Για να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου σε ένα επίπεδο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε πολικές συντεταγμένες [g, (p), όπου σολείναι η απόσταση του σημείου από την αρχή, και (Ρ- η γωνία που κάνει η ακτίνα - το διάνυσμα αυτού του σημείου με τη θετική φορά του άξονα Ω.Θετική φορά αλλαγής γωνίας (Ρθεωρείται αριστερόστροφη φορά. Χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ καρτεσιανών και πολικών συντεταγμένων: x \u003d r cos cf, y \u003d r αμαρτία (σελ,

παίρνουμε την τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού αριθμού

z - r(sin (p + i sin

όπου σολ

Xi + y2, (p είναι το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού, το οποίο βρίσκεται από

l X . y y

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι cos(p --, sin^9 ​​= - ή λόγω του γεγονότος ότι tg(p --, (p-arctg

Σημειώστε ότι κατά την επιλογή των τιμών Νυμφεύωαπό την τελευταία εξίσωση, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη τα σημάδια x και y.

Παράδειγμα 47. Να γράψετε έναν μιγαδικό αριθμό σε τριγωνομετρική μορφή 2 \u003d -1 + l / Z / .

Λύση. Βρείτε το μέτρο και το όρισμα του μιγαδικού αριθμού:

= yj 1 + 3 = 2 . Γωνία Νυμφεύωβρείτε από τις σχέσεις cos(σελ = -, sin(p = - .Επειτα

παίρνουμε cos(p = -, σουπ

u/z g~

• - -. Προφανώς, το σημείο z = -1 + V3-/ είναι
• 2 προς την 3

στο δεύτερο τρίμηνο: (Ρ= 120°

Αντικατάσταση

2 κ.. cos-h; αμαρτία

στον τύπο (1) βρέθηκε 27G L

Σχόλιο. Το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού δεν ορίζεται μοναδικά, αλλά μέχρι έναν όρο που είναι πολλαπλάσιο του 2π.Στη συνέχεια μέσω cn^rορίζω

τιμή ορίσματος που περικλείεται μέσα (σελ 0 %2 Επειτα

Α) ^ r = + 2kk.

Χρησιμοποιώντας τη γνωστή φόρμουλα Euler ε, παίρνουμε την εκθετική μορφή του μιγαδικού αριθμού.

Εχουμε r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς

• 1. Το άθροισμα δύο μιγαδικών αριθμών r, = X] + y x/ και r 2 - x 2 + y 2 / προσδιορίζεται σύμφωνα με τον τύπο r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' ζ
• 2. Ως πράξη αφαίρεσης μιγαδικών αριθμών ορίζεται η αντίστροφη προς την πρόσθεση πράξη. Μιγαδικός αριθμός g \u003d g x - g 2,αν g 2 + g \u003d g x,

είναι η διαφορά των μιγαδικών αριθμών 2, και g 2 .Τότε r = (x, - x 2) + (y, - στο 2) /.

• 3. Γινόμενο δύο μιγαδικών αριθμών g x= x, +y, -z και 2 2 = x 2+ U2Το g καθορίζεται από τον τύπο
• *1*2 =(* +U"0(Χ 2+ Τ 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Υ2 " * + Στο1 Στο2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

Συγκεκριμένα, ε-εε\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

Μπορείτε να πάρετε τύπους για τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών σε εκθετικές και τριγωνομετρικές μορφές. Εχουμε:

• 1^ 2 - r x e 1 = )Г 2 e > = Г]Г 2 cOs((P + cp2) + ισίνη
• 4. Η διαίρεση μιγαδικών αριθμών ορίζεται ως η αντίστροφη πράξη

πολλαπλασιασμός, δηλ. αριθμός ΣΟΛ--λέγεται πηλίκο της διαίρεσης του r! στο g 2,

αν r x -1 2 ? 2 . Επειτα

Χ + Τι _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 μι

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (Ρ-,)] >2 >2
• 5. Η αύξηση ενός μιγαδικού αριθμού σε θετική ακέραια ισχύ γίνεται καλύτερα εάν ο αριθμός είναι γραμμένος με εκθετικές ή τριγωνομετρικές μορφές.

Πράγματι, αν z = ge 1 τότε

=(ge,) = r p e t = ΣΟΛ"(συν8 psr + іt gcr).

Φόρμουλα ζ" =r n (cosn(p+είναι n(p)ονομάζεται τύπος του De Moivre.

6. Εξαγωγή της ρίζας Π-Η ισχύς ενός μιγαδικού αριθμού ορίζεται ως η αντίστροφη πράξη της εκθέσεως p, p- 1,2,3,... δηλ. μιγαδικός αριθμός = y[gπου ονομάζεται η ρίζα Π-ο βαθμός ενός μιγαδικού αριθμού

δ αν σολ = g x. Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι g - g", ένα g x= l/g. (p-psr x,ένα sr^-sr/n, που προκύπτει από τον τύπο Moivre που γράφτηκε για τον αριθμό = r/*+ ippp(p).

Όπως σημειώθηκε παραπάνω, το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού δεν ορίζεται μοναδικά, αλλά μέχρι έναν όρο που είναι πολλαπλάσιο του 2 και.Να γιατί = (p + 2 τμχ, και το όρισμα του αριθμού r, ανάλογα με προς την,σημαίνω (σελ. έωςκαι μπου

dem υπολογισμός με τύπο (σελ. έως= - + . Είναι σαφές ότι υπάρχει Π com-

αριθμοί plex, Πη δύναμη του οποίου είναι ίση με τον αριθμό 2. Οι αριθμοί αυτοί έχουν ένα

και την ίδια ενότητα, ίση με ε[ρ,και τα επιχειρήματα αυτών των αριθμών λαμβάνονται από προς την = 0, 1, Π - 1. Έτσι σε τριγωνομετρική μορφή η ρίζα Ι-ος βαθμόςυπολογίζεται με τον τύπο:

(p + 2kp . . cf + 2kp

, προς την = 0, 1, 77-1,

.(r+2ktg

και σε εκθετική μορφή - σύμφωνα με τον τύπο l[r - y[ge n

Παράδειγμα 48. Εκτελέστε πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς σε αλγεβρική μορφή:

α) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (s + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6 / 2 - 2 l / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 + l/2)-(5 + Zl/2)/;

Παράδειγμα 49. Ανεβάστε τον αριθμό r \u003d Uz - / στην πέμπτη δύναμη.

Λύση. Παίρνουμε την τριγωνομετρική μορφή γραφής του αριθμού r.

G = l/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (Ρ =

• (1 - 2/X2 + /)
• (μικρό-,)

Ο - 2.-x2 + ο

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (έτσι κι έτσι

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'з+/
• 9 + 1 s_±.
• 5 2 1 "

Από εδώ σχετικά με--, ένα r = 2

Moivre παίρνουμε: i-2

/ ^ _ 7r, . ?ΣΟΛ

• -ΜΑΣ-- IBIP -

• --σι/-

\u003d - (l / W + g) \u003d -2.

Παράδειγμα 50 Βρείτε όλες τις τιμές

Λύση, r = 2, α Νυμφεύωβρείτε από την εξίσωση coy(p = -, zt--.

Αυτό το σημείο 1 - /d/z είναι στο τέταρτο τρίμηνο, δηλ. f =--. Επειτα

• 1 - 2
• ( ( UG L

Οι τιμές ρίζας βρίσκονται από την έκφραση

V1 - /l/s = l/2

• --+ 2A:/g ---b 2 κκ
• 3 . . 3

С08--1- και 81П-

Στο προς την - 0 έχουμε 2 0 = l/2

Μπορείτε να βρείτε τις τιμές της ρίζας του αριθμού 2 παρουσιάζοντας τον αριθμό στην οθόνη

-* ΠΡΟΣ ΤΗΝ/ 3 + 2 τάξη

Στο προς την= 1 έχουμε μια ακόμη ρίζα:

• 7G. 7G_
• ---b27g ---b2;g
• 3 . . η

7G . . 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --Ν-

με? - 7G + / 5Sh - I "

l/3__t_

μορφή σώματος. Επειδή r= 2, α Νυμφεύω= , τότε r = 2е 3, και y[g = ε/2ε 2

Ενέργειες σε μιγαδικούς αριθμούς γραμμένες σε αλγεβρική μορφή

Η αλγεβρική μορφή του μιγαδικού αριθμού z =(ένα,σι) ονομάζεται αλγεβρική έκφραση της μορφής

z = ένα + δις.

Αριθμητικές πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς z 1 = α 1 +β 1 Εγώκαι z 2 = α 2 +β 2 Εγώ, γραμμένα σε αλγεβρική μορφή, εκτελούνται ως εξής.

1. Άθροισμα (διαφορά) μιγαδικών αριθμών

z 1 ±z 2 = (ένα 1 ± α 2) + (σι 1 ±β 2)∙i,

εκείνοι. Η πρόσθεση (αφαίρεση) πραγματοποιείται σύμφωνα με τον κανόνα της πρόσθεσης πολυωνύμων με αναγωγή όμοιων όρων.

2. Γινόμενο μιγαδικών αριθμών

z 1 ∙z 2 = (ένα 1 ∙α 2 -σι 1 ∙β 2) + (ένα 1 ∙β 2 +α 2 ∙β 1)∙i,

εκείνοι. ο πολλαπλασιασμός εκτελείται σύμφωνα με τον συνήθη κανόνα για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι Εγώ 2 = 1.

3. Η διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών γίνεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

, (z 2 ≠ 0),

εκείνοι. Η διαίρεση γίνεται πολλαπλασιάζοντας το μέρισμα και ο διαιρέτης με το συζυγές του διαιρέτη.

Η εκτίμηση των μιγαδικών αριθμών ορίζεται ως εξής:

Είναι εύκολο να το δείξεις αυτό

Παραδείγματα.

1. Να βρείτε το άθροισμα των μιγαδικών αριθμών z 1 = 2 – Εγώκαι z 2 = – 4 + 3Εγώ.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3Εγώ) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) Εγώ = –2+2Εγώ.

2. Να βρείτε το γινόμενο μιγαδικών αριθμών z 1 = 2 – 3Εγώκαι z 2 = –4 + 5Εγώ.

= (2 – 3Εγώ) ∙ (–4 + 5Εγώ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3Εγώ)+ 2∙5Εγώ– 3i∙ 5i = 7+22Εγώ.

3. Βρείτε ιδιωτικό zαπό διαίρεση z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – Εγώ.

z= .

4. Λύστε την εξίσωση: Χκαι y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3Εγώ.

Δυνάμει της ισότητας των μιγαδικών αριθμών, έχουμε:

όπου x=–1 , y= 4.

5. Υπολογίστε: Εγώ 2 ,Εγώ 3 ,Εγώ 4 ,Εγώ 5 ,Εγώ 6 ,Εγώ -1 , Εγώ -2 .

6. Υπολογίστε εάν .

.

7. Υπολογίστε το αντίστροφο ενός αριθμού z=3-Εγώ.

Μιγαδικοί αριθμοί σε τριγωνομετρική μορφή

σύνθετο επίπεδοονομάζεται επίπεδο με καρτεσιανές συντεταγμένες ( x, y), αν κάθε σημείο έχει συντεταγμένες ( α, β) εκχωρείται ένας μιγαδικός αριθμός z = a + bi. Στην περίπτωση αυτή καλείται ο άξονας της τετμημένης πραγματικός άξονας, και ο άξονας y είναι φανταστικο. Στη συνέχεια κάθε μιγαδικός αριθμός a+biαναπαριστώνται γεωμετρικά σε επίπεδο ως σημείο Α (α, β) ή διάνυσμα .

Επομένως, η θέση του σημείου ΑΛΛΑ(και επομένως ο μιγαδικός αριθμός z) μπορεί να οριστεί από το μήκος του διανύσματος | | = rκαι γωνία ιπου σχηματίζεται από το διάνυσμα | | με τη θετική φορά του πραγματικού άξονα. Το μήκος ενός διανύσματος ονομάζεται μέτρο μιγαδικού αριθμούκαι συμβολίζεται με | z|=rκαι η γωνία ιπου ονομάζεται όρισμα μιγαδικού αριθμούκαι συμβολίζεται j = αργζ.

Είναι σαφές ότι | z| ³ 0 και | z | = 0 Û z= 0.

Από το σχ. 2 δείχνει ότι.

Το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού ορίζεται διφορούμενα και μέχρι 2 πκ, κÎ Ζ.

Από το σχ. 2 δείχνει επίσης ότι εάν z=a+biκαι j=argz,έπειτα

cos j =, αμαρτία j =, tg j = .

Αν ένα zОRκαι z > 0 τότε αργζ = 0 +2πκ;

αν z ОRκαι z< 0 τότε argz = p + 2πκ;

αν z= 0,argzδεν προσδιορίζεται.

Η κύρια τιμή του ορίσματος προσδιορίζεται στο διάστημα 0 £argz£2 Π,

ή -Π£ arg z £ σελ.

Παραδείγματα:

1. Να βρείτε το μέτρο συντελεστή μιγαδικών αριθμών z 1 = 4 – 3Εγώκαι z 2 = –2–2Εγώ.

2. Προσδιορίστε στο μιγαδικό επίπεδο τις περιοχές που καθορίζονται από τις συνθήκες:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 £; 3) | z – (2+Εγώ) | 3 £; 4) 6 £ | z – Εγώ| 7 £.

Λύσεις και απαντήσεις:

1) | z| = 5 Û Û είναι η εξίσωση ενός κύκλου με ακτίνα 5 και με κέντρο στην αρχή.

2) Κύκλος με ακτίνα 6 με κέντρο στην αρχή.

3) Κύκλος με ακτίνα 3 με κέντρο σε ένα σημείο z0 = 2 + Εγώ.

4) Ένας δακτύλιος οριοθετημένος από κύκλους με ακτίνες 6 και 7 κεντραρισμένες σε ένα σημείο z 0 = Εγώ.

3. Βρείτε την ενότητα και το όρισμα των αριθμών: 1) ; 2).

1) ; ένα = 1, σι = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2Εγώ; α =–2, b=-2 Þ ,

.

Σημείωση: Όταν ορίζετε το κύριο όρισμα, χρησιμοποιήστε το μιγαδικό επίπεδο.

Με αυτόν τον τρόπο: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j4 = , .

ΜΙΓΚΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ XI

§ 256. Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών αριθμών

Έστω ο μιγαδικός αριθμός α + δι αντιστοιχεί διάνυσμα ΟΑ> με συντεταγμένες ( α, β ) (βλ. Εικ. 332).

Να συμβολίσετε το μήκος αυτού του διανύσματος με r , και τη γωνία που κάνει με τον άξονα Χ , μέσω φ . Εξ ορισμού του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς:

ένα / r = κοσ φ , σι / r = αμαρτία φ .

Να γιατί ένα = r cos φ , σι = r αμαρτία φ . Αλλά σε αυτή την περίπτωση ο μιγαδικός αριθμός α + δι μπορεί να γραφτεί ως:

α + δι = r cos φ + ir αμαρτία φ = r (συν φ + Εγώ αμαρτία φ ).

Όπως γνωρίζετε, το τετράγωνο του μήκους οποιουδήποτε διανύσματος ισούται με το άθροισματα τετράγωνα των συντεταγμένων του. Να γιατί r 2 = ένα 2 + σι 2, από όπου r = √α 2 + σι 2

Ετσι, οποιοδήποτε μιγαδικό αριθμό α + δι μπορεί να αναπαρασταθεί ως :

α + δι = r (συν φ + Εγώ αμαρτία φ ), (1)

όπου r = √α 2 + σι 2 και η γωνία φ καθορίζεται από την προϋπόθεση:

Αυτή η μορφή γραφής μιγαδικών αριθμών ονομάζεται τριγωνομετρική.

Αριθμός r στον τύπο (1) ονομάζεται μονάδα μέτρησηςκαι η γωνία φ - διαφωνία, μιγαδικός αριθμός α + δι .

Αν ένας μιγαδικός αριθμός α + δι δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε ο συντελεστής του είναι θετικός. αν α + δι = 0, λοιπόν α = β = 0 και μετά r = 0.

Το μέτρο οποιουδήποτε μιγαδικού αριθμού προσδιορίζεται μοναδικά.

Αν ένας μιγαδικός αριθμός α + δι δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε το όρισμά του καθορίζεται από τους τύπους (2) σίγουραμέχρι γωνία πολλαπλάσιο του 2 π . Αν α + δι = 0, λοιπόν α = β = 0. Στην περίπτωση αυτή r = 0. Από τον τύπο (1) είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι ως επιχείρημα φ Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε να επιλέξετε οποιαδήποτε γωνία: τελικά, για οποιαδήποτε φ

0 (συν φ + Εγώ αμαρτία φ ) = 0.

Επομένως, το όρισμα μηδέν δεν ορίζεται.

Συντελεστής μιγαδικού αριθμού r μερικές φορές δηλώνουν | z |, και το επιχείρημα arg z . Ας δούμε μερικά παραδείγματα αναπαράστασης μιγαδικών αριθμών σε τριγωνομετρική μορφή.

Παράδειγμα. ένας. 1 + Εγώ .

Ας βρούμε τη μονάδα r και επιχείρημα φ αυτός ο αριθμός.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Επομένως αμαρτία φ = 1 / √ 2 , συν φ = 1 / √ 2 , από όπου φ = π / 4 + 2nπ .

Με αυτόν τον τρόπο,

1 + Εγώ = √ 2 ,

όπου Π - οποιοδήποτε ακέραιο. Συνήθως, από ένα άπειρο σύνολο τιμών του ορίσματος ενός μιγαδικού αριθμού, επιλέγεται ένα που είναι μεταξύ 0 και 2 π . Σε αυτή την περίπτωση, αυτή η τιμή είναι π / τέσσερα. Να γιατί

1 + Εγώ = √ 2 (συν π / 4 + Εγώ αμαρτία π / 4)

Παράδειγμα 2Να γράψετε σε τριγωνομετρική μορφή έναν μιγαδικό αριθμό √ 3 - Εγώ . Εχουμε:

r = √ 3+1 = 2 κοσ φ = √ 3 / 2 , αμαρτία φ = - 1 / 2

Επομένως, μέχρι μια γωνία διαιρούμενη με το 2 π , φ = 11 / 6 π ; Συνεπώς,

√ 3 - Εγώ = 2(cos 11 / 6 π + Εγώ αμαρτία 11/6 π ).

Παράδειγμα 3Να γράψετε σε τριγωνομετρική μορφή έναν μιγαδικό αριθμό Εγώ .

μιγαδικός αριθμός Εγώ αντιστοιχεί διάνυσμα ΟΑ> τελειώνει στο σημείο Α του άξονα στο με τεταγμένη 1 (Εικ. 333). Το μήκος ενός τέτοιου διανύσματος είναι ίσο με 1 και η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα της τετμημένης είναι ίση με π / 2. Να γιατί

Εγώ = κοσ π / 2 + Εγώ αμαρτία π / 2 .

Παράδειγμα 4Να γράψετε τον μιγαδικό αριθμό 3 σε τριγωνομετρική μορφή.

Ο μιγαδικός αριθμός 3 αντιστοιχεί στο διάνυσμα ΟΑ > Χ τετμημένη 3 (Εικ. 334).

Το μήκος ενός τέτοιου διανύσματος είναι 3 και η γωνία που κάνει με τον άξονα x είναι 0. Επομένως

3 = 3 (συν 0 + Εγώ αμαρτία 0),

Παράδειγμα 5Να γράψετε σε τριγωνομετρική μορφή τον μιγαδικό αριθμό -5.

Ο μιγαδικός αριθμός -5 αντιστοιχεί στο διάνυσμα ΟΑ> τελειώνει στο σημείο του άξονα Χ με τετμημένη -5 (Εικ. 335). Το μήκος ενός τέτοιου διανύσματος είναι 5 και η γωνία που κάνει με τον άξονα x είναι π . Να γιατί

5 = 5 (συν π + Εγώ αμαρτία π ).

Γυμνάσια

2047. Γράψτε αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή, ορίζοντας τις ενότητες και τα ορίσματά τους:

1) 2 + 2√3 Εγώ , 4) 12Εγώ - 5; 7).3Εγώ ;

2) √3 + Εγώ ; 5) 25; 8) -2Εγώ ;

3) 6 - 6Εγώ ; 6) - 4; 9) 3Εγώ - 4.

2048. Δείξτε στο επίπεδο τα σύνολα σημείων που αντιπροσωπεύουν μιγαδικούς αριθμούς των οποίων οι ενότητες r και τα ορίσματα φ ικανοποιούν τις προϋποθέσεις:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Μπορούν οι αριθμοί να είναι ταυτόχρονα το δομοστοιχείο ενός μιγαδικού αριθμού; r και - r ?

2050. Μπορεί το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού να είναι ταυτόχρονα γωνίες φ και - φ ?

Παρουσιάστε αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή ορίζοντας τις ενότητες και τα ορίσματά τους:

2051*. 1 + κοσ α + Εγώ αμαρτία α . 2054*. 2(cos 20° - Εγώ αμαρτία 20°).

2052*. αμαρτία φ + Εγώ cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - Εγώ αμαρτία 15°).

Διάλεξη

Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού

Σχέδιο

1.Γεωμετρική παράσταση μιγαδικών αριθμών.

2.Τριγωνομετρική σημειογραφία μιγαδικών αριθμών.

3. Ενέργειες σε μιγαδικούς αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή.

Γεωμετρική αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών.

α) Οι μιγαδικοί αριθμοί αντιπροσωπεύονται από σημεία του επιπέδου σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: ένα + δις = Μ ( ένα ; σι ) (Εικ. 1).

Εικόνα 1

β) Ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως διάνυσμα που ξεκινά από το σημείοΟ και τελειώνουν σε ένα δεδομένο σημείο (Εικ. 2).

Σχήμα 2

Παράδειγμα 7. Σχεδιάστε σημεία που αντιπροσωπεύουν μιγαδικούς αριθμούς:1; - Εγώ ; - 1 + Εγώ ; 2 – 3 Εγώ (Εικ. 3).

Εικόνα 3

Τριγωνομετρική σημειογραφία μιγαδικών αριθμών.

Μιγαδικός αριθμόςz = ένα + δις μπορεί να ρυθμιστεί χρησιμοποιώντας την ακτίνα - διάνυσμα με συντεταγμένες( ένα ; σι ) (Εικ. 4).

Εικόνα 4

Ορισμός . Διάνυσμα μήκος που αντιπροσωπεύει τον μιγαδικό αριθμόz , ονομάζεται συντελεστής αυτού του αριθμού και συμβολίζεται ήr .

Για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμόz την ενότητα τουr = | z | καθορίζεται μοναδικά από τον τύπο .

Ορισμός . Η τιμή της γωνίας μεταξύ της θετικής κατεύθυνσης του πραγματικού άξονα και του διανύσματος που αντιπροσωπεύει έναν μιγαδικό αριθμό ονομάζεται όρισμα αυτού του μιγαδικού αριθμού και συμβολίζεταιΑΛΛΑ rg z ήφ .

Επιχείρημα μιγαδικού αριθμούz = 0 δεν καθορίζεται. Επιχείρημα μιγαδικού αριθμούz≠ 0 είναι μια ποσότητα πολλαπλών τιμών και προσδιορίζεται μέχρι τον όρο2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = αργ z + 2πk , όπουαργ z - η κύρια τιμή του ορίσματος, που περικλείεται στο διάστημα(-π; π] , αυτό είναι-π < αργ z ≤ π (μερικές φορές η τιμή που ανήκει στο διάστημα λαμβάνεται ως η κύρια τιμή του ορίσματος .

Αυτή η φόρμουλα γιαr =1 συχνά αναφέρεται ως τύπος του De Moivre:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Παράδειγμα 11 Υπολογίστε(1 + Εγώ ) 100 .

Ας γράψουμε έναν μιγαδικό αριθμό1 + Εγώ σε τριγωνομετρική μορφή.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , αμαρτία φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (συν + αμαρτάνω )] 100 = ( ) 100 (συν 100 + αμαρτω 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας ενός μιγαδικού αριθμού.

Κατά την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας ενός μιγαδικού αριθμούένα + δις έχουμε δύο περιπτώσεις:

ανσι > περίπου , έπειτα ;