1 εκατομμυρίου ρούβλια. Ας βρούμε το κέρδος της ασφαλιστικής εταιρείας, που παρέχεται με πιθανότητα 0,995? Με άλλα λόγια, τι κέρδος μπορεί να περιμένει η ασφαλιστική εταιρεία σε επίπεδο κινδύνου 0,005.

Λύση: Η συνολική συνεισφορά όλων των πελατών είναι 12.000-10.000 = 120 εκατομμύρια ρούβλια. Το κέρδος της εταιρείας εξαρτάται από τον αριθμό προς τηνατυχήματα και καθορίζεται από την ισότητα R = 120.000-1000 /: χιλιάδες ρούβλια.

Επομένως, είναι απαραίτητο να βρεθεί ένας τέτοιος αριθμός Α/ ώστε η πιθανότητα του γεγονότος P(k > M)δεν ξεπέρασε το 0,005. Στη συνέχεια, με πιθανότητα 0,995, θα παρέχεται κέρδος R = 120.000-10.004 / χιλιάδες ρούβλια.

Ανισότητα P(k > M) P(k0,995. Από προς > 0, λοιπόν R( 0 0,995. Για να υπολογίσουμε αυτή την πιθανότητα, χρησιμοποιούμε το ολοκληρωτικό θεώρημα Laplace για Π- 12.000 και /?=0,006, #=0,994:

Επειδή*! F(x]) = -0,5.

Έτσι, είναι απαραίτητο να βρεθεί το Α/ για το οποίο

Βρίσκουμε (Μ- 72)/8,5 > 2,58. Συνεπώς, M>12 + 22 = 94.

Άρα με πιθανότητα 0,995 η εταιρεία εγγυάται κέρδος

Συχνά είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ο πιο πιθανός αριθμός έως 0.Πιθανότητα εκδήλωσης με πλήθος επιτυχιών έως 0υπερβαίνει ή τουλάχιστον όχι λιγότερο από την πιθανότητα άλλων πιθανών αποτελεσμάτων της δοκιμής. Πιθανότερος αριθμός έως 0καθορίζεται από τη διπλή ανισότητα

3. Ας υπάρξουν 25 δείγματα καταναλωτικών αγαθών. Η πιθανότητα ότι καθένα από τα δείγματα θα είναι αποδεκτό από τον πελάτη είναι 0,7. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ο πιο πιθανός αριθμός δειγμάτων που θα είναι αποδεκτά από τους πελάτες. Μέχρι (11.39)

Από εδώ έως 0 - 18.

Κατανομή Poisson. Η κατανομή Poisson καθορίζει την πιθανότητα ότι, δεδομένου ενός πολύ μεγάλου αριθμού δοκιμών, Π,σε καθένα από τα οποία η πιθανότητα ενός γεγονότος Rπολύ μικρό, το συμβάν θα συμβεί ακριβώς στο schz.

Αφήστε τη δουλειά pr \u003d k;αυτό σημαίνει ότι ο μέσος αριθμός εμφανίσεων ενός συμβάντος σε διαφορετικές σειρές δοκιμών, π.χ. σε διάφορα Π,παραμένει αναλλοίωτο. Σε αυτήν την περίπτωση, η κατανομή Poisson μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προσεγγίσει τη διωνυμική κατανομή:

Αφού για μεγάλο Π

Η συνάρτηση παραγωγής της κατανομής Poisson υπολογίζεται από το (11.1) ως

όπου με τον τύπο Maclaurin

Σύμφωνα με την ιδιότητα των συντελεστών της συνάρτησης δημιουργίας, η πιθανότητα εμφάνισης προς τηνεπιτυχίες με μέσο αριθμό επιτυχιών Χυπολογίζεται ως (11.40).

Στο σχ. Το 11.3 δείχνει την πυκνότητα πιθανότητας της κατανομής Poisson.

Η συνάρτηση δημιουργίας της κατανομής Poisson μπορεί επίσης να ληφθεί χρησιμοποιώντας την επέκταση σειρών της συνάρτησης παραγωγής της διωνυμικής κατανομής για pr \u003d Xστο Π-» oo και ο τύπος Maclaurin (11.42):

Ρύζι. 11.3.

Ορίζουμε τη μαθηματική προσδοκία με το (11.6)

και η διασπορά σύμφωνα με το (11.7)

Εξετάστε ένα παράδειγμα συστήματος με κατανομή παραμέτρων Poisson.

Η εταιρεία έστειλε 500 προϊόντα στο κατάστημα. Η πιθανότητα ζημιάς του προϊόντος κατά τη μεταφορά είναι 0,002. Βρείτε τις πιθανότητες να καταστραφούν τα προϊόντα κατά τη μεταφορά: ακριβώς 3 (γεγονός R). λιγότερο από 3 (συμβάν ΣΤΟ)περισσότερα από 3 (γεγονός Q, τουλάχιστον ένα (συμβάν ΡΕ).

Αριθμός Π= Το 500 είναι μεγάλο, πιθανότητα R= 0,002 είναι μικρό, τα εξεταζόμενα συμβάντα (ζημία προϊόντος) είναι ανεξάρτητα, επομένως μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο τύπος Poisson (11,40).

Στο x=pr= 500 0,002=1 παίρνουμε:

Η διανομή Poisson έχει μια σειρά από χρήσιμες ιδιότητες για τη μοντελοποίηση συστημάτων υπηρεσιών.

1. Άθροισμα τυχαίων μεταβλητών X \u003d X ( + X 2με κατανομή Poisson κατανέμεται επίσης σύμφωνα με το νόμο του Poisson.

Εάν οι τυχαίες μεταβλητές έχουν συναρτήσεις δημιουργίας:

τότε, σύμφωνα με την (11.9), η συνάρτηση δημιουργίας του αθροίσματος ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με κατανομή Poisson θα έχει τη μορφή:

Η παράμετρος της κατανομής που προκύπτει είναι X x + X 2.

2. Αν ο αριθμός των στοιχείων./V του συνόλου υπακούει στην κατανομή Poisson με την παράμετρο Χκαι κάθε στοιχείο επιλέγεται ανεξάρτητα με πιθανότητα R,τότε τα δείγματα στοιχείων μεγέθους Υκατανέμεται σύμφωνα με το νόμο Poisson με την παράμετρο pX.

Αφήνω , όπου αντιστοιχεί στην κατανομή Bernoulli, και Ν- Διανομή Poisson. Οι αντίστοιχες συναρτήσεις παραγωγής, σύμφωνα με τις (11.17), (11.41):

Δημιουργία συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Υυπολογίζεται σύμφωνα με την (11.14)

εκείνοι. η συνάρτηση δημιουργίας αντιστοιχεί στην κατανομή Poisson με την παράμετρο pX.

3. Ως συνέπεια της ιδιότητας 2, ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα. Αν ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου κατανέμεται σύμφωνα με τον νόμο Poisson με την παράμετρο Χκαι το σύνολο κατανέμεται τυχαία με πιθανότητες /?, και σελ 2 = 1 - Rσε δύο ομάδες, τότε τα μεγέθη των σετ είναι 7V και Ν 2είναι ανεξάρτητες και κατανεμημένες σε Poisson με παραμέτρους p(kκαι p(k.

Για ευκολία στη χρήση, παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα που ελήφθησαν σε σχέση με διακριτές κατανομέςσε μορφή πίνακα. 11.1 και 11.2.

Πίνακας 11.1. Κύρια χαρακτηριστικά διακριτών κατανομών

Διανομή	Πυκνότητα	Εύρος	Επιλογές	tn |		Γ Χ--2
Μπερνούλι	P(X = ) = p P (X = 0} = R + Z= 1	Π - 0,1
Γεωμετρικός	p(-p) έως - 1	k = 1,2,...			^ 1 1 |	1 -Ρ
Διωνυμικός	με έως p έως (- R g σε	* = 1,2,...,#"			pr( - p)	1 -r πρ
Poisson	Ε προς την!	k = 1,2,...

Πίνακας 11. 2. Δημιουργία συναρτήσεων διακριτών κατανομών

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΕΣΤ

• 1. Ποιες κατανομές πιθανοτήτων ταξινομούνται ως διακριτές;
• 2. Τι είναι η συνάρτηση παραγωγής και σε τι χρησιμεύει;
• 3. Πώς να υπολογίσετε τις ροπές των τυχαίων μεταβλητών χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση δημιουργίας;
• 4. Ποια είναι η συνάρτηση παραγωγής του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών;
• 5. Τι ονομάζεται σύνθετη κατανομή και πώς υπολογίζονται οι συναρτήσεις παραγωγής των σύνθετων κατανομών;
• 6. Δώστε τα κύρια χαρακτηριστικά της κατανομής Bernoulli, δώστε ένα παράδειγμα χρήσης της σε εργασίες σέρβις.
• 7. Δώστε τα κύρια χαρακτηριστικά της γεωμετρικής κατανομής, δώστε ένα παράδειγμα χρήσης σε εργασίες σέρβις.
• 8. Δώστε τα κύρια χαρακτηριστικά της διωνυμικής κατανομής, δώστε ένα παράδειγμα χρήσης σε εργασίες υπηρεσίας.
• 9. Δώστε τα κύρια χαρακτηριστικά της διανομής Poisson, δώστε ένα παράδειγμα χρήσης της σε εργασίες σέρβις.

Ορισμός 3.Ο Χ έχει νόμος κανονικής κατανομής (νόμος Gaussian),αν η πυκνότητα κατανομής του έχει τη μορφή:

όπου m = M(Χ), σ 2=Δ(Χ), σ > 0 .

Η καμπύλη κανονικής κατανομής ονομάζεται κανονική ή γκαουσιανή καμπύλη(Εικ. 6.7).

Μια κανονική καμπύλη είναι συμμετρική ως προς μια ευθεία γραμμή x = m, έχει μέγιστο στο σημείο x = m, ίσος .

Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής X, που κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο, εκφράζεται ως προς τη συνάρτηση Laplace Ф( Χ) σύμφωνα με τον τύπο:

ΦΑ( Χ) είναι η συνάρτηση Laplace.

Σχόλιο.Συνάρτηση F( Χ) είναι περίεργο (Φ(- Χ) = -Φ( Χ)), επιπλέον, όταν Χ> 5 μπορεί να θεωρηθεί F( Χ) ≈ 1/2.

Πίνακας τιμών της συνάρτησης Ф( Χ) δίνεται στο παράρτημα (Πίνακας P 2.2).

Διάγραμμα συνάρτησης διανομής φά(Χ) φαίνεται στο Σχ. 6.8.

Η πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή X θα λάβει τιμές που ανήκουν στο διάστημα ( α;β) υπολογίζονται με τον τύπο:

R(ένα< Χ < b ) = .

Η πιθανότητα η απόλυτη τιμή της απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία να είναι μικρότερη από έναν θετικό αριθμό δ υπολογίζεται από τον τύπο:

Π(| Χ -m| .

Ειδικότερα, όταν Μ=0 η ισότητα είναι αληθής:

Π(| Χ | .

"Κανόνας Τριών Σίγμα"

Αν η τυχαία μεταβλητή Χέχει κανονικό νόμο κατανομής με παραμέτρους Μκαι σ, τότε είναι σχεδόν βέβαιο ότι οι τιμές του περιέχονται στο διάστημα ( Μ 3σ; Μ+ 3σ), επειδή Π(| Χ -m| = 0,9973.

Πρόβλημα 6.3.Τυχαία τιμή Χκατανέμεται κανονικά με μέσο όρο 32 και διακύμανση 16. Βρείτε: α) πυκνότητα κατανομής πιθανότητας φά(Χ) Το X θα πάρει μια τιμή από το διάστημα (28;38).

Λύση:Κατά συνθήκη Μ= 32, σ 2 = 16, επομένως, σ= 4, τότε

ένα)

β) Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

R(ένα< Χ )= .

Αντικατάσταση ένα= 28, σι= 38, Μ= 32, σ= 4, παίρνουμε

R(28< Χ < 38)= F(1,5) F(1)

Σύμφωνα με τον πίνακα τιμών της συνάρτησης Ф( Χ) βρίσκουμε Ф(1,5) = 0,4332, Ф(1) = 0,3413.

Άρα η επιθυμητή πιθανότητα είναι:

Π(28

Καθήκοντα

6.1. Τυχαία τιμή Χομοιόμορφα κατανεμημένα στο διάστημα (-3;5). Εύρημα:

α) πυκνότητα κατανομής φά(Χ);

β) συναρτήσεις διανομής φά(Χ);

γ) αριθμητικά χαρακτηριστικά.

δ) πιθανότητα R(4<Χ<6).

6.2. Τυχαία τιμή Χομοιόμορφα κατανεμημένες στο τμήμα. Εύρημα:

α) πυκνότητα κατανομής φά(Χ);

β) συνάρτηση διανομής φά(Χ);

γ) αριθμητικά χαρακτηριστικά.

δ) πιθανότητα R(3≤Χ≤6).

6.3. Στον αυτοκινητόδρομο τοποθετείται αυτόματο φανάρι, στον οποίο ανάβει το πράσινο φως για 2 λεπτά, το κίτρινο για 3 δευτερόλεπτα και το κόκκινο για 30 δευτερόλεπτα κ.λπ. Ένα αυτοκίνητο οδηγεί στον αυτοκινητόδρομο σε τυχαία στιγμή. Βρείτε την πιθανότητα το αυτοκίνητο να περάσει το φανάρι χωρίς να σταματήσει.

6.4. Τα τρένα του μετρό εκτελούνται τακτικά σε διαστήματα 2 λεπτών. Ο επιβάτης μπαίνει στην πλατφόρμα σε τυχαία στιγμή. Ποια είναι η πιθανότητα ο επιβάτης να περιμένει περισσότερα από 50 δευτερόλεπτα για το τρένο; Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χ- χρόνος αναμονής τρένου.

6.5. Βρείτε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση της εκθετικής κατανομής που δίνεται από τη συνάρτηση κατανομής:

6.6. Συνεχής τυχαία μεταβλητή Χδίνεται από την πυκνότητα κατανομής πιθανότητας:

α) Να ονομάσετε τον νόμο κατανομής της θεωρούμενης τυχαίας μεταβλητής.

β) Να βρείτε τη συνάρτηση κατανομής φά(Χ) και αριθμητικά χαρακτηριστικά της τυχαίας μεταβλητής Χ.

6.7. Τυχαία τιμή Χκατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο, που δίνεται από την πυκνότητα κατανομής πιθανότητας:

Χθα πάρει μια τιμή από το διάστημα (2,5;5).

6.8. Συνεχής τυχαία μεταβλητή Χκατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο που δίνεται από τη συνάρτηση κατανομής:

Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής Χθα πάρει την τιμή από το διάστημα .

6.9. Η μαθηματική προσδοκία και η τυπική απόκλιση μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής είναι 8 και 2, αντίστοιχα. Βρείτε:

α) πυκνότητα διανομή f(Χ);

β) την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα του τεστ Χθα πάρει μια τιμή από το διάστημα (10;14).

6.10. Τυχαία τιμή Χκανονικά κατανέμεται με μέσο όρο 3,5 και διακύμανση 0,04. Εύρημα:

α) πυκνότητα κατανομής φά(Χ);

β) την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα του τεστ Χθα πάρει την τιμή από το διάστημα .

6.11. Τυχαία τιμή Χδιανέμεται κανονικά με Μ(Χ) = 0 και ρε(Χ)= 1. Ποιο από τα γεγονότα: | Χ|≤0,6 ή | Χ|≥0,6 έχει μεγάλη πιθανότητα;

6.12. Τυχαία τιμή Χδιανέμεται κανονικά με Μ(Χ) = 0 και ρε(Χ)= 1. Από ποιο διάστημα (-0,5; -0,1) ή (1; 2) σε ένα τεστ θα λάβει τιμή με μεγαλύτερη πιθανότητα;

6.13. Η τρέχουσα τιμή ανά μετοχή μπορεί να διαμορφωθεί χρησιμοποιώντας την κανονική διανομή με Μ(Χ)= 10 μέρες μονάδες και σ( Χ) = 0,3 den. μονάδες Εύρημα:

α) η πιθανότητα η τρέχουσα τιμή της μετοχής να είναι από 9,8 den. μονάδες έως 10,4 den. μονάδες?

β) χρησιμοποιώντας τον «κανόνα των τριών σίγμα» για να βρείτε τα όρια στα οποία θα βρίσκεται η τρέχουσα τιμή της μετοχής.

6.14. Η ουσία ζυγίζεται χωρίς συστηματικά σφάλματα. Τα τυχαία σφάλματα ζύγισης υπόκεινται στον κανονικό νόμο με τυπική απόκλιση σ= 5r. Να βρείτε την πιθανότητα σε τέσσερα ανεξάρτητα πειράματα το σφάλμα σε τρεις ζυγίσεις να μην υπερβαίνει τα 3 g σε απόλυτη τιμή.

6.15. Τυχαία τιμή Χδιανέμεται κανονικά με Μ(Χ)= 12.6. Η πιθανότητα να πέσει μια τυχαία μεταβλητή στο διάστημα (11,4; 13,8) είναι 0,6826. Βρείτε την τυπική απόκλιση σ.

6.16. Τυχαία τιμή Χδιανέμεται κανονικά με Μ(Χ) = 12 και ρε(Χ) = 36. Βρείτε το διάστημα στο οποίο, με πιθανότητα 0,9973, η τυχαία μεταβλητή θα πέσει ως αποτέλεσμα της δοκιμής Χ.

6.17. Ένα εξάρτημα που παράγεται από αυτόματο μηχάνημα θεωρείται ελαττωματικό εάν η απόκλιση ΧΗ ελεγχόμενη παράμετρός του από την ονομαστική τιμή υπερβαίνει κατά modulo 2 μονάδες μέτρησης. Υποτίθεται ότι η τυχαία μεταβλητή Χδιανέμεται κανονικά με Μ(Χ) = 0 και σ( Χ) = 0,7. Τι ποσοστό ελαττωματικών εξαρτημάτων βγάζει το μηχάνημα;

3.18. Παράμετρος ΧΤα μέρη κατανέμονται κανονικά με μαθηματική προσδοκία 2 ίση με την ονομαστική τιμή και τυπική απόκλιση 0,014. Βρείτε την πιθανότητα ότι η απόκλιση Χαπό το modulo ονομαστικής αξίας δεν θα υπερβαίνει το 1% της ονομαστικής αξίας.

Απαντήσεις

σε) Μ(Χ)=1, ρε(Χ)=16/3, σ( Χ)= 4/, δ) 1/8.

σε) Μ(Χ)=4,5, ρε(Χ) =2 , σ ( Χ)= , δ) 3/5.

6.3. 40/51.

6.4. 7/12, Μ(Χ)=1.

6.5. ρε(Χ) = 1/64, σ ( Χ)=1/8

6.6. Μ(Χ)=1 , ρε(Χ) =2 , σ ( Χ)= 1 .

6.7. P(2.5<Χ<5)=μι -1 μι -2 ≈0,2325 6.8. Р(2≤ Χ≤5)=0,252.

σι) R(10 < Χ < 14) ≈ 0,1574.

σι) R(3,1 ≤ Χ ≤ 3,7) ≈ 0,8185.

6.11. |Χ|≥0,6.

6.12. (-0,5; -0,1).

6.13. α) Р(9,8 ≤ Х ≤ 10,4) ≈ 0,6562 6.14. 0,111.

β) (9.1, 10.9).

6.15. σ = 1,2.

6.16. (-6; 30).

6.17. 0,4 %.

- ο αριθμός των αγοριών μεταξύ 10 νεογνών.

Είναι ξεκάθαρο ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι γνωστός εκ των προτέρων και στα επόμενα δέκα παιδιά που θα γεννηθούν μπορεί να υπάρχουν:

Ή αγόρια - ένα και μοναδικόαπό τις αναφερόμενες επιλογές.

Και, για να παραμείνουμε σε φόρμα, λίγη φυσική αγωγή:

- Απόσταση άλματος εις μήκος (σε ορισμένες μονάδες).

Ακόμη και ο κύριος του αθλητισμού δεν είναι σε θέση να το προβλέψει :)

Ωστόσο, ποιες είναι οι υποθέσεις σας;

2) Συνεχής τυχαία μεταβλητή - παίρνει όλααριθμητικές τιμές από κάποιο πεπερασμένο ή άπειρο εύρος.

Σημείωση : Οι συντομογραφίες DSV και NSV είναι δημοφιλείς στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία

Αρχικά, ας αναλύσουμε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή και μετά - συνεχής.

Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

- αυτό είναι συμμόρφωσημεταξύ των πιθανών τιμών αυτής της ποσότητας και των πιθανοτήτων τους. Τις περισσότερες φορές, ο νόμος γράφεται σε έναν πίνακα:

Ο όρος είναι αρκετά κοινός σειρά διανομή, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις ακούγεται διφορούμενο, και ως εκ τούτου θα τηρήσω τον «νόμο».

Και τώρα πολύ σημαντικό σημείο: αφού η τυχαία μεταβλητή αναγκαίωςθα δεχτεί μια από τις αξίες, τότε σχηματίζονται τα αντίστοιχα συμβάντα πλήρης ομάδακαι το άθροισμα των πιθανοτήτων εμφάνισής τους είναι ίσο με μία:

ή, αν είναι γραμμένο διπλωμένο:

Έτσι, για παράδειγμα, ο νόμος της κατανομής των πιθανοτήτων των σημείων σε μια μήτρα έχει την ακόλουθη μορφή:

Κανένα σχόλιο.

Μπορεί να έχετε την εντύπωση ότι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή μπορεί να λάβει μόνο "καλές" ακέραιες τιμές. Ας διαλύσουμε την ψευδαίσθηση - μπορεί να είναι οτιδήποτε:

Παράδειγμα 1

Ορισμένα παιχνίδια έχουν τον ακόλουθο νόμο διανομής κερδών:

…μάλλον ονειρευόσασταν πολύ καιρό για τέτοιες εργασίες :) Επιτρέψτε μου να σας πω ένα μυστικό - κι εγώ. Ειδικά μετά την ολοκλήρωση της εργασίας θεωρία πεδίου.

Λύση: δεδομένου ότι μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να λάβει μόνο μία από τις τρεις τιμές, σχηματίζονται τα αντίστοιχα συμβάντα πλήρης ομάδα, που σημαίνει ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με ένα:

Εκθέτουμε τον «κομματικό»:

– έτσι, η πιθανότητα να κερδίσετε συμβατικές μονάδες είναι 0,4.

Έλεγχος: τι πρέπει να βεβαιωθείτε.

Απάντηση:

Δεν είναι ασυνήθιστο όταν ο νόμος διανομής πρέπει να συντάσσεται ανεξάρτητα. Για αυτή τη χρήση κλασικός ορισμός της πιθανότητας, Θεωρήματα πολλαπλασιασμού / πρόσθεσης για πιθανότητες γεγονότωνκαι άλλες μάρκες τερβέρα:

Παράδειγμα 2

Υπάρχουν 50 λαχεία στο κουτί, 12 από τα οποία είναι κερδισμένα και 2 από αυτά κερδίζουν 1000 ρούβλια το καθένα και τα υπόλοιπα - 100 ρούβλια το καθένα. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής - το μέγεθος των κερδών, εάν ένα δελτίο τραβηχτεί τυχαία από το κουτί.

Λύση: όπως παρατηρήσατε, συνηθίζεται να τοποθετείτε τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής αύξουσα σειρά. Επομένως, ξεκινάμε με τα μικρότερα κέρδη, και συγκεκριμένα με ρούβλια.

Συνολικά, υπάρχουν 50 - 12 = 38 τέτοια εισιτήρια, και σύμφωνα με κλασικός ορισμός:
είναι η πιθανότητα να μην κερδίσει ένα δελτίο που κληρώθηκε τυχαία.

Οι υπόλοιπες περιπτώσεις είναι απλές. Η πιθανότητα να κερδίσετε ρούβλια είναι:

Έλεγχος: - και αυτή είναι μια ιδιαίτερα ευχάριστη στιγμή τέτοιων εργασιών!

Απάντηση: ο απαιτούμενος νόμος διανομής πληρωμών:

Το ακόλουθο καθήκον για μια ανεξάρτητη απόφαση:

Παράδειγμα 3

Η πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο είναι . Δημιουργήστε έναν νόμο κατανομής για μια τυχαία μεταβλητή - τον αριθμό των χτυπημάτων μετά από 2 βολές.

... Ήξερα ότι σου έλειψε :) Θυμόμαστε θεωρήματα πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης. Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ο νόμος κατανομής περιγράφει πλήρως μια τυχαία μεταβλητή, αλλά στην πράξη είναι χρήσιμο (και μερικές φορές πιο χρήσιμο) να γνωρίζουμε μόνο μερικές από αυτές. αριθμητικά χαρακτηριστικά .

Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Με απλά λόγια, αυτό μέση αναμενόμενη τιμήμε επαναλαμβανόμενες δοκιμές. Αφήστε μια τυχαία μεταβλητή να λάβει τιμές με πιθανότητες αντίστοιχα. Τότε η μαθηματική προσδοκία αυτής της τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με άθροισμα προϊόντωνόλες τις τιμές του με τις αντίστοιχες πιθανότητες:

ή σε διπλωμένη μορφή:

Ας υπολογίσουμε, για παράδειγμα, τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής - τον αριθμό των πόντων που έπεσαν σε ένα ζάρι:

Τώρα ας θυμηθούμε το υποθετικό μας παιχνίδι:

Γεννιέται το ερώτημα: είναι έστω και κερδοφόρο να παίζεις αυτό το παιχνίδι; ... ποιος έχει εντυπώσεις; Οπότε δεν μπορείς να πεις «παρεμπόδιστα»! Αλλά αυτή η ερώτηση μπορεί εύκολα να απαντηθεί με τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας, στην ουσία - σταθμισμένος μέσος όροςπιθανότητες νίκης:

Έτσι, η μαθηματική προσδοκία αυτού του παιχνιδιού χάνοντας.

Μην εμπιστεύεστε τις εντυπώσεις - εμπιστευθείτε τους αριθμούς!

Ναι, εδώ μπορείς να κερδίσεις 10 και μάλιστα 20-30 φορές στη σειρά, αλλά μακροπρόθεσμα αναπόφευκτα θα καταστραφούμε. Και δεν θα σας συμβούλευα να παίξετε τέτοια παιχνίδια :) Λοιπόν, ίσως μόνο για πλάκα.

Από όλα τα παραπάνω προκύπτει ότι η μαθηματική προσδοκία ΔΕΝ είναι ΤΥΧΑΙΑ τιμή.

Δημιουργική εργασία για ανεξάρτητη έρευνα:

Παράδειγμα 4

Ο Mr X παίζει ευρωπαϊκή ρουλέτα σύμφωνα με το ακόλουθο σύστημα: ποντάρει συνεχώς 100 ρούβλια στο κόκκινο. Να συνθέσετε τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής - την απόδοσή της. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία των κερδών και στρογγυλοποιήστε την στα καπίκια. Πως μέση τιμήχάνει ο παίκτης για κάθε εκατό στοίχημα;

Αναφορά : Η ευρωπαϊκή ρουλέτα περιέχει 18 κόκκινους, 18 μαύρους και 1 πράσινο τομέα («μηδέν»). Σε περίπτωση που πέσει ένα "κόκκινο", ο παίκτης πληρώνεται ένα διπλό στοίχημα, διαφορετικά πηγαίνει στα έσοδα του καζίνο

Υπάρχουν πολλά άλλα συστήματα ρουλέτας για τα οποία μπορείτε να δημιουργήσετε τους δικούς σας πίνακες πιθανοτήτων. Αλλά αυτό συμβαίνει όταν δεν χρειαζόμαστε νόμους και πίνακες διανομής, γιατί είναι βέβαιο ότι η μαθηματική προσδοκία του παίκτη θα είναι ακριβώς η ίδια. Αλλάζει μόνο από σύστημα σε σύστημα

Ως γνωστόν, τυχαία μεταβλητή ονομάζεται μεταβλητή που μπορεί να λάβει ορισμένες τιμές ανάλογα με την περίπτωση. Οι τυχαίες μεταβλητές υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (X, Y, Z) και οι τιμές τους - με τα αντίστοιχα πεζά γράμματα (x, y, z). Οι τυχαίες μεταβλητές χωρίζονται σε ασυνεχείς (διακριτές) και συνεχείς.

Διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι μια τυχαία μεταβλητή που παίρνει μόνο ένα πεπερασμένο ή άπειρο (μετρήσιμο) σύνολο τιμών με ορισμένες μη μηδενικές πιθανότητες.

Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι μια συνάρτηση που συνδέει τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Ο νόμος διανομής μπορεί να καθοριστεί με έναν από τους παρακάτω τρόπους.

1 . Ο νόμος διανομής μπορεί να δοθεί από τον πίνακα:

όπου λ>0, k = 0, 1, 2, … .

σε)με τη χρήση συνάρτηση κατανομής F(x) , που καθορίζει για κάθε τιμή x την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να πάρει τιμή μικρότερη από x, δηλ. F(x) = P(X< x).

Ιδιότητες της συνάρτησης F(x)

3 . Ο νόμος διανομής μπορεί να οριστεί γραφικά – πολύγωνο κατανομής (πολύγωνο) (βλ. πρόβλημα 3).

Σημειώστε ότι για να λυθούν κάποια προβλήματα δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζετε τον νόμο διανομής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, αρκεί να γνωρίζουμε έναν ή περισσότερους αριθμούς που αντικατοπτρίζουν τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά του νόμου διανομής. Μπορεί να είναι ένας αριθμός που έχει την έννοια της «μέσης τιμής» μιας τυχαίας μεταβλητής ή ένας αριθμός που δείχνει το μέσο μέγεθος της απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή της. Οι αριθμοί αυτού του είδους ονομάζονται αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής.

Βασικά αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής :

• Μαθηματική προσδοκία (μέση τιμή) μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής M(X)=Σ x i p i.
  Για διωνυμική κατανομή M(X)=np, για κατανομή Poisson M(X)=λ
• Διασπορά διακριτή τυχαία μεταβλητή D(X)=M2ή D(X) = M(X 2) − 2. Η διαφορά X–M(X) ονομάζεται απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία.
  Για διωνυμική κατανομή D(X)=npq, για κατανομή Poisson D(X)=λ
• Τυπική απόκλιση (τυπική απόκλιση) σ(X)=√D(X).

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με θέμα "Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής"

Εργασία 1.

Έχουν εκδοθεί 1000 λαχεία: 5 από αυτά κερδίζουν 500 ρούβλια, 10 - 100 ρούβλια, 20 - 50 ρούβλια, 50 - 10 ρούβλια. Προσδιορίστε τον νόμο της κατανομής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ - κέρδη ανά δελτίο.

Λύση. Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, είναι δυνατές οι ακόλουθες τιμές της τυχαίας μεταβλητής X: 0, 10, 50, 100 και 500.

Ο αριθμός των εισιτηρίων χωρίς νίκη είναι 1000 - (5+10+20+50) = 915, μετά P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Ομοίως, βρίσκουμε όλες τις άλλες πιθανότητες: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Παρουσιάζουμε τον νόμο που προκύπτει με τη μορφή πίνακα:

Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Εργασία 3.

Η συσκευή αποτελείται από τρία ανεξάρτητα λειτουργικά στοιχεία. Η πιθανότητα αστοχίας κάθε στοιχείου σε ένα πείραμα είναι 0,1. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των αποτυχημένων στοιχείων σε ένα πείραμα, δημιουργήστε ένα πολύγωνο κατανομής. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x) και σχεδιάστε την. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Λύση. 1. Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X=(αριθμός αποτυχημένων στοιχείων σε ένα πείραμα) έχει τις ακόλουθες πιθανές τιμές: x 1 =0 (κανένα από τα στοιχεία της συσκευής δεν απέτυχε), x 2 =1 (ένα στοιχείο απέτυχε), x 3 =2 ( δύο στοιχεία απέτυχαν ) και x 4 \u003d 3 (τρία στοιχεία απέτυχαν).

Οι αστοχίες στοιχείων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, οι πιθανότητες αστοχίας κάθε στοιχείου είναι ίσες μεταξύ τους, επομένως, ισχύει Ο τύπος του Bernoulli . Δεδομένου ότι, με συνθήκη, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, προσδιορίζουμε τις πιθανότητες των τιμών:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Έλεγχος: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Έτσι, ο επιθυμητός νόμος διωνυμικής κατανομής Χ έχει τη μορφή:

Στον άξονα της τετμημένης σχεδιάζουμε τις πιθανές τιμές x i και στον άξονα τεταγμένων τις αντίστοιχες πιθανότητες р i . Ας κατασκευάσουμε τα σημεία M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Συνδέοντας αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα, λαμβάνουμε το επιθυμητό πολύγωνο κατανομής.

3. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x) = P(X

Για x ≤ 0 έχουμε F(x) = P(X<0) = 0;
για 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
για 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
για 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
για x > 3 θα είναι F(x) = 1, γιατί το γεγονός είναι σίγουρο.

Γράφημα της συνάρτησης F(x)

4. Για τη διωνυμική κατανομή X:
- μαθηματική προσδοκία М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- διασπορά D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- τυπική απόκλιση σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.