Σε αυτή την ενότητα, συνεχίζουμε να μελετάμε το θέμα της εξίσωσης ευθείας γραμμής στο χώρο από τη σκοπιά της στερεομετρίας. Αυτό σημαίνει ότι θα θεωρήσουμε μια ευθεία στον τρισδιάστατο χώρο ως γραμμή τομής δύο επιπέδων.
Σύμφωνα με τα αξιώματα της στερεομετρίας, αν δύο επίπεδα δεν συμπίπτουν και έχουν ένα κοινό σημείο, τότε έχουν και μια κοινή ευθεία, πάνω στην οποία βρίσκονται όλα τα κοινά σημεία στα δύο επίπεδα. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων, μπορούμε να ορίσουμε μια ευθεία γραμμή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
Κατά τη διάρκεια της εξέτασης του θέματος, θα δώσουμε πολλά παραδείγματα, μια σειρά από γραφικές απεικονίσεις και λεπτομερείς λύσεις που είναι απαραίτητες για την καλύτερη αφομοίωση του υλικού.
Ας δοθούν δύο επίπεδα που δεν συμπίπτουν μεταξύ τους και τέμνονται. Ας τα συμβολίσουμε ως επίπεδο α και επίπεδο β . Ας τις τοποθετήσουμε σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z τρισδιάστατο χώρο.
Όπως θυμόμαστε, οποιοδήποτε επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ορίζει τη γενική εξίσωση του επιπέδου της μορφής A x + B y + C z + D = 0 . Υποθέτουμε ότι το επίπεδο α αντιστοιχεί στην εξίσωση A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , και το επίπεδο β αντιστοιχεί στην εξίσωση A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Σε αυτήν την περίπτωση, τα κανονικά διανύσματα των επιπέδων α και β n 1 → \u003d (A 1, B 1, C 1) και n 2 → \u003d (A 2, B 2, C 2) δεν είναι συγγραμμικά, καθώς το επίπεδα δεν συμπίπτουν μεταξύ τους και ε τοποθετούνται παράλληλα μεταξύ τους. Γράφουμε αυτή τη συνθήκη ως εξής:
n 1 → ≠ λ n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ A 2 , λ B 2 , λ C 2 , λ ∈ R
Για να ανανεώσετε το υλικό σχετικά με το θέμα «Παραλληλισμός επιπέδων», δείτε την αντίστοιχη ενότητα της ιστοσελίδας μας.
Η γραμμή τομής των επιπέδων θα συμβολίζεται με το γράμμα ένα . Εκείνοι. a = α ∩ β . Αυτή η ευθεία είναι ένα σύνολο σημείων που είναι κοινά και στα δύο επίπεδα α και β. Αυτό σημαίνει ότι όλα τα σημεία της ευθείας γραμμής a ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις του επιπέδου A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 και A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Στην πραγματικότητα, αποτελούν ιδιαίτερη λύση στο σύστημα των εξισώσεων A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Κοινή απόφασησυστήματα γραμμικές εξισώσεις A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ορίζει τις συντεταγμένες όλων των σημείων της ευθείας κατά μήκος των οποίων τέμνονται τα δύο επίπεδα α και β . Αυτό σημαίνει ότι με τη βοήθειά του μπορούμε να προσδιορίσουμε τη θέση μιας ευθείας σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z .
Ας εξετάσουμε για άλλη μια φορά την περιγραφείσα θεωρία, τώρα με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.
Παράδειγμα 1
Η ευθεία O x είναι η ευθεία κατά την οποία τέμνονται τα επίπεδα συντεταγμένων O x y και O x z. Ορίζουμε το επίπεδο O x y με την εξίσωση z = 0 , και το επίπεδο O x z με την εξίσωση y = 0 . Συζητήσαμε λεπτομερώς αυτήν την προσέγγιση στην ενότητα «Ημιτελής γενική εξίσωση ενός επιπέδου», επομένως, σε περίπτωση δυσκολιών, μπορούμε να αναφερθούμε ξανά σε αυτό το υλικό. Στην περίπτωση αυτή, η γραμμή συντεταγμένων O x προσδιορίζεται σε ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων από ένα σύστημα δύο εξισώσεων της μορφής y = 0 z = 0 .
Εύρεση των συντεταγμένων ενός σημείου που βρίσκεται σε ευθεία γραμμή κατά μήκος της οποίας τέμνονται τα επίπεδα
Ας εξετάσουμε το πρόβλημα. Έστω ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z σε τρισδιάστατο χώρο. Η ευθεία κατά την οποία τέμνονται δύο επίπεδα το a δίνεται από το σύστημα των εξισώσεων A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Δίνεται ένα σημείο στον τρισδιάστατο χώρο M 0 x 0 , y 0 , z 0 .
Ας προσδιορίσουμε αν το σημείο M 0 x 0 , y 0 , z 0 ανήκει σε μια δεδομένη ευθεία ένα .
Για να λάβουμε απάντηση στο ερώτημα του προβλήματος, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου M 0 σε καθεμία από τις δύο εξισώσεις του επιπέδου. Εάν, ως αποτέλεσμα αντικατάστασης, και οι δύο εξισώσεις μετατραπούν σε αληθινές ισότητες A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 και A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0, τότε το σημείο M 0 ανήκει σε καθένα από τα επίπεδα και ανήκει στη δεδομένη ευθεία. Αν τουλάχιστον μία από τις ισότητες A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 και A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 είναι ψευδής, τότε το σημείο Μ 0 δεν ανήκει σε ευθεία γραμμή.
Εξετάστε ένα παράδειγμα λύσης
Παράδειγμα 2
Μια ευθεία δίνεται στο χώρο με εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων της μορφής 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 . Να προσδιορίσετε αν τα σημεία M 0 (1, - 1, 0) και N 0 (0, - 1 3 , 1) ανήκουν σε ευθεία τομής των επιπέδων.
Λύση
Ας ξεκινήσουμε από το σημείο M 0 . Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του και στις δύο εξισώσεις του συστήματος 2 1 + 3 (- 1) + 1 = 0 1 - 2 (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .
Ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης, αποκτήσαμε τις σωστές ισότητες. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο M 0 ανήκει και στα δύο επίπεδα και βρίσκεται στη γραμμή τομής τους.
Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου N 0 (0, - 1 3, 1) και στις δύο εξισώσεις του επιπέδου. Παίρνουμε 2 0 + 3 - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0 .
Όπως μπορείτε να δείτε, η δεύτερη εξίσωση του συστήματος μετατράπηκε σε λανθασμένη ισότητα. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο N 0 δεν ανήκει στη δεδομένη ευθεία.
Απάντηση:Το σημείο M 0 ανήκει σε μια ευθεία γραμμή και το σημείο N 0 όχι.
Τώρα σας προσφέρουμε έναν αλγόριθμο για την εύρεση των συντεταγμένων ενός συγκεκριμένου σημείου που ανήκει σε μια ευθεία γραμμή, εάν η ευθεία στο χώρο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z καθορίζεται από τις εξισώσεις των τεμνόμενων επιπέδων A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Ο αριθμός των λύσεων ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 είναι άπειρος. Οποιαδήποτε από αυτές τις λύσεις μπορεί να αποτελέσει λύση στο πρόβλημα.
Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 3
Έστω μια ευθεία γραμμή που δίνεται στον τρισδιάστατο χώρο από τις εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων της μορφής x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 . Βρείτε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε από τα σημεία αυτής της ευθείας.
Λύση
Ας ξαναγράψουμε το σύστημα των εξισώσεων x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 .
Ας πάρουμε ένα ελάσσονα δεύτερης τάξης εκτός του μηδενός ως ελάσσονα βάσης του κύριου πίνακα του συστήματος 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 . Αυτό σημαίνει ότι z είναι μια δωρεάν άγνωστη μεταβλητή.
Μεταφέρουμε τους όρους που περιέχουν την ελεύθερη άγνωστη μεταβλητή z στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων:
x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z
Εισάγουμε ένα αυθαίρετο πραγματικός αριθμόςλ και υποθέστε ότι z = λ .
Τότε x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ .
Για να λύσουμε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων, εφαρμόζουμε τη μέθοδο Cramer:
∆ = 1 0 2 3 = 1 3 - 0 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ 3 - 0 (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y = 4 + λ
Η γενική λύση του συστήματος των εξισώσεων x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 θα είναι x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ , όπου λ ∈ R .
Για να λάβουμε μια συγκεκριμένη λύση στο σύστημα των εξισώσεων, που θα μας δώσει τις επιθυμητές συντεταγμένες ενός σημείου που ανήκει σε μια δεδομένη ευθεία, πρέπει να πάρουμε μια συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου λ. Αν λ = 0 , τότε x = - 7 - 3 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0 .
Αυτό μας επιτρέπει να πάρουμε τις συντεταγμένες του επιθυμητού σημείου - 7 , 4 , 0 .
Ας ελέγξουμε την ορθότητα των συντεταγμένων του σημείου που βρέθηκαν αντικαθιστώντας τες στις αρχικές εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων - 7 + 3 0 + 7 = 0 2 (- 7) + 3 4 + 3 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0.
Απάντηση: - 7 , 4 , 0
Διάνυσμα κατεύθυνσης ευθείας κατά μήκος της οποίας τέμνονται δύο επίπεδα
Ας δούμε πώς να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής, που δίνεται από τις εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 και A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων 0xz, το κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής είναι αδιαχώριστο από μια ευθεία γραμμή.
Όπως γνωρίζουμε, μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο εάν είναι κάθετη σε οποιαδήποτε ευθεία που βρίσκεται στο δεδομένο επίπεδο. Με βάση τα παραπάνω, το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου είναι κάθετο σε οποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται στο δεδομένο επίπεδο. Αυτά τα δύο γεγονότα θα μας βοηθήσουν να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.
Τα επίπεδα α και β τέμνονται κατά μήκος της ευθείας ένα . Διάνυσμα κατεύθυνσης a → ευθεία ένα είναι κάθετη στο κανονικό διάνυσμα n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) του επιπέδου A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 και στο κανονικό διάνυσμα n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) επίπεδα A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Κατεύθυνση διάνυσμα ευθεία ένα είναι ένα διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων n → 1 = (A 1 , B 1 , C 1) και n 2 → = A 2 , B 2 , C 2 .
a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2
Ορίζουμε το σύνολο όλων των κατευθυντικών διανυσμάτων της ευθείας ως λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , όπου το λ είναι μια παράμετρος που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή εκτός από το μηδέν.
Παράδειγμα 4
Έστω μια ευθεία γραμμή στο χώρο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z από τις εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 . Βρείτε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε διανύσματος κατεύθυνσης αυτής της ευθείας.
Λύση
Τα επίπεδα x + 2 y - 3 z - 2 = 0 και x - z + 4 = 0 έχουν κανονικά διανύσματα n 1 → = 1 , 2 , - 3 και n 2 → = 1 , 0 , - 1 . Ας πάρουμε ως κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής, που είναι η τομή δύο δεδομένων επιπέδων, το διανυσματικό γινόμενο κανονικών διανυσμάτων:
a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → 2 (- 1) + j → (- 3) 1 + k → 1 0 - - k → 2 1 - j → 1 (- 1) - i → (- 3) 0 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →
Ας γράψουμε την απάντηση στη μορφή συντεταγμένων a → = - 2 , - 2 , - 2 . Για όσους δεν θυμούνται πώς γίνεται αυτό, συνιστούμε να ανατρέξετε στο θέμα «Διανυσματικές συντεταγμένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων».
Απάντηση: a → = - 2 , - 2 , - 2
Μετάβαση σε παραμετρικές και κανονικές εξισώσεις ευθείας στο χώρο
Για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων, είναι ευκολότερο να χρησιμοποιηθούν παραμετρικές εξισώσεις ευθείας στο χώρο της μορφής x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ ή κανονικές εξισώσεις ευθείας ευθεία στο διάστημα της μορφής x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ . Σε αυτές τις εξισώσεις, a x , a y , a z είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της ευθείας, x 1 , y 1 , z 1 είναι οι συντεταγμένες κάποιου σημείου της ευθείας και το λ είναι μια παράμετρος που παίρνει αυθαίρετες πραγματικές τιμές.
Από μια ευθεία εξίσωση της μορφής A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, μπορείτε να πάτε στις κανονικές και παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής στο χώρο. Για να γράψουμε τις κανονικές και παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής, χρειαζόμαστε τις δεξιότητες για να βρούμε τις συντεταγμένες ενός συγκεκριμένου σημείου στην ευθεία, καθώς και τις συντεταγμένες κάποιου κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας, που δίνονται από τις εξισώσεις δύο τεμνόμενων αεροπλάνα.
Ας δούμε το παραπάνω παράδειγμα.
Παράδειγμα 5
Ας ορίσουμε μια ευθεία γραμμή σε ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων με τις εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Ας γράψουμε τις κανονικές και παραμετρικές εξισώσεις αυτής της γραμμής.
Λύση
Βρείτε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας, που είναι το διανυσματικό γινόμενο των κανονικών διανυσμάτων n 1 → = 2 , 1 , - 1 του επιπέδου 2 x + y - z - 1 = 0 και n 2 → = (1 , 3 , - 2) του επιπέδου x + 3 y-2z=0:
a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → 1 (- 2) + j → (- 1) 1 + k → 2 3 - - k → 1 1 - j → 2 (- 2) - i → (- 1) 3 = i → + 3 j → + 5 k →
Συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της ευθείας a → = (1 , 2 , 5) .
Το επόμενο βήμα είναι να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες κάποιου σημείου της δεδομένης ευθείας, που είναι μια από τις λύσεις του συστήματος εξισώσεων: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2z = 0 .
Ας πάρουμε την ορίζουσα 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 ως δευτερεύον πίνακα του συστήματος, ο οποίος είναι μη μηδενικός. Σε αυτή την περίπτωση, η μεταβλητή z ειναι δωρεάν. Μεταφέρουμε τους όρους με αυτό στις δεξιές πλευρές κάθε εξίσωσης και δίνουμε στη μεταβλητή μια αυθαίρετη τιμή λ:
2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R
Εφαρμόζουμε τη μέθοδο Cramer για να λύσουμε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων:
∆ = 2 1 1 3 = 2 3 - 1 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) 3 - 1 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 2 λ - (1 + λ) 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 λ
Παίρνουμε: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ
Ας πάρουμε λ = 2 για να πάρουμε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε ευθεία γραμμή: x 1 = 3 5 + 1 5 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Τώρα έχουμε αρκετά δεδομένα για να καταγράψουμε τις κανονικές και παραμετρικές εξισώσεις αυτής της γραμμής στο διάστημα: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ ⇔ x = 1 + 1 λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ
Απάντηση: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 και x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ
Αυτό το πρόβλημα έχει άλλο τρόπο επίλυσης.
Η εύρεση των συντεταγμένων ενός συγκεκριμένου σημείου σε μια ευθεία πραγματοποιείται με την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.
Στη γενική περίπτωση, οι λύσεις του μπορούν να γραφτούν με τη μορφή των επιθυμητών παραμετρικών εξισώσεων μιας ευθείας γραμμής στο διάστημα x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ .
Η λήψη κανονικών εξισώσεων πραγματοποιείται ως εξής: λύνουμε καθεμία από τις εξισώσεις που λαμβάνονται ως προς την παράμετρο λ, εξισώνουμε τα σωστά μέρη της ισότητας.
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z
Ας εφαρμόσουμε αυτή τη μέθοδο για να λύσουμε το πρόβλημα.
Παράδειγμα 6
Ας ορίσουμε τη θέση της ευθείας με τις εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Ας γράψουμε τις παραμετρικές και κανονικές εξισώσεις για αυτήν την ευθεία γραμμή.
Λύση
Η λύση ενός συστήματος δύο εξισώσεων με τρεις αγνώστους πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο που κάναμε στο προηγούμενο παράδειγμα. Παίρνουμε: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ .
Αυτές είναι οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο.
Οι κανονικές εξισώσεις λαμβάνονται ως εξής: x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1
Οι εξισώσεις που προέκυψαν και στα δύο παραδείγματα διαφέρουν εξωτερικά, αλλά είναι ισοδύναμες, αφού καθορίζουν το ίδιο σύνολο σημείων στον τρισδιάστατο χώρο, και ως εκ τούτου την ίδια ευθεία γραμμή.
Απάντηση: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 και x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Ορισμός. Μια ευθεία ονομάζεται παράλληλη σε ένα επίπεδο αν δεν έχει κοινό σημείο μαζί της.
Αμοιβαία διάταξη ευθείας γραμμής και επιπέδου
Γραμμή και αεροπλάνο
Παραλληλισμός δύο ευθειών
Αν ένα επίπεδο διέρχεται από ευθεία παράλληλη προς ένα άλλο επίπεδο και τέμνει αυτό το επίπεδο, τότε η ευθεία τομής τους είναι παράλληλη προς τη δεδομένη ευθεία.
Απόδειξη. Έστω το επίπεδο α να διέρχεται από την ευθεία a παράλληλη προς το επίπεδο β και έστω η ευθεία b η ευθεία τομής αυτών των επιπέδων. Ας αποδείξουμε ότι οι ευθείες a και b είναι παράλληλες.
Πράγματι, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο α. Επιπλέον, η ευθεία b βρίσκεται στο επίπεδο β και η ευθεία a δεν τέμνει αυτό το επίπεδο. Επομένως, η ευθεία α και ακόμη περισσότερο δεν τέμνεται με την ευθεία β. Έτσι, οι ευθείες a και b βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Άρα είναι παράλληλοι.
Σημάδι παραλληλισμού ευθείας γραμμής και επιπέδου Εάν μια ευθεία που δεν βρίσκεται σε ένα επίπεδο είναι παράλληλη με κάποια ευθεία που βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο, τότε η δεδομένη ευθεία είναι παράλληλη με το ίδιο το επίπεδο.
Απόδειξη. Αφήστε τη γραμμή α δεν βρίσκεται στο επίπεδο β και είναι παράλληλη με την ευθείασι ξαπλωμένος σε αυτό το αεροπλάνο. Ας αποδείξουμε ότι η γραμμήένα παράλληλα στο επίπεδο β.
Υποθέστε το αντίθετο, δηλ. ότι η ευθεία α τέμνει το επίπεδο β σε κάποιο σημείο C .
Θεωρήστε ένα επίπεδο α που διέρχεται από τις ευθείες a και b (a || b , με υπόθεση). Το σημείο Γ ανήκει και στο επίπεδο β και στο επίπεδο α, δηλ. ανήκει στη γραμμή τομής τους - ευθεία β . Επομένως, οι ευθείες a και b τέμνονται, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη. Έτσι, ένα || β.
Ασκηση 1
Είναι αλήθεια ότι δύο ευθείες παράλληλες στο ίδιο επίπεδο είναι παράλληλες μεταξύ τους;
Απάντηση: Όχι.
Άσκηση 2
Είναι αληθής η δήλωση: "Μια ευθεία παράλληλη σε ένα επίπεδο είναι παράλληλη με οποιαδήποτε ευθεία βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο";
Απάντηση: Όχι.
Άσκηση 3
Μία από τις δύο παράλληλες ευθείες είναι παράλληλη στο επίπεδο. Είναι αλήθεια ότι η δεύτερη ευθεία είναι επίσης παράλληλη σε αυτό το επίπεδο;
Απάντηση: Όχι.
Άσκηση 4
Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες. Ένα επίπεδο διασχίζεται από καθένα από αυτά. Αυτά τα δύο επίπεδα τέμνονται. Πώς είναι η γραμμή τομής τους σε σχέση με αυτές τις γραμμές;
Απάντηση: Παράλληλη.
Άσκηση 5
Δίνονται δύο τεμνόμενα επίπεδα. Υπάρχει ένα επίπεδο που τέμνει δύο δεδομένα επίπεδα κατά μήκος παράλληλων ευθειών;
Απάντηση: Ναι.
Άσκηση 6
Η πλευρά AF του κανονικού εξαγώνου ABCDEF βρίσκεται στο επίπεδο α, το οποίο δεν συμπίπτει με το επίπεδο του εξαγώνου. Πώς βρίσκονται οι γραμμές που περιέχουν τις υπόλοιπες πλευρές αυτού του εξαγώνου σε σχέση με το επίπεδο α;
Απάντηση: AB, BC, DE, EF τέμνουν το επίπεδο. Το CD είναι παράλληλο με το επίπεδο.
1) Δίνεται μια ευθεία γραμμή και δύο τεμνόμενα επίπεδα. Περιγράψτε όλες τις πιθανές περιπτώσεις αμοιβαίας διευθέτησής τους.2) Δίνονται δύο τεμνόμενα επίπεδα. Υπάρχει ένα επίπεδο που τέμνει δύο δεδομένα επίπεδα κατά μήκος παράλληλων ευθειών;
2. Δίνονται δύο ευθείες που τέμνονται σε ένα σημείο Γ. Μήπως κάποια τρίτη ευθεία βρίσκεται μαζί με αυτές στο ίδιο επίπεδο, έχοντας ένα κοινό σημείο με καθεμία από τις δεδομένες ευθείες;
3.
4. Η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων είναι 8 εκ. Ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου το μήκος είναι 17 εκ. βρίσκεται μεταξύ τους έτσι ώστε τα άκρα του να ανήκουν στα επίπεδα. Βρείτε την προβολή αυτού του τμήματος σε καθένα από τα επίπεδα.
5. Συμπλήρωσε την πρόταση για να πάρεις τη σωστή πρόταση:
Δ) δεν ξέρω
6. Οι ευθείες α και β είναι κάθετες. Τα σημεία Α και Β ανήκουν στην ευθεία α, τα σημεία Γ και Δ ανήκουν στην ευθεία β. Οι γραμμές AC και BD βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο;
7. Στον κύβο ABCDA1B1C1D1 σχεδιάζονται οι διαγώνιοι των όψεων AC και B1D1. ποια είναι η σχετική τους θέση;
8. Η άκρη του κύβου ABCDA1B1C1D1 είναι ίση με m. Βρείτε την απόσταση μεταξύ των γραμμών AB και CC1.
Α) 2 μ. Β) 1/2 μ. Γ) μ. Δ) δεν ξέρω
9. Προσδιορίστε εάν η δήλωση είναι αληθής:
Α) ναι Β) όχι Γ) όχι πάντα Δ) δεν ξέρω
10. Στον κύβο ABCDA1B1C1D1 βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων BCD και BCC1B1.
Α) 90° Β) 45° C) 0° Δ) 60°
11. Υπάρχει πρίσμα με μία μόνο πλευρική όψη κάθετη στη βάση;
Α) ναι Β) όχι Γ) Δεν ξέρω
12. Μπορεί η διαγώνιος ενός κυβοειδούς να είναι μικρότερη από την πλευρική ακμή;
Α) ναι Β) όχι Γ) Δεν ξέρω
13. Ποιο είναι το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός κύβου με άκρη 10;
Α) 40 Β) 400 Γ) 100 Δ) 200
14. Ποιο είναι το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας ενός κύβου αν η διαγώνιος του είναι d;
Α) 2d2 Β) 6d2 Γ) 3d2 Δ) 4d2
15. Πόσα επίπεδα συμμετρίας έχει μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα;
Α) 2 Β) 3 Γ) 4 Δ) 6
16. Ποια είναι η αξονική τομή οποιουδήποτε σωστή πυραμίδα?
Α) ισόπλευρο τρίγωνο
Β) ορθογώνιο
Β) ένα τραπεζοειδές
Δ) ισοσκελές τρίγωνο
παρακαλώ βοηθήστε με να λύσω το τεστ1. Πόσες κοινές ευθείες μπορεί να έχουν δύο διαφορετικά μη συμπίπτοντα επίπεδα;
Α) 1 Β) 2 Γ) ένας άπειρος αριθμός Δ) κανένας Ε) Δεν ξέρω
2. Δίνονται δύο ευθείες που τέμνονται σε ένα σημείο Γ. Μήπως κάποια τρίτη ευθεία βρίσκεται μαζί με αυτές στο ίδιο επίπεδο, έχοντας κοινό σημείο με καθεμία από τις δεδομένες ευθείες;
Α) πάντα ναι Β) πάντα όχι Γ) ψέματα, αλλά όχι πάντα Δ) Δεν ξέρω
3. Προσδιορίστε εάν η πρόταση είναι αληθής:
Δύο επίπεδα είναι παράλληλα αν είναι παράλληλα στην ίδια ευθεία.
Α) ναι Β) όχι Γ) Δεν ξέρω Δ) όχι πάντα
4. Η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων είναι 8 εκ. Ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου το μήκος είναι 17 εκ. βρίσκεται μεταξύ τους ώστε τα άκρα του να ανήκουν στα επίπεδα. Βρείτε την προβολή αυτού του τμήματος σε καθένα από τα επίπεδα.
Α) 15 εκ. Β) 9 εκ. Γ) 25 εκ. Δ) Δεν ξέρω
5. Συμπληρώστε τη φράση για να πάρετε τη σωστή πρόταση:
Εάν μια ευθεία που βρίσκεται σε ένα από τα δύο κάθετα επίπεδα είναι κάθετη στη γραμμή τομής τους, τότε ...
Α) παράλληλα με άλλο επίπεδο
Β) τέμνονται με άλλο επίπεδο
Β) κάθετο σε άλλο επίπεδο
Δ) δεν ξέρω
6. Οι ευθείες α και β είναι κάθετες. Τα σημεία Α και Β ανήκουν στην ευθεία α, τα σημεία Γ και Δ ανήκουν στην ευθεία β. Οι γραμμές AC και BD βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο;
Α) ναι Β) όχι Γ) όχι πάντα Δ) δεν ξέρω
7. Στον κύβο ABCDA1B1C1D1 σχεδιάζονται οι διαγώνιοι των όψεων AC και B1D1. ποια είναι η σχετική τους θέση;
Α) τέμνω Β) τέμνω Γ) παράλληλο Δ) δεν γνωρίζω
8. Η άκρη του κύβου ABCDA1B1C1D1 ισούται με m. Βρείτε την απόσταση μεταξύ των γραμμών AB και CC1.
Α) 2μ Β) Γ) Μ Δ) δεν ξέρω
9. Προσδιορίστε εάν η πρόταση είναι αληθής:
Αν σχηματιστούν δύο γραμμές ίσες γωνίεςμε το ίδιο επίπεδο, είναι παράλληλα.
Α) ναι Β) όχι Γ) όχι πάντα Δ) δεν ξέρω
10. Στον κύβο ABCDA1B1C1D1, βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων BCD και BCC1B1.
Α) 90 Β) 45 Γ) 0 Δ) 60
11. Υπάρχει πρίσμα με μία μόνο πλευρική όψη κάθετη στη βάση;
Α) ναι Β) όχι Γ) Δεν ξέρω
12. Μπορεί η διαγώνιος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου να είναι μικρότερη από το πλευρικό άκρο;
Α) ναι Β) όχι Γ) Δεν ξέρω
13. Ποιο είναι το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός κύβου με άκρη 10;
Α) 40 Β) 400 Γ) 100 Δ) 200
14. Ποιο είναι το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας ενός κύβου αν η διαγώνιος του είναι d;
Α) 2d2 Β) 6d2 Γ) 3d2 Δ) 4d2
15. Πόσα επίπεδα συμμετρίας έχει μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα;
Α) 2 Β) 3 Γ) 4 Δ) 6
16. Ποια είναι η αξονική τομή οποιασδήποτε κανονικής πυραμίδας;
Α) ισόπλευρο τρίγωνο
Β) ορθογώνιο
Β) ένα τραπεζοειδές
Δ) ισοσκελές τρίγωνο
Δύο επίπεδα τέμνονται σε ευθεία γραμμή, για την κατασκευή της οποίας αρκεί είτε να προσδιοριστούν δύο κοινά σημεία στα επίπεδα, είτε ένα σημείο και η διεύθυνση της γραμμής τομής.
Ας εξετάσουμε τις εργασίες για την κατασκευή προβολών της γραμμής τομής των επιπέδων και τις θέσεις τους σε σχέση με τα επίπεδα προβολής.
1. Εάν τα επίπεδα δίνονται με ίχνη και τα ίχνη τέμνονται μέσα στο σχέδιο (Εικ. 4.14α), τότε προσδιορίζονται δύο σημεία της γραμμής τομής στη διασταύρωση ιχνών με το ίδιο όνομα. Το σημείο 1 είναι η τομή των οριζόντιων ιχνών, το σημείο 2 είναι η τομή των μετωπικών ιχνών. Γραμμή μεγάλο(1 1 1 2) - η γραμμή τομής των επιπέδων l και å.
Ρύζι. 4.14α. Τα αεροπλάνα δίνονται από ίχνη.
2. Μία από τις ειδικές περιπτώσεις τομής επιπέδων, όταν ένα από αυτά είναι προεξέχον επίπεδο (Εικ. 4.14β).
Το πρόβλημα περιορίζεται στον προσδιορισμό της δεύτερης προβολής μιας γραμμής που ανήκει τόσο στο προεξέχον επίπεδο όσο και στο επίπεδο στη γενική θέση.
Καθορίζουμε τα σημεία τομής του αντίστοιχου ίχνους του προεξέχοντος επιπέδου με το επίπεδο γενικής θέσης των σημείων 1 και 2. Καθορίζουμε τη δεύτερη προβολή κατά μήκος των γραμμών επικοινωνίας. Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η ορατότητα των διαμερισμάτων του επιπέδου γενικής θέσης σε σχέση με τη γραμμή τομής.
Ρύζι. 4.14β. Ένα από τα αεροπλάνα προβάλλει.
3. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η γραμμή τομής των επιπέδων είναι μια γραμμή συγκεκριμένης θέσης (Εικ. 4.14γ).
Ας εξετάσουμε προβλήματα στην τομή των επιπέδων οριζόντια. Στο πρώτο πρόβλημα, ένα από τα επίπεδα l είναι ένα οριζόντιο επίπεδο επίπεδο, άρα η μπροστινή γραμμή της προβολής τομής ηΤο 2 συμπίπτει με το ίχνος αυτού του επιπέδου και είναι οριζόντιο. Η οριζόντια προβολή καθορίζεται από το σημείο 1 της τομής των ιχνών και την κατεύθυνση η 1 || l 1 .
Ρύζι. 4.14c. Διασταύρωση κατά μήκος γραμμών ιδιωτικής θέσης.
Στο δεύτερο πρόβλημα, τα οριζόντια ίχνη επιπέδων σε γενική θέση είναι παράλληλα με το l 1 || ε 1 . Επομένως, η οριζόντια προβολή της γραμμής τομής θα είναι παράλληλη με αυτές η 1 || l 1 || å 1 , και η μετωπική θα περάσει από το σημείο 1 της τομής των μετωπικών ιχνών.
Παρόμοιες είναι και οι περιπτώσεις διέλευσης κατά μήκος του μετώπου. Υπάρχουν και άλλες ειδικές περιπτώσεις τομής επιπέδων, όταν η γραμμή τομής είναι οι προεξέχουσες γραμμές.
4. Η γενική περίπτωση της τομής των επιπέδων, όταν τα κοινά σημεία αυτών των επιπέδων δεν προσδιορίζονται αμέσως εντός του σχεδίου. Για την επίλυση ενός τέτοιου προβλήματος, χρησιμοποιούνται βοηθητικά αεροπλάνα κοπής, συνήθως ιδιωτικής θέσης - είτε επίπεδα επίπεδα είτε προεξέχοντα.
Εξετάστε το παράδειγμα στο Σχ. 4.15.
Δίνονται δύο επίπεδα που ορίζονται από παράλληλες ευθείες ( ένα || σι) και ένα τρίγωνο αλφάβητο. Για να προσδιορίσουμε δύο κοινά σημεία αυτών των επιπέδων, λύνουμε το πρόβλημα σύμφωνα με τον αλγόριθμο:
1. Εισαγάγετε το πρώτο βοηθητικό οριζόντιο επίπεδο å.
2. Κατασκευάζουμε τις ευθείες τομής κάθε δεδομένου επιπέδου με το βοηθητικό ( και || σι) Ç å ® η å ( αλφάβητο) Ç å ® ηε . Αυτές οι γραμμές είναι τα περιγράμματα αυτών των επιπέδων.
3. Προσδιορίστε το σημείο τομής της γραμμής τομής. Το σημείο I είναι κοινό για αυτά τα επίπεδα.
Ρύζι. 4.15. Γενική περίπτωση τομής επιπέδων.
Δοκιμή για το θέμα " Αμοιβαία τακτοποίησηευθεία και επίπεδη. Αμοιβαία διάταξη δύο αεροπλάνων "
Επιλέξτε μία σωστή απάντηση από τις επιλογές που παρέχονται:
Δύο ευθείες στο διάστημα λέγεται ότι τέμνονται αν:
Α - δεν έχουν κοινά σημεία
Β - δεν μπορείτε να σχεδιάσετε ένα αεροπλάνο μέσα από αυτά
Γ - βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται
Μια ευθεία και ένα σημείο που δεν ανήκει σε αυτήν δίνονται στο διάστημα. Πόσες ευθείες που δεν τέμνουν τη δεδομένη ευθεία διέρχονται από αυτό το σημείο:
Η Α είναι η μόνη γραμμή
Β - δύο διαφορετικές γραμμές
C - σύνολο γραμμών
Ευθεία ένα τέμνεται με ευθεία γραμμή σι , και την ευθεία σι τέμνεται με ευθεία γραμμή ντο . Άραγε προκύπτει ότι η άμεση ένα και ντο διασταυρώ γένη:
Α - όχι, μπορεί να είναι παράλληλα
Β - ναι, ευθεία ένακαι ντοδιασταυρώ γένη
Γ - όχι, μπορούν να τέμνονται ή να είναι παράλληλα
Δίνονται δύο τεμνόμενα επίπεδα. Σε καθένα από αυτά βρίσκεται μια ευθεία γραμμή που τέμνει τη γραμμή τομής των επιπέδων. Προσδιορίστε τη θέση αυτών των γραμμών σε σχέση μεταξύ τους:
A - αυτές οι γραμμές είτε τέμνονται είτε τέμνονται
Β - αυτές οι γραμμές τέμνονται
Γ - αυτές οι γραμμές μπορούν είτε να τέμνονται, είτε να είναι παράλληλες ή να τέμνονται
Είναι αλήθεια ότι δύο ευθείες παράλληλες στο ίδιο επίπεδο είναι παράλληλες μεταξύ τους:
Α ναι, έτσι είναι
Β - όχι, οι γραμμές μπορούν να τέμνονται
Γ - όχι, οι γραμμές μπορούν είτε να τέμνονται είτε να τέμνονται
Είναι αλήθεια ότι μια ευθεία παράλληλη σε ένα επίπεδο είναι παράλληλη με οποιαδήποτε ευθεία σε αυτό το επίπεδο;
Α ναι, έτσι είναι
Β - όχι, είναι παράλληλη μόνο σε μία ευθεία που βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο
Γ - όχι, δεν είναι αλήθεια
Δίνονται δύο τεμνόμενα επίπεδα. Υπάρχει ένα επίπεδο που τέμνει δύο δεδομένα επίπεδα κατά μήκος παράλληλων ευθειών:
Και - ναι, υπάρχουν πολλά τέτοια αεροπλάνα
Β - ναι, υπάρχει ένα τέτοιο αεροπλάνο
Γ - όχι, τέτοια αεροπλάνα δεν υπάρχουν
Μπορούν να τέμνονται επίπεδα παράλληλα στην ίδια ευθεία;
Και ναι, μπορούν
Β - όχι, θα είναι παράλληλα
Γ - όχι, ταιριάζουν
Επίπεδο α παράλληλα με το επίπεδο β , αεροπλάνο β παράλληλα με το επίπεδο ϕ . Πώς είναι τακτοποιημένα τα αεροπλάνα; α και ϕ:
Α - τα επίπεδα τέμνονται
Β - τα επίπεδα είναι παράλληλα
Κύβος Νταν ABCDMEFN .
Ποιες όψεις του κύβου θα είναι παράλληλες προς την άκρη CD :
ΑΛΛΑ - Α Β Γ Δκαι ΜΕΦΝ
AT - ABEMκαι CDNF
ντο – ABEMκαι ΜΕΦΝ
Καθορίστε τις άκρες του κύβου που τέμνονται με την άκρη MN :
ΑΛΛΑ - ΑΒ, προ ΧΡΙΣΤΟΥ, ΕΦκαι CD
AT - ΑΒ, ΕΙΝΑΙ, CDκαι CF
ντο – ΕΙΜΑΙ, ΜΟΥ, DNκαι NF
Πόσα ζεύγη παράλληλων επιπέδων διέρχονται από τις όψεις του κύβου:
Α - 3
ΣΤΙΣ 4
Γ - 6
Πόσα ζεύγη παράλληλων ακμών έχει ένας κύβος:
Α - 12
Β - 18
Γ - 24
Πώς είναι τακτοποιημένα οι γραμμές; ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ και D.F. :
Α - διασταύρωση
Β - διασταυρώνονται
Γ - παράλληλη
Κριτήρια αξιολόγησης:
Καλή τύχη!
