Avionul este una dintre cele mai importante figuri din planimetrie, așa că trebuie să înțelegeți bine ce este. În cadrul acestui material, vom formula însuși conceptul de plan, vom arăta cum este notat în scris și vom introduce notația necesară. Apoi vom lua în considerare acest concept în comparație cu un punct, o dreaptă sau alt plan și vom analiza opțiunile acestora. poziție relativă. Toate definițiile vor fi ilustrate grafic, iar axiomele necesare vor fi formulate separat. În ultimul paragraf, vom indica cum să definiți corect un plan în spațiu în mai multe moduri.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Un plan este una dintre cele mai simple figuri din geometrie, împreună cu o dreaptă și un punct. Am explicat anterior că un punct și o dreaptă sunt plasate pe un plan. Dacă acest avion este plasat în spatiu tridimensional, apoi obținem puncte și linii în spațiu.

În viață, o idee despre ceea ce este un avion ne poate fi oferită de obiecte precum suprafața unei podele, a unei mese sau a peretelui. Dar trebuie avut în vedere că în viață dimensiunile lor sunt limitate, dar aici conceptul de plan este asociat cu infinitul.

Vom nota drepte și puncte situate în spațiu asemănător cu cele așezate pe un plan - folosind litere latine mici și mari (B, A, d, q etc.) Dacă în condițiile problemei avem două puncte care sunt situate pe o linie dreaptă, atunci puteți alege astfel de denumiri care vor corespunde între ele, de exemplu, linia D B și punctele D și B .

Pentru a reprezenta planul în scris, se folosesc în mod tradițional litere mici grecești, cum ar fi α, γ sau π.

Dacă avem nevoie de o reprezentare grafică a unui plan, atunci de obicei se folosește un spațiu închis de formă arbitrară sau un paralelogram.

Planul este de obicei considerat împreună cu linii drepte, puncte, alte planuri. Problemele cu acest concept conțin de obicei unele variante ale locației lor una față de cealaltă. Să luăm în considerare cazuri individuale.

Prima modalitate de aranjare reciprocă este ca punctul să fie situat pe un plan, adică. îi aparține. Putem formula o axiomă:

Definiția 1

Fiecare avion are puncte.

Acest aranjament se mai numește trecerea unui plan printr-un punct. Pentru a indica acest lucru în scris, se folosește simbolul ∈. Deci, dacă trebuie să scriem în formă literală că un anumit plan π trece prin punctul A, atunci scriem: A ∈ π.

Dacă un anumit plan este dat în spațiu, atunci numărul de puncte care îi aparțin este infinit. Și care este numărul minim de puncte care va fi suficient pentru a determina avionul? Răspunsul la această întrebare este următoarea axiomă.

Definiția 2

Prin trei puncte care nu sunt situate pe aceeași linie dreaptă, există un singur plan.

Cunoscând această regulă, puteți introduce o nouă denumire a avionului. În loc de o literă greacă mică, putem folosi numele punctelor care se află în ea, de exemplu, planul A B C.

O altă modalitate de aranjare reciprocă a unui punct și a unui plan poate fi exprimată folosind a treia axiomă:

Definiția 3

Puteți selecta cel puțin 4 puncte care nu vor fi în același plan.

Am observat deja mai sus că trei puncte vor fi suficiente pentru a desemna un plan în spațiu, iar al patrulea poate fi situat atât în ​​el, cât și în afara lui. Dacă trebuie să indicați în scris absența unui punct aparținând unui plan dat, atunci se folosește semnul ∉. O intrare de forma A ∉ π se citește corect ca „punctul A nu aparține planului π”

Grafic, ultima axiomă poate fi reprezentată astfel:

Cea mai simplă opțiune este ca linia să fie într-un plan. Atunci cel puțin două puncte ale acestei linii vor fi situate în ea. Să formulăm o axiomă:

Definiția 4

Dacă cel puțin două puncte ale unei linii date sunt într-un anumit plan, aceasta înseamnă că toate punctele acestei linii sunt situate în acest plan.

Pentru a înregistra apartenența unei drepte la un anumit plan, folosim același simbol ca și pentru un punct. Dacă scriem „a ∈ π”, atunci aceasta va însemna că avem o dreaptă a , care este situată în planul π . Să reprezentăm asta în figură:

A doua variantă a poziţiei relative este atunci când linia dreaptă intersectează planul. În acest caz, vor avea un singur punct comun - punctul de intersecție. Pentru a scrie un astfel de aranjament în formă literală, folosim simbolul ∩ . De exemplu, expresia a ∩ π = M se citește ca „linia a intersectează planul π într-un punct M”. Dacă avem un punct de intersecție, atunci avem și un unghi la care linia intersectează planul.

Grafic, acest aranjament arată astfel:

Dacă avem două drepte, dintre care una se află într-un plan și cealaltă îl intersectează, atunci ele sunt perpendiculare una pe cealaltă. În scris, acest lucru este indicat prin simbolul ⊥ . Vom analiza caracteristicile acestei poziții într-un articol separat. În figură, această locație va arăta astfel:

Dacă rezolvăm o problemă care are un plan, trebuie să știm care este vectorul normal al planului.

Definiția 5

Un vector normal al unui plan este un vector care se află pe o dreaptă perpendiculară față de plan și nu este egal cu zero.

Exemple de vectori plani normali sunt prezentate în figură:

Al treilea caz de poziție relativă a unei drepte și a unui plan este paralelismul lor. În acest caz, ele nu au un singur punct comun. Pentru a indica astfel de relații în scris, se folosește simbolul ∥. Dacă avem o înregistrare de forma a ∥ π, atunci ar trebui citit astfel: „drepta a este paralelă cu planul ∥”. Vom analiza acest caz mai detaliat în articolul despre planuri și drepte paralele.

Dacă o linie dreaptă este situată în interiorul unui plan, atunci o împarte în două părți egale sau inegale (semiplanuri). Atunci o astfel de linie dreaptă va fi numită granița semiplanurilor.

Orice 2 puncte situate în același semiplan se află pe aceeași parte a graniței, iar două puncte aparținând semiplanurilor diferite se află pe părți opuse ale graniței.

1. Cea mai simplă opțiune - două avioane coincid unul cu celălalt. Atunci vor avea cel puțin trei puncte comune.

2. Un plan poate intersecta altul. Acest lucru creează o linie dreaptă. Deducem o axiomă:

Definiția 6

Dacă două plane se intersectează, atunci se formează o linie dreaptă comună între ele, pe care se află toate punctele de intersecție posibile.

Pe o diagramă va arăta astfel:

În acest caz, se formează un unghi între planuri. Dacă este egală cu 90 de grade, atunci planurile vor fi perpendiculare între ele.

3. Două plane pot fi paralele unul cu celălalt, adică să nu aibă un singur punct de intersecție.

Dacă nu avem două, ci trei sau mai multe planuri care se intersectează, atunci o astfel de combinație se numește de obicei un mănunchi sau o grămadă de planuri. Vom scrie mai multe despre asta într-un articol separat.

În acest paragraf, vom vedea care sunt modalitățile de a defini un plan în spațiu.

1. Prima metodă se bazează pe una dintre axiome: singurul plan trece prin 3 puncte care nu se află pe o singură dreaptă. Prin urmare, putem defini un plan prin simpla specificare a trei astfel de puncte.

Dacă avem un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu tridimensional, în care se dă un plan folosind această metodă, atunci putem scrie o ecuație pentru acest plan (pentru mai multe detalii, vezi articolul corespunzător). Prezentăm această metodă în figură:

2. A doua modalitate este de a stabili un plan folosind o linie dreaptă și un punct care nu se află pe această dreaptă. Aceasta rezultă din axioma despre un plan care trece prin 3 puncte. Vezi poza:

3. A treia modalitate este de a stabili un plan care trece prin două drepte care se intersectează (după cum ne amintim, în acest caz există și un singur plan.) Să ilustrăm metoda după cum urmează:

4. A patra metodă se bazează pe linii paralele. Amintiți-vă ce drepte sunt numite paralele: trebuie să se afle în același plan și să nu aibă un singur punct de intersecție. Se pare că, dacă indicăm două astfel de linii în spațiu, atunci putem determina astfel pentru ele acel plan unic. Dacă avem un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu în care un plan este deja definit în acest fel, atunci putem deriva ecuația pentru un astfel de plan.

În figură, această metodă va arăta astfel:

Dacă ne amintim care este semnul paralelismului, putem deriva o altă modalitate de a defini un plan:

Definiția 7

Dacă avem două drepte care se intersectează care se află într-un anumit plan care sunt paralele cu două drepte dintr-un alt plan, atunci aceste planuri în sine vor fi paralele.

Astfel, dacă specificăm un punct, atunci putem specifica un plan care trece prin el și planul cu care va fi paralel. În acest caz, putem deriva și ecuația planului (avem un material separat despre aceasta).

Amintiți-vă o teoremă studiată la cursul de geometrie:

Definiția 8

Printr-un anumit punct din spațiu poate trece un singur plan, care va fi paralel cu o dreaptă dată.

Aceasta înseamnă că puteți defini un plan specificând un punct specific prin care va trece și o linie care va fi perpendiculară pe acesta. Dacă un plan este definit în acest fel într-un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci putem scrie o ecuație plană pentru el.

De asemenea, putem specifica nu o linie dreaptă, ci un vector normal al planului. Apoi se va putea formula ecuația generală.

Am luat în considerare principalele modalități prin care puteți seta un avion în spațiu.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Într-un desen complex, un plan poate fi dat de imagini ale acelor elemente geometrice care determină complet poziția planului în spațiu. Aceasta:

1) trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă (Fig. 30);

3) două drepte paralele (Fig. 27);

4) două linii drepte care se intersectează (Fig. 28).

La rezolvarea unor probleme, este indicat să fixați planul în urmele sale pe desenul complex (Fig. 31).

UN PLAN URMĂTOR este o linie dreaptă de-a lungul căreia avion dat se intersectează cu planul de proiecție.

Pe fig. 31 arată un avion? şi urmele sale: cu - orizontală; a - frontală; b - profil. Urmele planului se îmbină cu proiecțiile lor cu același nume: trasă c = c"; trasă a = a""; urma b = b""". Punctele se numesc puncte de fuga.

2. Proiecții ale planurilor de nivel

Planurile de nivel se numesc plane paralele cu planurile de proiecție.

O trăsătură caracteristică a acestor planuri este că elementele situate în aceste planuri sunt proiectate pe planul de proiecție corespunzător în dimensiune completă.

plan orizontal

Planul orizontal (Fig. 32) este paralel cu planul orizontal de proiecție.

Pe fig. 32 arată un plan orizontal? (?V).

Plan frontal

Planul frontal (Fig. 33) este paralel cu planul de proiecție frontală.

Pe desenul complex cu două imagini, este reprezentat ca o singură urmă frontală paralelă cu axa x.

Pe fig. 33 arată planul frontal? (??).

plan de profil

Planul de profil (Fig. 34) este paralel cu planul de profil al proiecțiilor.

Pe desenul complex cu două imagini, acesta este reprezentat de două urme: orizontală și frontală, perpendiculare pe axa x.

Pe fig. 34 arată un plan de profil? (?H,V).

3. Avioane de proiecție

PROIECȚIILE se numesc planuri perpendiculare pe planurile proiecțiilor.

O trăsătură caracteristică a unor astfel de avioane este proprietatea lor colectivă. Constă în următoarele: urma corespunzătoare - proiecția planului - colectează proiecțiile cu același nume ale tuturor elementelor situate în planul dat.

Se numesc proiecții dreptunghiulare pe două sau trei plane reciproc perpendiculare ortogonală.

Să stabilim trei planuri de proiecție reciproc perpendiculare și un punct DARîn spațiu (Fig.2.1).

Orez. 2.1. Proiecții ortografice ale unui punct

V, H, W- planuri de proiectie

V – frontal planul de proiecție

H – orizontală planul de proiecție

W – profil planul de proiecție

Liniile de intersecție ale planurilor de proiecție X, Y, Z sunt axe de proiecție.

Pentru a obține proiecții în trei puncte DAR, rezultă din aceasta să coboare perpendicularele pe planul proiecțiilor. Punctele de intersecție ale perpendicularelor cu un plan V – proiecția punctului frontalA v, cu avionul H – proiecția orizontală a punctului A n, cu avionul W – proiecția de profil a punctului A w .

Pentru a trece la un desen plat, o diagramă (din cuvântul francez epure - un desen, un proiect) are nevoie de un plan H rotiți în jos în jurul axei Xînainte de alinierea cu planul V, și avionul W aliniați cu planul V, întorcându-l în jurul axei Z spre dreapta (Fig.2.2a).

Două proiecții ortogonale pe planuri reciproc perpendiculare se află pe linii drepte perpendiculare pe axa de proiecție corespunzătoare și intersectează această axă în același punct. Aceste linii sunt numite linii de comunicare.

Se numește distanța de la un punct la planurile de proiecție coordonate acest puncteși poate fi măsurat de-a lungul axelor.

1) Distanța AA w (HA) din planul de profil al proiecţiilor este abscisă puncte DAR;

2) Distanța AA v (YDAR) puncte DAR din planul de proiecție frontală se numește ordonată(în Fig.2.1 dimensiunea axei Y redus la jumătate, pentru că în dimetria frontală, indicele de distorsiune este de 0,5);

3) Distanța AA n (ZDAR) puncte DAR din planul orizontal de proiecție se numește aplicatie puncte DAR.

Un punct poate fi dat de coordonatele sale X, Y, Z, de exemplu,

DAR (,,)

Se numește un desen în care un punct sau un sistem de puncte este reprezentat cu poziția combinată a planurilor de proiecție diagramă sau desen.

Limitele planurilor de proiecție de obicei nu sunt afișate pe diagramă. În multe cazuri, două planuri de proiecție sunt suficiente, caz în care este desenată o singură axă de proiecție. X(Fig.2.2b).

2.1.1. Complot fără axe

Imaginile (proiecțiile) unui punct, drept, figură plată sau formă spațială pe planurile de proiecție nu se vor schimba dacă planurile sunt mutate în raport cu obiectul proiectat paralel cu ele însele. În acest caz, distanțele obiectului proiectat față de planurile de proiecție se modifică, dar această circumstanță nu contează pentru rezolvarea multor probleme. Deci, în desenele tehnice, axele de proiecție de obicei nu sunt afișate. Prin urmare, pe diagramă, în unele cazuri, este posibil să nu se descrie axele de proiecție. Un exemplu de desen fără axe a unui punct este prezentat în Fig. 2.2c.

Orez. 2.2. Desenul (diagrama) unui punct: a) pe trei planuri de proiecție;

B) pe două planuri de proiecție; c) fără spinare

2.2. Proiecții ortogonale ale unei drepte

Pentru a construi proiecții ale oricărei linii, trebuie să setați proiecțiile celor două puncte ale sale și să conectați proiecțiile corespunzătoare ale acestor puncte (Fig.2.3). În ceea ce privește planurile de proiecție, liniile drepte pot ocupa poziții particulare sau generale.

Orez. 2.3. Proiecții de segment de linie

AVION, avioane, pl. avioane, avioane, neveste. 1. numai unitati distragerea atenției substantiv a plat (carte). Planul pieptului. Planul clarității. 2. O suprafață care are doar două dimensiuni, astfel încât să se poată trasa o linie dreaptă între oricare două puncte, ... ... Dicţionar Uşakov

avion- Cm … Dicţionar de sinonime

avion X-Y- plan orizontal Planul definit de axele X și Y [L.G.Sumenko. Dicționar englez rus de tehnologii informaționale. M.: GP TsNIIS, 2003.] Subiecte Tehnologia de informațieîn general Sinonime plan orizontal EN X Y plan ...

AVION este cea mai simplă suprafață. Conceptul de plan (cum ar fi un punct și o linie dreaptă) este unul dintre conceptele de bază ale geometriei. Un plan are proprietatea că orice linie care leagă două dintre punctele sale îi aparține în întregime... Dicţionar enciclopedic mare

Avion- perioada de timp in care pretul nu creste sau scade. Perioada fixă ​​de timp în care toate pozițiile sunt închise. În engleză: Flat Vezi și: Trends Financial Dictionary Finam ... Vocabular financiar

U-plane- U plane procesează datele utilizatorului care trec prin sistemul G PON. Planul U asigură comunicarea între clienții ATM sau clienții GEM (ITU T G.984.3). Subiecte…… Manualul Traducătorului Tehnic

AVION- PLANE, în matematică, o suprafață plană, astfel încât orice linie care leagă două dintre punctele sale aparține în întregime acestei suprafețe. Ecuația generală a planului într-un sistem de coordonate carteziene tridimensional arată ca ax + by + cz = d, unde a, b, c și d ... ... Științific și tehnic Dicţionar enciclopedic

AVION- PLANE, cea mai simplă suprafață astfel încât orice linie care trece prin 2 dintre punctele sale îi aparține... Enciclopedia modernă

AVION- AVION, și, pl. și, ea și ea, soțiile. 1. vezi plat. 2. (la ea). În geometrie: o suprafață care are două dimensiuni. Linie în avion. 3. (la ea). Suprafață plană, netedă. Rotiți pe un plan înclinat (de asemenea, traducere: coborâți în morală ...... Dicționar explicativ al lui Ozhegov

avion- avion, pl. plan (plan greșit), gen. avioane si avioane... Dicționar de pronunție și dificultăți de stres în rusă modernă

avion- O suprafață care are două dimensiuni. Deosebit de distins: indicator plat, cablu plat. Operația de vopsire a unui avion se numește pictură. [Dicționar enciclopedic hipertext de informatică de E. Yakubaitis] … … Manualul Traducătorului Tehnic

Cărți

• Plan și spațiu, sau viața ca pătrat, Lapin Alexander Iosifovich, Cartea prezintă cercetările originale ale autorului în domeniul psihologiei percepției vizuale a unei imagini plate, în special a unui tablou, desen sau fotografie. E ca un imaginar... Categorie: Culturologie. istoria artei Editura: Trimedia, Cumpărați pentru 1913 ruble
• Presiunea asupra unui avion în timpul mișcării sale normale în aer, K. Tsiolkovsky, reprodus în ortografia originală a autorului ediției din 1930 (editura Kaluga) ... Categorie: Matematică și Știință Seria: Editura: