Linia aparține planului, dacă are două puncte comune sau un punct comun și este paralelă cu o dreaptă care se află în plan. Fie ca planul din desen să fie dat de două drepte care se intersectează. În acest plan, este necesar să se construiască două drepte m și n în conformitate cu aceste condiții ( G(a b)) (Fig. 4.5).
Rezolvare 1. Desenați în mod arbitrar m 2, deoarece linia aparține planului, marcați proiecțiile punctelor sale de intersecție cu liniile Ași bși determinați proiecțiile lor orizontale, desenați m 1 prin 1 1 și 2 1.
2. Prin punctul Spre plan desenăm n 2 ║m 2 și n 1 ║m 1.
Linie paralelă cu planul dacă este paralelă cu orice dreptă aflată în plan.
Intersecția unei drepte și a unui plan. Există trei cazuri de localizare a unei linii drepte și a unui plan în raport cu planurile de proiecție. În funcție de aceasta, se determină punctul de intersecție al dreptei și al planului.
Primul caz
- linie dreaptă și plan - poziție de proiectare. În acest caz, există un punct de intersecție în desen (ambele proiecții ale sale), trebuie doar marcat.
EXEMPLU În desen, planul este dat de urmele Σ ( h 0 f0)– poziție proiectată orizontal – și drept l- poziție proiectată frontal. Determinați punctul de intersecție a acestora (Fig. 4.6).
Există deja un punct de intersecție în desen - K (K 1 K 2).
Al doilea caz- sau o linie dreaptă, sau un plan - a poziției de proiectare. În acest caz, pe unul dintre planurile de proiecție, există deja o proiecție a punctului de intersecție, acesta trebuie desemnat, iar pe al doilea plan de proiecție, trebuie găsit prin apartenență.
EXEMPLE. Pe fig. 4.7, dar planul este reprezentat cu urme ale unei poziții proiectate frontal și o linie dreaptă l- pozitia generala. Proiecția punctului de intersecție K 2 din desen este deja disponibilă, iar proiecția K 1 trebuie găsită prin apartenența la punctul K la dreapta l. Pe
orez. 4.7, b este un plan în poziție generală, iar dreapta m se proiectează frontal, atunci K 2 există deja (coincide cu m 2), iar K 1 trebuie găsit din condiția ca punctul să aparțină planului. Pentru a face acest lucru, treceți prin K
linie dreapta ( h- orizontală) culcat în plan.
Al treilea caz- atat o dreapta cat si un plan - de pozitie generala. În acest caz, pentru a determina punctul de intersecție a unei linii drepte și a unui plan, este necesar să se folosească așa-numitul mediator - planul de proiectare. Pentru a face acest lucru, un plan secant auxiliar este trasat prin linie dreaptă. Acest plan intersectează planul dat de-a lungul liniei. Dacă această dreaptă intersectează o dreaptă dată, atunci există un punct de intersecție al dreptei și al planului.
EXEMPLE. Pe fig. 4.8 planul este reprezentat printr-un triunghi ABC - în poziție generală - și o dreaptă l- pozitia generala. Pentru a determina punctul de intersecție K, este necesar prin l Desenați un plan Σ proiectat frontal, construiți o linie de intersecție a lui Δ și Σ în triunghi (în desen este un segment 1.2), determinați K 1 și prin apartenență - K 2. Apoi se determină vizibilitatea liniei lîn raport cu triunghiul prin puncte concurente. Pe P 1, punctele 3 și 4 sunt luate ca puncte concurente.Proiecția punctului 4 este vizibilă pe P 1, deoarece coordonata sa Z este mai mare decât cea a punctului 3, prin urmare, proiecția l 1 din acest punct la K 1 va fi invizibil.
Punctele concurente pe P 2 sunt punctul 1, care aparține lui AB și punctul 5, care aparține lui l. Punctul 1 va fi vizibil, deoarece coordonata lui Y este mai mare decât cea a punctului 5 și, prin urmare, proiecția dreptei l 2 până la K 2 este invizibil.
Articolul vorbește despre conceptul de linie dreaptă pe un plan. Luați în considerare termenii de bază și denumirile lor. Să lucrăm cu aranjarea reciprocă a unei linii și a unui punct și a două drepte pe un plan. Să vorbim despre axiome. Ca rezultat, vom discuta despre metode și metode de stabilire a unei linii drepte pe un plan.
Linia în avion - conceptul
Mai întâi trebuie să ai o idee clară despre ce este un avion. Orice suprafață a ceva poate fi atribuită unui plan, doar că diferă de obiecte în infinitul său. Dacă ne imaginăm că avionul este o masă, atunci în cazul nostru nu va avea limite, ci va fi infinit de imens.
Dacă atingeți masa cu un creion, va rămâne un semn, care poate fi numit „punct”. Astfel, ne facem o idee despre un punct dintr-un avion.
Luați în considerare conceptul de linie dreaptă pe un plan. Dacă desenați o linie dreaptă pe o foaie, aceasta va fi afișată pe ea cu o lungime limitată. Nu am primit întreaga linie, ci doar o parte din ea, deoarece de fapt nu are capăt, ca și avionul. Prin urmare, imaginea liniilor și a planurilor dintr-un caiet este formală.
Avem o axiomă:
Definiția 1
Punctele pot fi marcate pe fiecare linie și în fiecare plan.
Punctele sunt notate atât cu litere mari, cât și cu litere mici latine. De exemplu, A și D sau a și d.
Pentru un punct și o dreaptă se cunosc doar două variante de localizare: un punct pe o dreaptă, cu alte cuvinte, că linia trece prin el, sau un punct care nu este pe linie, adică linia nu trece prin el. .
Pentru a indica dacă un punct dintr-un plan sau un punct de pe o dreaptă aparține, utilizați semnul „∈”. Dacă este dat în condiția ca punctul A să se afle pe dreapta a , atunci are forma A ∈ a . În cazul în care punctul A nu aparține, atunci o altă înregistrare este A ∉ a .
Judecata corecta:
Definiția 2
Prin oricare două puncte situate în orice plan, există o singură linie dreaptă care trece prin ele.
Această afirmație este considerată un akisome, prin urmare nu necesită dovezi. Dacă îl considerați singur, puteți vedea că, cu cele două puncte existente, există o singură opțiune pentru conectarea lor. Dacă avem două puncte date A și B, atunci linia care trece prin ele poate fi numită aceste litere, de exemplu, linia A B. Luați în considerare figura de mai jos.
O linie dreaptă într-un plan are un numar mare de puncte. De aici provine axioma:
Definiția 3
Dacă două puncte ale unei linii se află într-un plan, atunci toate celelalte puncte ale dreptei date se află în plan.
Se numește mulțimea de puncte dintre două puncte date un segment de linie dreaptă. Are un început și un sfârșit. Desemnat cu două litere.
Dacă se dă că punctele A și P sunt capetele segmentului, atunci desemnarea acestuia va lua forma Р А sau А Р. Deoarece denumirile segmentului și ale liniei coincid, se recomandă adăugarea sau terminarea cuvintelor „ segment”, „linie dreaptă”.
Notarea concisă a apartenenței include utilizarea semnelor ∈ și ∉ . Pentru a fixa locația segmentului în raport cu o linie dreaptă dată, utilizați ⊂ . Dacă este dat în condiția ca segmentul А Р să aparțină liniei b, atunci înregistrarea va arăta astfel: А Р ⊂ b.
Are loc și cazul apartenenței a trei puncte la o singură dreaptă în același timp. Acest lucru este adevărat atunci când un punct se află între alți doi. Această afirmație este considerată a fi o axiomă. Dacă sunt date punctele A, B, C care aparțin aceleiași drepte, iar punctul B se află între A și C, rezultă că toate punctele date se află pe aceeași dreaptă, deoarece se află de ambele părți ale punctului B.
Punctul împarte linia în două părți, numite raze. Avem o axiomă:
Definiția 4
Orice punct situat pe o linie o împarte în două raze și orice două puncte ale unei raze se află pe o parte a razei în raport cu punctul O, iar celelalte se află de cealaltă parte a razei.
Dispunerea liniilor drepte pe un plan poate lua forma a două stări.
Definiția 5
coincide.
Această posibilitate apare atunci când liniile au puncte comune. Pe baza axiomei scrise mai sus, avem că o dreaptă trece prin două puncte și doar unul. Aceasta înseamnă că atunci când 2 linii trec prin cele 2 puncte date, ele coincid.
Definiția 6
Două linii drepte într-un plan cruce.
Acest caz arată că există un punct comun, care se numește intersecția liniilor. Intersecția notației este introdusă de simbolul ∩ . Dacă există o formă a ∩ b = M , atunci rezultă că dreptele date a și b se intersectează în punctul M .
La intersecția liniilor drepte, ne ocupăm de unghiul format. Se acordă o atenție separată secțiunii de intersecție a liniilor pe un plan cu formarea unui unghi de 90 de grade, adică un unghi drept. Atunci dreptele se numesc perpendiculare.Forma de scriere a două drepte perpendiculare este: a ⊥ b, ceea ce înseamnă că dreapta a este perpendiculară pe dreapta b.
Definiția 7
Două linii drepte într-un plan pot fi sunt paralele.
Numai dacă două drepte date nu au intersecții comune și, prin urmare, nu au puncte, sunt paralele. Se folosește o notație care poate fi scrisă pentru un paralelism dat al dreptelor a și b: a ∥ b .
O linie dreaptă pe un plan este considerată împreună cu vectorii. O importanță deosebită este acordată vectorilor zero care se află pe o linie dată sau pe oricare dintre liniile paralele, se numesc vectori de direcție ai dreptei. Luați în considerare figura de mai jos.
Vectorii nenuli localizați pe linii perpendiculare pe cea dată sunt altfel numiți vectori normali ai dreptei. Există o descriere detaliată în articolul vector normal al unei linii drepte pe un plan. Luați în considerare figura de mai jos.
Dacă pe un plan sunt date 3 linii, locația lor poate fi foarte diferită. Există mai multe opțiuni pentru locația lor: intersecția tuturor, paralelismul sau prezența diferitelor puncte de intersecție. Figura arată intersecția perpendiculară a două drepte față de una.
Pentru a face acest lucru, prezentăm factorii necesari care demonstrează poziția lor relativă:
- dacă două drepte sunt paralele cu o a treia, atunci toate sunt paralele;
- dacă două drepte sunt perpendiculare pe o treime, atunci cele două drepte sunt paralele;
- Dacă o dreaptă intersectează o dreaptă paralelă într-un plan, atunci ea intersectează alta.
Să aruncăm o privire la poze.
O linie dreaptă pe un plan poate fi definită în mai multe moduri. Totul depinde de starea problemei și de pe ce se va baza soluția acesteia. Aceste cunoștințe pot ajuta la localizarea practică a liniilor.
Definiția 8
Linia dreaptă este definită folosind cele două puncte indicate situate în plan.
Din axioma considerată rezultă că prin două puncte se poate trasa o linie dreaptă și, în plus, o singură linie. Când un sistem de coordonate dreptunghiular specifică coordonatele a două puncte necoincidente, atunci este posibil să se fixeze ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Să considerăm o figură în care avem o dreaptă care trece prin două puncte. 
Definiția 9
O linie poate fi definită printr-un punct și o dreaptă cu care este paralelă.
Această metodă are un loc în care să existe, deoarece printr-un punct se poate trasa o dreaptă paralelă cu cea dată, și numai una. Dovada este cunoscută din curs şcolar prin geometrie.
Dacă linia dreaptă este dată relativ la sistemul de coordonate carteziene, atunci este posibil să se formuleze ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat paralel cu o dreaptă dată. Luați în considerare principiul stabilirii unei linii drepte pe un plan.
Definiția 10
Linia este specificată prin vectorul punct și direcție specificat.
Când o linie dreaptă este dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este posibil să se compună ecuații canonice și parametrice pe un plan. Considerați în figură locația dreptei în prezența unui vector de direcție.
Al patrulea punct de stabilire a unei linii drepte are sens atunci când este indicat un punct prin care ar trebui să fie trasată și o linie dreaptă perpendiculară pe aceasta. Din axiomă avem:
Definiția 11
Printr-un punct dat situat pe un plan va trece o singură dreaptă, perpendiculară pe cea dată.
Iar ultimul punct legat de alocarea unei linii drepte pe un plan este într-un punct specificat prin care trece linia dreaptă și în prezența unui vector normal al dreptei. Cu coordonatele cunoscute ale unui punct situat pe o dreaptă dată și coordonatele unui vector normal, este posibil să scrieți ecuația generală a unei drepte.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Linia poate aparține sau nu planului. Aparține planului dacă cel puțin două dintre punctele sale se află pe plan. Figura 93 prezintă planul Suma (axb). Drept l aparține planului Sumă, deoarece punctele sale 1 și 2 aparțin acestui plan.
Dacă linia nu aparține planului, poate fi paralelă cu acesta sau să o intersecteze.
O linie este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o altă dreaptă din acel plan. Figura 93 drept m || sumă, deoarece este paralelă cu dreapta l aparţinând acestui plan.
O linie dreaptă poate intersecta un plan sub diferite unghiuri și, în special, poate fi perpendiculară pe acesta. Construcția liniilor de intersecție a unei drepte cu un plan este dată în §61.
Figura 93 - O linie dreaptă aparținând unui plan
Un punct în raport cu un plan poate fi situat astfel: a-i aparține sau a nu-i aparține. Un punct aparține unui plan dacă este situat pe o dreaptă din acel plan. Figura 94 prezintă un desen complex al planului Sum definit de două drepte paralele lși P. Linia este în plan m. Punctul A se află în planul Sumă, deoarece se află pe linie m. Punct LA nu aparține planului, deoarece a doua sa proiecție nu se află pe proiecțiile corespunzătoare ale dreptei.
Figura 94 - Desen complex al unui plan definit de două drepte paralele
Suprafețe conice și cilindrice
Suprafețele conice includ suprafețe formate prin deplasarea unei generatoare rectilinie l de-a lungul unui ghidaj curbat m. O caracteristică a formării unei suprafețe conice este că, în acest caz, un punct al generatricei este întotdeauna fixat. Acest punct este partea superioară a suprafeței conice (Figura 95, A). Definitorul de suprafață conică include vârful S si ghid m,în care l„~S; l"^ m.
Suprafețele cilindrice includ suprafețe formate dintr-o generatoare dreaptă / care se deplasează de-a lungul unui ghidaj curbiliniu t paralel cu direcția dată S(Figura 95, b). O suprafață cilindrică poate fi considerată ca un caz special al unei suprafețe conice cu un vârf la infinit S.
Determinantul suprafeței cilindrice constă dintr-un ghidaj tşi direcţia S, formând l, în timp ce l" || S; l" ^ m.
Dacă generatoarele unei suprafețe cilindrice sunt perpendiculare pe planul proiecțiilor, atunci o astfel de suprafață se numește proiectand. Figura 95, în este prezentată o suprafață cilindrică proiectată orizontal.
Pe suprafețele cilindrice și conice, punctele date sunt construite folosind generatoare care trec prin ele. Linii pe suprafețe, cum ar fi o linie A la figura 95, în sau orizontală hîn figura 95, a, b, sunt construite folosind puncte individuale aparținând acestor linii.
Figura 95 - Suprafețe conice și cilindrice
Suprafețele trunchiului
O suprafață a trunchiului este o suprafață formată dintr-o generatrică rectilinie l, atingând în timpul mișcării sale în toate pozițiile sale o anumită curbă spațială t, numit marginea de întoarcere(Figura 96). Marginea de întoarcere definește complet trunchiul și este partea geometrică a definitorului de suprafață. Partea algoritmică este indicația tangenței generatoarelor la marginea cuspidului.
O suprafață conică este un caz special al unui trunchi cu o margine de întoarcere t degenerat într-un punct S- vârful unei suprafeţe conice. O suprafață cilindrică este un caz special al unui trunchi, a cărui margine cuspidă este un punct la infinit.
Figura 96 - Suprafața trunchiului
Suprafețe fațetate
Suprafețele fațetate includ suprafețe formate prin deplasarea unei generatrice rectilinie l de-a lungul unei linii întrerupte m. Cu toate acestea, dacă un punct S generatoarea este nemișcată, se creează o suprafață piramidală (Figura 97) dacă generatricea este paralelă cu o direcție dată când se mișcă S, apoi se creează o suprafață prismatică (Figura 98).
Elementele suprafețelor fațetate sunt: vârf S(lângă suprafața prismatică este la infinit), față (parte a planului delimitată de o secțiune a ghidajului mși pozițiile extreme ale generatricei în raport cu acesta l) și o muchie (linia de intersecție a fețelor adiacente).
Determinantul suprafeței piramidei include vârful S, prin care trec generatoarele și ghidajele: eu ~ S; l^ t.
Determinant de suprafață prismatică, cu excepția ghidajului t, conţine direcţia S, la care toate generatoarele sunt paralele l suprafete: l||S; l^ t.
Figura 97 - Suprafata piramidala
Figura 98 - Suprafata prismatica
Suprafețele fațetate închise formate dintr-un anumit număr (cel puțin patru) de fețe se numesc poliedre. Dintre poliedre se distinge un grup de poliedre regulate, în care toate fețele sunt poligoane regulate și congruente, iar unghiurile poliedrice de la vârfuri sunt convexe și conțin același număr de fețe. De exemplu: hexaedru - cub (Figura 99, A), tetraedru - patrulater regulat (Figura 99, 6) octaedru - poliedru (Figura 99, în). Cristalele au forma diverselor poliedre.
Figura 99 - Poliedre
Piramidă- un poliedru, la baza căruia se află un poligon arbitrar, iar fețele laterale sunt triunghiuri cu un vârf comun S.
În desenul complex, piramida este definită de proiecțiile vârfurilor și marginilor sale, ținând cont de vizibilitatea acestora. Vizibilitatea unei margini este determinată folosind puncte concurente (Figura 100).
Figura 100 - Determinarea vizibilității unei margini folosind puncte concurente
Prismă- un poliedru a cărui bază este două poligoane identice și reciproc paralele, iar fețele laterale sunt paralelograme. Dacă marginile prismei sunt perpendiculare pe planul bazei, o astfel de prismă se numește linie dreaptă. Dacă marginile unei prisme sunt perpendiculare pe orice plan de proiecție, atunci suprafata laterala se numeşte proiectivă. Figura 101 prezintă un desen complex al unei prisme dreptunghiulare cu o suprafață proiectată orizontal.
Figura 101 - Desen complex al unei prisme dreptunghiulare cu o suprafață proiectată orizontal
Când lucrați cu un desen complex al unui poliedru, trebuie să construiți linii pe suprafața acestuia și, deoarece o linie este o colecție de puncte, trebuie să puteți construi puncte pe suprafață.
Orice punct de pe o suprafață fațetată poate fi construit folosind o generatoare care trece prin acest punct. În figura 100 în față ACS punct construit M cu ajutorul generatorului S-5.
Suprafețe elicoidale
Suprafețele elicoidale sunt cele create în timpul mișcării elicoidale a unei generatrice rectilinie. Suprafețele elicoidale rigle sunt numite elicoizii.
Un elicoid drept este format prin mișcarea unei generatrice rectilinie i de-a lungul a două ghidaje: o spirală tși axele sale i; în timp ce generează l traversează axul elicoidal în unghi drept (Figura 102, a). Un elicoid drept este folosit pentru a crea scări spiralate, șuruburi, precum și filete electrice, în mașinile-unelte.
Un elicoid înclinat se formează prin mișcarea generatricei de-a lungul ghidajului elicoidal tși axele sale i astfel încât generatorul l traversează axa i la un unghi constant φ, altul decât un unghi drept, adică în orice poziție, generatoarea l paralel cu una dintre generatoarele conului de ghidare cu un unghi la vârf egal cu 2φ (Figura 102, b). Elicoizii înclinați limitează suprafețele firelor.
Figura 102 - Elicoizi
Suprafețe de revoluție
Suprafețele de revoluție includ suprafețele formate prin rotația unei linii l în jurul unei linii drepte i reprezentand axa de rotatie. Ele pot fi reglate, cum ar fi un con sau un cilindru de revoluție, și neliniare sau curbilinie, cum ar fi o sferă. Determinantul suprafeței de revoluție include generatoarea l si axa i . Fiecare punct al generatricei în timpul rotației descrie un cerc, al cărui plan este perpendicular pe axa de rotație. Astfel de cercuri ale suprafeței de revoluție se numesc paralele. Cea mai mare dintre paralele se numește ecuator. Ecuator.defineşte conturul orizontal al suprafeţei dacă i _|_ P 1 . În acest caz, paralelele sunt orizontale ale acestei suprafețe.
Curbele suprafeței de revoluție, formate ca urmare a intersecției suprafeței cu planele care trec prin axa de revoluție, se numesc meridiane. Toate meridianele unei suprafețe sunt congruente. Meridianul frontal este numit meridianul principal; defineşte conturul frontal al suprafeţei de revoluţie. Meridianul de profil determină conturul profilului suprafeței de revoluție.
Cel mai convenabil este să construiți un punct pe suprafețele curbe de revoluție folosind paralele de suprafață. Figura 103 punct M construit pe paralela h 4 .
Figura 103 - Construirea unui punct pe o suprafață curbată
Suprafețele de revoluție au găsit cea mai largă aplicație în inginerie. Ele limitează suprafețele majorității pieselor de inginerie.
O suprafață conică de revoluție este formată prin rotirea unei linii drepte iîn jurul liniei drepte care se intersectează cu ea - axa i(Figura 104, A). Punct M la suprafata se construieste cu ajutorul unei generatrice lși paralele h. Această suprafață este numită și con de revoluție sau con circular drept.
O suprafață cilindrică de revoluție este formată prin rotirea unei linii drepte lîn jurul unei axe paralele i(Figura 104, b). Această suprafață este numită și cilindru sau cilindru circular drept.
O sferă se formează prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său (Figura 104, în). Punctul A de pe suprafața sferei aparține meridianului principal f, punct LA- ecuator h, un punct M construit pe o paralelă auxiliară h".
Figura 104 - Formarea suprafețelor de revoluție
Un tor se formează prin rotirea unui cerc sau arcul acestuia în jurul unei axe situate în planul cercului. Dacă axa este situată în cadrul cercului format, atunci un astfel de tor se numește închis (Figura 105, a). Dacă axa de rotație este în afara cercului, atunci un astfel de tor se numește deschis (Figura 105, b). Un tor deschis se mai numește și inel.
Figura 105 - Formarea unui tor
Suprafețele de revoluție pot fi formate și din alte curbe de ordinul doi. Elipsoid de revoluție (Figura 106, A) format prin rotirea unei elipse în jurul uneia dintre axele sale; paraboloid de revoluție (Figura 106, b) - rotația parabolei în jurul axei acesteia; hiperboloid de revoluție cu o singură foaie (Figura 106, în) este format prin rotația hiperbolei în jurul axei imaginare și are două foi (Figura 106, G) - rotația hiperbolei în jurul axei reale.
Figura 106 - Formarea suprafetelor de revolutie prin curbe de ordinul doi
În cazul general, suprafețele sunt descrise ca nelimitate în direcția de propagare a liniilor generatoare (vezi figurile 97, 98). Pentru a rezolva probleme specifice și a obține forme geometrice limitat la planuri de tăiere. De exemplu, pentru a obține un cilindru circular, este necesar să se limiteze secțiunea suprafeței cilindrice cu planuri tăiate (vezi Figura 104, b). Ca rezultat, obținem bazele sale superioare și inferioare. Dacă planurile tăiate sunt perpendiculare pe axa de rotație, cilindrul va fi drept; dacă nu, cilindrul va fi înclinat.
Pentru a obține un con circular (vezi figura 104, A), trebuie să tăiați de-a lungul vârfului și dincolo. Dacă planul de tăiere al bazei cilindrului este perpendicular pe axa de rotație, conul va fi drept; dacă nu, va fi înclinat. Dacă ambele planuri tăiate nu trec prin vârf, conul va fi trunchiat.
Folosind planul tăiat, puteți obține o prismă și o piramidă. De exemplu, o piramidă hexagonală va fi dreaptă dacă toate marginile sale au aceeași pantă față de planul tăiat. În alte cazuri, va fi oblic. Dacă se face Cu cu ajutorul avioanelor de tăiere și niciunul dintre ele nu trece prin vârf - piramida este trunchiată.
O prismă (vezi Figura 101) poate fi obținută limitând o porțiune a suprafeței prismatice la două planuri de tăiere. Dacă planul tăiat este perpendicular pe margini, de exemplu, o prismă octogonală, este drept, dacă nu perpendicular, este înclinat.
Prin alegerea pozitiei corespunzatoare a planurilor de taiere se pot obtine diverse forme de figuri geometrice in functie de conditiile problemei care se rezolva.
Dispunerea reciprocă a două linii drepte
Următoarele afirmații exprimă necesarul și semne suficiente aranjarea reciprocă a două drepte în spațiu dată de ecuații canonice
A) Liniile se intersectează, i.e. nu vă culcați în același plan.
b) Liniile se intersectează.
Dar vectorii și nu sunt coliniari (altfel coordonatele lor sunt proporționale).
în) Dreptele sunt paralele.
Vectorii și sunt coliniari, dar vectorul nu este coliniar cu ei.
G) Liniile coincid.
Toți cei trei vectori: , sunt coliniari.
Dovada. Să demonstrăm caracterul suficient al criteriilor indicate
A) Luați în considerare vectorul și vectorii de direcție ai dreptelor date
atunci acești vectori sunt necoplanari, prin urmare, aceste drepte nu se află pe același plan.
b) Dacă, atunci vectorii sunt coplanari, prin urmare, aceste drepte se află în același plan și deoarece în cazul ( b) se presupune că vectorii de direcție ai și aceste drepte sunt necoliniare, apoi liniile se intersectează.
în) Dacă vectorii de direcție și liniile date sunt coliniare, atunci liniile sunt fie paralele, fie coincid. Cand ( în) dreptele sunt paralele, deoarece prin condiție, vectorul, al cărui început este în punctul primei linii, iar sfârșitul - în punctul celei de-a doua linii, nu este coliniar și.
d) Dacă toți vectorii și sunt coliniari, atunci liniile coincid.
Necesitatea caracteristicilor este dovedită prin contradicție.
Kletenik nr. 1007
Următoarele afirmații dau condiții necesare și suficiente pentru poziția relativă a dreptei dată de ecuațiile canonice
iar planul dat de ecuaţia generală
relativ la un sistem de coordonate carteziene comun.
Un plan și o linie se intersectează:
Planul și dreapta sunt paralele:
Linia se află pe plan:
Să demonstrăm mai întâi caracterul suficient al criteriilor indicate. Scriem ecuațiile acestei linii drepte în formă parametrică:
Substituind în ecuația (2 (plan)) coordonatele unui punct arbitrar al acestei drepte, luate din formulele (3), vom avea:
1. Dacă, atunci ecuația (4) are relativ t singura decizie:
deci această linie și avion dat au un singur punct comun, adică se intersectează.
2. Dacă, atunci ecuația (4) nu este satisfăcută pentru nicio valoare t, adică nu există niciun punct pe o dreaptă dată care se află pe un plan dat, prin urmare, linia și planul dat sunt paralele.
3. Dacă, atunci ecuația (4) este satisfăcută pentru orice valoare t, adică toate punctele unei linii date se află pe un plan dat, deci linia dată se află pe un plan dat.
Condițiile suficiente pentru poziția reciprocă a dreptei și a planului pe care le-am derivat sunt ambele necesare și pot fi dovedite imediat prin contradicție.
Din ceea ce s-a dovedit rezultă necesarul şi condiție suficientă faptul că vectorul este coplanar cu planul dat de ecuația generală față de sistemul general de coordonate carteziene.
