În această secțiune, vom continua să studiem subiectul ecuației unei linii drepte în spațiu din punctul de vedere al stereometriei. Aceasta înseamnă că vom considera o dreaptă în spațiul tridimensional ca o linie de intersecție a două plane.
Conform axiomelor stereometriei, dacă două planuri nu coincid și au un punct comun, atunci ele au și o singură dreaptă comună, pe care se află toate punctele care sunt comune celor două planuri. Folosind ecuațiile a două plane care se intersectează, putem defini o linie dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular.
În cursul analizării temei, vom oferi numeroase exemple, o serie de ilustrații grafice și soluții detaliate necesare pentru o mai bună asimilare a materialului.
Să fie date două plane care nu coincid între ele și se intersectează. Să le notăm ca planul α și planul β . Să le plasăm într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z spatiu tridimensional.
După cum ne amintim, orice plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular definește ecuația generală a planului de forma A x + B y + C z + D = 0 . Presupunem că planul α corespunde ecuației A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , iar planul β corespunde ecuației A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . În acest caz, vectorii normali ai planurilor α și β n 1 → \u003d (A 1, B 1, C 1) și n 2 → \u003d (A 2, B 2, C 2) nu sunt coliniari, deoarece planurile nu coincid intre ele si e asezate paralel intre ele. Scriem această condiție după cum urmează:
n 1 → ≠ λ n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ A 2 , λ B 2 , λ C 2 , λ ∈ R
Pentru a reîmprospăta materialul pe tema „Paralelismul avioanelor”, consultați secțiunea corespunzătoare a site-ului nostru.
Linia de intersecție a planurilor va fi notată cu literă A . Acestea. a = α ∩ β . Această dreaptă este un set de puncte care sunt comune ambelor planuri α și β. Aceasta înseamnă că toate punctele dreptei a satisfac ambele ecuații ale planului A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . De fapt, ele sunt o soluție particulară a sistemului de ecuații A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Decizie comună sisteme ecuatii lineare A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 definește coordonatele tuturor punctelor dreptei de-a lungul căreia se intersectează cele două plane α și β . Aceasta înseamnă că cu ajutorul lui putem determina poziția unei drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z .
Să luăm în considerare din nou teoria descrisă, acum cu un exemplu specific.
Exemplul 1
Linia O x este dreapta de-a lungul căreia se intersectează planele de coordonate O x y și O x z. Definim planul O x y cu ecuația z = 0 , iar planul O x z cu ecuația y = 0 . Am discutat această abordare în detaliu în secțiunea „Ecuația generală incompletă a unui plan”, astfel încât, în caz de dificultăți, ne putem referi la acest material din nou. În acest caz, linia de coordonate O x este determinată într-un sistem de coordonate tridimensional printr-un sistem de două ecuații de forma y = 0 z = 0 .
Aflarea coordonatelor unui punct situat pe o dreaptă de-a lungul căreia se intersectează planele
Să luăm în considerare problema. Fie dat un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z în spațiu tridimensional. Linia de-a lungul căreia două plane se intersectează cu a este dată de sistemul de ecuații A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Dat un punct din spațiul tridimensional M 0 x 0 , y 0 , z 0 .
Să determinăm dacă punctul M 0 x 0 , y 0 , z 0 aparține unei drepte date A .
Pentru a obține un răspuns la întrebarea problemei, înlocuim coordonatele punctului M 0 în fiecare dintre cele două ecuații ale planului. Dacă, ca rezultat al substituirii, ambele ecuații se transformă în egalități adevărate A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 și A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0, atunci punctul M 0 aparține fiecărui plan și aparține dreptei date. Dacă cel puțin una dintre egalitățile A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 și A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 este falsă, atunci punctul M 0 nu aparţine unei drepte.
Luați în considerare un exemplu de soluție
Exemplul 2
O dreaptă este dată în spațiu prin ecuații a două plane care se intersectează de forma 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 . Să se determine dacă punctele M 0 (1, - 1, 0) și N 0 (0, - 1 3 , 1) aparțin unei drepte de intersecție a planelor.
Soluţie
Să începem de la punctul M 0 . Substituiți coordonatele sale în ambele ecuații ale sistemului 2 1 + 3 (- 1) + 1 = 0 1 - 2 (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .
În urma înlocuirii, am obținut egalitățile corecte. Aceasta înseamnă că punctul M 0 aparține ambelor plane și este situat pe linia de intersecție a acestora.
Să substituim coordonatele punctului N 0 (0, - 1 3, 1) în ambele ecuații ale planului. Se obține 2 0 + 3 - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0 .
După cum puteți vedea, a doua ecuație a sistemului s-a transformat într-o egalitate incorectă. Aceasta înseamnă că punctul N 0 nu aparține dreptei date.
Răspuns: punctul M 0 aparține unei linii drepte, iar punctul N 0 nu.
Acum vă oferim un algoritm de găsire a coordonatelor unui anumit punct aparținând unei drepte, dacă dreapta în spațiu într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z este determinată de ecuațiile planurilor care se intersectează A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Numărul de soluții ale unui sistem de două ecuații liniare cu necunoscute A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 este infinit. Oricare dintre aceste soluții poate fi o soluție la problemă.
Să luăm un exemplu.
Exemplul 3
Fie dată o dreaptă în spațiul tridimensional de ecuațiile a două plane care se intersectează de forma x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 . Găsiți coordonatele oricăruia dintre punctele de pe această dreaptă.
Soluţie
Să rescriem sistemul de ecuații x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 .
Să luăm un minor de ordinul doi, altul decât zero, ca bază minoră a matricei principale a sistemului 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 . Înseamnă că z este o variabilă necunoscută gratuită.
Transferăm termenii care conțin variabila necunoscută liberă z în partea dreaptă a ecuațiilor:
x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z
Introducem un arbitrar numar realλ și să presupunem că z = λ .
Atunci x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ .
Pentru a rezolva sistemul de ecuații rezultat, aplicăm metoda Cramer:
∆ = 1 0 2 3 = 1 3 - 0 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ 3 - 0 (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ
Rezolvarea generală a sistemului de ecuații x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 va fi x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ , unde λ ∈ R .
Pentru a obține o anumită soluție a sistemului de ecuații, care ne va oferi coordonatele dorite ale unui punct aparținând unei linii date, trebuie să luăm o anumită valoare a parametrului λ. Dacă λ = 0 , atunci x = - 7 - 3 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0 .
Acest lucru ne permite să obținem coordonatele punctului dorit - 7 , 4 , 0 .
Să verificăm corectitudinea coordonatelor găsite ale punctului prin substituirea lor în ecuațiile inițiale a două plane care se intersectează - 7 + 3 0 + 7 = 0 2 (- 7) + 3 4 + 3 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0.
Răspuns: - 7 , 4 , 0
Vector direcție al unei drepte de-a lungul căreia două plane se intersectează
Să ne uităm la cum să determinăm coordonatele vectorului de direcție al unei linii drepte, care este dată de ecuațiile a două plane care se intersectează A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Într-un sistem de coordonate dreptunghiular 0xz, vectorul de direcție al unei linii drepte este inseparabil de o linie dreaptă.
După cum știm, o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă situată în planul dat. Pe baza celor de mai sus, vectorul normal al planului este perpendicular pe orice vector diferit de zero situat în planul dat. Aceste două fapte ne vor ajuta să găsim vectorul de direcție al dreptei.
Planele α și β se intersectează de-a lungul dreptei A . Vector de direcție a → linie dreaptă A este perpendiculară pe vectorul normal n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) al planului A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 și pe vectorul normal n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) plane A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Vector de direcție drept A este un produs vectorial al vectorilor n → 1 = (A 1 , B 1 , C 1) și n 2 → = A 2 , B 2 , C 2 .
a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2
Definim mulțimea tuturor vectorilor de direcție ai dreptei ca λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , unde λ este un parametru care poate lua orice valoare reală, alta decât zero.
Exemplul 4
Fie ca o dreaptă în spațiu într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z să fie dată de ecuațiile a două plane care se intersectează x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 . Găsiți coordonatele oricărui vector de direcție al acestei linii.
Soluţie
Planele x + 2 y - 3 z - 2 = 0 și x - z + 4 = 0 au vectori normali n 1 → = 1 , 2 , - 3 și n 2 → = 1 , 0 , - 1 . Să luăm ca vector de direcție al unei linii drepte, care este intersecția a două plane date, produsul vectorial al vectorilor normali:
a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → 2 (- 1) + j → (- 3) 1 + k → 1 0 - - k → 2 1 - j → 1 (- 1) - i → (- 3) 0 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →
Să scriem răspunsul în forma de coordonate a → = - 2 , - 2 , - 2 . Pentru cei care nu-și amintesc cum se face acest lucru, vă recomandăm să vă referiți la subiectul „Coordonatele vectoriale într-un sistem de coordonate dreptunghiular”.
Răspuns: a → = - 2 , - 2 , - 2
Trecerea la ecuațiile parametrice și canonice ale unei linii drepte în spațiu
Pentru a rezolva o serie de probleme, este mai ușor să folosiți ecuații parametrice ale unei drepte în spațiu de forma x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ sau ecuații canonice ale unei drepte linie în spațiu de forma x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ . În aceste ecuații, a x , a y , a z sunt coordonatele vectorului de direcție al dreptei, x 1 , y 1 , z 1 sunt coordonatele unui punct de pe linie, iar λ este un parametru care ia valori reale arbitrare.
Dintr-o ecuație în linie dreaptă de forma A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, puteți merge la ecuațiile canonice și parametrice a unei linii drepte în spațiu. Pentru a scrie ecuațiile canonice și parametrice ale unei drepte, avem nevoie de abilitățile de a găsi coordonatele unui anumit punct de pe linia dreaptă, precum și coordonatele unui vector de direcție al dreptei, date de ecuațiile a două care se intersectează. avioane.
Să ne uităm la exemplul de mai sus.
Exemplul 5
Să stabilim o dreaptă într-un sistem de coordonate tridimensional prin ecuațiile a două plane care se intersectează 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Să scriem ecuațiile canonice și parametrice ale acestei linii.
Soluţie
Aflați coordonatele vectorului de direcție al dreptei, care este produsul vectorial al vectorilor normali n 1 → = 2 , 1 , - 1 ai planului 2 x + y - z - 1 = 0 și n 2 → = (1 , 3 , - 2) al planului x + 3 y-2z=0:
a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → 1 (- 2) + j → (- 1) 1 + k → 2 3 - - k → 1 1 - j → 2 (- 2) - i → (- 1) 3 = i → + 3 j → + 5 k →
Coordonatele vectorului de direcție ale dreptei a → = (1 , 2 , 5) .
Următorul pas este de a determina coordonatele unui punct al dreptei date, care este una dintre soluțiile sistemului de ecuații: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2z = 0 .
Să luăm determinantul 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 ca o matrice minoră a sistemului, care este diferită de zero. În acest caz, variabila z este gratuit. Transferăm termenii cu ea în partea dreaptă a fiecărei ecuații și dăm variabilei o valoare arbitrară λ:
2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R
Aplicam metoda Cramer pentru a rezolva sistemul de ecuatii rezultat:
∆ = 2 1 1 3 = 2 3 - 1 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) 3 - 1 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 2 λ - (1 + λ) 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 λ
Se obține: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ
Să luăm λ = 2 pentru a obține coordonatele unui punct pe o dreaptă: x 1 = 3 5 + 1 5 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Acum avem suficiente date pentru a scrie ecuațiile canonice și parametrice ale acestei drepte în spațiu: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ ⇔ x = 1 + 1 λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ
Răspuns: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 și x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ
Această problemă are o altă modalitate de a o rezolva.
Aflarea coordonatelor unui anumit punct pe o dreaptă se realizează prin rezolvarea sistemului de ecuații A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.
În cazul general, soluțiile sale pot fi scrise sub forma ecuațiilor parametrice dorite ale unei drepte în spațiul x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ .
Obținerea ecuațiilor canonice se realizează astfel: rezolvăm fiecare dintre ecuațiile obținute în raport cu parametrul λ, echivalăm părțile drepte ale egalității.
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z
Să aplicăm această metodă pentru a rezolva problema.
Exemplul 6
Să stabilim poziția dreptei prin ecuațiile a două plane care se intersectează 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Să scriem ecuațiile parametrice și canonice pentru această dreaptă.
Soluţie
Rezolvarea unui sistem de două ecuații cu trei necunoscute se realizează în același mod ca în exemplul anterior. Se obține: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ .
Acestea sunt ecuațiile parametrice ale unei linii drepte în spațiu.
Ecuațiile canonice se obțin astfel: x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1
Ecuațiile obținute în ambele exemple diferă extern, dar sunt echivalente, deoarece determină același set de puncte în spațiul tridimensional și, prin urmare, aceeași linie dreaptă.
Răspuns: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 și x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Definiție. O dreaptă se numește paralelă cu un plan dacă nu are un punct comun cu acesta.
Dispunerea reciprocă a unei linii drepte și a unui plan
Linie și avion
Paralelismul a două linii
Dacă un plan trece printr-o dreaptă paralelă cu un alt plan și intersectează acest plan, atunci linia de intersecție a acestora este paralelă cu dreapta dată.
Dovada. Fie planul α să treacă prin dreapta a paralelă cu planul β, iar dreapta b să fie linia de intersecție a acestor plane. Să demonstrăm că dreptele a și b sunt paralele.
Într-adevăr, ele se află în același plan α. În plus, linia b se află în planul β, iar linia a nu intersectează acest plan. Prin urmare, linia a și cu atât mai mult nu se intersectează cu dreapta b. Astfel, dreptele a și b se află în același plan și nu se intersectează. Deci sunt paralele.
Semn de paralelism a unei drepte și a unui plan Dacă o linie care nu se află într-un plan este paralelă cu o dreaptă care se află în acel plan, atunci linia dată este paralelă cu planul însuși.
Dovada. Lasă linia a nu se află în planul β și este paralelă cu dreapta b culcat în acest plan. Să demonstrăm că linia A paralel cu planul β.
Să presupunem opusul, adică că linia a intersectează planul β într-un punct C .
Se consideră un plan α care trece prin dreptele a și b (a || b , prin presupunere). Punctul C aparține atât planului β cât și planului α, adică. apartine liniei de intersectie a acestora - dreapta b . Prin urmare, liniile a și b se intersectează, ceea ce contrazice condiția. Astfel, un || β.
Exercitiul 1
Este adevărat că două drepte paralele cu același plan sunt paralele între ele?
Răspuns: Nu.
Exercițiul 2
Este adevărată afirmația: „O dreaptă paralelă cu un plan este paralelă cu orice dreaptă situată în acest plan”?
Răspuns: Nu.
Exercițiul 3
Una dintre cele două drepte paralele este paralelă cu planul. Este adevărat că a doua linie este și ea paralelă cu acest plan?
Răspuns: Nu.
Exercițiul 4
Sunt date două drepte paralele. Prin fiecare dintre ele este desenat un avion. Aceste două planuri se intersectează. Cum este linia lor de intersecție în raport cu aceste linii?
Răspuns: Paralel.
Exercițiul 5
Sunt date două plane care se intersectează. Există un plan care intersectează două plane date de-a lungul unor linii paralele?
Răspuns: Da.
Exercițiul 6
Latura AF a hexagonului regulat ABCDEF se află în planul α, care nu coincide cu planul hexagonului. Cum sunt situate liniile care conțin laturile rămase ale acestui hexagon în raport cu planul α?
Răspuns: AB, BC, DE, EF intersectează planul; CD este paralel cu planul.
1) Având în vedere o dreaptă și două plane care se intersectează. Descrieți toate cazurile posibile de aranjare reciprocă.2) Sunt date două plane care se intersectează. Există un plan care intersectează două plane date de-a lungul unor linii paralele?
2. Având în vedere două drepte care se intersectează într-un punct C. Oare vreo a treia dreaptă se află împreună cu ele în același plan, având un punct comun cu fiecare dintre liniile date?
3.
4. Distanța dintre două plane paralele este de 8 cm. Între ele se află un segment de linie, a cărui lungime este de 17 cm, astfel încât capetele sale să aparțină planelor. Găsiți proiecția acestui segment pe fiecare dintre planuri.
5. Completați propoziția pentru a obține propoziția corectă:
D) nu stiu
6. Dreptele a și b sunt perpendiculare. Punctele A și B aparțin liniei a, punctele C și D aparțin liniei b. Liniile AC și BD se află în același plan?
7. În cubul ABCDA1B1C1D1 se desenează diagonalele fețelor AC și B1D1. care este pozitia lor relativa?
8. Muchia cubului ABCDA1B1C1D1 este egală cu m. Aflați distanța dintre liniile AB și CC1.
A) 2m B) 1/2m C) m D) nu știu
9. Stabiliți dacă afirmația este adevărată:
A) da B) nu C) nu întotdeauna D) nu știu
10. În cubul ABCDA1B1C1D1 găsiți unghiul dintre planele BCD și BCC1B1.
A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°
11. Există o prismă cu o singură față laterală perpendiculară pe bază?
A) da B) nu C) nu stiu
12. Poate diagonala unui cuboid să fie mai mică decât marginea laterală?
A) da B) nu C) nu stiu
13. Care este aria suprafeței laterale a unui cub cu muchia 10?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Care este suprafața totală a unui cub dacă diagonala lui este d?
A) 2d2 B) 6d2 C) 3d2 D) 4d2
15. Câte planuri de simetrie are o piramidă patruunghiulară obișnuită?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Care este secțiunea axială a oricărui piramida corecta?
A) un triunghi echilateral
B) dreptunghi
B) un trapez
D) triunghi isoscel
va rog ajutati-ma sa rezolv testul1. Câte linii comune pot avea două planuri diferite non-coincidente?
A) 1 B) 2 C) un număr infinit D) niciunul E) Nu știu
2. Sunt date două drepte care se intersectează într-un punct C. Oare vreo a treia dreaptă se află împreună cu ele în același plan, având un punct comun cu fiecare dintre dreptele date?
A) întotdeauna da B) întotdeauna nu C) minciuni, dar nu întotdeauna D) nu știu
3. Stabiliți dacă afirmația este adevărată:
Două plane sunt paralele dacă sunt paralele cu aceeași dreaptă.
A) da B) nu C) nu știu D) nu întotdeauna
4. Distanța dintre două plane paralele este de 8 cm Între ele se află un segment de linie dreaptă, a cărui lungime este de 17 cm, astfel încât capetele sale să aparțină planelor. Găsiți proiecția acestui segment pe fiecare dintre planuri.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) Nu știu
5. Completați fraza pentru a obține afirmația corectă:
Dacă o dreaptă situată în unul dintre cele două plane perpendiculare este perpendiculară pe linia lor de intersecție, atunci aceasta ...
A) paralel cu alt plan
B) se intersectează cu un alt plan
B) perpendicular pe alt plan
D) nu stiu
6. Dreptele a și b sunt perpendiculare. Punctele A și B aparțin liniei a, punctele C și D aparțin liniei b. Liniile AC și BD se află în același plan?
A) da B) nu C) nu întotdeauna D) nu știu
7. În cubul ABCDA1B1C1D1 se desenează diagonalele fețelor AC și B1D1. care este pozitia lor relativa?
A) se intersectează B) se intersectează C) paralele D) nu știu
8. Muchia cubului ABCDA1B1C1D1 este egală cu m. Aflați distanța dintre liniile AB și CC1.
A) 2m B) C) m D) nu știu
9. Stabiliți dacă afirmația este adevărată:
Dacă se formează două linii unghiuri egale cu acelasi plan sunt paralele.
A) da B) nu C) nu întotdeauna D) nu știu
10. În cubul ABCDA1B1C1D1, găsiți unghiul dintre planele BCD și BCC1B1.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Există o prismă cu o singură față laterală perpendiculară pe bază?
A) da B) nu C) nu stiu
12. Poate diagonala unui paralelipiped dreptunghiular să fie mai mică decât marginea laterală?
A) da B) nu C) nu stiu
13. Care este aria suprafeței laterale a unui cub cu muchia 10?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Care este suprafața totală a unui cub dacă diagonala lui este d?
A) 2d2 B) 6d2 C) 3d2 D) 4d2
15. Câte plane de simetrie are o piramidă patruunghiulară regulată?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Care este secțiunea axială a oricărei piramide regulate?
A) un triunghi echilateral
B) dreptunghi
B) un trapez
D) triunghi isoscel
Două plane se intersectează în linie dreaptă, pentru construcția căreia este suficient fie să se determine două puncte comune planelor, fie un punct și direcția dreptei de intersecție.
Să luăm în considerare sarcinile de construire a proiecțiilor dreptei de intersecție a planurilor și pozițiile acestora față de planurile de proiecție.
1. Dacă planurile sunt date prin urme și urmele se intersectează în cadrul desenului (Fig. 4.14a), atunci la intersecția urmelor cu același nume se determină două puncte ale dreptei de intersecție. Punctul 1 este intersecția urmelor orizontale, punctul 2 este intersecția urmelor frontale. Linia l(1 1 1 2) - linia de intersecție a planelor l și å.
Orez. 4.14a. Avioanele sunt date de urme.
2. Unul dintre cazurile speciale de intersectie a planelor, cand unul dintre ele este un plan proiectant (Fig. 4.14b).
Problema se reduce la determinarea celei de-a doua proiecții a unei linii aparținând atât planului de proiectare, cât și planului în poziție generală.
Determinăm punctele de intersecție ale urmei corespunzătoare a planului proiectant cu planul de poziție generală a punctelor 1 și 2. Determinăm a doua proiecție de-a lungul liniilor de comunicare. Apoi este necesar să se determine vizibilitatea compartimentelor planului de poziție generală în raport cu linia de intersecție.
Orez. 4.14b. Unul dintre avioane se proiectează.
3. În unele cazuri, linia de intersecție a planurilor este o linie de poziție particulară (Fig. 4.14c).
Să luăm în considerare problemele de intersecție a planurilor pe orizontală. În prima problemă, unul dintre planurile l este un plan de nivel orizontal, deci linia frontală a proiecției intersecției h 2 coincide cu urma acestui plan și este o orizontală. Proiecția orizontală este determinată de punctul 1 al intersecției urmelor și direcția h 1 || l 1 .
Orez. 4.14c. Intersecție de-a lungul liniilor de poziție privată.
În a doua problemă, urmele orizontale ale planelor în poziție generală sunt paralele cu l 1 || e 1 . Prin urmare, proiecția orizontală a liniei de intersecție va fi paralelă cu acestea h 1 || l 1 || å 1 , iar cea frontală va trece prin punctul 1 al intersecției urmelor frontale.
Cazurile de traversare de-a lungul frontului sunt similare. Există și alte cazuri speciale de intersecție a planurilor, când linia de intersecție este liniile proeminente.
4. Cazul general de intersectie a planurilor, cand punctele comune acestor planuri nu sunt determinate imediat in cadrul desenului. Pentru a rezolva o astfel de problemă, se folosesc planuri auxiliare de tăiere, de obicei de o poziție privată - fie planuri de nivel, fie cele proeminente.
Luați în considerare exemplul din fig. 4.15.
Date două plane definite de drepte paralele ( A || b) și un triunghi ABC. Pentru a determina două puncte comune ale acestor planuri, rezolvăm problema conform algoritmului:
1. Introduceți primul plan de nivel orizontal auxiliar å.
2. Construim liniile de intersecție ale fiecărui plan dat cu auxiliarul ( și || b) Ç å ® h å ( ABC) Ç å ® h e . Aceste linii sunt contururile acestor planuri.
3. Determinați punctul de intersecție al dreptei de intersecție. Punctul I este comun pentru aceste avioane.
Orez. 4.15. Caz general de intersectie a planurilor.
Test pe tema " Aranjament reciproc drept și plan. Aranjamentul reciproc a două avioane "
Alegeți un răspuns corect dintre opțiunile oferite:
Se spune că două drepte din spațiu se intersectează dacă:
A - nu au puncte comune
B - nu poți trage un avion prin ele
C - se află în același plan și nu se intersectează
O dreaptă și un punct care nu îi aparțin sunt date în spațiu. Câte drepte care nu intersectează linia dată trec prin acest punct:
A este singura linie
B - două linii diferite
C - set de linii
Drept A se intersectează cu o linie dreaptă b , și linia dreaptă b se intersectează cu o linie dreaptă c . Rezultă că direct A și c încrucișați:
A - nu, pot fi paralele
B - da, drept Ași c se încrucișează
C - nu, se pot intersecta sau fi paralele
Sunt date două plane care se intersectează. În fiecare dintre ele se află o dreaptă care intersectează linia de intersecție a planelor. Determinați locația acestor linii una față de alta:
A - aceste linii fie se intersectează, fie se intersectează
B - aceste linii se intersectează
C - aceste linii se pot intersecta, fie paralele, fie intersectându-se
Este adevărat că două drepte paralele cu același plan sunt paralele între ele:
Ah da, așa este
B - nu, liniile se pot intersecta
C - nu, liniile se pot intersecta sau se pot intersecta
Este adevărat că o dreaptă paralelă cu un plan este paralelă cu orice dreaptă din acel plan?
Ah da, așa este
B - nu, este paralelă cu o singură linie dreaptă aflată în acest plan
C - nu, nu este adevărat
Sunt date două plane care se intersectează. Există un plan care intersectează două planuri date de-a lungul unor linii paralele:
Și - da, există multe astfel de avioane
B - da, există un astfel de avion
C - nu, astfel de avioane nu există
Se pot intersecta plane paralele cu aceeași dreaptă?
Și da, pot
B - nu, vor fi paralele
C - nu, se potrivesc
Avion α paralel cu planul β , avion β paralel cu planul ϕ . Cum sunt aranjate avioanele? α și ϕ:
A - planurile se intersectează
B - planurile sunt paralele
cubul Dan ABDMEFN .
Ce fețe ale cubului vor fi paralele cu muchia CD :
DAR - ABCDși MEFN
AT - ABEMși CDNF
C – ABEMși MEFN
Specificați marginile cubului care se intersectează cu marginea MN :
DAR - AB, î.Hr, EFși CD
AT - AB, FI, CDși CF
C – A.M, PE MINE, DNși NF
Câte perechi de plane paralele trec prin fețele cubului:
A - 3
LA 4
C - 6
Câte perechi de muchii paralele are un cub:
A - 12
B - 18
C - 24
Cum sunt aranjate liniile? AC și D.F. :
A - se încrucișează
B - se intersectează
C - paralel
Criterii de evaluare:
Mult noroc!
