METODA FUNCȚIONAL-GRAFICĂ PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR (folosind proprietățile monotonității funcțiilor la rezolvarea ecuațiilor.)

Pe tablă este scrisă o epigrafă

Ce este mai bine?

Comparând trecutul, reduceți-l

cu cel real.

Kozma Prutkov

Etapa 1: actualizarea experienței trecute.

În lecțiile anterioare curs opțional ne-am sistematizat cunoștințele de rezolvare a ecuațiilor și am ajuns la concluzia că ecuațiile de orice fel pot fi rezolvate prin metode generale. Ce metode generale de rezolvare a ecuațiilor am identificat?

(Înlocuirea ecuațieih(f(X))= h(g(X) prin ecuație f(X)= g(X),

factorizare, introducerea unei noi variabile.)

Etapa 2: motivarea introducerii de noi ecuații, a căror rezolvare este asociată cu utilizarea unei metode funcțional-grafice.

În această lecție, vom învăța o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor. Pentru a realiza necesitatea acesteia, vom efectua următoarele lucrări.

Exercițiu. Iată câteva ecuații. Gruparea ecuațiilor prin metode de soluție. Notați numai numerele ecuațiilor din tabel. Puteți lucra pe cont propriu, apoi comparați răspunsurile în perechi sau în grupuri.

Verificarea executiei .

Elevii citesc răspunsurile.

Dintre ecuații, ați întâlnit ecuații pe care nu le puteți rezolva cu metodele pe care le-ați studiat. Multe dintre ele sunt rezolvate grafic. Ideea lui vă este familiară. Amintește-i.

(unu). Convertiți ecuația în formăf(X)= g(X) astfel încât funcțiile cunoscute de noi să fie în partea stângă și dreaptă a ecuației. 2). Într-un sistem de coordonate, construiți grafice ale funcțiilorf(X) și g(X). 3). Aflați abscisele punctelor de intersecție ale graficelor. Acestea vor fi rădăcinile aproximative ale ecuației.)

În unele cazuri, construcția graficelor de funcții poate fi înlocuită cu o referire la o proprietate a funcțiilor (prin urmare, nu vorbim despre o metodă grafică, ci funcțional-grafică de rezolvare a ecuațiilor).

Una dintre proprietăți este proprietatea de monotonitate a funcțiilor. Această proprietate este utilizată la rezolvarea ecuațiilor de formă

Actualizarea cunoștințelor de bază ale elevilor despre proprietățile monotonității funcțiilor

Referindu-ne la epigraful lecției.

Exercițiu. Să ne amintim care dintre funcțiile studiate sunt monotone în domeniul definiției funcției și să numim natura monotonității.

Putere, y=x r, Unde

r- fracționată

r> 0 , crescând

r<0 , in scadere

Rădăcină n-grade de la X

Crescând

Y=arcsin x

Crescând

Y=arccos x

în scădere

Y=arctg x

Crescând

Y=arctg x

în scădere

Y= X 2 n +1 , n-numar natural

Crescând

Restul funcțiilor vor fi monotone pe intervalele domeniului funcției.

Pe lângă informațiile despre monotonitatea funcțiilor elementare, folosim o serie de afirmații pentru a demonstra monotonitatea funcțiilor. (Se vor formula proprietăți similare pentru funcțiile descrescătoare.)

Lucru independent cu materialul prezentat sub formă tipărită.

Dacă funcţia fcrește pe platouX, apoi pentru orice numărc funcţie f+ ccrește de asemenea cuX.

Dacă funcţia fcrește pe platouXși c>0, funcție cfcrește de asemenea cuX.

Dacă funcţia fcrește pe platouX, atunci funcția este feste în scădere pe acest set.

Dacă funcţia fcrește pe platouXși păstrează semnul de pe platouX, apoi funcția 1/ feste în scădere pe acest set.

Dacă funcţiile fși gcreste cu multX, apoi suma lor f+ g

Dacă funcţiile fși gsunt în creștere și nu sunt negative pe platouX, apoi produsul lorf· gcrește și pe acest set.

Dacă funcţia feste în creștere și nenegativ pe platouXși neste un număr natural, apoi funcțiaf n crește de asemenea cuX

Dacă funcţia f crește X, și funcția gcrește pe platouE(f) funcții f, apoi compoziția g° fdintre aceste funcții crește și cuX.

Proprietățile de bază ale compoziției funcțiilor .

Să fie o funcție complexăy= f(g(X)), Unde X € Xeste de așa natură încât funcțiau= g(X),

X € Xeste continuu si strict creste (descreste) pe intervalul X; funcţiey= f(u), u € U, U= g(X) este continuă și este, de asemenea, monotonă (strict crescător sau descrescător) pe intervalU. Apoi funcția complexăy= f(g(X)), X € Xva fi de asemenea continuu si monoton peX, și:

Compoziţie f° gdouă funcţii strict crescătoarefșigva fi, de asemenea, o funcție strict crescătoare,

Compoziţie f° gdouă funcţii strict descrescătoarefșigeste o funcție strict crescătoare,

Compoziţie f° g funcții fșig, dintre care unul (oricare) este strict crescător, iar celălalt este strict descrescător, va fi o funcție strict descrescătoare.

Exercițiu.

Determinați care funcții sunt monotone, stabiliți natura monotonității. Puneți un semn plus lângă numărul corespunzător. Explicați răspunsul (de-a lungul lanțului)

y= √ X+2,

y=8-3 X,

y= Buturuga 2 2 X,

y=2 √ 5- X,

y= cos 2 X,

y= arc sin (X-9),

y=4 X +9 X ,

y=3 √ -2 X +4 ,

y=ln(2 X +5 X ),

10) y= Buturuga 0,2 (-4 X-5),

11) y= Buturuga 2 (2 - X +5 -2 X ),

12) y= √ 6-4 X- X 2

Să folosim proprietățile monotonității funcțiilor în rezolvarea ecuațiilor. Găsiți ecuații din aceeași listă care pot fi rezolvate folosind proprietățile de monotonitate ale funcțiilor.

Rezumând lecția.

Ce metodă de rezolvare a ecuațiilor ați învățat la clasă?

Toate ecuațiile pot fi rezolvate prin această metodă?

Cum să „recunoaștem” metoda în ecuații specifice?

Lista ecuațiilor care pot fi propuse în această lecție.

Partea 1.

Partea 2.

Algebra și începuturile analizei Nota 1011 (A.G. Mordkovich)
Elaborați o lecție despre metoda grafică funcțională de rezolvare
ecuații.
Tema lecției: Metodă grafică funcțională pentru rezolvarea ecuațiilor.
Tipul de lecție: Lecție pentru îmbunătățirea cunoștințelor abilităților și abilităților.
Obiectivele lecției:
Educațional: Sistematizarea, generalizarea, extinderea cunoștințelor, aptitudinilor
elevii asociati cu utilizarea metodei grafice functionale
rezolvarea ecuatiilor. Exersați abilitățile de rezolvare funcțională a ecuațiilor
metoda grafica.
Dezvoltare: Dezvoltarea memoriei, a gândirii logice, a abilităților
analizează, compară, generalizează, trage în mod independent concluzii;
dezvoltarea unui discurs matematic competent.
Educativ: pentru a cultiva acuratețea și acuratețea atunci când performați
sarcini, independență și autocontrol; formarea culturii
munca educațională; pentru a continua formarea interesului cognitiv în
subiect.
Structura lecției:
eu.
AZ
1. Moment organizatoric.


4. Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru următoarea etapă a lecției.
II.
DISTRACŢIE
1. Rezolvarea colectivă a problemelor.
2. Declarație de teme.
3. Munca independentă.
4. Rezumând lecția.

În timpul orelor:
I.AZ
1. Moment organizatoric.
2. munca orală pentru a verifica temele.
Să începem lecția verificând temele.
Numiți răspunsurile într-un lanț.
1358.a) 4x=1/16
4x=42
b)(1/6)x=36
6x=62
x=2 x=2
1364.a)(1/5)x*3x= √ 27

3
5
¿
3
5
¿
)x=
125 b) 5x*2x=0,13
)3/2 10x=103
x=3
x=1,5
1366.a)22x6*2x+8=0
2x=a
a=2, a=4
2x=2, 2x=4
x=1, x=2
1367. b) 2*4x5*2x+2=0
2x=a
2a25a+2=0
a=2, a=1/2
2x=2, 2x=1/2
x=1, x=1
1371.a)5x=x+6 y=5x y=x+6
y
6
5
0
1
X
x=1

Bravo, toată lumea a primit astfel de răspunsuri, sunt întrebări acasă
sarcină? Toată lumea a înțeles bine?
3. Sondaj frontal cu scopul de AZ pe tema.
Cum se numesc ecuațiile pe care le-ați rezolvat la teme?
Demonstrativ.
Ce ecuații se numesc exponențiale?
Ecuațiile exponențiale sunt ecuații de forma af(x)=ag(x), unde a
număr pozitiv altul decât 1 și ecuațiile care se reduc la acesta
minte.
Ce ecuație este echivalentă cu ecuația af(x)=ag(x)?
ecuația af(x)=ag(x) (unde a>0,a ≠1) este echivalentă cu ecuația f(x)=g(x)
Ce metode de bază ați folosit pentru a rezolva ecuații exponențiale?
1) Metoda de egalizare a indicatorilor
2) Metoda de introducere a unei noi variabile
3) Metodă grafică funcțional
4. Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru următoarea etapă a lecției.
Astăzi ne vom concentra pe rezolvarea ecuațiilor folosind
funcţional - metoda grafică.
Cu 10 minute înainte de sfârșitul lecției, vei scrie o mică lucrare independentă.
II.DISTRACERE
1. Rezolvarea colectivă a problemelor.
Care este esența metodei grafice funcționale pentru rezolvarea ecuațiilor? Ce
ar trebui să rezolvăm ecuația în acest fel?
Pentru a rezolva o ecuație de forma f(x)=g(x) prin grafic funcțional
metoda de care ai nevoie:
Construiți grafice ale funcțiilor y=f(x) și y=g(x) într-un sistem de coordonate.
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor acestor funcții.
Scrieți răspunsul.
№1a)3x=x+4

Grafic funcțional.

Să introducem funcții.

y=3x y=x+4
masa.
Cum construim un grafic?
Prin puncte, înlocuim x în funcție și găsim y.
y
4
3

0
1
X

Să găsim punctul de intersecție al celor două grafice rezultate.
Câte puncte de intersecție am obținut, uită-te la poză?
Un punct.
Ce înseamnă? Câte rădăcini are această ecuație?
O rădăcină este 1.
Răspuns: x=1
b)3x/2=0,5x+4
Cum vom rezolva ecuația?
Grafic funcțional.
Care este primul pas în rezolvarea ecuației?
Să introducem funcții.
Ce funcții avem?
y=3x/2 y=0,5x+4
y
4
3
0
2 x
Cum găsim rădăcina ecuației?

Răspuns: x=2
#2 a)2x+1=x3
Cum vom rezolva ecuația?
Grafic funcțional.
Care este primul pas în rezolvarea ecuației?
Să introducem funcții.
Ce funcții avem?
y=2x+1 y=x3

8
0
2 x
Cum găsim rădăcina ecuației?
Găsiți punctul de intersecție al celor două grafice rezultate, rădăcina este 2.
Răspuns: x=2
b) 2x=(x2/2)+2
Cum vom rezolva ecuația?
Grafic funcțional.
Care este primul pas în rezolvarea ecuației?
Să introducem funcții.
Ce funcții avem?
y=2x y=(x2/2)+2
Dacă elevul poate, construiește imediat un grafic, dacă nu, mai întâi întocmește
masa.
y

4
0
2 x
Cum găsim rădăcina ecuației?
Găsiți punctul de intersecție al celor două grafice rezultate, rădăcina este 2.
Răspuns: x=2
2. Deschide-ți agendele, notează-ți temele.
nr. 1372, 1370, 1371 (c, d)
3. Munca independentă.

a) 3x+26x=0 (fără soluții)
b)5x/5+x1=0 (x=0)
Și acum un mic muncă independentă. Să vedem cum ai luat-o
material, ați înțeles cu toții esența metodei grafice funcționale
rezolvarea ecuatiilor.
Nr. 1 Rezolvați ecuația folosind metoda grafică funcțională:
1 opțiune
Opțiunea 2
a) 5x/5=x2 (fără soluții)
b)3x+23=0 (x=1)
Nr. 2 Câte rădăcini are ecuația și în ce interval sunt situate
1 opțiune
a) 3x=x22 (fără soluții) a) 3x=x2+2 ((1,5;1) două rădăcini)
b)3x/2=6x ((3;3,5) două rădăcini) b)2x+x25=0 (2.5;1.5) două rădăcini)
4. Rezumând lecția.
Ce am făcut astăzi în clasă? Ce fel de sarcini ai rezolvat?
Care este metoda de rezolvare ecuații exponențiale l-ai primit azi?
Să repetăm ​​încă o dată care este esența metodei funcțional-grafice de rezolvare
ecuatii?
Explicați pas cu pas cum să rezolvați ecuații folosind această metodă?
Ai întrebări? Este totul clar pentru toată lumea?
Lecția s-a terminat, poți fi liber.
Opțiunea 2

Instituție de învățământ municipală

Școala generală de bază Yuryevskaya

districtul Ostrovsky

Etapa municipală a concursului metodologic regional

Numire

Trusa de instrumente

Subiect

Metodă funcțional-grafică de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților la cursul școlar de algebră de liceu.

Pregătite de:

profesor de matematică

Introducere

Analiza manualelor școlare

Analiza USE

1. Partea teoretică generală

1.1. Metoda grafică

1.2. metoda functionala

2. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților folosind proprietățile incomingului

au functii

2.1. Utilizarea DHS

2.2. Utilizarea funcțiilor limitate

2.3. Folosind monotonitatea funcției

2.4. Utilizarea graficelor de funcții

2.5. Utilizarea proprietăților pare sau impare și periodicitatea funcțiilor .

3. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților

3.1. Rezolvarea ecuațiilor

3.2. Rezolvarea inegalităților

Atelier

Bibliografie

Apendice

Introducere

Tema lucrării mele este „O metodă funcțional-grafică de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților într-un curs școlar de algebră de liceu”. Una dintre temele principale ale cursului de algebră din liceu. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților joacă un rol important în cursul de matematică din liceu. Elevii încep să se familiarizeze cu inegalitățile și ecuațiile din școala elementară.

Conținutul temelor „Ecuații” și „Inegalități” se adâncește și se extinde treptat. Deci, de exemplu, procentul de inegalități din tot materialul studiat în clasa a 7-a este de 20%, în clasa a 8-a - 25%, în clasa a 9-a - 30%, în clasele 10-11 - 35%.

Studiul final al inegalităților și ecuațiilor are loc în cursul de algebră și începutul analizei în clasele 10-11. Unele universități includ ecuații și inegalități în biletele de examen, care sunt adesea foarte complexe și necesită abordări diferite pentru rezolvare. Una dintre cele mai dificile secțiuni din școală curs şcolar Matematica este luată în considerare doar în câteva clase opționale.

Accentul acestei lucrări este de a oferi o dezvăluire mai completă a aplicării metodei funcțional-grafice la soluția ecuațiilor și inegalităților în liceu curs de algebră.

Relevanța acestei lucrări este că acest subiect este inclus în examen.

Pregătind această lucrare, mi-am propus să iau în considerare cât mai multe tipuri de ecuații și inegalități, rezolvate prin metoda funcțional-grafică. De asemenea, pentru a studia mai profund acest subiect, identificând cea mai rațională soluție care duce rapid la un răspuns.

Obiectul cercetării îl constituie algebra clasele 10-11 sub redacția și variantele examenului.

În această lucrare sunt luate în considerare tipuri de ecuații și inegalități frecvent întâlnite, sper că cunoștințele pe care le-am dobândit în procesul de muncă vor ajuta la promovarea examenelor școlare și la intrarea la universitate. Poate servi si ghid metodologic pentru a pregăti elevii pentru examen.

Analiza manualelor școlare

LA literatura metodică toate metodele pe care se bazează linia școlară de ecuații și inegalități din clasele a 7-a la a 11-a sunt împărțite în trei grupe:

ü metoda factorizării;

metoda introducerii de noi variabile;

ü metoda functional-grafica.

Luați în considerare a treia metodă, și anume, utilizarea graficelor de funcții și a diferitelor proprietăți ale funcțiilor.

Scolarii trebuie invatati sa foloseasca metoda functional-grafica inca de la inceputul studierii temei „Ecuatii”.

Rezolvarea unor probleme se poate baza pe proprietățile de monotonitate, periodicitate, uniformitate sau ciudat etc. ale funcțiilor incluse în acestea.

După analiza manualelor, putem concluziona că această temă este luată în considerare numai în manualele de matematică ale noii generații,,, Construirea cursului în aceste manuale se realizează pe baza priorității liniei funcțional-grafice. În alte manuale, metoda funcțional-grafică pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților nu este evidențiată ca un subiect separat. Utilizarea proprietăților funcției pentru rezolvarea problemelor este menționată în treacăt în alte subiecte. Noile manuale conțin și un număr suficient de sarcini de acest tip. Manualul conține sarcini nivel avansat. Este dat cel mai complet sistem de sarcini, sistematizat pentru fiecare proprietate a funcției.

Manual	„Algebra și începuturile analizei 10-11”, un manual pentru instituțiile de învățământ,	, „Algebra și începutul analizei 11”, un manual pentru instituțiile de învățământ ( nivel de profil)		şi alţii.„Algebra şi începutul analizei 11”, un manual pentru instituţiile de învăţământ	şi altele.„Algebra şi începutul analizei 10-11”, manual pentru instituţiile de învăţământ
Pune la cunoștință	Capitolul 8 „Ecuații și inegalități. Sisteme de ecuații și inegalități” (ultimul subiect al cursului)	Capitolul 6 „Ecuații și inegalități. Sisteme de ecuații și inegalități” (ultimul subiect al cursului)	Capitolul II „Ecuații, inegalități, sisteme”	Nu există un subiect separat. Dar la subiectul „Decizie ecuații trigonometriceși inegalități” se formulează o teoremă a rădăcinii, care este folosită în continuarea studiului	Niciun subiect dedicat
	§ §56 Metode generale rezolvarea ecuațiilor și inegalităților (, metoda funcțional-grafică: teorema rădăcinii, mărginirea unei funcții)	§ §27 Metode generale de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților (, metoda funcțional-grafică: teorema rădăcinii, mărginirea funcției)	§ Ecuaţii (inegalităţi) de formă ; § §12*Metode nestandardizate de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților (utilizarea domeniilor de existență a funcțiilor, non-negativitatea funcțiilor, mărginirea, utilizarea proprietăților sin și cos, utilizarea derivatei)	Proprietatea monotonității unei funcții, par-impar (când se derivă formule pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice)	Proprietatea monotonității este menționată la analizarea unui exemplu din subiectul „Funcție exponențială”
Exemple de ecuații și inegalități considerate	(;		Rezolvați ecuația. Câte rădăcini aparținând acestui interval are ecuația?	rezolva ecuația

Analiza USE (texte și rezultate)

Examenul de stat unificat ca formă de atestare care a fost pusă în practică Învățământul rusescîn 2002, din 2009 a trecut de la modul experimental la modul normal.

Analiză UTILIZAȚI texte a arătat că sarcinile în soluția cărora sunt utilizate proprietățile funcțiilor apar în fiecare an.

În 2003, în sarcinile A9 și C2, la rezolvare, puteți aplica proprietățile funcțiilor:

A9. Specificați intervalul căruia îi aparțin rădăcinile ecuației .

C2. Găsiți toate valorile p, pentru care ecuația nu are rădăcini.

· În 2004 – sarcina В2. Câte rădăcini are ecuația .

În 2005, sarcina C2 (rezolvarea ecuației ) au fost finalizate de 37% dintre elevi.

În 2007, la finalizarea sarcinii „Rezolvarea ecuației” din partea B, absolvenții au luat în considerare două cazuri la rezolvarea ecuației, dezvăluind în mod obișnuit semnul modulului..gif" width="81" height="24"> ia doar pozitiv valorile.

Chiar și studenții bine pregătiți îndeplinesc adesea sarcini folosind metode de soluție „șablon” care duc la transformări și calcule greoaie.

Evident, la îndeplinirea sarcinilor de mai sus, un absolvent bine pregătit trebuia să demonstreze nu numai cunoașterea metodelor cunoscute de rezolvare a ecuațiilor sau transformarea expresiilor, ci și capacitatea de a analiza starea, de a corela datele și cerințele sarcinii, de a deriva diverse consecințe din condiția etc., adică arată un anumit nivel de dezvoltare a gândirii matematice.

Astfel, atunci când se preda elevilor performanti, este necesar nu numai să se aibă grijă de stăpânirea componentei de bază a cursului de algebră și de începuturile analizei (stăpânirea regulilor, formulelor, metodelor învățate), ci și de implementarea uneia dintre obiectivele principale ale predării matematicii - dezvoltarea gândirii elevilor, în special gândirea matematică. Pentru a atinge acest obiectiv, pot servi cursuri opționale.

Într-adevăr, studenții instituțiilor de învățământ se familiarizează în mod tradițional cu metoda grafică de rezolvare a ecuațiilor, inegalităților și a sistemelor acestora atunci când studiază matematica. Cu toate acestea, în anul trecutîn conţinutul predării matematicii apar noi clase de ecuaţii (inegalităţi) şi noi metode funcţionale de rezolvare a acestora. Cu toate acestea, conținute în materialele de control și măsurare ale unificatului examen de stat Sarcinile (UTILIZARE) (așa-numitele ecuații combinate), ale căror soluții necesită utilizarea doar a metodei funcțional-grafice, provoacă dificultăți elevilor.

1. Partea teoretică generală

Fie X și Y două mulțimi numerice arbitrare. Elementele acestor multimi se vor nota x si respectiv y si se vor numi variabile.

Definiție. O funcție numerică definită pe mulțimea X și luând valori în mulțimea Y ​​este o corespondență (regulă, lege), care se mapează la fiecare x din mulțimea X una și o singură valoare y din mulțimea Y.

Variabila x se numește variabilă independentă sau argument, iar variabila y este variabila dependentă. Mai spunem că variabila y este funcţie din variabila x. Valorile variabilei dependente se numesc valori ale funcției.

Conceptul introdus de funcție numerică este un caz special al conceptului general de funcție ca corespondență între elemente din două sau mai multe mulțimi arbitrare.

Fie X și Y două mulțimi arbitrare.

Definiție. O funcție definită pe mulțimea X și luând valori în mulțimea Y ​​este o corespondență care se referă la fiecare element al mulțimii X unul și doar un element din mulțimea Y.

Definiție. A defini o funcție înseamnă a indica sfera definiției acesteia și corespondența (regula) prin care valoare dată variabile independente sunt valorile funcției corespunzătoare acesteia.

Două metode de rezolvare a ecuațiilor sunt asociate cu conceptul de funcție: graficși funcţional. Un caz special al metodei funcționale este metoda funcţional, sau universal substituiri.

Definiție. A rezolva această ecuație înseamnă a găsi mulțimea tuturor rădăcinilor (soluțiilor) acesteia. Setul de rădăcini (soluții) poate fi gol, finit sau infinit. În capitolele următoare sectiunea teoretica vom analiza metodele de mai sus de rezolvare a ecuațiilor, iar în secțiunea „Atelier” vom arăta aplicarea lor în diverse situații.

1.1. Metoda grafică.

În practică, pentru a reprezenta graficul unor funcții, se întocmește un tabel cu valorile funcției pentru unele valori ale argumentului, apoi punctele corespunzătoare sunt reprezentate pe planul de coordonate și conectate secvențial printr-o linie. Se presupune că punctele arată cu exactitate progresul modificării funcției.

Definiție. Graficul unei funcții y = f(x) este mulțimea tuturor punctelor

(x, f(x) | x https://pandia.ru/text/78/500/images/image024_0.jpg" width="616" height="403">

Punctul de intersecție al graficelor are coordonate (0,5; 0). Prin urmare, x=0,5

Răspuns: x=0,5

Exemplul 2

10| sinx|=10|cosx|-1

Această ecuație este rezolvată rațional prin metoda grafico-analitică.

Deoarece 10>1, atunci această ecuație este echivalentă cu următoarea:

Punctele de intersecție ale graficelor au coordonatele ();. Prin urmare, x=.

Răspuns: x=

1.2. metoda functionala

Nu orice ecuație de forma f(x)=g(x) ca urmare a transformărilor poate fi redusă la o ecuație a uneia sau a altei forme standard, pentru care sunt potrivite metodele obișnuite de rezolvare. În astfel de cazuri, este logic să folosim proprietăți ale funcțiilor f(x) și g(x) precum monotonitatea, mărginirea, uniformitatea, periodicitatea etc. Deci, dacă una dintre funcții crește, iar cealaltă scade într-un anumit interval. , atunci ecuația f(x) = g(x) nu poate avea mai mult de o rădăcină, care, în principiu, poate fi găsită prin selecție. În plus, dacă funcția f(x) este mărginită de sus și funcția g(x) este mărginită de jos, astfel încât f(x) max=A g(x) mîn=A, atunci ecuația f(x)=g(x) este echivalentă cu sistemul de ecuații

De asemenea, atunci când se folosește metoda funcțională, este rațional să se folosească unele teoreme prezentate mai jos. Pentru a le demonstra și utiliza, sunt necesare următoarele ecuații vedere generala:

(2)

Teorema 1. Rădăcinile ecuației (1) sunt rădăcinile ecuației (2).

Teorema 2. Dacă f(x) este o funcție crescătoare pe intervalul a

Ultima teoremă implică un corolar, care este folosit și în soluțiile:

Corolarul 1. Dacă f(x) crește pe întregul său domeniu de definiție, atunci ecuațiile (1) și (2) sunt echivalente în acest interval. Dacă f(x) scade pe întregul său domeniu de definiție, n este impar, atunci ecuațiile (1) și (2) sunt echivalente pe intervalul dat.

Teorema 3. Dacă ecuația f(x)=g(x) pentru orice x admisibil îndeplinește condițiile f(x)≥a, g(x)≤a, unde a este un număr real, atunci ecuația dată este echivalentă cu sistemul

Consecința 2. Dacă în ecuația f(x)+g(x)=a+b pentru orice admisibil x f(x)≤a, g(x)≤b, atunci această ecuație este echivalentă cu sistemul

Metoda funcțională de rezolvare a ecuațiilor este adesea folosită în combinație cu cea grafică, deoarece ambele metode se bazează pe aceleași proprietăți ale funcțiilor. Uneori se numește o combinație a acestor metode grafic-analitic metodă.

Exemplul 1

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image033_3.gif" width="64" height="41 src=">≤1 x2+1≥1 =>

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image035_3.gif" width="121" height="48">

=> x=π, pentru k=0

Răspuns: x=π

1.3. Metoda de substituție a funcției

Un caz special al metodei funcționale este metoda substituției funcționale - poate cea mai comună metodă de rezolvare a problemelor matematice complexe. Esența metodei este introducerea unei noi variabile y=ƒ(x), a cărei aplicare duce la o expresie mai simplă. Un caz separat de substituție funcțională este substituția trigonometrică.

Ecuația trigonometrică a formei

R (păcat kx, cos nx, tg mx.ctg lx) = 0 (3)

unde R este o funcție rațională, k,n,m,lОZ, folosind formule trigonometrice argumentul dublu și triplu, precum și formulele de adunare, pot fi reduse la o ecuație rațională în raport cu argumentele sin X, cos X, tg X.ctg X, după care ecuația (3) poate fi redusă la o ecuație rațională pentru t=tg( X/2) folosind formulele universale de substituție trigonometrică

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Păcat X= cos X=

1+tg²(x/2) 1+tg²(x/2)

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Tg X=ctg X=

1-tg²(x/2) 2tg(x/2)

Trebuie remarcat faptul că aplicarea formulelor (4) poate duce la o îngustare a ODZ a ecuației inițiale, deoarece tg(x/2) nu este definit în punctele x=π+2πk, kОZ, deci în astfel de cazuri este necesar să se verifice dacă unghiurile x=π+ 2πk, kОZ ca rădăcini ale ecuației inițiale.

Exemplul 1

păcat X+√2-sin² X+ păcat X√2-sin² X = 3

Fie acum r = u+v și s=uv, atunci rezultă din sistemul de ecuații

Întrucât, u = păcat Xși u = 1, apoi sin X= 1 și x = π/2+2πk, kн Z

Răspuns: x = π/2+2πk, kОZ

Exemplul 2

5 păcat X-5 tg X

+4(1- cos X)=0

păcat X+ tg X

Este rațional să se rezolve această ecuație prin metoda substituției funcționale.

Din moment ce tg X nu este definit pentru x = π/2+πk, kн Z, și păcatul X+tg X=0 pentru x = πk, kн Z, atunci unghiurile x = πk/2, kн Z nu sunt incluse în ecuația ODZ.

Folosim formulele pentru tangentei unui semiunghi și notăm t=tg( X/2), în timp ce conform condiției problemei t≠0;±1, atunci obținem

https://pandia.ru/text/78/500/images/image055_2.gif" width="165"> +4 1- =0

Deoarece t≠0;±1, atunci această ecuație este echivalentă cu ecuația

5t² + = 0 ó-5-5t² + 8 = 0

de unde t = ± ..gif" width="27" height="47"> +2πk, kн Z

Exemplul 3

tg X+ ctg X+ tg²X+ ctg²X+ tg³X+ ctg³X=6

Această ecuație este rezolvată rațional prin metoda substituției funcționale.

Fie y=tg X+ctg X, apoi tg² X+ctg² X=y²-2, tg³ X+ctg³ X=y³-3y

Din moment ce tg X+ctg X=2, apoi tg X+1/tg X=2. De aici rezultă că tg X=1 și x = π/4+πk, kн Z

Răspuns: x = π/2+2πk, kн Z

2. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților folosind proprietățile funcțiilor incluse în acestea

2. 1. Utilizarea ODZ.

Uneori, cunoașterea ODZ permite să se demonstreze că o ecuație (sau inegalitate) nu are soluții, iar uneori permite să găsească soluții la o ecuație (sau o inegalitate) prin înlocuirea directă a numerelor din ODZ.

Exemplul 1 rezolva ecuatia

Decizie. ODZ a acestei ecuații constă din toți x care îndeplinesc simultan condițiile 3-x0 și x-3>0, adică ODZ este o mulțime goală. Aceasta completează soluția ecuației, deoarece s-a stabilit că niciun număr nu poate fi o soluție, adică că ecuația nu are rădăcini.

Răspuns: Nu există soluții.

Exemplul 2 rezolva ecuatia

(1)

Decizie. ODZ a acestei ecuații constă din toți x care îndeplinesc simultan condițiile, adică ODZ este Substituind aceste valori ale lui x în ecuația (1), aflăm că laturile sale stânga și dreapta sunt 0, ceea ce înseamnă că toate https ://pandia.ru/ text/78/500/images/image065_2.gif" width="93 height=21" height="21">

Exemplul 3 Rezolvați inegalitatea

Decizie. ODZ a inegalității (2) constă în toate х care îndeplinesc simultan condițiile adică ODZ este format din două numere și . Înlocuind în inegalitatea (2), obținem că partea stângă este egală cu 0, cea dreaptă este egală cu https://pandia.ru/text/78/500/images/image070_1.gif" width="53" height ="23">. gif" width="117 height=41" height="41">.

Răspuns: x=1.

Exemplul 4 Rezolvați inegalitatea

(3)

Decizie. ODZ a inegalității (3) este tot x care îndeplinește condiția 0<х1. Ясно, что х=1 не является решением неравенства (3). Для х из промежутка 0

Raspuns: 0

Exemplul 5 Rezolvați inegalitatea

Soluție..gif" width="73" height="19"> și .

Pentru x din intervalul https://pandia.ru/text/78/500/images/image082_1.gif" width="72" height="24 src=">.gif" width="141 height=24" height = "24"> pe acest interval și, prin urmare, inegalitatea (4) nu are soluții pe acest interval.

Fie că x aparține intervalului , apoi https://pandia.ru/text/78/500/images/image087_1.gif" width="141 height=24" height="24"> pentru un astfel de x și, prin urmare, pe Inegalitate (4) nu are nicio soluție pentru acest interval.

Deci, inegalitatea (4) nu are soluții.

Răspuns: Nu există soluții.

Observatii.

Când rezolvați ecuații, nu este necesar să găsiți ODZ. Uneori este mai ușor să mergi la anchetă și să verifici rădăcinile găsite. La rezolvarea inegalităților, uneori este posibil să nu se găsească ODZ, ci să se rezolve inegalitatea prin trecerea la un sistem echivalent de inegalități, în care fie una dintre inegalități nu are soluții, fie cunoașterea soluției sale ajută la rezolvarea sistemului de inegalități. inegalităților.

Exemplul 6 Rezolvați inegalitatea

Decizie. Găsirea inegalității ODZ nu este o sarcină ușoară, așa că haideți să o facem altfel. Inegalitatea (5) este echivalentă cu sistemul de inegalități

(6)

A treia inegalitate a acestui sistem este echivalentă cu inegalitatea care nu are soluții. În consecință, sistemul de inegalități (6) nu are soluții, ceea ce înseamnă că nici inegalitatea (5) nu are soluții.

Răspuns: Nu există soluții.

Exemplul 7 Rezolvați inegalitatea

. (7)

Decizie. Găsirea ODZ a inegalității (7) este o sarcină dificilă. Deci hai să o facem altfel. Inegalitatea (7) este echivalentă cu sistemul de inegalități

(8)

A treia inegalitate a acestui sistem are soluții pentru tot x din intervalul -1

2.2. Utilizarea unor funcții limitate.

Când se rezolvă ecuații și inegalități, proprietatea de a fi mărginit de jos sau de sus de o funcție dintr-o anumită mulțime joacă adesea un rol decisiv.

De exemplu, dacă pentru tot x dintr-o mulțime M inegalitățile f(x)>A și g(x)

Rețineți că rolul numărului A este adesea jucat de zero; în acest caz, se vorbește despre păstrarea semnului funcțiilor f(x) și g(x) pe mulțimea M.

Exemplul 1 rezolva ecuatia

Soluție..gif" width="191" height="24 src="> Deoarece pentru orice valoare a lui x partea stângă a ecuației nu depășește unu, iar partea dreaptă este întotdeauna cel puțin două, această ecuație nu are soluții .

Răspuns: fără soluții.

Exemplul 2 rezolva ecuatia

(9)

Decizie. Evident, x=0, x=1, x=-1 sunt soluții ale ecuației (9)..gif" width="36" height="19">, deoarece dacă este soluția ei, atunci (-) este și a lui decizie.

Împărțim mulțimea x>0, , în două intervale (0;1) și (1;+∞).

Să rescriem ecuația (9) ca https://pandia.ru/text/78/500/images/image103_1.gif" width="104" height="28">.gif" width="99" height="25 src=">numai pozitiv. În consecință, ecuația (9) nu are soluții pe acest interval.

Fie x aparține intervalului (1;+∞). Pentru fiecare dintre aceste valori x, funcția ia valori pozitive, funcția https://pandia.ru/text/78/500/images/image105_1.gif" width="99" height="25 src="> este nepozitivă. Prin urmare, în acest interval, ecuația (9) nu are soluții.

Dacă х>2 , atunci , și asta înseamnă că ecuația (9) nu are nicio soluție în intervalul (2;+∞).

Deci, x=0, x=1 și x=-1 și numai ele sunt soluții ale ecuației inițiale.

Răspuns:

Exemplul 3 Rezolvați inegalitatea

Decizie. ODZ a inegalității (10) este tot x real, cu excepția x=-1. Să împărțim ODZ în trei seturi: -∞<х<-1, -1

Fie -∞<х<-1..gif" width="93" height="24 src=">. Prin urmare, toate aceste х sunt soluții ale inegalității (10).

Fie -1 , A . În consecință, niciunul dintre acești x nu este o soluție a inegalității (10).

Fie 0 , A . Prin urmare, toate aceste х sunt soluții ale inegalității (10).

Răspuns: -∞<х<-1; 0

Exemplul 4 rezolva ecuatia

(11)

Decizie. Denota prin f(x). Din definiția valorii absolute rezultă că f(x)= la , https://pandia.ru/text/78/500/images/image120_1.gif" width="84" height="41 src="> .gif" width="43" height="41 src=">. Prin urmare, dacă , atunci ecuația (11) poate fi rescrisă sub forma , adică sub forma ..gif" width="53" height="41"> satisface numai . Dacă , atunci ecuația (11) poate fi rescrisă ca https://pandia.ru/text/78/500/images/image128_0.gif" width="73 height=41" height="41">. Această ecuație are soluții . Dintre aceste valori x, numai .

Se consideră x din intervalul . Pe acest interval, ecuația (11) poate fi rescrisă sub forma , adică sub forma

Este clar că x=0 este o soluție a ecuației (12) și, prin urmare, ecuația inițială..gif" width="39" height="19"> ecuația (12) este echivalentă cu ecuația

Pentru orice valoare , funcția ia doar valori pozitive, deci ecuația (12) nu are soluții în mulțime .

Raspuns: x=0, ; https://pandia.ru/text/78/500/images/image139_0.gif" width="211" height="41">. (13)

Decizie. Să existe o soluție pentru ecuația (13), apoi egalitatea (14)

și inegalități https://pandia.ru/text/78/500/images/image142_1.gif" width="68" height="27 src=">. același semn ca și , adică același semn ca , iar partea dreaptă are același semn ca și .Dar din moment ce și satisfac egalitatea (14), au aceleași semne.

Să rescriem egalitatea (14) ca

https://pandia.ru/text/78/500/images/image147_0.gif" width="284" height="24">

Să rescriem egalitatea (15) ca

Deoarece și au aceleași semne, atunci ..gif" width="95" height="24">. (17)

Evident, orice soluție a ecuației (17) este o soluție a ecuației (13). Prin urmare, ecuația (13) este echivalentă cu ecuația (17). Ecuația (17) are soluții , ele și numai ele sunt soluții ale ecuației (13).

Răspuns:

Cometariu. În același mod ca în exemplul 5, putem demonstra că ecuația

unde n, m sunt numere naturale, este echivalent cu ecuația , și apoi rezolvați această ecuație mai simplă.

2. 3. Folosind monotonitatea unei funcţii.

Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților folosind proprietatea monotonității se bazează pe următoarele afirmații.

Fie f(x) o funcție continuă și strict monotonă pe intervalul L, atunci ecuația f(x)=C, unde C este o constantă dată, poate avea cel mult o soluție pe intervalul L. Fie f(x) și g(x) sunt funcții continue pe intervalul L, f(x) este strict crescător, iar g(x) este strict descrescător pe acest interval, atunci ecuația f(x)=g(x) nu poate avea mai mult de o soluție pe intervalul L.

Rețineți că intervalul L poate fi un interval infinit (-∞; +∞), intervale semi-infinite (a; +∞), (-∞; a), [a; +∞), (-∞; a], segmente, intervale și semiintervale.

Exemplul 1 rezolva ecuatia

(18)

Decizie. În mod evident, x0 nu poate fi o soluție a ecuației (18), de atunci . Pentru x>0 functia este continuă și strict crescătoare ca produsul a două funcții continue pozitive strict crescătoare f=x pentru aceste x și https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif > preia fiecare dintre valorile sale la exact un punct Este ușor de observat că x=1 este o soluție a ecuației (18), deci este singura sa soluție.

Răspuns: x=1.

Exemplul 2 Rezolvați inegalitatea

. (19)

Decizie. Fiecare dintre funcțiile , , este continuă și strict crescătoare pe întreaga axă. Deci funcția inițială este aceeași . Este ușor de observat că pentru x=0 funcția ia valoarea 3. Datorita continuitatii si monotonitatii stricte a acestei functii pentru x>0 avem , la x<0 имеем . În consecință, soluțiile inegalității (19) sunt toate x<0.

Răspuns: -∞

Exemplul 3 rezolva ecuatia

(20)

Decizie. Intervalul valorilor admisibile ale ecuației (20) este intervalul . Pe intervalul de valori admisibile ale funcției și sunt continue și strict descrescătoare; prin urmare, funcția este continuă și descrescătoare. Prin urmare, funcția h(x) ia fiecare valoare doar într-un punct. Deoarece h(2)=2, atunci x=2 este singura rădăcină a ecuației originale.

Răspuns: x=2.

Exemplul 4 Rezolvați inegalitatea

Soluția..gif" width="253 height=27" height="27"> este continuă și strict crescătoare. Deoarece f(1)=4, atunci toate valorile x din set cresc pe interval. Deoarece pe intervalul .. gif" width="95" height="25 src="> sunt prezentate în Figura 7. Din figură rezultă că inegalitatea (26) este valabilă pentru tot x din ODZ.

Să demonstrăm. Pentru fiecare avem și pentru fiecare astfel de x avem . Prin urmare, soluțiile inegalității (26) vor fi toate x din intervalul [-1;1].

Exemplul 2 rezolva ecuatia

. (27)

Soluție..gif" width="123" height="24"> și sunt prezentate în Figura 8. Să trasăm o linie dreaptă y=2. Din figură rezultă că graficul funcției f(x) nu se află sub această linie, iar graficul funcției g(x) nu se află deasupra. Mai mult, aceste grafice ating linia dreaptă y=2 în puncte diferite. Prin urmare, ecuația nu are soluții. Să demonstrăm. Pentru fiecare dintre noi, un . În acest caz, f(x)=2 numai pentru x=-1 și g(x)=2 numai pentru x=0. Aceasta înseamnă că ecuația (27) nu are soluții.

Răspuns: Nu există soluții.

Exemplul 3 rezolva ecuatia

. (28)

Soluția..gif" width="95" height="25 src="> sunt prezentate în Figura 9. Este ușor de verificat că punctul (-1; -2) este punctul de intersecție al graficelor funcțiilor f(x) și g(x), adică x=-1 este soluția ecuației (28). Să trasăm o dreaptă y=x-1. Din figură rezultă că este situată între graficele lui funcțiile y=f(x) și y=g(x).Această observație ajută la demonstrarea faptului că ecuația (28) nu are alte soluții.

Pentru a face acest lucru, demonstrăm că x din intervalul (-1; +∞) satisface inegalitățile și , iar pentru x din intervalul (-∞; -1) inegalitățile sunt adevărate https://pandia.ru/text/ 78/500/images/image229_1 .gif" width="89" height="21 src=">. Evident, inegalitatea este valabilă pentru x>-1, iar inegalitatea https://pandia.ru/text/78 /500/images/image228_1.gif" width="93" height="24">..gif" width="145" height="25">. Soluțiile la această inegalitate sunt toate x<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1.

Prin urmare, afirmația necesară este dovedită, iar ecuația (28) are o rădăcină unică x=-1.

Răspuns: x=-1.

Exemplul 4 Rezolvați inegalitatea

. (29)

Soluție..gif" width="39" height="19 src=">, adică ODZ este format din trei lacune, , https://pandia.ru/text/78/500/images/image234_1.gif" width= "52" height="41">, echivalent cu inegalitatea

, (30)

iar în regiunea x>0 este echivalentă cu inegalitatea

. (31)

Schițe ale graficelor de funcții și sunt prezentate în Figura 10..gif" width="56" height="45"> și .

Prin urmare, inegalitatea (31) nu are soluții, iar inegalitatea (30) va avea soluții pentru tot x din intervalul .

Să demonstrăm.

A) Lasă. Inegalitatea (29) este echivalentă în acest interval cu inegalitatea (30). Este ușor de observat că pentru fiecare x din acest interval, inegalitățile

,

.

În consecință, inegalitatea (30) și, împreună cu aceasta, inegalitatea inițială (29) nu au soluții pe intervalul .

B) Fie . Atunci inegalitatea (29) este, de asemenea, echivalentă cu inegalitatea (30). Pentru fiecare x din acest interval

,

Prin urmare, orice astfel de x este o soluție a inegalității (30) și, prin urmare, și a inegalității inițiale (29).

C) Fie x>0. Pe această mulțime, inegalitatea inițială este echivalentă cu inegalitatea (31). Evident, pentru orice x din această mulțime, inegalitățile

,

Asta implică:

1) inegalitatea (31) nu are soluții pe mulțimea unde , adică inegalitatea (31) nu are soluții pe mulțime ;

2) inegalitatea (31) nu are soluții pe platoul unde https://pandia.ru/text/78/500/images/image253_1.gif" width="60" height="19">. Rămâne să găsim soluții la inegalitate (31) aparținând intervalului 1

Lecție și prezentare pe tema:

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 11-a
Probleme algebrice cu parametri, clasele 9–11
Mediul software „1C: constructor matematic 6.1”

Băieți, rămâne să luăm în considerare încă o metodă de rezolvare a ecuațiilor - funcțional-grafică. Esența metodei este simplă și am folosit-o deja.

Să ne dăm o ecuație de forma $f(x)=g(x)$. Construim două grafice $y=f(x)$ și $y=g(x)$ pe același plan de coordonate și marchem punctele în care graficele noastre se intersectează. Abscisa punctului de intersecție (coordonata x) este soluția ecuației noastre.

Deoarece metoda se numește grafic funcțional, nu este întotdeauna necesar să se traseze grafice de funcții. De asemenea, puteți utiliza proprietățile funcțiilor. De exemplu, vedeți o soluție explicită a unei ecuații la un moment dat: dacă una dintre funcții este strict în creștere, iar cealaltă este strict în scădere, atunci aceasta va fi singura soluție a ecuației. Proprietățile de monotonitate ale funcțiilor ajută adesea la rezolvarea diferitelor ecuații.

Reamintim o altă metodă: dacă în intervalul X, cea mai mare valoare a oricăreia dintre funcțiile $y=f(x)$, $y=g(x)$ este egală cu A și, în consecință, cea mai mică valoare a celeilalte funcția este de asemenea egală cu A, atunci ecuația $f( x)=g(x)$ este echivalentă cu sistemul: $\begin (cases) f(x)=A, \\ g(x)=A. \end(cazuri)$

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $\sqrt(x+1)=|x-1|$.

Decizie.
Să construim grafice ale funcțiilor pe un plan de coordonate: $y=\sqrt(x)+1$ și $y=|x-1|$.

După cum se poate observa din figură, graficele noastre se intersectează în două puncte cu coordonatele: A (0; 1) și B (4; 3). Soluția ecuației inițiale va fi abscisele acestor puncte.

Răspuns: $x=0$ și $x=4$.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $x^7+3x-134=0$.

Decizie.
Să trecem la o ecuație echivalentă: $x^7=134-3x$.
Se poate observa că $x=2$ este soluția acestei ecuații. Să demonstrăm că aceasta este singura rădăcină.
Funcția $y=x^7$ – crește pe întregul domeniu de definiție.
Funcția $y=134-3x$ este în scădere pe întregul domeniu de definiție.
Atunci graficele acestor funcții fie nu se intersectează deloc, fie se intersectează într-un punct, am găsit deja acest punct $х=2.$

Răspuns: $x=2$.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $\frac(8)(x)=\sqrt(x)$.

Decizie.
Această ecuație poate fi rezolvată în două moduri.
1. Din nou, rețineți că $x=4$ este rădăcina ecuației. Pe segmentul $)