Παρουσίαση τυχαίων μεταβλητών. Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Η πυκνότητα κατανομής και οι ιδιότητές της

Διακεκριμένες τυχαίες μεταβλητές Τυχαίες μεταβλητές που λαμβάνουν μόνο τιμές διαχωρισμένες μεταξύ τους, οι οποίες μπορούν να απαριθμηθούν εκ των προτέρων Παραδείγματα: - ο αριθμός των κεφαλών σε τρεις ρίψεις νομισμάτων. - ο αριθμός των χτυπημάτων στο στόχο με 10 βολές. - τον αριθμό των κλήσεων που λαμβάνονται στο σταθμό ασθενοφόρων ανά ημέρα.

Ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής είναι οποιαδήποτε σχέση που δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των αντίστοιχων πιθανοτήτων τους. Ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να δοθεί με τη μορφή: πίνακας γραφήματος ενός τύπου (αναλυτικά).

Υπολογισμός πιθανότητας πραγματοποίησης ορισμένων τιμών ενός τυχαίου αριθμού Ο αριθμός των κεφαλιών είναι 0 - συμβάντα: PP - πιθανότητα 0,5 *0,5 = 0,25 Ο αριθμός των κεφαλιών είναι ίσος με 1 - συμβάντα: P0 ή OP - πιθανότητα 0,5 *0,5 + 0,5*0,5 + 0,5*0,5 ο αριθμός των κεφαλών: -0,5 = -0,5 = 0,25 ,50 + 0,25 = 1

Υπολογισμός των τιμών μιας σειράς κατανομών ενός τυχαίου αριθμού Πρόβλημα. Ο σκοπευτής εκτοξεύει 3 βολές στο στόχο. Η πιθανότητα να χτυπήσει το στόχο με κάθε βολή είναι 0,4 Για κάθε χτύπημα, ο σκοπευτής απονέμεται 5 πόντους. Κατασκευάστε μια σειρά κατανομής του αριθμού των βαθμολογούμενων πόντων. Πιθανότητα γεγονότων: διωνυμική διανομή Ονομασία συμβάντος: επιτυχία - 1, χαμένη - 0 Πλήρης ομάδα γεγονότων: 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111 k = 0, 1, 2, 3

Σειρά διανομής ενός τυχαίου αριθμού βαθμολογούμενων σημείων συμβάντος αριθμός πόντων πιθανότητα συμβάντος 0.2160.4320.2880.064

Πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού τυχαίες μεταβλητέςΤο άθροισμα δύο τυχαίων μεταβλητών X και Y είναι μια τυχαία μεταβλητή που προκύπτει προσθέτοντας όλες τις τιμές της τυχαίας μεταβλητής X και όλες τις τιμές της τυχαίας μεταβλητής Y, οι αντίστοιχες πιθανότητες πολλαπλασιάζονται X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50,2

Πράξεις πρόσθεσης τυχαίων μεταβλητών Z = = =2 0+1 =1 0+2 =2 0+3 =3 1+1 =2 1+2 =3 1+3 =4 p 0.060.10.040.210.350.140.030.050.02

Πράξεις πολλαπλασιασμού τυχαίων μεταβλητών Το γινόμενο δύο τυχαίων μεταβλητών X και Y είναι μια τυχαία μεταβλητή, η οποία προκύπτει πολλαπλασιάζοντας όλες τις τιμές της τυχαίας μεταβλητής X και όλες τις τιμές της τυχαίας μεταβλητής Y, οι αντίστοιχες πιθανότητες πολλαπλασιάζονται X01 p0,20,70,1 p0,20,70,1, Y303,

Ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής F(X) 0 F(x) 1 F(X) - μη φθίνουσα συνάρτηση

Κύρια χαρακτηριστικά διακριτών τυχαίων μεταβλητών Αναμενόμενη αξία(μέση τιμή) μιας τυχαίας μεταβλητής ισούται με το άθροισμα των γινομένων των τιμών που λαμβάνονται από αυτή την τιμή από τις πιθανότητες που αντιστοιχούν σε αυτές: M (x) \u003d x 1 P 1 + x 2 P x n P n \u003d

Xixi PiPi x i P i (x i - M) 2 (x i - M) 2 P i 2 0,1 0,2 (2-3,6) 2 = 2,560,256 30,30,9 (3-3,6) 2 = 0,360,108 40,52) 120,50 = 40,52 (4-3,6). (5-3,6) 2 = 1,960,196 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Υπολογίστε τα βασικά αριθμητικά χαρακτηριστικά για τον αριθμό των παραγγελιών φαρμάκων που ελήφθησαν σε 1 ώρα M(x)=3,6 D(x)=0,64
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΑΝΑΓΝΩΣΗ: Κύρια λογοτεχνία: Ganicheva A.V., Kozlov V.P. Μαθηματικά για ψυχολόγους. M.: Aspect-press, 2005, με τον Pavlushkov I.V. Βασικές αρχές ανώτερων μαθηματικών και μαθηματικών στατιστικών. M., GEOTAR-Media, Zhurbenko L. Τα μαθηματικά σε παραδείγματα και προβλήματα. M .: Infra-M, Διδακτικά βοηθήματα: Shapiro L.A., Shilina N.G. Οδηγός πρακτικών ασκήσεων στην ιατρική και βιολογική στατιστική Krasnoyarsk: Polikom LLC. – 2003.

διαφάνεια 1

Περιγραφή της διαφάνειας:

διαφάνεια 2

Περιγραφή της διαφάνειας:

διαφάνεια 3

Περιγραφή της διαφάνειας:

διαφάνεια 4

Περιγραφή της διαφάνειας:

διαφάνεια 5

Περιγραφή της διαφάνειας:

Ας υποθέσουμε ότι εκτελούνται n ανεξάρτητες δοκιμές, καθεμία από τις οποίες μπορεί να οδηγήσει ή όχι στην εμφάνιση του συμβάντος Α. Έστω ότι η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α σε κάθε δοκιμή είναι ίση με p. Θεωρήστε μια τυχαία μεταβλητή - τον αριθμό των εμφανίσεων του συμβάντος Α σε n ανεξάρτητες δοκιμές. Το εύρος αποτελείται από όλους τους ακέραιους αριθμούς από 0 έως n συμπεριλαμβανομένων. Ο νόμος κατανομής πιθανότητας p(m) καθορίζεται από τον τύπο Bernoulli (13"): Ας υποθέσουμε ότι εκτελούνται n ανεξάρτητες δοκιμές, ως αποτέλεσμα καθεμιάς από τις οποίες μπορεί να συμβεί ή όχι το συμβάν Α. Έστω η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α σε κάθε δοκιμή ίση με p. Θεωρήστε μια τυχαία μεταβλητή - ο αριθμός των εμφανίσεων του γεγονότος A αποτελείται από όλες τις μεταβλητές σε 0 ανεξάρτητες τριάδες. Ο νόμος κατανομής πιθανότητας p(m) προσδιορίζεται από τον τύπο του Bernoulli (13"):

διαφάνεια 6

Περιγραφή της διαφάνειας:

Διαφάνεια 7

Περιγραφή της διαφάνειας:

Διαφάνεια 8

Οι πιθανότητες p(xi) υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli για n=10. Για x>6 είναι πρακτικά ίσα με μηδέν. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης p(x) φαίνεται στο σχ. 3. Οι πιθανότητες p(xi) υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli για n=10. Για x>6 είναι πρακτικά ίσα με μηδέν. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης p(x) φαίνεται στο σχ. 3.

Η μεθοδολογική ανάπτυξη είναι μια παρουσίαση σε ηλεκτρονική μορφή.

Αυτό μεθοδική ανάπτυξηπεριέχει 26 διαφάνειες με περίληψηθεωρητικό υλικό για την ενότητα Τυχαίες Μεταβλητές. Το θεωρητικό υλικό περιλαμβάνει την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και λογικά χωρίζεται σωστά σε δύο μέρη: μια διακριτή τυχαία μεταβλητή και μια συνεχή τυχαία μεταβλητή. Το θέμα του DSV περιλαμβάνει την έννοια του DSV και τις μεθόδους ρύθμισης, τα αριθμητικά χαρακτηριστικά του DSV (μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τυπική απόκλιση, αρχικές και κεντρικές ροπές, λειτουργία, διάμεσος). Δίνονται οι κύριες ιδιότητες των αριθμητικών χαρακτηριστικών του DSW και η μεταξύ τους σχέση. Στο θέμα του CV αντικατοπτρίζονται ομοίως οι παραπάνω έννοιες, ορίζονται οι συναρτήσεις κατανομής του CV και η πυκνότητα κατανομής του CV, υποδεικνύεται η μεταξύ τους σχέση και παρουσιάζονται οι κύριοι τύποι κατανομής του CV: ομοιόμορφες και κανονικές κατανομές.

γενικό μάθημα για το θέμα.

Αυτή η ανάπτυξη ισχύει:

• κατά τη μελέτη της ενότητας Τυχαίες μεταβλητές με επίδειξη μεμονωμένων διαφανειών για την αποτελεσματική αφομοίωση νέου υλικού μέσω της οπτικής αντίληψης,
• κατά την ενημέρωση των βασικών γνώσεων των μαθητών
• στην προετοιμασία των μαθητών για τελική πιστοποίησηκατά πειθαρχία.

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφανειών:

Περιεχόμενο τυχαίων μεταβλητών Διακριτή τυχαία μεταβλητή (RSV) Νόμος κατανομής των αριθμητικών χαρακτηριστικών SW των θεωρητικών στιγμών SWW του συστήματος SWW της διανομής DCW της διανομής της διανομής της πυκνότητας SwW κανονικός νόμοςδιανομή. Συνάρτηση Laplace

Τυχαίες μεταβλητές Μια τυχαία μεταβλητή (CV) είναι μια ποσότητα που, ως αποτέλεσμα ενός πειράματος, μπορεί να πάρει τη μία ή την άλλη τιμή και δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων ποια είναι πριν από το πείραμα. Χωρίζονται σε δύο τύπους: διακριτή SV (DSV) και συνεχή SV (NSV)

Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή (DSV) Η DSV είναι μια τέτοια μεταβλητή, ο αριθμός των πιθανών δοκιμών της οποίας είναι είτε πεπερασμένος είτε άπειρο σύνολο, αλλά αναγκαστικά μετρήσιμος. Για παράδειγμα, η συχνότητα των χτυπημάτων με 3 βολές - X x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 2, x 4 \u003d 3 DSV θα περιγραφεί πλήρως από πιθανολογική άποψη, εάν υποδεικνύεται ποια πιθανότητα έχει καθένα από τα γεγονότα.

Ο νόμος κατανομής του SW είναι μια σχέση που δημιουργεί μια σχέση μεταξύ της πιθανής τιμής του SW και των αντίστοιχων πιθανοτήτων. Έντυπα για τον προσδιορισμό του νόμου κατανομής: Πίνακας Νόμος διανομής CB X x 1 x 2 … x n P i p 1 p 2 … p n

2. Πολύγωνο κατανομής νόμος κατανομής DSV P i X i x 1 x 2 x 3 x 4 p 1 p 2 p 3 p 4 Πολύγωνο κατανομής

Αριθμητικά χαρακτηριστικά του DSV Η μαθηματική προσδοκία είναι το άθροισμα των γινομένων των τιμών CV και των πιθανοτήτων τους. Η μαθηματική προσδοκία είναι ένα χαρακτηριστικό της μέσης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής

Αριθμητικά χαρακτηριστικά του DSV Ιδιότητες μαθηματικής προσδοκίας:

Αριθμητικά χαρακτηριστικά DSV 2. Η διακύμανση του DSVH είναι η μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική προσδοκία. Η διασπορά χαρακτηρίζει το μέτρο της διασποράς των τιμών SW από τη μαθηματική προσδοκία Κατά την επίλυση προβλημάτων, είναι βολικό να υπολογιστεί η διασπορά χρησιμοποιώντας τον τύπο: - Τυπική απόκλιση

Αριθμητικά χαρακτηριστικά του DSW Ιδιότητες διασποράς:

Θεωρητικές ροπές του DSW Η αρχική ροπή τάξης k SVR είναι ο μαθηματικός λόγος Χ k

Σύστημα δύο SV Ένα σύστημα δύο SV (Χ Y) μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα τυχαίο σημείο στο επίπεδο. Το συμβάν που αποτελείται από το χτύπημα ενός τυχαίου σημείου (X Y) στην περιοχή D συμβολίζεται με (X, Y) ∩ D

Ένα σύστημα δύο DSW Ένας πίνακας που καθορίζει το νόμο κατανομής για ένα σύστημα δύο DSW Y X y 1 y 2 y 3 … y n x 1 p 11 p 12 p 13 … p 1n x 2 p 21 p 22 p 23 … p 2n x 3 p 31 p … m3 p … m … m3 p … … μ.μ

Αριθμητικά χαρακτηριστικά ενός συστήματος δύο DSW Μαθηματική προσδοκία και διακύμανση ενός συστήματος δύο DSW εξ ορισμού Κατά την επίλυση προβλημάτων, είναι βολικό να εφαρμόζεται ο τύπος

Το Continuous SW NSW είναι μια τέτοια ποσότητα, οι πιθανές τιμές της οποίας γεμίζουν συνεχώς ένα συγκεκριμένο διάστημα (πεπερασμένο ή άπειρο). Ο αριθμός όλων των πιθανών τιμών NSV είναι άπειρος. Παράδειγμα: Τυχαία απόκλισηαπό την απόσταση του σημείου πρόσκρουσης του βλήματος από τον στόχο.

Η συνάρτηση κατανομής του NSV Η συνάρτηση κατανομής ονομάζεται F(x) , η οποία καθορίζει για κάθε τιμή x την πιθανότητα το TSV να πάρει μια τιμή μικρότερη από x, δηλ. σύμφωνα με τον ορισμό F(x)=P(X

Συνάρτηση κατανομής της NSW Ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής: αν, τότε συμπέρασμα: Εάν όλες οι πιθανές τιμές x του SVR ανήκουν στο διάστημα (a;b) , τότε για a=b F(x)=0 Συμπέρασμα: 1. 2. 3. Η συνάρτηση κατανομής είναι συνεχής αριστερά

Συνάρτηση πυκνότητας κατανομής NSV Η συνάρτηση πυκνότητας κατανομής πιθανότητας είναι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης F(x) f(x)=F`(x). Η f(x) ονομάζεται διαφορική συνάρτηση. Η πιθανότητα ότι το CVSH θα λάβει τιμές που ανήκουν στο διάστημα (a;b) που υπολογίζεται με τον τύπο Γνωρίζοντας την πυκνότητα κατανομής, μπορείτε να βρείτε τη συνάρτηση κατανομής Ιδιότητες: , ειδικότερα, εάν όλες οι πιθανές τιμές του CB ανήκουν στο (a;b), τότε 1. 2.

Αριθμητικά χαρακτηριστικά του NSV Η μαθηματική προσδοκία του NSVH, του οποίου όλες οι πιθανές τιμές ανήκουν στο διάστημα (a;b), καθορίζεται από την ισότητα: Η διακύμανση του NSWH, του οποίου όλες οι πιθανές τιμές ανήκουν στο διάστημα (a;b), καθορίζεται από την ισότητα:

Αριθμητικά χαρακτηριστικά του NSV Η τυπική απόκλιση προσδιορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως και για το DSV: Η αρχική ροπή της k-ης τάξης του NSV καθορίζεται από την ισότητα:

Αριθμητικά χαρακτηριστικά του NSV Η κεντρική ροπή της kth τάξης του NSVH, της οποίας όλες οι πιθανές τιμές ανήκουν στο διάστημα (a:b), καθορίζεται από την ισότητα:

Αριθμητικά χαρακτηριστικά του NSV Εάν όλες οι πιθανές τιμές του NSVH ανήκουν σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα OX, τότε σε όλους τους παραπάνω τύπους οριστικό ολοκλήρωμααντικαθίσταται από ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα με άπειρα κάτω και άνω όρια

Καμπύλη κατανομής TSW Y X M 0 a b Το γράφημα της συνάρτησης f(x) ονομάζεται καμπύλη κατανομής καμπύλης κατανομής Γεωμετρικά, η πιθανότητα TSW να πέσει στο διάστημα (a; b) είναι ίση με την περιοχή του αντίστοιχου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από την καμπύλη κατανομής από τον άξονα OX και τις ευθείες x=b

Λειτουργία Η λειτουργία DSWR είναι η πιο πιθανή τιμή της. Ο τρόπος λειτουργίας NSWH είναι η τιμή του M 0 , στην οποία η πυκνότητα κατανομής είναι μέγιστη. Για να βρείτε τη λειτουργία NSW, είναι απαραίτητο να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης χρησιμοποιώντας την πρώτη ή τη δεύτερη παράγωγο. M 0 \u003d 2, επειδή 0,1 0,3 Γεωμετρικά, ο τρόπος είναι η τετμημένη εκείνου του σημείου της καμπύλης ή του πολυγώνου κατανομής, η τεταγμένη του οποίου είναι μέγιστη X 1 2 3 P 0,1 0,6 0,3 Y X M 0 a b

Διάμεσος Η διάμεσος του NSVR είναι η τιμή του M e, για την οποία είναι εξίσου πιθανό η τυχαία μεταβλητή να είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από M e, δηλ. P(x M e)=0,5 Μια τεταγμένη που σύρεται σε σημείο με τετμημένη ίση με M e διχοτομεί την περιοχή που οριοθετείται από την καμπύλη κατανομής ή το πολύγωνο. Αν η ευθεία x=a είναι ο άξονας συμμετρίας της καμπύλης κατανομής y=f(x), τότε M 0 =M e = M(X)= a

Ομοιόμορφη κατανομή πυκνότητας Ομοιόμορφη είναι η κατανομή τέτοιων SW, των οποίων όλες οι τιμές βρίσκονται σε ένα συγκεκριμένο τμήμα (a;b) και έχουν σταθερή πυκνότητα πιθανότητας σε αυτό το τμήμα Y X a b h Μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τυπική απόκλιση ενός ομοιόμορφα κατανεμημένου SW:

Κανονικός νόμος διανομής. Συνάρτηση Laplace Ο νόμος της κανονικής κατανομής χαρακτηρίζεται από πυκνότητα Η καμπύλη κατανομής είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x=a . Η μέγιστη τεταγμένη στο x=a είναι Y X x=a καμπύλη Gauss, κανονική καμπύλη Ο άξονας της τετμημένης είναι η ασύμπτωτη της καμπύλης y=f(x) Ф (x) - Συνάρτηση Laplace

Ερωτήσεις ελέγχου 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Τι είναι μια τυχαία μεταβλητή;
Ποιους τύπους τυχαίων μεταβλητών γνωρίζετε;
Τι είναι το Discrete Random;
Μέγεθος?
Ποιος είναι ο νόμος της διανομής
τυχαία μεταβλητή?
Πώς μπορώ να ορίσω το νόμο διανομής
τυχαία μεταβλητή?
Πώς μπορείτε να ορίσετε τον νόμο διανομής για το DSV;
Ποια είναι τα κύρια αριθμητικά χαρακτηριστικά
DSV και γράψτε τους τύπους για τον υπολογισμό τους.

1. Τύποι τυχαίων μεταβλητών

Μία από τις πιο σημαντικές έννοιες στο
θεωρίες
πιθανότητες
είναι
την έννοια της τυχαίας μεταβλητής.
Η ποσότητα ονομάζεται τυχαία.
εάν, ως αποτέλεσμα της εμπειρίας, μπορεί
αποδέχομαι
όποιος
εκ των προτέρων
άγνωστες τιμές.

τυχαίες μεταβλητές
CB
Διακριτές τυχαίες μεταβλητές
DSV
Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
NSV

Διακεκριμένος
τυχαίος
μέγεθος
(DSV)
–
Αυτό
τυχαία μεταβλητή, η οποία
δέχεται
ξεχωριστός
απομονωμένος,
αριθμητός
πολλές αξίες.
Παράδειγμα. Αριθμός επισκεπτών
κλινικές κατά τη διάρκεια της ημέρας.

συνεχής
τυχαίος
μέγεθος
(NSV)
–
Αυτό
τυχαίος
αξία,
παίρνοντας οποιαδήποτε αξία
από κάποιο διάστημα.
Παράδειγμα.
Βάρος
τυχαία
επιλεγμένο tablet από μερικά
φάρμακο.

Οι τυχαίες μεταβλητές δηλώνουν
Λατινικά κεφαλαία γράμματα
αλφάβητο: X, Y, Z, κ.λπ.,
και οι τιμές τους είναι αντίστοιχες
πεζά γράμματα: x, y, z κ.λπ.

Παράδειγμα.
Αν
τυχαίος
η ποσότητα Χ έχει τρεις πιθανές
αξίες, μπορούν να είναι
συμβολίζεται ως εξής: x1, x2, x3.
X: x1, x2, x3.

2. Κατανομή μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Νόμος διανομής DSV
που ονομάζεται
αλληλογραφία
μεταξύ
δυνατόν
αξίες
Και
δικα τους
πιθανότητες.
Νόμος
διανομή
Μπορώ
παρουσιάζω
V
μορφή
τραπέζια,
τύπους, γραφικά.

Κατά την καταγραφή του νόμου
DSV διανομή πρώτης γραμμής
τραπέζια
περιέχει
δυνατόν
τιμές και το δεύτερο - οι πιθανότητές τους:
Χ
x1
x2
…
xn
Π
p1
p2
…
pn

Λαμβάνοντας υπόψη ότι σε ένα
Το test CB δέχεται ένα και μοναδικό
μια πιθανή τιμή, την έχουμε
εκδηλώσεις
X=x1 , X=x2 ,…, X=xn σχηματίζουν ένα πλήρες
ομάδα, εξ ου και το άθροισμα των πιθανοτήτων
των γεγονότων αυτών, δηλαδή το άθροισμα των πιθανοτήτων
η δεύτερη σειρά του πίνακα είναι ίση με μία:
p1+p2+…+pn=1.

Π
p2
p1
pn
0
x1
x2
…
…
xn
Χ
Για
ορατότητα
νόμος διανομής
Το DSV μπορεί να απεικονιστεί
γραφικά για τι
V
ορθογώνιος
Σύστημα
συντεταγμένες
χτίζουν
σημεία
Με
συντεταγμένες (xi ;pi),
και μετά συνδέστε τα
ευθύγραμμα τμήματα.
έλαβε
εικόνα
που ονομάζεται
πολύγωνο
διανομή.

3. Λειτουργία διανομής

συνάρτηση τυχαίας κατανομής
του Χ ονομάζεται συνάρτηση
έγκυρος
μεταβλητός
Χ,
ορίζεται από την ισότητα F(x)=P(X Λέγεται και ολοκλήρωμα
συνάρτηση διανομής DSV και NSV.

Αφού μέχρι την τιμή x1 η τυχαία μεταβλητή X
δεν συνέβη, τότε η πιθανότητα του συμβάντος Χ< x1
ισούται με μηδέν.
Για όλες τις τιμές x1 εκδηλώσεις Χ x1, δηλαδή p1.
Αλλά για x>x2, το SW μπορεί ήδη να πάρει δύο
πιθανές τιμές x1 και x2, έτσι
πιθανότητα του γεγονότος Χ ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων p1+p2 κ.λπ.

Αν διακριτές τιμές τυχαίες
Οι ποσότητες x1, x2, …, xn βρίσκονται σε
αύξουσα σειρά, μετά κάθε τιμή
xi από αυτές τις ποσότητες τίθεται σε αντιστοιχία
το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των προηγούμενων
τιμές και πιθανότητες pi:
x1
x2
x3
…
xn
p1 p1+ p2 p1+ p2 + p3 … p1+ p2 + p3+ … + pn

0,
Π
1
F x p1 p2
...
1
στο
x x1 ;
στο
x1 x x2 ;
στο
x2 x x3 ;
...
...
στο
x xn .

Σχεδιάζοντας το δυνατό
τιμές του DSV X και τις αντίστοιχες
ποσά
πιθανότητες
παίρνουμε
βήμα σχήμα, το οποίο
είναι
πρόγραμμα
λειτουργίες
κατανομές πιθανοτήτων.

y
p1+p2+…+pn
...
p1+p2
p1
0
x1
x2
…
xn
Χ

Ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ

1)0 F x 1;
2) x1 x2 F x1 F x2

4. Αριθμητικά χαρακτηριστικά διακριτών τυχαίων μεταβλητών

1). Η μαθηματική προσδοκία και οι ιδιότητές της

Η μαθηματική προσδοκία του DSV X ονομάζεται
το άθροισμα των γινομένων όλων των αξιών του κατά
αντίστοιχες πιθανότητες.
n
M X x1 p1 x2 p2 ... xn pn xi pi
εγώ 1

Πιθανολογική σημασία της μαθηματικής προσδοκίας:

Η μαθηματική προσδοκία είναι κατά προσέγγιση
ισοδυναμεί
μέση τιμή
αριθμητική
παρατηρήθηκε
αξίες
τυχαίος
ποσότητες. (Στον αριθμητικό άξονα, το δυνατό
Οι τιμές βρίσκονται στα αριστερά και δεξιά του
μαθηματικός
αναμονή,
Τ.
μι.
μαθηματικός
προσδοκία
περισσότερο
ελάχιστα
Και
πιο λιγο
μέγιστος
πιθανές τιμές).

Ιδιότητες προσδοκίας

1.
Μαθηματικός
προσδοκία
συνεχής
το μέγεθος είναι ίσο με το πιο σταθερό
Μ Γ Γ
2. Ένας σταθερός πολλαπλασιαστής μπορεί να αφαιρεθεί για
σημάδι προσδοκίας
M CX C M X

3. Μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος
ενός πεπερασμένου αριθμού τυχαίων μεταβλητών είναι
το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους
Μ Χ Υ Μ Χ Μ Υ

4.
Μαθηματικός
προσδοκία
προϊόντα πεπερασμένου αριθμού ανεξάρτητων
τυχαίες μεταβλητές ισούται με το γινόμενο τους
μαθηματικές προσδοκίες.
(Δύο τυχαίες μεταβλητές καλούνται
ανεξάρτητο εάν ο νόμος διανομής
ένα από αυτά δεν εξαρτάται από ποιο
δυνατόν
αξίες
αποδεκτό
αλλο
αξία)
Μ Χ Υ Μ Χ Μ Υ

2). Η διασπορά και οι ιδιότητές της

Διασπορά (σκέδαση) DSW
λέγεται προσδοκία
τετράγωνο
αποκλίσεις
ΝΔ
από
αυτήν
μαθηματική προσδοκία
Δ Χ Μ Χ Μ Χ
2

Ιδιότητες διασποράς:

1. Η διασπορά μιας σταθερής τιμής είναι ίση με
μηδέν
D C 0

2. Ένας σταθερός πολλαπλασιαστής μπορεί να είναι
υπομένω
πίσω
σημάδι
διασπορά,
τετραγωνίζοντάς το
D CX C D X
2

3. Διακύμανση του αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού
ανεξάρτητο SW ισούται με το άθροισμά τους
αποκλίσεις
Δ Χ Υ Δ Χ Δ Υ

Θεώρημα. Η διασπορά DSV είναι ίση με τη διαφορά
ανάμεσα στην προσδοκία ενός τετραγώνου
DSV X και το τετράγωνο των μαθηματικών του
προσδοκίες
Δ Χ Μ Χ Μ Χ
2
2

3). Τυπική απόκλιση

Τυπική απόκλιση
τυχαίος
ποσότητες
Χ
που ονομάζεται
αριθμητική
έννοια
ρίζα
τετράγωνο της διακύμανσής του
Χ Δ Χ

Παράδειγμα. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τυπική απόκλιση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ,

ορίζεται ως ο αριθμός των μαθητών σε
τυχαία
επιλεγμένο
ομάδα,
χρησιμοποιώντας
τα ακόλουθα στοιχεία:
Χ
8
9
10
11
12
Π
0,2
0,1
0,3
0,2
0,2

M X 8 0,2 9 0,1 10 0,3 11 0,2 12 0,2
1,6 0,9 3 2,2 2,4 10,1;

Δ Χ 8 0,2 9 0,1 10 0,3
2
2
2
11 0,2 12 0,2 10,1
2
2
103,9 102,01 1,89;
Χ 1,89 1,37.
2

Σχόλιο. Μαθηματική προσδοκία και διακύμανση του αριθμού των εμφανίσεων ενός συμβάντος σε ανεξάρτητες δοκιμές

Αν η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α σε
κάθε δοκιμή δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα άλλων
δοκιμές, τότε τέτοιες δοκιμές είναι
ανεξάρτητος.
Αφήνω
αυτά τα
πιθανότητες
είναι ίδια και ίσα με το p.
Τότε η πιθανότητα να μην συμβεί το γεγονός Α
σε δίκη
q=1-p.

Θεώρημα.
Μαθηματικός
αναμονή για τον αριθμό των εμφανίσεων του συμβάντος Α
V
ανεξάρτητες δοκιμές
το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών κατά
την πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α στο
κάθε δοκιμή:
M X np

Θεώρημα. Διακύμανση εμφάνισης
γεγονότα Α σε ανεξάρτητες δοκιμές
είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών
σχετικά με την πιθανότητα εμφάνισης και όχι
εμφάνιση
εκδηλώσεις
ΕΝΑ
V
ένας
δοκιμή:
D X n p q

Παράδειγμα. Έλεγξε σε πέντε φαρμακεία
Ετήσιο
ισορροπία.
Πιθανότητα
σωστό ισολογισμό σε
κάθε φαρμακείο ισούται με 0,7. Εύρημα
μαθηματικός
προσδοκία
Και
διασπορά καλοσχηματισμένων
ισορροπίες.
Λύση.
Με συνθήκη n=5; p=0,7;
q=1-0,7=0,3.

Οι τυχαίες μεταβλητές είναι μεγέθη που, ως αποτέλεσμα της εμπειρίας, λαμβάνουν ορισμένες τιμές και δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων ποιες.

Προσδιορισμός: X,Y,Z

Ένα παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής θα ήταν:

1) X - ο αριθμός των πόντων που εμφανίζεται όταν ρίχνεται ένα ζάρι

2) Y - ο αριθμός των βολών πριν από το πρώτο χτύπημα στον στόχο

3) Το ύψος ενός ατόμου, η ισοτιμία του δολαρίου, τα κέρδη του παίκτη κ.λπ.

Μια τυχαία μεταβλητή που παίρνει ένα μετρήσιμο σύνολο τιμών ονομάζεται διακριτή.

Εάν το σύνολο τιμών του r.v. Αμέτρητο, τότε μια τέτοια ποσότητα ονομάζεται συνεχής.

Μια τυχαία μεταβλητή X είναι μια αριθμητική συνάρτηση που ορίζεται στο χώρο των στοιχειωδών γεγονότων Ω, η οποία εκχωρεί σε κάθε στοιχειώδες γεγονός W έναν αριθμό X(w), δηλ. X=X(w),W

Παράδειγμα: Η εμπειρία συνίσταται στην ρίψη ενός νομίσματος 2 φορές. Στο χώρο των στοιχειωδών γεγονότων Ω(W1 ,W2 ,W3 ,W4 ) όπου W1 =GG, W2 =GR, W3 =RG, W4 =PP. Μπορούμε να θεωρήσουμε το r.v. X είναι ο αριθμός εμφάνισης του οικόσημου. Το Χ είναι συνάρτηση του

στοιχειώδες συμβάν W2: X(W1)=2, X(W2)=1, X(W3)=1, X(W4)=0 Το X είναι μια διακριτή r.v. Με τιμές X1 =0, X2 =1, X3 =2.

Για μια πλήρη περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής, δεν αρκεί απλώς να γνωρίζουμε τις πιθανές τιμές της. Πρέπει επίσης να γνωρίζετε τις πιθανότητες αυτών των τιμών

ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΑΚΡΙΤΗΣ ΔΙΑΝΟΜΗΣ

ΤΥΧΑΙΑ ΤΙΜΗ

Έστω X ένα διακριτό r.v. που παίρνει τις τιμές x1,

x2 ... xn ..

Με κάποια πιθανότητα Pi =P(X=xi ), i=1,2,3…n…, η οποία καθορίζει την πιθανότητα, ως αποτέλεσμα του πειράματος, η r.v. Το X θα πάρει την τιμή xi

Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται κοντά σε διανομή

Επειδή τα γεγονότα (X=x),(X=x)… είναι ασύμβατα και σχηματίζονται

1 p i 1 2

πλήρης ομάδα, τότε i το άθροισμα1 των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με

Σχεδιάστε τις πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής και στον άξονα y - τις πιθανότητες αυτών των τιμών.

Η διακεκομμένη γραμμή που συνδέει τα σημεία (X1, P1), (X2, P2), ... ονομάζεται

πολύγωνο διανομής.

	x 1 x 2

Μια τυχαία μεταβλητή X είναι διακριτή εάν υπάρχει ένα πεπερασμένο ή μετρήσιμο σύνολο X1 , X2 ,…,Xn ,… έτσι ώστε P(X=xi ) = pi > 0

(i=1,2,…) και p1 +p2 +p3 +… =1

Παράδειγμα: Υπάρχουν 8 μπάλες σε μια λάρνακα, εκ των οποίων οι 5 είναι λευκές, οι υπόλοιπες είναι μαύρες. 3 μπάλες βγαίνουν τυχαία από αυτό. Βρείτε τον νόμο κατανομής για τον αριθμό των λευκών σφαιρών στο δείγμα.

Λύση: Πιθανές τιμές r.v. X – ο αριθμός των λευκών σφαιρών στο δείγμα είναι x1 =0, x2 =1, x3 =2, x4 =3.

Οι πιθανότητες τους θα είναι αντίστοιχα

p(x0)

C 5 1 C 3 2

P2 =p(x=1)=

Ελεγχος:

C 2 C1

P3 =p(x=2)=

C 5 3 C 3 0

P4 =p(x=2)=

Γ8 3

Συνάρτηση διανομής και οι ιδιότητές της. Συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Ένας καθολικός τρόπος καθορισμού του νόμου κατανομής πιθανότητας, κατάλληλος τόσο για διακριτές όσο και για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, είναι η συνάρτηση κατανομής του.

Η συνάρτηση F(x) ονομάζεται συνάρτηση ολοκληρωτικής κατανομής.

Γεωμετρικά, η ισότητα (1) μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής: F(x) είναι η πιθανότητα ότι η r.v. Το X θα λάβει την τιμή που απεικονίζεται στον αριθμητικό άξονα από ένα σημείο στα αριστερά του σημείου x, δηλ. Το τυχαίο σημείο X θα πέσει στο διάστημα (∞, x)

Η συνάρτηση διανομής έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1) Η F(x) είναι περιορισμένη, δηλ. 0 F (x) 1
2) Η F(x) είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση στο R δηλ. αν, x 2 x 1 τότε
F(x2) F(x1)
3) Η F(x) εξαφανίζεται στο μείον άπειρο και ισούται με 1
συν άπειρο δηλ.			F(∞)=0, F(+∞)=1
4) Πιθανότητα r.v. Το X στο διάστημα είναι ίσο με την αύξηση
η συνάρτηση κατανομής του σε αυτό το διάστημα δηλ.
P( a X b) F(b) F(a)

5) Η F(x) αφήνεται συνεχής δηλ. Όριο F(x)=F(x0 )

xx0

Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση διανομής, μπορείτε να υπολογίσετε

Η ισότητα (4) προκύπτει άμεσα από τον ορισμό

6) Εάν όλες οι x πιθανές τιμές x b μιας τυχαίας μεταβλητής X

ανήκουν στο διάστημα (a,b), τότε για τη συνάρτηση κατανομής του F(x)=0 για, F(x)=1 για

Η πυκνότητα κατανομής και οι ιδιότητές της

Το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας.

Μια τυχαία μεταβλητή Χ ονομάζεται συνεχής αν είναι

η συνάρτηση κατανομής είναι συνεχής και διαφοροποιήσιμη παντού εκτός από μεμονωμένα σημεία.

Η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς r.v. X ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης κατανομής του. Συμβολίζεται f(x) F /

Από τον ορισμό του παραγώγου προκύπτει:
	F(x)		F(x x) F(x)
				P( x X x x)
Αλλά σύμφωνα με τον τύπο (2), η αναλογία

αντιπροσωπεύει τη μέση πιθανότητα ανά μονάδα μήκους του τμήματος, δηλ. η μέση πυκνότητα της κατανομής πιθανοτήτων. Επειτα

	P( x X x x)
Δηλαδή, η πυκνότητα κατανομής είναι το όριο του λόγου
πιθανότητα να χτυπήσετε μια τυχαία μεταβλητή
διάστημα			Στο μήκος Δx αυτού του κενού,
	F (x x F (x) P( x X x x)
όταν ∆х→0			(6) ακολουθεί η ισότητα

Εκείνοι. η πυκνότητα πιθανότητας ορίζεται ως μια συνάρτηση f(x) που ικανοποιεί τη συνθήκη P ( x X x x ) f (x) dx

Η έκφραση f(x)dx ονομάζεται στοιχείο πιθανότητας.

Ιδιότητες πυκνότητας κατανομής:

1) η f(x) είναι μη αρνητική, δηλ. f (x) 0