Când se pregătesc pentru examenul de matematică, studenții trebuie să-și sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, cum să calculez aria unei piramide. Mai mult, începând de la bază și fețele laterale până la întreaga suprafață. Dacă situația este clară cu fețele laterale, deoarece acestea sunt triunghiuri, atunci baza este întotdeauna diferită.
Ce să faceți când găsiți zona bazei piramidei?
Poate fi absolut orice cifră: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această bază, pe lângă diferența dintre numărul de unghiuri, poate fi o cifră obișnuită sau una incorectă. În sarcinile USE de interes pentru școlari, există doar sarcini cu cifrele corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.
triunghi dreptunghic
Asta este echilateral. Una în care toate laturile sunt egale și notate cu litera „a”. În acest caz, aria bazei piramidei este calculată prin formula:
S = (a 2 * √3) / 4.
Pătrat
Formula pentru calcularea ariei sale este cea mai simplă, aici „a” este din nou partea:
N-gon regulat arbitrar
Latura unui poligon are aceeași denumire. Pentru numărul de colțuri se folosește litera latină n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Cum se procedează la calcularea suprafeței laterale și totale?
Deoarece baza este o figură obișnuită, toate fețele piramidei sunt egale. În plus, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, aveți nevoie de o formulă constând din suma monomiilor identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.
Pătrat triunghi isoscel se calculează prin formula în care jumătate din produsul bazei se înmulțește cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apotema. Denumirea sa este „A”. Formula generala pentru suprafața laterală arată astfel:
S \u003d ½ P * A, unde P este perimetrul bazei piramidei.
Există situații în care laturile bazei nu sunt cunoscute, dar sunt date marginile laterale (c) și unghiul plat la vârful acesteia (α). Apoi ar trebui să se folosească o astfel de formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:
S = n/2 * în 2 sin α .
Sarcina 1
Condiție. Aflați aria totală a piramidei dacă baza acesteia are o latură de 4 cm, iar apotema are o valoare de √3 cm.
Decizie. Trebuie să începeți prin a calcula perimetrul bazei. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Deoarece apotema este cunoscută, puteți calcula imediat aria întregii suprafețe laterale: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.
Pentru un triunghi la bază, se va obține următoarea valoare a ariei: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
Pentru a determina întreaga zonă, va trebui să adăugați cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Răspuns. 10√3 cm2.
Sarcina #2
Condiție. Există o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea laturii bazei este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Trebuie să-i cunoști suprafața.
Decizie. Deoarece poliedrul este patruunghiular și regulat, atunci baza lui este un pătrat. După ce ați învățat zonele fețelor de bază și laterale, va fi posibil să se calculeze aria piramidei. Formula pătratului este dată mai sus. Și la fețele laterale, toate laturile triunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, puteți folosi formula lui Heron pentru a calcula suprafețele lor.
Primele calcule sunt simple și duc la acest număr: 49 mm 2. Pentru a doua valoare, va trebui să calculați semiperimetrul: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Acum puteți calcula aria unui triunghi isoscel: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Există doar patru astfel de triunghiuri, așa că atunci când calculați numărul final, va trebui să-l înmulțiți cu 4.
Rezultă: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.
Răspuns. Valoarea dorită este 267,576 mm 2.
Sarcina #3
Condiție. Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, trebuie să calculați aria. În el, latura pătratului este de 6 cm și înălțimea este de 4 cm.
Decizie. Cel mai simplu mod este de a folosi formula cu produsul perimetrului și apotema. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este puțin mai dificil.
Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și să considerăm că este format din înălțimea piramidei și apotema, care este ipotenuza. Al doilea picior este egal cu jumătate din latura pătratului, deoarece înălțimea poliedrului cade în mijlocul său.
Apotema dorită (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) este √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Acum puteți calcula valoarea dorită: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Răspuns. 96 cm2.
Sarcina #4
Condiție. Partea corectă a bazei sale este de 22 mm, nervurile laterale sunt de 61 mm. Care este aria suprafeței laterale a acestui poliedru?
Decizie. Raționamentul din acesta este același cu cel descris în problema nr. 2. Numai acolo a fost dată o piramidă cu un pătrat la bază, iar acum este un hexagon.
În primul rând, aria bazei este calculată folosind formula de mai sus: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.
Acum trebuie să aflați semiperimetrul unui triunghi isoscel, care este o față laterală. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Rămâne să calculăm aria unui astfel de triunghi folosind formula Heron, apoi înmulțiți-o cu șase și adăugați-o la cea care a rezultat pentru baza.
Calcule folosind formula Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Calcule care vor da suprafața laterală: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Rămâne să le adunăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47≈5217 cm 2.
Răspuns. Baza - 726√3 cm 2, suprafata laterala - 3960 cm 2, intreaga suprafata - 5217 cm 2.
LA curs şcolar stereometria studiază proprietățile diferitelor figuri spațiale. Una dintre ele este piramida. Acest articol este dedicat întrebării cum să găsiți suprafața laterală a unei piramide. Problema determinării acestei zone pentru o piramidă trunchiată este de asemenea dezvăluită.
Ce este o piramidă?
Mulți, după ce au auzit cuvântul „piramidă”, își imaginează imediat structuri grandioase. Egiptul antic. Într-adevăr, mormintele lui Keops și Khafre sunt piramide patruunghiulare obișnuite. Cu toate acestea, o piramidă este și un tetraedru, figuri cu o bază de cinci, șase, n-unghiuri.
Te va interesa:
În geometrie, conceptul de piramidă este clar definit. Această figură este înțeleasă ca un obiect în spațiu, care se formează ca urmare a conectării unui anumit punct cu colțurile unui n-gon plat, unde n este un număr întreg. Figura de mai jos prezintă patru piramide cu un număr diferit de colțuri la bază.
Punctul la care sunt conectate toate vârfurile colțurilor bazei nu se află în planul său. Se numește vârful piramidei. Dacă desenăm o perpendiculară de la ea la bază, atunci obținem înălțimea. Figura în care înălțimea intersectează baza la centrul geometric se numește linie dreaptă. Uneori, o piramidă dreaptă are o bază regulată, cum ar fi un pătrat, un triunghi echilateral și așa mai departe. În acest caz, se numește corect.
Când se calculează suprafața laterală a piramidei, este convenabil să se lucreze cu cifre obișnuite.
Suprafața figurii laterale
Cum să găsiți suprafața laterală a unei piramide? Acest lucru poate fi înțeles dacă introducem definiția adecvată și luăm în considerare desfășurarea pe un plan pentru această figură.
Orice piramidă este formată din fețe, care sunt separate între ele prin muchii. Baza este fata formata de n-gon. Toate celelalte fețe sunt triunghiuri. Sunt n dintre ele și împreună formează suprafața laterală a figurii.
Dacă tăiem suprafața de-a lungul marginii laterale și o desfacem pe un plan, obținem o dezvoltare piramidală. De exemplu, o piramidă hexagonală este prezentată mai jos.
Se poate observa că suprafața laterală este formată din șase triunghiuri identice.
Acum nu este dificil să ghicim cum să găsiți suprafața laterală a piramidei. Pentru a face acest lucru, adăugați zonele tuturor triunghiurilor. În cazul unei piramide regulate n-gonale, a cărei latură de bază este egală cu a, pentru suprafața luată în considerare, putem scrie formula:
Aici hb este apotema piramidei. Adică, înălțimea triunghiului, coborâtă din partea de sus a figurii spre partea bazei. Dacă apotema este necunoscută, atunci poate fi calculată, cunoscând parametrii n-gonului și valoarea înălțimii h a figurii.
Piramida trunchiată și suprafața acesteia
După cum ați putea ghici din nume, o piramidă trunchiată poate fi obținută dintr-o figură obișnuită. Pentru a face acest lucru, tăiați partea superioară cu un plan paralel cu baza. Figura de mai jos demonstrează acest proces pentru o figură hexagonală.
Suprafața sa laterală este suma ariilor trapezelor identice isoscele. Formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate (corectă) este:
Sb = hb*n*(a1 + a2)/2
Aici hb este apotema figurii, care este înălțimea trapezului. Valorile a1 și a2 sunt lungimile bazelor laturilor.
Calculul suprafeței laterale pentru o piramidă triunghiulară
Să arătăm cum să găsim suprafața laterală a unei piramide. Să presupunem că avem unul triunghiular obișnuit, să ne uităm la exemplul unei probleme specifice. Se știe că latura bazei, care este un triunghi echilateral, are 10 cm. Înălțimea figurii este de 15 cm.
Dezvoltarea acestei piramide este prezentată în figură. Pentru a utiliza formula pentru Sb, trebuie mai întâi să găsiți apotema hb. Luand in considerare triunghi dreptunghicîn interiorul piramidei, construită pe laturile hb și h, egalitatea se poate scrie astfel:
hb = √(h2+a2/12)
Înlocuim datele și obținem acel hb≈15,275 cm.
Acum puteți folosi formula pentru Sb:
Sb \u003d n * a * hb / 2 \u003d 3 * 10 * 15.275 / 2 \u003d 229.125 cm2
Rețineți că baza unei piramide triunghiulare, ca și fața sa laterală, este formată dintr-un triunghi. Cu toate acestea, acest triunghi nu este luat în considerare la calcularea ariei Sb.
În această lecție:
- Sarcina 1. Găsiți suprafața totală a piramidei
- Sarcina 2. Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare regulate
.
Notă . Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie, care nu este aici - scrieți despre ea pe forum. În sarcini, în locul simbolului „rădăcină pătrată”, se folosește funcția sqrt (), în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicală este indicată între paranteze. Pentru expresiile radicale simple se poate folosi semnul „√”..
Sarcina 1. Găsiți suprafața totală a unei piramide obișnuite
Înălțimea bazei unei piramide triunghiulare obișnuite este de 3 cm, iar unghiul dintre fața laterală și baza piramidei este de 45 de grade.Aflați suprafața totală a piramidei
Decizie.
La baza unei piramide triunghiulare regulate se află un triunghi echilateral.
Prin urmare, pentru a rezolva problema, folosim proprietățile unui triunghi obișnuit: 
Cunoaștem înălțimea triunghiului, de unde îi putem găsi aria.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3
De unde aria bazei va fi egală cu:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Pentru a găsi aria feței laterale, calculăm înălțimea KM. Unghiul OKM, conform enunțului problemei, este de 45 de grade.
Prin urmare:
OK / MK = cos 45
Să folosim tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice și să înlocuim valorile cunoscute.
OK / MK = √2/2
Luăm în considerare că OK este egal cu raza cercului înscris. Apoi
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1
Apoi
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2
Aria feței laterale este apoi egală cu jumătate din produsul înălțimii și bazei triunghiului.
Sside = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Astfel, suprafața totală a piramidei va fi egală cu
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Răspuns: 3√3 + 18/√6
Sarcina 2. Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite
Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, înălțimea este de 10 cm, iar latura bazei este de 16 cm . Aflați aria suprafeței laterale .Decizie.
Deoarece baza unei piramide triunghiulare regulate este un triunghi echilateral, atunci AO este raza cercului circumscris în jurul bazei.
(Resulta din)
Raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi echilateral se găsește din proprietățile sale
De unde lungimea marginilor unei piramide triunghiulare regulate va fi egală cu:
AM 2 = MO 2 + AO 2
înălțimea piramidei este cunoscută prin condiția (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)
Fiecare parte a piramidei este un triunghi isoscel. Aria unui triunghi isoscel se găsește din prima formulă de mai jos 
S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt(364/3)
S = 16 sqrt(91/3)
Deoarece toate cele trei fețe ale unei piramide obișnuite sunt egale, aria suprafeței laterale va fi egală cu
3S = 48√(91/3)
Răspuns: 48 √(91/3)
Sarcina 3. Găsiți suprafața totală a unei piramide obișnuite
Latura unei piramide triunghiulare obișnuite este de 3 cm, iar unghiul dintre fața laterală și baza piramidei este de 45 de grade. Aflați suprafața totală a piramidei.
Decizie.
Deoarece piramida este regulată, are la bază un triunghi echilateral. Deci aria bazei este 
Deci = 9 * √3/4
Pentru a găsi aria feței laterale, calculăm înălțimea KM. Unghiul OKM, conform enunțului problemei, este de 45 de grade.
Prin urmare:
OK / MK = cos 45
Să folosim
Cilindrul este corp geometric delimitat de două plane paralele și o suprafață cilindrică. În articol, vom vorbi despre cum să găsim aria unui cilindru și, folosind formula, vom rezolva mai multe probleme, de exemplu.
Un cilindru are trei suprafețe: o suprafață de sus, una de jos și o suprafață laterală.
Partea superioară și inferioară a cilindrului sunt cercuri și sunt ușor de identificat.
Se știe că aria unui cerc este egală cu πr 2 . Prin urmare, formula pentru aria a două cercuri (sus și jos a cilindrului) va arăta ca πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
A treia suprafață laterală a cilindrului este peretele curbat al cilindrului. Pentru a reprezenta mai bine această suprafață, să încercăm să o transformăm pentru a obține o formă recunoscută. Imaginați-vă că un cilindru este o cutie de conserve obișnuită care nu are capac superior și fund. Să facem o incizie verticală pe peretele lateral de sus până jos al borcanului (Pasul 1 din figură) și să încercăm să deschidem (îndreptați) figura rezultată cât mai mult posibil (Pasul 2).
După deschiderea completă a borcanului rezultat, vom vedea o figură familiară (Pasul 3), acesta este un dreptunghi. Aria unui dreptunghi este ușor de calculat. Dar înainte de asta, să revenim pentru o clipă la cilindrul original. Vârful cilindrului inițial este un cerc și știm că circumferința unui cerc se calculează prin formula: L = 2πr. Este marcat cu roșu în figură.
Când peretele lateral al cilindrului este complet extins, vedem că circumferința devine lungimea dreptunghiului rezultat. Laturile acestui dreptunghi vor fi circumferința (L = 2πr) și înălțimea cilindrului (h). Aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale - S = lungime x lățime = L x h = 2πr x h = 2πrh. Ca rezultat, am obținut o formulă pentru calcularea suprafeței laterale a unui cilindru.
Formula pentru aria suprafeței laterale a unui cilindru
partea S = 2prh
Suprafața completă a unui cilindru
În cele din urmă, dacă adunăm aria tuturor celor trei suprafețe, obținem formula pentru suprafața totală a unui cilindru. Suprafața cilindrului este egală cu aria vârfului cilindrului + aria bazei cilindrului + aria suprafeței laterale a cilindrului sau S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Uneori această expresie este scrisă cu formula identică 2πr (r + h).
Formula pentru suprafața totală a unui cilindru
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r este raza cilindrului, h este înălțimea cilindrului
Exemple de calcul al suprafeței unui cilindru
Pentru a înțelege formulele de mai sus, să încercăm să calculăm aria suprafeței unui cilindru folosind exemple.
1. Raza bazei cilindrului este 2, înălțimea este 3. Determinați aria suprafeței laterale a cilindrului.
Suprafața totală se calculează cu formula: partea S. = 2prh
partea S = 2 * 3,14 * 2 * 34,6 . Evaluări totale primite: 990.
Probleme geometrice tipice în plan și în spatiu tridimensional sunt problemele determinării suprafețelor diferitelor figuri. În acest articol, prezentăm formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide patruunghiulare obișnuite.
Ce este o piramidă?
Să dăm o definiție geometrică strictă a unei piramide. Să presupunem că există un poligon cu n laturi și n colțuri. Alegem un punct arbitrar din spațiu care nu va fi în planul n-gonului specificat și îl conectăm la fiecare vârf al poligonului. Vom obține o figură care are un anumit volum, care se numește piramidă n-gonală. De exemplu, să arătăm în figura de mai jos cum arată o piramidă pentagonală.
Două elemente importante ale oricărei piramide sunt baza (n-gon) și vârful acesteia. Aceste elemente sunt legate între ele prin n triunghiuri, care în general nu sunt egale între ele. Perpendiculara coborâtă de la vârf la bază se numește înălțimea figurii. Dacă intersectează baza în centrul geometric (coincide cu centrul de masă al poligonului), atunci o astfel de piramidă se numește linie dreaptă. Dacă, pe lângă această condiție, baza este un poligon regulat, atunci întreaga piramidă se numește regulată. Figura de mai jos arată cum arată piramidele regulate cu baze triunghiulare, patrulatere, pentagonale și hexagonale.
Suprafața piramidei
Înainte de a trece la problema zonei suprafeței laterale a unei piramide patruunghiulare obișnuite, ar trebui să ne oprim mai detaliat asupra conceptului de suprafață în sine.
După cum s-a menționat mai sus și se arată în figuri, orice piramidă este formată dintr-un set de fețe sau laturi. O latură este baza și n laturi sunt triunghiuri. Suprafața întregii figuri este suma ariilor fiecăreia dintre laturile sale.
Este convenabil să studiezi suprafața folosind exemplul unei figuri care se desfășoară. O scanare pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită este prezentată în figurile de mai jos.
Vedem că suprafața sa este egală cu suma a patru arii de triunghiuri isoscele identice și aria unui pătrat.
Aria totală a tuturor triunghiurilor care formează laturile figurii se numește aria suprafeței laterale. În continuare, arătăm cum să o calculăm pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită.
Suprafața laterală a unei piramide regulate dreptunghiulare
Pentru a calcula suprafața laterală a figurii specificate, ne întoarcem din nou la măturarea de mai sus. Să presupunem că știm latura bazei pătrate. Să o notăm prin simbolul a. Se poate observa că fiecare dintre cele patru triunghiuri identice are o bază de lungime a. Pentru a calcula aria lor totală, trebuie să cunoașteți această valoare pentru un triunghi. Din cursul geometriei se știe că aria triunghiului S t este egală cu produsul bazei și al înălțimii, care ar trebui împărțit la jumătate. adica:
Unde h b este înălțimea triunghiului isoscel trasat la baza a. Pentru o piramidă, această înălțime este apotema. Acum rămâne să înmulțim expresia rezultată cu 4 pentru a obține aria S b a suprafeței laterale pentru piramida în cauză:
S b = 4*S t = 2*h b *a.
Această formulă conține doi parametri: apotema și latura bazei. Dacă acesta din urmă este cunoscut în majoritatea condițiilor problemelor, atunci primul trebuie calculat cunoscând alte cantități. Iată formulele pentru calcularea apotemului h b pentru două cazuri:
- când se cunoaște lungimea nervurii laterale;
- când se cunoaşte înălţimea piramidei.
Dacă notăm lungimea muchiei laterale (latura unui triunghi isoscel) cu simbolul L, atunci apotema h b este determinată de formula:
h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).
Această expresie este rezultatul aplicării teoremei lui Pitagora pentru triunghiul suprafeței laterale.
Dacă înălțimea h a piramidei este cunoscută, atunci apotema h b poate fi calculată după cum urmează:
h b = √(h 2 + a 2 /4).
De asemenea, nu este greu de obținut această expresie dacă luăm în considerare un triunghi dreptunghic în interiorul piramidei formate din catetele h și a / 2 și ipotenuza h b.
Vom arăta cum să aplicăm aceste formule prin rezolvarea a două probleme interesante.
Problemă cu suprafața cunoscută
Se știe că aria suprafeței laterale a unui patruunghiular este de 108 cm 2 . Este necesar să se calculeze valoarea lungimii apotemei sale h bi dacă înălțimea piramidei este de 7 cm.
Scriem formula pentru aria S b a suprafeței laterale prin înălțime. Noi avem:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.
Aici am înlocuit pur și simplu formula apotema corespunzătoare în expresia pentru S b . Să pătram ambele părți ale ecuației:
S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.
Pentru a afla valoarea lui a, facem o schimbare de variabile:
t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.
Introduceți valorile cunoscute și rezolvați ecuație pătratică:
t 2 + 196*t - 11664 = 0.
Am scris doar rădăcina pozitivă a acestei ecuații. Atunci laturile bazei piramidei vor fi egale cu:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Pentru a obține lungimea apotemului, trebuie doar să utilizați formula:
h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 cm.
Suprafața laterală a piramidei lui Keops
Să determinăm valoarea laturii pentru cea mai mare piramidă egipteană. Se știe că la baza sa se află un pătrat cu lungimea laturii de 230,363 metri. Înălțimea structurii a fost inițial de 146,5 metri. Înlocuind aceste numere în formula corespunzătoare pentru S b , obținem:
S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.
Valoarea găsită este puțin mai mare decât suprafața de 17 terenuri de fotbal.
