Βρείτε τη γενική λύση του προβλήματος με τη μέθοδο της παραλλαγής. Παραδείγματα για τη μέθοδο μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς. Κοινωνικοί μετασχηματισμοί. Κράτος και Εκκλησία

Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται για την επίλυση ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων. Αυτό το μάθημασχεδιασμένο για εκείνους τους μαθητές που είναι ήδη λίγο πολύ καλά έμπειροι στο θέμα. Εάν μόλις αρχίζετε να εξοικειωθείτε με το τηλεχειριστήριο, π.χ. Εάν είστε τσαγιέρα, προτείνω να ξεκινήσετε με το πρώτο μάθημα: Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Παραδείγματα λύσεων. Και αν τελειώνετε ήδη, απορρίψτε την πιθανή προκαταλήψεις ότι η μέθοδος είναι δύσκολη. Γιατί είναι απλός.

Σε ποιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών;

1) Για την επίλυση μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς γραμμική ανομοιογενής ΔΕ 1ης τάξης. Εφόσον η εξίσωση είναι πρώτης τάξης, τότε η σταθερά (σταθερά) είναι επίσης μία.

2) Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται για την επίλυση ορισμένων γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης. Εδώ, δύο σταθερές (σταθερές) ποικίλλουν.

Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το μάθημα θα αποτελείται από δύο παραγράφους .... Έγραψα αυτήν την πρόταση και για περίπου 10 λεπτά σκεφτόμουν με οδυνηρά τρόπο τι άλλο έξυπνο χάλι να προσθέσω για μια ομαλή μετάβαση σε πρακτικά παραδείγματα. Αλλά για κάποιο λόγο δεν υπάρχουν σκέψεις μετά τις γιορτές, αν και φαίνεται ότι δεν κατάχρασα τίποτα. Ας μεταβούμε λοιπόν κατευθείαν στην πρώτη παράγραφο.

Μέθοδος αυθαίρετης σταθερής μεταβολής
για μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση πρώτης τάξης

Πριν εξετάσετε τη μέθοδο μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς, είναι επιθυμητό να εξοικειωθείτε με το άρθρο Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Σε εκείνο το μάθημα εξασκηθήκαμε πρώτος τρόπος επίλυσηςανομοιογενής ΔΕ 1ης τάξης. Αυτή η πρώτη λύση, θυμίζω, λέγεται μέθοδος αντικατάστασηςή Μέθοδος Bernoulli(δεν πρέπει να συγχέεται με Εξίσωση Bernoulli!!!)

Θα εξετάσουμε τώρα δεύτερος τρόπος επίλυσης– μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς. Θα δώσω μόνο τρία παραδείγματα και θα τα πάρω από το παραπάνω μάθημα. Γιατί τόσο λίγοι; Γιατί στην πραγματικότητα η λύση με τον δεύτερο τρόπο θα μοιάζει πολύ με τη λύση με τον πρώτο τρόπο. Επιπλέον, σύμφωνα με τις παρατηρήσεις μου, η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται λιγότερο συχνά από τη μέθοδο αντικατάστασης.

Παράδειγμα 1

(Διαφορά από το Παράδειγμα Νο. 2 του μαθήματος Γραμμική ανομοιογενής ΔΕ 1ης τάξης)

Λύση:Αυτή η εξίσωση είναι γραμμική ανομοιογενής και έχει μια γνωστή μορφή:

Το πρώτο βήμα είναι να λύσετε μια απλούστερη εξίσωση:
Δηλαδή, επαναφέρουμε ανόητα τη δεξιά πλευρά - αντίθετα γράφουμε μηδέν.
Η εξίσωση θα τηλεφωνήσω βοηθητική εξίσωση.

ΣΤΟ αυτό το παράδειγμανα λύσετε την παρακάτω βοηθητική εξίσωση:

Πριν από εμάς διαχωρίσιμη εξίσωση, η λύση του οποίου (ελπίζω) να μην είναι πλέον δύσκολη για εσάς:

Με αυτόν τον τρόπο:
– κοινή απόφασηβοηθητική εξίσωση.

Στο δεύτερο σκαλοπάτι αντικαθιστώμια σταθερά ορισμένων Ακόμηάγνωστη συνάρτηση που εξαρτάται από το "x":

Εξ ου και το όνομα της μεθόδου - μεταβάλλουμε τη σταθερά . Εναλλακτικά, η σταθερά μπορεί να είναι κάποια συνάρτηση που πρέπει να βρούμε τώρα.

ΣΤΟ αρχικόςανομοιογενής εξίσωση Ας αντικαταστήσουμε:

Υποκατάστατο και στην εξίσωση :

στιγμή ελέγχου - οι δύο όροι στην αριστερή πλευρά ακυρώνονται. Εάν αυτό δεν συμβεί, θα πρέπει να αναζητήσετε το παραπάνω σφάλμα.

Ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης, προκύπτει μια εξίσωση με διαχωρίσιμες μεταβλητές. Διαχωρίστε τις μεταβλητές και ενσωματώστε.

Τι ευλογία, οι εκθέτες συρρικνώνονται επίσης:

Προσθέτουμε μια «κανονική» σταθερά στη συνάρτηση που βρέθηκε:

Στο τελικό στάδιοθυμηθείτε τον αντικαταστάτη μας:

Η λειτουργία μόλις βρέθηκε!

Η γενική λύση λοιπόν είναι:

Απάντηση:κοινή απόφαση:

Εάν εκτυπώσετε τις δύο λύσεις, θα παρατηρήσετε εύκολα ότι και στις δύο περιπτώσεις βρήκαμε τα ίδια ολοκληρώματα. Η μόνη διαφορά είναι στον αλγόριθμο επίλυσης.

Τώρα κάτι πιο περίπλοκο, θα σχολιάσω και το δεύτερο παράδειγμα:

Παράδειγμα 2

Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης
(Διαφορά από το Παράδειγμα Νο. 8 του μαθήματος Γραμμική ανομοιογενής ΔΕ 1ης τάξης)

Λύση:Φέρνουμε την εξίσωση στη φόρμα :

Μηδενίστε τη δεξιά πλευρά και λύστε τη βοηθητική εξίσωση:

Γενική λύση της βοηθητικής εξίσωσης:

Στην ανομοιογενή εξίσωση, θα κάνουμε την αντικατάσταση:

Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων:

Υποκατάστατο και στην αρχική ανομοιογενή εξίσωση:

Οι δύο όροι στην αριστερή πλευρά ακυρώνονται, πράγμα που σημαίνει ότι είμαστε στο σωστό δρόμο:

Ενσωματώνουμε με ανταλλακτικά. Ένα νόστιμο γράμμα από τον τύπο για την ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα περιλαμβάνεται ήδη στη λύση, επομένως χρησιμοποιούμε, για παράδειγμα, τα γράμματα "a" και "be":

Ας δούμε τώρα την αντικατάσταση:

Απάντηση:κοινή απόφαση:

Και ένα παράδειγμα για ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 3

Να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση της διαφορικής εξίσωσης που αντιστοιχεί στη δεδομένη αρχική συνθήκη.

,
(Διαφορά από Παράδειγμα μαθήματος 4 Γραμμική ανομοιογενής ΔΕ 1ης τάξης)
Λύση:
Αυτή η ΔΕ είναι γραμμική ανομοιογενής. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών. Ας λύσουμε τη βοηθητική εξίσωση:

Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές και ενσωματώνουμε:

Κοινή απόφαση:
Στην ανομοιογενή εξίσωση, θα κάνουμε την αντικατάσταση:

Ας κάνουμε την αντικατάσταση:

Η γενική λύση λοιπόν είναι:

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση που αντιστοιχεί στη δεδομένη αρχική συνθήκη:

Απάντηση:ιδιωτική λύση:

Η λύση στο τέλος του μαθήματος μπορεί να χρησιμεύσει ως παραδειγματικόςγια να καθαρίσετε την εργασία.

Μέθοδος Μεταβολής Αυθαίρετων Σταθερών
για μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση δεύτερης τάξης
με σταθερούς συντελεστές

Συχνά ακούγεται η άποψη ότι η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για μια εξίσωση δεύτερης τάξης δεν είναι εύκολη υπόθεση. Υποθέτω όμως το εξής: πιθανότατα, η μέθοδος φαίνεται δύσκολη σε πολλούς, αφού δεν είναι τόσο διαδεδομένη. Αλλά στην πραγματικότητα, δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες - η πορεία της απόφασης είναι σαφής, διαφανής και κατανοητή. Και όμορφη.

Για να κυριαρχήσετε τη μέθοδο, είναι επιθυμητό να μπορείτε να λύσετε ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης επιλέγοντας μια συγκεκριμένη λύση σύμφωνα με τη μορφή της δεξιάς πλευράς. Αυτή η μέθοδος συζητείται λεπτομερώς στο άρθρο. Ανομοιογενής ΔΕ 2ης τάξης. Υπενθυμίζουμε ότι μια δεύτερης τάξης γραμμική ανομοιογενής εξίσωση με σταθερούς συντελεστές έχει τη μορφή:

Η μέθοδος επιλογής, η οποία εξετάστηκε στο παραπάνω μάθημα, λειτουργεί μόνο σε περιορισμένο αριθμό περιπτώσεων, όταν πολυώνυμα, εκθέτες, ημίτονο, συνημίτονο βρίσκονται στη δεξιά πλευρά. Αλλά τι να κάνουμε όταν στα δεξιά, για παράδειγμα, ένα κλάσμα, λογάριθμος, εφαπτομένη; Σε μια τέτοια κατάσταση, η μέθοδος μεταβολής των σταθερών έρχεται στη διάσωση.

Παράδειγμα 4

Να βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης

Λύση:Υπάρχει ένα κλάσμα στη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης, οπότε μπορούμε να πούμε αμέσως ότι η μέθοδος επιλογής μιας συγκεκριμένης λύσης δεν λειτουργεί. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Τίποτα δεν προμηνύει μια καταιγίδα, η αρχή της λύσης είναι αρκετά συνηθισμένη:

Ας βρούμε κοινή απόφασησχετικό ομοιογενήςεξισώσεις:

Συνθέτουμε και λύνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:


– λαμβάνονται συζευγμένες σύνθετες ρίζες, οπότε η γενική λύση είναι:

Δώστε προσοχή στην εγγραφή της γενικής λύσης - εάν υπάρχουν αγκύλες, ανοίξτε τις.

Τώρα κάνουμε σχεδόν το ίδιο κόλπο με την εξίσωση πρώτης τάξης: μεταβάλλουμε τις σταθερές, αντικαθιστώντας τις με άγνωστες συναρτήσεις. Αυτό είναι, γενική λύση του ανομοιογενούςΘα αναζητήσουμε εξισώσεις με τη μορφή:

Οπου - Ακόμηάγνωστες λειτουργίες.

Μοιάζει με σκουπιδότοπο, αλλά τώρα θα τακτοποιήσουμε τα πάντα.

Οι παράγωγοι συναρτήσεων λειτουργούν ως άγνωστες. Στόχος μας είναι να βρούμε παραγώγους και οι ευρεθείσες παράγωγοι πρέπει να ικανοποιούν τόσο την πρώτη όσο και τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος.

Από πού προέρχονται τα «παιχνίδια»; Τα φέρνει ο πελαργός. Εξετάζουμε τη γενική λύση που ελήφθη προηγουμένως και γράφουμε:

Ας βρούμε παράγωγα:

Ασχολήθηκε με την αριστερή πλευρά. Τι είναι στα δεξιά;

είναι η δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης, σε αυτήν την περίπτωση:

Ο συντελεστής είναι ο συντελεστής στη δεύτερη παράγωγο:

Στην πράξη, σχεδόν πάντα, και το παράδειγμά μας δεν αποτελεί εξαίρεση.

Όλα ξεκαθαρίστηκαν, τώρα μπορείτε να δημιουργήσετε ένα σύστημα:

Το σύστημα συνήθως λύνεται σύμφωνα με τους τύπους του Cramerχρησιμοποιώντας τον τυπικό αλγόριθμο. Η μόνη διαφορά είναι ότι αντί για αριθμούς έχουμε συναρτήσεις.

Βρείτε τον κύριο προσδιοριστικό παράγοντα του συστήματος:

Αν ξεχάσατε πώς αποκαλύπτεται η ορίζουσα «δύο επί δύο», ανατρέξτε στο μάθημα Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;Ο σύνδεσμος οδηγεί στον πίνακα της ντροπής =)

Λοιπόν: , άρα το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Βρίσκουμε την παράγωγο:

Αλλά δεν είναι μόνο αυτό, μέχρι στιγμής έχουμε βρει μόνο το παράγωγο.
Η ίδια η λειτουργία αποκαθίσταται με την ενσωμάτωση:

Ας δούμε τη δεύτερη συνάρτηση:

Εδώ προσθέτουμε μια «κανονική» σταθερά

Στο τελικό στάδιο της λύσης, θυμόμαστε με ποια μορφή αναζητούσαμε τη γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης; Σε τέτοια:

Τα χαρακτηριστικά που χρειάζεστε μόλις βρέθηκαν!

Απομένει να εκτελέσουμε την αντικατάσταση και να γράψουμε την απάντηση:

Απάντηση:κοινή απόφαση:

Κατ' αρχήν, η απάντηση θα μπορούσε να ανοίξει τις αγκύλες.

Πραγματοποιείται πλήρης έλεγχος της απάντησης σύμφωνα με το τυπικό σχήμα, το οποίο εξετάστηκε στο μάθημα. Ανομοιογενής ΔΕ 2ης τάξης. Αλλά η επαλήθευση δεν θα είναι εύκολη, αφού πρέπει να βρούμε μάλλον βαριά παράγωγα και να πραγματοποιήσουμε μια δυσκίνητη αντικατάσταση. Αυτό είναι ένα δυσάρεστο χαρακτηριστικό όταν λύνετε διαφορές όπως αυτή.

Παράδειγμα 5

Αποφασίζω διαφορική εξίσωσημέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Στην πραγματικότητα, η δεξιά πλευρά είναι επίσης ένα κλάσμα. Θυμόμαστε τριγωνομετρικός τύπος, παρεμπιπτόντως, θα χρειαστεί να εφαρμοστεί κατά τη διάρκεια της λύσης.

Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών είναι η πιο καθολική μέθοδος. Μπορούν να λύσουν οποιαδήποτε εξίσωση μπορεί να λυθεί η μέθοδος επιλογής μιας συγκεκριμένης λύσης σύμφωνα με τη μορφή της δεξιάς πλευράς. Τίθεται το ερώτημα, γιατί να μην χρησιμοποιήσουμε και εκεί τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών; Η απάντηση είναι προφανής: η επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης, η οποία εξετάστηκε στο μάθημα Ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης, επιταχύνει σημαντικά τη λύση και μειώνει τη σημείωση - δεν μπλέκει κανείς με ορίζουσες και ολοκληρώματα.

Εξετάστε δύο παραδείγματα με Πρόβλημα Cauchy.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση της διαφορικής εξίσωσης που αντιστοιχεί σε δεδομένες αρχικές συνθήκες

,

Λύση:Και πάλι, το κλάσμα και ο εκθέτης σε ένα ενδιαφέρον μέρος.
Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Ας βρούμε κοινή απόφασησχετικό ομοιογενήςεξισώσεις:



– λαμβάνονται διαφορετικές πραγματικές ρίζες, οπότε η γενική λύση είναι:

Η γενική λύση του ανομοιογενούςαναζητούμε εξισώσεις με τη μορφή: , όπου - Ακόμηάγνωστες λειτουργίες.

Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα:

Σε αυτήν την περίπτωση:
,
Εύρεση παραγώγων:
,

Με αυτόν τον τρόπο:

Επιλύουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer:
, οπότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Επαναφέρουμε τη συνάρτηση με ενσωμάτωση:

Χρησιμοποιείται εδώ μέθοδος εισαγωγής μιας συνάρτησης κάτω από διαφορικό πρόσημο.

Επαναφέρουμε τη δεύτερη συνάρτηση με ενσωμάτωση:

Ένα τέτοιο ολοκλήρωμα λύνεται μέθοδος μεταβλητής υποκατάστασης:

Από την ίδια την αντικατάσταση, εκφράζουμε:

Με αυτόν τον τρόπο:

Αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να βρεθεί μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου, αλλά σε παραδείγματα με diffurs, προτιμώ να επεκτείνω το κλάσμα μέθοδος αβέβαιων συντελεστών:

Βρέθηκαν και οι δύο λειτουργίες:

Ως αποτέλεσμα, η γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης είναι:

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση που να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες .

Τεχνικά, η αναζήτηση λύσης πραγματοποιείται με τυπικό τρόπο, ο οποίος συζητήθηκε στο άρθρο. Ανομοιογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης.

Περιμένετε, τώρα θα βρούμε την παράγωγο της γενικής λύσης που βρέθηκε:

Εδώ είναι μια τέτοια ντροπή. Δεν είναι απαραίτητο να το απλοποιήσουμε, είναι ευκολότερο να συνθέσουμε αμέσως ένα σύστημα εξισώσεων. Σύμφωνα με τις αρχικές συνθήκες :

Αντικαταστήστε τις τιμές των σταθερών που βρέθηκαν σε μια γενική λύση:

Στην απάντηση, οι λογάριθμοι μπορούν να συσσωρευτούν λίγο.

Απάντηση:ιδιωτική λύση:

Όπως μπορείτε να δείτε, δυσκολίες μπορεί να προκύψουν σε ολοκληρώματα και παραγώγους, αλλά όχι στον αλγόριθμο της μεθόδου μεταβολής των αυθαίρετων σταθερών. Δεν ήμουν εγώ που σας τρόμαξα, όλα αυτά είναι μια συλλογή του Kuznetsov!

Για να χαλαρώσετε, ένα τελευταίο, απλούστερο, αυτολύσιμο παράδειγμα:

Παράδειγμα 7

Λύστε το πρόβλημα του Cauchy

,

Το παράδειγμα είναι απλό, αλλά δημιουργικό, όταν φτιάχνετε ένα σύστημα, κοιτάξτε το προσεκτικά πριν αποφασίσετε ;-),




Ως αποτέλεσμα, η γενική λύση είναι:

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση που να αντιστοιχεί στις αρχικές συνθήκες .



Αντικαθιστούμε τις ευρεθείσες τιμές των σταθερών στη γενική λύση:

Απάντηση:ιδιωτική λύση:

Εξετάστε τώρα τη γραμμική ανομοιογενή εξίσωση
. (2)
Έστω y 1 ,y 2 ,.., y n το θεμελιώδες σύστημα λύσεων και η γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης L(y)=0 . Ομοίως με την περίπτωση των εξισώσεων πρώτης τάξης, θα αναζητήσουμε μια λύση στην εξίσωση (2) με τη μορφή
. (3)
Ας επαληθεύσουμε ότι υπάρχει λύση σε αυτή τη μορφή. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τη συνάρτηση στην εξίσωση. Για να αντικαταστήσουμε αυτή τη συνάρτηση στην εξίσωση, βρίσκουμε τις παράγωγές της. Η πρώτη παράγωγος είναι
. (4)
Κατά τον υπολογισμό της δεύτερης παραγώγου εμφανίζονται τέσσερις όροι στη δεξιά πλευρά της (4), κατά τον υπολογισμό της τρίτης παραγώγου εμφανίζονται οκτώ όροι κ.ο.κ. Επομένως, για τη διευκόλυνση των περαιτέρω υπολογισμών, ο πρώτος όρος στο (4) θεωρείται ίσος με μηδέν. Έχοντας αυτό υπόψη, η δεύτερη παράγωγος είναι ίση με
. (5)
Για τους ίδιους λόγους όπως και πριν, στο (5) ορίσαμε επίσης τον πρώτο όρο ίσο με το μηδέν. Τέλος, η ντη παράγωγος είναι
. (6)
Αντικαθιστώντας τις λαμβανόμενες τιμές των παραγώγων στην αρχική εξίσωση, έχουμε
. (7)
Ο δεύτερος όρος της (7) ισούται με μηδέν, αφού οι συναρτήσεις y j , j=1,2,..,n, είναι λύσεις της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης L(y)=0. Σε συνδυασμό με το προηγούμενο, παίρνουμε το σύστημα αλγεβρικές εξισώσειςγια να βρείτε συναρτήσεις C" j (x)
(8)
Η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι η ορίζουσα Wronsky του θεμελιώδους συστήματος λύσεων y 1 ,y 2 ,..,y n της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης L(y)=0 και επομένως δεν ισούται με μηδέν. Επομένως, υπάρχει μια μοναδική λύση στο σύστημα (8). Αφού το βρήκαμε, λαμβάνουμε τις συναρτήσεις C "j (x), j=1,2,…,n, και, κατά συνέπεια, C j (x), j=1,2,…,n Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές σε (3), παίρνουμε τη λύση της γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης.
Η περιγραφόμενη μέθοδος ονομάζεται μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς ή μέθοδος Lagrange.

Παράδειγμα #1. Ας βρούμε τη γενική λύση της εξίσωσης y "" + 4y" + 3y \u003d 9e -3 x. Θεωρούμε την αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση y "" + 4y" + 3y \u003d 0. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής της εξίσωσης r 2 + 4r + 3 \u003d 0 ισούνται με -1 και - 3. Επομένως, το θεμελιώδες σύστημα λύσεων μιας ομοιογενούς εξίσωσης αποτελείται από τις συναρτήσεις y 1 = e - x και y 2 = e -3 x. Αναζητούμε μια λύση σε μια ανομοιογενή εξίσωση με τη μορφή y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Για να βρούμε τις παραγώγους C " 1 , C" 2 συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 e -x -3C′ 2 e -3x =9e -3x
λύνοντας τα οποία, βρίσκουμε , Ενσωματώνοντας τις συναρτήσεις που προέκυψαν, έχουμε
Τελικά παίρνουμε

Παράδειγμα #2. Να λύσετε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές με τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Λύση:
Αυτή η διαφορική εξίσωση ανήκει σε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές.
Θα αναζητήσουμε τη λύση της εξίσωσης με τη μορφή y = e rx . Για να γίνει αυτό, συνθέτουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: r 1 = 4, r 2 = 2
Επομένως, το θεμελιώδες σύστημα λύσεων είναι οι συναρτήσεις: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
Η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης έχει τη μορφή: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Αναζήτηση μιας συγκεκριμένης λύσης με τη μέθοδο της μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς.
Για να βρούμε τις παραγώγους του C "i, συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων:
C′ 1 e 4x +C′ 2 e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Εκφράστε C" 1 από την πρώτη εξίσωση:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
και αντικαταστάτης στο δεύτερο. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Ενσωματώνουμε τις ληφθείσες συναρτήσεις C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Δεδομένου ότι y \u003d C 1 e 4x + C 2 e 2x, τότε γράφουμε τις παραστάσεις που προκύπτουν με τη μορφή:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Έτσι, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ή
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Βρίσκουμε μια συγκεκριμένη λύση υπό την προϋπόθεση:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Αντικαθιστώντας x = 0 στην εξίσωση που βρέθηκε, παίρνουμε:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της λαμβανόμενης γενικής λύσης:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Αντικαθιστώντας x = 0, παίρνουμε:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Παίρνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
ή
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
ή
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Από: C 1 = 0, C * 2 = 2
Μια συγκεκριμένη λύση θα γραφτεί ως εξής:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Μέθοδος Μεταβολής Αυθαίρετων Σταθερών

Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για την κατασκευή λύσης σε γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση

ένα n (t)z (n) (t) + ένα n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + ένα 1 (t)z"(t) + ένα 0 (t)z(t) = φά(t)

συνίσταται στην αλλαγή αυθαίρετων σταθερών ντο κστη γενική απόφαση

z(t) = ντο 1 z 1 (t) + ντο 2 z 2 (t) + ... + ντο n z n (t)

αντίστοιχη ομοιογενής εξίσωση

ένα n (t)z (n) (t) + ένα n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + ένα 1 (t)z"(t) + ένα 0 (t)z(t) = 0

σε βοηθητικές λειτουργίες ντο κ (t) , των οποίων οι παράγωγοι ικανοποιούν το γραμμικό αλγεβρικό σύστημα

Η ορίζουσα του συστήματος (1) είναι το Wronskian των συναρτήσεων z 1 ,z 2 ,...,z n , το οποίο εξασφαλίζει τη μοναδική επιλυτότητά του σε σχέση με το .

Αν είναι αντιπαράγωγα που λαμβάνονται σε σταθερές τιμές των σταθερών ολοκλήρωσης, τότε η συνάρτηση

είναι μια λύση στην αρχική γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση. Η ολοκλήρωση μιας ανομοιογενούς εξίσωσης παρουσία μιας γενικής λύσης της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης μειώνεται έτσι σε τετράγωνα.

Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για την κατασκευή λύσεων σε σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων σε διανυσματική κανονική μορφή

συνίσταται στην κατασκευή μιας συγκεκριμένης λύσης (1) στη μορφή

όπου Ζ(t) είναι η βάση των λύσεων της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης, γραμμένη ως πίνακας, και η διανυσματική συνάρτηση , που αντικατέστησε το διάνυσμα των αυθαίρετων σταθερών, ορίζεται από τη σχέση . Η επιθυμητή συγκεκριμένη λύση (με μηδενικές αρχικές τιμές στο t = tΤο 0 έχει τη μορφή

Για ένα σύστημα με σταθερούς συντελεστές, η τελευταία έκφραση απλοποιείται:

Μήτρα Ζ(t)Ζ− 1 (τ)που ονομάζεται Μήτρα Cauchyχειριστής μεγάλο = ΕΝΑ(t) .

Θεωρητικό ελάχιστο

Στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, υπάρχει μια μέθοδος που ισχυρίζεται ότι έχει αρκετά υψηλό βαθμό καθολικότητας για αυτή τη θεωρία.
Μιλάμε για τη μέθοδο μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς, που εφαρμόζεται στη λύση διαφόρων κατηγοριών διαφορικών εξισώσεων και τους
συστήματα. Αυτό ακριβώς συμβαίνει όταν η θεωρία -αν βγάλεις την απόδειξη των δηλώσεων εκτός παρένθεσης- είναι ελάχιστη, αλλά σου επιτρέπει να πετύχεις
σημαντικά αποτελέσματα, επομένως η κύρια εστίαση θα είναι σε παραδείγματα.

Η γενική ιδέα της μεθόδου είναι αρκετά απλή στη διατύπωση. Αφήστε τη δεδομένη εξίσωση (σύστημα εξισώσεων) να είναι δύσκολο να λυθεί ή ακόμα και ακατανόητη,
πώς να το λύσετε. Ωστόσο, φαίνεται ότι όταν ορισμένοι όροι εξαιρούνται από την εξίσωση, λύνεται. Τότε λύνουν ακριβώς μια τέτοια απλοποιημένη
εξίσωση (σύστημα), πάρτε μια λύση που περιέχει έναν ορισμένο αριθμό αυθαίρετων σταθερών - ανάλογα με τη σειρά της εξίσωσης (ο αριθμός
εξισώσεις στο σύστημα). Τότε υποτίθεται ότι οι σταθερές στη λύση που βρέθηκε δεν είναι πραγματικά σταθερές, η λύση που βρέθηκε
αντικαθίσταται στην αρχική εξίσωση (σύστημα), προκύπτει μια διαφορική εξίσωση (ή σύστημα εξισώσεων) για τον προσδιορισμό των «σταθερών».
Υπάρχει μια συγκεκριμένη ιδιαιτερότητα στην εφαρμογή της μεθόδου μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς σε διαφορετικά προβλήματα, αλλά αυτές είναι ήδη λεπτομέρειες που θα
παρουσιάζονται με παραδείγματα.

Ας εξετάσουμε χωριστά τη λύση γραμμικών ανομοιογενών εξισώσεων υψηλότερων τάξεων, δηλ. εξισώσεις της μορφής
.
Η γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης είναι το άθροισμα της γενικής λύσης της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης και της συγκεκριμένης λύσης
δεδομένη εξίσωση. Ας υποθέσουμε ότι η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης έχει ήδη βρεθεί, δηλαδή το θεμελιώδες σύστημα λύσεων (FSR) έχει κατασκευαστεί
. Τότε η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης είναι .
Είναι απαραίτητο να βρεθεί οποιαδήποτε συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης. Για αυτό, οι σταθερές θεωρούνται ότι εξαρτώνται από τη μεταβλητή.
Στη συνέχεια, πρέπει να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων
.
Η θεωρία εγγυάται ότι αυτό το σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων σε σχέση με παραγώγους συναρτήσεων έχει μια μοναδική λύση.
Κατά την εύρεση των ίδιων των συναρτήσεων, οι σταθερές ολοκλήρωσης δεν εμφανίζονται: σε τελική ανάλυση, αναζητείται οποιαδήποτε λύση.

Στην περίπτωση επίλυσης συστημάτων γραμμικών ανομοιογενών εξισώσεων πρώτης τάξης της μορφής

ο αλγόριθμος παραμένει σχεδόν αμετάβλητος. Πρώτα πρέπει να βρείτε το FSR του αντίστοιχου ομοιογενούς συστήματος εξισώσεων, να συνθέσετε τον θεμελιώδη πίνακα
σύστημα, οι στήλες του οποίου είναι τα στοιχεία του FSR. Στη συνέχεια, η εξίσωση
.
Λύνοντας το σύστημα, προσδιορίζουμε τις συναρτήσεις, βρίσκοντας έτσι μια συγκεκριμένη λύση στο αρχικό σύστημα
(ο θεμελιώδης πίνακας πολλαπλασιάζεται με τη στήλη που βρέθηκε).
Το προσθέτουμε στη γενική λύση του αντίστοιχου συστήματος ομοιογενών εξισώσεων, το οποίο είναι χτισμένο με βάση το FSR που έχει ήδη βρεθεί.
Λαμβάνεται η γενική λύση του αρχικού συστήματος.

Παραδείγματα.

Παράδειγμα 1 Γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις πρώτης τάξης.

Ας εξετάσουμε την αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση (συμβολίζουμε την απαιτούμενη συνάρτηση με ):
.
Αυτή η εξίσωση λύνεται εύκολα με διαχωρισμό μεταβλητών:

.
Τώρα αντιπροσωπεύουμε τη λύση της αρχικής εξίσωσης στη μορφή , όπου η συνάρτηση δεν έχει βρεθεί ακόμη.
Αντικαθιστούμε αυτόν τον τύπο λύσης στην αρχική εξίσωση:
.
Όπως μπορείτε να δείτε, ο δεύτερος και ο τρίτος όρος στην αριστερή πλευρά ακυρώνουν ο ένας τον άλλον - αυτό είναι χαρακτηριστικόμέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς.

Εδώ ήδη - πράγματι, μια αυθαίρετη σταθερά. Με αυτόν τον τρόπο,
.

Παράδειγμα 2 Εξίσωση Bernoulli.

Ενεργούμε παρόμοια με το πρώτο παράδειγμα - λύνουμε την εξίσωση

μέθοδος διαχωρισμού μεταβλητών. Θα αποδειχθεί , οπότε αναζητούμε τη λύση της αρχικής εξίσωσης στη μορφή
.
Αντικαταστήστε αυτή τη συνάρτηση στην αρχική εξίσωση:
.
Και πάλι υπάρχουν περικοπές:
.
Εδώ πρέπει να θυμάστε να βεβαιωθείτε ότι κατά τη διαίρεση με, η λύση δεν χάνεται. Και η υπόθεση αντιστοιχεί στη λύση του πρωτοτύπου
εξισώσεις. Ας τον θυμηθούμε. Ετσι,
.
Ας γράψουμε .
Αυτή είναι η λύση. Κατά τη σύνταξη της απάντησης, θα πρέπει επίσης να υποδείξετε τη λύση που βρέθηκε νωρίτερα, καθώς δεν αντιστοιχεί σε καμία τελική τιμή
σταθερές .

Παράδειγμα 3 Γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις υψηλότερων τάξεων.

Σημειώνουμε αμέσως ότι αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί πιο απλά, αλλά είναι βολικό να δείξουμε τη μέθοδο σε αυτήν. Αν και κάποια πλεονεκτήματα
η μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς την έχει επίσης σε αυτό το παράδειγμα.
Άρα, πρέπει να ξεκινήσετε με το FSR της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης. Θυμηθείτε ότι για να βρείτε το FSR, το χαρακτηριστικό
την εξίσωση
.
Έτσι, η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης
.
Οι σταθερές που περιλαμβάνονται εδώ πρέπει να μεταβάλλονται. Σύνταξη συστήματος