niste mărimi fizice, de exemplu, forța sau viteza sunt caracterizate nu numai prin valoare numerică, ci și prin direcție. Astfel de mărimi se numesc mărimi vectoriale: F⃗ – puterea, v⃗ – viteza.
Să dăm definiție geometrică vector.
Vector
numit segment pentru care se indica care dintre punctele sale de limita este considerat inceput si care este sfarsitul.
În desene, un vector este reprezentat ca un segment cu o săgeată care indică sfârșitul vectorului. Un vector este notat cu două litere latine mari cu o săgeată deasupra lor. Prima literă indică începutul vectorului, a doua sfârșitul.
Un vector poate fi de asemenea notat cu o literă latină minusculă cu o săgeată deasupra sa.
Lungimea unui vector este lungimea segmentului care reprezintă acest vector. Parantezele verticale sunt folosite pentru a indica lungimea unui vector.
Un vector al cărui sfârșit coincide cu începutul se numește zero
vector. Vectorul zero este reprezentat printr-un punct și este notat cu două litere identice sau un zero cu o săgeată deasupra acestuia. Lungimea vectorului zero este zero: |0 ⃗|= 0.
Să introducem conceptul coliniare vectori. Vectorii nenuli sunt numiți coliniari dacă se află pe aceeași linie sau pe linii paralele. Vectorul zero este considerat coliniar cu orice vector.
Dacă vectorii coliniari nenuli au aceeași direcție, atunci astfel de vectori vor fi codirecționali. Dacă direcțiile lor sunt opuse, ele se numesc direcționate opus.
Pentru a desemna vectori co-direcționați și direcționați opus, există notații speciale:
- m ⃗ R⃗ dacă vectori m⃗ și R⃗ co-regizat;
- m ⃗ ↓ n⃗ dacă vectori m⃗ și n⃗ îndreptat opus.
Luați în considerare mișcarea unei mașini. Viteza fiecăruia dintre punctele sale este o mărime vectorială și este reprezentată de un segment direcționat. Deoarece toate punctele mașinii se mișcă cu aceeași viteză, toate segmentele direcționate care descriu vitezele diferitelor puncte au aceeași direcție și lungimile lor sunt egale. Acest exemplu ne oferă un indiciu despre cum să determinăm dacă vectorii sunt egali.
Se spune că doi vectori sunt egali dacă sunt codirecționali și lungimile lor sunt egale. Egalitatea vectorilor poate fi scrisă folosind semnul egal: A ⃗ = b ⃗, KH ⃗ = O.E. ⃗
Dacă punctul Rînceputul vectorului R⃗, atunci considerăm că vectorul R⃗ întârziat de la punct R.
Să demonstrăm asta din orice punct DESPRE puteți reprezenta un vector egal cu un vector dat R⃗, și numai unul la asta.
Dovada:
1) Dacă R⃗ este vectorul zero, atunci OO ⃗ = R ⃗.
2) Dacă vectorul R⃗ diferit de zero, punct R este începutul acestui vector și punctul T- Sfârşit.
Să trecem prin subiect DESPRE drept, paralel RT. Pe linia construită trasăm segmentele OA 1 și OA 2 egal cu segmentul RT.
Să alegem dintre vectori OA 1 și OA 2, care este codirecțional cu vectorul R⃗. În desenul nostru acesta este un vector OA 1 . Acest vector va fi egal cu vectorul R⃗. Din construcție rezultă că există un singur astfel de vector.
Definiție standard: „Un vector este un segment direcționat”. Aceasta este de obicei nivelul cunoștințelor unui absolvent despre vectori. Cine are nevoie de „segmente direcționale”?
Dar cu adevărat, ce sunt vectorii și pentru ce sunt aceștia?
Prognoza meteo. „Vânt de nord-vest, viteză 18 metri pe secundă.” De acord, atât direcția vântului (de unde suflă) cât și modulul (adică valoarea absolută) ale vitezei sale contează.
Mărimile care nu au direcție se numesc scalare. Liturghie, muncă, incarcare electrica nedirecționat nicăieri. Ele sunt caracterizate doar de o valoare numerică - „câte kilograme” sau „câți jouli”.
Mărimi fizice care au nu numai valoare absolută, dar și direcția, se numesc vector.
Viteză, forță, accelerație - vectori. Pentru ei, „cât” este important și „unde” este important. De exemplu, accelerația cădere liberă direcționat către suprafața Pământului, iar magnitudinea sa este de 9,8 m/s 2. Impuls, tensiune câmp electric, inducție camp magnetic- de asemenea marimi vectoriale.
Vă amintiți că mărimile fizice sunt notate cu litere, latină sau greacă. Săgeata de deasupra literei indică faptul că cantitatea este vectorială:
Iată un alt exemplu.
O mașină se deplasează de la A la B. Rezultatul final este mișcarea sa din punctul A în punctul B, adică mișcarea prin vector 
.
Acum este clar de ce un vector este un segment direcționat. Vă rugăm să rețineți că sfârșitul vectorului este acolo unde se află săgeata. Lungimea vectorului se numește lungimea acestui segment. Indicat prin: sau
Pana acum am lucrat cu marimi scalare, dupa regulile aritmeticii si algebrei elementare. Vectorii sunt un concept nou. Aceasta este o altă clasă de obiecte matematice. Au propriile lor reguli.
Odinioară nici nu știam nimic despre numere. Cunoașterea mea cu ei a început în școala elementară. S-a dovedit că numerele pot fi comparate între ele, adunate, scăzute, înmulțite și împărțite. Am învățat că există un număr unu și un număr zero.
Acum suntem introduși în vectori.
Conceptele de „mai mult” și „mai puțin” pentru vectori nu există - la urma urmei, direcțiile lor pot fi diferite. Numai lungimile vectorului pot fi comparate.
Dar există un concept de egalitate pentru vectori.
Egal se numesc vectori care au aceeasi lungime si aceeasi directie. Aceasta înseamnă că vectorul poate fi transferat paralel cu el însuși în orice punct din plan.
Singur este un vector a cărui lungime este 1. Zero este un vector a cărui lungime este zero, adică începutul său coincide cu sfârșitul.
Cel mai convenabil este să lucrați cu vectori într-un sistem de coordonate dreptunghiular - același în care desenăm grafice ale funcțiilor. Fiecare punct din sistemul de coordonate corespunde a două numere - coordonatele sale x și y, abscisă și ordonată.
Vectorul este specificat și de două coordonate:
Aici coordonatele vectorului sunt scrise între paranteze - în x și y.
Se găsesc simplu: coordonata sfârșitului vectorului minus coordonata începutului acestuia.
Dacă sunt date coordonatele vectoriale, lungimea acestuia este găsită prin formula
Adăugarea vectorului
Există două moduri de a adăuga vectori.
1 . Regula paralelogramului. Pentru a adăuga vectorii și , plasăm originile ambilor în același punct. Construim până la un paralelogram și din același punct desenăm o diagonală a paralelogramului. Aceasta va fi suma vectorilor și .
Îți amintești fabula despre lebădă, raci și știucă? Au încercat foarte mult, dar nu au mutat niciodată căruciorul. La urma urmei, suma vectorială a forțelor pe care le aplicau căruciorului a fost egală cu zero.
2. A doua modalitate de a adăuga vectori este regula triunghiului. Să luăm aceiași vectori și . Vom adăuga începutul celui de-al doilea la sfârșitul primului vector. Acum să conectăm începutul primului și sfârșitul celui de-al doilea. Aceasta este suma vectorilor și .
Folosind aceeași regulă, puteți adăuga mai mulți vectori. Le aranjam unul după altul și apoi conectăm începutul primului cu sfârșitul ultimului.
Imaginează-ți că mergi de la punctul A la punctul B, de la B la C, de la C la D, apoi la E și la F. Rezultatul final al acestor acțiuni este deplasarea de la A la F.
Când adunăm vectori și obținem:
Scădere vectorială
Vectorul este îndreptat opus vectorului. Lungimile vectorilor și sunt egale.
Acum este clar ce este scăderea vectorială. Diferența vectorială și este suma vectorului și a vectorului .
Înmulțirea unui vector cu un număr
Când un vector este înmulțit cu numărul k, se obține un vector a cărui lungime este de k ori diferită de lungimea . Este codirecțional cu vectorul dacă k este mai mare decât zero și opus dacă k este mai mic decât zero.
Produsul punctual al vectorilor
Vectorii pot fi înmulțiți nu numai cu numere, ci și între ei.
Produsul scalar al vectorilor este produsul dintre lungimile vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei.
Vă rugăm să rețineți că am înmulțit doi vectori, iar rezultatul a fost un scalar, adică un număr. De exemplu, în fizică, munca mecanică este egală cu produsul scalar a doi vectori - forță și deplasare:
Dacă vectorii sunt perpendiculari, produsul lor scalar este zero.
Și așa se exprimă produsul scalar prin coordonatele vectorilor și:
Din formula pentru produs punctual puteți găsi unghiul dintre vectori:
Această formulă este deosebit de convenabilă în stereometrie. De exemplu, în problema 14 Examinare de stat unificată de profil la matematică trebuie să găsești unghiul dintre drepte care se intersectează sau dintre o dreaptă și un plan. Problema 14 este adesea rezolvată de câteva ori mai repede decât prin metoda clasică.
ÎN curiculumul scolar la matematică se studiază doar produsul scalar al vectorilor.
Rezultă că, pe lângă produsul scalar, există și un produs vectorial, când rezultatul înmulțirii a doi vectori este un vector. Oricine susține examenul de stat unificat în fizică știe ce sunt forța Lorentz și forța Ampere. Formulele pentru găsirea acestor forțe includ produse vectoriale.
Vectorii sunt un instrument matematic foarte util. Veți vedea asta în primul an.
Cunoștințe și abilități dobândite la această lecție, va fi de folos elevilor nu numai la lecțiile de geometrie, ci și la orele de alte științe. În timpul lecției, elevii vor învăța să traseze un vector dintr-un punct dat. Aceasta ar putea fi o lecție obișnuită de geometrie sau o clasă extracurriculară sau opțională de matematică. Această dezvoltare îl va ajuta pe profesor să-și economisească timp pregătindu-se pentru lecția cu tema „Întârzierea unui vector dintr-un punct dat”. Va fi suficient pentru el să joace lecția video în clasă și apoi să întărească materialul cu propria sa selecție de exerciții.
Durata lecției este de doar 1:44 minute. Dar acest lucru este suficient pentru a-i învăța pe școlari să traseze un vector dintr-un punct dat.
Lecția începe cu o demonstrație a unui vector, al cărui început este la un anumit punct. Ei spun că vectorul este amânat de la el. Apoi autorul își propune să se demonstreze împreună cu el afirmația conform căreia din orice punct este posibil să se traseze un vector egal cu cel dat și, în plus, unic. În timpul probei, autorul examinează fiecare caz în detaliu. În primul rând, se ia situația când vectorul dat este zero și, în al doilea rând, când vectorul este diferit de zero. În timpul probei se folosesc ilustrații sub formă de desene și construcții, notații matematice, care formează alfabetizarea matematică la școlari. Autorul vorbește încet, permițând elevilor să ia notițe în paralel în timp ce comentează. Construcția pe care autorul a efectuat-o în timpul dovedirii afirmației formulate anterior arată cum de la un anumit punct se poate construi un vector egal cu cel dat.
Dacă elevii urmăresc cu atenție lecția și iau note în același timp, vor învăța cu ușurință materialul. Mai mult, autorul povestește în detaliu, măsurat și destul de complet. Dacă dintr-un motiv oarecare nu ați auzit ceva, puteți să vă întoarceți și să vizionați din nou lecția.
După vizionarea lecției video, este recomandabil să începeți consolidarea materialului. Profesorului i se recomandă să selecteze sarcini pe această temă pentru a exersa deprinderea de a trasa un vector dintr-un punct dat.
Această lecție poate fi folosită pentru auto-studiu subiecte ale elevilor. Dar pentru a o consolida, trebuie să contactați profesorul, astfel încât să poată selecta sarcinile adecvate. La urma urmei, fără consolidarea materialului, este dificil să obții un rezultat pozitiv în învățare.
Vector – acesta este un segment de linie dreaptă direcționată, adică un segment având o anumită lungime și o anumită direcție. Lasă punctul A este începutul vectorului și punctul B – capătul său, atunci vectorul este notat cu simbolul sau . Vectorul este numit opus vector și poate fi desemnat .
Să formulăm o serie de definiții de bază.
Lungime sau modul vectorse numește lungimea segmentului și se notează. Se numește un vector de lungime zero (esența sa este un punct). zero și nu are direcție. Vector se numește lungimea unitățiisingur . Vector unitar a cărui direcție coincide cu direcția vectorului , numit orth a vectorului .
Vectorii sunt numiți coliniare , dacă se află pe aceeași linie sau pe linii paralele, notați. Vectorii coliniari pot avea direcții coincidente sau opuse. Vectorul zero este considerat coliniar cu orice vector.
Se spune că vectorii sunt egali, dacă sunt coliniare, au aceeași direcție și au aceeași lungime.
Se numesc trei vectori din spațiu coplanare , dacă se află în același plan sau pe planuri paralele. Dacă dintre trei vectori cel puțin unul este zero sau doi sunt coliniari, atunci astfel de vectori sunt coplanari.
Considerăm în spațiu un sistem de coordonate dreptunghiular 0 xyz. Să selectăm 0 pe axele de coordonate X, 0y, 0z vectori unitari (sau vectori) si notati-i prinrespectiv. Să alegem un vector arbitrar al spațiului și să aliniem originea acestuia cu originea coordonatelor. Să proiectăm vectorul pe axele de coordonate și să notăm proiecțiile cu un x, Ay, a z respectiv. Atunci este ușor să arăți asta
.
(2.25)
Această formulă este de bază în calculul vectorial și se numește extinderea vectorului în vectori unitari ai axelor de coordonate . Numerele un x, Ay, a z sunt numite coordonate vectoriale . Astfel, coordonatele unui vector sunt proiecțiile sale pe axele de coordonate. Egalitatea vectorială (2.25) este adesea scrisă sub forma
Vom folosi notația vectorială în acolade pentru a face mai ușor din punct de vedere vizual distingerea între coordonatele vectoriale și coordonatele punctului. Folosind formula pentru lungimea unui segment, cunoscută din geometria școlii, puteți găsi o expresie pentru calcularea modulului vectorului:
,
(2.26)
adică modulul unui vector este egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale.
Să notăm unghiurile dintre vector și axele de coordonate ca α, β, γ respectiv. Cosinus aceste unghiuri sunt numite pentru vector ghiduri , iar pentru ei este valabilă următoarea relație:Valabilitatea acestei egalități poate fi arătată folosind proprietatea proiecției unui vector pe o axă, care va fi discutată în paragraful 4 de mai jos.
Lăsa să intre spatiu tridimensional sunt dați vectoricu coordonatele tale. Pe ele au loc următoarele operații: liniare (adunarea, scăderea, înmulțirea cu un număr și proiecția unui vector pe o axă sau alt vector); neliniar – diverse produse ale vectorilor (scalari, vectoriali, mixti).
1. Plus doi vectori sunt produși în coordonate, adică dacă
Această formulă este valabilă pentru un număr finit arbitrar de termeni.
Din punct de vedere geometric, doi vectori se adună după două reguli:
A) regulă triunghi – vectorul rezultat al sumei a doi vectori leagă începutul primului dintre ei cu sfârșitul celui de-al doilea, cu condiția ca începutul celui de-al doilea să coincidă cu sfârșitul primului vector; pentru o sumă de vectori – vectorul rezultat al sumei leagă începutul primului dintre ei cu sfârșitul ultimului vector-termen, cu condiția ca începutul termenului următor să coincidă cu sfârșitul celui anterior;
b) regulă paralelogram (pentru doi vectori) – se construiește un paralelogram pe comenzile-vectori ca pe laturile reduse la aceeași origine; Diagonala unui paralelogram pornind de la originea lor comună este suma vectorilor.
2. Scădere doi vectori sunt executați în coordonate, similar cu adunarea, adică dacă, Acea
Geometric, se adaugă doi vectori conform regulii paralelogramului deja menționată, ținând cont că diferența dintre vectori este diagonala care leagă capetele vectorilor, iar vectorul rezultat este îndreptat de la capătul subtraendului până la capătul descăzut.
O consecință importantă a scăderii vectoriale este faptul că, dacă sunt cunoscute coordonatele începutului și sfârșitului vectorului, atunci pentru a calcula coordonatele unui vector, este necesar să se scadă coordonatele începutului său din coordonatele sfârșitului său
. Într-adevăr, orice vector al spațiuluipoate fi reprezentat ca diferența a doi vectori care emană de la origine:
. Coordonatele vectorialeȘi coincid cu coordonatele punctelorAȘi ÎN, încă de la origineDESPRE(0;0;0). Astfel, conform regulii de scădere a vectorilor, ar trebui să scădeți coordonatele punctuluiAdin coordonatele punctuluiÎN.
3.
U
înmulțirea unui vector cu un număr λ
coordonată cu coordonată:
.
La λ> 0 – vector co-regizat ; λ< 0 – vector direcție opusă ; | λ|> 1 – lungimea vectorului creste in λ o singura data;| λ|< 1 – lungimea vectorului scade cu λ o singura data.
4. Lasă o linie dreaptă direcționată (axa l), vectordate de coordonatele sfârşitului şi începutului. Să notăm proiecțiile punctelor AȘi B pe axă lîn consecinţă prin A’ Și B’ .
Proiecție vector pe axă lse numeste lungimea vectorului, luat cu semnul „+”, dacă vectorul si axa lco-regizat și cu semnul „–” dacăȘi ldirectii opuse.
Dacă ca axă l luați un alt vector, atunci obținem proiecția vectorului pe vector r.
Să ne uităm la câteva proprietăți de bază ale proiecțiilor:
1) proiecție vectorială pe axă legal cu produsul modulului vectoruluiprin cosinusul unghiului dintre vector și axă, adică
;
2.) proiecția vectorului pe axă este pozitivă (negativă) dacă vectorul formează un unghi ascuțit (obtuz) cu axa și este egală cu zero dacă acest unghi este drept;
3) proiecția sumei mai multor vectori pe aceeași axă este egală cu suma proiecțiilor pe această axă.
Să formulăm definiții și teoreme despre produsele vectorilor reprezentând operații neliniare pe vectori.
5. Produs punctual vectori şieste un număr (scalar) egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiuluiφ între ei, adică
.
(2.27)
Evident, pătratul scalar al oricărui vector diferit de zero este egal cu pătratul lungimii acestuia, deoarece în acest caz unghiul , deci cosinusul său (în 2.27) este 1.
Teorema 2.2.Necesar și condiție suficientă perpendicularitatea a doi vectori este egalitatea produsului lor scalar cu zero
Consecinţă. Produsele scalare perechi ale vectorilor unitari sunt egale cu zero, adică
Teorema 2.3. Produsul scalar a doi vectori, dat de coordonatele lor, este egal cu suma produselor coordonatelor lor cu același nume, adică
(2.28)
Folosind produsul scalar al vectorilor, puteți calcula unghiulîntre ele. Dacă doi vectori nenuli sunt dați cu coordonatele lor, apoi cosinusul unghiuluiφ între ele:
(2.29)
Aceasta implică condiția de perpendicularitate a vectorilor nenuliȘi :
(2.30)
Găsirea proiecției unui vectorla direcția specificată de vector , poate fi efectuată conform formulei
(2.31)
Folosind produsul scalar al vectorilor, se găsește munca efectuată de o forță constantăpe o porțiune dreaptă a potecii.
Să presupunem că sub influența unei forțe constante punct material se deplasează liniar din poziție A a pozitiona B. Vector de forță formează un unghi φ cu vector de deplasare (Fig. 2.14). Fizica spune că munca forței la deplasare egal cu .
Exemplul 2.9.Folosind produsul scalar al vectorilor, găsiți unghiul vârfuluiAparalelogramABCD, construit bazate pe vectori
Soluţie. Să calculăm modulele vectorilor și produsul lor scalar folosind teorema (2.3):
De aici, conform formulei (2.29), obținem cosinusul unghiului dorit
Exemplul 2.10.Costurile materiilor prime și resurselor materiale utilizate pentru producerea unei tone de brânză de vaci sunt prezentate în Tabelul 2.2 (frec.).
Care este prețul total al acestor resurse cheltuite pentru a face o tonă de brânză de vaci?Tabelul 2.2
Apoi 
.Prețul total al resursei
, care este produsul scalar al vectorilor. Să o calculăm folosind formula (2.28) conform teoremei 2.3:
Notă. Acțiunile cu vectori efectuate în exemplul 2.10 pot fi efectuate pe un computer personal. Pentru a găsi produsul scalar al vectorilor în MS Excel, utilizați funcția SUMPRODUCT(), unde adresele intervalelor de elemente de matrice a căror sumă de produse trebuie găsită sunt specificate ca argumente. În MathCAD, produsul scalar a doi vectori este realizat folosind operatorul corespunzător din bara de instrumente Matrix
Exemplul 2.11. Calculați munca efectuată de forță
, dacă punctul aplicării sale se mișcă liniar din poziție A(2;4;6) la poziție A(4;2;7). În ce unghi să AB forța este direcționată ?Soluţie. Găsiți vectorul deplasare scăzând din coordonatele capătului săucoordonatele originii
. Conform formulei (2.28)(unități de lucru).
Colţ φ intre si găsim prin formula (2.29), adică
6. Trei vectori necoplanari, luate în ordinea indicată, formulardreapta trei, dacă la observarea de la capătul celui de-al treilea vectorcea mai scurtă rotație de la primul vectorla al doilea vectorse face în sens invers acelor de ceasornic șistânga , dacă în sensul acelor de ceasornic.
Opera de artă vectorială vector la vector numit vector , îndeplinesc următoarele condiții:
– perpendicular pe vectoriȘi ;
– are lungimea egală cu
, Unde φ
– unghiul format de vectoriȘi ;
– vectori formează un drept trei (Fig. 2.15).
Teorema 2.4.O condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea a doi vectori este ca produsul lor vectorial să fie egal cu zero
Teorema 2.5. Produs vectorial al vectorilor, dat de coordonatele sale, este egal cu determinantul de ordinul trei al formei
(2.32)
Notă. Determinant (2.25) se extinde în funcție de proprietatea a 7 determinanți
Corolarul 1.O condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea a doi vectori este proporționalitatea coordonatelor corespunzătoare
Corolarul 2. Produsele vectoriale ale vectorilor unitari sunt egale
Corolarul 3.Pătratul vectorial al oricărui vector este zero
Interpretarea geometrică a produsului încrucișat
este că lungimea vectorului rezultat este numeric egală cu aria S un paralelogram construit pe vectori factori ca laturi reduse la aceeași origine. Într-adevăr, conform definiției, modulul produsului vectorial al vectorilor este egal cu
.
Pe de altă parte, aria unui paralelogram construit folosind vectoriși , este, de asemenea, egală 
. Prin urmare,
.
(2.33)
De asemenea, folosind produsul vectorial, puteți determina momentul de forță relativ la un punct și liniarul viteza de rotatie.
Lasă la punct A forta aplicata lăsați-l să plece O – un punct din spațiu (Fig. 2.16). Din cursul de fizică se știe că moment de forta relativ la punct Onumit vector , care trece prin punctOsi indeplineste urmatoarele conditii:
Perpendicular pe planul care trece prin puncte O, A, B;
Modulul său este numeric egal cu produsul forței exercitate de braț.
- formează un triplu din dreapta cu vectoriiȘi.
Prin urmare, momentul forței relativ la punctOeste un produs vectorial
. (2.34)
punctul axului (Fig. 2.17).
Exemplul 2.12. Găsiți aria unui triunghi folosind produsul încrucișat ABC, construit pe vectori, redus la un început.
Pagina 1 din 2
Intrebarea 1. Ce este un vector? Cum sunt desemnați vectorii?
Răspuns. Vom numi un segment direcționat vector (Fig. 211). Direcția unui vector este determinată indicând începutul și sfârșitul acestuia. În desen, direcția vectorului este indicată de o săgeată. Pentru a desemna vectori vom folosi litere latine mici a, b, c, .... De asemenea, puteți indica un vector indicând începutul și sfârșitul acestuia. În acest caz, începutul vectorului este plasat pe primul loc. În loc de cuvântul „vector”, o săgeată sau o linie este uneori plasată deasupra desemnării literei vectorului. Vectorul din figura 211 poate fi notat după cum urmează:
\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) sau \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).
Intrebarea 2. Ce vectori sunt numiți direcționați identic (direcționați opus)?
Răspuns. Se spune că vectorii \(\overline(AB)\) și \(\overline(CD)\) sunt egal direcționați dacă semi-liniile AB și CD sunt egal direcționate.
Se spune că vectorii \(\overline(AB)\) și \(\overline(CD)\) sunt direcționați opus dacă semi-liniile AB și CD sunt direcționate opus.
În Figura 212, vectorii \(\overline(a)\) și \(\overline(b)\) sunt direcționați în mod egal, iar vectorii \(\overline(a)\) și \(\overline(c)\ ) sunt îndreptate în sens opus.
Întrebarea 3. Care este mărimea absolută a unui vector?
Răspuns. Valoarea absolută (sau modulul) unui vector este lungimea segmentului care reprezintă vectorul. Valoarea absolută a vectorului \(\overline(a)\) se notează cu |\(\overline(a)\)|.
Întrebarea 4. Ce este un vector nul?
Răspuns.Începutul unui vector poate coincide cu sfârșitul acestuia. Vom numi un astfel de vector vectorul zero. Vectorul zero este notat cu un zero cu o liniuță (\(\overline(0)\)). Ei nu vorbesc despre direcția vectorului zero. Valoarea absolută a vectorului zero este considerată egală cu zero.
Întrebarea 5. Ce vectori se numesc egali?
Răspuns. Se spune că doi vectori sunt egali dacă sunt combinați prin translație paralelă. Aceasta înseamnă că există o translație paralelă care duce începutul și sfârșitul unui vector la începutul și, respectiv, sfârșitul altui vector.
Întrebarea 6. Demonstrați că vectorii egali au aceeași direcție și sunt egali în valoare absolută. Și invers: vectorii direcționați identic care sunt egali în valoare absolută sunt egali.
Răspuns.În timpul translației paralele, vectorul își păstrează direcția, precum și valoarea sa absolută. Aceasta înseamnă că vectorii egali au aceleași direcții și sunt egali în valoare absolută.
Fie \(\overline(AB)\) și \(\overline(CD)\) să fie vectori direcționați identic, egali în valoare absolută (Fig. 213). Transfer paralel, care duce punctul C la punctul A, combină semi-linia CD cu semi-linia AB, deoarece au aceleași direcții. Și deoarece segmentele AB și CD sunt egale, atunci punctul D coincide cu punctul B, adică. translația paralelă transformă vectorul \(\overline(CD)\) în vectorul \(\overline(AB)\). Aceasta înseamnă că vectorii \(\overline(AB)\) și \(\overline(CD)\) sunt egali, ceea ce trebuia demonstrat.
Întrebarea 7. Demonstrați că din orice punct puteți reprezenta un vector egal cu un vector dat și numai unul.
Răspuns. Fie CD o linie, iar vectorul \(\overline(CD)\) să fie parte a liniei CD. Fie AB linia dreaptă în care intră linia dreaptă CD în timpul transferului paralel, \(\overline(AB)\) să fie vectorul în care se îndreaptă vectorul \(\overline(CD)\) în timpul transferului paralel și, prin urmare, vectorii \(\ overline(AB)\) și \(\overline(CD)\) sunt egali, iar liniile drepte AB și CD sunt paralele (vezi Fig. 213). După cum știm, printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este posibil să se deseneze pe plan cel mult o dreaptă paralelă cu cea dată (axioma dreptelor paralele). Aceasta înseamnă că prin punctul A se poate trasa o linie paralelă cu linia CD. Deoarece vectorul \(\overline(AB)\) face parte din dreapta AB, atunci prin punctul A se poate desena un vector \(\overline(AB)\), egal cu vectorul \(\overline(CD)\ ).
Întrebarea 8. Ce sunt coordonatele vectoriale? Care este valoarea absolută a vectorului cu coordonatele a 1, a 2?
Răspuns. Fie vectorul \(\overline(a)\) să aibă un punct de început A 1 (x 1 ; y 1) și un punct final A 2 (x 2 ; y 2). Coordonatele vectorului \(\overline(a)\) vor fi numerele a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Vom pune coordonatele vectorului lângă desemnarea literei vectorului, în acest caz \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) sau pur și simplu \((\overline(a 1 ; a 2 ) )\). Coordonatele vectorului zero sunt egale cu zero.
Din formula care exprimă distanța dintre două puncte prin coordonatele lor, rezultă că valoarea absolută a vectorului cu coordonatele a 1 , a 2 este egală cu \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\).
Întrebarea 9. Demonstrați că vectorii egali au coordonate egale, iar vectorii cu coordonate egale sunt egali.
Răspuns. Fie A 1 (x 1 ; y 1) și A 2 (x 2 ; y 2) începutul și sfârșitul vectorului \(\overline(a)\). Deoarece vectorul \(\overline(a)\) egal cu acesta se obține din vectorul \(\overline(a)\) prin translație paralelă, începutul și sfârșitul acestuia vor fi A" 1 (x 1 + c; y 1 + d) respectiv ), A" 2 (x 2 + c; y 2 + d). Aceasta arată că ambii vectori \(\overline(a)\) și \(\overline(a")\) au aceleași coordonate: x 2 - x 1, y 2 - y 1.
Să demonstrăm acum afirmația inversă. Fie coordonatele corespunzătoare ale vectorilor \(\overline(A 1 A 2 )\) și \(\overline(A" 1 A" 2 )\) să fie egale. Să demonstrăm că vectorii sunt egali.
Fie x" 1 și y" 1 coordonatele punctului A" 1 și x" 2, y" 2 coordonatele punctului A" 2. Conform condițiilor teoremei, x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1, y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1. Prin urmare, x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Transferul paralel dat prin formule
x" = x + x" 1 - x 1 , y" = y + y" 1 - y 1 ,
transferă punctul A 1 în punctul A" 1, iar punctul A 2 în punctul A" 2, adică. vectorii \(\overline(A 1 A 2 )\) și \(\overline(A" 1 A" 2 )\) sunt egali, ceea ce trebuia demonstrat.
Întrebarea 10. Definiți suma vectorilor.
Răspuns. Suma vectorilor \(\overline(a)\) și \(\overline(b)\) cu coordonatele a 1 , a 2 și b 1 , b 2 se numește vectorul \(\overline(c)\) cu coordonatele a 1 + b 1, a 2 + b a 2, adică.
\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).
