O lecție pe tema „Funcția y=ax^2, graficul și proprietățile sale” este studiată la cursul de algebră de clasa a IX-a în sistemul de lecții pe tema „Funcții”. Această lecție necesită o pregătire atentă. Și anume astfel de metode și mijloace de predare care vor da rezultate cu adevărat bune.
Autorul acestei lecții video s-a asigurat că îi ajută pe profesori să se pregătească pentru lecțiile pe această temă. A dezvoltat un tutorial video ținând cont de toate cerințele. Materialul este selectat în funcție de vârsta elevilor. Nu este supraîncărcat, dar destul de încăpător. Autorul explică materialul în detaliu, concentrându-se pe puncte mai importante. Fiecare punct teoretic este însoțit de un exemplu astfel încât percepția material educativ a fost mult mai eficient și de mai bună calitate.
Lecția poate fi folosită de un profesor într-o lecție obișnuită de algebră din clasa a IX-a ca o anumită etapă a lecției - o explicație a unui material nou. Profesorul nu va trebui să spună sau să spună nimic în această perioadă. Tot ce trebuie să facă este să pornească această lecție video și să se asigure că elevii ascultă cu atenție și înregistrează punctele importante.
Lecția poate fi folosită și de școlari când autoinstruire pentru lecție, precum și pentru autoeducație.
Durata lecției este de 8:17 minute. La începutul lecției, autorul observă că unul dintre funcții importante este funcţie pătratică. Apoi se introduce funcția pătratică din punct de vedere matematic. Definiția lui este dată cu explicații.
În continuare, autorul introduce elevii în domeniul definirii unei funcții pătratice. Pe ecran apare notația matematică corectă. După aceasta, autorul ia în considerare un exemplu de funcție pătratică într-o situație reală: se ia ca bază o problemă fizică, care arată modul în care calea depinde de timp în timpul mișcării accelerate uniform.
După aceasta, autorul consideră funcția y=3x^2. Pe ecran apare un tabel cu valorile acestei funcții și funcția y=x^2. Conform datelor din aceste tabele, sunt construite grafice de funcții. Aici apare o explicație în cadrul modului în care se obține graficul funcției y=3x^2 din y=x^2.
Luând în considerare două cazuri speciale, exemple ale funcției y=ax^2, autorul ajunge la regula cum se obține graficul acestei funcții din graficul y=x^2.
În continuare considerăm funcția y=ax^2, unde a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.
Apoi consecințele sunt derivate din proprietăți. Sunt patru. Printre acestea, apare un nou concept - vârfurile unei parabole. Următoarea este o remarcă care precizează ce transformări sunt posibile pentru graficul acestei funcții. După aceasta, vorbim despre cum se obține graficul funcției y=-f(x) din graficul funcției y=f(x), precum și y=af(x) din y=f(x) .
Se încheie astfel lecția care conține materialul educațional. Rămâne să-l consolidăm prin selectarea sarcinilor adecvate în funcție de abilitățile elevilor.
Prezentare și lecție pe tema:
"Grafic al funcției $y=ax^2+bx+c$. Proprietăți"
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Ajutoare educaționale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a VIII-a
Un manual pentru manual de Dorofeev G.V. Un manual pentru manual de Nikolsky S.M.
Băieți, în ultimele lecții pe care le-am construit un numar mare de grafice, inclusiv multe parabole. Astăzi vom rezuma cunoștințele acumulate și vom învăța cum să construim cel mai mult grafice ale acestei funcții vedere generala.
Să ne uităm la trinomul pătratic $a*x^2+b*x+c$. $a, b, c$ se numesc coeficienți. Ele pot fi orice numere, dar $a≠0$. $a*x^2$ se numește termenul conducător, $a$ este coeficientul conducător. Este de remarcat faptul că coeficienții $b$ și $c$ pot fi egali cu zero, adică trinomul va fi format din doi termeni, iar al treilea este egal cu zero.
Să ne uităm la funcția $y=a*x^2+b*x+c$. Această funcție este numită „pătratică” deoarece cea mai mare putere este a doua, adică un pătrat. Coeficienții sunt cei definiți mai sus.
În ultima lecție, în ultimul exemplu, ne-am uitat la trasarea unui grafic al unei funcții similare.
Să demonstrăm că orice astfel de funcție pătratică poate fi redusă la forma: $y=a(x+l)^2+m$.
Graficul unei astfel de funcții este construit folosind un sistem de coordonate suplimentar. În matematica mare, numerele sunt destul de rare. Aproape orice problemă trebuie dovedită în cazul cel mai general. Astăzi vom analiza o astfel de dovadă. Băieți, puteți vedea întreaga putere a aparatului matematic, dar și complexitatea acestuia.
Să izolăm pătratul perfect din trinomul pătratic:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Am primit ceea ce ne-am dorit.
Orice funcție pătratică poate fi reprezentată ca:
$y=a(x+l)^2+m$, unde $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Pentru a reprezenta graficul $y=a(x+l)^2+m$, trebuie să reprezentați funcția $y=ax^2$. Mai mult, vârful parabolei va fi situat în punctul cu coordonatele $(-l;m)$.
Deci, funcția noastră $y=a*x^2+b*x+c$ este o parabolă.
Axa parabolei va fi linia dreaptă $x=-\frac(b)(2a)$, iar coordonatele vârfului parabolei de-a lungul axei absciselor, după cum vedem, sunt calculate prin formula: $ x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
Pentru a calcula coordonatele axei y a vârfului unei parabole, puteți:
- utilizați formula: $y_(в)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
- înlocuiți direct coordonatele vârfului de-a lungul $x$ în funcția originală: $y_(в)=ax_(в)^2+b*x_(в)+c$.
Dacă trebuie să descrii unele proprietăți sau să răspunzi la unele întrebări specifice, nu trebuie întotdeauna să construiești un grafic al funcției. Vom lua în considerare principalele întrebări la care se poate răspunde fără construcție în exemplul următor.
Exemplul 1.
Fără a reprezenta grafic funcția $y=4x^2-6x-3$, răspundeți la următoarele întrebări:
Soluţie.
a) Axa parabolei este dreapta $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3) )(4)$ .
b) Am găsit abscisa vârfului de deasupra $x_(c)=\frac(3)(4)$.
Găsim ordonata vârfului prin substituție directă în funcția originală:
$y_(в)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
c) Graficul functiei cerute se va obtine prin transfer paralel al graficului $y=4x^2$. Ramurile sale se uită în sus, ceea ce înseamnă că și ramurile parabolei funcției inițiale se vor uita în sus.
În general, dacă coeficientul $a>0$, atunci ramurile arată în sus, dacă coeficientul $a
Exemplul 2.
Reprezentați grafic funcția: $y=2x^2+4x-6$.
Soluţie.
Să găsim coordonatele vârfului parabolei:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(в)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Să marchem coordonatele vârfului pe axa de coordonate. În acest moment, parcă la sistem nou coordonate vom construi o parabolă $y=2x^2$.
Există multe modalități de a simplifica construcția graficelor parabolelor.
- Putem găsi două puncte simetrice, să calculăm valoarea funcției în aceste puncte, să le marcam pe planul de coordonate și să le conectăm la vârful curbei care descrie parabola.
- Putem construi o ramură a parabolei la dreapta sau la stânga vârfului și apoi o reflectăm.
- Putem construi punct cu punct.
Exemplul 3.
Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției: $y=-x^2+6x+4$ pe segmentul $[-1;6]$.
Soluţie.
Să construim un grafic al acestei funcții, să selectăm intervalul necesar și să găsim punctele cele mai de jos și cele mai înalte ale graficului nostru.
Să găsim coordonatele vârfului parabolei:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(в)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
În punctul cu coordonatele $(3;13)$ construim o parabolă $y=-x^2$. 
Să selectăm intervalul necesar. 
Cel mai jos punct are coordonatele -3, cel mai mult punct inalt- coordonata 13.
$y_(nume)=-3$; $y_(maximum)=13$.
Probleme de rezolvat independent
1. Fără a reprezenta grafic funcția $y=-3x^2+12x-4$, răspundeți la următoarele întrebări:a) Identificați dreapta care servește drept axă parabolei.
b) Aflați coordonatele vârfului.
c) În ce direcție indică parabola (în sus sau în jos)?
2. Construiți un grafic al funcției: $y=2x^2-6x+2$.
3. Reprezentați grafic funcția: $y=-x^2+8x-4$.
4. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției: $y=x^2+4x-3$ pe segmentul $[-5;2]$.
Oferă date de referință pentru functie exponentiala- proprietăți de bază, grafice și formule. Sunt luate în considerare următoarele aspecte: domeniul de definiție, set de valori, monotonitate, funcție inversă, derivată, integrală, expansiune în serie de puteriși reprezentarea folosind numere complexe.
ConţinutProprietățile funcției exponențiale
Funcția exponențială y = a x are următoarele proprietăți pe mulțimea numerelor reale ():
(1.1)
definit si continuu, pentru , pentru toti ;
(1.2)
pentru un ≠ 1
are multe semnificații;
(1.3)
strict crește la , scade strict la ,
este constantă la ;
(1.4)
la ;
la ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Alte formule utile.
.
Formula pentru conversia într-o funcție exponențială cu o bază de exponent diferită:
Când b = e, obținem expresia funcției exponențiale prin exponențială:
Valori private
, , , , .
y = a x pentru diferite valori ale bazei a. Figura prezintă grafice ale funcției exponențiale
y (x) = un x
pentru patru valori baze de grad: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
și a = 1/8
. Se vede că pentru un > 1
funcţia exponenţială creşte monoton. Cu cât baza gradului a este mai mare, cu atât creșterea este mai puternică. La 0
< a < 1
funcţia exponenţială scade monoton. Cu cât exponentul a este mai mic, cu atât scăderea este mai puternică.
Urcând, coborând
Funcția exponențială pentru este strict monotonă și, prin urmare, nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.
| y = a x , a > 1 | y = ax, 0 < a < 1 | |
| Domeniu | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Gama de valori | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monoton | crește monoton | scade monoton |
| Zerouri, y = 0 | Nu | Nu |
| Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Funcție inversă
Inversa unei funcții exponențiale cu o bază de gradul a este logaritm la baza a.
Daca atunci
.
Daca atunci
.
Diferențierea unei funcții exponențiale
Pentru a diferenția o funcție exponențială, baza acesteia trebuie redusă la numărul e, aplicați tabelul de derivate și regula de diferențiere functie complexa.
Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați proprietatea logaritmilor
iar formula de la tabele derivate :
.
Să fie dată o funcție exponențială:
.
O aducem la baza e:
Aplicabil regula de diferentiere a unei functii complexe. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila
Apoi
Din tabelul derivatelor avem (înlocuiește variabila x cu z):
.
Deoarece este o constantă, derivata lui z față de x este egală cu
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.
Derivata unei functii exponentiale
.
Derivată de ordin al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >
Un exemplu de diferențiere a unei funcții exponențiale
Aflați derivata unei funcții
y = 3 5 x
Soluţie
Să exprimăm baza funcției exponențiale prin numărul e.
3 = e ln 3
Apoi
.
Introduceți o variabilă
.
Apoi
Din tabele derivate găsim:
.
Deoarece 5ln 3 este o constantă, atunci derivata lui z față de x este egală cu:
.
De regula de diferentiere a functiilor complexe avem:
.
Răspuns
Integral
Expresii folosind numere complexe
Luați în considerare funcția număr complex z:
f (z) = a z
unde z = x + iy; i 2 = - 1
.
Să exprimăm constanta complexă a în termeni de modul r și argument φ:
a = r e i φ
Apoi
.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. În general
φ = φ 0 + 2 πn,
unde n este un număr întreg. Prin urmare, funcția f (z) nici nu este clar. Semnificația sa principală este adesea luată în considerare
.
