βαθμός του αριθμού έναμε φυσικό δείκτη n, μεγαλύτερο από 1, ονομάζεται γινόμενο nπολλαπλασιαστές, καθένας από τους οποίους ισούται με ένα:

Στην έκφραση a n:

Αριθμός ένα(επαναλαμβανόμενος παράγοντας) ονομάζεται βάση πτυχίου

Αριθμός n(δείχνει πόσες φορές επαναλαμβάνεται ο πολλαπλασιαστής) - εκθέτης

Για παράδειγμα:
2 5 = 2 2 2 2 2 = 32,
εδώ:
2 - η βάση του βαθμού,
5 - εκθέτης,
32 - τιμή μοιρών

Σημειώστε ότι η βάση του πτυχίου μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Ο υπολογισμός της τιμής ισχύος ονομάζεται ενέργεια εκθέσεως. Αυτή είναι η δράση του τρίτου σταδίου. Δηλαδή, κατά τον υπολογισμό της τιμής μιας παράστασης που δεν περιέχει αγκύλες, εκτελέστε πρώτα την ενέργεια του τρίτου σταδίου, μετά το δεύτερο (πολλαπλασιασμός και διαίρεση) και τέλος το πρώτο (πρόσθεση και αφαίρεση).

Για την εγγραφή μεγάλων αριθμών, χρησιμοποιούνται συχνά δυνάμεις του 10. Έτσι, η απόσταση από τη γη στον ήλιο, περίπου ίση με 150 εκατομμύρια km, γράφεται ως 1,5 10 8

Κάθε αριθμός μεγαλύτερος του 10 μπορεί να γραφτεί ως: a 10 n , όπου 1 ≤ a< 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.

Για παράδειγμα: 4578 \u003d 4.578 10 3;

103000 = 1,03 10 5 .

Ιδιότητες πτυχίου με φυσικό δείκτη:

ένας . Στο πολλαπλασιαζόμενες δυνάμειςμε την ίδια βάση, η βάση παραμένει η ίδια και οι εκθέτες αθροίζονται

a m a n = a m + n

για παράδειγμα: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

2. Στο διαίρεση πτυχίωνμε την ίδια βάση, η βάση παραμένει ίδια και οι εκθέτες αφαιρούνται

a m / a n = a m - n ,

όπου, m > n,
a ≠ 0

π.χ.: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

3 . Στο εκθέσεωςη βάση παραμένει η ίδια, αλλά οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.

(a m) n = a m n

για παράδειγμα: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

τέσσερα. Στο εκθεσιμότητα ενός προϊόντοςκάθε παράγοντας ανυψώνεται σε αυτή τη δύναμη

(α β) n = a n b m ,

για παράδειγμα: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

5 . Στο εκφορά ενός κλάσματοςο αριθμητής και ο παρονομαστής αυξάνονται σε αυτή τη δύναμη

(a / b) n = a n / b n

για παράδειγμα: (2 / 5) 3 = (2 / 5) (2 / 5) (2 / 5) = 2 3 /5 3

Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

Ο βαθμός a > 0 γ ορθολογικός δείκτης, όπου m είναι ακέραιος και n φυσικός αριθμός (n > 1), ονομάζεται αριθμός

Για παράδειγμα:

Η ισχύς του 0 ορίζεται μόνο για θετικούς εκθέτες.

εξ ορισμού 0 r = 0, για οποιοδήποτε r > 0

Παρατηρήσεις

Για μοίρες με λογικό εκθέτη, τον κύριο ιδιότητες βαθμού , ισχύει για τυχόν δείκτες (με την προϋπόθεση ότι η βάση του πτυχίου είναι θετική).

Πτυχίο με πραγματικό εκθέτη

Έτσι, για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, έχουμε ορίσει τη λειτουργία της ανύψωσης σε μια φυσική δύναμη. Για οποιονδήποτε αριθμό, έχουμε ορίσει εκπτώσεις σε μηδενικές και αρνητικές ακέραιες δυνάμεις. Για οποιαδήποτε, έχουμε ορίσει τη λειτουργία της αύξησης σε μια θετική κλασματική ισχύ. για οποιαδήποτε, έχουμε ορίσει τη λειτουργία της αύξησης σε αρνητική κλασματική δύναμη.

Τίθεται ένα φυσικό ερώτημα: είναι δυνατόν να οριστεί με οποιονδήποτε τρόπο η λειτουργία της ανύψωσης σε μια παράλογη δύναμη και, κατά συνέπεια, να προσδιοριστεί η σημασία της έκφρασης a x για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x; Αποδεικνύεται ότι για τους θετικούς αριθμούς a, μπορεί κανείς να δώσει τη σημασία της γραφής ενός α , όπου α είναι ένας παράλογος αριθμός. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις: a = 1, a > 1, 0< a < 1.

Άρα, για > 0, έχουμε ορίσει το βαθμό με οποιονδήποτε πραγματικό εκθέτη.

S. Shestakov,
Μόσχα

Γραπτή εξέταση

Βαθμός 11
1. Υπολογισμοί. Μετατροπή έκφρασης

§ 3. Πτυχίο με πραγματικό εκθέτη

Οι ασκήσεις της § 5 του πρώτου κεφαλαίου της συλλογής σχετίζονται κυρίως με την εκθετική συνάρτηση και τις ιδιότητές της. Σε αυτή την παράγραφο, όπως και στις προηγούμενες, ελέγχεται όχι μόνο η ικανότητα εκτέλεσης μετασχηματισμών με βάση γνωστές ιδιότητες, αλλά και η γνώση των λειτουργικών συμβόλων από τους μαθητές. Μεταξύ των εργασιών της συλλογής, διακρίνονται οι ακόλουθες ομάδες:

• ασκήσεις ορισμού εκθετικη συναρτηση(1.5.A06, 1.5.B01–B04) και τη δυνατότητα χρήσης λειτουργικών συμβόλων (1.5A02, 1.5.B05, ​​1.5C11).
• ασκήσεις για μετατροπή έκφρασης, που περιέχει βαθμό με πραγματικό εκθέτη και για τον υπολογισμό των τιμών τέτοιων παραστάσεων και των τιμών της εκθετικής συνάρτησης (1.5B07, 1.5B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5D03, 1.5D05, 1.5.D10, κ.λπ.);
• ασκήσεις σύγκρισης τιμές έκφρασης, που περιέχει βαθμό με πραγματικό εκθέτη, που απαιτεί τη χρήση ιδιοτήτων ενός βαθμού με πραγματικό εκθέτη και εκθετική συνάρτηση (1.5.B11, 1.5C01, 1.5C12, 1.5D01, 1.5D11).
• άλλες ασκήσεις (συμπεριλαμβανομένων εκείνων που σχετίζονται με σημειογραφία θέσης αριθμών, προόδους κ.λπ.) - 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5. C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.

Εξετάστε μια σειρά από εργασίες που σχετίζονται με το λειτουργικό συμβολισμό.

1.5.A02. ε) Δίνονται οι συναρτήσεις

Να βρείτε την τιμή της παράστασης f 2 (x) - g 2 (x).

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο διαφοράς τετραγώνων:

Απάντηση: -12.

1.5.C11. β) Δίνονται οι συναρτήσεις

Βρείτε την τιμή της παράστασης f(x) f(y) - g(x) g(y) εάν f(x - y) = 9.

Ας φέρουμε σύντομες λύσειςασκήσεις για τον μετασχηματισμό παραστάσεων που περιέχουν βαθμό με πραγματικό εκθέτη και για τον υπολογισμό των τιμών αυτών των παραστάσεων και των τιμών της εκθετικής συνάρτησης.

1.5.B07. α) Είναι γνωστό ότι 6 ένα – 6 –ένα= 6. Βρείτε την τιμή της παράστασης (6 ένα– 6) 6 ένα .

Λύση. Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι 6 ένα – 6 = 6 -ένα. Επειτα

(6 ένα– 6) 6α = 6 -ένα 6 ένα = 1.

1.5.C05. β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης 7 α-β, αν

Λύση. Κατά συνθήκη Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της αριστερής πλευράς αυτής της εξίσωσης με 7 b . Παίρνω

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση. Έστω y = 7 α-β. Η ισότητα παίρνει τη μορφή

Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει

Η επόμενη ομάδα ασκήσεων είναι εργασίες για τη σύγκριση των τιμών των παραστάσεων που περιέχουν έναν βαθμό με έναν πραγματικό εκθέτη, που απαιτούν τη χρήση ιδιοτήτων ενός βαθμού με πραγματικό εκθέτη και μια εκθετική συνάρτηση.

1.5.B11. β) Να διατάξετε τους αριθμούς f(60), g(45) και h(30) σε φθίνουσα σειρά αν f(x) = 5 x , g(x) = 7 x και h(x) = 3 x .

Λύση. f(60) = 5 60 , g(45) = 7 45 και h(30) = 3 30 .

Ας μετατρέψουμε αυτούς τους βαθμούς έτσι ώστε να έχουμε τους ίδιους δείκτες:

5 60 =625 15 , 7 45 =343 15 , 3 30 =9 15 .

Ας γράψουμε τις βάσεις με φθίνουσα σειρά: 625 > 343 > 9.

Επομένως, η απαιτούμενη σειρά είναι: f(60), g(45), h(30).

Απάντηση: f(60), g(45), h(30).

1.5.C12. α) Συγκρίνετε , όπου x και y είναι κάποιοι πραγματικοί αριθμοί.

Λύση.

Να γιατί

Να γιατί

Από 3 2 > 2 3 , το καταλαβαίνουμε

Απάντηση:

1.5.D11. α) Συγκρίνετε τους αριθμούς

Αφού παίρνουμε

Απάντηση:

Στο τέλος της ανασκόπησης των εργασιών για ένα πτυχίο με πραγματικό δείκτη, θα εξετάσουμε ασκήσεις που σχετίζονται με τη σημειογραφία θέσης ενός αριθμού, προόδους κ.λπ.

1.5.A03. β) Δίνεται συνάρτηση f(x) = (0,1) x . Βρείτε την τιμή της παράστασης 6f(3) + 9f(2) + 4f(1) + 4f(0).

4f(0) + 4f(1) + 9f(2) + 6f(3) = 4 1 + 4 0,1 + 9 0,01 + 6 0,001 = 4,496.

Έτσι, αυτή η έκφραση είναι η επέκταση στο άθροισμα των ψηφιακών μονάδων του δεκαδικού κλάσματος 4.496.

Απάντηση: 4.496.

1.5.D07. α) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 0,1 x. Βρείτε την τιμή της παράστασης f 3 (1) - f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (-1) n-1 f 3 (n) + ...

f 3 (1)–f 3 (2)+f 3 (3)+...+(–1) n–1 f 3 (n)+...= 0,1 3 –0,1 6 +0 ,1 9 + ...+(–1) n–1 0,1 3n + ...

Αυτή η έκφραση είναι το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρική πρόοδοςμε πρώτο όρο 0,001 και παρονομαστή -0,001. Το άθροισμα είναι

1.5.D09. α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης 5 2x +5 2y +2 5x 5 y – 25 y 5 x αν 5 x –5 y =3, x + y = 3.

5 2x +5 2y +25 x 5 y –25 y 5 x =(5 x – 5 y) 2 +2 5 x 5 y +5 x 5 y (5 x – 5 y)=3 2 +2 5 x+ y +5 x+y 3=3 2 +2 5 3 +3 5 3 =634.

Απάντηση: 634.

§ 4. Λογαριθμικές εκφράσεις

Κατά την επανάληψη του θέματος «Μετασχηματισμός λογαριθμικών παραστάσεων» (§ 1.6 της συλλογής), θα πρέπει να θυμηθούμε έναν αριθμό βασικών τύπων που σχετίζονται με τους λογάριθμους:

Ακολουθούν ορισμένοι τύποι, η γνώση των οποίων δεν απαιτείται για την επίλυση προβλημάτων των επιπέδων Α και Β, αλλά μπορεί να είναι χρήσιμη για την επίλυση πιο περίπλοκων προβλημάτων (ο αριθμός αυτών των τύπων μπορεί είτε να μειωθεί είτε να αυξηθεί ανάλογα με τις απόψεις των δάσκαλος και το επίπεδο ετοιμότητας των μαθητών):

Οι περισσότερες από τις ασκήσεις από την § 1.6 της συλλογής μπορούν να αποδοθούν σε μία από τις ακόλουθες ομάδες:

• ασκήσεις για την άμεση χρήση του ορισμού και των ιδιοτήτων των λογαρίθμων (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, ​​1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D. , 1.6.D10);
• ασκήσεις για τον υπολογισμό της τιμής μιας λογαριθμικής παράστασης από δεδομένη αξίαάλλη έκφραση ή λογάριθμος (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02);
• ασκήσεις για τη σύγκριση των τιμών δύο παραστάσεων που περιέχουν λογάριθμους (1.6.C11).
• ασκήσεις με σύνθετη εργασία πολλαπλών βημάτων (1.6.D11, 1.6.D12).

Δίνουμε συνοπτικές λύσεις σε ασκήσεις για την άμεση χρήση του ορισμού και των ιδιοτήτων των λογαρίθμων.

1.6.B05. α) Να βρείτε την τιμή της έκφρασης

Λύση.

Η έκφραση παίρνει τη μορφή

1.6.D08. β) Βρείτε την τιμή της παράστασης (1 - log 4 36)(1 - log 9 36).

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων:

(1 - ημερολόγιο 4 36)(1 - ημερολόγιο 9 36) =

= (1 – log 4 4 – log 4 9)(1 – log 9 4 – log 9 9) =

= –log 4 9 (–log 9 4) = 1.

1.6.D10. α) Να βρείτε την τιμή της έκφρασης

Λύση. Ας μετατρέψουμε τον αριθμητή:

log 6 42 log 7 42=(1 + log 6 7)(1 + log 7 6)=1 + log 6 7 + log 7 6 + log 6 7 log 7 6.

Αλλά log 6 7 log 7 6 = 1. Άρα ο αριθμητής είναι 2 + log 6 7 + log 7 6 και το κλάσμα είναι 1.

Ας περάσουμε στην επίλυση ασκήσεων για τον υπολογισμό της τιμής μιας λογαριθμικής παράστασης δεδομένης της τιμής μιας άλλης παράστασης ή λογάριθμου.

1.6.D02. α) Βρείτε την τιμή της παράστασης log 70 320 αν log 5 7= ένα, log 7 2= σι.

Λύση. Ας μεταμορφώσουμε την έκφραση. Ας προχωρήσουμε στη βάση 7:

Από την προϋπόθεση ότι . Να γιατί

Το παρακάτω πρόβλημα απαιτεί να συγκρίνετε τις τιμές δύο παραστάσεων που περιέχουν λογάριθμους.

1.6.C11. α) Συγκρίνετε τους αριθμούς

Λύση. Ας πάρουμε και τους δύο λογάριθμους στη βάση 2.

Επομένως, αυτοί οι αριθμοί είναι ίσοι.

Απάντηση: αυτοί οι αριθμοί είναι ίσοι.

Για οποιαδήποτε γωνία α τέτοια ώστε α ≠ πk/2 (το k ανήκει στο σύνολο Z), έχουμε:

Για οποιαδήποτε γωνία α, οι ισότητες είναι αληθείς:

Για οποιαδήποτε γωνία α τέτοια ώστε α ≠ πk (k ανήκει στο σύνολο Z), έχουμε:

Φόρμουλες cast

Ο πίνακας περιέχει τύπους αναγωγής για τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Λειτουργία (γωνία σε º)	90º - α	90º + α	180º - α	180º + α	270º - α	270º + α	360º - α	360º + α
αμαρτία	cosα	cosα	sina	-sina	-cos α	-cos α	-sina	sina
cos	sina	-sina	-cos α	-cos α	-sina	sina	cosα	cosα
tg	ctgα	-ctgα	-tgα	tgα	ctgα	-ctgα	-tgα	tgα
ctg	tgα	-tgα	-ctgα	ctgα	tgα	-tgα	-ctgα	ctgα
Λειτουργία (γωνία σε rad.)	π/2 – α	π/2 + α	π – α	π + α	3π/2 – α	3π/2 + α	2π-α	2π + α

Ισοτιμία τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι γωνίες φ και -φ σχηματίζονται περιστρέφοντας τη δοκό σε δύο αμοιβαία αντίθετες κατευθύνσεις (δεξιόστροφα και αριστερόστροφα).
Επομένως, οι ακραίες πλευρές OA 1 και OA 2 αυτών των γωνιών είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα x. Μοναδιαίες διανυσματικές συντεταγμένες OA 1 = ( Χ 1 , στο 1) και ΟΑ 2 = ( Χ 2 , y 2) ικανοποιεί τις σχέσεις: Χ 2 = Χ 1 y 2 = -στο 1 Επομένως cos(-φ) = cosφ, sin (- φ) = -sin φ, Επομένως, το ημίτονο είναι μια περιττή συνάρτηση και το συνημίτονο είναι μια άρτια συνάρτηση της γωνίας.
Στη συνέχεια έχουμε:
Να γιατί η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη είναι περιττές συναρτήσεις μιας γωνίας.

8)Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις - μαθηματικές συναρτήσεις, οι οποίες είναι αντίστροφες προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις συνήθως περιλαμβάνουν έξι συναρτήσεις:

§ τόξο(σύμβολο: arcsin)

§ τόξο συνημίτονο(σύμβολο: τόξο)

§ εφαπτομένη τόξου(ονομασία: arctg, στην ξένη λογοτεχνία arctan)

§ εφαπτομένη τόξου(ονομασία: arcctg, στην ξένη λογοτεχνία arccotan)

§ τόξο(σύμβολο: arcsec)

§ arccosecant(ονομασία: arccosec, στην ξένη βιβλιογραφία arcsc)

Το όνομα της αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης σχηματίζεται από το όνομα της αντίστοιχης τριγωνομετρικής συνάρτησης προσθέτοντας το πρόθεμα "ark-" (από lat. τόξο- τόξο). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι γεωμετρικά η τιμή της αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης μπορεί να συσχετιστεί με το μήκος του τόξου ενός κύκλου μονάδας (ή τη γωνία που υποτάσσει αυτό το τόξο) που αντιστοιχεί σε ένα ή άλλο τμήμα. Περιστασιακά στην ξένη βιβλιογραφία χρησιμοποιούν χαρακτηρισμούς όπως sin −1 για το τόξο, κ.λπ. Αυτό θεωρείται αδικαιολόγητο, καθώς είναι δυνατή η σύγχυση με την αύξηση της συνάρτησης στην ισχύ του −1.

ιδιότητες της συνάρτησης arcsin

(η συνάρτηση είναι περίεργη). στο .

στο

στο

Ιδιότητες της συνάρτησης arccos[

· (η συνάρτηση είναι κεντρικά συμμετρική ως προς το σημείο ), είναι αδιάφορη.

·

·

·

ιδιότητες συνάρτησης arctg

·

· , για x > 0.

ιδιότητες συνάρτησης arcctg

(η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κεντρικά συμμετρική ως προς το σημείο

· για κάθε

·

12) Ο βαθμός ενός αριθμού a > 0 με λογικό εκθέτη είναι ο εκθέτης, ο εκθέτης του οποίου μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συνηθισμένο μη αναγώγιμο κλάσμα x = m / n, όπου m είναι ακέραιος και n είναι φυσικός αριθμός, και n > 1 (x είναι ο εκθέτης).

Πτυχίο με πραγματικό εκθέτη

Ας δοθεί ένας θετικός αριθμός και ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός. Ο αριθμός ονομάζεται βαθμός, ο αριθμός είναι η βάση του βαθμού, ο αριθμός είναι ο εκθέτης.

Εξ ορισμού θεωρείται ότι:

Εάν και είναι θετικοί αριθμοί, και είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί, τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

14)Βασικός λογάριθμος ενός αριθμού(από τα ελληνικά λόγος - «λέξη», «σχέση» και ἀριθμός - «αριθμός») ορίζεται ως δείκτης του βαθμού στον οποίο πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ένας αριθμός. Ονομασία:, προφέρεται: " λογάριθμος βάσης".

Ιδιότητες λογαρίθμων:

1° - βασική λογαριθμική ταυτότητα.

Ο λογάριθμος της μονάδας σε οποιαδήποτε θετική βάση εκτός του 1 είναι μηδέν. Αυτό είναι δυνατό γιατί από οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό μπορείτε να πάρετε το 1 μόνο αν το σηκώσετε στη μηδενική ισχύ.

4° είναι ο λογάριθμος του γινομένου.

Ο λογάριθμος του γινομένου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων.

5° είναι ο λογάριθμος του πηλίκου.

Ο λογάριθμος του πηλίκου (κλάσμα) ισούται με τη διαφορά των λογαρίθμων των παραγόντων.

6° είναι ο λογάριθμος της μοίρας.

Ο λογάριθμος μιας μοίρας είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη και του λογάριθμου της βάσης του.

7°

8°

9° - μετάβαση σε νέα βάση.

15) Πραγματικός αριθμός - (πραγματικός αριθμός), οποιοσδήποτε θετικός, αρνητικός αριθμός ή μηδέν. Μέσω πραγματικών αριθμών, εκφράζονται τα αποτελέσματα της μέτρησης όλων των φυσικών μεγεθών. ;

16)φανταστική μονάδαείναι συνήθως ένας μιγαδικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με αρνητικό. Ωστόσο, είναι δυνατές και άλλες επιλογές: στην κατασκευή του διπλασιασμού κατά Cayley-Dixon ή στο πλαίσιο της άλγεβρας σύμφωνα με τον Clifford.

Μιγαδικοί αριθμοί(απαρχαιωμένοι φανταστικοί αριθμοί) - αριθμοί της μορφής , όπου και είναι πραγματικοί αριθμοί, είναι μια φανταστική μονάδα. αυτό είναι . Πολλά από όλα μιγαδικοί αριθμοίσυνήθως συμβολίζεται από το λατ. συγκρότημα- στενά συνδεδεμένα.

Σας υπενθυμίζουμε ότι σε αυτό το μάθημα καταλαβαίνουμε ιδιότητες βαθμούμε φυσικούς δείκτες και μηδέν. Τα πτυχία με ορθολογικούς δείκτες και οι ιδιότητές τους θα συζητηθούν στα μαθήματα για την 8η τάξη.

Ένας εκθέτης με φυσικό εκθέτη έχει πολλές σημαντικές ιδιότητες που σας επιτρέπουν να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς σε παραδείγματα εκθέτη.

Ακίνητο #1
Προϊόν των δυνάμεων

Θυμάμαι!

Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, η βάση παραμένει αμετάβλητη και οι εκθέτες προστίθενται.

a m a n \u003d a m + n, όπου "a"- οποιοσδήποτε αριθμός και" m"," n"- οποιοδήποτε ακέραιοι αριθμοί.

Αυτή η ιδιότητα των δυνάμεων επηρεάζει επίσης το γινόμενο τριών ή περισσότερων δυνάμεων.

• Απλοποιήστε την έκφραση.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Παρουσιάστε ως πτυχίο.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Παρουσιάστε ως πτυχίο.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Σπουδαίος!

Λάβετε υπόψη ότι στην υποδεικνυόμενη ιδιότητα αφορούσε μόνο τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με τους ίδιους λόγους . Δεν ισχύει για την προσθήκη τους.

Δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε το άθροισμα (3 3 + 3 2) με 3 5 . Αυτό είναι κατανοητό αν
υπολογίστε (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 και 3 5 = 243

Ακίνητο #2
Ιδιωτικά πτυχία

Θυμάμαι!

Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, η βάση παραμένει αμετάβλητη και ο εκθέτης του διαιρέτη αφαιρείται από τον εκθέτη του μερίσματος.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των μερικών μοιρών.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Απάντηση: t = 3 4 = 81

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες Νο. 1 και Νο. 2, μπορείτε εύκολα να απλοποιήσετε εκφράσεις και να εκτελέσετε υπολογισμούς.

• Παράδειγμα. Απλοποιήστε την έκφραση.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Παράδειγμα. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης χρησιμοποιώντας ιδιότητες βαθμού.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Σπουδαίος!

  Λάβετε υπόψη ότι η ιδιοκτησία 2 αφορούσε μόνο την κατανομή εξουσιών με τις ίδιες βάσεις.

  Δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε τη διαφορά (4 3 −4 2) με 4 1 . Αυτό είναι κατανοητό αν αναλογιστούμε (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 και 4 1 = 4

  Πρόσεχε!

  Ακίνητο #3
  Εκθεσιμότητα

  Θυμάμαι!

  Κατά την αύξηση μιας ισχύος σε μια ισχύ, η βάση της ισχύος παραμένει αμετάβλητη και οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.

  (a n) m \u003d a n m, όπου "a" είναι οποιοσδήποτε αριθμός και "m", "n" είναι οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί.

  
  

  Ιδιότητες 4
  Πτυχίο προϊόντος

  Θυμάμαι!

  Όταν ανεβάζετε ένα προϊόν σε μια ισχύ, κάθε ένας από τους παράγοντες αυξάνεται σε μια ισχύ. Τα αποτελέσματα στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται.

  (α β) n \u003d a n b n, όπου "a", "b" είναι οποιοιδήποτε ρητικοί αριθμοί. "n" - οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.

  • Παράδειγμα 1
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Παράδειγμα 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Σπουδαίος!

  Σημειώστε ότι η ιδιότητα Νο. 4, όπως και άλλες ιδιότητες πτυχίων, εφαρμόζεται επίσης με αντίστροφη σειρά.

  (a n b n)= (a b) n

  Δηλαδή, για να πολλαπλασιάσετε μοίρες με τους ίδιους εκθέτες, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τις βάσεις και να αφήσετε τον εκθέτη αμετάβλητο.

  • Παράδειγμα. Υπολογίζω.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Παράδειγμα. Υπολογίζω.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Σε περισσότερα δύσκολα παραδείγματαμπορεί να υπάρξουν περιπτώσεις που ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση πρέπει να εκτελεστούν πάνω από δυνάμεις με διαφορετικούς λόγουςκαι διαφορετικούς δείκτες. Σε αυτή την περίπτωση, σας συμβουλεύουμε να κάνετε τα εξής.

  Για παράδειγμα, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Παράδειγμα εκθέσεως δεκαδικού κλάσματος.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = τέσσερα

  Ιδιότητες 5
  Δύναμη του πηλίκου (κλάσματα)

  Θυμάμαι!

  Για να αυξήσετε ένα πηλίκο σε μια δύναμη, μπορείτε να αυξήσετε το μέρισμα και τον διαιρέτη ξεχωριστά σε αυτήν την ισχύ και να διαιρέσετε το πρώτο αποτέλεσμα με το δεύτερο.

  (α: β) n \u003d a n: b n, όπου "a", "b" είναι οποιοιδήποτε ρητός αριθμός, b ≠ 0, n είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.

  • Παράδειγμα. Εκφράστε την έκφραση ως μερικές δυνάμεις.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Υπενθυμίζουμε ότι ένα πηλίκο μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Ως εκ τούτου, θα σταθούμε στο θέμα της αύξησης ενός κλάσματος σε μια ισχύ με περισσότερες λεπτομέρειες στην επόμενη σελίδα.

Θέμα μαθήματος: Πτυχίο με λογικούς και πραγματικούς εκθέτες.

Στόχοι:

Εκπαιδευτικός :

• γενίκευση της έννοιας του πτυχίου.

  να αναπτύξει την ικανότητα εύρεσης της αξίας του πτυχίου με πραγματικό δείκτη.

  να παγιώσει την ικανότητα χρήσης των ιδιοτήτων του βαθμού κατά την απλοποίηση εκφράσεων.

  αναπτύξουν τη δεξιότητα χρήσης των ιδιοτήτων του πτυχίου στους υπολογισμούς.

Εκπαιδευτικός :

• πνευματική, συναισθηματική, προσωπική ανάπτυξη του μαθητή.

  ανάπτυξη της ικανότητας γενίκευσης, συστηματοποίησης βάσει σύγκρισης, εξαγωγής συμπερασμάτων.

  ενεργοποίηση ανεξάρτητης δραστηριότητας·

  αναπτύξουν την περιέργεια.

Εκπαιδευτικός :

• εκπαίδευση επικοινωνιακών και πληροφοριακή κουλτούραΦοιτητές;

  Η αισθητική εκπαίδευση πραγματοποιείται μέσω του σχηματισμού της ικανότητας ορθολογικής, ακριβούς κατάρτισης μιας εργασίας σε έναν πίνακα και σε ένα σημειωματάριο.

Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν: ορισμός και ιδιότητες βαθμού με πραγματικό εκθέτη

Οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση:

να καθορίσετε εάν μια έκφραση με βαθμό έχει νόημα.

χρήση των ιδιοτήτων του βαθμού στους υπολογισμούς και την απλοποίηση των εκφράσεων.

να λύσει παραδείγματα που περιέχουν πτυχίο.

συγκρίνετε, βρείτε ομοιότητες και διαφορές.

Φόρμα μαθήματος: σεμινάριο – εργαστήριο, με στοιχεία έρευνας. Υποστήριξη υπολογιστή.

Μορφή οργάνωσης της εκπαίδευσης: ατομική, ομαδική.

Παιδαγωγικές τεχνολογίες : μάθηση βάσει προβλημάτων, συνεργατική μάθηση, προσωπική - προσανατολισμένη μάθηση, επικοινωνιακός.

Τύπος μαθήματος: μάθημα έρευνας και πρακτικής εργασίας.

Εικόνες και φυλλάδια μαθήματος:

παρουσίαση

τύποι και πίνακες (εφαρμογή 1.2)

ανάθεση για ανεξάρτητη εργασία (Παράρτημα 3)

Πλάνο μαθήματος

№

Στάδιο μαθήματος

Σκοπός της σκηνής

Χρόνος, min.

Έναρξη μαθήματος

Αναφορά του θέματος του μαθήματος, καθορισμός των στόχων του μαθήματος.

1-2 λεπτά

προφορική εργασία

Εξετάστε τους τύπους ισχύος.

Ιδιότητες πτυχίου.

4-5 λεπτά.

Μετωπική λύση

πίνακες από το σχολικό βιβλίο Νο 57 (1,3,5)

№58(1,3,5) με λεπτομερή τήρηση του σχεδίου λύσης.

Διαμόρφωση δεξιοτήτων και ικανοτήτων

ζητήστε από τους μαθητές να εφαρμόσουν ιδιότητες

βαθμούς κατά την εύρεση των τιμών της έκφρασης.

8-10 λεπτά.

Εργασία σε μικροομάδες.

Εντοπισμός κενών στη γνώση

μαθητές, δημιουργώντας προϋποθέσεις για

ατομική ανάπτυξημαθητης σχολειου

στο μάθημα.

15-20 λεπτά.

Συνοψίζοντας την εργασία.

Παρακολουθήστε την επιτυχία της δουλειάς σας

Φοιτητές στο ανεξάρτητη λύσηεργασίες για το θέμα, μάθετε

τη φύση των δυσκολιών, τις αιτίες τους,

δίνουν συλλογικές λύσεις.

5-6 λεπτά.

Εργασία για το σπίτι

Εισάγετε τους μαθητές στην εργασία για το σπίτι. Δώστε τις απαραίτητες εξηγήσεις.

1-2 λεπτά.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Οργάνωση χρόνου

Γεια σας παιδιά! Γράψτε στα τετράδιά σας τον αριθμό, το θέμα του μαθήματος.

Λένε ότι ο εφευρέτης του σκακιού, ως ανταμοιβή για την εφεύρεσή του, ζήτησε από τον raja λίγο ρύζι: ζήτησε να βάλει έναν κόκκο στο πρώτο κελί της σανίδας, στο δεύτερο - 2 φορές περισσότερο, δηλαδή 2 κόκκους, στο τρίτο - 2 φορές παραπάνω, δηλαδή 4 κόκκοι κλπ έως 64 κύτταρα.

Το αίτημά του φάνηκε πολύ μέτριο στους Ράτζα, αλλά σύντομα έγινε σαφές ότι ήταν αδύνατο να το εκπληρώσει. Ο αριθμός των κόκκων που έπρεπε να δοθεί στον εφευρέτη του σκακιού ως ανταμοιβή εκφράζεται με το άθροισμα

1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .

Το ποσό αυτό ισούται με έναν τεράστιο αριθμό

18446744073709551615

Και είναι τόσο μεγάλο που αυτή η ποσότητα σιτηρών θα μπορούσε να καλύψει ολόκληρη την επιφάνεια του πλανήτη μας, συμπεριλαμβανομένου του παγκόσμιου ωκεανού, με ένα στρώμα 1 cm.

Οι βαθμοί χρησιμοποιούνται κατά τη σύνταξη αριθμών και εκφράσεων, γεγονός που τους καθιστά πιο συμπαγείς και βολικούς για την εκτέλεση ενεργειών.

Συχνά, οι μοίρες χρησιμοποιούνται κατά τη μέτρηση φυσικών μεγεθών, τα οποία μπορεί να είναι "πολύ μεγάλα" και "πολύ μικρά".

Η μάζα της γης 6000000000000000000000 t γράφεται ως γινόμενο 6,10 21 t

Η διάμετρος ενός μορίου νερού 0,0000000003 m γράφεται ως γινόμενο

3.10 -10 Μ.

1. Ποια μαθηματική έννοια συνδέεται με τις λέξεις:

Βάση
Δείκτης(Βαθμός)

Ποιες λέξεις μπορούν να συνδυάσουν τις λέξεις:
ρητός αριθμός
Ακέραιος αριθμός
Φυσικός αριθμός
παράλογος αριθμός(Πραγματικός αριθμός)
Διατυπώστε το θέμα του μαθήματος.(Ισχύς με πραγματικό εκθέτη)

2. Άρα α Χ,όπουΤο x είναι πραγματικός αριθμός. Επιλέξτε από εκφράσεις

Με φυσικό δείκτη

Με ακέραιο

με ορθολογικό εκθέτη

Με έναν παράλογο εκθέτη

3. Ποιος είναι ο στόχος μας;(ΧΡΗΣΗ)
Τι είδουςστόχους του μαθήματος μας ?
- Γενικεύστε την έννοια του πτυχίου.

Καθήκοντα:

– επαναλάβετε τις ιδιότητες του βαθμού
– εξετάστε τη χρήση ιδιοτήτων βαθμού σε υπολογισμούς και απλοποιήσεις παραστάσεων
– ανάπτυξη υπολογιστικών δεξιοτήτων

4 . Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

Βάση

βαθμός

Πτυχίο με εκθέτηr, βάση α (nΝ, Μn

r= n

r= - n

r= 0

r= 0

r=0

ένα n= ένα. ένα. … . ένα

ένα -n=

ένα 0 =1

ένα n=α.α. ….ένα

ένα -n=

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

ένα 0 =1

a=0

0 n=0

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

5 . Από αυτές τις εκφράσεις, επιλέξτε αυτές που δεν έχουν νόημα:

6 . Ορισμός

Αν αριθμόςr- φυσικό, λοιπόν rυπάρχει ένα έργοrαριθμοί, καθένας από τους οποίους ισούται με:

ένα r= ένα. ένα. … . ένα

Αν αριθμόςr- κλασματική και θετική, δηλαδή όπουΜκαιn- φυσικό

αριθμοί, λοιπόν

Εάν ο δείκτηςrείναι λογική και αρνητική, τότε η έκφρασηένα r

ορίζεται ως η αμοιβαία τωνένα - r

ή

Αν ένα

7 . Για παράδειγμα

8 . Οι δυνάμεις των θετικών αριθμών έχουν τις ακόλουθες βασικές ιδιότητες:

9 . Υπολογίζω

10. Ποιες ενέργειες (μαθηματικές πράξεις) μπορούν να γίνουν με βαθμούς;

Σετ αγώνα:

Α) Κατά τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με ίσες βάσεις

1) Οι βάσεις πολλαπλασιάζονται, αλλά ο εκθέτης παραμένει ίδιος

Β) Κατά τη διαίρεση μοιρών με ίσες βάσεις

2) Οι βάσεις χωρίζονται, αλλά ο εκθέτης παραμένει ίδιος

Β) Όταν ανεβάζετε μια δύναμη σε δύναμη

3) Η βάση παραμένει η ίδια, αλλά οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται

Δ) Κατά τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με ίσους εκθέτες

4) Η βάση παραμένει η ίδια και οι εκθέτες αφαιρούνται

Ε) Κατά τη διαίρεση βαθμών με ίσους δείκτες

5) Η βάση παραμένει η ίδια και οι δείκτες αθροίζονται

11 . Από το σχολικό βιβλίο (στον πίνακα)

Για μια λύση τάξης:

№57 (1,3,5)

№58 (1, 3, 5)

№59 (1, 3)

№60 (1,3)

12 . Με ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΤΕ υλικά

(ανεξάρτητη εργασία) σε φυλλάδια

XIVαιώνας.

Απάντηση: Oresma. 13. Επιπλέον (μεμονωμένα) για όσους μπορούν να ολοκληρώσουν τις εργασίες πιο γρήγορα:

14. Εργασία για το σπίτι

§ 5 (γνωρίζω ορισμούς, τύπους)

№57 (2, 4, 6)

№58 (2,4)

№59 (2,4)

№60 (2,4) .

Στο τέλος του μαθήματος:

«Τα μαθηματικά πρέπει ήδη να διδάσκονται, ότι βάζουν το μυαλό σε τάξη»

– Έτσι είπε ο μεγάλος Ρώσος μαθηματικός Μιχαήλ Λομονόσοφ.

- Ευχαριστώ για το μάθημα!

Συνημμένο 1

1. Πτυχία. Βασικές ιδιότητες

δείκτης

α 1 =α

ένα n=α.α. ….ένα

aRn

3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,

(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη

a 0 = 1,

όπου ένας

0 0 - δεν ορίζεται.

Πτυχίο με ορθολογικό

δείκτης

όπουένα

m n

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

Απάντηση: ==25,9...

1. ένα Χ. ένα y=α x+y

2.α Χ: ένα y==α x-y

3. .(ένα Χ) y=α x.y

4.(α.β) n=α n.σι n

5. (=

6. (

Παράρτημα 2

2. Πτυχίο με λογικό εκθέτη

Βάση

βαθμός

Πτυχίο με εκθέτηr, βάση α (nΝ, Μn

r= n

r= - n

r= 0

r= 0

r=0

ένα n= ένα. ένα. … . ένα

ένα -n=

ένα 0 =1

ένα n=α.α. ….ένα

ένα -n=

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

ένα 0 =1

a=0

0 n=0

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

Παράρτημα 3

3. Ανεξάρτητη εργασία

Για πρώτη φορά, οι ενέργειες στις δυνάμεις χρησιμοποιήθηκαν από έναν Γάλλο μαθηματικόXIVαιώνας.

Αποκρυπτογραφήστε το όνομα του Γάλλου επιστήμονα.