Cum se rezolvă ecuații liniare simple. Rezolvarea ecuațiilor liniare cu exemple. Cazul fără soluții

În acest videoclip vom analiza întregul set ecuatii lineare, care sunt rezolvate folosind același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.

Mai întâi, să definim: ce este o ecuație liniară și care se numește cea mai simplă?

O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai la primul grad.

Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:

Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:

1. Extindeți parantezele, dacă există;
2. Mutați termenii care conțin o variabilă într-o parte a semnului egal și termenii fără variabilă în cealaltă;
3. Dați termeni similari la stânga și la dreapta semnului egal;
4. Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $x$.

Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Cert este că uneori după toate aceste mașinațiuni coeficientul variabilei $x$ se dovedește a fi egal cu zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:

1. Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când se dovedește ceva de genul $0\cdot x=8$, de exemplu. în stânga este zero, iar în dreapta este un alt număr decât zero. În videoclipul de mai jos vom analiza mai multe motive pentru care această situație este posibilă.
2. Soluția sunt toate numerele. Singurul caz în care acest lucru este posibil este atunci când ecuația a fost redusă la construcția $0\cdot x=0$. Este destul de logic că, indiferent de ce $x$ înlocuim, se va dovedi totuși „zero este egal cu zero”, adică. egalitate numerică corectă.

Acum să vedem cum funcționează toate acestea folosind exemple din viața reală.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor

Astăzi avem de-a face cu ecuații liniare și doar cu cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.

Astfel de construcții sunt rezolvate aproximativ în același mod:

1. În primul rând, trebuie să extindeți parantezele, dacă există (ca în ultimul nostru exemplu);
2. Apoi combinați similar
3. În cele din urmă, izolați variabila, adică mutați tot ce este legat de variabilă - termenii în care este conținut - într-o parte și mutați tot ce rămâne fără ea în cealaltă parte.

Apoi, de regulă, trebuie să dați altele similare de fiecare parte a egalității rezultate, iar după aceea tot ce rămâne este să împărțiți cu coeficientul lui „x”, iar vom obține răspunsul final.

În teorie, acest lucru pare frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii de liceu cu experiență pot face greșeli jignitoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, erorile sunt făcute fie la deschiderea parantezelor, fie la calcularea „plusurilor” și „minusurilor”.

În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții sau ca soluția să fie întreaga dreaptă numerică, adică. orice număr. Ne vom uita la aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, așa cum ați înțeles deja, cu cele mai simple sarcini.

Schema de rezolvare a ecuatiilor liniare simple

Mai întâi, permiteți-mi să scriu încă o dată întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:

1. Extindeți parantezele, dacă există.
2. Izolăm variabilele, adică Mutăm tot ce conține „X” într-o parte și tot ce nu conține „X” în cealaltă.
3. Prezentăm termeni similari.
4. Împărțim totul cu coeficientul lui „x”.

Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna; există anumite subtilități și trucuri în ea, iar acum le vom cunoaște.

Rezolvarea exemplelor reale de ecuații liniare simple

Sarcina nr. 1

Primul pas ne cere să deschidem paranteze. Dar nu sunt în acest exemplu, așa că sărim peste acest pas. În a doua etapă trebuie să izolam variabilele. Vă rugăm să rețineți: vorbim doar despre termeni individuali. Hai sa o scriem:

Prezentăm termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru s-a făcut deja aici. Prin urmare, trecem la pasul al patrulea: împărțim la coeficient:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Deci am primit răspunsul.

Sarcina nr. 2

Putem vedea parantezele din această problemă, așa că haideți să le extindem:

Atat in stanga cat si in dreapta vedem aproximativ acelasi design, dar sa actionam conform algoritmului, i.e. separarea variabilelor:

Iată câteva asemănătoare:

La ce rădăcini funcționează asta? Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $x$ este orice număr.

Sarcina nr. 3

A treia ecuație liniară este mai interesantă:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Sunt mai multe paranteze, dar nu se inmultesc cu nimic, sunt pur si simplu precedate de diverse semne. Să le defalcăm:

Facem al doilea pas deja cunoscut de noi:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hai să facem calculul:

Realizam ultimul pas— împărțiți totul la coeficientul lui „x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare

Dacă ignorăm sarcinile prea simple, aș dori să spun următoarele:

• După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
• Chiar dacă există rădăcini, ar putea fi zero printre ele - nu este nimic în neregulă cu asta.

Zero este același număr cu ceilalți; nu ar trebui să-l discriminezi în niciun fel sau să presupui că dacă obții zero, atunci ai greșit ceva.

O altă caracteristică este legată de deschiderea parantezelor. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus. Și apoi îl putem deschide folosind algoritmi standard: vom obține ceea ce am văzut în calculele de mai sus.

Înțelegerea acestui simplu fapt te va ajuta să eviți să faci greșeli stupide și rănitoare în liceu, când a face astfel de lucruri este luat de la sine înțeles.

Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe

Să trecem la ecuații mai complexe. Acum construcțiile vor deveni mai complexe și la efectuarea diferitelor transformări va apărea o funcție pătratică. Cu toate acestea, nu ar trebui să ne fie frică de acest lucru, deoarece dacă, conform planului autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în timpul procesului de transformare toate monomiile care conțin o funcție pătratică se vor anula cu siguranță.

Exemplul nr. 1

Evident, primul pas este deschiderea parantezelor. Să facem asta cu mare atenție:

Acum să aruncăm o privire asupra confidențialității:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Iată câteva asemănătoare:

Evident, această ecuație nu are soluții, așa că vom scrie asta în răspuns:

\[\varnothing\]

sau nu există rădăcini.

Exemplul nr. 2

Efectuăm aceleași acțiuni. Primul pas:

Să mutăm totul cu o variabilă la stânga și fără ea - la dreapta:

Iată câteva asemănătoare:

Evident, această ecuație liniară nu are soluție, așa că o vom scrie astfel:

\[\varnothing\],

sau nu există rădăcini.

Nuanțe ale soluției

Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Folosind aceste două expresii ca exemplu, ne-am convins încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: poate exista fie una, fie niciuna, fie infinit de multe rădăcini. În cazul nostru, am luat în considerare două ecuații, ambele pur și simplu nu au rădăcini.

Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu parantezele și cum să le deschideți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:

Înainte de deschidere, trebuie să înmulțiți totul cu „X”. Vă rugăm să rețineți: se înmulțește fiecare termen individual. În interior sunt doi termeni - respectiv, doi termeni și înmulțiți.

Și numai după ce aceste transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase au fost finalizate, puteți deschide paranteza din punctul de vedere al faptului că există un semn minus după el. Da, da: abia acum, când transformările sunt finalizate, ne amintim că în fața parantezelor este un semn minus, ceea ce înseamnă că tot ce este dedesubt pur și simplu schimbă semnele. În același timp, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și „minus” din față.

Facem același lucru cu a doua ecuație:

Nu întâmplător sunt atent la aceste fapte mărunte, aparent nesemnificative. Deoarece rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune de transformări elementare, în care incapacitatea de a efectua în mod clar și competent pași simpli duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și din nou învață să rezolve astfel de ecuații simple.

Desigur, va veni și ziua în care vei perfecționa aceste abilități până la automatism. Nu va mai trebui să efectuați atât de multe transformări de fiecare dată; veți scrie totul pe o singură linie. Dar în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.

Rezolvarea unor ecuații liniare și mai complexe

Ceea ce vom rezolva acum cu greu poate fi numit cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.

Sarcina nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Să înmulțim toate elementele din prima parte:

Să facem puțină confidențialitate:

Iată câteva asemănătoare:

Să parcurgem ultimul pas:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare am avut coeficienți cu o funcție pătratică, aceștia s-au anulat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie liniară și nu pătratică.

Sarcina nr. 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Să facem cu atenție primul pas: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din al doilea. Ar trebui să existe un total de patru termeni noi după transformări:

Acum să efectuăm cu atenție înmulțirea în fiecare termen:

Să mutăm termenii cu „X” la stânga și cei fără - la dreapta:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Iată termeni similari:

Încă o dată am primit răspunsul final.

Nuanțe ale soluției

Cea mai importantă notă despre aceste două ecuații este următoarea: de îndată ce începem să înmulțim paranteze care conțin mai mult de un termen, acest lucru se face după următoarea regulă: luăm primul termen din primul și înmulțim cu fiecare element din al doilea; apoi luăm al doilea element din primul și în mod similar ne înmulțim cu fiecare element din al doilea. Ca urmare, vom avea patru mandate.

Despre suma algebrică

Cu acest ultim exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, prin $1-7$ înțelegem o construcție simplă: scădeți șapte din unu. În algebră, înțelegem următoarele prin aceasta: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Acesta este modul în care o sumă algebrică diferă de o sumă aritmetică obișnuită.

De îndată ce, atunci când efectuați toate transformările, fiecare adunare și înmulțire, începeți să vedeți construcții similare celor descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră când lucrați cu polinoame și ecuații.

În cele din urmă, să ne uităm la câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele la care tocmai ne-am uitat și pentru a le rezolva va trebui să extindem ușor algoritmul nostru standard.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții

Pentru a rezolva astfel de sarcini, va trebui să mai adăugăm un pas la algoritmul nostru. Dar mai întâi, permiteți-mi să vă reamintesc algoritmul nostru:

1. Deschide parantezele.
2. Variabile separate.
3. Aduceți altele asemănătoare.
4. Împărțiți la raport.

Din păcate, acest algoritm minunat, cu toată eficacitatea sa, se dovedește a nu fi pe deplin potrivit atunci când avem fracții în fața noastră. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție atât în ​​stânga, cât și în dreapta în ambele ecuații.

Cum se lucrează în acest caz? Da, este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care poate fi făcut atât înainte, cât și după prima acțiune, și anume, scăparea de fracții. Deci algoritmul va fi după cum urmează:

1. Scapă de fracții.
2. Deschide parantezele.
3. Variabile separate.
4. Aduceți altele asemănătoare.
5. Împărțiți la raport.

Ce înseamnă „să scapi de fracții”? Și de ce se poate face acest lucru atât după, cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice la numitorul lor, adică. Peste tot numitorul este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, vom scăpa de fracții.

Exemplul nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vă rugăm să rețineți: totul este înmulțit cu „patru” o dată, adică. doar pentru că ai două paranteze nu înseamnă că trebuie să le înmulți pe fiecare cu „patru”. Hai sa scriem:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Acum să extindem:

Izolam variabila:

Efectuăm reducerea termenilor similari:

\[-4x=-1\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Am primit soluția finală, să trecem la a doua ecuație.

Exemplul nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aici efectuăm toate aceleași acțiuni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema este rezolvată.

Asta, de fapt, este tot ce am vrut să vă spun astăzi.

Puncte cheie

Constatările cheie sunt:

• Cunoașteți algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare.
• Abilitatea de a deschide paranteze.
• Nu-ți face griji dacă vezi funcții pătratice, cel mai probabil, în procesul de transformări ulterioare vor scădea.
• Există trei tipuri de rădăcini în ecuațiile liniare, chiar și cele mai simple: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină și nicio rădăcină.

Sper că această lecție vă va ajuta să stăpâniți un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, intră pe site și rezolvă exemplele prezentate acolo. Rămâneți pe fază, vă așteaptă multe alte lucruri interesante!

O ecuație liniară într-o variabilă are forma generala
ax + b = 0.
Aici x este o variabilă, a și b sunt coeficienți. Într-un alt mod, a este numit „coeficientul necunoscutului”, b este „termenul liber”.

Coeficienții sunt un fel de numere, iar rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea valorii lui x la care expresia ax + b = 0 este adevărată. De exemplu, avem ecuația liniară 3x – 6 = 0. Rezolvarea ei înseamnă să găsim cu ce trebuie să fie x pentru ca 3x – 6 să fie egal cu 0. Efectuând transformările, obținem:
3x = 6
x = 2

Astfel, expresia 3x – 6 = 0 este adevărată la x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 este rădăcina acestei ecuații. Când rezolvi o ecuație, îi găsești rădăcinile.

Coeficienții a și b pot fi orice numere, dar există astfel de valori atunci când rădăcina unei ecuații liniare cu o variabilă este mai mult de una.

Dacă a = 0, atunci ax + b = 0 se transformă în b = 0. Aici x este „distrus”. Expresia b = 0 însăși poate fi adevărată numai dacă cunoașterea lui b este 0. Adică, ecuația 0*x + 3 = 0 este falsă, deoarece 3 = 0 este o afirmație falsă. Cu toate acestea, 0*x + 0 = 0 este expresia corectă. Din aceasta concluzionăm că dacă a = 0 și b ≠ 0 o ecuație liniară cu o variabilă nu are deloc rădăcini, dar dacă a = 0 și b = 0, atunci ecuația are un număr infinit de rădăcini.

Dacă b = 0 și a ≠ 0, atunci ecuația va lua forma ax = 0. Este clar că dacă a ≠ 0, dar rezultatul înmulțirii este 0, atunci x = 0. Adică rădăcina acestui ecuația este 0.

Dacă nici a, nici b nu sunt egali cu zero, atunci ecuația ax + b = 0 se transformă în forma
x = –b/a.
Valoarea lui x în acest caz va depinde de valorile lui a și b. Mai mult, va fi singurul. Adică, este imposibil să obțineți două sau mai multe valori diferite ale lui x cu aceiași coeficienți. De exemplu,
–8,5x – 17 = 0
x = 17 / –8,5
x = –2
Nici un alt număr decât –2 nu poate fi obținut prin împărțirea lui 17 la –8,5.

Există ecuații care la prima vedere nu seamănă cu forma generală a unei ecuații liniare cu o variabilă, dar sunt ușor convertite în ea. De exemplu,
–4,8 + 1,3x = 1,5x + 12

Dacă mutați totul în partea stângă, atunci 0 va rămâne în partea dreaptă:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0

Acum ecuația este redusă la forma standard și poate fi rezolvată:
x = 16,8 / 0,2
x = 84

Când rezolvăm ecuații liniare, ne străduim să găsim rădăcina, adică valoarea variabilei care va transforma ecuația într-o egalitate corectă.

Pentru a găsi rădăcina ecuației de care aveți nevoie transformările echivalente aduc ecuația dată nouă la forma

\(x=[număr]\)

Acest număr va fi rădăcina.

Adică transformăm ecuația, simplificând-o cu fiecare pas, până când o reducem la o ecuație complet primitivă „x = număr”, unde rădăcina este evidentă. Cele mai frecvent utilizate transformări la rezolvarea ecuațiilor liniare sunt următoarele:

De exemplu: adăugați \(5\) la ambele părți ale ecuației \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Vă rugăm să rețineți că am putea obține același rezultat mai rapid scriind cele cinci de cealaltă parte a ecuației și schimbându-i semnul. De fapt, exact așa se face școala „transfer prin egali cu schimbare de semn la opus”.

2. Înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale unei ecuații cu același număr sau expresie.

De exemplu: împărțiți ecuația \(-2x=8\) la minus doi

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

De obicei, acest pas este efectuat chiar la sfârșit, când ecuația a fost deja redusă la forma \(ax=b\), și împărțim cu \(a\) pentru a o elimina din stânga.

3. Utilizarea proprietăților și legilor matematicii: deschiderea parantezelor, aducerea de termeni similari, reducerea fracțiilor etc.

Adăugați \(2x\) la stânga și la dreapta

Scădeți \(24\) din ambele părți ale ecuației

Prezentăm din nou termeni similari

Acum împărțim ecuația cu \(-3\), eliminând astfel partea din față a X din partea stângă.

Răspuns : \(7\)

Răspunsul a fost găsit. Totuși, să verificăm. Dacă șapte este într-adevăr o rădăcină, atunci când îl înlocuiți în loc de X în ecuația originală, ar trebui să se obțină egalitatea corectă - aceleași numere în stânga și în dreapta. Sa incercam.

Examinare:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

A mers. Aceasta înseamnă că șapte este într-adevăr rădăcina ecuației liniare originale.

Nu fi leneș să verifici răspunsurile pe care le-ai găsit prin înlocuire, mai ales dacă rezolvi o ecuație la un test sau un examen.

Întrebarea rămâne - cum să determinați ce să faceți cu ecuația la pasul următor? Cum să-l convertesc mai exact? Împărțiți cu ceva? Sau scade? Și ce ar trebui să scad mai exact? Împărțiți cu ce?

Raspunsul este simplu:

Scopul tău este să aduci ecuația la forma \(x=[număr]\), adică în stânga este x fără coeficienți și numere, iar în dreapta este doar un număr fără variabile. Prin urmare, uită-te la ce te oprește și faceți opusul a ceea ce face componenta care interferează.

Pentru a înțelege mai bine acest lucru, să ne uităm la soluția ecuației liniare \(x+3=13-4x\) pas cu pas.

Să ne gândim: cum diferă această ecuație de \(x=[număr]\)? Ce ne oprește? Ce s-a întâmplat?

Ei bine, în primul rând, cei trei interferează, deoarece în stânga ar trebui să fie doar un X singur, fără numere. Ce „face” troica? Adăugat la X. Deci, pentru a-l elimina - scădea aceleași trei. Dar dacă scădem trei din stânga, trebuie să-l scădem din dreapta pentru ca egalitatea să nu fie încălcată.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Amenda. Acum ce te oprește? \(4x\) în dreapta, pentru că acolo ar trebui să fie doar numere. \(4x\) deduse- scoatem prin adăugarea.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Acum prezentăm termeni similari în stânga și în dreapta.

Este aproape gata. Rămâne doar să eliminați cele cinci din stânga. Ce face ea"? Se înmulțește pe x. Deci haideți să-l eliminăm Divizia.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Soluția este completă, rădăcina ecuației este două. Puteți verifica prin înlocuire.

observa asta cel mai adesea există o singură rădăcină în ecuațiile liniare. Cu toate acestea, pot apărea două cazuri speciale.

Cazul special 1 – nu există rădăcini într-o ecuație liniară.

Exemplu . Rezolvați ecuația \(3x-1=2(x+3)+x\)

Soluţie :

Răspuns : fără rădăcini.

De fapt, faptul că vom ajunge la un astfel de rezultat a fost vizibil mai devreme, chiar și atunci când am primit \(3x-1=3x+6\). Gândește-te: cum pot fi egale \(3x\) din care am scăzut \(1\) și \(3x\) la care am adăugat \(6\)? Evident, în niciun caz, pentru că au făcut lucruri diferite cu același lucru! Este clar că rezultatele vor varia.

Cazul special 2 – o ecuație liniară are un număr infinit de rădăcini.

Exemplu . Rezolvați ecuația liniară \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Soluţie :

Răspuns : orice număr.

Acest lucru, apropo, s-a observat și mai devreme, la etapa: \(8x+12=8x+12\). Într-adevăr, stânga și dreapta sunt aceleași expresii. Orice X ai înlocui, va fi același număr atât acolo, cât și acolo.

Ecuații liniare mai complexe.

Ecuația originală nu arată întotdeauna imediat ca una liniară; uneori este „mascata” ca alte ecuații, mai complexe. Cu toate acestea, în procesul de transformare, deghizarea dispare.

Exemplu . Aflați rădăcina ecuației \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Soluţie :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		S-ar părea că aici există un x pătrat - aceasta nu este o ecuație liniară! Dar nu te grăbi. Să aplicăm
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		De ce rezultatul expansiunii \((x-4)^(2)\) este între paranteze, dar rezultatul \((3+x)^(2)\) nu este? Pentru că în fața primului pătrat este un minus, care va schimba toate semnele. Și pentru a nu uita de asta, luăm rezultatul între paranteze, pe care acum îl deschidem.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Prezentăm termeni similari
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Vă prezentăm din nou altele asemănătoare.
		Ca aceasta. Se pare că ecuația inițială este destul de liniară, iar X pătratul nu este altceva decât un ecran care să ne încurce. :) Completam solutia impartind ecuatia la \(2\), si obtinem raspunsul.

Răspuns : \(x=5\)

Exemplu . Rezolvați ecuația liniară \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Soluţie :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Ecuația nu pare liniară, este un fel de fracții... Totuși, să scăpăm de numitori înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitor comun toate - șase
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Extindeți suportul din stânga
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Acum să reducem numitorii
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Acum arată ca unul liniar obișnuit! Să-l terminăm.
		Prin traducerea prin egali, colectăm X în dreapta și numere în stânga
		Ei bine, împărțind părțile drepte și stângi la \(-4\), obținem răspunsul

Răspuns : \(x=-1,25\)

O ecuație cu o necunoscută, care, după ce deschide parantezele și aduce termeni similari, ia forma

ax + b = 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu unul necunoscut. Astăzi ne vom da seama cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.

De exemplu, toate ecuațiile:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - liniar.

Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o egalitate adevărată decizie sau rădăcina ecuației .

De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 = 13 în loc de necunoscutul x înlocuim numărul 2, obținem egalitatea corectă 3 2 +7 = 13. Aceasta înseamnă că valoarea x = 2 este soluția sau rădăcina a ecuației.

Iar valoarea x = 3 nu transformă ecuația 3x + 7 = 13 într-o egalitate adevărată, deoarece 3 2 +7 ≠ 13. Aceasta înseamnă că valoarea x = 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.

Rezolvarea oricăror ecuații liniare se reduce la rezolvarea ecuațiilor de forma

ax + b = 0.

Să mutăm termenul liber din partea stângă a ecuației la dreapta, schimbând semnul din fața lui b la opus, obținem

Dacă a ≠ 0, atunci x = ‒ b/a .

Exemplul 1. Rezolvați ecuația 3x + 2 =11.

Să mutăm 2 din partea stângă a ecuației la dreapta, schimbând semnul din fața lui 2 în opus, obținem
3x = 11 – 2.

Să facem scăderea, atunci
3x = 9.

Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x = 9:3.

Aceasta înseamnă că valoarea x = 3 este soluția sau rădăcina ecuației.

Răspuns: x = 3.

Dacă a = 0 și b = 0, atunci obținem ecuația 0x = 0. Această ecuație are infinit de soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar și b este egal cu 0. Soluția acestei ecuații este orice număr.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Să extindem parantezele:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Iată câțiva termeni similari:
0x = 0.

Răspuns: x - orice număr.

Dacă a = 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x = - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar b ≠ 0.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația x + 8 = x + 5.

Să grupăm termeni care conțin necunoscute în partea stângă și termeni liberi în partea dreaptă:
x – x = 5 – 8.

Iată câțiva termeni similari:
0х = ‒ 3.

Răspuns: fără soluții.

Pe figura 1 prezintă o diagramă pentru rezolvarea unei ecuații liniare

Să întocmim o schemă generală de rezolvare a ecuațiilor cu o variabilă. Să luăm în considerare soluția exemplului 4.

Exemplul 4. Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația

1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.

2) După reducere obținem
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Pentru a separa termenii care conțin termeni necunoscuți și cei liberi, deschideți parantezele:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Să grupăm într-o parte termenii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - termeni liberi:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Să prezentăm termeni similari:
- 22x = - 154.

6) Împărțiți la – 22, obținem
x = 7.

După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.

In general asa ecuațiile pot fi rezolvate folosind următoarea schemă:

a) aduceți ecuația la forma sa întreagă;

b) deschideți parantezele;

c) grupează termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației, iar termenii liberi în cealaltă;

d) aduce membri similari;

e) rezolvați o ecuație de forma aх = b, care s-a obținut după aducerea unor termeni similari.

Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvați multe ecuații mai simple, trebuie să începeți nu de la prima, ci de la a doua ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. 13) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația 2x = 1/4.

Aflați necunoscutul x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Să ne uităm la rezolvarea unor ecuații liniare găsite în examenul de stat principal.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Răspuns: - 0,125

Exemplul 7. Rezolvați ecuația – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Răspuns: 2.3

Exemplul 8. Rezolvați ecuația

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Exemplul 9. Aflați f(6) dacă f (x + 2) = 3 7

Soluţie

Deoarece trebuie să găsim f(6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 = 6.

Rezolvăm ecuația liniară x + 2 = 6,
obținem x = 6 – 2, x = 4.

Dacă x = 4 atunci
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Raspuns: 27.

Dacă mai aveți întrebări sau doriți să înțelegeți mai bine rezolvarea ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele din PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!

TutorOnline vă recomandă, de asemenea, să vizionați o nouă lecție video de la profesorul nostru Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Învățarea rezolvării ecuațiilor este una dintre sarcinile principale pe care algebra le pune elevilor. Începând cu cele mai simple, când constă dintr-o necunoscută, și trecând la altele din ce în ce mai complexe. Dacă nu ați stăpânit acțiunile care trebuie efectuate cu ecuații din primul grup, va fi greu să le înțelegeți pe celelalte.

Pentru a continua conversația, trebuie să fiți de acord asupra notării.

Forma generală a unei ecuații liniare cu o necunoscută și principiul soluției acesteia

Orice ecuație care poate fi scrisă astfel:

a * x = b,

numit liniar. Acest formula generala. Dar adesea în atribuiri ecuațiile liniare sunt scrise în formă implicită. Apoi este necesar să se efectueze transformări identice pentru a obține o notație general acceptată. Aceste acțiuni includ:

• paranteze de deschidere;
• mutarea tuturor termenilor cu o valoare variabilă în partea stângă a egalității, iar restul la dreapta;
• reducerea termenilor similari.

În cazul în care o cantitate necunoscută se află în numitorul unei fracții, trebuie să determinați valorile acesteia la care expresia nu va avea sens. Cu alte cuvinte, trebuie să cunoașteți domeniul de definire al ecuației.

Principiul prin care sunt rezolvate toate ecuațiile liniare se rezumă la împărțirea valorii din partea dreaptă a ecuației la coeficientul din fața variabilei. Adică, „x” va fi egal cu b/a.

Cazuri speciale de ecuații liniare și soluțiile acestora

În timpul raționamentului, pot apărea momente când ecuațiile liniare iau una dintre formele speciale. Fiecare dintre ele are o soluție specifică.

In prima situatie:

a * x = 0, și a ≠ 0.

Soluția unei astfel de ecuații va fi întotdeauna x = 0.

În al doilea caz, „a” ia valoarea egală cu zero:

0 * x = 0.

Răspunsul la o astfel de ecuație va fi orice număr. Adică are un număr infinit de rădăcini.

A treia situație arată astfel:

0 * x = in, unde în ≠ 0.

Această ecuație nu are sens. Pentru că nu există rădăcini care să-l satisfacă.

Vedere generală a unei ecuații liniare cu două variabile

Din numele său devine clar că există deja două cantități necunoscute în el. Ecuații liniare în două variabile arata asa:

a * x + b * y = c.

Deoarece există două necunoscute în înregistrare, răspunsul va arăta ca o pereche de numere. Adică nu este suficient să specificați o singură valoare. Acesta va fi un răspuns incomplet. O pereche de mărimi pentru care ecuația devine o identitate este o soluție a ecuației. Mai mult, în răspuns, variabila care vine prima în alfabet este întotdeauna scrisă prima. Uneori se spune că aceste cifre îl mulțumesc. Mai mult, poate exista un număr infinit de astfel de perechi.

Cum se rezolvă o ecuație liniară cu două necunoscute?

Pentru a face acest lucru, trebuie doar să selectați orice pereche de numere care se dovedește a fi corectă. Pentru simplitate, puteți lua una dintre necunoscutele egală cu un număr prim și apoi găsiți al doilea.

Când rezolvați, de multe ori trebuie să efectuați pași pentru a simplifica ecuația. Ele se numesc transformări identitare. În plus, următoarele proprietăți sunt întotdeauna adevărate pentru ecuații:

• fiecare termen poate fi mutat în partea opusă a egalității prin înlocuirea semnului său cu cel opus;
• Laturile stânga și dreapta ale oricărei ecuații pot fi împărțite la același număr, atâta timp cât acesta nu este egal cu zero.

Exemple de sarcini cu ecuații liniare

Prima sarcină. Rezolvați ecuații liniare: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

În ecuația care vine prima pe această listă, împărțiți pur și simplu 20 la 4. Rezultatul va fi 5. Acesta este răspunsul: x = 5.

A treia ecuație necesită efectuarea unei transformări de identitate. Acesta va consta în deschiderea parantezelor și aducerea unor termeni similari. După primul pas, ecuația va lua forma: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Apoi trebuie să mutați toate necunoscutele în partea stângă a ecuației, iar restul în dreapta. Ecuația va arăta astfel: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. După adăugarea unor termeni similari: 14x = 16. Acum arată la fel ca prima, iar soluția ei este ușor de găsit. Răspunsul va fi x=8/7. Dar în matematică ar trebui să izolați întreaga parte dintr-o fracție improprie. Apoi rezultatul va fi transformat, iar „x” va fi egal cu un întreg și o șapte.

În exemplele rămase, variabilele sunt la numitor. Aceasta înseamnă că mai întâi trebuie să aflați la ce valori sunt definite ecuațiile. Pentru a face acest lucru, trebuie să excludeți numerele la care numitorii merg la zero. În primul exemplu este „-4”, în al doilea este „-3”. Adică, aceste valori trebuie excluse din răspuns. După aceasta, trebuie să înmulțiți ambele părți ale egalității cu expresiile din numitor.

Deschizând parantezele și aducând termeni similari, în prima dintre aceste ecuații obținem: 5x + 15 = 4x + 16, iar în a doua 5x + 15 = 4x + 12. După transformări, soluția primei ecuații va fi x = -1. Al doilea se dovedește a fi egal cu „-3”, ceea ce înseamnă că acesta din urmă nu are soluții.

A doua sarcină. Rezolvați ecuația: -7x + 2y = 5.

Să presupunem că prima necunoscută x = 1, apoi ecuația va lua forma -7 * 1 + 2y = 5. Mutând factorul „-7” în partea dreaptă a egalității și schimbându-i semnul în plus, rezultă că 2y = 12. Aceasta înseamnă y =6. Răspuns: una dintre soluțiile ecuației x = 1, y = 6.

Forma generală a inegalității cu o variabilă

Toate situațiile posibile pentru inegalități sunt prezentate aici:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤в.

În general, arată ca o ecuație liniară simplă, doar semnul egal este înlocuit cu o inegalitate.

Reguli pentru transformările identitare ale inegalităților

La fel ca ecuațiile liniare, inegalitățile pot fi modificate conform anumitor legi. Ele se rezumă la următoarele:

1. orice expresie alfabetică sau numerică poate fi adăugată la partea stângă și dreaptă a inegalității, iar semnul inegalității rămâne același;
2. De asemenea, puteți înmulți sau împărți cu același lucru număr pozitiv, acest lucru din nou nu schimbă semnul;
3. la înmulțirea sau împărțirea la același lucru un număr negativ egalitatea va rămâne adevărată cu condiția ca semnul inegalității să fie inversat.

Vedere generală a inegalităților duble

Următoarele inegalități pot fi prezentate în probleme:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Se numește dublu deoarece este limitat de semne de inegalitate de ambele părți. Se rezolvă folosind aceleași reguli ca și inegalitățile obișnuite. Și găsirea răspunsului se rezumă la o serie transformări identitare. Până se obține cel mai simplu.

Caracteristici ale rezolvării inegalităților duble

Prima dintre ele este imaginea sa pe axa de coordonate. Nu este nevoie să folosiți această metodă pentru inegalități simple. Dar în cazuri dificile poate fi pur și simplu necesar.

Pentru a reprezenta o inegalitate, trebuie să marcați pe axă toate punctele care au fost obținute în timpul raționamentului. Acestea sunt valori nevalide, care sunt indicate prin puncte perforate, și valori din inegalitățile obținute în urma transformărilor. Și aici este important să desenați corect punctele. Dacă inegalitatea este strictă, adică< или >, atunci aceste valori sunt eliminate. În inegalitățile nestricte, punctele trebuie să fie umbrite.

Apoi este necesar să se indice sensul inegalităților. Acest lucru se poate face folosind umbrirea sau arce. Intersecția lor va indica răspunsul.

A doua caracteristică este legată de înregistrarea acesteia. Există două opțiuni oferite aici. Prima este inegalitatea finală. Al doilea este sub formă de intervale. Cu el se întâmplă să apară dificultăți. Răspunsul în spații arată întotdeauna ca o variabilă cu semn de apartenență și paranteze cu numere. Uneori există mai multe spații, atunci trebuie să scrieți simbolul „și” între paranteze. Aceste semne arată astfel: ∈ și ∩. Parantezele de spațiere joacă, de asemenea, un rol. Cel rotund este plasat atunci când punctul este exclus din răspuns, iar cel dreptunghiular include această valoare. Semnul infinitului este întotdeauna între paranteze.

Exemple de rezolvare a inegalităților

1. Rezolvați inegalitatea 7 - 5x ≥ 37.

După transformări simple, obținem: -5x ≥ 30. Împărțind la „-5” putem obține următoarea expresie: x ≤ -6. Acesta este deja răspunsul, dar se poate scrie în alt mod: x ∈ (-∞; -6].

2. Rezolvați inegalitatea dublă -4< 2x + 6 ≤ 8.

Mai întâi trebuie să scazi peste tot 6. Obții: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].