Una dintre cele mai dificile subiecte pentru studenți este rezolvarea ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului. Să vedem pentru început cu ce are legătură? De ce, de exemplu, majoritatea copiilor fac clic pe ecuații pătratice ca pe nucile, dar cu un concept atât de departe de cel mai complex, cum ar fi un modul are atât de multe probleme?
În opinia mea, toate aceste dificultăți sunt asociate cu lipsa unor reguli clar formulate pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Deci, atunci când rezolvă o ecuație pătratică, elevul știe sigur că trebuie să aplice mai întâi formula discriminantă și apoi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice. Dar ce se întâmplă dacă un modul este întâlnit în ecuație? Vom încerca să descriem clar planul de acțiune necesar în cazul în care ecuația conține o necunoscută sub semnul modulului. Dam mai multe exemple pentru fiecare caz.
Dar mai întâi, să ne amintim definirea modulului. Deci, modulul numărului A numărul însuși se numește dacă A nenegativ şi -A dacă numărul A mai putin de zero. O poti scrie asa:
|a| = a dacă a ≥ 0 și |a| = -a dacă a< 0
Vorbind despre semnificația geometrică a modulului, trebuie amintit că fiecare număr real corespunde unui anumit punct de pe axa numerelor - este să 
coordona. Deci, modulul sau valoarea absolută a unui număr este distanța de la acest punct până la originea axei numerice. Distanța este întotdeauna dată ca număr pozitiv. Astfel, modulul oricărui număr negativ este un număr pozitiv. Apropo, chiar și în această etapă, mulți studenți încep să se încurce. Orice număr poate fi în modul, dar rezultatul aplicării modulului este întotdeauna un număr pozitiv.
Acum să trecem la rezolvarea ecuațiilor.
1. Se consideră o ecuație de forma |x| = c, unde c este un număr real. Această ecuație poate fi rezolvată folosind definiția modulului.
Împărțim toate numerele reale în trei grupuri: cele care sunt mai mari decât zero, cele care sunt mai mici decât zero, iar a treia grupă este numărul 0. Scriem soluția sub forma unei diagrame:
(±c dacă c > 0
Dacă |x| = c, atunci x = (0 dacă c = 0
(fără rădăcini dacă cu< 0
1) |x| = 5, deoarece 5 > 0, atunci x = ±5;
2) |x| = -5, deoarece -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, atunci x = 0.
2. O ecuație de forma |f(x)| = b, unde b > 0. Pentru a rezolva această ecuație, este necesar să scăpăm de modul. O facem astfel: f(x) = b sau f(x) = -b. Acum este necesar să se rezolve separat fiecare dintre ecuațiile obținute. Dacă în ecuația inițială b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, deoarece 4 > 0, atunci
x + 2 = 4 sau x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, deoarece 11 > 0, atunci
x 2 - 5 = 11 sau x 2 - 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 fără rădăcini
3) |x 2 – 5x| = -8 , deoarece -opt< 0, то уравнение не имеет корней.
3. O ecuație de forma |f(x)| = g(x). Conform sensului modulului, o astfel de ecuație va avea soluții dacă latura sa dreaptă este mai mare sau egală cu zero, adică. g(x) ≥ 0. Atunci avem:
f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x - 10. Această ecuație va avea rădăcini dacă 5x - 10 ≥ 0. Aici începe soluția unor astfel de ecuații.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Soluție:
2x - 1 = 5x - 10 sau 2x - 1 = -(5x - 10)
3. Combinați O.D.Z. iar soluția, obținem:
Rădăcina x \u003d 11/7 nu se potrivește conform O.D.Z., este mai mică de 2, iar x \u003d 3 satisface această condiție.
Răspuns: x = 3
2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.
1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Să rezolvăm această inegalitate folosind metoda intervalului:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Soluție:
x - 1 \u003d 1 - x 2 sau x - 1 \u003d - (1 - x 2)
x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0
x = -2 sau x = 1 x = 0 sau x = 1
3. Combinați soluția și O.D.Z.:
Doar rădăcinile x = 1 și x = 0 sunt potrivite.
Răspuns: x = 0, x = 1.
4. O ecuație de forma |f(x)| = |g(x)|. O astfel de ecuație este echivalentă cu următoarele două ecuații f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).
1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Această ecuație este echivalentă cu următoarele două:
x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 sau x 2 - 5x +7 = -2x + 5
x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0
x = 3 sau x = 4 x = 2 sau x = 1
Răspuns: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Ecuații rezolvate prin metoda substituției (schimbarea variabilei). Aceasta metoda soluțiile sunt cel mai ușor de explicat exemplu concret. Deci, să fie dată o ecuație pătratică cu un modul:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:
|x| 2–6|x| + 5 = 0. Să facem schimbarea |x| = t ≥ 0, atunci vom avea:
t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, obținem că t \u003d 1 sau t \u003d 5. Să revenim la înlocuire:
|x| = 1 sau |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Răspuns: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Să ne uităm la un alt exemplu:
x 2 + |x| – 2 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Să facem schimbarea |x| = t ≥ 0, atunci:
t 2 + t - 2 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, obținem t \u003d -2 sau t \u003d 1. Să revenim la înlocuire:
|x| = -2 sau |x| = 1
Fără rădăcini x = ± 1
Răspuns: x = -1, x = 1.
6. Un alt tip de ecuații sunt ecuațiile cu un modul „complex”. Astfel de ecuații includ ecuații care au „module într-un modul”. Ecuațiile de acest tip pot fi rezolvate folosind proprietățile modulului.
1) |3 – |x|| = 4. Vom acţiona la fel ca în ecuaţiile de al doilea tip. pentru că 4 > 0, atunci obținem două ecuații:
3 – |x| = 4 sau 3 – |x| = -4.
Acum să exprimăm modulul x în fiecare ecuație, apoi |x| = -1 sau |x| = 7.
Rezolvăm fiecare dintre ecuațiile rezultate. Nu există rădăcini în prima ecuație, pentru că -unu< 0, а во втором x = ±7.
Răspuns x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Rezolvăm această ecuație într-un mod similar:
3 + |x + 1| = 5 sau 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 sau x + 1 = -2. Nu există rădăcini.
Răspuns: x = -3, x = 1.
Există, de asemenea, o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Aceasta este metoda de spațiere. Dar o vom lua în considerare în continuare.
blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.
Un modul este unul dintre acele lucruri despre care toată lumea pare să fi auzit, dar în realitate nimeni nu le înțelege cu adevărat. Prin urmare, astăzi va exista o mare lecție dedicată rezolvării ecuațiilor cu module.
Vă spun imediat: lecția va fi simplă. În general, modulele sunt în general un subiect relativ simplu. „Da, desigur, este ușor! Îmi face creierul să explodeze!” – vor spune mulți studenți, dar toate aceste rupturi de creier se datorează faptului că majoritatea oamenilor nu au cunoștințe în cap, ci un fel de porcărie. Și scopul acestei lecții este de a transforma prostiile în cunoștințe. :)
Un pic de teorie
Deci să mergem. Să începem cu cel mai important: ce este un modul? Permiteți-mi să vă reamintesc că modulul unui număr este pur și simplu același număr, dar luat fără semnul minus. Adică, de exemplu, $\left| -5 \right|=5$. Sau $\left| -129,5\right|=129,5$.
Este atât de simplu? Da, simplu. Care este atunci modulul unui număr pozitiv? Aici este și mai simplu: modulul unui număr pozitiv este egal cu acest număr însuși: $\left| 5\right|=5$; $\stânga| 129,5 \right|=129,5$ etc.
Se dovedește un lucru curios: numere diferite pot avea același modul. De exemplu: $\left| -5 \right|=\stânga| 5\right|=5$; $\stânga| -129,5 \right|=\left| 129,5 \right|=129,5 $. Este ușor de văzut ce fel de numere sunt acestea, în care modulele sunt aceleași: aceste numere sunt opuse. Astfel, observăm pentru noi înșine că modulele numerelor opuse sunt egale:
\[\stanga| -a \right|=\left| a\dreapta|\]
Un alt fapt important: modulul nu este niciodată negativ. Orice număr luăm - chiar și pozitiv, chiar negativ - modulul său se dovedește întotdeauna a fi pozitiv (sau, în cazuri extreme, zero). De aceea, modulul este adesea numit valoarea absolută a unui număr.
În plus, dacă combinăm definiția modulului pentru un număr pozitiv și negativ, obținem o definiție globală a modulului pentru toate numerele. Și anume: modulul unui număr este egal cu acest număr însuși, dacă numărul este pozitiv (sau zero), sau egal cu numărul opus, dacă numărul este negativ. Puteți scrie asta ca o formulă:
Există și un modul de zero, dar este întotdeauna egal cu zero. De asemenea, zero este singurul număr care nu are un opus.
Astfel, dacă luăm în considerare funcția $y=\left| x \right|$ și încercați să-i desenați graficul, veți obține un astfel de „daw”:
Exemplu de soluție pentru graficul modulului și ecuația
Din această imagine puteți vedea imediat acel $\left| -m \right|=\stânga| m \right|$, iar graficul modulului nu scade niciodată sub axa x. Dar asta nu este tot: linia roșie marchează linia dreaptă $y=a$, care, cu $a$ pozitiv, ne dă două rădăcini deodată: $((x)_(1))$ și $((x) _(2)) $, dar despre asta vom vorbi mai târziu. :)
Pe lângă o definiție pur algebrică, există una geometrică. Să presupunem că există două puncte pe dreapta numerică: $((x)_(1))$ și $((x)_(2))$. În acest caz, expresia $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ este doar distanța dintre punctele specificate. Sau, dacă doriți, lungimea segmentului care leagă aceste puncte:
Modulul este distanța dintre punctele de pe dreapta numerică De asemenea, din această definiție rezultă că modulul este întotdeauna nenegativ. Dar destule definiții și teorie - să trecem la ecuații reale. :)
Formula de bază
Bine, ne-am dat seama de definiție. Dar nu a devenit mai ușor. Cum se rezolvă ecuațiile care conțin acest modul?
Calm, doar calm. Să începem cu cele mai simple lucruri. Luați în considerare ceva de genul acesta:
\[\stanga| x\dreapta|=3\]
Deci modulo$x$ este 3. Cu ce poate fi egal $x$? Ei bine, judecând după definiție, $x=3$ ne va potrivi foarte bine. Într-adevăr:
\[\stanga| 3\dreapta|=3\]
Mai sunt si alte numere? Cap pare să sugereze că există. De exemplu, $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, adică egalitatea cerută este îndeplinită.
Deci poate dacă căutăm, gândim, vom găsi mai multe numere? Dar întrerupe-te: nu mai există numere. Ecuația $\left| x \right|=3$ are doar două rădăcini: $x=3$ și $x=-3$.
Acum să complicăm puțin sarcina. Fie ca, în locul variabilei $x$, funcția $f\left(x \right)$ să atârnă sub semnul modulului, iar în dreapta, în loc de triplu, punem un număr arbitrar $a$. Obtinem ecuatia:
\[\stanga| f\stânga(x\dreapta) \dreapta|=a\]
Ei bine, cum te decizi? Permiteți-mi să vă reamintesc: $f\left(x \right)$ este o funcție arbitrară, $a$ este orice număr. Acestea. oricare! De exemplu:
\[\stanga| 2x+1 \dreapta|=5\]
\[\stanga| 10x-5 \dreapta|=-65\]
Să ne uităm la a doua ecuație. Poți spune imediat despre el: nu are rădăcini. De ce? Așa este: pentru că necesită ca modulul să fie egal cu un număr negativ, ceea ce nu se întâmplă niciodată, deoarece știm deja că modulul este întotdeauna un număr pozitiv sau, în cazuri extreme, zero.
Dar cu prima ecuație, totul este mai distractiv. Există două opțiuni: fie există o expresie pozitivă sub semnul modulului și apoi $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, sau această expresie este încă negativă, caz în care $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. În primul caz, ecuația noastră va fi rescrisă astfel:
\[\stanga| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]
Și dintr-o dată se dovedește că expresia submodulului $2x+1$ este într-adevăr pozitivă - este egală cu numărul 5. Adică, putem rezolva în siguranță această ecuație - rădăcina rezultată va fi o parte din răspuns:
Cei care sunt deosebit de neîncrezători pot încerca să înlocuiască rădăcina găsită în ecuația originală și să se asigure că va exista într-adevăr un număr pozitiv sub modul.
Acum să ne uităm la cazul unei expresii submodulului negativ:
\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Săgeată la dreapta 2x+1=-5\]
Hopa! Din nou, totul este clar: am presupus că $2x+1 \lt 0$ și, ca rezultat, am obținut că $2x+1=-5$ - într-adevăr, această expresie este mai mică decât zero. Rezolvăm ecuația rezultată, în timp ce știm deja cu siguranță că rădăcina găsită ne va potrivi:
În total, am primit din nou două răspunsuri: $x=2$ și $x=3$. Da, cantitatea de calcule s-a dovedit a fi puțin mai mare decât în ecuația foarte simplă $\left| x \right|=3$, dar în principiu nimic nu s-a schimbat. Deci poate că există un fel de algoritm universal?
Da, un astfel de algoritm există. Și acum o vom analiza.
A scăpa de semnul modulului
Să ne dăm ecuația $\left| f\left(x \right) \right|=a$ și $a\ge 0$ (altfel, așa cum știm deja, nu există rădăcini). Apoi puteți scăpa de semnul modulo conform următoarei reguli:
\[\stanga| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]
Astfel, ecuația noastră cu modulul se împarte în două, dar fără modul. Asta e toată tehnologia! Să încercăm să rezolvăm câteva ecuații. Să începem cu asta
\[\stanga| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]
Vom lua în considerare separat când există un zece cu un plus în dreapta și separat când este cu un minus. Noi avem:
\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(align)\]
Asta e tot! Avem două rădăcini: $x=1.2$ și $x=-2.8$. Întreaga soluție a luat literalmente două rânduri.
Ok, fără îndoială, hai să ne uităm la ceva mai serios:
\[\stanga| 7-5x \right|=13\]
Din nou, deschideți modulul cu un plus și un minus:
\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(align)\]
Din nou câteva rânduri - și răspunsul este gata! După cum am spus, nu este nimic complicat în module. Trebuie doar să vă amintiți câteva reguli. Prin urmare, mergem mai departe și continuăm cu sarcini cu adevărat mai dificile.
Carcasa variabila pe partea dreapta
Acum luați în considerare această ecuație:
\[\stanga| 3x-2 \right|=2x\]
Această ecuație este fundamental diferită de toate precedentele. Cum? Și faptul că expresia $2x$ se află în dreapta semnului egal - și nu putem ști dinainte dacă este pozitivă sau negativă.
Cum să fii în acest caz? În primul rând, trebuie să înțelegem asta odată pentru totdeauna dacă partea dreaptă a ecuației este negativă, atunci ecuația nu va avea rădăcini- știm deja că modulul nu poate fi egal cu un număr negativ.
Și în al doilea rând, dacă partea dreaptă este încă pozitivă (sau egală cu zero), atunci puteți proceda exact în același mod ca înainte: deschideți modulul separat cu semnul plus și separat cu semnul minus.
Astfel, formulăm o regulă pentru funcțiile arbitrare $f\left(x \right)$ și $g\left(x \right)$ :
\[\stanga| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]
În ceea ce privește ecuația noastră, obținem:
\[\stanga| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Ei bine, ne putem ocupa cumva de cerința $2x\ge 0$. În cele din urmă, putem înlocui prostește rădăcinile pe care le obținem din prima ecuație și putem verifica dacă inegalitatea este valabilă sau nu.
Deci, să rezolvăm ecuația în sine:
\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(align)\]
Ei bine, care dintre aceste două rădăcini satisface cerința $2x\ge 0$? Da, ambele! Prin urmare, răspunsul va fi două numere: $x=(4)/(3)\;$ și $x=0$. asta e solutia. :)
Bănuiesc că unul dintre elevi a început deja să se plictisească? Ei bine, luați în considerare o ecuație și mai complexă:
\[\stanga| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]
Deși pare rău, de fapt este aceeași ecuație de forma „modulul este egal cu funcția”:
\[\stanga| f\stanga(x \dreapta) \dreapta|=g\stanga(x \dreapta)\]
Și se rezolvă în același mod:
\[\stanga| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Ne vom ocupa de inegalitatea mai târziu - este cumva prea vicios (de fapt simplu, dar nu o vom rezolva). Deocamdată, să aruncăm o privire la ecuațiile rezultate. Luați în considerare primul caz - acesta este momentul în care modulul este extins cu un semn plus:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Ei bine, iată că trebuie să adunați totul din stânga, să aduceți altele similare și să vedeți ce se întâmplă. Și iată ce se întâmplă:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]
Punând factorul comun $((x)^(2))$ din paranteză, obținem o ecuație foarte simplă:
\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(aliniere) \dreapta.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]
Aici am folosit o proprietate importantă a produsului, de dragul căreia am factorizat polinomul original: produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.
Acum, în același mod, ne vom ocupa de a doua ecuație, care se obține prin extinderea modulului cu semnul minus:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(align)\]
Din nou, același lucru: produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. Noi avem:
\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]
Ei bine, avem trei rădăcini: $x=0$, $x=1.5$ și $x=(2)/(3)\;$. Ei bine, ce va intra în răspunsul final din acest set? Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că avem o constrângere suplimentară de inegalitate:
Cum să ținem cont de această cerință? Să înlocuim doar rădăcinile găsite și să verificăm dacă inegalitatea este valabilă pentru acești $x$ sau nu. Noi avem:
\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-(((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]
Astfel, rădăcina $x=1,5$ nu ni se potrivește. Și doar două rădăcini vor merge ca răspuns:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
După cum puteți vedea, chiar și în acest caz nu a fost nimic dificil - ecuațiile cu module sunt întotdeauna rezolvate conform algoritmului. Trebuie doar să înțelegeți bine polinoamele și inegalitățile. Prin urmare, trecem la sarcini mai complexe - vor exista deja nu unul, ci două module.
Ecuații cu două module
Până acum, am studiat doar cel mai mult ecuații simple- era un modul și altceva. Am trimis acest „altceva” unei alte părți a inegalității, departe de modul, astfel încât în final totul să fie redus la o ecuație de genul $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ sau chiar mai simplu $\left| f\left(x \right) \right|=a$.
Dar Grădiniţă peste - este timpul să luăm în considerare ceva mai serios. Să începem cu ecuații ca aceasta:
\[\stanga| f\left(x \right) \right|=\left| g\stanga(x \dreapta) \dreapta|\]
Aceasta este o ecuație de forma „modulul este egal cu modulul”. Un punct fundamental important este absența altor termeni și factori: doar un modul în stânga, încă un modul în dreapta - și nimic mai mult.
S-ar crede acum că astfel de ecuații sunt mai greu de rezolvat decât ceea ce am studiat până acum. Dar nu: aceste ecuații se rezolvă și mai ușor. Iată formula:
\[\stanga| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]
Tot! Pur și simplu echivalăm expresiile submodulelor prefixând una dintre ele cu un semn plus sau minus. Și apoi rezolvăm cele două ecuații rezultate - și rădăcinile sunt gata! Fără restricții suplimentare, fără inegalități etc. Totul este foarte simplu.
Să încercăm să rezolvăm această problemă:
\[\stanga| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \dreapta|\]
Primar Watson! Deschiderea modulelor:
\[\stanga| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]
Să luăm în considerare fiecare caz separat:
\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]
Prima ecuație nu are rădăcini. Pentru că când este $3=-7$? Pentru ce valori de $x$? „Ce dracu este $x$? Esti drogat? Nu există $x$ deloc”, spuneți. Și vei avea dreptate. Am obținut o egalitate care nu depinde de variabila $x$ și, în același timp, egalitatea în sine este incorectă. De aceea nu există rădăcini.
Cu a doua ecuație, totul este puțin mai interesant, dar și foarte, foarte simplu:
După cum puteți vedea, totul a fost decis literalmente în câteva rânduri - nu ne așteptam la nimic altceva de la o ecuație liniară. :)
Ca rezultat, răspunsul final este: $x=1$.
Ei bine, cum? Complicat? Desigur că nu. Să încercăm altceva:
\[\stanga| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \dreapta|\]
Din nou avem o ecuație ca $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Prin urmare, îl rescriem imediat, dezvăluind semnul modulului:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]
Poate că cineva va întreba acum: „Hei, ce fel de prostii? De ce este plus-minus pe partea dreaptă și nu pe partea stângă? Calmează-te, o să explic totul. Într-adevăr, într-un mod bun, ar fi trebuit să ne rescriem ecuația după cum urmează:
Apoi trebuie să deschideți parantezele, să mutați toți termenii într-o singură direcție din semnul egal (deoarece ecuația, evident, va fi pătrată în ambele cazuri) și apoi să găsiți rădăcinile. Dar trebuie să recunoașteți: când „plus-minus” este în fața a trei termeni (mai ales când unul dintre acești termeni este o expresie pătrată), pare cumva mai complicată decât situația când „plus-minus” este doar în fața a doi. termeni.
Dar nimic nu ne împiedică să rescriem ecuația originală după cum urmează:
\[\stanga| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \dreapta|\]
Ce s-a întâmplat? Da, nimic special: am schimbat doar partea stângă și cea dreaptă. Un fleac, care până la urmă ne va simplifica puțin viața. :)
În general, rezolvăm această ecuație, luând în considerare opțiunile cu plus și minus:
\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]
Prima ecuație are rădăcini $x=3$ și $x=1$. Al doilea este, în general, un pătrat exact:
\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]
Prin urmare, are o singură rădăcină: $x=1$. Dar am primit deja această rădăcină mai devreme. Astfel, doar două numere vor intra în răspunsul final:
\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Misiune completa! Poți să-l iei de pe raft și să mănânci o plăcintă. Sunt 2, media ta. :)
Notă importantă. Prezența acelorași rădăcini pentru diferite versiuni ale extinderii modulului înseamnă că polinoamele originale sunt descompuse în factori, iar printre acești factori va fi neapărat unul comun. Într-adevăr:
\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\&\stânga| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]
Una dintre proprietățile modulului: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (adică modulul produsului este egal cu produsul modulelor), deci ecuația originală poate fi rescrisă ca
\[\stanga| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \dreapta|\]
După cum puteți vedea, avem într-adevăr un factor comun. Acum, dacă colectați toate modulele pe o singură parte, atunci puteți scoate acest multiplicator din paranteză:
\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \dreapta|; \\&\stânga| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\&\stânga| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]
Ei bine, acum ne amintim că produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero:
\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(aliniere) \dreapta.\]
Astfel, ecuația originală cu două module a fost redusă la cele mai simple două ecuații despre care am vorbit chiar la începutul lecției. Astfel de ecuații pot fi rezolvate în doar câteva rânduri. :)
Această remarcă poate părea inutil de complicată și inaplicabilă în practică. Cu toate acestea, în realitate, puteți întâlni sarcini mult mai complexe decât cele pe care le analizăm astăzi. În ele, modulele pot fi combinate cu polinoame, rădăcini aritmetice, logaritmi etc. Și în astfel de situații, capacitatea de a scădea gradul general al ecuației prin scoaterea a ceva din paranteză poate fi foarte, foarte utilă. :)
Acum aș vrea să analizez o altă ecuație, care la prima vedere poate părea o nebunie. Mulți studenți se „lipesc” de el - chiar și cei care cred că au o bună înțelegere a modulelor.
Cu toate acestea, această ecuație este chiar mai ușor de rezolvat decât ceea ce am considerat mai devreme. Și dacă înțelegeți de ce, veți obține un alt truc pentru rezolvarea rapidă a ecuațiilor cu module.
Deci ecuația este:
\[\stanga| x-((x)^(3)) \dreapta|+\stânga| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]
Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar: este un plus între module. Și trebuie să aflăm pentru care $x$ suma a două module este egală cu zero. :)
Care este problema? Și problema este că fiecare modul este un număr pozitiv sau, în cazuri extreme, zero. Ce se întâmplă când adunăm două numere pozitive? Evident, din nou un număr pozitiv:
\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]
Ultima linie vă poate da o idee: singurul caz în care suma modulelor este zero este dacă fiecare modul este egal cu zero:
\[\stanga| x-((x)^(3)) \dreapta|+\stânga| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]
Când este modulul egal cu zero? Doar într-un caz - când expresia submodulului este egală cu zero:
\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]
Astfel, avem trei puncte la care primul modul este setat la zero: 0, 1 și −1; precum și două puncte în care al doilea modul este pus la zero: −2 și 1. Totuși, avem nevoie ca ambele module să fie puse la zero în același timp, așa că dintre numerele găsite, trebuie să le alegem pe cele care sunt incluse în ambele mulțimi. Evident, există un singur astfel de număr: $x=1$ - acesta va fi răspunsul final.
metoda de divizare
Ei bine, am acoperit deja o grămadă de sarcini și am învățat o mulțime de trucuri. Crezi că asta este? Dar nu! Acum vom lua în considerare tehnica finală - și, în același timp, cea mai importantă. Vom vorbi despre împărțirea ecuațiilor cu un modul. Ce se va discuta? Să ne întoarcem puțin și să luăm în considerare o ecuație simplă. De exemplu, aceasta:
\[\stanga| 3x-5\right|=5-3x\]
În principiu, știm deja cum să rezolvăm o astfel de ecuație, deoarece este un $\left| standard f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Dar să încercăm să privim această ecuație dintr-un unghi ușor diferit. Mai precis, luați în considerare expresia de sub semnul modulului. Permiteți-mi să vă reamintesc că modulul oricărui număr poate fi egal cu numărul în sine sau poate fi opus acestui număr:
\[\stanga| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]
De fapt, această ambiguitate este întreaga problemă: deoarece numărul de sub modul se modifică (depinde de variabilă), nu ne este clar dacă este pozitiv sau negativ.
Dar ce se întâmplă dacă inițial solicităm ca acest număr să fie pozitiv? De exemplu, să cerem că $3x-5 \gt 0$ - în acest caz, suntem garantați să obținem un număr pozitiv sub semnul modulului și putem scăpa complet de acest modul:
Astfel, ecuația noastră se va transforma într-una liniară, care se rezolvă ușor:
Adevărat, toate aceste considerații au sens numai în condiția $3x-5 \gt 0$ - noi înșine am introdus această cerință pentru a dezvălui fără ambiguitate modulul. Deci, să înlocuim $x=\frac(5)(3)$ găsit în această condiție și să verificăm:
Se pare că pentru valoarea specificată de $x$, cerința noastră nu este îndeplinită, deoarece expresia sa dovedit a fi egală cu zero și trebuie să fie strict mai mare decât zero. Trist. :(
Dar este în regulă! La urma urmei, există o altă opțiune $3x-5 \lt 0$. Mai mult: există și cazul $3x-5=0$ - trebuie luat în considerare și acest lucru, altfel soluția va fi incompletă. Deci, luați în considerare cazul $3x-5 \lt 0$:
Este evident că modulul se va deschide cu semnul minus. Dar atunci apare o situație ciudată: aceeași expresie va ieși atât în stânga, cât și în dreapta în ecuația originală:
Mă întreb pentru ce astfel de $x$ va fi expresia $5-3x$ egală cu expresia $5-3x$? Din astfel de ecuații, chiar și Căpitanul s-ar îneca evident cu salivă, dar știm că această ecuație este o identitate, adică. este valabil pentru orice valoare a variabilei!
Și asta înseamnă că orice $x$ ne va potrivi. Cu toate acestea, avem o limitare:
Cu alte cuvinte, răspunsul nu este unul număr separat, și întregul interval:
În cele din urmă, mai rămâne un caz de luat în considerare: $3x-5=0$. Totul este simplu aici: va fi zero sub modul, iar modulul lui zero este, de asemenea, egal cu zero (acest lucru decurge direct din definiție):
Dar apoi ecuația originală $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ va fi rescris astfel:
Am obținut deja această rădăcină mai sus când am luat în considerare cazul $3x-5 \gt 0$. Mai mult, această rădăcină este o soluție a ecuației $3x-5=0$ - aceasta este restricția pe care noi înșine am introdus-o pentru a anula modulul. :)
Astfel, pe lângă interval, vom fi mulțumiți și de numărul care se află la sfârșitul acestui interval:
Combinarea rădăcinilor în ecuații cu modul Răspuns final total: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Nu este foarte obișnuit să vezi o astfel de prostie în răspunsul la o ecuație destul de simplă (în esență liniară) cu modul Ei bine, obișnuiește-te cu asta: complexitatea modulului constă în faptul că răspunsurile în astfel de ecuații se pot dovedi a fi complet imprevizibile.
Mult mai important este altceva: tocmai am demontat un algoritm universal pentru rezolvarea unei ecuații cu un modul! Și acest algoritm constă din următorii pași:
- Echivalați fiecare modul din ecuație cu zero. Să obținem câteva ecuații;
- Rezolvați toate aceste ecuații și marcați rădăcinile pe dreapta numerică. Drept urmare, linia dreaptă va fi împărțită în mai multe intervale, pe fiecare dintre acestea toate modulele sunt extinse în mod unic;
- Rezolvați ecuația inițială pentru fiecare interval și combinați răspunsurile.
Asta e tot! Rămâne o singură întrebare: ce să faci cu rădăcinile în sine, obținute la primul pas? Să presupunem că avem două rădăcini: $x=1$ și $x=5$. Ei vor sparge linia numerică în 3 bucăți:
Împărțirea unei linii numerice în intervale folosind puncte Deci care sunt intervalele? Este clar că sunt trei dintre ele:
- Cel mai din stânga: $x \lt 1$ - unitatea în sine nu este inclusă în interval;
- Central: $1\le x \lt 5$ - aici unul este inclus în interval, dar cinci nu este inclus;
- Cea din dreapta: $x\ge 5$ — cele cinci sunt incluse doar aici!
Cred că ai înțeles deja modelul. Fiecare interval include capătul din stânga și nu include capătul din dreapta.
La prima vedere, o astfel de înregistrare poate părea incomodă, ilogică și, în general, un fel de nebunească. Dar credeți-mă: după puțină practică, veți descoperi că această abordare este cea mai fiabilă și, în același timp, nu interferează cu dezvăluirea fără ambiguitate a modulelor. Este mai bine să folosiți o astfel de schemă decât să vă gândiți de fiecare dată: dați capătul din stânga/dreapta intervalului curent sau „aruncați-l” celui următor.
Un rol important în dezvoltarea gândirii matematice îl joacă studiul temei „Rezolvarea ecuațiilor care conțin o necunoscută sub semnul modulului” În același timp, studiul acestei teme în curiculumul scolar nu i se acordă suficientă atenție. Interesul nostru pentru subiect se explică prin faptul că ecuațiile cu un modul sunt oferite la examenele școlare și examen de admitere la universități (la examenul unificat de stat).
Cuvântul „modul” provine din cuvântul latin „modulus”, care înseamnă „măsură” în traducere. Acesta este un cuvânt cu mai multe valori (omonim) care are multe semnificații și este folosit nu numai în matematică, ci și în arhitectură, fizică, inginerie, programare și alte științe exacte. În arhitectură, aceasta este unitatea inițială de măsură stabilită pentru o anumită structură arhitecturală și utilizată pentru a exprima rapoarte multiple ale elementelor sale constitutive. În inginerie, acesta este un termen folosit în diverse domenii ale tehnologiei care nu are un înțeles universal și servește pentru a desemna diferiți coeficienți și cantități, de exemplu, modulul de angajare, modulul de elasticitate etc. Modulul vrac (în fizică) este raportul dintre efortul normal dintr-un material și alungirea relativă.
1. 1. Definirea modulului. Soluție prin definiție.
Prin definiție, modulul sau valoarea absolută a unui număr nenegativ a este același cu numărul însuși, iar modulul unui număr negativ este egal cu numărul opus, adică a:
Modulul unui număr este întotdeauna nenegativ. Luați în considerare exemple.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația x = 5.
Urmând definirea unui modul, luăm în considerare două cazuri. Pentru x ≥ 0, ecuația ia forma x = 5, iar pentru x 0 și –5
Răspuns: 5; -5.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația -x = -3.
Aici, nu este nevoie să analizăm cazuri, deoarece valoarea absolută a numărului este întotdeauna nenegativă, ceea ce înseamnă că această ecuație nu are soluții.
Scriem soluția acestor ecuații simple în formă generală:
Exemplul 3. Rezolvați ecuația x = 2 - x.
Decizie. Pentru x ≥ 0, avem ecuația x = 2 – x, adică x = 1. Deoarece 1 > 0, x = 1 este rădăcina ecuației inițiale. În al doilea caz (x
Răspuns: x = 1.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația 3x - 3 + x = -1.
Decizie. Aici, împărțirea în cazuri este determinată de semnul expresiei x - 3. Pentru x - 3 ≥ 0, avem 3x - 9 + x = -1 ⇔ x = 2. Dar 2 - 3 0.
Răspuns: Ecuația nu are rădăcini.
Exemplul 5. Rezolvați ecuația x - 1 = 1 - x.
Decizie. Deoarece 1 - x = - (x - 1), rezultă direct din definiția modulului că acele și numai acele x satisfac ecuația pentru care x - 1 ≤ 0. Această ecuație a fost redusă la o inegalitate, iar răspunsul este un întreg interval (rază).
Răspuns: x ≤ 1.
Exemplul 6. Rezolvați ecuația x -3 = 3 - 2x.
Luăm în considerare două cazuri.
Pentru x – 3 ≥ 0, ecuația ia forma x – 3 = 3 – 2x, de unde x = 2. Dar această valoare nu satisface inegalitatea x – 3 ≥ 0, care specifică cazul luat în considerare și, prin urmare, nu este incluse în răspunsul ecuației inițiale.
Răspuns: x = 0.
1. 2. Rezolvarea ecuaţiilor după reguli.
Exemplele analizate mai devreme ne permit să formulăm regulile de exceptare de la semnul modulului în ecuații. Pentru ecuațiile de forma f(x) = g(x), există două astfel de reguli:
Prima regulă: f(x) = g(x) ⇔ (1)
Regula a 2-a: f(x) = g(x) ⇔ (2)
Să explicăm notația folosită aici. Parantezele denotă sisteme, iar parantezele pătrate denotă colecții.
Soluțiile unui sistem de ecuații sunt valorile unei variabile care satisfac simultan toate ecuațiile sistemului.
Soluțiile setului de ecuații sunt toate valorile variabilei, fiecare dintre acestea fiind rădăcina a cel puțin uneia dintre ecuațiile mulțimii.
Două ecuații sunt echivalente dacă orice soluție a fiecăreia dintre ele este și o soluție a celeilalte, cu alte cuvinte, dacă mulțimile soluțiilor lor sunt aceleași.
Dacă ecuația conține mai multe module, atunci puteți scăpa de ele pe rând, folosind regulile de mai sus. Dar, de obicei, există comenzi rapide. Ne vom familiariza cu ele mai târziu, dar acum vom lua în considerare soluția celei mai simple dintre aceste ecuații:
Această echivalență rezultă din faptul evident că, dacă modulele a două numere sunt egale, atunci numerele în sine sunt fie egale, fie opuse.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația x2 - 7x + 11 = x + 1.
Decizie. Să scăpăm de modul în două moduri descrise mai sus:
1 sens: 2 sens:
După cum puteți vedea, în ambele cazuri este necesar să se rezolve aceleași două ecuații pătratice, dar în primul caz sunt însoțite de inegalități pătratice, iar în al doilea - liniare. Prin urmare, a doua metodă pentru această ecuație este mai simplă. Rezolvând ecuații patratice, găsim rădăcinile primei, ambele rădăcini satisfac inegalitatea. Discriminantul celei de-a doua ecuații este negativ, prin urmare, ecuația nu are rădăcini.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația x2 - x - 6 = 2x2 + x - 1.
Decizie. Știm deja că nu este necesar să luăm în considerare (până la 4) variante ale distribuției semnelor expresiilor sub module: această ecuație este echivalentă cu o mulțime de două ecuații pătratice fără inegalități suplimentare: Ceea ce este echivalent cu: Prima ecuația nu are un set de soluții (discriminantul său este negativ), a doua ecuație are două rădăcini.
Iată o modalitate instructivă de a deriva această echivalență, bazată pe faptul că două numere nenegative sunt egale dacă și numai dacă pătratele lor sunt egale și pe identitatea x2 = x2:
a = b ⇔ a2 = b2 ⇔ a2 - b2 = 0 ⇔ (a - b)(a + b) = 0 ⇔ a = b sau a = -b; aici, orice expresii pot fi luate ca a și b, în special, expresii sub semnul modulului în această ecuație.
În toate soluțiile analizate, eliberându-ne de module, am obținut două dintr-o ecuație, după care, într-un fel sau altul, am eliminat rădăcinile străine, dacă există.
A treia modalitate de a scăpa de un modul este înlocuirea unei variabile.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația x2 - 3 x + 2 = 0.
Decizie. Ecuația poate fi scrisă ca x2 – 3x + 2 = 0. Acum facem schimbarea y = x: obținem ecuația y2 – 3y + 2 = 0, de unde y1 = 1, y2 = 2. Ne întoarcem de la y la x : x = 1, x = 2 și notează răspunsul: x = ±1, ±2.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația
Decizie. Deoarece ecuația este echivalentă cu ecuația din care Acum facem înlocuirea y = x: obținem ecuația y2 - 5y + 6 = 0, de unde y1 = 2, y2 = 3. Ne întoarcem de la y la x: x = 2, x = 3 și notează răspunsul: x = ±2, ±3.
Exemplul 5. Rezolvați ecuația:
Decizie. Rețineți că, atunci ecuația va lua forma: Fie, apoi rezolvă ecuația pătratică:. Rădăcinile sale, prima rădăcină satisface condiția. Revenind la variabila x, obținem o ecuație, rezolvând pe care o găsim:
1. 3. Sarcini cu mai multe module. Metode de rezolvare.
Extinderea secvențială a modulelor.
Există două abordări principale pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților care conțin mai multe module. Le puteți numi „serial” și „paralel”. Acum să facem cunoștință cu primul dintre ei.
Ideea lui este că primul dintre module este izolat într-o parte a ecuației (sau inegalității) și dezvăluit printr-una dintre metodele descrise mai devreme. Apoi se repetă același lucru cu fiecare dintre ecuațiile rezultate cu module și așa mai departe până când scăpăm de toate modulele.
Exemplu. Rezolvați ecuația: 1 - 3x + 43 + x = 12.
Decizie. Izolăm cel de-al doilea modul și îl deschidem folosind prima metodă, adică pur și simplu determinând valoarea absolută:
Aplicam a doua metoda de eliberare din modul celor doua ecuatii obtinute:
În cele din urmă, rezolvăm cele patru ecuații liniare rezultate și selectăm acele rădăcini care satisfac inegalitățile corespunzătoare. Ca urmare, rămân doar două valori: x = –1 și.
Raspunsul 1;.
Extinderea paralelă a modulelor.
Puteți elimina toate modulele simultan dintr-o ecuație sau inegalitate și puteți scrie toate combinațiile posibile de semne ale expresiilor submodulului. Dacă există n module în ecuație, atunci vor exista 2n opțiuni, deoarece fiecare dintre cele n expresii de sub modul, la eliminarea modulului, poate obține unul dintre cele două semne - plus sau minus. Practic, trebuie să rezolvăm toate cele 2n ecuații (sau inegalități) eliberate de module. Dar soluțiile lor vor fi și soluții ale problemei inițiale numai dacă se află în zone în care ecuația corespunzătoare (inegalitatea) coincide cu cea inițială. Aceste zone sunt definite prin semne de expresie sub module. Am rezolvat deja următoarea inegalitate, astfel încât să puteți compara diferite abordări ale soluției.
Exemplu. Rezolvați inegalitatea 1 - 3x + 43 + x = 12.
Să luăm în considerare 4 posibile seturi de caractere de expresii sub module.
Doar prima și a treia dintre aceste rădăcini satisfac inegalitățile corespunzătoare și, prin urmare, ecuația originală.
Raspunsul 1;.
În mod similar, puteți rezolva orice problemă cu mai multe module. Dar, ca orice metodă universală, această metodă de soluție este departe de a fi întotdeauna optimă. Mai jos vom vedea cum poate fi îmbunătățit.
1. 4. Metoda intervalelor în probleme cu module
Privind mai îndeaproape condițiile care specifică diferite variante ale distribuției semnelor expresiilor submodulelor din soluția anterioară, vom vedea că una dintre ele, 1 - 3x
Imaginează-ți că rezolvăm o ecuație care are trei module de expresii liniare; de exemplu, x - a + x - b + x - c = m.
Primul modul este x – a pentru x ≥ a și a – x pentru x
Ele formează patru goluri. Pe fiecare dintre ele, fiecare dintre expresiile de sub module își păstrează semnul, prin urmare, ecuația în ansamblu, după extinderea modulelor, are aceeași formă pe fiecare interval. Deci, din 8 variante teoretic posibile pentru deschiderea modulelor, doar 4 s-au dovedit a fi suficiente pentru noi!
De asemenea, puteți rezolva orice problemă cu mai multe module. Și anume, axa numerică este împărțită în intervale de constanță a tuturor expresiilor de sub module, iar apoi pe fiecare dintre ele se rezolvă ecuația sau inegalitatea, în care problema dată se transformă pe acest interval. În special, dacă toate expresiile din module sunt raționale, atunci este suficient să le marchezi rădăcinile pe axă, precum și punctele în care nu sunt definite, adică rădăcinile numitorilor lor. Marcați puncte și setați intervalele necesare de constanță a semnului. În același mod, acționăm atunci când rezolvăm inegalitățile raționale prin metoda intervalelor. Și metoda pe care am descris-o pentru rezolvarea problemelor cu module are același nume.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația.
Decizie. Să găsim zerourile funcției, de unde. Rezolvăm problema pe fiecare interval:
Deci această ecuație nu are soluții.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația.
Decizie. Să găsim zerourile funcției. Rezolvăm problema pe fiecare interval:
1) (fără soluții);
Exemplul 3. Rezolvați ecuația.
2) - rădăcina ecuației;
3) este rădăcina acestei ecuații.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația
Decizie. Expresiile sub semnul valorii absolute dispar la. Prin urmare, trebuie să luăm în considerare trei cazuri:
1) - rădăcina acestei ecuații;
1. 5. Module imbricate
Extinderea secvențială a modulelor este cea mai eficientă în „problemele matrioșca”, unde în interiorul unui modul există altul, sau chiar mai multe.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația:
Decizie. Să scăpăm de modulul extern, obținem A doua ecuație nu are un set de soluții, deoarece modulul este întotdeauna pozitiv, iar prima ecuație este echivalentă cu mulțimea:
Răspuns: 0; 2.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația:.
Decizie. Să scăpăm de modulul extern, obținem. Hai să mai facem asta o dată: Prima ecuație este echivalentă cu mulțimea: A doua ecuație a mulțimii de soluții nu are:.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația:.
Decizie. Să introducem noi variabile, fie, atunci această ecuație este echivalentă cu o ecuație, adică o expresie și un semn. Revenind la variabila x avem: Rezolvând ultima inegalitate prin metoda intervalului, obținem:
Exemplul 4. Rezolvați ecuația:.
Decizie. Să introducem noi variabile, fie, apoi avem ecuația.Făcând substituția inversă, obținem:
Rezolvând ultimul sistem de inegalități prin metoda intervalului, obținem:
1. 6. Metoda intervalului poate fi folosită și pentru a rezolva probleme cu module imbricate. Modulul interior în inegalitatea deja considerată x2 – 3x + 2 – 1 > x – 2 dispare în punctele x1 = 1 și x2 = 2 (rădăcinile ecuației x2 – 3x + 2 = 0). Pentru a găsi zerourile modulului extern, trebuie să rezolvăm o ecuație suplimentară cu modulul:
x2 - 3x + 2 - 1 = 0 ⇔
(În mulțimea a două ecuații pătratice care apare aici, a doua nu are soluții.) Rădăcinile găsite împart axa în 5 intervale, totuși, la unele intervale, inegalitatea după extinderea modulelor ia aceeași formă și din cele patru variante posibile de extindere a modulelor, doar trei sunt realizate. Chiar și fără a finaliza această soluție, vedem că pierde în fața soluției date mai devreme cu ajutorul extinderii secvențiale a modulelor.
Module și pătrate.
Există un simplu și drumul rapid scutire de semnul modulului în ecuațiile (1) de forma f(x) = g(x):
Se bazează pe două considerente evidente. În primul rând, dintre două numere nenegative, cel mai mare este, al cărui pătrat este mai mare, iar dacă pătratele sunt egale, atunci numerele sunt egale: a > b ⇔ a2 > b2; a = b ⇔ a2 = b2. (2)
În al doilea rând, pătratul modulului unui număr este egal cu pătratul numărului însuși: a2 = a2. Prin urmare, (1) admite o astfel de transformare echivalentă:
Rețineți că ecuația a fost redusă la setul de ecuații pe care l-am derivat deja mai devreme. Cu toate acestea, este mai important să ne amintim nu forma acestor agregate, ci ideea soluției.
Aceeași idee poate fi aplicată ecuațiilor sau inegalităților, dintre care o parte este egală cu zero, iar cealaltă parte conține diferența de module ca factor. Într-o astfel de problemă, diferența de module poate fi înlocuită cu diferența de pătrate ale acelorași expresii:
iar această tranziție va fi echivalentă, deoarece, în virtutea (2), ambele diferențe pot fi pozitive, negative sau egale cu zero doar simultan.
Exemplu. Rezolvați ecuația:
Decizie. Punând la pătrat ambele părți ale ecuației, obținem ecuația echivalentă: adică, adică
1. 7. Module de expresii nenegative.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația.
Decizie. Este ușor de ghicit că toate expresiile sub semnul modulelor al doilea, al treilea etc. sunt pozitive. Și deoarece modulul unei expresii pozitive este egal cu această expresie în sine, obținem
Exemplul 2. Rezolvați ecuația.
Decizie. Deoarece partea stângă a ecuației este nenegativă pentru toate valorile admisibile ale variabilei, pe mulțimea rădăcinilor ecuației, partea dreaptă a acesteia trebuie să fie și nenegativă, de unde condiția, pe acest interval, numitorii lui ambele fracții sunt egale și rămâne de rezolvat ecuația. Rezolvând-o și ținând cont de constrângere, obținem x = 1.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația.
Decizie. Folosim identitatea și obținem o ecuație, rezolvând căreia prin metoda intervalelor obținem răspunsul.
2. 1. Grafice ale celor mai simple funcții care conțin semnul modulului
Sub cele mai simple funcții înțelegeți suma algebrică a modulelor expresiilor liniare. Să formulăm o declarație care ne permite să construim grafice ale unor astfel de funcții fără a extinde modulele (ceea ce este deosebit de important atunci când există destul de multe module): „Suma algebrică a modulelor a n expresii liniare este o funcție liniară pe bucăți, al cărui grafic este format din n + 1 segmente rectilinii. Atunci graficul poate fi construit din n + 2 puncte, dintre care n sunt rădăcinile expresiilor intra-modul, altul este un punct arbitrar cu o abscisă mai mică decât cea mai mică dintre aceste rădăcini, iar ultima cu o abscisă mai mare decât cea mai mare dintre rădăcini.
De exemplu:
1) f(x) = x - 1. Calculând funcțiile la punctele 1, 0 și 2, obținem un grafic format din două segmente
2) f (x) \u003d x - 1 + x - 2. Calculând valoarea funcției în punctele cu abscisele 1, 2, 0 și 3, obținem un grafic format din două segmente de dreaptă
3) f(x) = x - 1 + x - 2 + x - 3. Pentru a reprezenta graficul, calculăm valorile funcției la punctele 1, 2, 3, 0 și 4
4) f (x) \u003d x - 1 - x - 2. Graficul diferențelor este construit în mod similar cu graficul sumei, adică pentru punctele 1, 2, 0 și 3.
2. 2. Construirea graficelor ecuaţiilor care conţin semnul valorii absolute.
1 Funcție originală.
2 Partea graficului situată deasupra axei Ox rămâne neschimbată, iar partea graficului situată sub axa absciselor este afișată simetric în sus
3 Partea graficului situată în dreapta axei x rămâne neschimbată și este afișată simetric față de axa y.
4 Partea graficului trasată la rămâne neschimbată, în timp ce se trasează la
5 Construim un grafic, lăsăm partea din grafic situată deasupra axei Ox și afișăm partea din grafic care se află sub axa absciselor simetric în sus.
6 Construim o parte a graficului la, apoi când construim o parte a graficului la.
7 Construim un grafic pentru, apoi construim un grafic al funcției pentru.
8 Construim un grafic al ecuației la, apoi afișăm imaginea rezultată simetric față de axa x.
Exemplul 1. Construiți o mulțime de puncte pe un plan.
Decizie. Construim o diagramă auxiliară. Apoi, și apoi un set.
Exemplul 2. Construiți o mulțime de puncte pe un plan.
Decizie. Să înlocuim această expresie cu un sistem echivalent:
; apoi construim, asemanator ca in exemplul 4, multimile de puncte date de relatiile:
Setul dorit de puncte este prezentat în figură.
Sarcina 1. Construiți singur grafice ale unui set de puncte:
Sarcina 2. Construiți independent grafice ale unui set de puncte: a) ; b) ; în); G) ; e); e); g); h).
și verificați corectitudinea răspunsului din figură.
2. 3. Rezolvarea grafică a ecuaţiilor care conţin semnul valorii absolute.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația
3x + 2 + x2 + 6x + 2 = 0.
Pentru a rezolva grafic ecuația, este necesar să reprezentați grafic funcțiile și. Abcisele punctelor de intersecție ale graficelor de funcții vor da soluții ecuației. Parabola sa intersectat cu graficul funcției în puncte cu coordonatele (-4; 6) și (-1; 3), prin urmare, soluțiile ecuației vor fi abscisele punctelor:.
Răspuns: -4; -unu.
Exemplul 2. Rezolvați o ecuație
4 - x + (x - 1) (x - 3) = 3.
Decizie. Pentru a rezolva grafic ecuația, este necesar să reprezentați grafic funcțiile și.
Parabola s-a intersectat cu graficul funcției în puncte cu coordonatele (1; 0), (2; 1) și (4; 3), prin urmare, soluțiile ecuației vor fi abscisele punctelor:.
Raspunsul 1; 2; 4.
Exemplul 3. Rezolvați grafic ecuația
1 – x - 2x + 3 + x + 4=0
Decizie. Reprezentăm ecuația sub formă
1 - x - 2x + 3 \u003d -x - 4.
Să construim două grafice y \u003d 1 - x - 2x + 3 și y \u003d -x - 4.
Linia întreruptă y \u003d 1 - x - 2x + 3 s-a intersectat cu graficul funcției y \u003d -x - 4 într-un punct cu coordonatele (-4; 0), prin urmare, soluția acestei ecuații va fi abscisa a punctului: x \u003d -4.
Graficul funcției y \u003d - x - 4 coincide cu graficul y \u003d 1 - x - 2x + 3, pentru x ≥ 1,
Prin urmare, toate x ≥1 și x = -4 sunt soluții.
Răspuns: x ≥1, x = -4.
Exemplul 4. Rezolvați grafic ecuația
Pentru a rezolva grafic ecuația, este necesar să reprezentați grafic funcțiile și. Aceste grafice se intersectează în două puncte (-2; -3) și (2; 3), prin urmare, ecuația inițială are două soluții. Răspuns: -2; 2.
Exemplul 5. Rezolvați grafic ecuația
Pentru a rezolva grafic ecuația, este necesar să reprezentați grafic funcțiile și. Aceste grafice se intersectează în două puncte (-2; 0) și (2; 0), prin urmare, ecuația inițială are două soluții.
Răspuns: -2; 2.
Raspunsul 1; 2; 3.
2. 4. Rezolvarea grafică a problemelor cu un parametru și un modul.
La rezolvarea problemelor care conțin un parametru, există probleme care pot fi împărțite condiționat în două clase mari. În primul rând: „pentru fiecare valoare a parametrului, găsiți toate soluțiile unei ecuații sau inegalități”. În al doilea rând: „găsește toate valorile parametrului, pentru fiecare dintre ele ecuațiile sau inegalitățile îndeplinesc anumite condiții”.
Problemele care apar la rezolvarea problemelor cu parametrii împreună cu modulele sunt cauzate atât de complexitatea acestor probleme, cât și de faptul că la școală se acordă puțină atenție unor astfel de probleme. Acest lucru se datorează faptului că soluția unor astfel de probleme este de natură creativă, de cercetare. Foarte des, atunci când rezolvați problemele cu parametrii, este recomandabil să apelați la interpretări vizuale - grafice. În funcție de ce rol este atribuit parametrului în sarcină (egal sau inegal cu variabila), se pot distinge două tehnici grafice principale. Prima este construirea unei imagini grafice pe planul de coordonate, a doua - pe. Pe plan, funcția definește o familie de curbe în funcție de parametrul a, le construim și efectuăm studii care satisfac enunțul problemei. Este clar că fiecare familie are anumite proprietăți caracteristice și ajută la rezolvarea problemei. Desigur, nu toate problemele cu parametrii pot fi rezolvate grafic. Să evidențiem cele mai comune semne care vor ajuta la recunoașterea sarcinilor care sunt potrivite pentru metoda luată în considerare:
➢ problema conține doar un parametru a și o variabilă x,
➢ definesc unele expresii analitice
➢ graficele ecuațiilor sunt construite în sistemul de coordonate (x; a) nu este dificil.
Procesul de soluție în sine arată astfel. Mai întâi, se construiește o imagine grafică, apoi, traversând graficul rezultat cu linii drepte perpendiculare pe axa parametrică, „citim” informațiile necesare.
Exemplul 1. Găsiți toate valorile lui a pentru care ecuația are exact trei rădăcini
Ecuația inițială este echivalentă cu mulțimea, exprimând parametrul a, obținem:.
Graficul acestei colecții este unirea unui colț și a unei parabole. Evident, doar linia intersectează uniunea rezultată în trei puncte.
Exemplul 2. Câte soluții are ecuația în funcție de valorile parametrului a?
Decizie. Rezolvăm această ecuație în același mod ca și precedenta. Este echivalent cu combinația următoarelor două ecuații:
Graficul acestei colecții este unirea unui colț și a unei parabole. Conform figurii, „citim” răspunsul: la, a = 0 și ecuația inițială are două rădăcini, la a = -1 și a = 1, ecuația are trei rădăcini, la și ecuația are patru rădăcini.
Răspuns: dacă, a \u003d 0 și, atunci două rădăcini, dacă a \u003d -1 și a \u003d 1, atunci trei rădăcini, dacă și, atunci patru rădăcini.
concluzie
Materialul prezentat în lucrare extinde orizonturile studenților, completează cunoștințele teoretice și abilitățile practice în rezolvarea ecuațiilor care conțin valoarea absolută a unui număr.
În procesul de lucru la subiectul „Rezolvarea ecuațiilor care conțin o necunoscută sub semnul modulului”:
1. Am studiat literatura de specialitate pe această temă.
2. Ne-am familiarizat cu abordarea algebrică și grafică a rezolvării ecuațiilor care conțin o necunoscută sub semnul modulului.
3. S-a investigat numărul de soluții ale ecuației, în funcție de parametrii incluși în starea acesteia.
4. Am colectat și sistematizat materialul pentru profil curs opțional„Rezolvarea ecuațiilor care conțin o necunoscută sub semnul modulului”.
si a ajuns la concluzia:
1. În unele cazuri, atunci când se rezolvă ecuații cu un modul, este posibil să se rezolve ecuații conform regulilor, iar uneori este mai convenabil să se folosească metoda geometrică de rezolvare, care, din păcate, nu este întotdeauna aplicabilă, din cauza complexitatea imaginii liniilor incluse în starea problemei.
2. La rezolvarea ecuațiilor care conțin un modul și un parametru, metoda grafică este mai vizuală și relativ simplă.
3. Acest subiect oferă mari oportunități de manifestare a abilităților de cercetare și creație în rezolvarea problemelor.
Există încă multe probleme interesante și importante care au o semnificație nu numai teoretică, ci și pur practică. Crearea proiectului „Abordări algebrice și grafice pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților cu un modul” care conține o selecție de sarcini și o prezentare multimedia pentru acestea ar trebui atribuită viitorului.
XXconferința științifică a orașului a tinerilor cercetători „Pași în viitor”
ECUATII CU VARIABILA SUB SEMNUL MODULUI
Khanty-Mansiysk regiune autonomă- Yugra
orașul Surgut
Sharova Anastasia Vladimirovna,
bugetul municipal
instituție educațională
in medie şcoală cuprinzătoare
№ 46 studiu aprofundat
subiecte individuale, nota 9
supraveghetor:
Kuznetsova Elena Borisovna,
profesor de matematică
cea mai înaltă categorie de calificare
2018
CUPRINS
1. Introducere………………………………………………............................. ...................................3
2. Partea principală…………………………………….………................................……. ................... 4
2.1. Termeni și concepte de bază, context………………………………………………………………………………………………………… ....... .. 4
2.2. Metode analitice de rezolvare a ecuațiilor cu module ........................................... ... ..... 4
2.2.1. Interpretarea geometrică a modulului............................................................. ....................... ...............4
2.2.2. Eliminarea unui modul prin definiție ............................................. ............. .............................5
2.2.3. Rezolvarea ecuațiilor cu modul prin metoda pătratului .............................. 6
2.2.4. Metoda intervalului…………………………………………………………………………………………… ................... 6
2.2.5. Utilizarea proprietăților modulului pentru a rezolva ecuații.................................................. 7
2.3. Metoda grafică rezolvarea ecuațiilor cu module……………………………………………………………………………… .opt
2.4. Rezolvarea ecuațiilor cu o variabilă sub semnul modulului ....................................... ........... .......zece
3.Concluzie…………………………………………………………………………………… .............. .......paisprezece
4. Lista referințelor…………………………………………………………………………………………… .... .....................cincisprezece
INTRODUCERE
Relevanța temei alese constă în faptul că este simplă și în același timp complexă în modalități de rezolvare a ecuațiilor cu o variabilă sub semnul modulului, inclusiv caracter de olimpiada și examen. Majoritatea școlarilor stăpânesc una sau două moduri de a rezolva astfel de ecuații, fără a se concentra pe avantajele și dezavantajele fiecăreia dintre ele, în timp ce, poate, există mai multe mod productiv soluții la o anumită ecuație
Un obiectcercetare: Ecuații cu o variabilă.
Lucrucercetare: Ecuații cu o variabilă sub semnul modulului.
Ţintă: A învăța cum să rezolvi ecuații cu o variabilă sub semnul modulului.
Sarcini:
1. Să studieze materiale teoretice și practice pe tema cercetării, folosind literatura de specialitate matematică, internetul;
2. sistematiza modalități de a rezolva ecuații cu module și de a le descrie;
3. Aplicați în practică soluțiile descrise.
Ipoteza cercetării: dacă pentru fiecare metodă este posibil să se formuleze o problemă care este rezolvată cel mai eficient prin această metodă particulară, atunci stăpânirea metodelor de bază pentru rezolvarea ecuațiilor cu o variabilă sub semnul modulului va economisi în mod semnificativ timp pentru rezolvarea altor probleme în timpul unui examen sau rezolvarea unui olimpiada.
Metode de cercetare:
1. Analiza și studiul diverselor surse pe tema de cercetare;
2. Generalizarea și sistematizarea materialului matematic;
3. Selectarea metodelor eficiente de rezolvare a ecuațiilor cu modul.
Semnificația teoretică a studiului: metodele descrise pentru rezolvarea ecuațiilor cu o variabilă sub semnul modulului vor ajuta elevii să facă față sarcinii mai eficient
Semnificația practică a studiului: Lucrarea aparține cercetării aplicate, rezultatele acesteia putând fi folosite în pregătirea pentru olimpiade și OGE.
2. PARTEA PRINCIPALA
2.1 Principal termeni și concepte, fundal
Pe site-ul oficial „Wikipedia” am găsit următoarea definiție a termenului „modulus” - (din modulus- „măsură mică”), un număr nenegativ, a cărui definiție depinde de tipul de număr X. Desemnat: |x|.
În dicționarul lui Ozhegov, conceptul de „modul” înseamnă denumirea unor coeficienți, a unor cantități.
Site-ul „www.cleverstudents.ru” oferă următoarea definiție a conceptului „modulul numărului a” - acesta este fie numărul a însuși, dacă a este un număr pozitiv, fie numărul -a, opusul a, dacă a este un număr negativ sau 0 dacă a =0.
Se crede că acest termen a fost introdus pentru prima dată de matematicianul și filozoful englez Roger Cotes, care, la rândul său, a fost elev al celebrului om de știință Isaac Newton. Grozav fizician german, inventatorul, matematicianul și filozoful Gottfried Leibniz a folosit și funcția de modul în lucrările și scrierile sale, pe care le-a denumit mol x. Cu toate acestea, este deja general acceptat sens contemporan modul, ca valoare absolută, a fost dat înapoi în 1841 de remarcabilul matematician german Karl Weierstrass. La începutul secolului al XIX-lea, oamenii de știință Argan și Cauchy au introdus acest concept pentru numere complexe. Astăzi, deoarece funcția de modul este calculată foarte simplu, a fost inclusă în lista de funcții standard în aproape toate limbajele de programare.
2.2 Analitice modalități de rezolvare a ecuațiilor cu module
Ca material pentru cercetare, am luat educational Trusa de instrumente pentru elevii din clasele 7-11 „Ecuații și inegalități cu module”, autor O. I. Chikunova.
Luați în considerare modalități de a rezolva ecuații cu un modul.
2.2.1 Interpretarea geometrică a modulului.
Cele mai simple ecuații de forma ∣ x - a∣ = b, unde a și b sunt niște numere, sunt ușor de rezolvat folosind reprezentări geometrice. După cum știți, distanța dintre punctele liniei de coordonate este egală cu modulul diferenței de coordonate ale acestor puncte. Prin urmare, problema „rezolvați ecuația ∣ x - a∣ = b, unde b > 0” poate fi formulată diferit: „găsiți coordonatele punctelor situate pe linia de coordonate la o distanță de b unități de punctul cu coordonata a”
Exemplul 1
∣x – 1∣ =4
Căutăm originea: x - 1 \u003d 0, x \u003d 1. Desenăm linia de coordonate x, marchem pe ea originea și distanțele egale cu 4 la stânga și la dreapta:
4 + 4
- 3 1 5 x
x=1-4 sau x=1+4
x=-3 sau x=5
Răspuns: -3;5.
Exemplul 2
∣x +1∣+∣ x – 4∣=5
A M B
-1 x 4 x
Cazul 1∣x+1∣=AM
∣x – 4∣ =MB
∣x +1∣ +∣ x - 4∣ =AM +MB =5 => [-1;4] - soluția ecuației.
Cazul 2
M A B
X -1 4 X
AM +MB > 5 => nicio soluție.
Cazul 3
A B M
-1 4 X X
AM +MB > 5 => nicio soluție.
Răspuns: [-1;4].
2.2.2 Scoaterea modulului prin definiție.
Scopul principal în rezolvarea ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului este acela de a scăpa de modul. Acest lucru se poate face prin definirea modulului. De exemplu, o ecuație a formei | f (X )| = g (X ) este echivalent cu o combinație a două sisteme mixte. Este suficient să rezolvați fiecare dintre ele și să găsiți uniunea soluțiilor obținute.
f ( X )≥0,
|f(x)| = g(x ) < => f(x) = g(x)
f(x)<0,
- f(x) = g(x)
Exemplul 2: |4x+6|=12-10x
Această ecuație este echivalentă cu următorul set de sisteme:
4x+6 ≥ 0, x ≥ - , x≥ - ,
4x +6=12-10x ; 14x=6; x= ;
4x+6 < 0, x<- , X< - ;
4x-6=12-10x; 6x=18; x=3.
Soluția primului sistem este un număr, al doilea sistem nu are soluții. Deci, această ecuație cu o variabilă sub semnul modulului are o singură rădăcină.
Răspuns: .
2.2.3 Rezolvarea ecuațiilor cu modul prin pătrat.
Aplicarea acestei metode se bazează pe următoarea teoremă: Ambele părți ale unei ecuații pot fi la pătrat dacă și numai dacă au același semn. .
f(x) ∙ g(x) ≥ 0,
f(x) = g(x) f ² (x)=g ² (X)
Această teoremă poate fi concretizată pentru rezolvarea unor tipuri de ecuații cu un modul, dacă ținem cont de proprietățile modulului: | A | ≥ 0 , |A |² = a ².
| f ( X ) | = | g ( X )| f 2 ( X ) = g 2 ( X )
g ( X ) ≥ 0,
| f ( X )| = g ( X ) f ² ( X )= g ² ( X )
Exemplul 3 [ 9, p.17] : | 2-3x | - |5-2x |=0
|2-3x |=|5-2x |
(2-3x) 2 \u003d (5-2x) 2
4-12x +9x 2 =25-20x +4x 2
5x 2 +8x -21=0
D=64+420=484 (=22)
X 1, 2 =
X 1=-3; x 2 \u003d 1, 4.
Răspuns: -3; 1,4.
2.2.4 Metoda intervalelor.
Esența acestei metode este descrisă de următoarea secvență de acțiuni:
1. Echivalați cu zero expresiile de sub semnul fiecărui modul și găsiți „punctele de rupere”. Aceste puncte împart linia numerică în intervale, pe fiecare dintre ele expresiile submodulului păstrând un semn constant;
2. Extindeți toate modulele pe fiecare interval și găsiți rădăcinile ecuației rezultate fără module din intervalul corespunzător.
3. Combinăm toate soluțiile obținute și notăm răspunsul.
Exemplul 4 : |x + 3| + |5 -2x| = 2 -3x
Decizie: 1. Găsiți „punctele de rupere”: X + 3 = 0 5 - 2 X = 0
x = -3; X = 2,5
2. | X+ 3| = - x - 3 | X+3| = X+3 | X+3| = X+3
|5- 2x - 2x |5-2 X| = 5-2 X |5 – 2 X| = -5+2 X
X - 3 + 5 - 2x=2 - 3x X+3+5 - 2 X = 2 – 3 XX+3–5+2 X = 2–3 X
3x + 2 = 2 - 3x - X+8 = 2 – 3 X 3 X–2 = 2–3 X
0 = 0 - corect 2 X = -6 6 X = 4
egalitate numerică,X = -3 X =
prin urmare,
rezolvarea ecuației
este ceva
numar real
3. Combină mulțimile rezultate: (– ∞;–3]
Răspuns: (– ∞; –3]
Cometariu.„Punctele de rupere” sunt de obicei atașate intervalului în care expresia submodulului corespunzătoare este pozitivă.
2.2.5 Utilizarea proprietăților modulelor pentru a rezolva ecuații.
Proprietățile modulului:
| A |≥0
Exemplu: |3| ≥ 0
|3| = 3
3> 0
| A | = |- A |
Exemplu:|5| = |-5| deoarece |5| = 5 și |-5| = 5
|a| + |b| = a + b , dacăa≥0șib≥0
Exemplu: |3| + |2| = 3 + 2 = 5
3>0 și 2>0
| A | ∙ | b | = |ab|
Exemplu: |2| ∙ |4| = |2 ∙ 4| = |8| = 8
|a + b|≤|a| + |b|
Exemplu: |1+3| ≤ |1| + |3|
|4| ≤ 1 + 3
4 ≤ 4 este adevărat deoarece 4 = 4
| A + b | = | A | + | b | dacă și numai dacăab ≥ 0
Exemplu: |1+5| = |1| + |5|
|6| = 1 +5
6 = 6
|a – b| ≤ |a| + |b|
Exemplu: |5 – 3| ≤ |5| + |3|
|2| ≤ 5 + 3
2 ≤ 8 este adevărat, deoarece 2< 8
| A – b | ≥0 dacă și numai dacă a 2 – b 2 ≥ 0
Exemplu: |7| - |4| ≥ |7| + |4|
7 – 4 ≥ 7 + 4 7 2 - 4 2 ≥ 0
3 ≥ 11 - adevărat 12 ≥ 0
|a | 2 = a 2
Exemplu: |2| 2 = 2 2
(2) 2 = 2 2
4 - adevărat
2.3 Metoda grafica de rezolvare a ecuatiilor cu module
Luați în considerare regulile de construire a graficelor funcțiilor care conțin semnul modulului.
Regula 1
Funcţie:y =| f ( X )|.
y = f ( X ).
Construim un grafic al funcțieiy = f ( X );
Partea graficului situată deasupra axei OX este lăsată neschimbată;
Partea graficului situată sub axa OX este reflectată simetric față de axa OX.
Regula 2
Funcţie: y = f (| X |).
Regula de transformare a graficului funcțieiy = f ( X ).
Construim un grafic al funcțieiy = f ( X );
Partea graficului situată în semiplanul stâng este aruncată;
Partea graficului situată în semiplanul drept este reflectată simetric în jurul axeiOY.
Ilustrație grafică a regulii:
Exemplu : |2x-5|=x-1
Într-un sistem de coordonate, construim grafice ale funcțiilor
y=|2x-5 | și y = x-1
y=2x-5
Graficul funcției y =|2x -5| obținem conform regulii 1.
y= x-1
Aflați abscisele punctelorintersecții ale graficelor x≈ 2, x≈ 4;
Să verificăm acuratețea soluțiilor găsite prin înlocuire
|2∙ 2-5| = 2-1, |-1|=1 este adevărată, prin urmare 2 este rădăcina ecuației.
|4∙ 2-5| = 4-1, |-3|=3 este adevărată, prin urmare, 4 este rădăcina ecuației.
Răspuns: 2;4.
2.4 Rezolvarea ecuațiilor cu o variabilă sub semnul modulului
№ 1. Rezolvați ecuația: = | X-2|
Decizie. La fel de X² = | X| ² , apoi =| X-2|;
=| X-2|;Deoarece |3 X- 4|+(| X| - 6 ) ² ≥ 0 și | X- 2|≥ 0, atunci X- 5 >0 sau X> 5 ⇒ |3 X- 4|=3 X- 4, | X|= X, | X- 2|= X- 2 = X-2; =X-2; =X-2;
; ;
Răspuns: x = 11.
Această ecuație ar putea fi rezolvată prin eliminarea modulului prin definiție, dar aceasta ar trebui să rezolve șapte ecuații; dacă se rezolvă prin metoda intervalului, atunci există patru ecuații, adică atingerea obiectivului ar fi împinsă înapoi. Astfel, folosind proprietățile modulului |a| 2 = a2 și |a|≥0, însoțită de aplicarea formulei diferenței pătrate și raționamentul ulterioar privind eliminarea modulelor, ne-a permis să trecem nestandard și foarte eficient la o ecuație fracțional-rațională, iar apoi la una liniară.
№ 2. Rezolvați sistemul de ecuații:
Decizie. Din prima ecuație a sistemului obținemy = | X-2 y+1|+3. Pentru că | X-2 y+1| ≥ 0, atunci y≥ 3. Prin urmare, | y| = y, | y - 2| = y- 2 și a doua ecuație a sistemului ia formay + y -2 + (y- 4)² \u003d 5, 2y - 2 + y 2 - 8y + 16 \u003d 5, y² - 6 y+ 9 = 0 sau ( y-3)²=0.
De aici ajungem y=3. Dacă înlocuim valoareay=3 în prima ecuație a sistemului, apoi 3 - |X– 6 + 1| = 3, 3 - | x - 5 | = 3, | x - 5 | = 0 sauX=5.
Răspuns: X=5, y=3.
Cu o soluție standard, mai întâi, prin metoda intervalelor, este necesar să se rezolve a doua ecuație a sistemului, iar acestea sunt trei intervale, adică trei sisteme mixte, apoi înlocuiți valoarea găsită a lui y în prima ecuație, și din moment ce are și un modul, prin definiție, două sisteme mixte - un drum foarte lung până la obiectiv. Prin urmare, proprietățile selectate ale modulului au făcut posibilă obținerea rezultatului mult mai rapid, ceea ce economisește timpul de soluție.
№ 3. Rezolvați ecuația: X² - 4| X+1| - 41=0 ecuația este echivalentă cu combinația a două sisteme:
X² - 4| X+1|-41=0 sau X² + 4| X+1|-41=0,
X+1 ≥ 0,
X² - 4 X – 4 -41=0,
X≥ -1
X² -4 X – 45= 0
x 1,2 = 2 +
X1 = 9; X2 = -5 - rădăcină străină
X+1≤0,
X² +4 X+ 4 -41=0
x≤ - 1
X² +4 X – 37=0
x 1,2 = - 2 +
X 1 = -2-; X 2 = -2 + – rădăcină străină
Răspuns: 9; -2- .
Dacă izolăm modulul în această ecuație și apoi îl eliminăm prin pătratul ambelor părți, atunci obținem o ecuație de gradul al patrulea, care are o soluție foarte greoaie, iar aceasta nu este rațională.
№ 4. Rezolvați ecuația:
|2 X-1|=| X-1|
Decizie: Această ecuație cu două module poate fi rezolvată prin metoda intervalului, dar metoda punerii la pătrat a ambelor părți ale ecuației conduce cel mai rapid, ținând cont de faptul că |f(X)|²=( f(X))².
|2 X-1|=| X-1| <=> |2 X-1|²+| X-1|²<=> (2 X-1)²=( X-1)²<=> 4 X²-4 X+1= X²-2 X+1 <=> 3 X²-2 X=0 <=>
X (3 X-2)=0 <=> X1 =0, X2 .
Răspuns: 0; .
№ 5. Rezolvați ecuația:
Decizie: Această ecuație cu două module poate fi rezolvată prin metoda intervalului, dar o modalitate mai rațională de a o rezolva ar fi pătrarea ambelor părți ale ecuației, ținând cont de faptul că |f(X)|²=( f(X))².
<=>=3²<=>= ±3<=><=><=>
Răspuns: -5,5; -1,75 .
№ 6. Rezolvați ecuația:
|5 X-6|=|6-5 X|
Decizie: Ecuația inițială cu două module poate fi rezolvată prin pătrarea ambelor părți ale ecuației, dar pentru această ecuație, modalitatea rațională de a o rezolva este utilizarea proprietății module |A|=|- A|, pentru orice a.
|5 X - 6| = |6 - 5 X|<=>|5 X - 6| = |- 6 + 5 X|<=>|5 X - 6| = |5 X - 6|<=> (5 X - 6) = 5 X - 6 =>
|5 X - 6| = |6 - 5 X|<=><=>
Răspuns: .
№ 7. Rezolvați ecuația.
|7 X - 3| = 2 - 7 X
Decizie: Rezolvăm ecuația eliminând modulul prin definiție
7 X-3 ≥ 0, x ≥ , x ≥ ,
7 X-3 =2-7x; 14x=5; x = ;
7 X-3 < 0, x<,
-7 X+3 =2-7x; 0 = -1; - egalitate numerică incorectă =>
Răspuns:.
№ 8. Rezolvați ecuația [Surgut, clasa a VIII-a, SHEVOSH, 2014-2015]:
Decizie. În cazul în care unX> 1, atunciX – 2 = 1 => X = 3.
În cazul în care unX < 1, то X – 2 = -1 => X= 1, dar numitorul se va transforma la 0 =>X ≠ 1.
Răspuns: 3.
№ 9. Rezolvați ecuația [Surgut, clasa a VII-a, SHEVOSH, 2016-2017]:
|| X-674|-1| = 4 | X - 674| - 1 = 4, | X – 674| = 5
| X – 674| - 1 = -4, | X– 674| = -3, - această ecuație nu are rădăcini.
Rezolvăm ecuația |x - 674| \u003d 5 x - 674 \u003d 5, x \u003d 679,
X - 674 = -5, x = 669.
Răspuns: 679; 669.
Concluzie: În ciuda faptului că pentru fiecare dintre aceste ecuații există o metodă de soluție standard, puteți alege una mai rațională, adică alegeți o soluție individuală, ceea ce economisește semnificativ timpul de finalizare a sarcinii.
3. CONCLUZIE
Deci, studiul descrie metode analitice de rezolvare a ecuațiilor cu o variabilă sub semnul modulului: folosind interpretarea geometrică a modulului; îndepărtarea modulului prin definiție; metoda de pătrare; metoda intervalului; proprietățile modulelor pentru rezolvarea ecuațiilor; se ia în considerare o metodă de rezolvare grafică. Toate metodele descrise sunt însoțite de ecuații rezolvate.
Ipoteza propusă este confirmată prin rezolvarea a nouă ecuații cu o variabilă sub semnul modulului cu justificarea alegerii unei metode de soluție mai rațională și chiar non-standard. Astfel, în ciuda faptului că pentru fiecare dintre ecuații există o metodă de soluție standard, este posibil să alegeți una mai rațională, adică să alegeți o soluție individuală, ceea ce economisește semnificativ timp pentru finalizarea sarcinii.
Scopul și obiectivele au fost atinse.Lucrarea aparține cercetării aplicate, rezultatele acesteia putând fi folosite în pregătirea pentru olimpiade și OGE.
4. REFERINȚE
Wikipedia, enciclopedia gratuită.https://ru.wikipedia.org/wiki/Modul (accesat 01.02.2017);
Golubev, V.I. Valoarea absolută a numărului la concursurile de matematică (pe baza materialelor principalelor universități din țară) // Kvantor. -1991.- Nr 8. - p.3-87;
matematică accesibilă. [ Resursa electronica] - Mod de acces:http://www.cleverstudents.ru/modulus/modulus_of_number.html (accesat 10.02.2017);
UTILIZARE. Matematică: pregătire pas cu pas / A.N. Roganin, I.V. Lysikova, Yu.A. Zakhariychenko, L.I. Zaharicenko. -M.: Eksmo, 2017. - 320s.;
Makarychev, Yu.N. Algebră. Clasa a 9-a: manual pentru școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov. - M.: Mnemosyne, 2008. - 447 p.;
Matematică: Algebră. Modul.[Resursă electronică] - Mod de acces:http:// www.13 min. ro/ video- uroki/ matematică- algebră- modul/ Istoricul modulului (accesat 17.03.2017);
Matematică și fizică.[Resursă electronică] - Mod de acces:https://educon.by/index.php/materials/math/moduli (accesat 20.03.2017);
Suprun, V. P. Matematică pentru elevii de liceu: Metode nestandardizate de rezolvare a problemelor. M.: Casa de carte „LIBROKOM”, 2009. - 272 p.;
Chikunova, O.I. Ecuații și inegalități cu module: suport didactic pentru elevii din clasele 7-11. - Shadrinsk: Casa de tipografie Shadrinsky, 2001. - 48 p.;
Numărul modulului și proprietățile modulului. [Resursă electronică] - Mod de acces: (accesat 17.12.2017).
Introducere……………………………………………………………. 3
I. Graficul unei funcții pătratice care conține o variabilă
sub semnul valorii absolute
1.1. Definiții și proprietăți de bază………………………… 4
1.2. Trasarea unei funcții cuadratice care conține
variabilă sub semnul modulului………………………… 5
II. Trasarea unei funcții cuadratice care conține
variabilă sub semnul modulului, în program
Microsoft Excel…………………………………………………. 12
Concluzie…………………………………………………. …. cincisprezece
Lista literaturii utilizate………………………………….. 16
Introducere
A trebuit să-mi împart timpul între politică și ecuații. Cu toate acestea, ecuațiile, după părerea mea, sunt mult mai importante, pentru că politica există doar pentru acest moment, iar ecuațiile vor exista pentru totdeauna.
Când ecuațiile „standard” ale liniilor, parabolelor, hiperbolelor includ semnul modulului, graficele lor devin neobișnuite și chiar frumoase. Pentru a învăța cum să construiești astfel de grafice, trebuie să stăpânești tehnicile de construire a figurilor de bază, precum și să cunoști și să înțelegi cu fermitate definiția modulului unui număr. LA curs şcolar matematica grafică cu un modul nu sunt luate în considerare suficient de aprofundat, motiv pentru care am vrut să-mi extind cunoștințele pe această temă, să-mi conduc propriile cercetări.
Scopul lucrării este de a lua în considerare construcția unui grafic al unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul modulului.
Obiect de studiu: graficul unei funcții pătratice.
Subiect de studiu: modificări ale graficului unei funcții pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute.
Sarcini:
1) Studiați literatura de specialitate despre proprietățile unei valori absolute și ale unei funcții pătratice.
2) Investigați modificările în graficul unei funcții pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute.
3) Învățați să trasați ecuații folosind diferite programe de graficare, inclusiv Microsoft Excel.
Metode de cercetare:
1) teoretic (stadiul logic al cunoașterii);
2) empiric (cercetare, experiment);
3) modelare.
Semnificația practică a muncii mele este:
1) în utilizarea cunoștințelor dobândite pe această temă, precum și în aprofundarea și aplicarea acestora la alte funcții și ecuații;
2) în utilizarea deprinderilor muncă de cercetareîn viitor activități de învățare.
I. Graficul unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul valorii absolute
1.1. Definiții și proprietăți de bază.
Funcția este unul dintre cele mai importante concepte matematice. O funcție este o astfel de dependență a variabilei y de variabila x, în care fiecare valoare a variabilei x corespunde unei singure valori a variabilei y.
Modalități de a seta o funcție:
1) metoda analitică (funcția este setată folosind o formulă matematică);
2) metoda tabulară (funcția este specificată cu ajutorul tabelului);
3) metoda descriptivă (funcția este dată de o descriere verbală);
4) metoda grafică (funcția este setată folosind un grafic).
Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valoarea argumentului, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției.
Funcția definită prin formula y=ax2+in+c, unde x și y sunt variabile, iar parametrii a, b și c sunt orice numere reale, iar a 0, se numește pătratică.
Graficul funcției y=ax2+in+c este o parabolă; axa de simetrie a parabolei y \u003d ax2 + bx + c este o linie dreaptă, pentru a> 0 „ramurile” parabolei sunt îndreptate în sus, pentru o<0 – вниз.
Pentru a reprezenta o funcție pătratică, aveți nevoie de:
1) găsiți coordonatele vârfului parabolei și marcați-l în planul de coordonate;
2) mai construiți câteva puncte aparținând parabolei;
3) conectați punctele marcate cu o linie netedă.
Coordonatele vârfului parabolei sunt determinate de formulele:
, .
Valoarea absolută a unui număr pozitiv este numărul pozitiv în sine, valoarea absolută a unui număr negativ este numărul pozitiv opus. Valoarea absolută a lui zero este luată egală cu zero, adică.
.
Proprietăți:
1) Valoarea absolută a sumei numerelor nu este mai mare decât suma valorilor absolute a termenilor săi, adică.
|a+b| |a|+|c|
2) Valoarea absolută a diferenței dintre două numere nu este mai mică decât diferența dintre valorile absolute ale acestor numere, adică.
|a-c| |a|-|c| sau |a-c| |v|-|a|
3) Valoarea absolută a produsului este egală cu produsul valorilor absolute ale factorilor, adică.
|a în|=|a| |in|
4) Valoarea absolută a coeficientului este egală cu câtul din împărțirea valorilor absolute ale dividendului și divizorului, adică.
5) Valoarea absolută a gradului cu un întreg pozitiv este egală cu același grad al valorii absolute a bazei, i.e.
|an|=|a|n.
1.2. Trasarea unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul modulo.
…Informațiile matematice pot fi aplicate cu pricepere și profit numai dacă sunt stăpânite în mod creativ, astfel încât elevul să vadă singur cum ar fi posibil să ajungă la ea în mod independent.
UN. Kolmogorov.
Pentru a construi grafice ale funcțiilor care conțin semnul modulului, ca în rezolvarea ecuațiilor, găsiți mai întâi rădăcinile expresiilor care se află sub semnul modulului. Ca rezultat, axa x este împărțită în intervale. Îndepărtăm semnele modulului, luând fiecare expresie în fiecare interval cu un anumit semn, pe care îl găsim prin metoda intervalului.
În fiecare interval se obține o funcție fără semnul modulului. Construim un grafic al fiecărei funcție în fiecare interval.
În cel mai simplu caz, atunci când o singură expresie se află sub semnul modulului și nu există alți termeni fără semnul modulului, puteți reprezenta graficul funcției omițând semnul modulului și apoi afișați partea din grafic situată în regiunea lui valori negative y în raport cu axa x.
Să arătăm prin exemple câteva tehnici de construire a graficelor de funcții cu module.
Exemplul 1
Mai întâi, construim o parabolă y \u003d x2 - 6x +5. Pentru a obține din acesta graficul funcției y \u003d |x2 - 6x + 5|, trebuie să înlocuiți fiecare punct al parabolei cu o ordonată negativă cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonată opusă (pozitivă). Cu alte cuvinte, partea de parabolă situată sub axa Ox trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de aceasta față de axa Ox (Fig. 1).
Exemplul 2
Se consideră graficul funcției y = |x|2– 6x +5.
Din moment ce |x| este la pătrat, atunci indiferent de semnul numărului x după pătrat va fi pozitiv. Rezultă că graficul funcției y = |x|2 - 6x +5 va fi identic cu graficul funcției y = x2 - 6x +5, adică. graficul unei funcții care nu conține un semn de valoare absolută (Fig. 2). 
Fig.2
Exemplul 3
Se consideră graficul funcției y = x2 – 6|x| +5.
Folosind definiția modulului unui număr, înlocuim formula
y = x2 – 6|x| +5
Acum avem de-a face cu binecunoscuta specificație de dependență pe bucăți. Vom construi un grafic ca acesta:
1) construiți o parabolă y = x2 - 6x + 5 și încercuiți acea parte a acesteia care corespunde valorilor nenegative ale lui x, adică. partea din dreapta axei y.
2) în același plan de coordonate, construim o parabolă y = x2 + 6x + 5 și încercuim acea parte a acesteia care corespunde valorilor negative ale lui x, adică. partea din stânga axei y. Părțile încercuite ale parabolelor formează împreună graficul funcției y = x2 - 6|x| +5 (Fig.3).
Se consideră graficul funcției y = |x|2 - 6|x|+5.
pentru că graficul ecuației y \u003d |x|2 - 6x +5 este același cu graficul funcției fără semnul modulului (luat în considerare în exemplul 2), rezultă că graficul funcției y \u003d |x| 2 - 6|x| +5 este identic cu graficul funcției y = x2 – 6|x| +5, considerat în exemplul 3 (Fig. 3).
Exemplul 5
Pentru a face acest lucru, construim un grafic al funcției y \u003d x2 - 6x. Pentru a obține din acesta graficul funcției y \u003d |x2 - 6x|, trebuie să înlocuiți fiecare punct al parabolei cu o ordonată negativă cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonata opusă (pozitivă). Cu alte cuvinte, partea de parabolă situată sub axa x trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de axa x. pentru că trebuie să trasăm funcția y = |x2 - 6x| +5, atunci graficul funcției pe care l-am considerat y \u003d |x2 - 6x| trebuie doar să ridicați axa y cu 5 unități în sus (Fig. 4). 
Exemplul 6
Să reprezentăm grafic funcția y = x2 - |6x+5|. Pentru a face acest lucru, folosim binecunoscuta funcție pe bucăți. Să găsim zerourile funcției
y = 6x +5
6x + 5 = 0 la.
Luați în considerare două cazuri:
1) Dacă, atunci ecuația va lua forma y \u003d x2 - 6x -5. Să construim această parabolă și să încercuim acea parte a ei unde.
2) Dacă, atunci ecuația ia forma y \u003d x2 + 6x +5. Să construim această parabolă și să încercuim acea parte a ei, care este situată în stânga punctului cu coordonatele (Fig. 5).
Pentru a face acest lucru, vom construi un grafic al funcției y \u003d x2 - 6 | x | +5. Am trasat acest grafic în Exemplul 3. Deoarece funcția noastră este complet sub semnul modulului, pentru a reprezenta graficul funcției y = |x2 - 6|x| +5|, trebuie să înlocuiți fiecare punct al graficului funcției y = x2 - 6|x|+5 cu o ordonată negativă cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonată opusă (pozitivă), adică. partea de parabolă situată sub axa Ox trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de axa Ox (Fig. 6).
Fig.6
Exemplul 8
Se consideră construcția graficelor de forma = f (x).
Având în vedere că în formula = f (x), f (x) , și pe baza definiției modulului =
Să rescriem formula = f (x) sub forma y \u003d f (x), unde f (x) .
Pe baza acesteia, formulăm un algoritm-regula.
Pentru a reprezenta grafice de forma = f (x), este suficient să reprezentați funcția y \u003d f (x) pentru cei x din zona de definiție pentru care f (x) și să reflectați partea rezultată a graficului în mod simetric în jurul abscisa.
Astfel, graficul dependenței \u003d f (x) este format din grafice a două funcții: y \u003d f (x) și y \u003d - f (x).
Să construim un grafic al funcției.
Introducerea ulterioară a cifrelor și formulelor este imposibilă din punct de vedere tehnic
Fig.7
Exemplul 9
Luați în considerare construcția graficelor de formă
Efectuând transformările deja cunoscute ale graficelor, vom construi mai întâi graficul y = │f (x)│, iar apoi mulțimea punctelor ale căror coordonate îndeplinesc condiția
Algoritm de construcție:
1) Construim un grafic al funcției.
2) O parte a graficului este afișată simetric față de axa x.
3) Graficul rezultat este afișat simetric față de axa Ox (Fig. 8).
Fig.8
Constatari:
1. Graficul funcției y \u003d │f (x) │ poate fi obținut din graficul y \u003d f (x), lăsând pe loc acea parte a acesteia, unde f (x) și reflectând simetric cealaltă parte a acesteia despre axa Ox, unde f (x )< 0. Это следует из равенства │ f (x)│=
2. Graficul funcției y = f (│x│) coincide cu graficul funcției y = f (x) pe mulțimea valorilor nenegative ale argumentului și este simetric față de acesta în raport cu Axa Oy pe setul de valori negative ale argumentului.
3. Graficul funcției \u003d f (x) poate fi obținut prin reprezentarea grafică a funcției y \u003d f (x) pentru cei x din zona de definiție pentru care f (x) și reflectând partea rezultată a graficului în mod simetric despre axa x.
4. Un grafic al unei funcții poate fi obținut prin reprezentarea graficului unei funcții
y \u003d f (x) și afișarea simetrică a unei părți a graficului în raport cu axa Ox. Graficul rezultat este afișat simetric față de axa x.
II. Trasarea unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul modulului în Microsoft Excel.
Exemplul 1
Să reprezentăm grafic funcția y = |x2 - 6x +5|.
Exemplul 2
Să reprezentăm grafic funcția y = x2 – 6|x| +5.
Exemplul 3
Să reprezentăm grafic funcția y = |х2 – 6х| +5.
Exemplul 4
Să reprezentăm grafic funcția y = x2 - |6x+5|.
Exemplul 5
Să reprezentăm grafic funcția y = |х2 – 6|х| +5|.
Exemplul 6
Să construim un grafic al funcției.
Exemplul 7
Să construim un grafic al funcției.
Concluzie
Cunoașterea este cunoaștere doar atunci când este dobândită prin eforturile gândirii cuiva, și nu prin memorie.
L. N. Tolstoi.
Considerăm că în această lucrare de cercetare scopul a fost atins, întrucât toate sarcinile au fost rezolvate.
Am luat în considerare construcția unui grafic al unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul modulului și am investigat modificările din graficul unei funcții pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute. S-au însuşit tehnici de construire a graficelor funcţiilor de forma: y = f (│x│), y = │f (x)│, y = │f (│x │)│,
Pentru a scrie această lucrare de cercetare
1) a fost studiată literatura de specialitate privind proprietățile unei valori absolute și ale unei funcții pătratice;
2) a cercetat și analizat modificările în construcția unui grafic al unei funcții pătratice, în care semnul modulului conține diverse variabile;
3) graficele ecuațiilor au fost construite folosind programele de graficare Graph Master v 1.1, Microsoft Excel și altele;
La scrierea lucrării, am folosit literatură educațională, resurse de internet, am lucrat în programe precum Microsoft Word, Paint, Formula Editor, Microsoft Excel.
Tema de cercetare s-a dovedit a fi foarte multifațetă, necesitând abilități complet noi atât la etapa de cercetare, cât și la redactarea și proiectarea lucrării.
Această experiență practică cu programe pentru trasarea graficelor, pentru scrierea formulelor matematice, precum și abilitățile de cercetare dobândite vor fi folosite de noi în activitățile educaționale ulterioare, inclusiv studiul altor funcții și ecuații cu modulul, la trasarea acestor funcții.
Lista literaturii folosite
1.Matematică. Algebră. Funcții. Analiza datelor. Nota 9: M.: Proc. pentru invatamantul general instituții / G. V. Dorofeev, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovici, L. V. Kuznetsova, S. S. Minaeva; Ed. G. V. Dorofeeva. – Ed. a 5-a, stereotip. – M.: Butarda, 2004. – 352 p.: ill.
2. Curs de matematică superioară pentru școlile tehnice. I. F. Suvorov, Moscova - 1967.
3. Matematică. Algebră și funcții elementare. M. I. Abramovici, M. T. Starodubtsev.
4. A.G. Cartea lui Mordkovich pentru profesor. Convorbiri cu profesorii. Moscova - „Onyx secolul 21”, „Lumea și educația”, 2005
5. Curs opțional. Faceți cunoștință cu modulul! Algebră. Clasele 8-9./ Comp. Baukova T.T.-Volgograd: ITD „Coripheus” - 96 p.
Resurse de internet
http://festival.1september.ru/articles/504401/
http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=18
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/45426
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1128423553.html
http://www.sorobr1.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=8&Itemid=41
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvfunc/kvfunct.htm
http://tvsh2004.narod.ru/alg02.html
http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0 %BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F
